数学中国

标题: 再谈连乘积（1-1/p）的来历 [打印本页]

作者: lusishun 时间: 2021-6-11 09:21
标题: 再谈连乘积（1-1/p）的来历
连乘积（1-1/p）的出现，最早见于哪里，本人不清楚。
依据，我观察有三，
1，套用欧拉函数，改变定义域。
2，概率乘法原理。
3，倍数含量筛法（类似套用欧拉函数，定义域是小于2n算术平方根的所有素数）

作者: lusishun 时间: 2021-6-11 12:22
1，套用欧拉函数公式，改变定义域，就没有了（欧拉函数）依据。
2，素数倍数不是独立事件，用概率乘法，也是逻辑不通。
唯有3，从倍数含量的定义出法，推导出来的倍数含量筛法，也出现了连乘积（1-1/p）的形式，
从形式上讲，三种推导，得到同一种形式的（1-1/p）连乘积的形式。
倍数含量筛法，揭示了连乘积（1-1/p）的科学性，合理性，符合逻辑性，
但是，若从求素数个数的要求出发，它仍然是一个近似，从一开始，就是近似的，所以，对于任意的，随便的n来说，求出来的素数个数是近似，并且是在近似的基础上的近似，步步近似，这样的结果，叫谁接受呢？

作者: lusishun 时间: 2021-6-11 13:27
倍数含量筛法过程中，也出现了，连乘积（1-1/p）的式子，这个式子的出现不是套用欧拉函数的公式，改变定义域，而是根据倍数含量的重叠规律推导出来的。
根据倍数含量的定义，在连续n个自然数中，素数p的倍数含量有
n/p，在100至199中，3，7，11，13的倍数含量分别是100/3，100/7，100/11，100/13，与3，7，11，13的倍数个数相差不到1，

作者: lusishun 时间: 2021-6-11 13:50
倍数含量重叠的规律：
如，在100——199，3的倍数含量是100/3，而在100——199之间，21的倍数含量是100/21，而100/21就是100/3之后再除以7，即（100/3）（1/7），这就意味着，在3的倍数中，有100/21=4或5个，有五个7的倍数，105，126，147，168，189，
筛去3的倍数含量时，还按比例暗暗的筛去了5，11，13，的倍数含量。

作者: lusishun 时间: 2021-6-11 16:20
您懂筛法啊，很好啊，但您忽略了小数部分啊！
100（1-1/2），剩下50，再筛3的倍数，50（1-1/3），这就出现了小数，是吧！

作者: lusishun 时间: 2021-6-11 16:23

lusishun 发表于 2021-6-11 08:20
您懂筛法啊，很好啊，但您忽略了小数部分啊！
100（1-1/2），剩下50，再筛3的倍数，50（1-1/3），这就出现 ...

再一直筛，是不是，都是近似计算啊，步步都是近似计算，最后结果，就使人不放心了，是吧？

作者: lusishun 时间: 2021-6-11 16:26
就是这一个概念的提出，揭示了连乘积（1-1/p）的优势所在。
但它的弱势刚才说了，步步近似，让人说不清。或者叫瑕疵

作者: lusishun 时间: 2021-6-11 16:28
我是如何，避开瑕疵，发挥优势，使证明哥猜，才变成可能。

作者: lusishun 时间: 2021-6-11 17:56
白新岭先生，
您注意第一，第二楼里，
连乘积（1-1/p）的来历，倍数含量筛法中出现的连乘积（1-1/p）是根据倍数含量重叠规律，一步一步推导过程中自然出现的，
1，不是套用欧拉函数公式（改变定义域）
2，不是用的概率乘法公式，
我为什么用倍数含量就是找到了您说的公式有自身的理论依据，合数个数有重叠规律，其小数部分也遵照重叠规律

作者: lusishun 时间: 2021-6-11 17:58

lusishun 发表于 2021-6-11 09:56
白新岭先生，
您注意第一，第二楼里，
连乘积（1-1/p）的来历，倍数含量筛法中出现的连乘积（1-1/p）是根 ...

所有，误差不会无限积累，在自然数列内，合数的出现不概率事件

作者: lusishun 时间: 2021-6-11 19:22

lusishun 发表于 2021-6-11 05:50
倍数含量重叠的规律：
如，在100——199，3的倍数含量是100/3，而在100——199之间，21的倍数含量是100/21 ...

我为什么加强筛，
保证筛干净合数，例如，1，2，3，4，……10，按简单筛方法，先筛2的倍数，剩下10（1-1/2）=5，剩下5个奇数，再筛3的倍数，5（1-1/3）=10/3=3.3333333333，
而实际应该剩下1，5，7，这样就没有筛干净

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-11 22:32
本帖最后由天山草@ 于 2021-6-11 23:03 编辑

[attach]97497[/attach]

上面这两个公式是怎么来的？大概是筛法玩腻了的网友们熟知的老东西了。谁给小白介绍一下？

作者: 大傻8888888 时间: 2021-6-11 23:10

天山草@ 发表于 2021-6-11 22:32

天山草@先生，您好！
不知您和以前的天山草先生是否是同一个网友。天山草先生的网名很长时间没有上网了，很是想念当初一起推广梅腾斯定理时大家共同努力的场景，至今难以忘怀。
这个帖子是我最初的观点，我后来改进了这些公式，用x/2*∏(1-2/p)/[2e^(-γ)]^2，（其中2﹤p≤√x）表示x以内孪生素数的个数，天山草先生用宝贵的数据验证了数值越大计算值越接近实际值，我对天山草先生的计算能力无比钦佩，对他的支持再次表示衷心的感谢！祝他身体健康！万事如意！

作者: lusishun 时间: 2021-6-12 04:47
我加强的原因，就是因为这两个公式，从一开始就是近似计算计算。所有，我在此基础上采用了加强。

作者: lusishun 时间: 2021-6-12 04:50

lusishun 发表于 2021-6-11 20:47
我加强的原因，就是因为这两个公式，从一开始就是近似计算计算。所有，我在此基础上采用了加强。

有的网友认为我的加强，使误差更大了，更失真了。
我的认为，这个误差时人为误差，完全是正误差（筛干净）。

作者: lusishun 时间: 2021-6-12 04:55

lusishun 发表于 2021-6-11 20:50
有的网友认为我的加强，使误差更大了，更失真了。
我的认为，这个误差时人为误差，完全是正误差（筛干 ...

完全把合数筛干净，是我的努力目标。
1，有覆盖定理，
2，有倍数含量的重叠规律

有这两条作依据，步步进行加强，实现了预定目标

作者: 白新岭 时间: 2021-6-12 07:02

天山草@ 发表于 2021-6-11 22:32
上面这两个公式是怎么来的？大概是筛法玩腻了的网友们熟知的老东西了。谁给小白介绍一下？

天山草@先生已经好久不来歌猜专栏了。您以前对素数有关问题的研究还是相当深刻的，有前瞻性。
天山草先生的疑问，大傻8888888先生能给您讲解的一清二楚。

作者: lusishun 时间: 2021-6-12 09:03

lusishun 发表于 2021-6-11 20:50
有的网友认为我的加强，使误差更大了，更失真了。
我的认为，这个误差时人为误差，完全是正误差（筛干 ...

