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标题: 运用“连乘积公式”的基础条件，揭开误差之迷 [打印本页]

作者: 志明 时间: 2019-9-25 14:54
标题: 运用“连乘积公式”的基础条件，揭开误差之迷
本帖最后由志明于 2022-2-18 12:26 编辑

在运用“连乘积公式”的过程中，无论进行多少次筛除，出现多少次误差，累计的误差率都不会无限扩大，不会成为严重影响计算结果精确度的较大误差，这一奇妙的现象，似乎是难解之迷。

   大家都知道，“连乘积公式”是以“在从1至偶数A的范围内，素数的倍数和两个以上小于√A的素数的乘积倍数的分布是绝对均衡的。”这一设定的条件推导得出的。

   而实际情况是，任何一个偶数A，都不可能是所有小于√A的素数的倍数和所有两个以上小于√A的素数的乘积倍数。因此，在从1至A的范围内，素数倍数的分布、两个以上的素数的乘积倍数的分布不是绝对的均衡，只是相对的均衡。由此可知：

   其一、“在从1至偶数A的范围内，素数的倍数与两个以上小于√A的素数乘积的倍数的分布不是绝对的均衡。”这一实际情况，与公式形成过程中所设定的条件不是完全相符。由此确定了“连乘积公式”不是精确表达式，计算结果会出现误差，这是“连乘积公式”误差的根源。

其二、因为素数倍数的间距是相等的，两个以上小于√A的素数的乘积倍数的间距也是相等的，因此，在从1至偶数A的范围内，它们的分布虽然不是绝对的均衡。但是，它们的分布还是具有相对的均衡性。这种相对的均衡性，保证了“连乘积公式”的计算结果是相对合理的近似值（误差是有限的，误差率不会无限扩大）。

   这种相对的均衡性，是“连乘积公式”的基础条件，如果没有相对的均衡性这一基础条件，就没有“连乘积公式”。

唯一能够体现“连乘积公式”的价值与意义的地方，就是“‘连乘积公式’的计算结果是相对合理的近似值”，这是“连乘积公式”的精髓，如果“连乘积公式”的计算结果不是相对合理的近似值，“连乘积公式”就没有任何价值和意义。

   已知在运用“连乘积公式”的过程中，无论进行多少次筛除，出现多少次误差，累计的误差率都不会无限扩大，不会成为严重影响计算结果精确度的较大误差。这说明“连乘积公式”自身对误差具有调控功能。如果对误差产生的过程进行分析，利用“连乘积公式”的基础条件，找出“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能，这可以进一步强化“连乘积公式”的合理性与适用性，这对于只需要证明存在一对素数对的哥猜完全是绰绰有余。

   运用“区域分析法”，可以发现和找出“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能的所在之处，从而进一步强化“连乘积公式”的合理性。

作者: 志明 时间: 2019-9-25 15:00
本帖最后由志明于 2019-9-25 10:21 编辑

   通过分析一个简单的实例，阐明“区域分析法”的分析思路与分析方法。

   因为求“素数数量”的“连乘积公式”，与求“素数对数量”的“连乘积公式”的形成原理是相同的，因此，对它们误差的分析思路与分析方法基本也大致相同。为了在介绍“区域分析法”的分析思路与分析方法的过程中，尽可能地详细清晰。因此，用求“素数数量”的“连乘积公式”，对32这个较小的数进行逐次筛除，分析在筛除过程中的误差是如何产生的？找出公式自身对误差具有的调控功能是怎样形成与表现的？
   当A=32时，
   第一筛：分别筛去5、10、15、20、25、30这6个5的倍数，在分析过程中，把从1至32/5这个区域叫作32/5分析区。可知：在筛除小于√32的最大素数5的倍数时，也就是筛除32/5分析区(从1至32/5这个区域)范围内，1、2、3、4、5、6这6个整数分别与5的乘积，即：筛除1×5=5、2×5=10、3×5=15、4×5=20、5×25、6×5=30这6个数。

   按公式原理计算，第一筛应筛除的数量是32×1/5=32/5，而实际筛除了6个数，少筛了2/5个数，这个2/5的误差，是32/5分析区范围内(从1至32/5这个区域）的有效数的数值（整数数量）6，与公式计算值32/5之间的误差（32/5－6=2/5）。有效值小于计算值时是负差，有效值大于计算值时是正差，因此，2/5是负差。

   按公式计算，第一筛后，在从1至32的范围内，应留下32×(1－1/5）=128/5个数。而筛除后在从1至32的范围内留下的有效数的数值（整数数量）是26，比公式计算值128/5多2/5，（26－128/5=2/5）。可知：2/5是从1至32范围内第一筛后的误差。

   可知：第一次筛除产生的误差是正差2/5，筛除后的累计误差也是正差2/5。

   通过分析可知：当分析区范围内的有效数值小于公式计算值时，也就是出现负差时，此次筛除必定会产生与其绝对值相等的正差。

   同理，当分析区范围内的有效数值大于公式计算值时，也就是出现正差时，此次筛除必定会产生与其绝对值相等的负差。

   由此可得出

   定律①：当分析区范围内的有效数值与公式计算值存在误差时，此次筛除必定会产生与其绝对值相等，方向相反的误差。

   因为这是第一筛，因此，筛除之前在从1至A（32）的整体范围内，没有“有效数值”与“公式计算值”之间的误差现象（也就是0误差）。

   如果在筛除之前，在从1至A的整体范围内，“有效数值”与“公式计算值”之间有误差，也就在筛除之前有误差(第一筛之后基本都会有误差)，为了便于区别与表述，把从1至A的整体范围内的误差叫作总误差。

   根据定律①可推导得出：

      定律②：当分析区内的“有效数值”与“公式计算值”之间的误差，与筛除之前的总误差同方向时，此次筛除必定会产生与筛除之前的总误差方向相反的误差，此次筛除产生的误差对总误差会起到冲减作用，或改变总误差的方向。

   定律③：当分析区内的“有效数值”与“公式计算值”之间的误差，与筛除之前的总误差反方向时，此次筛除必定会产生与筛除之前的总误差方向相同的误差，此次筛除产生的误差，对总误差会起到增加作用，因此，总误差值会增加。

作者: 志明 时间: 2019-9-25 15:03
   第二筛：分别筛去3、6、9、12、18、21、24、27这8个3的倍数，在分析过程中，把从1至32/3这个区域叫作32/3分析区。可知：在筛除素数3的倍数时，也就是在32/3分析区范围内(从1至32/3这个区域），筛除掉1、2、3、4、6、7、8、9这8个整数分别与3的乘积（注意：在32/3分析区范围内，5和10这2个整数在第一筛中被筛除，因此，留下的有效数（整数）的数量是8），即：筛除1×3=3、2×3=6、3×3=9、4×3=12、6×3=18、7×3=21、8×3=24、9×3=27这8个数，

   按公式原理计算，第二筛应筛除的数量是:  32×(1－1/5)×1/3=32×4/5×1/3=128/15

      而实际筛除了8个数，少筛了8/15个数(128/15－8=8/15），也就是有效数的数量是8，比公式计算值128/15小8/15，也就是32/3分析区范围内(从1至32/3这个区域）出现负差(－8/15），根据定律①可知：本次筛除必定会产生与负差(－8/15)绝对值相等，方向相反的正差8/15。即：第二次筛除产生的误差是正差8/15。

      按公式计算，第二筛后，应留下
      32×(1－1/5)×(1－1/3)=32×4/5×2/3=256/15个数，

   而实际筛除后留下的是18个数(32－6－8=18)，有效数的数量是18，比公式计算值256/15大14/15，(18－256/15=14/15)，第二筛后的累计误差是正差14/15。

   已知：第一次和第二次筛除中所产生的误差分别是正差2/5和正差8/15，两次筛除的累计误差是正差2/5+8/15=14/15。与(18－256/15=14/15)相符。
因为在32/3分析区范围内，“有效数值”与“公式计算值”之间有负差(－8/15），并知：与筛除前的总误差（正差2/5）反方向，根据定律③可知：此次筛除产生的误差(正差8/15)，对总误差会起到增加作用，因此，总误差由筛除之前的正差2/5，增加到了正差14/15。（2/5+8/15=14/15）

