数学中国

标题: 已知 AB=2，D 是 AB 中点，∠CDA=60°，E 在 CB 上，∠CAE=∠CBA，求 AE 的最小值 [打印本页]

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-27 14:01
标题: 已知 AB=2，D 是 AB 中点，∠CDA=60°，E 在 CB 上，∠CAE=∠CBA，求 AE 的最小值
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可以求过程和答案么

，这道题有几何代数式的解法么

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-28 17:59
有大师可以帮帮么

作者: 王守恩 时间: 2021-6-28 19:41
\(当∠EAB=∠EBA=30°时，AE 最小值=\sqrt{\frac{4}{3}}\)

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-28 20:54

王守恩发表于 2021-6-28 19:41
\(当∠EAB=∠EBA=30°时，AE 最小值=\sqrt{\frac{4}{3}}\)

怎么证明的，可以说一下嘛

作者: 王守恩 时间: 2021-6-29 10:31

FGNBGHJUOI 发表于 2021-6-28 20:54
怎么证明的，可以说一下嘛

ADEC是圆内接四边形。

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-29 14:22
本帖最后由 FGNBGHJUOI 于 2021-6-29 14:42 编辑

王守恩发表于 2021-6-29 10:31
ADEC是圆内接四边形。

感觉不对吧，如果ADEC是圆内接四边形，那么∠CEA=∠CDA=60°，∠CAD=∠CEA=∠CAD=60°是矛盾的，∠CAD的角度是变化的

作者: 王守恩 时间: 2021-6-29 20:19
本帖最后由王守恩于 2021-6-29 20:41 编辑

FGNBGHJUOI 发表于 2021-6-29 14:22
感觉不对吧，如果ADEC是圆内接四边形，那么∠CEA=∠CDA=60°，∠CAD=∠CEA=∠CAD=60°是矛盾的，∠CAD ...

你这个图没画好，AE取得最小值时ACD是正三角形。

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-29 20:38

王守恩发表于 2021-6-29 20:19
你这个图没画好，ACD是正三角形。

C是动点，不是固定的点

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-29 21:04
本帖最后由 FGNBGHJUOI 于 2021-6-29 21:25 编辑

王守恩发表于 2021-6-29 20:43
你这个图没画好，AE取得最小值时ACD是正三角形。

好的

作者: 王守恩 时间: 2021-6-30 06:47
本帖最后由王守恩于 2021-6-30 07:43 编辑

FGNBGHJUOI 发表于 2021-6-29 21:04
好的

\(记∠CAE=∠CBA=a，交叉处=b\)

NMinimize[\(AE,\frac{AE}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(a + b -\pi/3)},\frac{AC}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(2 a + b -\pi/3)},\frac{AC}{\sin(\pi/3)}=\frac{1}{\sin(a + b)}\)]
{1.1547, {AE -> 1.1547, AC -> 1., a -> 0.523599, b -> 1.5708}}

NSolve[\(\frac{AE}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(a +\pi/2 -\pi/3)},\frac{AC}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(2 a +\pi/2 -\pi/3)},\frac{AC}{\sin(\pi/3)}=\frac{1}{\sin(a +\pi/2)}\)]
{{AE -> 1.1547, AC -> 1., a -> 0.523599}}

Solve[\(\frac{AE}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(a +\pi/2 -\pi/3)},\frac{AC}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(2 a +\pi/2 -\pi/3)},\frac{AC}{\sin(\pi/3)}=\frac{1}{\sin(a +\pi/2)}\)]
{{AE -> 2/Sqrt[3], AC -> 1, a -> \[Pi]/6}}

Solve[\(\frac{AE}{\sin(\pi/6)}=\frac{2}{\sin(\pi/3)}\)]
{{AE -> 2/Sqrt[3]}}

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-30 11:01
本帖最后由 FGNBGHJUOI 于 2021-6-30 13:02 编辑

王守恩发表于 2021-6-30 06:47
\(记∠CAE=∠CBA=a，交叉处=b\)

NMinimize[\(AE,\frac{AE}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(a + b -\pi/3)}, ...

