数学中国

标题: 对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑 [打印本页]

作者: yangls728 时间: 2021-3-21 12:48
标题: 对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑
致全国中学数学教师和教科书编者的一封公开信
——对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑
杨六省
yangls728@163.com
尊敬的全国中学数学教师和教科书（各种版本）的编者：
李文林先生在其《数学史概论》（第三版，高等教育出版社，2011年）第39页写道： “正方形的对角线和其一边就构成不可公度线段。这一事实的证明，最早出现在亚里士多德的著作中：……这一证明与我们今天证明√2为无理数的方法相同，亚里士多德声明这来源于毕达哥拉斯学派。”罗素在他的《西方哲学史》（上册，商务印书馆，1963年第1版）第62-63页转述了毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明之后写道——“以上的证明，实质上就是欧几里德第十编中的证明。”并“注解”说——“以上的证明或许柏拉图是知道的。”为了方便起见，笔者采用现今教科书中的证法。下面是人教版数学七年级下册第58页中的证明。
假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得
√2=p/q，
于是                               p=√2q.
两边平方得                         p2=2q2.
由2q2是偶数，可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.
因此可设p=2s，代入上式，得4s2=2q2，即
                                 q2=2s2.
所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.
这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.
对于上述证明，笔者提出如下6点质疑：
第1点质疑，√2=p/q（p，q互质）能作为“√2不是有理数”的反论题的表达式吗？
关于反证法，一个基本的要求是——“只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题”（摘引自由“‘科普中国’科学百科词条编写与应用工作项目”审核的“反证法”词条）。金岳霖主编的《形式逻辑》一书中也有类似的表述：“只有论题的矛盾判断才能作为矛盾论题。” 矛盾判断关系务必满足：原论题真则反论题假；反论题假则原论题真
“√2不是有理数”是原论题，其表达式是√2=p/q（p和q不全是整数）；反论题是“√2是有理数”，其表达式应该是√2=p/q（p和q全是整数）。但是，上述教科书是把√2=p/q（p，q互质）设定为原论题“√2不是有理数”的反论题。为了区别起见，我们把表达式√2=p/q（p，q互质）所代表的论题记作“反论题（新）”。下面我们就来揭示，反论题（新）√2=p/q（p，q互质）与原论题√2=p/q（p和q不全是整数）并不构成矛盾判断关系。
   “原论题真”是指，对于“√2=p/q”而言，“p和q不全是整数”成立。这时，谈论“p，q互质”的真假是没有意义的。也许有人会说，不妨把p，q互质没有意义“理解为假”。但问题是，在所有的数学文献中，“互质”和“非互质”概念都是针对两个整数而定义的，我们不可以违反同一律，在同一个论证过程中，对“p，q互质为假”这一说法赋予相互矛盾的含义。因此，上述那个“理解为假”的主意是行不通的。事实上，如果“原论题真则反论题（新）假”成立，则前件要求认可“p和q不全是整数”，后件则相反，矛盾，故“原论题真则反论题（新）假”不成立。
同理，“反论题（新）假则原论题真”也不成立。
