求 4/(8n+1)=1/x+1/y+1/z 的 t 法
本帖最后由 蔡家雄 于 2026-5-14 21:20 编辑恒等式 n/(d*n -1)=1/d+1/(d*(dn -1)).
恒等式 n/(d*n -d)=1/d+1/((d*(n -1)) .
恒等式：4/(4k+3)=1/(k+1)+1/((k+1)*(4k+3)) .
恒等式：5/(4k+3)=[(k+1)+(4k+3)+1]/[(k+1)*(4k+3)] .
恒等式：6/(6k+5)=1/(k+1)+1/((k+1)*(6k+5)) .
恒等式：7/(6k+5)=[(k+1)+(6k+5)+1]/[(k+1)*(6k+5)] .
真分数：4/m=1/x+1/y+1/z 必有正整数解，无一反例，
真分数：5/m=1/x+1/y+1/z 必有正整数解，无一反例，
真分数：6/m=1/x+1/y+1/z 必有正整数解，无一反例，
真分数：7/m=1/x+1/y+1/z 必有正整数解，无一反例，
设 8n+1 是质数，
求 4/(8n+1)=1/(2n+t)+1/y+1/z 必有正整数解，
它等价于：至少有一个 t,w=((8n+1)*(2n+t)),
使 4/(8n+1) - 1/(2n+t)= (4t -1)/w =1/y+1/z 必有正整数解，
设 t1,t2 是 w^2 的因子对，
使 (w+t1) 和 (w+t2) 都能被 (4t -1) 整除，
则 x=2n+t,y=(w+t1)/(4t -1) 与 y=(w+t2)/(4t -1),z=(y*w)/((4t -1)*y -w).
当 8n+1=120d+1 与 8n+1=120d+49 时，无公式解，只有构造解，
求 4/(8n+1)=1/(2n+t)+1/y+1/z 的新 t 法，
设 w^2=((8n+1)(2n+t))^2=t1* t2,( t1< t2 ),
设 w ≡ r( mod4t -1 ),
且 t1 ≡t2 ≡4t -1 -r( mod4t -1 ).
则 x=2n+t,y=(w+t1)/(4t -1),z=(w+t2)/(4t -1) .
这是一个完全构造性、无例外、可程序化的新 t 法。
求 4/409=1/105+1/y+1/z 的新 t 法，
分解：(409*105)^2=409^2*3^2*5^2*7^2,
设 409 ≡ 2(mod 11 ),
求 (2*3*5*7)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 10(mod 11 ),
t5: 10 ≡ 10 = 2 × 5(mod 11 )
t1: 10 ≡ 21 = 3 × 7(mod 11 )
t7: 10 ≡ 98 = 2 × 7^2(mod 11 )
t3: 10 ≡ 175 = 5^2 × 7(mod 11 )
t4: 10 ≡ 252 = 2^2 × 3^2 × 7(mod 11 )
t8: 10 ≡ 450 = 2 × 3^2 × 5^2(mod 11 )
t2: 10 ≡ 2100 = 2^2 × 3 × 5^2 × 7(mod 11 )
t6: 10 ≡ 4410 = 2 × 3^2 × 5 × 7^2(mod 11 )
以上式子中，把因子 2 改为 409，
就是求得 (409*105)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 10(mod 11 ).
设 t1< t2,t1* t2= w^2= (409*105)^2,
则 x=102+3,y=(w+t1)/(4*3 -1),z=(w+t2)/(4*3 -1) .
求 4/409=1/104+1/y+1/z 的新 t 法，
分解：(409*104)^2=409^2*2^6*13^2,
设 409 ≡ 3(mod 7 ),
求 (2*3*13)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 3(mod 7 ),
t3: 3 ≡ 3 =3(mod 7 )
t7: 3 ≡ 24 =2^3*3(mod 7 )
t1: 3 ≡ 52 =2^2*13(mod 7 )
t9: 3 ≡ 192 =2^6*3(mod 7 )
t6: 3 ≡ 416 =2^5*13(mod 7 )
t5: 3 ≡ 234 =2*3^2*13(mod 7 )
t10: 3 ≡ 507 =3*13^2(mod 7 )
t2: 3 ≡ 1872 =2^4*3^2*13(mod 7 )
t8: 3 ≡ 4056 =2^3*3*13^2(mod 7 )
t4: 3 ≡ 32448 =2^6*3*13^2(mod 7 )
以上式子中，把因子 3 改为 409，
就是求得 (409*104)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 3(mod 7 ).
