数学中国

标题: 本原勾股方程 [打印本页]

作者: 蔡家雄 时间: 2020-2-19 18:51
标题: 本原勾股方程
本帖最后由蔡家雄于 2023-3-11 19:27 编辑

蔡家雄勾股数公式1

设 n^2=u*v ,且 n>1, u>v, n,u,v 均为正整数，

若 u,v 一奇一偶且互质及 n有t个不同的质因子，

则 (u-v)^2+(2n)^2=(u+v)^2 有2^(t-1)组本原勾股数。

由公式1，等式两边同时除以4，得

蔡家雄勾股数公式2

设 n^2=u*v ,且 n>2, u>v, n,u,v 均为正整数，

若 u,v 同奇且互质及 n有t个不同的质因子，

则 n^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2 有2^(t-1)组本原勾股数。

等差勾股方程与等和勾股方程及勾股弦方程

等差勾股方程

设 p 的素因子均为 8k -1型或 8k+1型，

且 a 与 p 互素，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 是本原勾股方程。

若 p 有 t个不同的素因子，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组通项公式。

求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =p 的最小2^t组正整数解，

设 xi, yi 表示每组的最小正整数解，

设 R1=xi, R2=yi, R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn, 得2^t组Rn数列

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是两直角边相差p 的本原勾股数。

由 \((y^2 - x^2)^2+(2xy)^2=(y^2+x^2)^2\) ,

设 \(x, y\) 为正整数，且 \(x < y\)，且 \(x与y\) 互素，

求 \(|y^2 - x^2 - 2xy| =2023\) 的 \(2^2\) 组 \(( x , y )\) 的通解公式，

即两直角边相差 \(2023\) 的本原勾股方程的通解公式。

\(x, y\) 是 \(A_{n}=\frac{(64 - 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 + 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(B_{n}=\frac{(88 - 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 + 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(C_{n}=\frac{(64 + 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 - 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(D_{n}=\frac{(88 + 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 - 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

等和勾股方程

设 p 的素因子均为 8k -1型或 8k+1型，

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= p ，

若 p 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组本原勾股数。

特例：
若 p 为素数或素数幂，

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组本原勾股数。

特殊勾股方程

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )

的本原勾股数，你能找到吗？

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )

的本原勾股数是存在的。

a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2

a, b 互质，且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.

勾股弦方程

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2n ,

若 2n 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组本原勾股数。

特例：
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组本原勾股数。

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )

作者: 蔡家雄 时间: 2020-2-19 18:58
本帖最后由蔡家雄于 2020-2-25 20:53 编辑

[attach]82274[/attach]
公共弦勾股数的个数公式

它与公共弦c的4x-1 型素数的指数无关，

均与公共弦c的4x+1型素数的指数有关，

设公共弦c中有t个4x+1型的素数，

它的指数为r1, r2, ... , rt,

则公共弦勾股数的个数公式为

[(1+2r1)*(1+2r2)*...*(1+2rt) -1]/2

定A勾股数解数及定C勾股数解数，200年前的大数学家Euler 早已发现！

作者: 蔡家雄 时间: 2020-2-19 19:34
本帖最后由蔡家雄于 2020-3-16 15:31 编辑

本原勾股数新公式

设 n为正整数，k为非负整数，

设 a= 2^(k+1)*(2^k+2n -1)
b= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k)
c= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k)+2^(2k+1)

则 a^2+b^2 =c^2

当 k=0 时，有 a=4n,  b=4*n^2 -1,  c=4*n^2+1.

当 k=1 时，有 a=8n+4,  b=(2n+1)^2 -4,  c=(2n+1)^2+4.

本原勾股数新公式

设 (2k -1) 与 (2n+1) 同奇且互素，

设 a= (2k -1)*(2n+1)
b= 2*n^2+4kn -2n
c= 2*n^2+4kn -2n+(2k -1)^2

则 a^2+b^2 =c^2

当 k=1 时，有 a=2n+1,  b=2*n^2+2n,  c=2*n^2+2n+1.

作者: 蔡家雄 时间: 2020-2-19 20:59
本帖最后由蔡家雄于 2025-3-17 21:49 编辑

等差勾股方程

设 \(p\) 的素因子均为 \(8k -1\) 型或是 \(8k+1\) 型，

且 \(a\) 与 \(p\) 互素，

则 \(a^2+(a+p)^2=c^2\) 是本原勾股方程。

若 \(p\) 有 \(t\) 个不同的素因子，

则 \(a^2+(a+p)^2=c^2\) 有 \(2^t\) 组通项公式。

求 \(a^2+(a+p)^2=c^2\) 的本原勾股数通项公式

设 \(x , y\) 为正整数，且 \(x < y\) ，且 \(x\) 与 \(y\) 互素，

求 \(Abs[y^2 - x^2 - 2*x*y] =p\) 的最小 \(2^t\) 组正整数解，

设 \(x_1 , y_1\) 表示每组的最小正整数解，

设 \(R_1=x_1 , R_2=y_1 , R_{n+2}= 2*R_{n+1}+R_n\) , 得 \(2^t\) 组\(R_n\)数列，

设 \(v , u\) 是 \(R_n\) 数列中连续的两项，

则 \((u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2 \)

