分形思维！才是数学之美的极致展现
分形思维！才是数学之美的极致展现抬起眼来吧，看看周围的这个世界，然后思考一下这个问题：你正在观察的事物中还有多少有待发现？这个世界上还有什么未曾被人了解的事情等待我们去了解，只因为没人想到要去了解它们？我们眼前还有什么引人入胜却未受关注的事物？
来源 | 《数学的雨伞下：理解世界的乐趣》
作者 | [法] 米卡埃尔·洛奈（Mickael Launay）
译者 | 欧瑜
19 世纪末 20 世纪初，分形风靡一时。当然了，那个时候分形还不 叫分形，因为直到 1974 年，曼德博才发明了“分形”这个词，但继佩亚诺之后，科学家们都从各自的锯齿状小图形入手，探究其不知是“线”还是“面”的无限细碎的细节（图 3.31）。
比如瑞典数学家海尔格·冯·科赫（Helge von Koch）和他的雪花，德国数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）和他与佩亚诺曲线极为相似的曲线，还有日本数学家高木贞治（Teiji Takagi）和他的“牛奶冻曲线”。康托尔则发明了三分集——一组点集，但人们并不清楚这一点集是零维还是一维的。其他人还发现了一些不知道是面还是体的图形，比如美籍奥地利数学家卡尔·门格（Karl Menger）和他的门格海绵。
图 3.31
这一时期最著名的图形之一，是波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Waclaw Sierpinski）在 1915 年设想出的一个图形。这个图形是一个等边三角形，里面筛分成无数个越来越小的三角形。
谢尔宾斯基三角形的惊人之处在于，它可以通过两条不同的路径被构造出来：一条路径是通过一维，另一条路径是通过二维。第一条路径是从三角形的周长入手，添加越来越多的线。第二条路径是从三角形的面入手，一点一点地将其挖空（图 3.32）。
图 3.32
虽然这两条路径处在不同的维度中，但它们的终点是相同的！经过无数个步骤之后，两条路径都构造出了谢尔宾斯基三角形。因此，这个图形在维度上具有绝对的模糊性。谢尔宾斯基三角形是一维的还是二维的？它是通过第一条路径堆积起来的线变成了面，还是通过第二条路径被挖空的面变成了线？
为了回答这两个问题，是时候拿出我们的全新定义了：维度，是倍增系数的对数。换句话说，我们应该问问自己，至少需要多少个谢尔宾斯基三角形才能拼成更大的谢尔宾斯基三角形？如果答案是两个，那么我们就知道它是线。如果答案是四个，那么它就是面。
问题是，答案是三个（图 3.33）。
图 3.33
这是个出乎意料的结果！想要得到一个更大的谢尔宾斯基三角形，你至少需要三个小谢尔宾斯基三角形。如果查看一下对数表，我们就会发现自己面对的是一种左手线、右手面的情况。
这听起来让人难以置信，但唯一可能的结论就是，谢尔宾斯基三角形处于一维和二维之间。这是一个小数！构成谢尔宾斯基三角形的微小三角形堆叠得太过整齐、密实，这个图形不只是线，但这些小三角又没有密实到变成一个真正的面。谢尔宾斯基三角形在某个地方卡在了两者之间，就好像在从一个维度向另一个维度迁移的过程中，悬浮在了空中。它既不是线，也不是面。它是另类。
为了找出谢尔宾斯基三角形确切的值，你只需要翻看纳皮尔的对数表，找到 3 对应的那个对数。我们在对数表中找到了这个近似值：1.585（图 3.34）。
图 3.34
因此，我们的答案是：谢尔宾斯基三角形是一个 1.585 维的图形。
揭晓这般谜底，需要我们放下很多东西。不用担心，你需要时间去习惯。事实上，小数维度的存在如此怪异且令人困惑，甚至让人想奋起反抗。这听起来很荒谬，荒谬到就像用小数给一本书编页码一样……尽管如此，相信逻辑推理而非自己的直觉需要一定的勇气。如果你对这个结果仍心怀疑虑，那也是正常的，甚至是合理的。在写下这些话的时候，距离我第一次了解到分形维度已经过去了将近二十年，而我可以毫不惭愧地说，我至今仍未从最初的惊讶中完全回过神来。
