数学中国

标题: 求极限 lim(x→1)(2x-3)/(x^2-5x+4) [打印本页]

作者: 永远 时间: 2020-10-13 22:13
标题: 求极限 lim(x→1)(2x-3)/(x^2-5x+4)
求：\(\displaystyle\lim_{x \to1}{2x-3\over x^2-5x+4}\)

作者: 永远 时间: 2020-10-13 22:41
本帖最后由永远于 2020-10-14 00:08 编辑

显然有无穷间断点，不连续

[attach]88243[/attach]

作者: elim 时间: 2020-10-14 01:10
本帖最后由 elim 于 2020-10-13 13:18 编辑

\(\because\quad\frac{2x-3}{x^2-5x+4}=\frac{2(x-1)-1}{(x-1)(x-4)}=\frac{2}{x-4}+\frac{1}{(x-1)(4-x)},\)
\(\therefore\quad\displaystyle\lim_{x\to 1+}{\small\frac{2x-3}{x^2-5x+4}=\infty},\quad \lim_{x\to 1-}{\small\frac{2x-3}{x^2-5x+4}=-\infty},\)
所求极限不存在.

作者: elim 时间: 2020-10-14 04:20
不错, 谢谢看出问题, 理解算法

作者: 永远 时间: 2020-10-14 18:45

elim 发表于 2020-10-14 04:20
不错, 谢谢看出问题, 理解算法

e老师可否帮忙看看本层图片中内容分析写的对吗，如果写的不对请指出，如果有逻辑错误请指出，请指出具体那一步出错

[attach]88262[/attach]

作者: elim 时间: 2020-10-14 20:42
\(f\to 0\implies \left|{\large\frac{1}{f}}\right|\to\infty\)

作者: 永远 时间: 2020-10-14 20:59
本帖最后由永远于 2020-10-15 00:26 编辑

elim 发表于 2020-10-14 20:42
\(f\to 0\implies \left|{\large\frac{1}{f}}\right|\to\infty\)

这个我知道，我就问5楼写的对不对，好吧，留个提示，e老师又潜水啦

作者: elim 时间: 2020-10-15 05:53
本帖最后由 elim 于 2020-10-14 17:57 编辑

永远发表于 2020-10-14 05:59
这个我知道，我就问5楼写的对不对，好吧，留个提示，e老师又潜水啦

你要是真理解(会证) \(f\to 0\implies\big(\left|{\large\frac{1}{f}}\right|\to\infty\big)\;\not\hspace{-11px}\implies\,{\large\frac{1}{f}}\to\infty\)

(\(0\ne f\,(x\ne x_0).\,\))就知道你那个推理是错的.

学数学不是背答案. 基本的定义要掌握, 简单的推理要自己来.

作者: 王守恩 时间: 2020-10-15 09:52
找些具体数试试，答案不就来了吗？！

\(当x=1+无穷小时，\displaystyle{2x-3\over x^2-5x+4}=\infty\)

\(当x=1-无穷小时，\displaystyle{2x-3\over x^2-5x+4}=-\infty\)

作者: 永远 时间: 2020-10-15 11:36

elim 发表于 2020-10-15 05:53
你要是真理解(会证) \(f\to 0\implies\big(\left|{\large\frac{1}{f}}\right|\to\infty\big)\;\not\hsp ...

那我5楼的要怎么修改，才算对

作者: 王守恩 时间: 2020-10-15 11:40
本帖最后由王守恩于 2020-10-16 10:35 编辑

王守恩发表于 2020-10-15 09:52
找些具体数试试，答案不就来了吗？！

\(当x=1+无穷小时，\displaystyle{2x-3\over x^2-5x+4}=\infty\)

\(比较3个数(x-1,x-4,2x-3)\)的“0”点，可以有：

\(当x=1+无穷小时，\displaystyle{2x-3\over x^2-5x+4}=\infty\)

\(当x=1-无穷小时，\displaystyle{2x-3\over x^2-5x+4}=-\infty\)

\(当x=4+无穷小时，\displaystyle{2x-3\over x^2-5x+4}=\infty\)

\(当x=4-无穷小时，\displaystyle{2x-3\over x^2-5x+4}=-\infty\)

\(当x=1.5+无穷小时，\displaystyle{2x-3\over x^2-5x+4}=-无穷小\)

\(当x=1.5-无穷小时，\displaystyle{2x-3\over x^2-5x+4}=+无穷小\)

作者: 永远 时间: 2020-10-15 21:44
楼上写了一大堆，看着吓人

作者: elim 时间: 2020-10-15 23:29

永远发表于 2020-10-14 20:36
那我5楼的要怎么修改，才算对

看懂 3 楼. 就可以了.