是两直角边相差\(p\) 的本原勾股数。

由 \((y^2 - x^2)^2+(2xy)^2=(y^2+x^2)^2\) ,

设 \(x , y\) 为正整数，且 \(x < y\)，且 \(x\) 与 \(y\) 互素，

求 \(Abs[y^2 - x^2 - 2xy] =2023\) 的 \(2^2\) 组 \(( x , y )\) 的通解公式，

即两直角边相差 \(2023\) 的本原勾股方程的通解公式。

\(v , u\) 是 \(A_{n}=\frac{(64 - 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 + 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(v , u\) 是 \(B_{n}=\frac{(88 - 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 + 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(v , u\) 是 \(C_{n}=\frac{(64 + 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 - 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(v , u\) 是 \(D_{n}=\frac{(88 + 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 - 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

则 \((u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2 \)

是两直角边相差\(2023\) 的本原勾股数。

作者: wlc1 时间: 2020-2-19 21:10
本帖最后由 wlc1 于 2020-2-21 13:58 编辑

一道小题，朱火华先生会做吗？

公共弦C=125*841*89 的52组勾股数？

求不出：朱火华先生——丢人现眼！！

人们早已知道公共弦勾股数的解法，

用xxxxx2050 的口气：我干嘛要把解法告诉你，

就算你找到了公共弦勾股数的解法，

别以为自己在数学上发现了一个新大陆。

作者: 蔡家雄 时间: 2020-2-20 06:30
本帖最后由蔡家雄于 2025-4-11 12:38 编辑

罗士琳勾股数本原解公式

设奇数Q=m+n,（m,n 互质且 m>n, m,n 均为正整数）

则 [Q*(m-n)]^2+(2mn)^2=[m^2+n^2]^2 有 E/2组的本原勾股数。

其中，E 就是著名的 Euler 函数。但，不是朱火华的公式。

求 a^2+(a+23*49)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =23*49 的最小2^2组正整数解，

设 xi, yi 表示每组的最小正整数解，

设 R1=xi, R2=yi, R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn，得4组Rn数列

第1组 Rn=24, 29, 82, 193, 468, 1129, 2726, 6581, ...

第2组 Rn=26, 41, 108, 257, 622, 1501, 3624, 8749, ...

第3组 Rn=11, 48, 107, 262, 631, 1524, 3679, 8882, ...

第4组 Rn=19, 62, 143, 348, 839, 2026, 4891, 11808, ...

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是两直角边相差23*49 的本原勾股数。

作者: 蔡家雄 时间: 2020-2-20 06:56
本帖最后由蔡家雄于 2020-2-28 19:09 编辑

[attach]82166[/attach]
有的是：股平方+勾平方= 弦平方，

朱火华先生提倡：勾股不分，a,b 不分，

[attach]82471[/attach]
分析：朱火华的奇数为勾全部解公式，

反例：x^2=15^2=25*9,
15^2+[(25-9)/2]^2=[(25+9)/2]^2
15^2+8^2=17^2（15为股，8为勾）

朱明君先生何为勾，何为股都分不清，昏而不明，

作者: 蔡家雄 时间: 2020-2-20 10:40
本帖最后由蔡家雄于 2025-4-11 12:29 编辑

等和勾股方程

设 p 的素因子均为 8k -1 型或是 8k+1 型，

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= p ，

若 p 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组本原勾股数。

设 \(p\) 的素因子均为 \(8k -1\) 型或是 \(8k+1\) 型，

有 \(p\) 的素因子 \(= 7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 73, 79, 89, 97,\) ......

若 \(x^2 - 2*y^2 = ±(2^r*p)\) , ( \(2^r=1, 2, 4, 8, ...\) )

则 \(x^2 - 2*y^2 = ±(2^r*p)\) 必有正整数解和通解公式。

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= 7*17*23，

由 7*17*23 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组本原勾股数。

1-----( a=73, b=2664, c=2665 )

2-----( a=1425, b=1312, c=1937 )

3-----( a=1705, b=1032, c=1993 )

4-----( a=2173, b=564, c=2245 )

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= 71*73*79*89，

由 71*73*79*89 有 4个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(4-1)组本原勾股数。

1-----( a=1692817, b=34748856, c=34790065 )

2-----( a=9236565, b=27205108, c=28730333 )

3-----( a=12389217, b=24052456, c=27055745 )

4-----( a=21126105, b=15315568, c=26093657 )

5-----( a=23824017, b=12617656, c=26959025 )

6-----( a=24777285, b=11664388, c=27385613 )

7-----( a=33833865, b=2607808, c=33934217 )

8-----( a=35044317, b=1397356, c=35072165 )

作者: 朱明君 时间: 2020-2-21 08:09

wlc1 发表于 2020-2-20 23:42
一道小题，朱火华先生会做吗？

公共弦C=125*841*89 的52组勾股数？

王守恩老师，庄严老师，蔡老师，程老师会做

作者: 蔡家雄 时间: 2020-2-21 12:25
本帖最后由蔡家雄于 2025-4-11 12:34 编辑

蔡氏勾股弦方程

设 a+b= c+2n ,(n为任意正整数，都有本原解）

若 2n 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组本原勾股数。

特例：
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组本原勾股数。

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+7744 ,

由 7744 有 2个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组本原勾股数。

1-----( a=22385, b=9792, c=24433 )

2-----( a=7745, b=29992512, c=29992513 )

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )

作者: 蔡家雄 时间: 2020-2-21 19:47
特殊勾股方程

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )

的本原勾股数，你能找到吗？

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )

的本原勾股数是存在的。

a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2

a, b 互质，且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.