连乘积（1-1/p）的误差是无法克服的误差。
加强比例倍数含量筛法的误差是在无法克服的误差的基础上，人为加大误差，使之成为清一色的正误差（多筛的，误差），保证筛干净合数剩下的都是素数

作者: lusishun 时间: 2021-6-12 09:08
我加强的依据有二，一，在连续n个自然数中，p的倍数有n/p ，
二，筛掉p的倍数含量，暗中按比例筛除了非p的倍数含量，

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-12 10:32
本帖最后由天山草@ 于 2021-6-12 10:38 编辑

lusishun 发表于 2021-6-12 09:08
我加强的依据有二，一，在连续n个自然数中，p的倍数有n/p ，
二，筛掉p的倍数含量，暗中按比例筛除了非p ...

问题在于，最终公式应该是容易计算的，一堆素数的连乘积要转换成一个简单函数的表达式才好用。

下面举个例子进行说明：

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-12 10:39
本帖最后由天山草@ 于 2021-6-12 11:23 编辑

[attach]97503[/attach]

注：公式 (2) 或公式 (5) 可以当作是 \(n\) 以内包含有多少孪生素数对的个数下限计算式。

因为这些公式的建立尚缺少数学家们要求的严格的论证，所以这些公式尽管我们相信它是正确的，

但数学家们不会以此为根据认可“孪生素数有无穷多”这个命题得到了证明。

也就是说，数学家们不会认可公式 (2) 或公式 (5) 是一个无懈可击的孪生素数下限数值公式。

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-12 10:46
在上面的例子中，由连乘积公式 (2) 变换成了容易计算的公式 (5)。当然公式 (2) 和公式 (5) 的精度都不高，所以鲁思顺先生才把公式 (2) 进行了改进，比如改成了公式 (2A)，那么还需要再进一步把 (2A) 变换成类似公式 (5) 那样的形式。如果变不过去，将是一个遗憾。

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-12 11:03
回复“大傻8888888”网友，天山草即是天山草@，我把天山草的登录密码忘记了，找不回来，只好换了个马甲。

作者: lusishun 时间: 2021-6-12 18:34
不知天仙草先生，是否看过本人的拙作《倍数含量筛法与恒等式的妙用》，
不知哈代—李是如何得到连乘积（1-1/p），与连乘积（1-2/p）的，
我得来过程是，在倍数含量的概念建立基础上，发现倍数含量重叠规律上，进行逐步筛除2，3，5，7，……的倍数含量的过程中，出现了（1-1/p）的连乘积。
注意，这里只能筛除倍数含量，与筛除倍数（个数），是有区别的。
要想筛干净个数，我采取的方法是，加强，且步步加强。

作者: lusishun 时间: 2021-6-12 19:29

lusishun 发表于 2021-6-12 10:34
不知天仙草先生，是否看过本人的拙作《倍数含量筛法与恒等式的妙用》，
不知哈代—李是如何得到连乘积（1 ...

圆法，不懂，
2017年版，汉斯出版，对

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-12 19:53
本帖最后由天山草@ 于 2021-6-12 20:09 编辑

在倍数含量筛法一文中，中间突然出现了下述文字，没有给出解释：
[attach]97520[/attach]

这篇文章一开始，好像是要证明哥猜的。但是结尾，却是证明了孪生素数为无穷多。

从整篇文章看，应该是证明后者的。如果能证明孪生素数为无穷多，那就足够了。

如果这篇短文基本上能把“孪生素数有无穷多”讲明白，可以把文章标题改为“用倍数含量筛法证明孪生素数有无穷多”。

作者: 大傻8888888 时间: 2021-6-12 21:23

天山草@ 发表于 2021-6-12 10:39
注：公式 (2) 或公式 (5) 可以当作是 \(n\) 以内包含有多少孪生素数对的个数下限计算式。

因为这些 ...

天山草@先生引用我的帖子是我2009年发表的。
下面是2011年我的帖子和天山草先生验证的情况：
“ 楼主| 发表于 2011-9-24 21:59 | 只看该作者
(x/2)∏(1-2/p)/[2e^(-γ)]^2，（其中2﹤p≤√x）表示x以内孪生素数的个数，请网友用数据检验
天山草先生计算结果如下：
“按大傻8888888的不大于 x 的孪生素数组数公式计算，与实际值比较，结果如下：
x          计算值          实际值       计算/实际
-----------------------------------------------------------------
10000000          50726          58980    0.86005
20000000          93122          107407    0.86700
30000000       133295          152891    0.87183
40000000       171795          196753    0.87315
2 亿          721868          813371    0.88750
  20 亿       5751530          6388041    0.90035
  40 亿       10797924       11944438    0.90401
100 亿       24887721       27412679    0.90789
1000 亿       205772902       224376048    0.91708
1 万亿    1729229895       1870585220    0.92443
10 万亿    14734651089    15834664872    0.93053
100 万亿 127052915959    135780321665    0.93572
1000万亿 1106769279118    1177209242304    0.94016
1 亿亿 9727596632846 10304195697298    0.94404
10 亿亿 86168506931355 90948839353159    0.94743
20 亿亿  166392268896577 175448328823978    0.94838
30 亿亿  244584778743210 257750385466498    0.94892
40 亿亿  321499383716968 338672552419827    0.94929

-=-=-=-=- 以下内容由天山草在时添加 -=-=-=-=-
40 亿亿以后，按大傻88888888的公式还能算下去，但是实际值没有参考资料了。上面这些实际值来自国际数学互联网。
如哪位网友有 40 亿亿以后的数据，请您发上来，大家共享。”
可惜的是没有40 亿亿以后的实际值数据，如果有计算值和实际值之比可以达到0.99、0.999、一直到0.99999.......。
(x/2)*∏(1-2/p)/[2e^(-γ)]^2，（其中2﹤p≤√x）表示x以内孪生素数的个数虽然看起来计算值比实际值小，但是不能保证是孪生素数的下限数值，说不定在某个数值后实际值会比计算值大，只能认为当数值趋近无限大时计算值和实际值之比趋近1。当然如果是(x/4)*∏(1-2/p)/[2e^(-γ)]^2，（其中2﹤p≤√x）表示x以内孪生素数的个数则比实际值小。
另外知道了天山草@就是原来的天山草先生，欢迎天山草@多来论坛发表高见，和您交流使我受益非浅。再次向您表示感谢！

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-12 22:18
本帖最后由天山草@ 于 2021-6-12 23:57 编辑

请大傻8888888先生看看下面：

[attach]97531[/attach]

[attach]97536[/attach]

注意到，随着 \(n\) 的增大，公式 (1) 似乎是发散的，而公式 (3) 好像是收敛的。

作者: 大傻8888888 时间: 2021-6-12 23:27
本帖最后由大傻8888888 于 2021-6-12 23:29 编辑

天山草@ 发表于 2021-6-12 22:18
请大傻8888888先生看看下面：

确实如天山草@所说n较小时（1）式更准，n较大时（3）式较准。（3）式理论上和素数定理n/ln（n）等价。

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-13 07:15
本帖最后由天山草@ 于 2021-6-13 07:28 编辑

“（3）式理论上和素数定理 \(n/ln（n）\) 等价。”

这个是如何证明的？如果这个结论成立，那么随着 \( n \) 趋于无穷大， (3) 式最终会收敛到 \( π(n)\)，

也就是说 (3) 式对 \( π(n)\) 的误差将最终趋于零。

而 (1) 式等于 (3) 式的 \(1/0.8766=1.14\) 倍，它就最终会收敛到 \(1.14× π(n)\) 了。这个，可能吗？

那么另一种可能，就是 (1) 式和 (2) 式相对于 \( π(n)\) 而言，都是振荡发散的，它们最终都不能收敛到 \( π(n)\)。

作者: lusishun 时间: 2021-6-13 17:29
天山草先生，
可免费下载的《倍数含量筛法与恒等式的妙用》，是证明两个猜想，算式一后边证明的哥猜，算式二后边证明的是孪生素数猜想。
欢迎质疑。

作者: 大傻8888888 时间: 2021-6-13 23:26

天山草@ 发表于 2021-6-13 07:15
“（3）式理论上和素数定理 \(n/ln（n）\) 等价。”

这个是如何证明的？如果这个结论成立，那么随着 \( ...