作者: 永远 时间: 2020-10-16 18:10
本帖最后由永远于 2020-10-16 18:13 编辑

elim 发表于 2020-10-15 23:29
看懂 3 楼. 就可以了.

老师这样教，学生这样学，以后踏入社会又或者从事数学教师行业，哎…………多一事不如少一事，也罢

[attach]88302[/attach]

作者: doletotodole 时间: 2020-10-16 18:20
看得我头痛. 太难了.

作者: 永远 时间: 2020-10-16 18:27
本帖最后由永远于 2020-10-25 18:00 编辑

经过本人反复求证思考，感觉我特别需要像陆教授这样类型的人民教师陪伴我们学习成长，亦师亦友

一位品德高尚且业务优秀、对学生学业关爱的的人民教师太难寻觅

作者: doletotodole 时间: 2020-10-16 18:42

永远发表于 2020-10-16 18:27
经过本人反复求证思考，感觉我特别需要像陆教授这样内型的人民教师陪伴我们学习成长，亦师亦友

一位品德 ...

这个数学分析的思路太抽象了,
不过数学讲的就是严谨,没法子避开.

作者: doletotodole 时间: 2020-10-16 18:50

doletotodole 发表于 2020-10-16 18:42
这个数学分析的思路太抽象了,
不过数学讲的就是严谨,没法子避开.

现在高中数学都乱成一锅粥了, 啥都学, 听说把不等式和三角函数给阉割掉了,然后学导数,向量.
学导数也不学极限, 本来就畸形的很, 哈哈完全瞎搞, 外行带内行,远不如叫这里大佬去当数学负责人.

三角函数和不等式我个人觉得太重要了, 竟然阉割了.

作者: 永远 时间: 2020-10-16 19:00

doletotodole 发表于 2020-10-16 18:50
现在高中数学都乱成一锅粥了, 啥都学, 听说把不等式和三角函数给阉割掉了,然后学导数,向量.
学导数也不 ...

那些好的人民教师，不仅在心理学，语言表达，业务水平……他们会从各个角度向学生分析，知道学生需要什么，不懂什么，而且沟通起来

毫无压力，学习起来都很“激情”，就算班里一时有差生，可是日子久了，基本没什么所谓的差生，学习氛围很重要。

作者: elim 时间: 2020-10-17 01:11
五楼其实不是什么计算或者推理, 不过是套用了一个错误的命题::\(\\\)
若\(\, f\) 是无穷小量, 那么\(\frac{1}{\large f}\) 是无穷大量. 这个命题之所以是错误的,\(\\\)
是因为\(\,f\) 可能在\(\,x_0\) 附近恒有零点\(\ne x_0\), 于是\(\,\frac{1}{f}\) 在该点附近\(\\\)
无定义, 或者在\(\,x_0\)的任意邻域中\(f\) 都有异号值. 于是 \(1/f\) 在\(x_0\) 的
任意邻域中都有相差非常大的取值, 于是 \(1/f\) 当\( x\to x_0\) 时发散.

这个命题可以如下纠正:
若\(0< |x-x_0| < \delta\) 时\(f(x) > 0\), 则\(\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = 0\implies\lim_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)}=\infty\)

若\(0< |x-x_0| < \delta\) 时\(f(x) < 0\), 则\(\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = 0\implies\lim_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)}=-\infty\)

作者: 永远 时间: 2020-10-17 01:47

elim 发表于 2020-10-17 01:11
五楼其实不是什么计算或者推理, 不过是套用了一个错误的命题::\(\\\)
若\(\, f\) 是无穷小量, 那么\(\frac ...

14楼中高校教师就是那样套用的，图片中老师正在讲ppt课，看里面内容是不是5楼的哪样，请问有那个学生敢质疑老师吗，我想其他学校也有

作者: elim 时间: 2020-10-17 03:28
这个我就管不着了。我否证了一个错误命题。套用错误命题的是谁不重要。

另外，这个命题一般地是错的，并不表示无穷小的倒数一定不是无穷大。

作者: 中国上海市 时间: 2020-10-25 15:11

永远发表于 2020-10-16 10:27
经过本人反复求证思考，感觉我特别需要像陆教授这样内型的人民教师陪伴我们学习成长，亦师亦友

一位品德 ...