作者: 蔡家雄 时间: 2020-2-22 16:36
[attach]82234[/attach]

请看，朱火华的点评：

证明：朱火华连小学数学：都没学好！

作者: 朱明君 时间: 2020-2-22 16:57

蔡家雄发表于 2020-2-22 08:36
请看，朱火华的点评：

证明：朱火华连小学数学：都没学好！

[attach]82239[/attach]

作者: 蔡家雄 时间: 2020-2-22 17:44
[attach]82243[/attach]

这个图片，我是照着一本数论书输入word后的截图，

注意：不是 cai jiaxiong 的发现，但，我一直保存在PC中。

作者: 蔡家雄 时间: 2020-2-23 10:32
勾股数组会群英，宿世因缘聚数坛。

与君缘分若是浅，岂能功成到彼岸？

作者: 蔡家雄 时间: 2020-2-27 09:15
[attach]82425[/attach]
分析：朱火华的奇数为勾全部解公式，

反例：x^2=15^2=25*9,
15^2+[(25-9)/2]^2=[(25+9)/2]^2
15^2+8^2=17^2（15为股，8为勾）

朱明君先生何为勾，何为股都分不清，昏而不明，

作者: 3565111 时间: 2020-12-7 12:11

我给大家的见面礼是关于π的极简运算式求自然对数的底的不足近似值:π的(π-2)次方所得值乘以2,再把所的积开平方等于2.71823……,这是不足近似值。如果大家有兴趣我将公布e的过剩近似值的表达式.

作者: 任在深 时间: 2021-1-21 10:57

3565111 发表于 2020-12-7 12:11
我给大家的见面礼是关于π的极简运算式求自然对数的底的不足近似值:π的(π-2)次方所得值乘以2,再把所的 ...

e=E的精确值！

            E=H/R
               =4h/√2n
               =4√n/√2n
               =4/√2
               =2√2≈(2.828......)
         e≈2.71828......X

            E-e=2.8284271247162.....-2.71828......
                  =0.11
      如何？

作者: 蔡家雄 时间: 2021-2-19 21:12
蔡氏勾股弦方程

设 a+b= c+2n ,(n为任意正整数，都有本原解）

若 2n 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组本原勾股数。

特例：
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组本原勾股数。

作者: 蔡家雄 时间: 2021-2-20 18:45
设 a+b= c+2  有 3+4=5+2

设 a+b= c+4  有 5+12=13+4

设 a+b= c+6  有 8+15=17+6 7+24=25+6

设 a+b= c+8  有 9+40=41+8

设 a+b= c+10 有 11+60=61+10 12+35=37+10

作者: 蔡家雄 时间: 2023-3-7 21:25
等差勾股方程新表述

设 p 的素因子均为 8k -1型或 8k+1型，

且 a 与 p 互素，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 是本原勾股方程。

若 p 有 t个不同的素因子，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组通项公式。

作者: 蔡家雄 时间: 2023-3-7 21:37
等和勾股方程新表述

设 p 的素因子均为 8k -1型或 8k+1型，

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= p ，

若 p 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组本原勾股数。

作者: 蔡家雄 时间: 2023-3-11 19:20
由 \((y^2 - x^2)^2+(2xy)^2=(y^2+x^2)^2\) ,

设 \(x, y\) 为正整数，且 \(x < y\)，且 \(x与y\) 互素，

求 \(|y^2 - x^2 - 2xy| =2023\) 的 \(2^2\) 组 \(( x , y )\) 的通解公式，

即两直角边相差 \(2023\) 的本原勾股方程的通解公式。

\(x, y\) 是 \(A_{n}=\frac{(64 - 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 + 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(B_{n}=\frac{(88 - 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 + 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(C_{n}=\frac{(64 + 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 - 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(D_{n}=\frac{(88 + 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 - 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-15 19:56
求解：毕氏方程
a^2+b^2 = c^4

(1)式 7^2+24^2=5^4
(2)式 119^2+120^2=13^4
(3)式 527^2+336^2=25^4
(4)式 1519^2+720^2=41^4
(5)式 3479^2+1320^2=61^4
(6)式 6887^2+2184^2=85^4

由我另类公式解：
a = (2k^2+2k -1)^2 -2,
b = 4k(k+1)(2k+1),
c = 2k^2+2k+1.