作者: 志明 时间: 2019-9-25 15:07
     第三筛：分别筛去2、4、8、14、16、22、26、28、32这9个2的倍数。在分析过程中，把从1至32/2这个区域叫作32/2分析区。可知：在筛除素数2的倍数时，也就是在32/2分析区范围内，筛除掉1、2、4、7、8、11、13、14、16这9个整数分别与2的乘积（注意：在32/2分析区范围内，3、5、6、9、10、12、15这7个整数在第一、第二筛中被筛除，因此，只留下9个整数），即：筛除1×2=2、2×2=4、4×2=8、7×2=14、8×2=16、11×2=22、13×2=26、14×2=28、16×2=32这9个数。

   按公式原理计算，第三筛应筛除
   32×(1－1/5)×(1－1/3)×(1－1/2)=32×4/5×2/3×1/2=128/15

   而实际筛除了9个数，多筛了8/15个数(128/15－8=8/15），也就是有效数（整数数量）是9，比公式计算值128/15多7/15，（9－128/15=7/15），也就是32/2分析区范围内(从1至32/2这个区域）出现正差(7/15），根据定律①可知：本次筛除必定会产生与正差(7/15)绝对值相等，方向相反的负差(－7/15)。即：第三次筛除产生的误差是负差(－7/15)。

   按公式计算，第三筛后，应留下
   32×(1－1/5)×(1－1/3)×(1－1/2)=32×4/5×2/3×1/2=128/15个数，

   而实际筛除后留下的是9个数(32－6－8－9=9)，正差是7/15。(9－128/15=7/15)

   可知:第三次筛除过程中产生的误差是负差(－7/15)，筛除后的累计误差是正差7/15。14/15+(－7/15)=7/15

   因为在32/2分析区范围内，“有效数值”与“公式计算值”之间有正差7/15，并知：与筛除前的总误差（正差14/15）同方向，根据定律②可知，此次筛除产生的误差对总误差会起到冲减作用，或改变总误差的方向。实际情况也是这样，经过第三筛后，总误差由正差14/15冲减成为正差7/15。14/15－7/15=7/15

作者: 志明 时间: 2019-9-25 15:13
本帖最后由志明于 2021-6-14 23:21 编辑

   三次筛除的情况如下:

   第一筛产生的误差是正差2/5，筛后的累计误差也是正差2/5；
   第二筛产生的误差是正差8/15，筛后的累计误差是正差2/5+8/15=14/15；
   第三筛产生的误差是负差(－7/15)，筛后的累计误差是正差2/5+8/15－7/15=7/15。

   分析：
   已知：“连乘积公式”的基础条件是：“在从1至偶数A的范围内，素数倍数的分布和两个以上小于√A的素数的乘积倍数的分布，虽然不是绝对的均衡。但是，它们的分布还是具有相对的均衡性。”因此，在运用“连乘积公式”进行筛除的过程中，“在从1至偶数A的范围内出现的误差，其分布情况同样，虽然不是绝对的均衡，但是，它们的分布还是具有相对的均衡性。”“误差的分布具有相对的均衡性。”这一必然现象，是由“连乘积公式”的基础条件所确定的。

   并知：随着筛除次数的增加，分析区的范围会不断增大。当累计的总误差较大，并且分析区的范围也较大时，（最大的A/2分析区的范围从1至A/2，占据了从1至A的一半），因为“误差的分布具有相对的均衡性。”因此，这时所有的误差不可能全部集中在分析区之外的范围，在分析区内必定会有与累计的总误差同方向的误差。根据定律②可知：此次筛除必定会出现与筛除之前累计的总误差方向相反的误差，此次筛除产生的误差，对之前累计的总误差会起到冲减作用，或改变总误差的方向。这是“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能。

   在前面的分析中也可看出这一现象，当累计的总误差相对较大时（正差14/15），在分析区范围内就有与累计的总误差同方向的误差（正差7/15），第三筛就产生了与累计的总误差方向相反的负差（－7/15），把总误差由正差14/15冲减成正差7/15。这是“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能在发挥作用。

    “误差的分布具有相对的均衡性”这一必然现象，是由“连乘积公式”的基础条件确定的，因此，“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能，是由“连乘积公式”的基础条件衍生出来的必然现象。

      即：“误差的分布具有相对的均衡性”，与“‘连乘积公式’的基础条件”是共存关系；

   “‘连乘积公式’自身对误差具有的调控功能”，与“误差的分布具有相对的均衡性”同样是共生关系。

      因此，“‘连乘积公式’自身对误差具有的调控功能”，与“‘连乘积公式’的基础条件”必然也是共存关系。

   由此可知：是“连乘积公式”的基础条件，确定了“连乘积公式”自身对误差必定具有调控功能。”因此，“连乘积公式”的计算结果必定是相对合理的近似值（误差率不会无限增大，误差率不会很大）。自身对误差具有调控功能的“连乘积公式”，对于只需要证明存在一对素数对的哥猜完全绰绰有余。

作者: 志明 时间: 2019-10-7 22:40
《运用“区域分析法”试证“哥猜公式”的误差率不会很高》
http://www.mathchina.com/bbs/for ... age%3D29&page=1

作者: 志明 时间: 2020-12-12 22:32
顶上去，

作者: wangyangke 时间: 2020-12-13 08:34
顶上去，

除雷明而外，有谁以为不是笑话么，，，，

笑话————

继鲁思顺——定理：鲁思顺是个二百五！——之后，陕西雷明举重若轻，轻松证明哥德巴赫猜想

作者: 愚工688 时间: 2020-12-15 08:36
如果把偶数M的素对分为两类：
条件a:两个数都不能被√（M-2）里面的所有素数整除；其数量记为S1（m);
条件b:大数不能被√（M-2）里面的所有素数整除而小数为√（M-2）里面的某个素数；其数量记为S2（m);
偶数全部的素对数量  S（m)则有  S（m)=S1（m)+S2（m)。
那么计算偶数的连乘式主要就是反映了符合条件a类的素对数量的变化情况。
在小偶数区域，连乘式的计算值与S1（m)的变化情况是比较接近的。

比如100里面偶数的素对计算实例：
Sp(m)：素数连乘式四舍五入后取整。
s1(m)——即是不含小于√M的素数的素对数量。
δ1(m)—— 即为Sp(m)对s1(m)的相对误差。
δ(m)—— 即为Sp(m)对全部素对S(m)的相对误差。