根据梅腾斯定理，当n充分大时（2）式成立，n/2e^(-γ)乘以（2）式约等于n/ln（n），而素数定理π（n）≈n/ln（n），所以（3）式理论上和素数定理n/ln（n）等价。(3) 式对π（n）的误差相对π（n）趋于零。
(1) 式等于 (3) 式的大约1.14倍，也就是n充分大时（1）式约等于1.14π（n）。这应该成立，根据先生在28楼的数据，10^16时（1）式约等于1.091π（n），已经接近1.1倍了，而10^16对于充分大来说实在是太小了。
(1) 式和 (2) 式相对于 π（n）而言，最终都会收敛到约等于1.14π（n）。

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-14 07:04
本帖最后由天山草@ 于 2021-6-14 08:34 编辑

大傻8888888 上面这个论述大概能够成立。前面帖子中的 (1) 式，即

[attach]97560[/attach]

上面这个公式是有问题的，因为在筛掉 2 的倍数 (偶数) 时会同时筛掉了 6、12、18 等能被 3 整除的偶数，这样在筛除 3 的倍数时就会比公式中的少筛掉一些。类似地，在筛掉 3 的倍数时会同时筛掉了 15 等数，于是用 5 筛除时也与公式计算不符。
因此在证明中是不能引用这个公式的。

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-14 07:27
本帖最后由天山草@ 于 2021-6-14 07:33 编辑

关于鲁思顺先生的双筛法，我的理解如下。如果这个理解不对，那下面这方法就不是或不完全是鲁先生心目中的双筛法。

[attach]97561[/attach]

为何称之为双筛？就是筛了 a 还要再筛 b，需要进行两次筛选。

而要证明哥猜，就是要证明对于任何一个偶数，经过双筛以后，能够保证 a、b 都不是空集。

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-14 08:40
上面这个筛除操作，在筛 a 时要考虑同时去掉 b 中的对应项，同样，在筛 b 时也要考虑同时去掉 a 中的对应项。如此就能保证最后剩下的 a、b 中的素数是成对出现的。在证明中只须证明 a 或 b 不是空集即可。

作者: 志明 时间: 2021-6-14 15:54
本帖最后由志明于 2021-6-14 07:56 编辑

天山草@ 发表于 2021-6-13 23:04
大傻8888888 上面这个论述大概能够成立。前面帖子中的 (1) 式，即

天山草先生：

您提出的这问题并不是问题，在此举个实例说明：

在从1至32中，在筛掉 2 的倍数时，筛掉的 2、4、6.……28、30、32这16个2的倍数，占比1／2。
余下的自然数数量是：32－（32×1／2）
　　　　　　　　　　　＝32×（1－1／2）
　　　　　　　　　　　＝32×1／2

因为2的倍数2、4、6、、8、10、12.……在自然数中的排列是均衡的，
并且，3的倍数3、6、9、12、15、18.……在自然数中的排列也是均衡的，
因此，在筛掉的2、4、6.……28、30、32这16个偶数中，3的倍数占比大约是1/3，
筛掉2的倍数之后，在余下的1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31这16个数中。3的倍数占比同样大约是1/3。

因此，在筛掉3的倍数后，余下的自然数数量的近似值是：32×1／2－（32×1／2×1／3）
　　　　　　　　　                            　　　　  　　　＝32×1／2×（1－1／3）
　　　　　　　　　                               　　　　　　　＝32×1／2×2／3

　因为2的倍数2、4、6、、8、10、12.……在自然数中的排列是均衡的，
　并且，3的倍数3、6、9、12、15、18、21、.……在自然数中的排列也是均衡的，
　　　　5的倍数5、10、15、20、25、30、35.……在自然数中的排列也是均衡的，
　因此，运用前面的分析方法进行推导，可得出，在筛掉5的倍数后，余下的自然数数量的近似值是：
　　　　　　　　32×1／2×2／3－（32×1／2×2／3×1／5）　
　　　　　　　　＝32×1／2×2／3（1－1／5）　
　　　　　　　　＝32×1／2×2／3×4／5
　
　往后都可以此类推。

作者: lusishun 时间: 2021-6-14 20:22

天山草@ 发表于 2021-6-13 23:27
关于鲁思顺先生的双筛法，我的理解如下。如果这个理解不对，那下面这方法就不是或不完全是鲁先生心目中的双 ...

因为210是2，3，5，7，的倍数，所以筛去2，3，5，7，的倍数含量时只需筛一边，而只有筛11，13的倍数含量时，需要筛两次，
210/2·（1-1/2）（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）（1-2/11）1-2/13）=16.615384615.
证明时，把105当作素数，没有其它的约数：
210/2·（1-1/2）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）（1-2/11）（1-2/13）=
加强筛，210/2·（1-4/7）（1-26/36）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）（1-2/13）=

作者: lusishun 时间: 2021-6-14 20:33

lusishun 发表于 2021-6-14 12:22
因为210是2，3，5，7，的倍数，所以筛去2，3，5，7，的倍数含量时只需筛一边，而只有筛11，13的倍数含量 ...

接续：
和=210的式子共有105个式子，
1， 2， 3， 4，…………………105，（一）
209，208，207，206，……………… 105. （二）
偶数成对出现，筛2的倍数含量只需筛一次，105-105（1/2）=105（1-1/2），
第二步，筛去3的倍数含量，3的倍数含量在筛2倍数含量时带走了105/6，

作者: 志明 时间: 2021-6-14 20:45
lusishun　由于2n不可能是所有素数的倍数，所有，仍然是近似计算。
lusishun　倍数含量的重叠规律，暗中在起作用
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

2n是2的倍数，因此，在首次筛除2的倍数后，计算得出余下的自然数数量的公式是精确的。
　
倍数的均衡排列这一规律是明摆的，连乘积公式就是依据这一明摆的规律推导得出的。如果没有这一规律，连乘积公式就是没有数理支撑的无根之木、无源之水。因此，这一规律并不是什么暗中起作用。

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-14 20:55
志明网友：

举两个例子。

先看一个小点的数 1260，不大于 1260  的素数有 205 个。 1260 的平方根约为  35.5，所以用 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31  共 11 个素数来筛，按公式 a = 1260*1/2* 2/3*4/5* 6/7*10/11* 12/13*16/17* 18/19 *22/23 * 28/29 *30/31 ≈193，
为什么比 205 少了 12 个？  这个误差是从哪里来的？

再看一个很大的数 10^16，这个数以内的素数有 279238341033925，用公式算  10^16* 1/2* 2/3*4/5*......≈ 304797216105867，又比实际值大了 9%，大这么多，误差是哪里来的？

作者: 志明 时间: 2021-6-14 20:56
本帖最后由志明于 2021-6-14 13:07 编辑

天山草@ 发表于 2021-6-14 12:39
举行稍大点的数 1260，不大于 1260 的素数有 205 个。 1260 的平方根约为 35.5，所以用 2、3、5、7、1 ...