此时：(1)式 (2)式是 a < b ，a为勾，b为股，
但 (3) (4) (5) (6)式是 a > b ，b为勾，a为股，
即 a 可为勾，可为股，b 亦如是。

罗士琳勾股数本原解公式

设奇数Q=m+n,（m,n 互质且 m>n, m,n 均为正整数）

则 [Q*(m-n)]^2+(2mn)^2=[m^2+n^2]^2 有 E/2组的本原勾股数。

其中，E 就是著名的 Euler 函数。但，不是朱火华的公式。

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-15 19:58
兔子数列中的勾股数

\(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181, ......\)

设兔子数列中的任意四个连续的兔子数：

\(第一个为a,第二个为b,第三个为c,第四个为d\),

则 \((ad)^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2\)

兔子数的平方性质
\(f_n = [((1+√5)/2)^n - ((1 - √5)/2)^n] /√5
= 1，1，2，3，5，8，13，21，......\)

\(f_{2n}, f_{2n+2}, f_{2n+4} 和 4*f_{2n+1}*f_{2n+2}*f_{2n+3}\),
在这四个数中，任意两个的乘积，再+1，是一个完全平方数。
1*3+1=2^2
1*8+1=3^2
1*120+1=11^2
3*8+1=5^2
3*120+1=19^2
8*120+1=31^2

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-15 20:06
本原勾股数新公式

设 \(n\)为正整数，\(k\)为非负整数，

设 \(a= 2^{k+1}*(2^k+2n -1)\)
\(b= ((2n+2^k -1))^2 -2^{2k}\)
\(c= ((2n+2^k -1))^2 -2^{2k}+2^{2k+1}\)

则 \(a^2+b^2 =c^2\)

当 \(k=0\) 时，有 \(a=4n,  b=4*n^2 -1,  c=4*n^2+1\).

当 \(k=1\) 时，有 \(a=8n+4,  b=(2n+1)^2 -4,  c=(2n+1)^2+4\).

当 \(n <=Floor[\frac{1 + 2^k\sqrt{2}}{2}]\) 时，\(a\) 是股，不是勾，

本原勾股数新公式

设 \((2k -1)\) 与 \((2n+1)\) 同奇且互素，

设 \(a= (2k -1)*(2n+1)\)
\(b= 2*n^2+4kn -2n\)
\(c= 2*n^2+4kn -2n+(2k -1)^2\)

则 \(a^2+b^2 =c^2\)

当 \(k=1\) 时，有 \(a=2n+1,  b=2*n^2+2n,  c=2*n^2+2n+1\).

设 \(A=b^2-a^2\), \(B=2ab\) ,

则 \((b^2-a^2)^2+(2ab)^2=A^2+B^2=C^4\) ,

例 \(a=7, b=24, c=25\), 则 \(A\)是股不是勾，\(B\)是勾不是股，

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-16 19:34
本帖最后由蔡家雄于 2024-2-22 19:03 编辑

鲁氏求一解法，不是大衍求一术

恒等式：\(2^n+2^n=2^{n+1}\)

恒等式：\(2^n+2^n+2^{n+1}=2^{n+2}\)

求：\(x^{n+1}+y^{n+1}=z^{n}\)

解：\((2^{n-1})^{n+1}+(2^{n-1})^{n+1}=(2^{n})^{n}\)

求：\(x^n+y^{n+1}=z^n\)

解：\((a^n-1)^n+(a^n-1)^{n+1}=(a*(a^n-1))^n\)，\(a > 1\) .

求：\(x^{n+1}+y^n=z^{n+1}\)

解：\((a^{n^2-1}-1)^{n+1}+(a^{n^2-1}-1)^n=(a*(a^{n^2-1}-1))^{n+1}\)，\(a > 1\) .

求：\(x^{2n}+y^{2n+1}=z^{2n+2}\)

解：\(((a^{2n+2}-1)^{2n+2})^{2n}+((a^{2n+2}-1)^{2n+1})^{2n+1}=(a*(a^{2n+2}-1)^{2n})^{2n+2}\)，\(a > 1\) .

求：\(x^{2n+1}+y^{2n+2}=z^{2n+3}\)

解：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

作者: Treenewbee 时间: 2024-2-16 23:57
\[\{x,y\}=\{2,5\},\{6,21\}\]

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-17 13:50
求：\(x^{2021}+y^{2023}+z^{2025}+u^{2027}=w^{2029}\)

解：\((2^{3246769192275})^{2021}+(2^{3243559336425})^{2023}+(2^{3240355821031})^{2025}+(2^{3237158627325})^{2027}=(2^{3233967736613})^{2029}\)

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-17 18:42
求：\(x^{20202021}+y^{20222023}+z^{20242025}+u^{20262027}=w^{20282029}\)

\(X=2^{51556092952812052708981532700}\)

\(Y=2^{51505097808990776930673642900}\)

\(Z=2^{51454203446081165193697360428}\)

\(U=2^{51403409565620512591358792100}\)

\(W=2^{51352715870323481831130002438}\)

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-17 20:19
本帖最后由蔡家雄于 2024-2-22 19:07 编辑

求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(x^{2n+1}+y^{2n+2}=z^{2n+3}\)

用：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

得：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n}+(2^{(n+1)(2n+2)})^{2n}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

得：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-20 21:03
求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(2^0+2^0+2^1=2^2\)，

得：\(2^{0+a}+2^{0+a}+2^{1+a}=2^{2+a}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=131k , 0+a=137k , 1+a=139k , 2+a=149k ,
0+a=131*137k , 1+a=139k , 2+a=149k ,

故，a=219994326 ,

解：\((2^{1679346})^{131}+(2^{1605798})^{137}+(2^{1582693})^{139}=(2^{1476472})^{149}\)

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-21 07:16
求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(3^0+3^0+3^0=3^1\)，