M= 6       ,S(m)= 1    ( s1= 1 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 1    ,δ(m)≈ 0    ,δ1(m)≈ 0
M= 8       ,S(m)= 1    ( s1= 1 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 1    ,δ(m)≈ 0    ,δ1(m)≈ 0
M= 10       ,S(m)= 2    ( s1= 2 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 1    ,δ(m)≈-.5    ,δ1(m)≈-.5
M= 12       ,S(m)= 1    ( s1= 1 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 1    ,δ(m)≈ 0    ,δ1(m)≈ 0
M= 14       ,S(m)= 2    ( s1= 1 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 1    ,δ(m)≈-.5    ,δ1(m)≈ 0
M= 16       ,S(m)= 2    ( s1= 1 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 1    ,δ(m)≈-.5    ,δ1(m)≈ 0
M= 18       ,S(m)= 2    ( s1= 2 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 3    ,δ(m)≈ .5    ,δ1(m)≈ .5
M= 20       ,S(m)= 2    ( s1= 1 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 1    ,δ(m)≈-.5    ,δ1(m)≈ 0
M= 22       ,S(m)= 3    ( s1= 2 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2    ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈ 0
M= 24       ,S(m)= 3    ( s1= 3 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 3    ,δ(m)≈ 0    ,δ1(m)≈ 0
M= 26       ,S(m)= 3    ( s1= 2 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 1    ,δ(m)≈-.667 ,δ1(m)≈-.5
M= 28       ,S(m)= 2    ( s1= 1 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 1    ,δ(m)≈-.5    ,δ1(m)≈ 0
M= 30       ,S(m)= 3    ( s1= 3 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 4    ,δ(m)≈ .333 ,δ1(m)≈ .333
M= 32       ,S(m)= 2    ( s1= 1 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 1    ,δ(m)≈-.5    ,δ1(m)≈ 0
M= 34       ,S(m)= 4    ( s1= 2 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 2    ,δ(m)≈-.5    ,δ1(m)≈ 0
M= 36       ,S(m)= 4    ( s1= 3 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 3    ,δ(m)≈-.25 ,δ1(m)≈ 0
M= 38       ,S(m)= 2    ( s1= 2 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 2    ,δ(m)≈ 0    ,δ1(m)≈ 0
M= 40       ,S(m)= 3    ( s1= 2 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2    ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈ 0
M= 42       ,S(m)= 4    ( s1= 3 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4    ,δ(m)≈ 0    ,δ1(m)≈ .333
M= 44       ,S(m)= 3    ( s1= 2 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2    ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈ 0
M= 46       ,S(m)= 4    ( s1= 2 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 2    ,δ(m)≈-.5    ,δ1(m)≈ 0
M= 48       ,S(m)= 5    ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4    ,δ(m)≈-.2    ,δ1(m)≈ 0
M= 50       ,S(m)= 4    ( s1= 3 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2    ,δ(m)≈-.5    ,δ1(m)≈-.333
M= 52       ,S(m)= 3    ( s1= 2 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2    ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈ 0
M= 54       ,S(m)= 5    ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4    ,δ(m)≈-.2    ,δ1(m)≈ 0
M= 56       ,S(m)= 3    ( s1= 2 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2    ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈ 0
M= 58       ,S(m)= 4    ( s1= 3 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2    ,δ(m)≈-.5    ,δ1(m)≈-.333
M= 60       ,S(m)= 6    ( s1= 5 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 5    ,δ(m)≈-.167 ,δ1(m)≈ 0
M= 62       ,S(m)= 3    ( s1= 2 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2    ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈ 0
M= 64       ,S(m)= 5    ( s1= 3 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 2    ,δ(m)≈-.6    ,δ1(m)≈-.333
M= 66       ,S(m)= 6    ( s1= 4 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 5    ,δ(m)≈-.167 ,δ1(m)≈ .25
M= 68       ,S(m)= 2    ( s1= 1 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2    ,δ(m)≈ 0    ,δ1(m)≈ 1
M= 70       ,S(m)= 5    ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4    ,δ(m)≈-.2    ,δ1(m)≈ 0
M= 72       ,S(m)= 6    ( s1= 5 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 5    ,δ(m)≈-.167 ,δ1(m)≈ 0
M= 74       ,S(m)= 5    ( s1= 3 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 3    ,δ(m)≈-.4    ,δ1(m)≈ 0
M= 76       ,S(m)= 5    ( s1= 3 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 3    ,δ(m)≈-.4    ,δ1(m)≈ 0
M= 78       ,S(m)= 7    ( s1= 5 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 5    ,δ(m)≈-.286 ,δ1(m)≈ 0
M= 80       ,S(m)= 4    ( s1= 3 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4    ,δ(m)≈ 0    ,δ1(m)≈ .333
M= 82       ,S(m)= 5    ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 3    ,δ(m)≈-.4    ,δ1(m)≈-.25
M= 84       ,S(m)= 8    ( s1= 7 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 7    ,δ(m)≈-.125 ,δ1(m)≈ 0
M= 86       ,S(m)= 5    ( s1= 3 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 3    ,δ(m)≈-.4    ,δ1(m)≈ 0
M= 88       ,S(m)= 4    ( s1= 3 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 3    ,δ(m)≈-.25 ,δ1(m)≈ 0
M= 90       ,S(m)= 9    ( s1= 8 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 8    ,δ(m)≈-.111 ,δ1(m)≈ 0
M= 92       ,S(m)= 4    ( s1= 3 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 3    ,δ(m)≈-.25 ,δ1(m)≈ 0
M= 94       ,S(m)= 5    ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 3    ,δ(m)≈-.4    ,δ1(m)≈-.25
M= 96       ,S(m)= 7    ( s1= 6 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 7    ,δ(m)≈ 0    ,δ1(m)≈ .167
M= 98       ,S(m)= 3    ( s1= 3 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 4    ,δ(m)≈ .333 ,δ1(m)≈ .333
M= 100       ,S(m)= 6    ( s1= 5 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 5    ,δ(m)≈-.167 ,δ1(m)≈ 0

而在5万附近区域，连乘式的积与全部素对数量,S(m)则更接近。
示例：
M= 55000    ,S(m)= 569 ( s1= 560 ,s2= 9 ), Sp(m)≈ 556 ,δ(m)≈-.023 ,δ1(m)≈-.007
M= 55002    ,S(m)= 751 ( s1= 740 ,s2= 11 ),Sp(m)≈ 766 ,δ(m)≈ .02 ,δ1(m)≈ .035
M= 55004    ,S(m)= 361 ( s1= 357 ,s2= 4 ), Sp(m)≈ 375 ,δ(m)≈ .039 ,δ1(m)≈ .05
M= 55006    ,S(m)= 466 ( s1= 458 ,s2= 8 ), Sp(m)≈ 450 ,δ(m)≈-.034 ,δ1(m)≈-.017
M= 55008    ,S(m)= 738 ( s1= 726 ,s2= 12 ),Sp(m)≈ 754 ,δ(m)≈ .022 ,δ1(m)≈ .039
M= 55010    ,S(m)= 499 ( s1= 492 ,s2= 7 ), Sp(m)≈ 500 ,δ(m)≈ .002 ,δ1(m)≈ .016
M= 55012    ,S(m)= 398 ( s1= 390 ,s2= 8 ),    Sp(m)≈ 400 ,δ(m)≈ .005 ,δ1(m)≈ .026
M= 55014    ,S(m)= 760 ( s1= 749 ,s2= 11 ), Sp(m)≈ 769 ,δ(m)≈ .012 ,δ1(m)≈ .027
M= 55016    ,S(m)= 432 ( s1= 424 ,s2= 8 ),    Sp(m)≈ 429 ,δ(m)≈-.007 ,δ1(m)≈ .012
M= 55018    ,S(m)= 380 ( s1= 374 ,s2= 6 ),    Sp(m)≈ 375 ,δ(m)≈-.013 ,δ1(m)≈ .003
M= 55020    ,S(m)= 1213 ( s1= 1198 ,s2= 15 ), Sp(m)≈ 1210 ,δ(m)≈-.002 ,δ1(m)≈ .01

作者: 愚工688 时间: 2020-12-15 08:57
本帖最后由愚工688 于 2020-12-15 01:05 编辑

在10万以上，连乘式的计算值逐渐偏移素对真值，相对误差基本上大于0；
并且随着偶数的增大逐渐趋于0.20附近。
连乘式的相对误差在1亿-500亿的取样样本的相对误差的统计计算数据：
（标准偏差的通用符号为σx ，μ-样本平均值）

100000000 - 100000098 : n= 50 μ= .1192  σx= .0013  δ(min)= .1156  δ(max)= .1224
1000000000 - 1000000098 : n= 50 μ= .1368  σx= .0004  δ(min)= .1356  δ(max)= .138
2000000000 - 2000000098 : n= 50 μ= .1406  σx= .0003  δ(min)= .1399  δ(max)= .141
3000000000 - 3000000098 : n= 50 μ= .1431  σx= .0002  δ(min)= .1425  δ(max)= .1435
4000000000 - 4000000098 : n= 50 μ= .1449  σx= .0003  δ(min)= .1441  δ(max)= .1456
5000000000 - 5000000098 : n= 50 μ= .1462  σx= .0003  δ(min)= .1456  δ(max)= .1468
5999999990 - 6000000088 : n= 50 μ= .1471  σx= .0002  δ(min)= .1466  δ(max)= .1474
8000000000 - 8000000050 : n= 26 μ= .1486  σx= .0002  δ(min)= .1481  δ(max)= .1490
10000000000-10000000098 : n= 50 μ= .1494  σx= .0002  δ(min)= .1491  δ(max)= .1497
15000000000-15000000098 : n= 50 μ= .15159 σx= .00014 δ(min)= .1511  δ(max)= .15185
20000000002-20000000100 : n= 50 μ= .15281 σx= .00011 δ(min)= .1525  δ(max)= .15307
30000000002-30000000100 : n= 50 μ= .15494 σx= .0001  δ(min)= .15474 δ(max)= .15519
40000000002-40000000100 : n= 50 μ= .15614 σx= .00008 δ(min)= .1559  δ(max)= .15637
50000000002-50000000100 : n= 50 μ= .1571  σx= .0001  δ(min)= .1569  δ(max)= .1573

