数学中国

标题: AC=2√3，BC=2，AC⊥BC，D,E 在 AC,AB 上，DE=1，CE,BD 交于 F，求 maxSΔDFE/SΔCFB [打印本页]

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-5-29 03:20
标题: AC=2√3，BC=2，AC⊥BC，D,E 在 AC,AB 上，DE=1，CE,BD 交于 F，求 maxSΔDFE/SΔCFB
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可以求过程和答案么

，点E，F和点D可以共线的

作者: doletotodole 时间: 2021-5-29 05:35
我个人只会暴力硬解.

利用DCBE交叉三角形的面积差这个套路作为前提.
过DE做横纵总共四个垂线段, 令其为MNOP
MNOP自带2个条件, 因为他们有相似三角形关系
MNOP和DE也就是1也自带关系, 勾股定理.

剩下的只是把2个目标面积表示出来.
利用这2个目标面积作为公共部分, 不难建立表达式, 例如DCE和EFB的面积差等于DCB和ECB的面积差, 后者可以求的, 所以...

作者: doletotodole 时间: 2021-5-29 05:36
这种题目的纯几何解法我是没办法, 太难了. 只能代数.

作者: 王守恩 时间: 2021-5-29 15:21
给出答案，我们再来想想答案为什么是这个，会简单些。

\(∠ADE=74.985168°\ \frac{FD*FE}{FC*FB}=\frac{0.736487*0.803176}{1.231824*1.782914}=0.269338\)

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-5-29 16:00

王守恩发表于 2021-5-29 15:21
给出答案，我们再来想想答案为什么是这个，会简单些。

\(∠ADE=74.985168°\ \frac{FD*FE}{FC*FB}=\frac ...

没有准确值么，好吧。。

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-5-29 16:02

xfhaoym 发表于 2021-5-29 09:09
LS的几何问题是不太好作。作了个图，只在直观上说说面已，不好证明。

你的答案是0.25，楼下的答案是0.269338，不是一样的答案。。

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-5-29 16:03
本帖最后由 FGNBGHJUOI 于 2021-6-20 14:18 编辑

doletotodole 发表于 2021-5-29 05:36
这种题目的纯几何解法我是没办法, 太难了. 只能代数.

应该只能代数式吧。

作者: myyour 时间: 2021-5-29 22:42
本帖最后由 myyour 于 2021-5-29 22:59 编辑

提供思路，所求的面积之比，等价于三角形ADE与三角形ABC的面积之比（可证明）。
易知角A为30度，则当AD=AE时，ADE的面积最大。
利用余弦定理求出AD和AE，再求出ADE的面积为（2+根号3）/4，
ABC面积为2*根号3，则所求比值最大值为（2*根号3+3）/24 约＝0.269337567

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-5-29 22:45

myyour 发表于 2021-5-29 22:42
提供思路，所求的面积之比，可转化为三角形ADE与三角形ABC的面积之比（可证明）。
易知角A为30度，则当AD= ...

谢谢详细思路和答案了

作者: Ysu2008 时间: 2021-6-1 13:19
本帖最后由 Ysu2008 于 2021-6-2 02:00 编辑

好题，好难的题。

作者: 王守恩 时间: 2021-6-1 18:53
本帖最后由王守恩于 2021-6-1 19:00 编辑

myyour 发表于 2021-5-29 22:42
提供思路，所求的面积之比，等价于三角形ADE与三角形ABC的面积之比（可证明）。
易知角A为30度，则当AD=AE ...

谢谢 myyour！谢谢 xfhaoym！我也很想知道：
提供思路：所求的面积之比，等价于三角形ADE与三角形ABC的面积之比（可证明）。

但是答案是对的，5楼的答案修正一下。
\(∠ADE=75°\ \ \ \frac{FD*FE}{FC*FB}=\frac{0.736626*0.803041}{1.231889*1.782856}=0.269338=\frac{3+2\sqrt{3}}{24}\)
\(FD,FE,FC,FB无根式解。\)
\(如果把DE=1改成DE=\sqrt{2}，可以有根公式解。\)
\(∠ADE=75°\ \ \ \frac{FD*FE}{FC*FB}=\frac{(\frac{1}{23}\sqrt{176+34\sqrt{3}})*(\frac{1}{23}\sqrt{498-12\sqrt{3}})}{(\frac{4}{23}\sqrt{172-87\sqrt{3}})*(\frac{6}{23}\sqrt{125-54\sqrt{3}})}=\frac{3+2\sqrt{3}}{12}\)