得：\(3^{0+a}+3^{0+a}+3^{0+a}=3^{1+a}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=131*137*139*k , 1+a=149*k ,

故，a=366711051 ,

解：\((3^{2799321})^{131}+(3^{2676723})^{137}+(3^{2638209})^{139}=(3^{2461148})^{149}\)

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-21 19:12
求：\(x^{7}+y^{11}+z^{13}+u^{17}+v^{19}=w^{23}\)

用：\(2^0+2^0+2^0+2^0+2^2=2^3\)

用：\(3^0+3^0+3^0+3^1+3^1=3^2\)

用：\(5^0+5^0+5^0+5^0+5^0=5^1\)

作者: Treenewbee 时间: 2024-2-21 19:40
\[\left(3^{5848}\right)^{19}+\left(3^{6536}\right)^{17}+\left(3^{8547}\right)^{13}+\left(3^{10101}\right)^{11}+\left(3^{15873}\right)^7=\left(3^{4831}\right)^{23}\]

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-21 20:45
求：\(x^{7}+y^{11}+z^{13}+u^{17}+v^{19}=w^{23}\)

解：\((5^{969969})^{7}+(5^{617253})^{11}+(5^{522291})^{13}+(5^{399399})^{17}+(5^{357357})^{19}=(5^{295208})^{23}\)

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-22 20:59
求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

得：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

设：2n+1=131*137*139*k , 且 (2+131*137*139*k) 能被 149 整除，

得：2n+1=361721785 , 2n+3=361721787 , n+1=180860893 ,

解：\((2^{180860893*361721786})^{361721785}+(2^{180860893*361721785})^{361721785}+(2^{180860893*361721785})^{361721785}\)

\[=(2^{(180860893*361721785*361721786+1)/361721787})^{361721787}\]

即：\((2^{180860893*361721786*2761235})^{131}+(2^{180860893*361721785*2640305})^{137}+(2^{180860893*361721785*2602315})^{139}\)

\[=(2^{65421324871793113*2427663})^{149}\]

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-24 13:58
求：\(x^{14}+y^{52}=z^{23}\) 易解，可以三项的底数都是2，

但，\(x^{14}+y^{23}=z^{52}\) 难解，不可能三项的底数都是2，

用：\(x^{14}+y^{46}=z^{52}\) ，

用：\(15^2+20^2=5^4\) ，

用：\((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{1+c})^{2}+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^{2}=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{4+c})^{2}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=7k ,       1+b=7k ,       1+c=7k ,
2+a=23k ,    0+b=23k ,       1+c=23k ,
0+a=26k ,    0+b=26k ,       4+c=26k ,
0+a=182k ,    0+b=598k ,    1+c=161k ,
2+a=23k ,    1+b=7k ,       4+c=26k ,

故，a=182 ,    b=1196 ，    c=2414 ,

解：\((2^{182}*3^{1197}*5^{2415})^{2}+(2^{184}*3^{1196}*5^{2415})^{2}=(2^{182}*3^{1196}*5^{2418})^{2}\)

即：\((2^{26}*3^{171}*5^{345})^{14}+(2^{8}*3^{52}*5^{105})^{46}=(2^{7}*3^{46}*5^{93})^{52}\)

作者: cz1 时间: 2024-2-25 10:11
求：\(x^{314}+y^{159}=z^{314159}\)

作者: Treenewbee 时间: 2024-2-25 10:52
\[(2^{24269283})^{314}+(2^{47928018})^{159}=(2^{24257})^{314159}\]

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-25 11:34
最新发现，

若 2n+1, u , w 两两互质，

则 \(x^{2n+1}+y^{2u}=z^{2w}\) 必有解。

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-25 13:36
由：49，5，24 两两互质，

求：\(x^{49}+y^{10}=z^{48}\)

用：\(x^{98}+y^{10}=z^{48}\)

用：\((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{0+c})^2+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{0+c})^2=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^2\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=49k ,       1+b=49k ,       0+c=49k ,
2+a=5k ,       0+b=5k ,       0+c=5k ,
0+a=24k ,       0+b=24k ,       1+c=24k ,
0+a=1176k , 0+b=120k ,    0+c=245k ,
2+a=5k ,       1+b=49k ,       1+c=24k ,

故，a=3528 , b=2400 ,       c=4655 ,

解：\((2^{3528}*3^{2401}*5^{4655})^2+(2^{3530}*3^{2400}*5^{4655})^2=(2^{3528}*3^{2400}*5^{4656})^2\)

即：\((2^{72}*3^{49}*5^{95})^{98}+(2^{706}*3^{480}*5^{931})^{10}=(2^{147}*3^{100}*5^{194})^{48}\)

作者: lusishun 时间: 2024-2-25 17:07
X^49+y^10=z^48
解：由49k=48·10m+1，
得最小的k=49，m=5，
由a^2401+b^2400=c^2400,
得原方程的解是：
X=(a^2400-1)^49,
Y=(a^2400-1)^240,
Z=[a(a^2400-1)]^50.
(a为大于1的整数）

作者: lusishun 时间: 2024-2-25 17:11
本帖最后由 lusishun 于 2024-2-25 10:47 编辑

cz1 发表于 2024-2-25 02:11
求：\(x^{314}+y^{159}=z^{314159}\)

解：由159k=314·314159m+1，
得k=38465707，
m=62，
由此得，原方程的解是：
x=[a^(314·314159·62）-1]^（314159·62），
y=[a^(314·314159·62）-1]^38465707,
Z=｛a[a^（314·314159·62）-1]}^（314·62）。
（a为大于1的整数）

(接受网友的耐心验算）.

