数学中国

标题: 二次曲线的奥秘？ [打印本页]

---

作者: shuxueren    时间: 2021-6-8 12:03
标题: 二次曲线的奥秘？


[attach]131209[/attach]

---

作者: shuxueren    时间: 2021-6-8 12:49


[attach]131208[/attach]

---

作者: creasson    时间: 2021-6-8 14:22
研究这类计算量有点大的问题不利于身体健康。

[attach]97391[/attach][attach]97392[/attach][attach]97393[/attach]

---

作者: 重生888@    时间: 2021-6-8 16:01
什么问题都有高人知道，为楼上点赞！

---

作者: shuxueren    时间: 2022-2-10 20:23
今天下午，某名校优生问我一题，
开始以为简单，刚才做了一下，竟然做不出来。请大家赐教！
[attach]107307[/attach]

---

作者: yeyucaiji    时间: 2022-2-10 23:40

shuxueren 发表于 2022-2-10 20:23
今天下午，某名校优生问我一题，
开始以为简单，刚才做了一下，竟然做不出来。请大家赐教！

个人推测p的x取值在Q1与椭圆最近点（M)的x和Q2与椭圆最近点(N)的x的中间。椭圆下半部分舍去，在p从最左边向上时，在M左边时，pQ1减小，pQ2减小，此时定未达最小，当p位于MN之间时，先是pQ1增大，pQ2减小(区域G)，再是pQ1增大，pQ2增大（区域K），可以推测最小值应在区域G此范围在y轴两侧，pQ1与pQ2长度变化依赖于椭圆，所以变化规律相同，这时可推测中间值是平衡值即最小值（由我搞的一个平衡假设推出的，此假设之前发了，也许有问题）

---

作者: sjm    时间: 2022-2-12 15:33
确实看图感觉好做，一做就难以实行

---

作者: Nicolas2050    时间: 2022-2-12 20:15
都多大了还在搞这些计算？这类型问题工程实际中一般都是采用数值方法，比如在游戏引擎物理设计中，采用GJK+EPA算法，或旋转卡壳算法求最小距离。椭圆中这类极值可以用盆地跳跃法计算。几十岁的人了还在要求解析解，幼稚。

---

作者: Nicolas2050    时间: 2022-2-13 14:36
这里很多接受的教育不超过高中的人，指望用初等数学来解决一切问题。更有许多人“钻研”前人已经证明了不可行的结论。在浪费生命。（比如那个搞五次方根的）；其实很多数学或物理等科学技术问题没有数学上的理论解（精确解），一般来说追求理论解是理论数学专业研究者那还值得钦佩，更普遍的是求数值解，无论是卫星航天还是导弹，都是计算机数值解的方案。因为实际问题复杂到无法求出理论解。比如这里的古堡朝圣问题，其实就是一个非线性多元函数极值的普通问题，用高等数学方法很容易求出答案，但是很多别用心者非的为了显示自己的能力要用初等方法做，这明显是在误导人。一个人的提出问题与对专问题的见解与思路体现了个人的专业修养，希望更多的人能提出一些有见地的问题，而不是做一个小镇解题家或提问者。大家都很忙，没有义务给你做题或辅导。整天在这里灌水把自己一切不懂的都发在这里显得自己是多么的无知，尤其很多都是基础的问题。

---

作者: luyuanhong    时间: 2022-2-13 23:36
[attach]107372[/attach]

[attach]107373[/attach]

---

作者: 中国上海市    时间: 2022-2-14 14:00
就此问题请教一下陆教授：能否以Q1、Q2为焦点，|Q1Q2|为焦距，以2a为长轴建立一个椭圆方程系列，两个椭圆外切时2a取到最小值？

---

作者: luyuanhong    时间: 2022-2-14 17:27

中国上海市 发表于 2022-2-14 14:00
就此问题请教一下陆教授：能否以Q1、Q2为焦点，|Q1Q2|为焦距，以2a为长轴建立一个椭圆方程系列，两个椭圆外 ...

