数学中国

标题: 这样求极限 lim(x→∞)(1+1／x)^(x^2)／e^x 为啥是错的？ [打印本页]

作者: 永远 时间: 2020-12-25 00:07
标题: 这样求极限 lim(x→∞)(1+1／x)^(x^2)／e^x 为啥是错的？
[attach]90728[/attach]

作者: elim 时间: 2020-12-25 09:24
跟某'教科书?'上推演曲线积分公式的错误一样, 把一个极限拆分成数个极限先后进行. 没有合法性论证.

作者: wangyangke 时间: 2020-12-25 09:54
本帖最后由 wangyangke 于 2020-12-25 02:02 编辑

受教了。不过，还是迷糊，不知为什么，，，

作者: elim 时间: 2020-12-25 10:29
其实就是乱来. 要知道为什么有人乱来是很难的. 下面是正确的计算
\(\dfrac{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{e^x}=e^{-x+x^2\ln(1+\frac{1}{x})}=e^{-x+x^2(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+O(\frac{1}{x^3}))}\to e^{-\frac{1}{2}}\;\small(x\to\infty)\)

作者: wangyangke 时间: 2020-12-25 10:55
谢谢您！

作者: luyuanhong 时间: 2020-12-25 11:01
[attach]90739[/attach]

[attach]90740[/attach]

作者: 永远 时间: 2020-12-25 12:40

luyuanhong 发表于 2020-12-25 11:01

陆老师好，你帖子中说按照求极限法则，是不允许的。极限法则有很多，请问你这个极限法则具体指哪一个？？？

作者: luyuanhong 时间: 2020-12-25 12:51

永远发表于 2020-12-25 12:40
陆老师好，你帖子中说按照求极限法则，是不允许的。极限法则有很多，请问你这个极限法则具体指哪一个？ ...

求极限的法则有很多，但是其中没有一条法则是说：可以先求式子中一部分的极限，再求整个极限。

这种做法不在允许的法则之中，同时又有反例指出这样做会发生错误，这就足以说明全部问题了。

作者: doletotodole 时间: 2020-12-25 19:21
这个题目经典, 记得老师说过这种幂指函数一定要用Log把x2弄下来.

作者: 永远 时间: 2020-12-26 00:45

luyuanhong 发表于 2020-12-25 12:51
求极限的法则有很多，但是其中没有一条法则是说：可以先求式子中一部分的极限，再求整个极限。

这种做 ...

陆老师好，那这个为啥就可以先后求极限了呢

能否科普一下相关基础理论知识，可以吗？？？

[attach]90758[/attach]

作者: luyuanhong 时间: 2020-12-26 11:50

永远发表于 2020-12-26 00:45
陆老师好，那这个为啥就可以先后求极限了呢

能否科普一下相关基础理论知识，可以吗？？？

下面是这个极限的详细求解过程，其中只用到 Taylor 级数展开式和 L'Hospital 法则，

完全用不到“先求式子中一部分的极限，再求整个式子的极限”的做法：

[attach]90760[/attach]

[attach]90761[/attach]

作者: 永远 时间: 2020-12-26 22:43
本帖最后由永远于 2020-12-26 23:08 编辑

luyuanhong 发表于 2020-12-26 11:50
下面是这个极限的详细求解过程，其中只用到 Taylor 级数展开式和 L'Hospital 法则，

完全用不到“先 ...

谢谢陆老师的解答，下面是我的解答：

[attach]90783[/attach]

作者: 永远 时间: 2020-12-26 23:13

luyuanhong 发表于 2020-12-26 11:50
下面是这个极限的详细求解过程，其中只用到 Taylor 级数展开式和 L'Hospital 法则，

完全用不到“先 ...

陆老师晚上好，贴中这个结论是咋来的，可否指导一二：

[attach]90785[/attach]

作者: luyuanhong 时间: 2020-12-26 23:50
因为 cosx=1-x^2/2+x^4/4!+… ，所以 cosx-1=-x^2/2+x^4/4!+… ，

所以 o(cosx-1)=o(-x^2/2+x^4/4!+…）=o(x^2) 。

所以 [o(cosx-1)]' = [o(x^2)]' = o(x) 。

作者: 永远 时间: 2020-12-27 00:10

luyuanhong 发表于 2020-12-26 23:50
因为 cosx=1-x^2/2+x^4/4!+… ，所以 cosx-1=-x^2/2+x^4/4!+… ，

所以 o(cosx-1)=o(-x^2/2+x^4/4!+…） ...

谢谢陆老师，还有一个疑问：其中图片中的O（1）怎么变没有了，该步具体小细节怎么算的，？？？？？

[attach]90787[/attach]

作者: luyuanhong 时间: 2020-12-27 00:37
o(x^2) 是比 x^2 更高阶的无穷小量，例如 x^3，x^4 等等。

o(x) 是比 x 更高阶的无穷小量，例如 x^2，x^3 等等。

o(1) 是比 1 更高阶的无穷小量，例如 x ，x^2 等等。当 x→0 时，必有 o(1)→0 。

作者: 永远 时间: 2021-1-24 21:15
标准参考答案，踩点评分

[attach]92031[/attach]

主贴完整版答疑，思路清晰，此贴可以终结了。

[attach]92032[/attach]

作者: 永远 时间: 2021-1-24 21:19
我的思路基本与楼上贴中网友一致。好多年的经典题目，每一年每一天都有这样的疑问，希望能有更多的路过的网友看到且能帮到你。

作者: 永远 时间: 2021-1-24 21:27
本帖最后由永远于 2021-1-24 21:29 编辑

所谓大学就是大家都来学！老师把一些高深的课本理论用最简单的大白话传递给学生。我不赞成什么看不懂就对了，知道高深就对了，纯粹空话套话，一个不懂，二个不懂，老师不懂吗，专家不懂吗，科普专家不懂吗，都不懂，那原创作者不懂吗，自己的理论连自己都说不明白，表达能力一定很烂。注定一个失败的理论蛋生！！！

作者: elim 时间: 2021-1-24 22:36
这题好像自驾游，从A地到B地．但开车人很熟一条C路，此路通向一个叫超B的景点．结果驴行很成功，就是没到原来要去的地方．检修那车？检讨不该熟悉C路？

作者: 永远 时间: 2021-1-24 22:44
本帖最后由永远于 2021-1-24 22:49 编辑

elim 发表于 2021-1-24 22:36
这题好像自驾游，从A地到B地．但开车人很熟一条C路，此路通向一个叫超B的景点．结果驴行很成功，就是没到原 ...

自架游又如何，沿途的风景很好，周边扯瓜老藤的知识点小细节全部学习一下，这样来的快些，车要维护，b路虽说是终点，但沿途c知识点也要欣赏一下，不浪费表情，没毛病，现在不上学了，我不可能按部就班学习，要学就沿途一起学习

作者: elim 时间: 2021-1-25 00:17
旅行很成功。旅行很成功，旅行很成功。

欢迎光临数学中国 (http://www.mathchina.com/bbs/)