作者: cz1 时间: 2024-2-25 18:57
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

作者: cz1 时间: 2024-2-25 18:59
鲁思顺老师：用你的方法，

求：\(x^{42}+y^{50}=z^{52}\)

作者: cz1 时间: 2024-2-26 09:14
求：\(x^{22}+y^{26}+z^{34}+u^{38}=w^{46}\)

用：\(1^2+1^2+1^2+1^2=2^2\)

作者: Treenewbee 时间: 2024-2-26 11:19
\[\left(2^{338} 3^{31} 5^{125}\right)^{42}+\left(2^{284} 3^{26} 5^{105}\right)^{50}=\left(2^{273} 3^{25} 5^{101}\right)^{52}\]

\[\left(2^{62} 3^{494} 5^{125}\right)^{42}+\left(2^{52} 3^{415} 5^{105}\right)^{50}=\left(2^{50} 3^{399} 5^{101}\right)^{52}\]

作者: Treenewbee 时间: 2024-2-26 11:26
\[\left(2^{21879}\right)^{38}+\left(2^{24453}\right)^{34}+\left(2^{31977}\right)^{26}+\left(2^{37791}\right)^{22}=\left(2^{18074}\right)^{46}\]

作者: cz1 时间: 2024-2-27 21:11
请教 Treenewbee，程中占的

A^11+B^13=C^17
A=a^181*b^170*c^91
B=a^153*b^144*c^77
C=a^117*b^110*c^59
其中，a、b、c为正整数，且a^2+b^2=c^2

是 (a, b, c)=(8, 15, 17) 还是 (a, b, c)=(15, 8, 17) ？

作者: wlc1 时间: 2024-2-28 19:40
求：\(x^6+y^8+z^{10}=w^{14}\)

作者: wlc1 时间: 2024-2-28 19:43
求：\(x^{10}+y^{24}+z^{26}=w^{34}\)

作者: Treenewbee 时间: 2024-2-29 10:57
\[\left(2^{14} 3^{60}\right)^6+\left(2^{11} 3^{45}\right)^8+\left(2^9 3^{36}\right)^{10}=\left(2^6 3^{26}\right)^{14}\]

作者: Treenewbee 时间: 2024-2-29 11:37
\[\left(2^{89} 3^{156}\right)^{10}+\left(2^{37} 3^{65}\right)^{24}+\left(2^{34} 3^{60}\right)^{26}=\left(2^{26} 3^{46}\right)^{34}\]

作者: cz1 时间: 2024-2-29 19:23
杨传举先生的

令 x=y=a^n-1，

则 x^n+y^(n+1)=[a^n-1]^n+[a^n-1]^(n+1)=[a^n-1]^n*[1+a^n-1]=[a^n-1]^n*a^n=[a*(a^n-1)]^n，

则 x=y=a^n-1 及 z=a*(a^n-1) 才是方程 x^n+y^(n+1)=z^n 的通解！

式中a和n均为大于等于2的整数。

作者: cz1 时间: 2024-2-29 19:25
杨传举先生的

令 x=y=a^n-1，

则 x^n+y^(n+1)=[a^n-1]^n+[a^n-1]^(n+1)=[a^n-1]^n*[1+a^n-1]=[a^n-1]^n*a^n=[a*(a^n-1)]^n，

则 x=y=a^n-1 及 z=a*(a^n-1) 才是方程 x^n+y^(n+1)=z^n 的通解！

式中a和n均为大于等于2的整数。

作者: cz1 时间: 2024-2-29 19:48
以 x^10+y^9=z^10 为例，

由 a^80+b^81=c^80，

得 a=b=2^80 -1 , c=[2(2^80 -1)]

故 X=a^8 , Y=a^9 , Z=c^8 .

作者: cz1 时间: 2024-3-2 11:55
由 a^80+b^81=c^80，

得 a=b=2^80 -1 ,  c=[2(2^80 -1)]

由 a^80+b^80+c^81=d^80，

得 a=b=c=2^80 -2 ,  d=[2(2^80 -2)]

由 a^80+b^80+c^80+d^81=e^80，

得 a=b=c=d=2^80 -3 ,  e=[2(2^80 -3)]

作者: cz1 时间: 2024-3-2 16:39
求：\(x^{10}+y^{12}=z^{10}\)

作者: wlc1 时间: 2024-3-2 16:43
求：\(x^{10}+y^{10}=z^{12}\)