上述分析说明，教科书（注：当然也包括其他文献）把√2=p/q（p，q互质）设定为原论题“√2不是有理数”的反论题的表达式是违反反证法基本要求的，因为两个表达式√2=p/q（p，q互质）与√2=p/q（p和q不全是整数）所代表的论题并不构成矛盾判断关系。
第2点质疑，由√2=p/q（p和q全是整数）能推出√2=p/q（p，q互质）吗？
有人会认为，由√2=p/q（p和q全是整数）推出√2=p/q（p，q互质）是理所当然的事。若真是如此，那么，前者假则后者也假。由前者假可知，p和q不全是整数；由后者假可知，p和q非互质，但它们仍均为整数（注：互质与非互质的定义都是针对两个整数而言的），这与前者假时p和q不全是整数矛盾，故由√2=p/q（p和q全是整数）推不出√2=p/q（p，q互质）。
关于推理错误的具体原因：当人们由√2=p/q（p和q全是整数）推出√2=p/q（p，q互质）时，显然是把p/q从√2=p/q中割裂开来，然后加上条件“p和q全是整数”进行推理的。如果这样做是合理的，那么，结论“p和q都是偶数”同样也可以由p/q和条件“p和q全是整数”推出，但这显然是不可能的。事实上，由人教书可知，“p和q都是偶数”之结论是根据√2=p/q（p和q全是整数）进行推理的。下面我们就来揭示，由√2=p/q（p和q全是整数）推不出√2=p/q（p，q互质）的具体理由：在√2=p/q（p和q全是整数）中，等式的左边是无理数√2（注：笔者关于√2不是有理数的证明与毕达哥拉斯学派的证明没有关系，所以，笔者有理由在说理中把“√2不是有理数”作为论据加以应用），右边是一个分数表达式，所以，√2=p/q（p和q全是整数）是一个矛盾式。希尔伯特说，“如果一个概念具有矛盾的属性，那我就认为这概念在数学上不存在。”因此，表达式√2=p/q（p和q全是整数）不具有存在性。现今的人们都知道，√2具有客观存在性，再加上它又是我们所讨论的对象，所以，我们无疑的会认可√2在√2=p/q（p和q全是整数）中的存在性。这样说来，√2=p/q（p和q全是整数）之所以不存在，只是由于等式的右端不存在。试问，对于一个不具有存在性的东西，何以能够谈论分数的化简呢？还可以换一种说法，现今的人们都知道，对于√2=p/q而言，其中的p和q不可能全是整数，在这种情况下，谈论分数的化简有意义吗？（注：也许有人会说，我们是根据“假设p和q全是整数”进行推理的呀，有何不可？笔者的回答是，正是由于“假设p和q全是整数”导致了“p和q都是偶数”的错误结论，所以，应该否定“假设p和q全是整数”才对）因此，依据上述理由，由√2=p/q（p和q全是整数）是推不出√2=p/q（p，q互质）的。
第3点质疑，由√2=p/q（p和q全是整数）能推出p和q都是偶数吗？
答案是否定的，理由参见文后附件“笔者关于√2不是有理数的证明”。
第4点质疑，当毕达哥拉斯学派认为已经证明了“√2不是有理数”之后，理应反思一个矛盾，这就是，如果“√2不是有理数”是一个正确的结论，那么，“p，q互质”就是一个不相干的假设（注：相干的假设是指，p和q是否全是整数，因而，p和q是否互素就是不相干的假设），因此，应该修正假设，重新证明，但毕达哥拉斯学派并没有这样做！
事实上，既然已经知道√2不是有理数，就应该知道“p和q都是偶数”是错误的推理结论，理应否定它们，而不是应用这种错误的结论去否定一个不相干的假设。
第5点质疑，由p和q都是偶数与假设p，q互质矛盾，能够说明√2不是有理数吗？
人教版数学课本在证明的末尾写道——“p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾。这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数。”
笔者认为，由p和q都是偶数（注：姑且不论其推理是否有效）与假设p，q互质矛盾，并不能说明√2不是有理数，理由是：由p和q都是偶数只能否定“√2=p/q（p，q互质）”，而不能否定“√2=p/q（p和q全是整数）”，因为p和q都是偶数与“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p和q全是整数”并不矛盾；而由对“√2=p/q（p，q互质）”的否定，只能确立“√2=p/q（p，q非互质）”（——从而可以推出p和q全是整数，因为“非互质”概念是针对两个整数而定义的），而不能确立“√2=p/q（p和q不全是整数）”，因为只有“√2=p/q（p，q非互质）”与“√2=p/q（p，q互质）”才是矛盾判断关系，而由上文“第1点质疑”可知，“√2=p/q（p和q不全是整数）”与“√2=p/q（p，q互质）”并不构成矛盾判断关系。因此，由对“√2=p/q（p，q互质）”的否定（注：姑且不论推理是否有效），并不能否定反论题“√2=p/q（p和q全是整数），并不能确立“√2=p/q（p和q不全是整数）”为真，即并不能说明“√2不是有理数”。
