数学中国

标题: 康威圆定理 [打印本页]
作者: shuxueren    时间: 2021-2-22 21:10
标题: 康威圆定理
本帖最后由 shuxueren 于 2022-9-1 08:36 编辑

★单墫教授解康威圆
[attach]93168[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-2-22 21:13
[attach]93170[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-2-22 21:16
[attach]93171[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-2-22 21:18
[attach]93172[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-2-22 21:20
[attach]93173[/attach]
我把康威圆半径公式改写了一下，似乎更好记。
作者: shuxueren    时间: 2021-2-22 21:24
本帖最后由 shuxueren 于 2021-5-10 21:46 编辑

[attach]96340[/attach]
英国数学家约翰·康威（John Horton Conway），
于2020年4月11日因新冠肺炎并发症在美国去世，享年82岁。

康威的去世，震惊了整个数学界。他在数学上的成就是多面性的，
他的研究领域包括有限群、趣味数学、纽结理论、数论、代数、分析、算法组合博弈论、编码学和理论物理学等范畴。

这里，我们介绍几何学中的著名定理——康威圆（Conway’s Circle）定理，以此纪念这位伟大的数学家。
作者: shuxueren    时间: 2021-2-23 07:14
感谢天山草老师的真诚点赞！
欢迎天山草老师、陆教授及各位老师对康威圆作深入细致的研究！
作者: wangyangke    时间: 2021-2-23 07:29
据传，单教授，首批15名博士之一。
作者: 王守恩    时间: 2021-2-23 19:35
本帖最后由 王守恩 于 2022-12-17 12:26 编辑

谢谢 shuxueren 网友拿出来让大家分享！

前面的问题利用相交弦也可以
后面的问题运用三角函数会简单些。

基础知识。
1，\(a=\sin(2A)=2\sin(A)\cos(A)\)
2，\(b=\sin(2B)=2\sin(B)\cos(B)\)
3，\(c=\sin(2C)=2\sin(C)\cos(C)\)
4，\(R=\frac{\sin(2A)}{2\sin(2A)}=\frac{\sin(2B)}{2\sin(2B)}=\frac{1}{2}\)
5，\(s=2\cos(A)\cos(B)\cos(C)\)
6，\(r=2\sin(A)\sin(B)\sin(C)\)
作者: shuxueren    时间: 2021-2-24 07:48
王守恩老师的解题构想很好，谢谢！
作者: luyuanhong    时间: 2021-2-24 08:07
楼上 shuxueren 的帖子很好！已收藏。
作者: 王守恩    时间: 2021-2-24 09:09
本帖最后由 王守恩 于 2021-2-24 19:32 编辑
shuxueren 发表于 2021-2-22 21:20
我把康威圆半径公式改写了一下，似乎更好记。


谢谢 shuxueren！你的图很好，挺羡慕，谢谢分享！
公式不行(不能用R,r)，\(题目要求用a,b,c来表示康威圆半径\)
康威圆半径=\(\sqrt{\frac{a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+c^2b+b^2a+abc}{a+b+c}}\)
作者: 王守恩    时间: 2021-2-25 07:22
本帖最后由 王守恩 于 2021-5-15 07:31 编辑
shuxueren 发表于 2021-2-22 21:20
我把康威圆半径公式改写了一下，似乎更好记。


太冷静了，放个鞭炮。
6条边的和=？

5-15 补充：康威圆内接6边形,6条边的和=？
作者: denglongshan    时间: 2021-2-26 23:10
图片中kv结果错误，kv1说明康威圆心在内心，并且其半径与各切点有内在联系。
[attach]93423[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-2-27 11:59
denglongshan 发表于 2021-2-26 23:10
图片中kv结果错误，kv1说明康威圆心在内心，并且其半径与各切点有内在联系。

单墫教授推导的康威圆半径公式没错啊！
作者: shuxueren    时间: 2021-2-28 10:46
本帖最后由 shuxueren 于 2021-2-28 10:48 编辑

刚在朋友圈看到数学教育家、竞赛数学专家、华南师范大学名教授吴康老师的
大作“康威圆与旁康威圆小探”，非常惊喜，现转载如下：
[attach]93482[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-2-28 10:49
[attach]93483[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-2-28 10:53
[attach]93484[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-2-28 12:12
[attach]93488[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-2-28 12:13
[attach]93489[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-2-28 12:20
[attach]93490[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-2-28 12:25
[attach]93491[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-2-28 13:13
本帖最后由 shuxueren 于 2021-2-28 13:48 编辑

[attach]93507[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-2-28 13:56
本帖最后由 shuxueren 于 2021-2-28 15:35 编辑