这个想法当然也是可以的。但是，以 Q1,Q2 为焦点的椭圆是一个斜的椭圆，本身的方程就比较复杂。

要使得两个椭圆相切，更是要满足一个复杂的高次方程，所以无法求得解析解，还是只能求数值解。

---

作者: 中国上海市    时间: 2022-2-14 23:23
说的也是 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

---

作者: 陈九章    时间: 2022-3-30 08:10


征求简易的证明。请陆教授和各位老师赐教！
[attach]108950[/attach]
[attach]108906[/attach]
【注】上述命题已经证明，但证明过程较繁，现征求简证。
请陆教授和各位老师赐教！

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-5 12:06
[attach]109228[/attach][attach]109229[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-5 12:07
[attach]109230[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-6 18:19
在“几何大家”群，lymjkl2007老师画了一幅图，看来，推广很艰难！
[attach]109259[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-11 18:17


怎么推导？
请陆教授和各位老师赐教！
[attach]109504[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-13 07:58


最近，某名校几位优秀学生提出的问题：
[attach]154611[/attach]

---

作者: luyuanhong    时间: 2022-4-15 11:45

陈九章 发表于 2022-4-11 18:17
怎么推导？
请陆教授和各位老师赐教！

[attach]109640[/attach]

[attach]109641[/attach]

---

作者: luyuanhong    时间: 2022-4-15 11:51
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

[attach]109644[/attach]

[attach]109645[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-15 23:06
[attach]109672[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-15 23:10
在网上看到一条优美的曲线，应该是六次曲线，但写不出它的轨迹方程？
敬请陆教授和各位老师赐教！
[attach]109674[/attach]

---

作者: 永远    时间: 2022-4-16 00:58

陈九章 发表于 2022-4-11 18:17
怎么推导？
请陆教授和各位老师赐教！

请问楼主，可否告知这个积分的出处，晚辈不胜感激。

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-16 02:14
经过几个小时繁琐的计算，终于导出了椭圆内接等腰直角三角形斜边中点的轨迹方程，非常复杂，但是，图形非常优美！
辛苦也值得。那图形是我今中午浏览网络时发现的，今晚下班后，挑灯夜战，侥幸得解！
[attach]109680[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-16 08:12


[attach]109686[/attach]
那个名博士拥有高深的数学知识和强大的符号软件，竟然没有求出上列轨迹方程，
却让山村教师用“小米加步枪”导出来了。呵呵

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-16 08:30
这是知乎上著名的大魔导师博士用功能强大的Mathematica软件绘制的图形：
[attach]109682[/attach]
https://www.zhihu.com/question/457842157/answer/1874921021

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-16 08:31


大魔导师的求解方法：
[attach]109683[/attach]