您的理解是正确的，在筛除2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31这 11 个素数的倍数时，把这11个素数的1倍数（素数本身）也筛除掉。因此，在非筛除的数（筛除后余下的数）中，不包含小于√1260的素数。

您说的误差从何来？我在《运用“连乘积公式”的基础条件，揭开误差之迷》中，揭示了误差的形成原因。 http://bbs.mathchina.com/bbs/for ... =1181460&extra=

作者: lusishun 时间: 2021-6-14 23:58
以10为例就可以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.
10·（1-1/2）=5筛去2的倍数含量，
在筛3的倍数含量，5（1-1/3）=10/3=3.333333，而筛完2，3后应剩下1，5，7三个数，这里却是3.33333，没有筛干净

作者: lusishun 时间: 2021-6-15 00:11
原因是，筛去2，4，6，8，10中，带走的只有6，就是说带走的3的倍数含量是5/3，但实际3的倍数只有一个数6，下一步筛3的倍数含量5/3，
1，3，5，7，9有两个3的倍数，只筛去5/3，还差1/3没有筛去，所有最后多出1/3=0.33333333

作者: lusishun 时间: 2021-6-15 00:16

lusishun 发表于 2021-6-14 16:11
原因是，筛去2，4，6，8，10中，带走的只有6，就是说带走的3的倍数含量是5/3，但实际3的倍数只有一个数6， ...

换了一种名称，误差还是存在。
套用欧拉函数，改变定义，就出现步步都有误差，在误差的基础上进行运算，最后结果，不能令人满意。事实也是这样

作者: 志明 时间: 2021-6-15 07:12
本帖最后由志明于 2021-6-14 23:50 编辑

　在《运用“连乘积公式”的基础条件，揭开误差之迷》中，揭示了误差的形成原因。
http://bbs.mathchina.com/bbs/for ... =1181460&extra=

　 “连乘积公式”是以“在从1至偶数A的范围内，素数的倍数和两个以上小于√A的素数的乘积倍数的分布是绝对均衡的。”这一设定的条件推导得出的。

　　而实际情况是，任何一个偶数A，都不可能是所有小于√A的素数的倍数和所有两个以上小于√A的素数的乘积倍数。因此，在从1至A的范围内，素数倍数的分布、两个以上的素数的乘积倍数的分布不是绝对的均衡，只是相对的均衡。由此可知：

　　其一、“在从1至偶数A的范围内，素数的倍数与两个以上小于√A的素数乘积的倍数的分布不是绝对的均衡。”这一实际情况，与公式形成过程中所设定的条件不是完全相符。由此确定了“连乘积公式”不是精确表达式，计算结果会出现误差，这是“连乘积公式”误差的根源。

　　其二、因为素数倍数的间距是相等的，两个以上小于√A的素数的乘积倍数的间距也是相等的，因此，在从1至偶数A的范围内，它们的分布虽然不是绝对的均衡。但是，它们的分布还是具有相对的均衡性。这种相对的均衡性，保证了“连乘积公式”的计算结果是相对合理的近似值（误差是有限的，误差率不会无限扩大）。

　　这种相对的均衡性，是“连乘积公式”的基础条件，如果没有相对的均衡性这一基础条件，就没有“连乘积公式”。

　　并且，通过分析可知，“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能，也是由这种相对的均衡性衍生出来的必然现象。

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-15 10:11

志明发表于 2021-6-15 07:12
　在《运用“连乘积公式”的基础条件，揭开误差之迷》中，揭示了误差的形成原因。
http://bbs.mathchina ...

当自然数趋于无穷大时，“连乘积公式”对于真实值的相对误差会不会趋于零？还是在一定范围内波动？还是趋向于一个定值？ (比如这个定值大约是 14% 左右)

作者: lusishun 时间: 2021-6-15 15:34
我的加强筛：
在连续n个自然数，每个素数p的倍数含量是n/p。
每个素数的倍数个数最多不超过（n/p' +1），筛去p的倍数含量，带走q的倍数含量（n/pq），第一步，筛去2的倍数含量，n-n/2=n（1-1/2），加强筛，n-（4/7）·n=3/7）·n
第二步，筛去3的倍数含量，带走的（4/7）·n中的3的倍数含量，占1/3，就不需要筛了，只对剩下的部分筛去1/3，加强筛按照13/36的比例筛，（1-4/7）·n-（1-4/7）·n·13/36=n·（1-4/7）（1-13/36）,依次加强筛去5，7，11，13，…的倍数含量，分别按照1/3，1/5，1/7，1/11…的比例筛，得到：
n·（1-4/7）（1-13/36）（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）（1-1/11）……,这样，剩下的素数个数一定比实际的素数个数少，

作者: lusishun 时间: 2021-6-15 16:43
总结，
加强筛的依据，
1，倍数含量的定义，2，倍数含量重叠的规律。3，覆盖定理。

作者: lusishun 时间: 2021-6-15 16:46

lusishun 发表于 2021-6-15 08:43
总结，
加强筛的依据，
1，倍数含量的定义，2，倍数含量重叠的规律。3，覆盖定理。

在简单倍数含量筛法过程中，出现了（1-1/p）的连乘式，是过程中的自然出现。

作者: lusishun 时间: 2021-6-15 16:49

lusishun 发表于 2021-6-15 08:46
在简单倍数含量筛法过程中，出现了（1-1/p）的连乘式，是过程中的自然出现。

接续：
加强筛，是逐步加强，逐步筛，不是把简单筛的式子拿过来，改变了一下系数完事。

作者: lusishun 时间: 2021-6-16 04:52
网友可以结合简单倍数含量筛法的缺陷一贴看看

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-16 19:56
本帖最后由天山草@ 于 2021-6-17 09:11 编辑

以 210 为例子，看看网上流传的连乘积公式为什么误差那么大。

[attach]97658[/attach]

具体程序及其运行结果可看下面链接的帖子：

http://www.mathchina.com/bbs/for ... page%3D1&page=2

上面计算的系数多算了，应该是：

[attach]97674[/attach]

作者: 大傻8888888 时间: 2021-6-16 21:21
本帖最后由大傻8888888 于 2021-6-16 21:26 编辑

天山草@ 发表于 2021-6-16 19:56
以 210 为例子，看看网上流传的连乘积公式为什么误差那么大。

210开平方约等于14.5，所以用连乘积只需要210*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13≈40 即可，同时加上2、3、5、7、11、13这6个素数，减去1，应该是45。误差不大。
连乘积∏(1-1/p)在数论问题的解决上是绕不开的一个话题。大家都知道欧拉函数，设φ（n）表示不超过n而又与n互素的自然数个数，φ（n）就是所谓欧拉函数，根据欧拉函数φ（n）=n ∏(1-1/p)其中p|n可以求出部分素数，如30 ，根据欧拉函数可以得出φ（30）=8,就是1、7、11、13、17、19、23、29，因为∏(1-1/p)去除了2、3、5，所以30 以内的素数要加上3 ，同时还要减去1就得出30 以内的素数8+3-1=10。但是根据欧拉函数可以计算n以内素数的个数的准确值的例子很少，只可以对n以内素数的个数有一个粗略的估计。要想求n以内|的个数的准确值需要用到“逐步淘汰原则”，举个例子n=31，,31以内素数的个数等于31-|31/2|-|31/3|-|31/5|+|31/6|+|31/10|+|31/15|-|31/30|=9当然和上面欧拉函数一样同时要加上3 ，还要再减去1就得出31以内素数的个数是11。这个方法可以求出任何n以内素数的个数，但是当n越来越大时，计算也就越来越复杂。更不用说当n趋近无限大时根本无法计算。如果把31-|31/2|-|31/3|-|31/5|+|31/6|+|31/10|+|31/15|-|31/30|=9的取整符号换成括号就成了和欧拉函数相似的连乘积31∏(1-1/p)，当然根据这个公式计算n以内素数的个数，即使加上√n以内素数的个数同时再减去1也不能得出准确值。我计算过按这个方法25－168之间的素数个数误差或大或小不超过2，其中30、45、70、105、154误差为零，大于168经过计算182、273的误差也为零，大于273的n误差就不会为零了。经过计算n ∏(1-1/p)随着n越来越大，超过一定值后即使不加上√n以内素数的个数同时也再减去1也比n以内素数的个数要大，并且越来越大，不过n ∏(1-1/p)和n以内素数的个数的比值趋近一个常量。这是因为根据梅滕斯定理当n趋近无限大时n ∏(1-1/p)→(e^-γ)n/ln（n）=0.56145948......n/ln（n）其中n≧p。如果n≧√p，则n趋近无限大时n ∏(1-1/p)→2(e^-γ)n/ln（n）=1.12918967......n/ln（n），根据素数定理n以内素数是n/ln（n），所以用n ∏(1-1/p)表示n趋近无限大时n以内素数的个数为n ∏(1-1/p)/2(e^-γ)。