我不揣浅陋，也跟着康威大师、吴康教授来凑凑热闹，得到了如下：
[attach]93526[/attach]
作者: 永远    时间: 2021-3-1 00:29
不知道楼主是不是数学系专业，如果能采用MathType和LaTEX编辑就好了
行文更直观，便于阅读
作者: 王守恩    时间: 2021-3-1 07:15
王守恩 发表于 2021-2-25 07:22
太冷静了，放个鞭炮。
6条边的和=？

可以有吗？
\(1，用\ a,b,c\ 来表示\ 6\ 边形的面积\)
\(2，用\ a,b,c\ 来表示\ 6\ 边形的周长\)
\(3，用\ a,b,c\ 来表示\ 6\ 边形的边长\)
\(4，用\ a,b,c\ 来表示\ 6\ 边形的角度\)
作者: shuxueren    时间: 2021-3-1 18:32
本帖最后由 shuxueren 于 2021-3-4 10:06 编辑

[attach]93704[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-3-4 18:28
[attach]93714[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-3-4 18:30
△ABC的中点三角形的内切圆叫做Spieker圆，它的圆心称为Spieker中心，记作Sp，在ETC中编号为X-10，
它的重心坐标是（b+c﹕c+a﹕a+b），
Spieker中心还是内心与Nagel点、外心与Feuermann圆心、垂心与Bevan点的中点，
而且是三个旁切圆的根心。
作者: shuxueren    时间: 2021-3-4 18:31
本帖最后由 shuxueren 于 2021-3-5 08:13 编辑

[attach]93758[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-3-4 18:33
[attach]93716[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-3-4 18:33
[attach]93717[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-3-4 18:34
本帖最后由 shuxueren 于 2022-11-2 20:56 编辑

[attach]119098[/attach]
[attach]119099[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-3-7 10:18
本帖最后由 shuxueren 于 2021-3-7 10:26 编辑
shuxueren 发表于 2021-3-4 18:28


谢谢胡教授！好眼光，一眼看透算式的本质！
(a+b+c)(ab+ac+bc)=3abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2
作者: shuxueren    时间: 2021-4-29 09:33
[attach]95821[/attach]
[attach]95822[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-4-29 10:09
[attach]95835[/attach]
[attach]95836[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-5-2 19:24
本帖最后由 shuxueren 于 2021-5-4 18:29 编辑

如何用△ABC的边长a、b、c，表示康威椭圆的长、短半轴长？
请陆教授和各位老师赐教！
[attach]95995[/attach]
作者: 王守恩    时间: 2021-5-3 06:29
本帖最后由 王守恩 于 2021-5-3 06:30 编辑
shuxueren 发表于 2021-4-29 09:33

35楼的解答(35楼的图)。
\(记R=康威圆半径，r=△ABC内切圆半径，s=\frac{4+3+5}{2}=6\)
\(过圆心o作A_{2}B_{1}的垂线(2R)，P为交点，相交弦定理\)
\((PA_{2})*(PB_{1})=(r+R)*(R-r)\)
\((s)*(s)=(r+R)*(R-r)\)
\(R^2=s^2+r^2=s^2+\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}=6^2+\frac{(6-4)(6-3)(6-5)}{6}=37\)
\(答：△ABC生成的康威圆半径=\sqrt{37}\)
作者: shuxueren    时间: 2021-5-3 06:43
谢谢王老师的赐教！
请您探究如下更有挑战性的问题：
如何用△ABC的边长a、b、c表示康威椭圆的长、短半轴长？
作者: shuxueren    时间: 2021-5-5 08:17
本帖最后由 shuxueren 于 2021-5-5 08:19 编辑
shuxueren 发表于 2021-5-2 19:24
如何用△ABC的边长a、b、c，表示康威椭圆的长、短半轴长？
请陆教授和各位老师赐教！


计算机专家、顶级几何高手史勇老师的回复：
想了想，用复对合几何方法（注：史勇老师发明的以复变函数为依据，借助符号软件求解几何问题的高效方法），令 z(a,b,c) = (1-a/b)c^2+ab，则先生图中的 A1~C2六点,可以轻松表达，证明6点共圆锥曲线的方法太多，略；至于，先生要求的椭圆长、短轴，想了想：最好的方法是把我用复表达的6点，取5点改写成Rt坐标，代入二次曲线一般方程，旋转平移后简化为标准方程，则长短轴自然得到，，，只是，大致算了算，要用△的3边来最终得到实结果，表达一定是极为繁琐的！以美学为导向，罢手～
作者: shuxueren    时间: 2021-5-10 15:30
本帖最后由 shuxueren 于 2021-5-10 22:08 编辑

[attach]96327[/attach]
今天中午，creasson老师利用休息时间，借助功能强大的Mathematica符号软件，
给出了“康威椭圆”的一个详细的解答。非常感谢！
（1）证明了六点A1、A2、B1、B2、C1、C2共椭圆；
（2）求出了康威椭圆长、短半轴长满足的繁杂方程，以致机器也求不出显式表达，但仍然难能可贵！
再次感谢creasson老师，您辛苦了！
[attach]96328[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-5-10 15:57
本帖最后由 shuxueren 于 2021-5-10 16:34 编辑