第6点质疑，在同一论证过程中，对于同一蕴涵关系，既应用它参与推理，又拒绝应用它参与推理，合理吗？
√2=p/q（q是整数）可以写成p2=2q2（q是整数）。下面的蕴涵关系很容易得到证明：对于形如p2=2q2（q是整数）的表达式，如果p是偶数，则假设条件蕴涵q也是偶数。
在教科书的证明中，对p2=2q2（q是整数）中的p实施了“设p=2s”之操作（注：这是应用反证法必须要做的事情），因而在p2=2q2（q是整数）之后有表达式q2=2s2（s是整数）紧随其后，依据上述蕴涵关系，这意味着q也是偶数；但是，对于形式相同的q2=2s2（s是整数），却没有实施同样的操作。论证过程表明，上述蕴涵关系既被应用于推理（指对p和q都是偶数的认可），又被拒绝应用于推理（指如果q为偶数，却不再认可后面的s等也为偶数），这种不能一以贯之的做法，不仅违反一致性原则，其实实在在的后果是，它错失了因为假设p为偶数（注：我们已先行的假设了q是整数）会导致矛盾，因而应该否定p为偶数之假设的机会（参见文后附件“笔者关于√2不是有理数的证明”），致使论证必陷于无效。（6点质疑讨论完毕）
总之，关于反证法的应用，如果反论题的设定是错误的，那么，就不可能通过应用反证法证明原论题——抛开推理的有效性不论，依据反证法的思路，你最终应该否定的将不是反论题，从而，肯定的也就不可能是原论题（注：例如，上文教科书中的证明）。如果反论题的设定是正确的，并且每一步的推理都是合理的，那么，推出的矛盾就一定能够否定反论题，从而确立原论题（参见文后附件“笔者关于√2不是有理数的证明”），相反，如果反论题的设定是正确的，但推出的矛盾却不能否定反论题，不能确立原论题，那么，这其中的推理必存在问题，例如，有些人明明清楚，√2不是有理数的反论题的表达式应该是√2=p/q（p和q全是整数），但却推出了√2=p/q（p，q互质）和“p和q都是偶数”，而依据后者并不能否定反论题，并不能确立原论题，归根到底，是因为关于√2=p/q（p，q互质）和“p和q都是偶数”的推理是无效的（注：理由参见上文“第2点质疑”和文后附件“笔者关于√2不是有理数的证明”）。
这篇文字所涉及的不只是教学问题，它还涉及对第一次数学危机这一重要事件的准确表述问题。以往所有的数学文献均认为，是毕达哥拉斯学派首先发现并证明了√2不是有理数。但笔者认为，毕达哥拉斯学派只是最早发现了√2不是有理数，但并没有能够证明它。
对于上述观点，敬请教科书（各种版本）的编者、专家、中学数学教师及同好批评指正。
致礼！
                                                杨六省
                                                2021-03-18
附：笔者关于√2不是有理数的证明
命题：对于√2= p/q ，其中的p和q不可能全是整数。
证明：我们总可以把√2= p/q写成p2=2q2（q是整数）的形式。
① p不可能是偶数
假设p是偶数，设p=2r（r是整数）,代入p2=2q2,得q2 =2r2 。如果p2=2q2（q是整数）中的p是偶数，那么，q2 =2r2（r是整数）中的q也是偶数；……这样下去，就会推出p和q均含有无穷多个因数2（注：例如，关于p，开始假设p=2r；后面还会假设r=2t；……），从而说明p和q均不是整数，但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾，故对于p2=2q2（q是整数）而言，p不可能是偶数。
② p不可能是奇数
理由是，奇数的平方不可能是偶数。
综上所述，对于p2=2q2（q是整数）而言，p不可能是整数，换一种说法，对于√2= p/q 而言，其中的p和q不可能全是整数。