作者: 蔡家雄 时间: 2024-3-3 12:22
广义佩尔方程：y^2=d*x^2+t ,

其中 d 为：非平方数，t 为质数或平方数，

作者: 蔡家雄 时间: 2024-3-3 12:38
Treenewbee 善于 (a^2+b^2)/(a*b+t^2) 的通解公式

作者: 蔡家雄 时间: 2024-3-3 12:46
求：(a^2+ab+b^2)/(a*b+1)，有解吗？

作者: 蔡家雄 时间: 2024-3-3 16:20
求：(a^2+b^2)/(a*b+49) 的通解公式，

作者: 蔡家雄 时间: 2024-3-3 16:21
求：y^2=2*x^2+4 ,

作者: ysr 时间: 2024-3-3 17:37

蔡家雄发表于 2024-3-3 08:21
求：y^2=2*x^2+4 ,

求：y^2=2*x^2+4

y=2, x=0
y=6, x=4
y=34, x=24
y=198, x=140
y=1154, x=816
y=6726, x=4756
…………

作者: 蔡家雄 时间: 2024-3-3 17:48
求：y^2=2*x^2+9 ,

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-3 21:58
求：(a^2+ab+b^2)/(a*b+1)，有解吗？
---------------------------------------------------
部分解：{{2,6},{3,24},{4,60},{5,120},{6,16},{6,210},{7,336},{8,504},{9,720},{10,990},{16,42},{24,189},{42,110},{60,896},{110,288},{288,754}}

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-3 22:02

蔡家雄发表于 2024-3-3 16:20
求：(a^2+b^2)/(a*b+49) 的通解公式，

部分解： {{1,132},{3,36},{3,664},{4,456},{6,314},{8,414},{12,99},{14,42},{21,168},{28,420},{35,840},{36,285},{42,112},{99,780},{112,294},{294,770}}

作者: wlc1 时间: 2024-3-4 06:58
求：(a^2+2ab+b^2)/(a*b+2)，有解吗？

作者: cz1 时间: 2024-3-4 07:02
求：(a^2+3ab+b^2)/(a*b+3)，有解吗？

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-4 08:20

wlc1 发表于 2024-3-4 06:58
求：(a^2+2ab+b^2)/(a*b+2)，有解吗？

部分解：{{4,24},{6,96},{8,240},{10,480},{12,840},{24,140},{140,816}}

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-4 08:21
求：(a^2+3ab+b^2)/(a*b+3)，有解吗？
----------------------
部分解：
{{2,4},{6,54},{9,216},{12,540},{15,1080},{18,1890},{54,480}}

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-4 08:59

蔡家雄发表于 2024-3-3 17:48
求：y^2=2*x^2+9 ,

\[x=round[\frac{3 \left(\sqrt{2}+1\right)^{2 n}}{2 \sqrt{2}}]\]
\[y=round[\frac{3 \left(\sqrt{2}+1\right)^{2 n}}{2}]\]

作者: 蔡家雄 时间: 2024-3-4 12:20
求：(a^2+4ab+b^2)/(a*b+4)，有解吗？

作者: 蔡家雄 时间: 2024-3-4 12:23
求：\(y^2=41*x^2+49\) 的通项公式，

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-4 14:27

蔡家雄发表于 2024-3-4 12:23
求：\(y^2=41*x^2+49\) 的通项公式，

\[x=\text{Round}\left[\frac{7 \left(320 \sqrt{41}+2049\right)^n}{2 \sqrt{41}}\right]\]
\[y=\text{Round}\left[\frac{7 \left(320 \sqrt{41}+2049\right)^n}{2}\right]\]

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-4 14:29
Or

\[x=\left\lfloor \frac{7 \left(320 \sqrt{41}+2049\right)^n}{2 \sqrt{41}}\right\rfloor\]
\[y=\left\lfloor \frac{7 \left(320 \sqrt{41}+2049\right)^n}{2}\right\rfloor\]

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-4 21:45

cz1 发表于 2024-3-4 19:56
求：\(a^2+ab+b^2=c^2\) 的通解公式，可以有吗？

\[ a^2+ab+b^2=c^2 \implies \left(\frac a c\right)^2+\left(\frac a c\right)\left(\frac b c\right)+\left(\frac b c\right)^2=1\implies m^2+mn+n^2=1\]

令 \[n=km-1\]
可得到 \[m^2+m(km-1)+(km-1)^2=1\]

\[(k^2+k+1)m^2-(2k+1)m=0\]

\[\ m=0; m=\frac{2k+1}{k^2+k+1}\]
\[(a,b,c)=(0,n,n),(k^2-1,2k+1,k^2+k+1)\]

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-4 21:57

wlc1 发表于 2024-3-4 19:58
求：\(a^2+3ab+b^2=c^2\) 的通解公式，可以有吗？

\[ a^2+3ab+b^2=c^2 \implies \left(\frac a c\right)^2+3\left(\frac a c\right)\left(\frac b c\right)+\left(\frac b c\right)^2=1\implies m^2+3mn+n^2=1\]

令 \[n=km-1\]
可得到 \[m^2+3m(km-1)+(km-1)^2=1\]

\[\ m=0; m=\frac{2k+3}{k^2+3k+1}\]
\[(a,b,c)=(0,n,n),(k^2-1,2k+3,k^2+3k+1)\]

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-4 22:09
\[a=k^2-1;b=2 k+r;c=k^2+r k+1;a^2+r a b +b^2=c^2\]

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-4 22:10
88-90#根据对称性a,b可以互换

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-5 21:52

蔡家雄发表于 2024-3-5 21:29
这样的方程 \(a^3+ab+b^3=c^3\) 有解吗？

{{75,90,105},{162,273,291},{222,252,300},{288,384,432}}

作者: 蔡家雄 时间: 2024-3-8 06:10
设：\(P_n\) =1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782,
195025, 470832, 1136689, 2744210, 6625109, 15994428, 38613965, ... 是佩尔数列，