刚才，又发现了一个康威椭圆，
求出了离心率，却求不出长、短半轴长？
敬请creasson老师、陆教授和各位老师赐教！
[attach]96331[/attach]
作者: creasson    时间: 2021-5-10 23:17
本帖最后由 creasson 于 2021-5-10 23:20 编辑

检查发现了一处错误，重新计算如下：
[attach]96347[/attach]
[attach]96348[/attach]
作者: creasson    时间: 2021-5-11 10:39
[attach]96370[/attach]
[attach]96371[/attach]
我并不喜欢推导这些冗长的公式，能计算就行了。
作者: creasson    时间: 2021-5-11 10:46
本帖最后由 creasson 于 2021-5-11 10:48 编辑

进一步的化简
[attach]96372[/attach]
也就是
[attach]96373[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-5-11 12:27
本帖最后由 shuxueren 于 2021-5-11 12:52 编辑

[attach]96376[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-5-11 12:27
[attach]96377[/attach]
作者: creasson    时间: 2021-5-11 13:12
creasson 发表于 2021-5-11 10:46
进一步的化简

也就是

确实写错了，更正为：

[attach]96386[/attach]
作者: creasson    时间: 2021-5-11 13:52
creasson 发表于 2021-5-11 13:12
确实写错了，更正为：

这里我令的 l 是三边周长之和。如果用T代替 l , 那么

[attach]96389[/attach]

作者: creasson    时间: 2021-5-11 14:14
你太执着于公式了，现在计算机这么强大，生产公式是分分钟的事情，何必再去推导呢
作者: shuxueren    时间: 2021-5-11 17:49
本帖最后由 shuxueren 于 2021-5-12 06:46 编辑

请教大家：
[attach]96392[/attach]
刚才做了实验，发现：符合条件的P点有无数个，
在△A1A2A3内形成一条连续而封闭的曲线(外心O在此曲线上)。太有趣了！
谁能写出这条曲线的方程？
作者: shuxueren    时间: 2021-5-12 12:28
[attach]96410[/attach]
刚才做了实验，发现：符合条件的P点有无数个，
在△A1A2A3内、外形成一条连续曲线(比楼上那条曲线复杂多了)。也很有趣！
谁能写出这条曲线的方程？
作者: shuxueren    时间: 2021-5-17 08:01
本帖最后由 shuxueren 于 2021-5-17 08:03 编辑

TSC999老师，将我发现的康威椭圆介绍到“悠闲数学娱乐论坛”：
[attach]96600[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-5-17 08:14
kuing老师给出了一个用向量法求解的想法：
[attach]96601[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-5-18 21:59
hejoseph老师在“悠闲数学娱乐论坛“上说：
并不一定是椭圆，也可能是抛物线或双曲线。
用二次曲线的不变量是容易求得轴的长度的，但是计算太麻烦。
[attach]96694[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-5-18 22:24
本帖最后由 shuxueren 于 2021-5-19 12:31 编辑

hejoseph老师对康威圆锥曲线的精彩推导：
[attach]96697[/attach]
[attach]96706[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-5-19 18:36
hejoseph老师对椭圆这一情形，给出了验证：
[attach]96722[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-5-25 06:47
本帖最后由 shuxueren 于 2024-2-28 09:18 编辑

[attach]139493[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-5-25 06:48
[attach]96918[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-5-25 06:48
[attach]96919[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-5-25 06:49
[attach]96921[/attach]
作者: 天山草@    时间: 2021-5-25 20:30
按照楼主上面的帖子，康威椭圆可以有两种不同的形成方法，如下图所示。

红色椭圆是较早介绍的方法，蓝色椭圆是后面介绍的方法。

两种方法形成的椭圆形状是很不一样的，因此它们的长短半轴计算公式也不一样。公式是如何对应的？

[attach]96926[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-5-25 21:30
本帖最后由 shuxueren 于 2021-5-25 21:43 编辑
天山草@ 发表于 2021-5-25 20:30
按照楼主上面的帖子，康威椭圆可以有两种不同的形成方法，如下图所示。

红色椭圆是较早介绍的方法，蓝色 ...