作者: yangchuanju 时间: 2021-6-16 21:44
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-6-16 21:50 编辑

lusishun 发表于 2021-6-14 20:33
接续：
和=210的式子共有105个式子，
1， 2， 3， 4，…………………105，（一）

数字 105 52.5 35 28
筛子用2筛用3筛用5筛用7筛
理论删除 52.5 17.5 7 4
理论剩余 52.5 35 28 24
实际删除 52 18 7 4
删除素数 2 3 5 7
105以内共27个素数，用2-7筛后剩余24，去掉不是素数的1，加上已删除的4个素数，24-1+4=27，
前2筛的误差互相抵消，没有误差积累啊！

数字 210 105 70 56 48 43.636
筛子用2筛用3筛用5筛用7筛用11筛用13筛
理论删除 105 35 14 8 4.364 3.357
理论剩余 105 70 56 48 43.636 40.280
实际删除 105 35 14 8 5 2
删除素数 2 3 5 7 11 13
210以内共46个素数，用2-13筛后剩余41（向上进位），去掉不是素数的1，加上已删除的6个素数，41-1+6=46，
用11筛时筛去11,121,143,187,209，共5个；用13筛时筛去13,169，共2个；
前4筛没有误差，后2筛虽有一定误差，但是部分互相抵消的，不会造成过大的积累误差啊！

作者: yangchuanju 时间: 2021-6-16 21:44
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-6-16 21:48 编辑

数字 163 81.5 54.333 43.467 37.257
筛子用2筛用3筛用5筛用7筛用11筛
理论删除 81.5 27.167 10.867 6.210 3.387
理论剩余 81.5 54.333 43.467 37.257 33.870
实际删除 81 27 11 7 3
删除素数 2 3 5 7 11
163以内共38个素数，用2-11筛后剩余34（向上进位），去掉不是素数的1，加上已删除的5个素数，34-1+5=38，
各筛虽都有一定误差，但是部分互相抵消的，不会造成过大的积累误差！
如果单单计算素数的数量，根本不用什么加强筛！

作者: lusishun 时间: 2021-6-17 04:30
要点，
1，大家不要精确，哥猜是一个很弱的命题，
2，抽象是很重要的方法。
3，目标不同，道就不同。
4，我的目标是证明哥猜。孪生素数猜想。

作者: lusishun 时间: 2021-6-17 05:01
1，连乘积（1-1/p）·n标准形式，不是其他的变形。
2，我认为，最早还应是欧拉发现，理由是，有欧拉函数式，这里有定义域，那么，p不是n的约数时，他是不是也思考过。但他认为没有价值，所有只提出p是n的约数的公式，即欧拉函数式（有定义域）
3，后人，感觉这公式计算的结果还怪理想，就爱不释手了，玩起来，没有够了。（欣赏公式的优势，忽略了缺陷）
4，我是在定义了倍数含量的概念，发现重叠规律，进行推导，自然而得，但不会因为有了倍数含量的概念，公式就没有缺陷了，其实还是一样的公式，但使我可以大胆加强了

作者: yangchuanju 时间: 2021-6-17 06:26
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-6-17 06:30 编辑

大傻8888888 发表于 2021-6-16 21:21
210开平方约等于14.5，所以用连乘积只需要210*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13≈40 即可，同时加上2、 ...

大傻8888888先生：
您好！
在您的帖子中您写到：
根据梅滕斯定理当n趋近无限大时n ∏(1-1/p)→(e^-γ)n/ln（n）=0.56145948......n/ln（n）其中n≧p。
如果n≧√p，则n趋近无限大时n ∏(1-1/p)→2(e^-γ)n/ln（n）=1.12918967......n/ln（n），……

怎么突然冒出了的系数2？
n≧p和n≧√p有这么大的差别吗？
前式的p的取值和后式的p的取值各是多少？

作者: yangchuanju 时间: 2021-6-17 06:40

lusishun 发表于 2021-6-17 04:30
要点，
1，大家不要精确，哥猜是一个很弱的命题，
2，抽象是很重要的方法。

鲁先生：
您好！
在您的点评和帖子中您写到：
追求精准的素数个数，那是大家的愿望，我从来没有追求小于n的素数的精确的个数，
大家不要精确，……

既然不要求“精确”，哪为什么要加强筛？

“在我的心中，这里的105是105个和式，已经抛开数的概念，”又是什么意思？
请不要把“素数定理公式”和哥德巴赫猜想混为一坛。瓜就是瓜，枣就是枣，理清瓜，再说枣也不迟！

作者: yangchuanju 时间: 2021-6-17 06:55

天山草@ 发表于 2021-6-16 19:56
以 210 为例子，看看网上流传的连乘积公式为什么误差那么大。

天山草老师好！
多次拜读老师的作品，十分欣慰！
在老师的这个帖子中隐含一个非常大的暗贴（大图片），学生费了很大精力才把它打开！它是一个计算计算某一整数以内素数个数的精确程序，请分成几个较小的明贴，重新贴出来，以便让更多的网友都能看到您的佳作！
鲁先生根本无意接受老师的教诲，请不要陷入他的泥潭！

作者: 大傻8888888 时间: 2021-6-17 09:10
本帖最后由大傻8888888 于 2021-6-18 21:21 编辑

yangchuanju 发表于 2021-6-17 06:26
大傻8888888先生：
您好！
在您的帖子中您写到：

梅滕斯定理当n趋近无限大时∏(1-1/p)→(e^-γ)[1/ln（n）]=0.56145948......1/ln（n）其中n≧p，把其中n≧p换成n≧√p，则n趋近无限大时∏(1-1/p)→(e^-γ)[1/ln（√n）]，因为ln（√n）=1/2*ln（n），所以如果n≧√p，则n趋近无限大时n ∏(1-1/p)→2(e^-γ)n/ln（n）=1.12918967......n/ln（n）。
前式的p的取值和后式的p的取值各是多少？比如n=100，前式的p的取值是100以内的所有25个素数，后式的p的取值是10以内的素数2、3、5、7四个素数即可。

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-17 09:14
本帖最后由天山草@ 于 2021-6-17 11:58 编辑

下面是用 10000 为例计算的结果。程序为改正错误语句后的正确程序。

计算结果：

不大于 10000 的正整数中共有 1229 个素数，此为实际值。

用有误差连乘积公式计算，不大于 10000 的正整数中共有 1203 个素数。

用有误差连乘积公式计算，再加上用于筛除的素数个数进行修正，不大于 10000 的正整数中共有 1228 个素数。

[attach]97692[/attach]

[attach]97693[/attach]