你的普通话不行啊，是“类型”不是“内型”，前者拼音是“lèi”，而后者拼音则是“nèi”，完全不一样

作者: 永远 时间: 2020-10-25 18:02

中国上海市发表于 2020-10-25 15:11
你的普通话不行啊，是“类型”不是“内型”，前者拼音是“lèi”，而后者拼音则是“nèi”，完全不一样

谢谢先生批评指导，这是个错别字，让你见笑了，其实我普通话也就马马虎虎

作者: 永远 时间: 2020-10-25 18:05

中国上海市发表于 2020-10-25 15:11
你的普通话不行啊，是“类型”不是“内型”，前者拼音是“lèi”，而后者拼音则是“nèi”，完全不一样

对于主贴先生可有要补充的

作者: elim 时间: 2020-10-26 00:21
不确定永远到底在这个主题下学到了东西没有.

作者: 天山草@ 时间: 2020-10-26 20:05
本帖最后由天山草@ 于 2020-10-26 21:04 编辑

看看美国数学家对于这个问题是怎么看的。

[attach]88732[/attach]

因此，那个大学老师讲的，应该向同学们指出：黑板上的写法是默认右极限，趋向 ∞ 即是右极限趋向 + ∞，而左极限是趋向 - ∞ 的，由于左右极限不相等，因此这道题应该是没有极限。
   实际上这位老师有可能是照本宣科，因为中国老师大概不认为“不写右极限即是默认右极限”，对于右极限的情况，他们绝不会漏掉那个 + 号不写。老师可能认为，如果不写左极限和右极限而极限存在，就是左右极限相同。
   说老师是照本宣科，照的哪个本？见《高等数学》第六版上册（同济大学数学系，2007年4月第6版）第 47 页，如下图：
[attach]88739[/attach]

   书中这么写就是肯定了这道题有极限，极限是正无穷大。实际上它是没有极限的。除非默认 ∞ 就是 ±∞ ？

作者: 永远 时间: 2020-10-26 20:15

天山草@ 发表于 2020-10-26 20:05
看看美国数学家对于这个问题是怎么看的。

感谢先生的回帖，请问你上国外论坛与外国数学家沟通了，他是这么回答的？？？

作者: 天山草@ 时间: 2020-10-26 20:58
[attach]88740[/attach]

作者: 永远 时间: 2020-10-26 22:25

天山草@ 发表于 2020-10-26 20:58

感觉书上写的有问题

作者: elim 时间: 2020-10-27 01:48
抓住函数极限的定义: 若存在常数 L 使得对任给\(\varepsilon > 0\), 存在\(\delta>0\) 使得只要\(\small\,0<|x-c|<\delta\), 就有\({\small|f(x)-L|}<\varepsilon\). 则称 \(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)\small=L\)
若对任意\(\small\,M\),存在\(\delta>0\) 使得只要\(\small\,0<|x-c|<\delta\), 就有\(\,f(x)>\small M\,\)
则称 \(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)\small=\infty.\)
若对任意\(\small\,M\),存在\(\delta>0\) 使得只要\(\small\,0<|x-c|<\delta\), 就有\(\,f(x)< \small M\,\)
则称 \(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)\small=-\infty.\)

如果对\(x\to c, \;\,f\,\)不趋于实数, 正无穷, 负无穷, 则称\(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)\) 不存在

作者: 永远 时间: 2020-10-27 21:53
本帖最后由永远于 2020-10-27 21:58 编辑

天山草@ 发表于 2020-10-26 20:05
看看美国数学家对于这个问题是怎么看的。

为什么这本教材如此流行，一大半的原因要归到历史上。

50年代初期，中国高等教育“以苏联为师”，“向苏联学习”，高校教学全盘使用苏联的教学大纲。同济大学樊映川教授参考苏联教材编写的《高等数学讲义》，就成了新中国最早一批自编教材

我个人还是比较喜欢华罗庚教授的高等数学引论、华罗庚文集目前少一卷，个别卷全英文的，华先生写的很细而且交待清楚，就算约定束成，起码事先要声明一下啊，同济高数不尽人意，也只能水个毕业证

作者: elim 时间: 2020-10-28 06:22
不论哪本教科书, 按照函数极限的定义, 所论极限都是不存在!

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