答天山草老师：
红色椭圆是我5月2日发现的，creasson老师、hejoseph老师用软件确定的。
它不一定是椭圆，也可能是抛物线、双曲线，hejoseph老师给出了判别式。
正因为它的不确定性，我们称红色椭圆为康威圆锥曲线，它与三角形的康威圆关系密切。
蓝色椭圆是我5月10日发现的，我与姜老师共同确定的。
它总是椭圆，故称康威椭圆。
有趣的是，它与三角形的内切、外接Steiner椭圆位似(重心G)，与康威圆没什么关系！
康威圆锥曲线与康威椭圆的关系是疏远的，几何上有一些联系，代数上毫无瓜葛。
作者: shuxueren    时间: 2021-5-26 14:00
本帖最后由 shuxueren 于 2021-5-26 14:13 编辑

午睡朦胧，又梦见了√7
[attach]96945[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-6-15 18:48
本帖最后由 shuxueren 于 2021-6-26 20:47 编辑

五一长假期间，曾辅导几名优秀学生创作了一篇颇有分量的论文
“康威圆、旁康威圆与另类旁康威圆”。这几天，趁在成章学校
监考的空闲时间（午休），在景色旖旎，清风送爽的校内桂竹苑
之状元亭，完成了该文的终校，可以投稿了。先将文章梗概发在这里：
==================================
康威圆、旁康威圆与另类旁康威圆
【摘要】 本文首先介绍了著名的“康威圆定理”和单墫教授对该定理的证明，
继而给出了吴康教授引入的“旁康威圆”的定义及半径公式，
在此基础上，我们发现了更加亲近“康威圆”的“另类旁康威圆”，并导出了它们的半径公式.
【关键词】  康威圆、旁康威圆、另类旁康威圆
作者: shuxueren    时间: 2021-6-15 18:57
本帖最后由 shuxueren 于 2021-6-26 20:47 编辑

约翰·何顿·康威（John Horton Conway，1937--2020)，英国著名数学家，
美国普林斯顿大学数学系教授，他在有限群、纽结理论、数论、代数、分析、
算法、组合博弈论、编码学和理论物理学等研究领域均有杰出的贡献.
[attach]97591[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-6-15 18:58
[attach]97592[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-6-15 19:04
[attach]97593[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-6-15 19:04
[attach]97594[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-6-15 19:05
本帖最后由 shuxueren 于 2021-6-15 19:08 编辑

[attach]97597[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-6-15 19:08
[attach]97598[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-6-15 19:12
[attach]97599[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-6-15 19:13
[attach]97600[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-6-15 19:18
[attach]97601[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-6-15 19:23
[attach]97603[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-6-15 19:23
[attach]97604[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-6-15 19:24
[attach]97605[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-6-15 19:25
[attach]97606[/attach]
作者: shuxueren    时间: 2021-9-20 17:05
本帖最后由 shuxueren 于 2021-9-21 08:42 编辑

[attach]101817[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-11-5 13:21
[attach]103808[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-11-5 13:23
[attach]103810[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-11-5 13:25
[attach]103811[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-11-5 13:26
[attach]103813[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-11-5 13:26
[attach]103814[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-11-5 20:14
[attach]103829[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-11-5 20:14
本帖最后由 陈九章 于 2021-11-6 08:28 编辑

[attach]103857[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-11-5 20:16
[attach]103831[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-11-5 20:16
本帖最后由 陈九章 于 2021-11-5 21:44 编辑

[attach]103840[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-11-5 20:20
[attach]103835[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-11-5 20:21
本帖最后由 陈九章 于 2022-11-2 22:52 编辑

[attach]119120[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-11-5 20:22
[attach]103837[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-11-5 20:23
本帖最后由 陈九章 于 2022-11-2 22:49 编辑

[attach]119119[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-11-9 21:57
本帖最后由 陈九章 于 2021-11-11 12:20 编辑

几年前，著名数学家J.康威(1937--2020)发现了1个康威圆：正康威圆；
2021年2月28日，吴康教授发现了3个康威圆：旁康威圆；
2021年5月1日，我辅导学生发现了6个康威圆：内康威圆(3)+反康威圆(3)。
这10个康威圆组成了和睦美满的康威圆大家族，形成了如下“康威圆全家福”。
[attach]104023[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-11-9 22:04
本帖最后由 陈九章 于 2021-12-25 22:46 编辑

[attach]105707[/attach][attach]104028[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2021-12-1 14:33
本帖最后由 陈九章 于 2021-12-3 14:05 编辑

[attach]104713[/attach]
[attach]104796[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2022-1-1 09:15
本帖最后由 陈九章 于 2022-1-1 09:56 编辑

[attach]105943[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2022-1-1 09:58
本帖最后由 陈九章 于 2022-1-2 14:41 编辑

[attach]105944[/attach]
[attach]105973[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2022-1-1 10:00
[attach]105946[/attach]
作者: 陈九章    时间: 2022-2-3 12:03
本帖最后由 陈九章 于 2022-2-4 12:20 编辑

2022，新的一年，祝陆教授及各位老师：
身心健康，
虎虎生威，
美梦初圆！
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作者: 陈九章    时间: 2022-9-1 12:13
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