楼主的主贴是不同于数学家的素性测试，是创新性的。很好！
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-12 08:34 编辑
由 \((y^2 - x^2)^2+(2xy)^2=(y^2+x^2)^2\) ,
设 \(x, y\) 为正整数，且 \(x < y\)，且 \(x与y\) 互素，
求 \(|y^2 - x^2 - 2xy| =2023\) 的 \(2^2\) 组 \(( x , y )\) 的通解公式，
即 两直角边相差 \(2023\) 的本原勾股方程 的通解公式。
\(x, y\) 是 \(A_{n}=\frac{(64 - 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 + 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，
\(x, y\) 是 \(B_{n}=\frac{(88 - 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 + 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，
\(x, y\) 是 \(C_{n}=\frac{(64 + 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 - 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，
\(x, y\) 是 \(D_{n}=\frac{(88 + 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 - 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-5-15 10:43 编辑
求 \(x^2 - (n^2 -2)*y^2=1\) 的最小解
则 \(x=n^2 -1 , y=n\) .
求 \(x^2 - (n^2+2)*y^2=1\) 的最小解
则 \(x=n^2+1 , y=n\) .
求 \(x^2 - ((2n)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解
则 \(x=2*n^2 -1 , y=n\) .
求 \(x^2 - ((2n)^2+4)*y^2=1\) 的最小解
则 \(x=2*n^2+1 , y=n\) .
求 \(x^2 - ((2n+1)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解
则 \(x=(2n+1)*(2n*(n+1) -1) , y=2n*(n+1)\) .
求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解
则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(2n^2+2n+1)^2 -1\) ,
\(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .
蔡家雄 发表于 2018-7-27 04:45
指定奇数的素性测试
设奇数n=10k+3或n=10k+7，
蔡兄用数学软件用的很好了请教用什麼软件可计算各类数学问题且文件小运行快？前面下载过一个文件太大删除了.............
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-15 20:35 编辑
求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解
则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .
拓展
求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4^k)*y^2= -1\) 的最小解，
用公式法求解特殊佩尔方程
设 \(p=4k+1\) 是素数，
求 \(x^2 - p*y^2=1\) 的最小解，
设 \(x=2p*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r=?\) ,
使 \(y=((2p*r^2)*(2p*r^2 -2)/p)^{1/2}\) 是整数。
推论：此时，
设 \(p=4k+1\) 是素数，
求 \(x^2 - p*y^2= -1\) 的最小解，
得 \(y=r\) ,\(x=((2p*r^2)*(2p*r^2 -2)/p)^{1/2}/(2*r)\) .
由 \(2^{13} -1=8191\) 是质数，尝试
求 \(x^2 -8191*y^2=1\) 的最小解，
设 \(x=8191*r^2+1\) , 求 最小的 \(r= ?\)
使 \(y=((8191*r^2)*(8191*r^2+2)/8191)^{1/2}\) 是整数。
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-24 20:15 编辑
设 \(d=2^{2n+1} -1 \) ，
求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，
设 \(x=d*r^2+1\) , 求 最小的 \(r= ?\)
使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2+2)/d)^{1/2}\) 是整数。
1 (7, )
2 (31, )
3 (127, )
4 (511, )
5 (2047, )
6 (8191, )
7 (32767, )
8 (131071, )
9 (524287, )
10 (2097151, )
设 \(d=8k+3\) 是素数，
求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，
设 \(x=d*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r= ?\)
使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2 -2)/d)^{1/2}\) 是整数。
设 \(d=8k+7\) 是素数，
求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，
设 \(x=d*r^2+1\) , 求 最小的 \(r= ?\)
使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2+2)/d)^{1/2}\) 是整数。
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-24 20:20 编辑
设 \(d=2^{2n+1}+11 \) ，
求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，
设 \(x=d*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r= ?\)
使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2 -2)/d)^{1/2}\) 是整数。
1 (19, )
2 (43, )
3 (139, )
4 (523, )
5 (2059, )
6 (8203, )
7 (32779, )
8 (131083, )
9 (524299, )
10 (2097163, )