但我们必须相信数学。研究者知晓并研究小数维度，至今已有数十年，而且没有出现过错误。这些维度的存在和一致性已经在很多情境中得到了广泛验证。维度具有一整个连续统，而这个连续统中的每一个维度都可以构造出图形（图 3.35）。
在几年的时间里，分形维度就像理论上的奇珍异宝一样躺在数学家的抽屉里，没有实际的用途。直到本华·曼德博得知了刘易斯·弗莱·理查森关于边境长度之研究的那一天，情况才发生了转变。于是，曼德博想到这一切有可能比表面看来更加具体。
图 3.35
曼德博进行了尝试，并决定将维度理论应用在一种和英国海岸线同形的线条上。他拿出对数表，进行计算。得嘞！英国的海岸线是 1.25 维。
就像佩亚诺曲线，这些线条的扭曲程度如此之大，以至于不能再被视为是一种普通的线。它们就像谢尔宾斯基三角形，还没有迂回缠绕成一个面，而是介于两者之间。对这些线，我们无法像对长度那样以米（m^1）来测量，也无法像对面积那样以平方米（m^2）来测量，而是应该根据 1.25 维图形的特定量度单位来测量：“1.25 次方米”（m^1.25）。
照此，借助理查森收集的数据，维度理论就可以让我们通过计算得出：英国西海岸线约为 4600 km^1.25。西班牙 - 葡萄牙国界线的弯曲程度较小，但其维度仍等于 1.14，我们可以用同样的方式算得这条国界线的长度约为 1250 km^1.14。
面对这样的度量单位，这些结果在我们的经验看来是非常抽象的。但这是结束这场争论的最确切的方式，至少在那些钟情于数学极高准确性的人看来，是最确切的终结方式。在现实中，地理学家会继续乐于以千米为单位去测量海岸线并得到近似值。这并不十分要紧，分形的机制现在已经启动，其应用将成倍增加。
而就在几年前，数学界还把分形当成和现实没有任何关系的理论对象，但本华·曼德博的观点却与这一立场完全相反：对他来说，与现实脱节的是欧几里得的几何学。山峦不是锥体，树木不是球体，河流不是直线。在现实中，一切都是被切割的、剁碎的、撕裂的、细碎的、揉皱的、凹凸不平的。粗糙才是常态，平滑只是例外。就连地球也不是溜圆的，而是布满了高低起伏的峡谷和山峰。大自然是分形的！这就是曼德博的主张。
看看周围的这个世界，你肯定会找到很多例子，比如植物，蕨类、树木、叶片或某些花朵的形状。花菜满是细节的表面是 2.33 维的。表面更为粗糙的西兰花则是 2.66 维的。而在你自己的身体里，如果把血管的所有细小分支首尾相连，那么最终的长度将在 100 000 和 200 000 千米之间——足以绕地球好几圈，你堪称狄多的继承人了。同样，在你的肺部，空气和血液之间的肺部接触“面”密实到几乎具有了容积，它的维度约为 2.97 。
1982 年，曼德博出了一本书，名叫《大自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）。他在书中给出了很多例子，有数学的，也有物理的。分形的世界绚丽、复杂而又丰富。它既在理论上引人入胜，又在实践中用途甚广。曼德博抛出了一个名副其实的现象，一大批数学家追随他的脚步进入这一全新的探索领域。
直到今天，仍有很多前沿研究在继续这一领域的探索。分形不仅本身得到研究，而且还渗透到数学和科学的其他很多领域。
但分形研究最令人惊讶的地方处或许是，直到 20 世纪，科学才开始真正关注这些在我们的世界中无处不在的形状。就像本福特定律，分形在数个世纪中一直就在我们祖先的眼前，但他们似乎没有看到分形。抬起眼来吧，看看周围的这个世界，然后思考一下这个问题：你正在观察的事物中还有多少有待发现？这个世界上还有什么未曾被人了解的事情等待我们去了解，只因为没人想到要去了解它们？我们眼前还有什么引人入胜却未受关注的事物？
有时候，显而易见之事就在细节之中。
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作者：[法] 米卡埃尔·洛奈（Mickael Launay）
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好玩的数学 2024-04-19 22:24 江西
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