从以上计算结果可知，连乘积系数的误差是正负交错变化的。

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-17 09:41
再以 100000 为例计算，实际值是不大于 100000 的正整数中共有 9592 个素数。

用网上的连乘积公式计算，不大于 100000 的正整数中共有 9651 个素数，已偏大一些。因此再加上几个数

进行修正，似乎没有必要了，越加偏离越大，还不如不加：

用网上的连乘积公式计算，再加上用于筛除的素数个数进行修正，不大于 100000 的正整数中共有 9716 个素数。

作者: lusishun 时间: 2021-6-17 11:16
由连乘积得的结果，是近似值。这是大家的共识

作者: lusishun 时间: 2021-6-17 19:40
倍数含量重叠规律，揭示了连乘积（1-1/p），求小于n的素数个数如此受网友认可，其原因是整数部分按比例重叠，小数部分也有重叠。并且还有误差相互抵消，

作者: 天山草@ 时间: 2021-6-18 17:24
yangchuanju 先生，您在 61 楼说的是哪个程序？要计算某一整数 n 以内素数个数的精确个数，在 mathematica 中只需一条指令就够了，即 PrimePi [n] 就行了。
另外需要哪个程序，我可以把程序以文件形式贴出来。你只要有 mathematica 软件就能用。

作者: 愚工688 时间: 2021-6-18 23:55
本帖最后由愚工688 于 2021-6-20 15:12 编辑

计算素数数量的连乘式积 Sp(x)与素数定理计算式  Gs(x)的各自的相对误差：

in [2, 1000 ]:    π(X)= 168    Sp(x)= 159.11 Δ=-.053 Gs(x)= 144.76 Δ2=-.138
in [2, 2000 ]:    π(X)= 303    Sp(x)= 291.34    Δ=-.038    Gs(x)= 263.13    Δ2=-.132
in [2, 3000 ]:    π(X)= 430    Sp(x)= 417.05    Δ=-.03    Gs(x)= 374.7    Δ2=-.129
in [2, 4000 ]:    π(X)= 550    Sp(x)= 536.32    Δ=-.025    Gs(x)= 482.27    Δ2=-.123
in [2, 5000 ]:    π(X)= 669    Sp(x)= 658.43    Δ=-.016    Gs(x)= 587.05    Δ2=-.122
in [2, 6000 ]:    π(X)= 783    Sp(x)= 768.08    Δ=-.019    Gs(x)= 689.69    Δ2=-.119
in [2, 7000 ]:    π(X)= 900    Sp(x)= 873.46    Δ=-.029    Gs(x)= 790.63    Δ2=-.122
in [2, 8000 ]:    π(X)= 1007    Sp(x)= 985.74    Δ=-.021    Gs(x)= 890.16    Δ2=-.116
in [2, 9000 ]:    π(X)= 1117    Sp(x)= 1107.32 Δ=-.009    Gs(x)= 988.47    Δ2=-.115

in [2, 10000 ]: π(X)= 1229    Sp(x)= 1216.5    Δ=-.01    Gs(x)= 1085.74 Δ2=-.117
in [2, 20000 ]: π(X)= 2262    Sp(x)= 2245.83 Δ=-.007    Gs(x)= 2019.49 Δ2=-.107
in [2, 30000 ]: π(X)= 3245    Sp(x)= 3238.72 Δ=-.002    Gs(x)= 2910.09 Δ2=-.103
in [2, 40000 ]: π(X)= 4203    Sp(x)= 4181.11 Δ=-.005    Gs(x)= 3774.78 Δ2=-.102
in [2, 50000 ]: π(X)= 5133    Sp(x)= 5171.97 Δ= .008    Gs(x)= 4621.17 Δ2=-.1
in [2, 60000 ]: π(X)= 6057    Sp(x)= 6074    Δ= .003    Gs(x)= 5453.5    Δ2=-.1
in [2, 70000 ]: π(X)= 6935    Sp(x)= 7000.6    Δ= .009    Gs(x)= 6274.51 Δ2=-.095
in [2, 80000 ]: π(X)= 7837    Sp(x)= 7883.55 Δ= .006    Gs(x)= 7086.05 Δ2=-.096
in [2, 90000 ]: π(X)= 8713    Sp(x)= 8804.71 Δ= .011    Gs(x)= 7889.5    Δ2=-.095

in [2, 100000 ]: π(X)= 9592    Sp(x)= 9686.73 Δ= .01    Gs(x)= 8685.89 Δ2=-.094
in [2, 200000 ]: π(X)= 17984    Sp(x)= 18312.86 Δ= .018    Gs(x)= 16385.29 Δ2=-.089
in [2, 300000 ]: π(X)= 25997    Sp(x)= 26628.83 Δ= .024    Gs(x)= 23787.74 Δ2=-.085
in [2, 400000 ]: π(X)= 33860    Sp(x)= 34667.03 Δ= .024    Gs(x)= 31009.63 Δ2=-.084
in [2, 500000 ]: π(X)= 41538    Sp(x)= 42615.18 Δ= .026    Gs(x)= 38102.89 Δ2=-.083
in [2, 600000 ]: π(X)= 49098    Sp(x)= 50380.15 Δ= .026    Gs(x)= 45096.9 Δ2=-.081
in [2, 700000 ]: π(X)= 56543    Sp(x)= 58193.57 Δ= .029    Gs(x)= 52010.44 Δ2=-.08
in [2, 800000 ]: π(X)= 63951    Sp(x)= 65814.13 Δ= .029    Gs(x)= 58856.56 Δ2=-.08
in [2, 900000 ]: π(X)= 71274    Sp(x)= 73476.84 Δ= .031    Gs(x)= 65644.8 Δ2=-.079

in [2, 1000000 ]:  π(X)= 78498    Sp(x)= 81052.53 Δ= .033    Gs(x)= 72382.41 Δ2=-.078
in [2, 2000000 ]:  π(X)= 148933 Sp(x)= 154670.5 Δ= .039    Gs(x)= 137848.7 Δ2=-.074
in [2, 3000000 ]:  π(X)= 216816 Sp(x)= 225223    Δ= .039    Gs(x)= 201151.6 Δ2=-.072
in [2, 4000000 ]:  π(X)= 283146 Sp(x)= 294842    Δ= .041    Gs(x)= 263126.7 Δ2=-.071
in [2, 5000000 ]:  π(X)= 348513 Sp(x)= 363658.8 Δ= .043    Gs(x)= 324150.2 Δ2=-.07

一般的说，在不大的范围内（＜10^8 ),连乘式计算的素数数量与真值差距还是比较小的。（相比较素数定理的计算值的差距而言）
可以看到随着数x的增大，连乘式计算值的相对误差 Δ值是越来越偏离0位增大；
而素数定理的计算式的相对误差 Δ2值则逐渐趋向0位。说明数学家对于素数定理的证明有道理的，

备注：
因为没有高速筛选任意比较大的x内素数数量的软件，不能提供更多的数据。我自己编写的求素数软件只能筛选＜10^8范围内的素数数据。实际仅仅运行了1千万以下的数据。

作者: 任在深 时间: 2021-6-19 00:57
可以看到随着数x的增大，连乘式计算值的相对误差 Δ值是越来越偏离0位增大；
而素数定理的计算式的相对误差 Δ2值则逐渐趋向0位。说明数学家对于素数定理的证明有道理的，
可以看到随着数x的增大，连乘式计算值的相对误差 Δ值是越来越偏离0位增大；
而素数定理的计算式的相对误差 Δ2值则逐渐趋向0位。说明数学家对于素数定理的证明有道理的，
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没道理的！

作者: 志明 时间: 2021-6-19 09:25

天山草@ 发表于 2021-6-15 02:11
当自然数趋于无穷大时，“连乘积公式”对于真实值的相对误差会不会趋于零？还是在一定范围内波动？还是 ...

