本原勾股方程

蔡家雄

蔡家雄勾股数公式1

设 n^2=u*v ,且 n>1, u>v, n,u,v 均为正整数，

若 u,v 一奇一偶且互质 及 n有t个不同的质因子，

则 (u-v)^2+(2n)^2=(u+v)^2 有2^(t-1)组本原勾股数。

由公式1，等式两边同时除以4，得

蔡家雄勾股数公式2

设 n^2=u*v ,且 n>2, u>v, n,u,v 均为正整数，

若 u,v 同奇且互质 及 n有t个不同的质因子，

则 n^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2 有2^(t-1)组本原勾股数。


等差勾股方程与等和勾股方程及勾股弦方程

等差勾股方程

设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，

且 a 与 p 互素，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。

若 p 有 t个 不同的素因子，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。


求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =p 的最小2^t组 正整数解，

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn, 得2^t组Rn数列

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差p 的本原勾股数。


由 \((y^2 - x^2)^2+(2xy)^2=(y^2+x^2)^2\) ,

设 \(x, y\) 为正整数，且 \(x < y\)，且 \(x与y\) 互素，

求 \(|y^2 - x^2 - 2xy| =2023\) 的 \(2^2\) 组 \(( x , y )\) 的通解公式，

即 两直角边相差 \(2023\) 的本原勾股方程 的通解公式。

\(x, y\) 是 \(A_{n}=\frac{(64 - 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 + 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(B_{n}=\frac{(88 - 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 + 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(C_{n}=\frac{(64 + 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 - 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(x, y\) 是 \(D_{n}=\frac{(88 + 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 - 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，


等和勾股方程

设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= p ，

若 p 有 t个 不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 p 为素数或素数幂，

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。

特殊勾股方程

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )

的 本原勾股数，你能找到吗？

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )

的 本原勾股数 是 存在的。

a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2

a, b 互质，且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.


勾股弦方程

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2n ,

若 2n 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。


若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )

cz1

？？？？？？

ysr

蔡家雄 发表于 2025-4-30 10:51
求 \(x^2 - 13*13*29*y^2= -1\) 的正整数解，，

x=70  y=1
x=1372210  y=19601

5.523438

ysr

蔡家雄 发表于 2025-4-30 10:50
求 \(x^2 - 13*13*17*y^2= -1\) 的正整数解，，

x=268  y=5
x=76996132  y=1436485

5.796875

蔡家雄

等差勾股方程

设 \(p\) 的素因子均为 \(8k -1\) 型 或是 \(8k+1\) 型，

且 \(a\) 与 \(p\) 互素，

则 \(a^2+(a+p)^2=c^2\) 是 本原勾股方程。

若 \(p\) 有 \(t\) 个不同的素因子，

则 \(a^2+(a+p)^2=c^2\) 有 \(2^t\) 组通项公式。


求 \(a^2+(a+p)^2=c^2\) 的本原勾股数通项公式

设 \(x , y\) 为正整数，且 \(x < y\) ，且 \(x\) 与 \(y\) 互素，

求 \(Abs[y^2 - x^2 - 2*x*y] =p\) 的最小 \(2^t\) 组正整数解，

设 \(x_1 , y_1\) 表示 每组的最小正整数解，

设 \(R_1=x_1 , R_2=y_1 ,  R_{n+2}= 2*R_{n+1}+R_n\) , 得 \(2^t\) 组\(R_n\)数列，

设 \(v , u\) 是 \(R_n\) 数列中连续的两项，

则 \((u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2 \)

是 两直角边相差\(p\) 的本原勾股数。


由 \((y^2 - x^2)^2+(2xy)^2=(y^2+x^2)^2\) ,

设 \(x , y\) 为正整数，且 \(x < y\)，且 \(x\) 与 \(y\) 互素，

求 \(Abs[y^2 - x^2 - 2xy] =2023\) 的 \(2^2\) 组 \(( x , y )\) 的通解公式，

即 两直角边相差 \(2023\) 的本原勾股方程的通解公式。

\(v , u\) 是 \(A_{n}=\frac{(64 - 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 + 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(v , u\) 是 \(B_{n}=\frac{(88 - 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 + 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(v , u\) 是 \(C_{n}=\frac{(64 + 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 - 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(v , u\) 是 \(D_{n}=\frac{(88 + 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 - 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

则 \((u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2 \)

是 两直角边相差\(2023\) 的本原勾股数。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-4-28 08:09
求：\(2x^2 - 3y^2=2\) 的通解公式，

\[\{x,y\}=\{\left\lceil \frac{1}{2} \left(5+2 \sqrt{6}\right)^{n-1}\right\rceil,\left\lfloor \frac{\left(5+2 \sqrt{6}\right)^{n-1}}{\sqrt{6}}\right\rfloor\}\]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-3-21 18:52
求：\(23*x^{24}+24*y^{25}=z^2\)

\[23 \left(2^{23} 3^{24}\right)^{24}+24 \left(2^{22} 3^{23}\right)^{25}=\left(2^{276} 3^{288} 5\right)^2\]

蔡家雄

求：\(23*x^{24}+24*y^{25}=z^2\)

ysr

a和b取啥样的非0整数可以使得如下等式同时成立？能给出a和b的通解公式吗？

Treenewbee

39,89,159亦可

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-3-21 07:25
求：\(x^8+y^9=10*z^2\)

\[9^8 + 9^9 = 10*(9^4)^2\]