求证：前 \(4k+1\) 个佩尔数的和是一个完全平方数。

1+2+5+12+29=
1+2+5+12+29+70+169+408+985=
1+2+5+12+29+70+169+408+985+2378+5741+13860+33461=

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-8 15:30
\[P_n=\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^n-\left(1-\sqrt{2}\right)^n}{2 \sqrt{2}}\]

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-8 15:42
\[S_{4k+1}=\frac{1}{2\sqrt2}*(\sum_{i=1}^{4k+1}{(1+\sqrt2)^i}-\sum_{i=1}^{4k+1}{(1-\sqrt2)^i})\]
\[=\frac14((1+\sqrt2)^{4k+2}+(1-\sqrt2)^{4k+2}-2)\]
\[=(\frac{(1+\sqrt2)^{2n+1}-(1-\sqrt2)^{2n+1}}{2})^2\]

作者: 蔡家雄 时间: 2024-3-9 21:38
设：\(f_n\) 是兔子数列，

设：\(P_n=1, 4, 17, 72, 305, 1292, ...\)

则：\(P_n+P_{n+1}=f_{3n+2}\)

则：\(P_n+P_{n+2}=f_{3n+2}+f_{3n+4}\)

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-9 22:43

蔡家雄发表于 2024-3-9 19:52
求 \(a^3+2ab+b^3=c^3\) 的部分解，，

{{19, 54, 55}, {79, 119, 130}, {150, 180, 210}, {324, 546, 582}, {444, 504, 600}, {576, 768, 864}}

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-10 09:48

蔡家雄发表于 2024-3-10 06:09
求 \(a^3+3ab+b^3=c^3\) 的部分解，，，

{{14, 24, 26}, {80, 84, 104}, {195, 275, 305}, {200, 360, 380}, {225, 270, 315}, {242, 308, 352}, {335, 357, 437}, {486, 819, 873}}

作者: 蔡家雄 时间: 2024-3-11 20:52
设 \(2n\) 与 \(1+2k\) 互质，

求：\(x^{2n}+y^{2n+2+4k}=z^{2n+1+2k}\)

当 \(2n=24\) 与 \(1+2*2\) 互质时，

求：\(x^{24}+y^{24+2+8}=z^{24+1+4}\)

作者: ysr 时间: 2024-3-14 08:44
3^3+4^3+5^3=6^3
各项居然是连续的整数，类似的等式还又吗，成等差数列的也可以？

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-14 09:36
本帖最后由 Treenewbee 于 2024-3-14 10:17 编辑

ysr 发表于 2024-3-14 08:44
3^3+4^3+5^3=6^3
各项居然是连续的整数，类似的等式还又吗，成等差数列的也可以？

\[(n - k)^3 + n^3 + (n + k)^3 = (n + 2 k)^3\rightarrow(n-4 k) \left(n^2+k n+k^2\right)=0\rightarrow n=4k\]

作者: 蔡家雄 时间: 2024-3-14 19:19
求：\(x^{2n}+y^{2n}+z^{2n+2}=w^{2n+1}\)

求：\(x^{2n}+y^{2n+2}+z^{2n+2}=w^{2n+1}\)

作者: 蔡家雄 时间: 2024-3-17 17:53
求：\(x^{6}+y^{6}+z^{10}=w^{14}\)

作者: 蔡家雄 时间: 2024-3-17 17:53
求：\(x^{6}+y^{10}+z^{10}=w^{14}\)

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-18 08:05

蔡家雄发表于 2024-3-17 17:53
求：\(x^{6}+y^{6}+z^{10}=w^{14}\)

\[\left(2^{21} 3^{25}\right)^6+\left(2^{22} 3^{25}\right)^6+\left(2^{13} 3^{15}\right)^{10}=\left(2^9 3^{11}\right)^{14}\]

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-18 08:09

蔡家雄发表于 2024-3-17 17:53
求：\(x^{6}+y^{10}+z^{10}=w^{14}\)

\[\left(2^{28} 3^{30}\right)^6+\left(2^{17} 3^{18}\right)^{10}+\left(2^{17} 3^{18}\right)^{10}=\left(2^{12} 3^{13}\right)^{14}\]

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-18 08:12

蔡家雄发表于 2024-3-17 20:25
求：\(x^a - y^b=2\) 的正整数解，

{3,3,5,2}
{n^r+2,1,n,r}

作者: Treenewbee 时间: 2024-3-18 08:59

Treenewbee 发表于 2024-3-18 08:05
\[\left(2^{21} 3^{25}\right)^6+\left(2^{22} 3^{25}\right)^6+\left(2^{13} 3^{15}\right)^{10}=\left( ...

小一点的解：\[\left(2^{12} 3^{30}\right)^6+\left(2^{12} 3^{30}\right)^6+\left(2^7 3^{18}\right)^{10}=\left(2^5 3^{13}\right)^{14}\]

作者: 蔡家雄 时间: 2024-3-18 09:42
求：\(x^{6}+y^{10}=2*z^{14}\)

欢迎光临数学中国 (http://www.mathchina.com/bbs/)