“连乘积公式”自身具备有对误差的调控功能，调控功能的大小，是由逐步筛除过程中形成的累计误差，在从1至偶数Ａ的范围内分布的情况确定的，累计误差分布的情况越均衡，调控功能的作用发挥的越好。

当累计误差相对较小，对于误差率的影响不会很大时，此时，在分析区（从1至A/P）范围内出现与累计误差同方向的误差的可能性较小，因此，“连乘积公式”对误差的调控功能的作用不明显，甚至有时还是反向的（把误差调大了）。

当累计误差相对较大，对于误差率的影响较大时，此时，在分析区（从1至A/P）范围内出现与累计误差同方向的误差的可能性较大，因此，“连乘积公式”对误差的调控功能发挥的作用更加明显。

作者: 志明 时间: 2021-6-19 09:27
本帖最后由志明于 2021-6-19 10:40 编辑

　　因为，在从1至偶数A的范围内，素数的倍数与两个以上小于√A的素数乘积的倍数分布的均衡性，会随着偶数Ａ的增大而趋向更好。因此，在逐步筛除过程中形成的累计误差，在从1至偶数Ａ的范围内分布情况的均衡性，也会随着偶数的增大而趋向更好。因为累计误差分布的越均衡，调控功能的作用发挥的越好。因此，误差率会随着偶数的增大而趋向变小。有网友也认为，素数定理当数值趋近无限大时其计算值与实际值之比趋近于1。

　　因为计算素数对的连乘积公式，与计算素数数量的连乘积公式同根同源。因此，我曾认为，计算素数对的连乘积公式误差率会随着偶数的增大而趋向变小。并在较小的范围内进行检验的情况也是这样。但是，会运用电脑程序计算的网友的计算结果是，在相对较小的范围内，连乘积精确度的趋势是随着偶数的增大而提高，偶数增大到一定程度后，情况并不是这样。还有一位网友观点是：误差率收敛小于26.2%。

　　其原因应该是：运用连乘积公式求素数数量只是单筛，随着数值的增大，在逐步筛除过程中形成的累计误差的分布情况相对会更均衡，因此连乘积自身具备的调控功能的作用发挥的会更好。在运用连乘积公式求素数对数量时，不仅是双筛，并且还有连带的筛除数，情况比前者更复杂，这些情况影响了逐步筛除过程中形成的累计误差分布情况的均衡性。因为调控功能作用的大小，是由累计误差分布情况的均衡性确定的，因此，调控功能的作用也会受到影响。

　　不论检测计算的范围有多大，对于无穷大的范围还是很微小的，通过计算不能确定计算范围之外后面的情况是怎样的。“误差率收敛小于26.2%“，不知是误差率在接近26.2%之后，就慢慢逐步降低再不上升？还是误差率在接近26.2%之后，然后慢慢降低，再慢慢上升这样反复一直波动？

　　通过分析，可以肯定的是，“连乘积公式”自身具备有对误差的调控功能，并知：调控功能作用的大小，是由逐步筛除过程中形成的累计误差的分布情况的均衡性确定的。“连乘积公式”对误差的调控功能，保证了“连乘积公式”的计算结果是相对合理的近似值（误差是有限的，误差率不会无限扩大）。

作者: 志明 时间: 2021-6-19 11:16
本帖最后由志明于 2021-6-19 05:35 编辑

lusishun　　您的认识逐步提高了，发表于 2021-6-19 03:06
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这几乎都是我几年前发的贴子中的内容。谈不上认识逐步提高了。

作者: lusishun 时间: 2021-6-20 06:36

志明发表于 2021-6-19 01:27
　　因为，在从1至偶数A的范围内，素数的倍数与两个以上小于√A的素数乘积的倍数分布的均衡性，会随着偶数 ...

误差，近似，那就是您早已知道的事啊？

作者: lusishun 时间: 2021-6-20 06:37

志明发表于 2021-6-19 01:27
　　因为，在从1至偶数A的范围内，素数的倍数与两个以上小于√A的素数乘积的倍数分布的均衡性，会随着偶数 ...

调控功能，的根本，值得追究一下吧？

作者: lusishun 时间: 2021-6-20 07:18

志明发表于 2021-6-19 03:16
lusishun　　您的认识逐步提高了，发表于 2021-6-19 03:06
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您说的调控，要整理为数学理论，我研究数学要根据理论，不能靠公式的自我调控，若是有自我调控。我们就要把调控的原因整理出来，就成为数学理论

作者: 任在深 时间: 2021-6-20 23:30
愚工688
所谓加强筛，实际是胡筛。用素数筛不能被该素数整除的数，改成偶数则筛子都破了，还能够筛出什么呢？发表于 2021-6-20 23:00
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筛法本就不符合结构数学的结构关系！
可是很多网友迷信它，结果是耽误了许多人的宝贵时间，一事无成！

作者: lusishun 时间: 2021-6-21 06:12
倍数含量重叠规律，是倍数含量筛法的依据，倍数含量筛法又是连乘积（1-1/p）式子由来的过程，没有倍数含量筛法，连乘积（1-1/p）的由来还属于探索过程之中，

作者: lusishun 时间: 2021-6-21 06:15

lusishun 发表于 2021-6-20 22:12
倍数含量重叠规律，是倍数含量筛法的依据，倍数含量筛法又是连乘积（1-1/p）式子由来的过程，没有倍数含量 ...

接：

加强筛是倍数含量筛法的的自然的延伸，是解诀（1-1/p）产生误差的奇妙方法

作者: 任在深 时间: 2021-6-21 11:36
本帖最后由任在深于 2021-6-21 12:07 编辑

usishun
没有加强，就没有哥猜证明，  发表于 2021-6-21 06:08
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注意！数学中的筛法就是错误的！
         你在加强就是错上加错！
俺问您！
      您的加强筛法能推导出第n个素数单位的结构关系式吗？
      肯定不能！
      那该法就不是法！！
关于素数单位的一系列理论应该是上下连接的，互相有结构关系的完美系统！
而不是你们那些杂乱无章的不符合大自然法则的东西！

素数“论"---数的结构（2n    = W+ π(2n)-------
                           偶合数个数合数    素数个数
                              π(2n)=  [2n+12(√2n-1)]/An---------
                              素数偶合数                素数分布系数
                           -Pn=[(Np Ap+48)^1/2-6]^2......
                           素数  位数系数
比如：
               100=74+26-----
               π(100)=[100+12(√100-1)/8=208/8=26-----
               P26={[(26x[97+12(√97-1)]/26-6}^2={[(√97+6)^2]^1/2-6}^2=(√97+6-6)^2=(√97)^2=97"

鲁老师您明白了吗？

作者: 任在深 时间: 2021-6-21 16:07
usishun
不懂，发表于 2021-6-21 12:58
***************************************
这是中国数学思想的理论！

作者: 任在深 时间: 2021-6-21 16:37
本帖最后由任在深于 2021-6-21 21:49 编辑

usishun
整理出版啊，发表于 2021-6-21 16:31
**********************************************
谢谢！
鲁老师的鼓励！！
*********************************************
再次谢谢鲁老师的理解和支持！
俺敬礼了！！

作者: 志明 时间: 2021-6-21 22:45
本帖最后由志明于 2021-6-21 15:10 编辑

lusishun 发表于 2021-6-19 23:18
您说的调控，要整理为数学理论，我研究数学要根据理论，不能靠公式的自我调控，若是有自我调控。我们就要 ...