很显然，在大偶数区域样本的标准偏差值比较小，样本内各个偶数的相对误差比较接近。它们素对数量的变化主要是由波动系数造成的：
例：偶数 M=2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37=7,420,738,134,810

G(7420738134810)= 30309948241,
inf( 7420738134810 *)≈  30233901517.1 ,Δ≈-0.00251,infS( 7420738134810 )= 5970222137.57 , k(m)= 5.0641167
G(7420738134812)= 5988387894,
inf( 7420738134812 *)≈  5973402863.3 , Δ≈-0.00250,infS( 7420738134812 )= 5970222137.57 , k(m)= 1.00053
G(7420738134814)= 5985233205,
inf( 7420738134814 *)≈  5970222137.6 , Δ≈-0.00251,infS( 7420738134814 )= 5970222137.57 , k(m)= 1

我们可以通过两个偶数的不同的波动系数 k(m)之比值，由一个偶数的素对真值推测出另外一个偶数的素对真值，精确度是很高的。
由偶数7420738134814的素对真值5985233205，通过波动系数之比求与偶数7420738134810的真值：
5985233205×5.0641167=30309919426.8；
计算精度=30309919426.8÷30309948241=0.99999905，很高。

作者: z1006p 时间: 2021-1-12 11:05
素数个数的边界公式

作者: z1006p 时间: 2021-1-12 11:07
素数个数的边界公式

作者: zengyong 时间: 2021-11-19 16:15
本帖最后由 zengyong 于 2021-11-29 18:46 编辑

f(n)=n\(\prod_{i=1}^m\left( 1-\frac{1}{p_i}\right)\)
是可以计算不大于n的素数个数的下限值的函数f(n)的公式。
2，3，5，...,pm是不大于\(\sqrt{n}\)的素数，
如果n是分母的倍数，就适合欧拉函数的要求，可以计算精确的素数个数。但是这种情况是极少的（如n=6,30）.
如果n不一定是分母的倍数，就不适合欧拉函数的要求。就不能看作是欧拉函数使用和判别真伪。
当n不一定是分母的倍数，它可以是计算不大于n的素数个数的下限值的函数f(n)的公式。这是经过数学证明的。
同时可经得起计算机的数据检验（完全正确，但是，你要会用才行啊）
同样道理，
d（n)=\(\frac{n}{2}\)\(\prod_{i=2}^m\left( 1-\frac{2}{p_i}\right)\)
是可以计算不大于n的素数对个数D（2n）的下限值的函数f(n)的公式. 它同样是i经过严格证明检验的。
所以d（n)可以用于证明哥德巴赫猜想。

以上两公式是在证明哥德巴赫猜想中运用连乘积的方法中比较科学正确的公式形式（已经有严格的数学证明）。

为什么要使用正确的下限值莱证明歌猜？理由有三点：
1. 歌猜命题就是一个“有没有”的命题，不是“有多少”的命题。
2. 素数的形成是没有周期性的规律的，无法用公式计算出素数的个数。计算素数对个数就更难了。因此，研究误差是吃力不讨好（对证明无功）。（当然，可以做另外的命题讨论）
3. 正确的下限值是可以找到严格正确的公式的（已经有严格的数学证明）。

作者: lusishun 时间: 2021-11-19 16:54
误差不大，是因为倍数出的规律是比例的关系

作者: lusishun 时间: 2021-11-27 05:24
误差的出现是，n/p不能精确表达，

作者: zengyong 时间: 2022-1-17 10:31
请教志明老师：
1、“在运用“连乘积公式”的过程中，无论进行多少次筛除，出现多少次误差，累计的误差都不会无限扩大，不会成为严重影响计算结果精确度的较大误差，这一奇妙的现象，似乎是难解之迷。”
答：这不是迷，而是“连乘积公式”已经很准确地对素数的倍数进行筛除，只不过是有一小小的误差而已。如果能够解决这一误差（变为負误差，即只多筛除一点点素数），那么就能使用“连乘积公式”证明猜想。
2、“其二、因为素数倍数的间距是相等的，两个以上小于√A的素数的乘积倍数的间距也是相等的，因此，在从1至偶数A的范围内，它们的分布虽然不是绝对的均衡。但是，它们的分布还是具有相对的均衡性。这种相对的均衡性，保证了“连乘积公式”的计算结果是相对合理的近似值（误差是有限的，误差率不会无限扩大）。
”“唯一能够体现“连乘积公式”的价值与意义的地方，就是“‘连乘积公式’的计算结果是相对合理的近似值”，这是“连乘积公式”的精髓“
答：十分同意此观点。
3、”运用“区域分析法”，可以发现和找出“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能的所在之处，从而进一步强化“连乘积公式”的合理性。“
答：十分同意此观点。但是，老师在以区域进行筛查的顺序为什么不从2的倍数，到3的倍数，到5的倍数，。。。。。。按照埃氏筛法从小到大呢（你的方法是先从5的倍数开始）。学生对这点不很明白。

作者: lusishun 时间: 2022-1-17 16:06
1，即多加强一点点，就可证明哥猜，说的太对了。
你看看倍数含量筛法，是不是与您的思想吻合

作者: 愚工688 时间: 2022-1-17 20:57
无论是使用连乘式计算偶数的素数对数量，还是使用哈-李公式那样的对数式来进行偶数的素数对数量的计算，都面临着一个随偶数数值的变化，相应的素对计算值的相对误差的变化问题。
研究不同数量级别的偶数的相应的素对计算值相对误差的变化问题，克服影响相对误差变化的因子，使得素对计算值的精度保持在一个比较好的范围内，使得我们的计算结果具有比较高的可信度。

我是不认同“运用“连乘积公式”的过程中，无论进行多少次筛除，出现多少次误差，累计的误差都不会无限扩大，不会成为严重影响计算结果精确度的较大误差，”的说法的，事实可以说明，随着偶数的不断增大，连乘式的计算值的相对误差的平均值将趋向于0.20附近。
在1亿附近的偶数素对的连乘式的计算值的相对误差的平均值在0.11左右；
在100亿附近的偶数素对的连乘式的计算值的相对误差的平均值在0.1495左右；
在500亿附近的偶数素对的连乘式的计算值的相对误差的平均值在0.157左右；
而在10万亿附近的偶数素对的连乘式的计算值的相对误差的平均值在0.175左右；
……
这是有规律的变化，而知道了相对误差的平均值变化规律，才能比较高精度的计算出实际偶数的素对计算值。

作者: zengyong 时间: 2022-1-17 22:25
只有真正了解产生误差的原因，“对症下药”，找出解决的办法。才是正道。否则，永远走不出误差困扰的谜团。
真相大白的那天已经不久了。

作者: lusishun 时间: 2022-1-18 05:15
别在误差的泥潭中遨游了，快跳出误差的泥，站在泥潭的边缘的高山，往下一看，那点误差不值一谈

作者: zengyong 时间: 2022-1-18 14:41
L先生说的对，只要证明和为偶数的素数对个数大于等于1就OK.
其它都是多余的。

作者: 志明 时间: 2022-2-13 14:01
本帖最后由志明于 2022-2-14 12:45 编辑

zengyong 发表于 2022-1-17 02:31
请教志明老师：
1、“在运用“连乘积公式”的过程中，无论进行多少次筛除，出现多少次误差，累计的误差都 ...

zengyong网友：您好！不知什么原因，近期很长时间都上不了数学网，昨晚才看到您的贴子。

根据“区域分析法”的分析思路，我觉得从小于√A的最大素数开始，按从大到小的顺序进行筛查分析，才能显示出“区域分析法”的优点和合理性。

“区域分析法”是通过分析，根据筛除过程中出现的累计误差的分布情况，可以确定此次筛除出现的误差值和误差方向。从而可知“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能，从而可以确保“连乘积公式”的计算结果是相对合理的近似值（误差是有限的，误差率不会无限扩大）。