作者: Ysu2008 时间: 2021-3-21 13:49
复习一下有理数的定义。

作者: 风花飘飘 时间: 2021-3-21 14:39
√2是整数，长得奇怪了一点而已！呵呵

作者: 任在深 时间: 2021-3-21 18:00
本帖最后由任在深于 2021-3-21 18:50 编辑

请注意！
在纯粹数学即结构数学中根本不存在所谓的“有理数”！“无理数”！！更不存在超越数！！！
纯粹数学是研究宇宙空间型的结构和结构关系的科学！
请看！
一.宇宙空间型的三维数数模：
(1)Ω(N^3)=[(NnAn+48)^1/2-6]^3

√n)^3=(√1)^3,(√2)^3,(√3)^3......:三维单位数，
[attach]94506[/attach]
二.宇宙空间型的二维数数模：
(2)Ω(N^2)=[(NnAn+48)^1/2-6]^2

√n)^2=(√1)^2,(√2)^2,(√3)^2......：二维单位数，
[attach]94507[/attach]
三.宇宙空间型的一维数数模：
  (3)Ω(N^1)=[(NnAn+48)^1/2-6]^1: (√n)^1=√1,√2,√3......--------------：一维单位数。
[attach]94509[/attach]

         因为：       ____
                  √2=√P/q=√p/√q=√4/√2=√8/√4=......=√2n/√n=√2

所谓无理数实际是表示空间线段一维的单位数，√1，√,2，√3......√n
所谓复数a+bi是表示零单位的点；（0,a+bi）是表示线段的二维数；▏√a^2+b^2▏^2是表示面积的单位量！
      [attach]94512[/attach]
[attach]94513[/attach]

      看来目前数学中存在很多亟待解决的错误的概念，定义，定理！

作者: Ysu2008 时间: 2021-3-21 23:06

任在深发表于 2021-3-21 18:00
请注意！
在纯粹数学即结构数学中根本不存在所谓的“有理数”！“无理数”！！更不存在超越数！！ ...

你这也属于自娱自乐的胡扯。
地球照样转动，而你啥也改变不了。

作者: 任在深 时间: 2021-3-22 00:31

Ysu2008 发表于 2021-3-21 23:06
你这也属于自娱自乐的胡扯。
地球照样转动，而你啥也改变不了。

当然对那些顽固不化的保皇派！抱住僵尸不放的痴人是改变不了什么！
但是对今后的学子和亟待解决现实数学存在问题的人们来说，是一件利国利民的大好事！！
您已经老朽了？
改不改错误的思想已无大碍！
只要不阻碍符合大自然法则的数学理论，你就是在积德！！
数学难，难就难在错误的，不符合大自然法则的解析上！！！
1.无理数错误！
2.超越数更不存在！
3.素数定理错误！
4.********
简直是罄竹难书啊！！！！

作者: 任在深 时间: 2021-3-28 08:06

Ysu2008 发表于 2021-3-21 23:06
你这也属于自娱自乐的胡扯。
地球照样转动，而你啥也改变不了。

中华是真龙，
真龙不是虫，
龙在天上飞，
虫在泥里行。

作者: 任在深 时间: 2021-4-4 02:52

Ysu2008 发表于 2021-3-21 23:06
你这也属于自娱自乐的胡扯。
地球照样转动，而你啥也改变不了。

究竟谁在胡扯？
地球照样在转动！
在除去那些渣滓之后，转动的就会更加轻松自如！

作者: Ysu2008 时间: 2021-4-4 14:07

任在深发表于 2021-4-4 02:52
究竟谁在胡扯？
地球照样在转动！
在除去那些渣滓之后，转动的就会更加轻松自如！

朽木不可雕也。

作者: 任在深 时间: 2021-4-4 20:52

Ysu2008 发表于 2021-4-4 14:07
朽木不可雕也。

俺想把你变成为树根雕？可惜朽了的树根！
那俺只能去扶植那些小树，让他们成为苍天大树！

作者: Ysu2008 时间: 2021-4-4 21:16

任在深发表于 2021-4-4 20:52
俺想把你变成为树根雕？可惜朽了的树根！
那俺只能去扶植那些小树，让他们成为苍天大树！

你就自嗨吧。

作者: 任在深 时间: 2021-4-4 21:34

Ysu2008 发表于 2021-4-4 21:16
你就自嗨吧。

此言有理！
先要自嗨！
然后群嗨！
最后众嗨!
            嗨！
            嗨吼！
            嗨吼嗨！
            嗨嗨嗨嗨！
            吼吼吼吼吼！
            嗨吼！嗨吼！嗨吼嗨！

作者: 任在深 时间: 2021-4-6 08:29
我们工人有力量！
嗨嗨！
每天每日工作忙！
嗨嗨！
盖起那数学大厦！
《中华单位论》是基础！
全世界人们同声唱！！

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