用我以前曾发过的内容回复你。

　在所能验证的范围内，运用“连乘积公式”逐步筛除的过程中，无论进行多少次筛除，出现多少次误差，由累计误差值形成的的误差率都不会无限扩大，累计误差值不会严重影响计算结果的精确度。如果在任何范围内的情况都是这样的，那公式自身肯定具备有对误差的调控功能。

通过“区域分析法”对误差的分析，目前所知道的情况有：

1、证实了“连乘积公式”自身具备对误差的调控功能，以前只是认为有调控功能，但似乎没有具体的证实过程。“连乘积公式”的调控功能，有效地控制误差率不会无限增大，保证了“连乘积公式”的计算结果是相对合理的近似值。

2、知道了从第二次筛除开始，每次筛除过程产生的误差，是由之前累计误差的分布情况确定的；

3、知道了从第二次筛除开始，每次筛除过程会产生与分析区（从1至A/P）范围内的误差绝对值相等，方向相反的误差。如果分析区范围内的误差与累计误差同方向，此次筛除可以把累计误差值降下来。

4、知道了每一次筛除所产生的误差值，会把筛除之前分析区范围（从1至A/P）内的误差值消除掉。因此，筛除之前分析区之外的范围（从A/P至A）内的累计误差值，就是筛除之后总体的累计误差值。

  5、知道了在最后一次筛除（第一筛是筛除小于√Ｎ的最大素数的倍数，最后筛除2的倍数）之前，如果累计误差不是特别的微小，在最后一次的筛除中，必定会产生与筛除之前的累计误差方向相反的误差，可以把筛除之前的累计误差值降下来。

  6、知道了调控功能具有“累计误差率相对较小时，调控功能的作用不明显，有时甚至还是反向的（把误差调大了）；累计误差率相对较大时，调控功能的作用更加明显。”这样的特征。

  本人水平很有限，只发现以上这些可以确定的现象。希望能抛砖引玉，希望网友能挖掘出更有价值的东西。

作者: 志明 时间: 2021-6-21 22:50
本帖最后由志明于 2021-6-21 15:14 编辑

lusishun 发表于 2021-6-19 23:18
您说的调控，要整理为数学理论，我研究数学要根据理论，不能靠公式的自我调控，若是有自我调控。我们就要 ...

　　你研究数学有根据理论吗？你的加强筛，除了在有限的范围内可以验证，和自我感觉很好之外，有理论依据吗？如果在理论上，不能确定连乘积公式的值是相对合理的近似值。你觉得只要把应筛除的部分扩大一点就能彻底筛干净，这在理论上能说得通吗？你想过这一问题吗？　
　
　如果连乘积公式的误差率会无限增大，那不论你怎样强筛、加强筛、超强筛、死劲筛，在理论上都不能确定一定可以筛干净。只有确定连乘积公式的误差率是有限的，不是无限的，计算值是相对合理的近似值之后。在理论上才能说明你的加强筛法能筛干净。因此，证明确定连乘积公式是一个误差率不会无限增大的近似值公式，比搞加强筛更重要，更有意义。
　　
　如果在理论上，可以确定连乘积公式是一个误差率不会无限增大的近似值公式，是可以求出相对合理的近似值，那用于证明哥猜绰绰有余。那还有必要搞个精确度比连乘积公式差的多的加强筛吗？

作者: 任在深 时间: 2021-6-21 23:10
本帖最后由任在深于 2021-6-22 14:50 编辑

鸡说鸭笨不能飞，
鸭说鸡蠢不会水，
只有真龙傲环宇，
中华单位显神威！

作者: yangchuanju 时间: 2021-6-22 08:02
鲁先生在《哥数与孪数之比，谁提供的孪生素数个数？》43楼点评中说，（哥猜数和孪生素数的计算式都）“是近似公式。有何意义啊”，“用一个近似公式，不断修正系数，计算哥猜数，计算孪猜数，有多大的意义啊？欢迎网友谈谈自己的体会和认识发表于 2021-6-22 07:20”，请鲁先生把您的精确计算式拿出来，让大家看一看好吗？

作者: yangchuanju 时间: 2021-6-22 08:09
鲁先生不是一直在推销连乘积公式吗？说句明白话，所有连乘积公式的计算结果都是近似值！谁推出了精确度高的近似公式，谁就是数学高手，谁就是数学名人！

作者: yangchuanju 时间: 2021-6-23 15:29
鲁老师在《哥数与孪数之比，谁提供的孪生素数个数？》的100楼中有两条点评：
lusishun 1—n内，与n—2n之间，素数的个数，发表于 2021-6-23 14:47
lusishun 第一是指（1-1/p）第连乘积，对吗？发表于 2021-6-23 14:33

下面是我对鲁老师点评的回复：
那里是我和大傻在讨论哥猜数计算公式中的p的取值范围问题，与鲁老师的连乘积（1-1/p）没有关系，更不是n内素数个数与n-2n间素数个数的问题。

在《哥数与孪数之比，谁提供的孪生素数个数？》的97楼贴中，我对“随着整数n的增大，n—2n间的素数个数与n内素数个数的比将趋近于1，换言之，随着整数n的增大，最终n—2n间的素数个数与n内素数个数是一样多的”有疑问，意征求鲁老师的看法，请鲁老师认真看一看97楼帖子中的计算数据，解决我的疑问！

作者: yangchuanju 时间: 2021-6-23 15:35
鲁老师在《哥数与孪数之比，谁提供的孪生素数个数？》的60楼中有一条点评，询问60楼中的数据
“是真值啊，还是根据公式计算啊？发表于 2021-6-23 15:26”，
现回答如下，那里的数字全是真值！

作者: lusishun 时间: 2021-6-23 16:35
我认为，连乘积（1-1/p）的来历。没有讨论清楚，进行到2的60的多次方内素数，哥猜数的，孪猜数的求得运算，用的是一个近似公式，不问公式的由来，只在误差上去进行调整，我还是感觉不到，能得到什么。

作者: lusishun 时间: 2021-6-23 16:40

lusishun 发表于 2021-6-23 08:35
我认为，连乘积（1-1/p）的来历。没有讨论清楚，进行到2的60的多次方内素数，哥猜数的，孪猜数的求得运算， ...

（1-2/p）连乘积的由来就更为复杂，计算的结果还令人满意，但公式得来的理论依据是什么啊？没有人去追究，探讨。

作者: lusishun 时间: 2021-6-23 16:44

lusishun 发表于 2021-6-23 08:40
（1-2/p）连乘积的由来就更为复杂，计算的结果还令人满意，但公式得来的理论依据是什么啊？没有人去追究 ...

根据一个近似公式，计算到2的几十次方以内的素数，哥猜数，孪猜数，是要得到一个什么效果，是想证明哥猜吗，孪猜吗？

作者: wangyangke 时间: 2021-12-12 10:17
论坛没有靠得住的哥猜证明，确有一些靠得住的二百五，，，鲁思顺是二百五中的突出代表，，，

作者: wangyangke 时间: 2025-2-11 07:26
哥猜分坛的鲁思顺是个三愚蠢四无知的不知羞耻的老牌二百五
窥熊一兵王若仲赞评鲁思顺哥猜证明之一斑而知熊王诸多猜想证明之全豹是垃圾
论坛上没有称得上靠得住的哥猜证明，却有些靠得住的二百五；鲁思顺是二百五中的突出代表，，，
鲁思顺、熊一兵、王若仲，一群傻瓜蛋及其文章等等，只能名垂青屎，，，

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