根据分析推理可知：在筛除素数Ｐ的倍数时，在相对应的分析区（从1至Ａ／Ｐ）范围内，如果有与筛除之前的累计误差同方向的误差，此次筛除就会出现与分析区（从1至Ａ／Ｐ）范围内误差值相等，与之前累计误差方向相反的误差。因此，当出现这种情况时，此次筛除出现的误差，对筛除之前的累计误差起到冲减作用。

已知：在从1至偶数A的范围内，素数倍数具有相对的均衡性。由此可知：逐步筛除过程中出现的累计误差，在从1至偶数A的范围内，虽然其分布的相对均衡性，可能比素数倍数具有的相对均衡性更差一点，但同样具有相对的均衡性。因此，在逐步筛除过程中，当累计误差率相对较大，相对应的分析区范围较大时（分析区的最大范围是从1至Ａ／2），所有的误差不可能全部集中在分析区之外（从Ａ／Ｐ至Ａ）的范围内。在相对应的分析区（从1至Ａ／Ｐ）范围内，必然会出现与筛除之前的累计误差同方向的误差。在这种情况下出现的误差，可以对之前的累计误差起到冲减作用。

已知：素数越大，分析区的范围越小；素数越小，分析区的范围越大。分析区的最大范围是从1至Ａ／2。

并知：相对应的分析区范围越大，越能显示“区域分析法”的合理性。因此，按从大到小的顺序进行筛查分析，更能显示出“区域分析法”的作用和合理性。

作者: zengyong 时间: 2022-2-14 21:48
本帖最后由 zengyong 于 2022-2-14 13:50 编辑

志明老师：
我已明白您分析区的意图是减小误差。但是不知您能否做到。因为我的看法是想做到精确的无误差是很困难的。

我的做法是，把正误差变为负误差。即把使计算素数个数（或素数对）的得数有很小的一个正误差想办法变为负的误差，通过这样的处理，让计算值准确无误的
得到素数个数的下限（同时腰大于某数值）和素数对个数的下限，.那么就可以用这个素数和素数对个数的下限证明哥德巴赫猜想。
连乘积的计算结果有较小的正误差，但处理得当，使之变为负误差时不难的。

至于分区，筛法就已经很好的分区了（是由小到大）。

作者: 志明 时间: 2022-2-14 23:59
本帖最后由志明于 2022-2-14 16:01 编辑

zengyong 发表于 2022-2-14 13:48
志明老师：
我已明白您分析区的意图是减小误差。但是不知您能否做到。因为我的看法是想做到精确的无误差是 ...

   您误解了，网上对“连乘积公式“误差形成的原因进行分析的贴子较多，但对于误差的分布情况进行分析的似乎很少，因此，很容易被误解。“区域分析法”中所说的相对应的分析区，与您所说的“至于分区，筛法就已经很好的分区了（是由小到大）。”中的分区完全不同。

“区域分析法”并不是为了减小误差，“区域分析法”是通过对“连乘积公式“误差的分布情况进行分析，证明“连乘积公式“自身对误差具有的调控功能，从而进一步确认“连乘积公式”的计算结果是相对合理的近似值（误差是有限的，误差率不会无限扩大）。

   我觉得，“连乘积可以表示素数对数量相对合理的近似值”并没有被数学界和数学权威确认。“连乘积可以表示素数对数量相对合理的近似值”这一实际情况，在数学界和数学权威的眼中，可能只是在可验证的范围内的现象。也就是数学界和数学权威认为，连乘积公式在不能验证的范围，不能确定其误差率不会无限扩大。

   如果“连乘积可以表示素数对数量相对合理的近似值”被数学界和数学权威确认。那连乘积被确认的精确度最低也不会低于30%至20%，因为数学界和数学权威，不可能会把精确度低于30%至20%的公式确认是近似值公式。
　
　 “连乘积公式”的精确度只要有10%，甚至更低，就能运用“连乘积公式”推导证明哥猜成立。因此，我认为“进一步证明确认连乘积可以表示素数对数量相对合理的近似值，”很重要。

   您是不是想通过对“连乘积公式”进行修改，或添加修正系数，从而使公式的计算值符合证明要求？

作者: zengyong 时间: 2022-2-15 12:04
是的，我仅考虑将“连乘积公式”进行处理和定义，使其能够满足证明歌德巴赫猜想的要求。

比如说，我已经证明能够表为偶数的素数对个数大于 pm/4 . (pm是小于偶数的平方根的最大的素数)。
当偶数大于一定值x， pm/4就大于1或者3，换句话说，已经可以证明大于x的偶数必定会有1对或
1对以上的素数对（两素数之和等于偶数）

你认为这个思路行锝通吗？

作者: 志明 时间: 2022-2-15 21:51
本帖最后由志明于 2022-2-15 13:57 编辑

zengyong 发表于 2022-2-15 04:04
是的，我仅考虑将“连乘积公式”进行处理和定义，使其能够满足证明歌德巴赫猜想的要求。

比如说，我已经 ...

“偶数的素数对个数大于 pm/4 .(pm是小于偶数的平方根的最大的素数)。” 与“和为偶数N的素数对数量的最低值必定会大于√N/4，“的本质是一样的，后者早已有不少网友有证明和论述，我在
http://www.mathchina.cn/bbs/foru ... p;extra=&page=3的25楼也有“当偶数N大到一定的程度，和为偶数N的素数对数量的最低值必定会大于√N/4，”这样的表述。

   这一证明结果，都是以“连乘积可以表示素数对数量相对合理的近似值”为前题推导得出的。“连乘积可以表示素数对数量相对合理的近似值”是这一证明结果的推理依据和数理基础。我在前面的回贴中已说过，“连乘积可以表示素数对数量相对合理的近似值”并没有被数学界和数学权威确认，因此，以此为推理依据得出的“和为偶数N的素数对数量的最低值必定会大于√N/4，“同样不能被确认。这也是，我认为“进一步证明确认连乘积可以表示素数对数量相对合理的近似值，”很重要的原因。

   您考虑将“连乘积公式”进行处理和定义，使其能够满足证明歌德巴赫猜想的要求。

   我的看法是：“连乘积公式”的精确度虽然不是很完美，但是“连乘积公式”有数理支撑，并且在推导过程也符合逻辑。因此，“连乘积公式”的作用和价值虽然没有被完全确认，但似乎也没有权威人士彻底否定。对“连乘积公式”进行处理和定义，难点是发现和找出进行处理和定义的理论基础，能有数理支撑，就能成功。

   祝您成功！

作者: zengyong 时间: 2022-2-16 01:00
志明老师：

谢谢您！您的意见很中肯和正确。使我找到努力的方向和关键问题。其实，我一直认为能严格证明
歌猜数（即素数对个数）大于1就OK。没想到专家的要求更高。我一定能做到您的意见：“对“连
乘积公式”进行处理和定义，难点是发现和找出进行处理和定义的理论基础，能有数理支撑，.......“
其实今晚我已找到个别误差10%的情况。
再次感谢您的指教！

作者: 志明 时间: 2022-2-18 20:25
本帖最后由志明于 2022-2-18 15:00 编辑

愚工688 发表于 2022-1-17 12:57
无论是使用连乘式计算偶数的素数对数量，还是使用哈-李公式那样的对数式来进行偶数的素数对数量的计算，都 ...