---

作者: 永远    时间: 2022-4-16 13:01

陈九章 发表于 2022-4-16 08:31
大魔导师的求解方法：

对于楼上的积分，下面是一网友提供的答案以及我个人整理如下，但有些小细节我不太明白


\[\begin{align}
  \int_0^{\tfrac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{{({a^2}{{\sin }^2}\theta  + {b^2}{{\cos }^2}\theta )}^2}}}} & = \int_0^{\tfrac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{{[{{\cos }^2}\theta (\frac{{{a^2}{{\sin }^2}\theta }}{{{{\cos }^2}\theta }} + {b^2})]}^2}}}}  \\
   &= \int_0^{\tfrac{\pi }{2}} {\frac{{d\theta }}{{{{({a^2}{{\tan }^2}\theta  + {b^2})}^2}{{\cos }^4}\theta }}}  \\
   &= \int_0^{\tfrac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sec }^4}\theta d\theta }}{{{{({a^2}{{\tan }^2}\theta  + {b^2})}^2}}}}  \\
  & = \int_0^{\tfrac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sec }^2}\theta d(\tan \theta )}}{{{{({a^2}{{\tan }^2}\theta  + {b^2})}^2}}}}  \\
  & = \int_0^{\tfrac{\pi }{2}} {\frac{{(1 + {{\tan }^2}\theta )d(\tan \theta )}}{{{{({a^2}{{\tan }^2}\theta  + {b^2})}^2}}}}  \\
   &= \int_0^\infty  {\frac{{1 + {x^2}}}{{{{({a^2}{x^2} + {b^2})}^2}}}} d(x) \\
  & = \int_0^\infty  {\frac{{\tfrac{1}{{{a^2}}}({a^2}{x^2} + {b^2} - {b^2} + {a^2})}}{{{{({a^2}{x^2} + {b^2})}^2}}}} d(x) \\
   &= \frac{1}{{{a^2}}}\int_0^\infty  {\frac{{({a^2}{x^2} + {b^2}) + ({a^2} - {b^2})}}{{{{({a^2}{x^2} + {b^2})}^2}}}} d(x) \\
   &= \frac{1}{{{a^2}}}\int_0^\infty  {\frac{1}{{{a^2}{x^2} + {b^2}}}} d(x) + \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}}\int_0^\infty  {\frac{1}{{{{({a^2}{x^2} + {b^2})}^2}}}} d(x) \\
   &= \frac{1}{{{a^2}}} \cdot \left. {\frac{1}{{ab}}\arctan \frac{{ax}}{b}} \right|_0^\infty  + \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}}[\left. {\frac{x}{{2{b^2}({a^2}{x^2} + {b^2})}}} \right|_0^\infty  + \frac{1}{{2{b^2}}}\int_0^\infty  {\frac{{dx}}{{{a^2}{x^2} + {b^2}}}} ] \\
   &= \frac{1}{{{a^3}b}} \times \frac{\pi }{2} + \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}} \times \frac{1}{{2{b^2}}}\int_0^\infty  {\frac{{dx}}{{{a^2}{x^2} + {b^2}}}}  \\
   &= \frac{\pi }{{2{a^3}b}} + \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{2{a^2}{b^2}}}\int_0^\infty  {\frac{{dx}}{{{a^2}{x^2} + {b^2}}}}  \\
   &= \frac{\pi }{{2{a^3}b}} + \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{2{a^2}{b^2}}} \times \left. {\frac{1}{{ab}}\arctan \frac{{ax}}{b}} \right|_0^\infty  \\
   &= \frac{\pi }{{2{a^3}b}} + \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{2{a^3}{b^3}}} \times \frac{\pi }{2} \\
   &= \frac{{\pi ({a^2} + {b^2})}}{{4{a^3}{b^3}}} \\
\end{align} \]
[attach]32443[/attach]

---

作者: 永远    时间: 2022-4-16 13:10
网上看见有人这样回答：

对于29楼的过程归纳一下就是这样子，本质上可以往下算到n层。但只有这样写你才能明白你不是在死算。要不然当n更大的时候还继续一次次分式展开么。

[attach]109692[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-16 19:18


[attach]109701[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-16 19:31
xfhaoym老师的推导也是很好的！
[attach]109699[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-16 19:32
[attach]109700[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-17 13:03


在几何吧，creasson先生借助功能强大的mathematica符号软件，
导出了椭圆内等腰直角三角形斜边中点的轨迹方程，如下
[attach]109736[/attach]
[attach]109733[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-17 13:12
我按creasson老师的比例，取a=10，b=5，画了一个图：
[attach]109735[/attach]

---

作者: llshs好石    时间: 2022-4-18 12:41

Nicolas2050 发表于 2022-2-13 14:36
这里很多接受的教育不超过高中的人，指望用初等数学来解决一切问题。更有许多人“钻研”前人已经证明了不可 ...