作者: xfhaoym 时间: 2021-6-2 08:51

myyour 发表于 2021-5-29 22:42
提供思路，所求的面积之比，等价于三角形ADE与三角形ABC的面积之比（可证明）。
易知角A为30度，则当AD=AE ...

你好，按着你思路我可以证明AD=AE。可是怎样证明两个比值相同？没给出角答！

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-3 14:14
求助myyour大神下面结论怎么证明的。。
提供思路：所求的面积之比，等价于三角形ADE与三角形ABC的面积之比

作者: xfhaoym 时间: 2021-6-3 15:32

FGNBGHJUOI 发表于 2021-6-3 14:14
求助myyour大神下面结论怎么证明的。。
提供思路：所求的面积之比，等价于三角形ADE与三角形ABC的面积之比

大家等一等，我正在计算两个三角形面积之比。有点麻烦，麻烦也得做。至于为什么两个小三角形面积之比等于两个大三角形之比想不出来。所以我用方程看看。

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-3 17:10

xfhaoym 发表于 2021-6-3 15:32
大家等一等，我正在计算两个三角形面积之比。有点麻烦，麻烦也得做。至于为什么两个小三角形面积之比等于 ...

好的

作者: xfhaoym 时间: 2021-6-3 20:40
我用了一天时间的验证了那个结论：

作者: myyour 时间: 2021-6-3 21:22
我可不是大神哈，就一小喽罗。

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-3 22:16
本帖最后由 FGNBGHJUOI 于 2021-6-15 14:48 编辑

myyour 发表于 2021-6-3 21:22
我可不是大神哈，就一小喽罗。

妙啊

，这个三角形面积之比的转换结论非常的棒，几何最值问题能不用求导的办法来算是最好的。

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-3 22:17

xfhaoym 发表于 2021-6-3 20:40
我用了一天时间的验证了那个结论：

辛苦了

作者: 王守恩 时间: 2021-6-4 10:56
本帖最后由王守恩于 2021-6-4 20:24 编辑

myyour 发表于 2021-6-3 21:22
我可不是大神哈，就一小喽罗。

谢谢 myyour！我来抄一遍(3个字母表示面积)。

\(\frac{ADE}{ABC}=\frac{AD*AE}{AB*AC}=\frac{(AD*AB)*(AE*AC)}{(AB*AC)*(AC*AB)}=\frac{ABD*ACE}{ABC*ABC}=\frac{BD*BA*\frac{BE}{BA}*CE*CA*\frac{CD}{CA}}{BC*BA*\frac{BE}{BA}*CB*CA*\frac{CD}{CA}}=\frac{BDE*CDE}{BCE*BCD}\)

\(\frac{FDE}{FBC}=\frac{FD*FE}{FB*FC}=\frac{(FD*FC)*(FE*FB)}{(FB*FC)*(FC*FB)}=\frac{FCD*FEB}{FBC*FBC}=\frac{CD*CF*\frac{CE}{CF}*BE*BF*\frac{BD}{BF}}{CB*CF*\frac{CE}{CF}*BC*BF*\frac{BD}{BF}}=\frac{CDE*BDE}{BCE*BCD}\)

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-4 17:39

王守恩发表于 2021-6-4 10:56
我来抄一遍(3个字母表示面积)。

\(\frac{ADE}{ABC}=\frac{AD*AE}{AB*AC}=\frac{(AD*AB)*(AE*AC)}{(A ...

嗯呢

作者: xfhaoym 时间: 2021-6-11 17:48
任意三角形的结果也一样：看另一证明。

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-20 11:23

xfhaoym 发表于 2021-6-11 17:48
任意三角形的结果也一样：看另一证明。

很详细的面积转换过程，果然最值问题能不用求导的办法就最好不用，妙啊

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