愚工688先生：您好！

   您说：您不认同“运用“连乘积公式”的过程中，无论进行多少次筛除，出现多少次误差，累计的误差都不会无限扩大，”的说法。

   您的这一观点是对的，是我在表述中有误，不是累计的误差都不会无限扩大，应该是连乘积在逐步筛除过程中，累计误差率不会无限扩大。

   现已更改，谢谢指正！

   您是计算高手，您说的“事实可以说明，随着偶数的不断增大，连乘式的计算值的相对误差的平均值将趋向于0.20附近。”这一情况，不知是正差还是负差？或者是在两者之间上下波动？

   如果只是正差（素数对的数量大于公式的计算值）的话，并且，误差值是标准的”连乘积公式“计算值，与标准的素数对数量比较的结果。那就有部分误差不属于”连乘积公式“的误差。因为按”连乘积公式“的形成原理，含小于√N（N是任意一个较大的偶数）的素数的素数对是被筛除掉的。当偶数N非常大的时候，含小于√N（N是任意一个较大的偶数）的素数的素数对数量不会很小。因此，用剔除含小于√N（N是任意一个较大的偶数）的素数的素数对数量之后的素数对数量，与”连乘积公式“的计算值进行比较得出的数值，才是”连乘积公式“的真正误差。

作者: 志明 时间: 2022-2-18 20:46

zengyong 发表于 2022-1-17 14:25
只有真正了解产生误差的原因，“对症下药”，找出解决的办法。才是正道。否则，永远走不出误差困扰的谜团。 ...

您好！

“在从1至偶数A的范围内，素数的倍数与两个以上小于√A的素数乘积的倍数的分布不是绝对的均衡。”这一实际情况，与公式形成过程中所设定的条件不是完全相符。由此确定了“连乘积公式”不是精确表达式，计算结果因此会出现误差，这是“连乘积公式”误差的根源。这也许只是粗浅的观点。

要“对症下药”找出解决的办法，可能要在更深的层次进行探索。祝您成功！

作者: zengyong 时间: 2022-2-18 22:34
本帖最后由 zengyong 于 2022-2-18 14:40 编辑

志明老师：
   您好！
   “连乘积公式”是遵循了素数倍数形成的规律和Eratosthe筛法推导得出的公式，是具有理论基础和结合实际的公式。
我认为它是目前计算素数或素数对个数下限值最好的公式！
   依照您的指导，我已经在此公式计算出最好的误差结果，当pm=197, 2n=28810,sushu素数对计算结果为310.477...,
实际数是312个，误差仅为0.43% . 见下图：

作者: 愚工688 时间: 2022-2-18 23:40
本帖最后由愚工688 于 2022-2-18 15:43 编辑

“连乘积公式”是符合Eratosthe筛法而推导得出的公式，在小偶数区域，是比较与实际素对的数量相近的。

示例：
例：偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，其半值A= 454，其分成两个素数对A±x的变量x的取值区间[0，A-3]中含有的整数为( 908/2- 2)个，
因此，其构成素对的x值的计算式是：
Sp( 908)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15

具体到每一步的含义：
1/2——[0，A-3]中满足除以2的余数不等于j2的数的发生概率；
( 1/ 3)—— [0，A-3]中满足除以3的余数不等于j3与（3-j3）的数的发生概率；
( 3/ 5)—— [0，A-3]中满足除以5的余数不等于j5与（5-j5）的数的发生概率；
( 5/ 7)—— [0，A-3]中满足除以7的余数不等于j7与（7-j7）的数的发生概率；
……
这里的j2,j3,…,jn,…，jr系偶数半值A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。

因此依据概率的独立事件的乘法定理：
在自然数[0，A-3]区域中除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r-jr)的x值的分布概率P(m)，
有P(m)=P(2*3*…*n*…*r)
=P(2)P(3)…P(n)…P(r).
即有
Sp( 908)=( 908/2- 2)*P(m)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15
A= 454 ，
x= : 33 , 45 , 87 , 117 , 123 , 147 , 177 , 255 , 273 , 297 , 303 , 315 , 357 , 375 , 423 ,
M= 908 S(m)= 15 S1(m)= 15 Sp(m)≈ 15 δ(m)≈ 0 K(m)= 1 r= 29

当然大多数偶数的素对数量与计算值之间是有一点误差的，但是相对误差大多是比较小的。
在小偶数区域，符合条件ａ的素对实际数量与概率计算值Sp(m)是比较接近的。

如它们的值点的连线图就可以看出这一点：
图上计算值参数含义：
Sp(m)——连乘式计算值；
S(m)——偶数M的素对总数；
S1(m)——偶数M的素对中小素数大于√M的素对数量；
K(m)—— M含有的奇素因子构成的系数；
K(m)= π[(k-1)/(k-2)],
K(m)为偶数M的素因子系数，也可以称为表法数数量的波动系数。（这里素对表法数数量采用的是单记法，不含有奇素因子的偶数的素因子系数为1.。）可以从图上看到，K(m)的脉动是很规律的。

[attach]107586[/attach]
[attach]107587[/attach]

作者: 志明 时间: 2022-2-18 23:46
本帖最后由志明于 2022-2-19 02:02 编辑

zengyong 发表于 2022-2-18 14:34
志明老师：
您好！
“连乘积公式”是遵循了素数倍数形成的规律和Eratosthe筛法推导得出的 ...

您好！

请不要称我为老师，我不是老师，更当不了您的老师，叫我志明更合适。您的学识水平和数学知识等都比我强得多，我说的那些观点和看法，基本都是众所周知的东西，根本谈不上指导。您发的东西，我完全看不懂。我只是以前曾经用自己非常粗浅的数学知识，在这道题上作过一些探索。现在纯粹就是一个贪玩的老顽童，以玩为主（天天忙于与朋友在一起玩乐器），偶尔与网友们交流一下个人观点，

祝您成功！

作者: zengyong 时间: 2022-2-19 12:39
三人行，必有我师。谢谢！

作者: zengyong 时间: 2022-2-19 12:41
本帖最后由 zengyong 于 2022-2-19 19:06 编辑

请不要诋毁或低估“连乘积”！
下图仅供参考。

作者: 志明 时间: 2022-2-19 13:32

zengyong 发表于 2022-2-19 04:41
请不要诋毁或低估“连乘积”！
下图仅供参考。

zengyong先生：您好！

非常赞同您”请不要诋毁或低估‘连乘积‘！“这一观点！

今天下雨没出去玩，转发一个很早以前的贴子，贴子中的那个图，与您发的图应该是类似的，但区域更大一些，可供参考。
http://www.mathchina.cn/bbs/foru ... p;extra=&page=1

作者: 数学小白新 时间: 2022-2-19 19:26
路过，看一下，！！

作者: 愚工688 时间: 2022-2-20 12:56
本帖最后由愚工688 于 2022-2-20 05:23 编辑

按照“在自然数[0，A-3]区域中除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r-jr)的x值”的方法，我们可以找出全部的符合不能被√M内素数整除的素对{A-x,A+x}的数量S1(m)，但是按照连乘式计算的计算值的相对误差，则会随着偶数Ｍ的增大而发生偏离０位现象。
例如：1000万以下含有最多素因子的偶数9699690，它的素对情况：
All keys of dividing  9699690  into two prime numbers:（这是一个2273kb的大文本，摘录如下）
4849723 + 4849967  4849639 + 4850051  4849631 + 4850059 ……　 47 + 9699643  43 + 9699647  41 + 9699649  37 + 9699653  23 + 9699667
M= 9699690 S(m)= 124180  S1(m)= 124031  Sp(m)= 136157.51 Δ(m)= .1 K(m)= 4.38  r= 3109

可以看到偶数9699690的素对数量的连乘式计算值的相对误差是0.1，稍微大了点。这是否是偶尔现象呢？显然不是。

再看一些与9699690相邻的偶数：
G(9699670) = 38083；Sp( 9699670 )≈  41639.4 , Δ≈0.0934, k(m)= 1.33971
G(9699672) = 57905；Sp( 9699672 )≈  63543 , Δ≈0.0974, k(m)= 2.04444
G(9699674) = 28316；Sp( 9699674 )≈  31109.2 , Δ≈0.0986, k(m)= 1.00091
G(9699676) = 33946；Sp( 9699676 )≈  37297 , Δ≈0.0987, k(m)= 1.2
G(9699678) = 56791；Sp( 9699678 )≈  62161.7 , Δ≈0.0946, k(m)= 2
G(9699680) = 37868；Sp( 9699680 )≈  41441.1 , Δ≈0.0944, k(m)= 1.33333
G(9699682) = 28846；Sp( 9699682 )≈  31838.9 , Δ≈0.1038, k(m)= 1.02439
G(9699684) = 56814；Sp( 9699684 )≈  62161.7 , Δ≈0.0941, k(m)= 2
G(9699686) = 28225；Sp( 9699686 )≈  31080.9 , Δ≈0.1012, k(m)= 1
G(9699688) = 29508；Sp( 9699688 )≈  32232 , Δ≈0.0923, k(m)= 1.03704
G(9699690) = 124180；Sp( 9699690 )≈ 136157.5 ,Δ≈0.0965, k(m)= 4.38075