你上次骂我，我已经不跟你计较了，但请以后说话前请先漱口，
免得显出你的修养太高而世人难望你项背。
[attach]109752[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-24 15:31
Future_maths老师的解法
[attach]110056[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-25 10:43


[attach]110280[/attach]
[attach]110845[/attach]

---

作者: 永远    时间: 2022-4-25 10:49
楼上类似八叶草？

---

作者: 永远    时间: 2022-4-25 10:58

永远 发表于 2022-4-25 10:49
楼上类似八叶草？

感觉与自然界的某些花或草有点类似

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-25 12:48
植物也是数学家
[attach]110078[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-25 12:52
黄金数、斐波那契数列与向日葵
[attach]110079[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-4-25 12:56
大丽花是世界上花卉品种最多的物种之一，是花坛、庭院等地常见的花卉，是高贵富丽的象征。
可以适应不同的气候，简单易活，颜色多样，十分诱人。
[attach]110080[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-5-2 06:48
[attach]110292[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-5-2 06:48
[attach]110293[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-5-10 12:14
[attach]110576[/attach]

---

作者: 风花飘飘    时间: 2022-5-10 13:35
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽

---

作者: 陈九章    时间: 2022-5-12 10:28


请陆教授和各位老师赐教！
[attach]110708[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-5-20 09:14


[attach]111508[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-5-20 09:25


[attach]111038[/attach]
[attach]132886[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-5-20 09:30


[attach]111507[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-5-20 12:16


[attach]111594[/attach]
[attach]111595[/attach]
[attach]111596[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-5-20 12:55


[attach]111115[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-5-30 08:34
[attach]111873[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-6-8 08:23
图形很美，推导不难，但方程太繁。
请陆教授及各位感兴趣的老师，用软件推导一下，看看能否化简？
[attach]112415[/attach]
[attach]112416[/attach]

---

作者: creasson    时间: 2022-6-8 09:53
\[{a^2}{b^2}{({a^2} - {b^2})^2}{({a^6}{x^2} - {b^6}{y^2})^2} - ({a^2} + {b^2})({a^4}{x^2} + {b^4}{y^2}){({a^6}{x^2} + {b^6}{y^2})^2} = 0\]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-6-18 10:51


这题看起来简单，做起来却是挺繁的，不知有没有简捷的推导方法？
[attach]113117[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-8 18:30
国庆长假，整理了十多年来陆续发现的，圆锥曲线之曲星线
（曲率圆心轨迹，即渐屈线，因形如光芒四射之星星得此雅名）的6条内切曲线：
曲星圆、法垂线，Fregler椭圆、法中线和矩切法交线、菱接法交线。

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-8 18:32
[attach]118117[/attach][attach]118118[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-8 18:33
[attach]118121[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-8 18:33
[attach]118122[/attach][attach]118124[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-8 18:34
[attach]118126[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-8 18:48
[attach]118127[/attach][attach]118128[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-8 18:48
[attach]118129[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-8 18:49
[attach]118130[/attach][attach]118131[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-8 18:49
[attach]118132[/attach][attach]118133[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-8 18:50
[attach]118134[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-8 18:51
[attach]118135[/attach][attach]118136[/attach]

---

作者: dodonaomikiki    时间: 2022-10-9 19:00
非常佩服！
已经有数学家气质！



譬如，
61楼，里面，弗兰格勒点，弗兰格勒椭圆，
一听笢子，就是
数学家搞出来的！


靠近数学家，容易变成数学家

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-9 21:53


尊敬的Ysu2008老师、dodonaomikiki老师，您们好！
感谢你们的真诚点赞！过奖了！
我只是一名学浅才疏的乡村教师，感恩科技发展，网络发达，
在论坛认识了陆教授、creasson博士、二位老师和各位名家大咖，深感荣幸！
通过向大家学习，我受益良多，闲暇时，也探究一些数学问题，每有心得，就发表出来，请求大家赐教。
因本人教学任务繁重，时间紧迫，加之资料匮乏，信息闭塞，这就难免穷乡多怪，贻笑大方！