设 t1< t2,t1* t2= w^2= (409*104)^2,
则 x=102+2,y=(w+t1)/(4*2 -1),z=(w+t2)/(4*2 -1) .
设 120d+49 是质数，
求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，
设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4(mod 15 ),
求 (30d+16)^2=t1* t2,( t1< t2 ),
且 t1 ≡ t2 ≡ 11(mod 15 ),
则 x=30d+16,y=(w+t2)/15,z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.
蔡氏增乘法质数：120d+49=769,1129,1609, 2689,3769,4129,4969,7369,7489,8329,8929,9049,......
设 d=(30k+11)m+26k+9,
求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，
设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4(mod 15 ),
求 (30d+16)^2=t1* t2,( t1< t2 ),
且 t1 ≡ t2 ≡ 11(mod 15 ),
得 t1=30k+11,t2= (30d+16)^2/(30k+11),
则 x=30d+16,y=(w+t2)/15,z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.
且 x=(30k+11)*(30m+26),
设 d=(15k+13)m+11k+9,
求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，
设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4(mod 15 ),
求 (30d+16)^2=t1* t2,( t1< t2 ),
且 t1 ≡ t2 ≡ 11(mod 15 ),
得 t1=30k+26,t2= (30d+16)^2/(30k+26),
则 x=30d+16,y=(w+t2)/15,z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.
且 x=(30k+26)*(15m+11),
设 e 是 (30d+16)^2 ≡ 11(mod 15 ) 的 互补因子对 数，
设 g 是 (30d+16)^2 ≡ 14(mod 15 ) 的 互补因子对 数，
设 120d+49 是质数，
则 h=2*e+g 是求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的新 t 法的解数。
8/11都不能分拆成三个单位分数之和 一万以内形如 120n + 1 的质数共有 35 个，
241, 601, 1201, 1321, 1801, 2161, 2281, 2521, 3001, 3121,
3361, 4201, 4441, 4561, 4801, 5281, 5521, 5641, 5881, 6121,
6361, 6481, 6841, 6961, 7321, 7561, 7681, 8161, 8521, 8641,
8761, 9001, 9241, 9601, 9721,
一万以内形如 120n + 49 的质数共有 33 个，
409, 769, 1009, 1129, 1249, 1489, 1609, 2089, 2689, 3049,
3169, 3529, 3769, 3889, 4129, 4729, 4969, 5209, 5449, 5569,
5689, 6529, 7129, 7369, 7489, 8089, 8209, 8329, 8689, 8929,
9049, 9649, 9769，
求 4/(120d+73)=1/x+1/y+1/z 的公式解，
得 x=4*(8d+5),y=4*(120d+73),z=2*(120d+73)*(8d+5). 设 8n+1=241 是质数，t=2，
设 4/(8n+1) - 1/(2n+t)= (4t -1)/w =7/14942,
设 t1,t2 是 w^2 的因子，
使 (w+t1) 和 (w+t2) 都能被 (4t -1) 整除，
由 t=2,得 t1=31,t2=241. 设 8n+1=241 是质数，t=3，
设 4/(8n+1) - 1/(2n+t)= (4t -1)/w =11/15183,
设 t1,t2 是 w^2 的因子，
使 (w+t1) 和 (w+t2) 都能被 (4t -1) 整除，
由 t=3,得 t1=63,t2=723. 设 8n+1=241 是质数，t=6,
设 4/(8n+1) - 1/(2n+t)= (4t -1)/w =23/15906,
设 t1,t2 是 w^2 的因子，
使 (w+t1) 和 (w+t2) 都能被 (4t -1) 整除，
由 t=6,得 t1=33,t2=723. 设 8n+1=241 是质数，t=9,
设 4/(8n+1) - 1/(2n+t)= (4t -1)/w =35/16629.
设 t1,t2 是 w^2 的因子，
使 (w+t1) 和 (w+t2) 都能被 (4t -1) 整除，
由 t=9,得 t1=241,t2=1147401.