G(9699692) = 28588；Sp( 9699692 )≈  31371.4 , Δ≈0.0974, k(m)= 1.00935
G(9699694) = 28853；Sp( 9699694 )≈  31674.7 , Δ≈0.0978, k(m)= 1.01911
G(9699696) = 56629；Sp( 9699696 )≈  62161.8 , Δ≈0.0977, k(m)= 2
G(9699698) = 31437；Sp( 9699698 )≈  34600.7 , Δ≈0.1006, k(m)= 1.11325
G(9699700) = 37677；Sp( 9699700 )≈  41441.2 , Δ≈0.0999, k(m)= 1.33333
G(9699702) = 56566；Sp( 9699702 )≈  62161.8 , Δ≈0.0989, k(m)= 2
G(9699704) = 33976；Sp( 9699704 )≈  37297.1 , Δ≈0.0977, k(m)= 1.2
G(9699706) = 28220；Sp( 9699706 )≈  31121.9 , Δ≈0.1028, k(m)= 1.00132
G(9699708) = 56493；Sp( 9699708 )≈  62161.9 , Δ≈0.1003, k(m)= 2
G(9699710) = 37789；Sp( 9699710 )≈  41625.4 , Δ≈0.1015, k(m)= 1.33926

很显然与9699690前后的一些偶数的连乘式的计算值的相对误差都是大小差不多的。这就是使用连乘式计算偶数素对数量的计算值相对误差，则会随着偶数Ｍ的增大而发生偏离０位的现象。
但是这个偏离是有限的，趋向于0.20附近。
例如在100万亿的偶数的连乘式计算值的偏离0位将达到0.18左右。
G(1e14)=90350630388,(3.52hour，μ=.18211309 ）；
Sp( 100000000000000 *) = 1/(1+ .1785 )*( 100000000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 90627630904.7 ，Δ≈0.00306584,

作者: 朱明君 时间: 2022-2-21 21:08
本帖最后由朱明君于 2022-2-21 13:23 编辑

志明发表于 2019-9-25 07:13
三次筛除的情况如下:

第一筛产生的误差是正差2/5，筛后的累计误差也是正差2/5；

32以内的质数个数算法
第1步，32/2=16个奇数、，为了计算简捷我们直接将奇数1改成质数2，
第2步，(16-2)/3=4，(取整数)，  4个合数  （9，15，21，27）
笫3步，(16-8)/5=1，(取整数)，  1个合数    25，
32/2-(4+1)=11个质数。这11个质数两两相加时(其中包括质数自身相加)，就会得到从4到62的连续偶数。

质数的对应偶数计算公式：设奇质数为X,对应偶数为y，
则{(X^2+1)/2}-X=y,
3=2, 5=8, 7=18, 11=50, 13=72， 17=128，  19=162，-------。
设奇质数为X, (小于该奇质数的所有质数为x1,x2,x3,…xn), 对应偶数为y，
则[(x^2+1)/2-y]/x1=Z(取整数),其中[(x^2+1)/2]>y.

32=3+29=13+19

双筛
32/2=16组
第1筛去掉2的所有倍数存下8组，
1， 3，  5，  7，  9， 11， 13，15，
31，29，27，25，23，21， 19，17，
第2筛去掉除3外所有3的倍数，存下4组，
1， 3，  7， 13，
31，29，25，19，
第3筛去掉除5外所有5的倍数，存下3组，
1，  3， 13，
31，29， 19，
再去掉1，存下2组，
3，  13，
29，19，

作者: 志明 时间: 2022-2-23 20:13
本帖最后由志明于 2022-2-23 12:32 编辑

朱明君发表于 2022-2-21 13:08
32以内的质数个数算法
第1步，32/2=16个奇数、，为了计算简捷我们直接将奇数1改成质数2，
第2步，(16 ...

您好！

您说的是连乘积筛法的历次筛除情况。我是运用“区域分析法“对32这个实例进行分析。以此说明，“区域分析法“通过对连乘积筛除过程中累计误差分布情况的分析，可以证明连乘积公式对误差具备调控功能，可以进一步证明连乘积公式的误差率不会无限增大，确认连乘积公式的计算值是相对合理的近似值。

在此，按“区域分析法“的思路与方法讲详细一点。

第一筛: 筛除素数5的倍数时，实际就是在32/5分析区范围内(从1至32/5这个区域），1、2、3、4、5、6这6个整数分别与5的乘积要被筛除，即：筛除掉1×5=5、2×5=10、3×5=10、4×5=20、5×5=20、6×5=30这6个数。

　　按连乘积公式计算，第一筛应筛除32×1/5＝32/5个数。而在32/5分析区范围内(从1至32/5）这个区域内，实际的有效数是1、2、3、4、5、6、这6个整数。也就是分析区内的有效数值比公式计算值少2/5。当分析区范围内的有效数值比公式计算值更小时，把这种情况叫作负差（6－32/5＝－2/5）。根据分析推理可知：分析区内的有效数值与公式计算值有误差时，此次筛除会出现与其误差的绝对值相等，方向相反的误差。

由于分析区范围内出现了负差2/5，因此，此次筛除会出现正差2/5。事实情况也是这样：

按连乘积公式计算，筛除后应留下32×（1－1/5）＝128/5，实际32筛除6个数后余下26个有效数值，比公式计算值多2/5。（26－128/5＝2/5）

第一次筛除产生的误差是正差2/5，筛除后的累计误差也是正差2/5。

　　第二筛：筛除素数3的倍数时，实际就是在32/3分析区范围内(从1至32/3这个区域），剔除5的倍数之后的1、2、3、4、6、7、8、9这8个整数（注意：在32/3分析区范围内，5和10这2个整数在第一筛中被筛除），分别与3的乘积要被筛除，即：筛除掉1×3=3、2×3=6、3×3=9、4×3=12、6×3=18、7×3=21、8×3=24、9×3=27这8个数。

　　按连乘积公式计算，第二筛应筛除32×（1－1/5）×1/3＝128/5×1/3＝128/15个数。而在32/3分析区范围内(从1至32/3这个区域），剔除5的倍数之后的有效数是1、2、3、4、6、7、8、9这8个整数。分析区范围内的有效数值比公式计算值少8/15，（8－128/15＝－8/15）即：分析区范围内出现了负差8/15。根据分析推理可知：此次筛除会出现正差8/15。

　　并知：第一次筛除产生了正差2/5，第二次筛除产生了正差8/15，两次筛除后的累计误差是正差14/15。（2/5+8/15＝14/15）
　　
　　实际情况也是这样，按公式计算，第二筛后应留下32×(1－1/5)×(1－1/3)=32×4/5×2/3=256/15个数，实际筛除后留下的是18个数(32－6－8=18)，有效数值18，比公式计算值256/15大14/15，(18－256/15=14/15)，第二筛后的累计误差是正差14/15。

　　第三筛：筛除素数2的倍数时，实际就是在32/2分析区范围内(从1至32/2这个区域），剔除5和3的倍数之后的1、2、4、7、8、11、13、14、16这9个整数（注意：在32/2分析区范围内，3、5、6、9、10、12、15这7个整数在第一、第二筛中被筛除，因此，只留下9个整数），分别与2的乘积要被筛除，即：筛除1×2=2、2×2=4、4×2=8、7×2=14、8×2=16、11×2=22、13×2=26、14×2=28、16×2=32这9个数。

　　按连乘积公式计算，第三筛应筛除32×（1－1/5）×（1－1/3）×1/2＝128/15个数，而在32/2分析区范围内(从1至32/2这个区域），剔除5和3的倍数之后有效数是1、2、4、7、8、11、13、14、16这9个整数。分析区范围内的有效数值比公式计算值多8/15，（9－128/15＝7/15）即：分析区范围内出现了正差7/15。由此可知：此次筛除会出现负差7/15。