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-17 18:10
[attach]118444[/attach]
[attach]118445[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-17 18:11
[attach]118446[/attach]
[attach]118447[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-17 18:14
上述结论以及相关结论已写成系列论文投稿。不知能否发表出来？
这些文章的标题如下：
1、椭圆的切线与法线引出的高次曲线，
2、双曲线的切线与法线引出的高次曲线；
3、椭圆的正交切线和正交法线引出的新曲线，
4、双曲线的正交切线和正交法线引出的新曲线；
5、对椭圆中心张直角问题引出的新曲线，
6、对双曲线中心张直角问题引出的新曲线；
7、对椭圆中心张直角的一个轨迹问题及其推广，
8、对双曲线中心张直角的一个轨迹问题及其推广；
9、椭圆的内准圆及其推广，
10、双曲线的内准圆及其推广；
11、对椭圆中心张直角的弦中点问题及其推广，
12、对双曲线中心张直角的弦中点问题及其推广；
13、圆锥曲线中心在其等长弦上的射影的轨迹；
14、圆锥曲线内接等腰直角三角形斜边中点之轨迹；
15、对有心圆锥曲线内点张直角弦引出的轨迹问题。
敬请陆教授、creasson博士和各位名家大咖、青年才俊赐教！

---

作者: 陈九章    时间: 2022-10-22 13:34
数学星空博士在2020年8月25日经过深入研究，发现：
椭圆的内接光反射三角形的正、负Brocard 点的轨迹接近椭圆，但不是椭圆，
其轨迹方程是两个复杂的2元32次方程！
其图形刚才画了一下：
[attach]118641[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-11-14 13:20


昨天周末，学校放假半天。
我优哉游哉，网上溜达，在“知乎”上看到dchen505博士于2022年10月24日对下列有趣的问题进行了精彩解答：
椭圆外一动点P向椭圆作两条切线，若两切线夹角为定值θ，那么，动点P的运动轨迹是什么？
[attach]119537[/attach]
数学功底深厚的dchen505先生用两种方法---参数方程法、代数方程法对上述问题进行了详细求解，并且画出了点P的动态轨迹图。难能可贵！
不过，dchen505先生的普通方程比较复杂。记得我10年前也曾探究过这个问题，得到了一个较简单的普通方程，还在东方论坛上发过相关图片。现在已经找不到了。
刚在电脑里搜到了如下一幅图：
[attach]119538[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-11-14 13:24
有空时，可以写一篇文章：有心圆锥曲线的Monge圆及其推广
[attach]119539[/attach]
[attach]119540[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-11-20 11:43
[attach]119682[/attach]
[attach]119683[/attach]
[attach]119684[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-11-22 12:17
[attach]119744[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-11-22 12:19
[attach]119745[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-11-22 12:20
[attach]119746[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-11-30 12:44
见多识广的Ysu2008老师说：
[attach]120077[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2022-11-30 12:45
[attach]120078[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2023-10-7 13:22
叶片轮廓线：植物的的“数学天赋”
看上去平淡无奇的植物，它们的进化历史远比人类悠久得多。在长期的进化过程中，植物一直在不断地强化和完善着自己的生存技能，并因此获得了惊人的“数学天赋”。
你不是画家，但只要你具备一定的数学知识，也可以画出优美的植物造型，因为，植物的优美造型总是和特定的“曲线方程”密切相关。
17世纪，法国著名数学家笛卡尔根据自己所研究的一簇花瓣和叶形的曲线特征，列出了“x^3+y^3-3axy=0”的曲线方程式，使人们认识到了植物叶子和花朵的形态的数学规律性。在这个方程里，只要你变换一下参数“a”的值，就可以描绘出许多种叶子或花瓣的外形图。这个曲线方程就是现代数学中有名的“笛卡尔叶线”，数学家还给它取了一个富有诗意的名字——“茉莉花瓣曲线”。
后来又有不少学者对三叶草、酸模、睡莲、槭树、垂柳、常春藤等植物的花和叶进行了研究，并找到了描绘它们的曲线方程：ρ=asinkφ，其中a和k是常数，k的大小确定花瓣的形态，a的大小确定花瓣的长度。在现代数学中，这类能够描绘花叶外部轮廓的曲线，被统称为“玫瑰形线”。
科学家还把植物的螺旋状缠绕茎称为“生命螺旋线”。的确，如菟丝子的藤蔓类植物总是以螺旋线的造型攀附于邻近的植物，以便在树林里争夺阳光，获取营养，来保证自己的生存。在植物王国，人们很容易发现螺旋线这种迷人的数学曲线。
为什么植物的许多造型会包藏着富有个性特征的“曲线方程”？科学家认为，许多植物造型选择“曲线方程”，首先表明植物发展变化的有序特性；其次，植物在造型上选择“曲线方程”模式，就像鸟对翅膀造型的选择一样，它有减少阻力和防积水的内在需求，还有增强抗倒伏的作用。由此可见，“曲线方程”造型模式是植物在长期生存斗争中形成的“智慧结晶”。
植物的造型智慧不但增强了自身的生存能力，还激发了人类越来越多的创造灵感。在流体工程技术方面，人们创造出了具有螺旋线形状的水轮机导管，从而降低了水在导管里运输过程中的能量消耗。还有锄草机上的切刀也是按照螺旋线原理来设计的。至于“茉莉花瓣曲线”和“玫瑰形线”，人们可以任意改变这些曲线方程的参数数值，绘制出无数的美丽叶子和花朵的外形图案，用它来作为美化生活的装饰图。
摘自大科技杂志社年度佳作《植物惊人的“数学天赋”》（2019-12-18）

---

作者: 陈九章    时间: 2023-10-7 13:25
银杏叶，看上去很漂亮。用曼叶线画一下：
[attach]134445[/attach]

---

作者: shuxueren    时间: 2024-1-19 16:51


魅力四射、风情万种的椭圆曲星线具有丰富的内涵，
它的多条内切曲线令人眼花缭乱，应接不暇，值得大家深入探究：

[attach]138097[/attach]
椭圆的曲星线 的 法垂曲线+曲星圆，
椭圆的曲星线 的 法中曲线+Fregier椭圆，
椭圆的曲星线 的 矩切法交线+矩切法交圆+外准圆，
椭圆的曲星线 的 菱接法交线+菱接法交椭圆+内准圆，
椭圆的曲星线 的 斜中曲线+Fregier椭圆。

---

作者: shuxueren    时间: 2024-1-19 17:59
[attach]138098[/attach]

---

作者: shuxueren    时间: 2024-1-19 17:59
[attach]138099[/attach]

---

作者: shuxueren    时间: 2024-1-19 18:12
[attach]138100[/attach]

---

作者: shuxueren    时间: 2024-1-19 18:14
[attach]138101[/attach]
[attach]138102[/attach]

---

作者: shuxueren    时间: 2024-1-19 18:22
[attach]138103[/attach]

---

作者: shuxueren    时间: 2024-1-19 18:23
[attach]138104[/attach]

---

作者: shuxueren    时间: 2024-1-19 18:24
[attach]138105[/attach]

---

作者: shuxueren    时间: 2024-1-19 18:33
[attach]138106[/attach]

---

作者: shuxueren    时间: 2024-1-19 18:43


[attach]138108[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2024-1-19 20:49
[attach]138139[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2024-1-19 20:53
[attach]138140[/attach]
[attach]138141[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2024-1-19 20:54
[attach]138142[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2024-1-19 20:54
[attach]138143[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2024-1-19 20:56
[attach]138144[/attach]

---

作者: 陈九章    时间: 2024-1-19 20:56
[attach]138145[/attach]

---

欢迎光临 数学中国 (http://www.mathchina.com/bbs/)

Powered by Discuz! X3.4