　　并知：第一次筛除产生了正差2/5，第二次筛除产生了正差8/15，第三次筛除产生了负差7/15，三次筛除合计的累计误差是正差7/15。（2/5+8/15－7/15＝7/15）

　　实际情况也是这样，按公式计算，第三筛后应留下
32×(1－1/5)×(1－1/3)×(1－1/2)=32×4/5×2/3×1/2=128/15个数，
　　
　　而实际三次筛除后留下的是9个数(32－6－8－9=9)，有效数值是9，比公式计算值128/15大7/15，(9－128/15=7/15)，第三筛后的累计误差是正差7/15。

　　分析推理：

　　因为分析区的最大范围可达到从1至A/2（Ａ表示任意一个较大的偶数），分析区之外的范围最小时只是从A/2至Ａ。因此，当误差率相对较大，分析区也相对较大时。之前的累计误差不可能全部聚集在分析区之外的区域。在分析区范围内，必然会出现与筛除之前累计误差同方向的误差。因而，此次筛除必然会产生与之前累计误差方向相反的误差，冲减之前的累计误差。

　　例如：在第三次筛除时，筛除之前的累计误差率相对较大（正差14/15），分析区范围也相对较大（从1至32/2）。在这个相对较大的分析区范围内，就出现了与之前累计误差同方向的误差（正差7/15），第三筛就产生了与筛除之前累计误差方向相反的负差（－7/15），把之前的累计误差正差14/15冲减成正差7/15。这是“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能在发挥作用。以此可进一步证明连乘积公式的误差率不会无限增大，可确认连乘积公式的计算值是相对合理的近似值。

作者: 朱明君 时间: 2022-2-23 21:14
[attach]107711[/attach]

作者: zengyong 时间: 2022-2-24 17:07
本帖最后由 zengyong 于 2022-2-24 09:08 编辑

1、运用概率的方法证明哥德巴赫猜是错误的。或者说是无意义的。早在几十年前华罗更就已经能够用概率的方法证明哥德巴赫猜想。
2、不存在精确的计算素数对个数的公式，所以误差是无法避免的。连乘积公式就是在这一基础上，使用埃筛法推导出计算素数对下限的的函数公式。
以此证明大于4的偶数必定有1对或多于1对的素数对存在。以此证明了猜想。
3、由连乘积公式又可以推导出：当偶数大于122，每一个大于4的偶数的素数对个数都大于pm/4。（这是绝对的正确，不可怀疑）
4、从连乘积公式的构成就决定它的计算误差会有小范围的波动，但随着偶数的增大，总的趋势是误差越来越小（当然在无穷大的情况下极限会等于0）。
计算机在【122，55000】的数据就正确的反应了这一特征。而在偶数极大，超出计算机的计算精度得出的数据是不可靠的（违背了公式的数理）。
5、而在计算机已经得出：当偶数大于 9699690 有 124180个素数对，还在为误差甚小的问题对是否能证明猜想纠结不清是可笑的。
6、还可使用圆法很直观地证明哥德巴赫猜想，同时也证明连乘积公式是正确的。

作者: 志明 时间: 2022-2-24 22:22
本帖最后由志明于 2022-2-24 15:59 编辑

zengyong 发表于 2022-2-24 09:07
1、运用概率的方法证明哥德巴赫猜是错误的。或者说是无意义的。早在几十年前华罗更就已经能够用概率的方法 ...

　　您好！

　1、运用概率的方法证明哥德巴赫猜是错误的。或者说是无意义的。

　　连乘积公式是根据素数倍数数量的占比情况推导得出的，也就是按比例关系推导得出的，与概率没有关系。即使有人在推导连乘积公式的过程中用了“概率”这个词，我觉得那也应该是口误，或用词不当。

　2、不存在精确的计算素数对个数的公式，所以误差是无法避免的。

　　赞同这一观点。

　3、由连乘积公式又可以推导出：当偶数大于122，每一个大于4的偶数的素数对个数都大于pm/4。（这是绝对的正确，不可怀疑）

　　赞同这一观点，

　　我曾在
http://www.mathchina.cn/bbs/foru ... p;extra=&page=3
　的25楼有“当偶数N大到一定的程度，和为偶数N的素数对数量的最低值必定会大于√N/4，”这样的表述。
　
　4、从连乘积公式的构成就决定它的计算误差会有小范围的波动，但随着偶数的增大，总的趋势是误差越来越小（当然在无穷大的情况下极限会等于0）。

　　我觉得把“误差“二字改为“误差率“更妥。

　　在
http://www.mathchina.cn/bbs/foru ... p;extra=&page=4　
的32楼，我根据“区域分析法“进行推理。作了以下表述：

　　偶数A越大，“连乘积公式”对误差的调控功能的作用会相对发挥的更好，其结果是：误差率更低，精确度更高。当然，这不是绝对的，而是一种趋势。

　　“连乘积公式”的精确度会随着偶数的增大而增大，其精确度是向百分之百接近的。其依据是：……

　　我的这些观点，被网友否定，依据是计算出的实际数值并不是这样。对于用电脑计算，我完全是菜鸟。另外，我本人的数学知识也非常有限，因此，在实际数据面前，我不能肯定我的观点一定是对的。但是，根据“区域分析法“的分析推理，可以肯定是：“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能。以此可进一步证明连乘积公式的误差率不会无限增大，可以确认连乘积公式的计算值是相对合理的近似值。

作者: 志明 时间: 2022-2-26 20:51
朱明君

你的方法有误差，是你不能解决重复合数造成的，
=================================

“区域分析法“不是消除“连乘积“的误差，也不能消除“连乘积“的误差。而是通过对“连乘积“累计误差的分布情况，证明“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能在发挥作用。以此进一步证明连乘积公式的误差率不会无限增大，确认连乘积公式的计算值是相对合理的近似值。

作者: 朱明君 时间: 2022-2-26 21:57
11^2=121，
      第1步，(121+1)/2=61个奇数, 为了计算简捷我们直接将奇数1改成质数2，
      第2步，(61-2)/3=19,
      第3步，(61-8)/5=10, {10+[(5-1)/2]-2}/3=3, 10-3=7,
      第4步，(61-18)/7=6, {6+[(7-1)/2]-2}/3=2,    6-2=4,
      第5步，(61-50)/11=1,
      61-19-7-4-1=30个质数.

正整数121以内的质数个数有30个

我的算法能得到正确的质数个数

我的方法是用埃氏筛法计算出正整数x以内的所有合数的个数y，x-y=正确的质数个数，

作者: 志明 时间: 2022-2-27 21:16

朱明君发表于 2022-2-26 13:57
11^2=121，
第1步，(121+1)/2=61个奇数, 为了计算简捷我们直接将奇数1改成质数2， ...

1，应该用≈号的地方，您用＝号代替，是否有依据？依据是什么？

2，式子中的一些数据让人费解，应该把它们的来由说明清楚，免得让人看得莫名其妙。

3，这种算法的理论依据，运用方法要表达清楚。否则，再好的算法，别人也理解不了。

作者: 朱明君 时间: 2022-2-27 21:30
[attach]107811[/attach]

作者: 朱明君 时间: 2022-2-27 21:39
本帖最后由朱明君于 2022-2-27 14:00 编辑

1，应该用≈号的地方，您用＝号代替，是否有依据？依据是什么？

32以内的质数个数算法
第1步，32/2=16个奇数、，为了计算简捷我们直接将奇数1改成质数2， {2,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31}

第2步，(16-2)/3=4，(取整数)，  4个合数  （9，15，21，27） {2,3,5,7,11,13,,17,19,,23,25,29,31}
笫3步，(16-8)/5=1，(取整数)，  1个合数    25，{2,3,5,7,11,13,17,19,,23,29,31}
32/2-(4+1)=11个质数。这11个质数两两相加时(其中包括质数自身相加)，就会得到从4到62的连续偶数。

作者: 朱明君 时间: 2022-3-6 21:07
32/2-(4+1)=11个质数。这11个质数两两相加时(其中包括质数自身相加)，就会得到从4到62的连续偶数。

作者: yangchuanju 时间: 2026-8-10 05:59
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