没有几何法证明有点无奈，再次谢谢了

作者: Future_maths 时间: 2021-6-30 11:15
[attach]98112[/attach]

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-30 11:55
本帖最后由 FGNBGHJUOI 于 2021-6-30 11:57 编辑

Future_maths 发表于 2021-6-30 11:15

谢谢亲的关注和过程答案了

作者: 王守恩 时间: 2021-6-30 12:45
本帖最后由王守恩于 2021-6-30 12:56 编辑

Future_maths 发表于 2021-6-30 11:15

喔！原来可以这样的。谢谢Future_maths！

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{(AD)^2+(CD)^2-2*AD*CD\cos(60°)}}{\sqrt{(BD)^2+(CD)^2+2*BD*CD\cos(60°)}}\)

\(AE=2\frac{\sqrt{1+(CD)^2-CD}}{\sqrt{1+(CD)^2+CD}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}\)

作者: djhdyw 时间: 2021-6-30 17:59
厉害!解答的都很精妙！

作者: luyuanhong 时间: 2021-6-30 18:09
楼上 Future_maths 的解答很好！已收藏。

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-30 18:18
本帖最后由 FGNBGHJUOI 于 2021-6-30 18:44 编辑

djhdyw 发表于 2021-6-30 17:59
厉害!解答的都很精妙！

是的

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-6-30 18:18
本帖最后由 FGNBGHJUOI 于 2021-6-30 18:44 编辑

luyuanhong 发表于 2021-6-30 18:09
楼上 Future_maths 的解答很好！已收藏。

是的

作者: 王守恩 时间: 2021-7-1 14:16
本帖最后由王守恩于 2021-7-1 14:21 编辑

\(记∠CBA=∠CAE=a，∠BAE=b\)

NMinimize[\(AE,\frac{AE}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(a+b)},\frac{BC}{\sin(a+b)}=\frac{2}{\sin(2a+b)},\frac{BC}{\sin(\pi/3)}=\frac{1}{\sin(\pi/3-a)}\)]
{1.1547, {AE -> 1.1547, BC -> 1.73205, a -> 0.523599, b -> 0.523599}

NMinimize[\(AE,AE=\frac{2\sin(a)}{\sin(a+b)},BC=\frac{2\sin(a+b)}{\sin(2a+b)}=\frac{\sin(\pi/3)}{\sin(\pi/3 - a)}\)]
{1.1547, {AE -> 1.1547, BC -> 1.73205, a -> 0.523599, b -> 0.523599}

NMinimize[\(\frac{2\sin(a)}{\sin(a + b)},\frac{2\sin(a+b)}{\sin(2a+b)}=\frac{\sin(\pi/3)}{\sin(\pi/3 - a)}\)]
{1.1547, {a -> 0.523599, b -> 0.523599}}

作者: 王守恩 时间: 2021-7-1 19:04
本帖最后由王守恩于 2021-7-1 19:16 编辑

王守恩发表于 2021-7-1 14:16
\(记∠CBA=∠CAE=a，∠BAE=b\)

NMinimize[\(AE,\frac{AE}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(a+b)},\frac{BC}{\sin ...

往前走！题意不变，∠ADC=(2n)°

试证：AE的最小值=2tan(n)°

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-7-1 19:11

王守恩发表于 2021-7-1 19:04
往前走！题意不变，∠ADC=(2n)°

试证：AE的最大值=2tan(n)°

这里应该是最小吧不是最大

作者: 王守恩 时间: 2021-7-1 20:55

王守恩发表于 2021-7-1 14:16
\(记∠CBA=∠CAE=a，∠BAE=b\)

NMinimize[\(AE,\frac{AE}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(a+b)},\frac{BC}{\sin ...

大胆往前走！题意不变，记∠ADC=(2n)°

试证：AE的最小值=2tan(n)°

有点意思：AE的最小值只跟角度有关。

作者: 王守恩 时间: 2021-7-2 18:35

王守恩发表于 2021-7-1 20:55
大胆往前走！题意不变，记∠ADC=(2n)°

试证：AE的最小值=2tan(n)°

大胆往前走！题意不变，记∠ADC=(2n)°

猜测：AE的最小值=2tan(n)°

猜测正确(可惜1楼的图没画好)：AE的最小值=2tan(n)°

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-7-6 00:21

王守恩发表于 2021-7-2 18:35
大胆往前走！题意不变，记∠ADC=(2n)°

猜测：AE的最小值=2tan(n)°

这感觉是一个很妙的结论

作者: 王守恩 时间: 2021-7-6 05:35
本帖最后由王守恩于 2021-7-7 07:44 编辑

FGNBGHJUOI 发表于 2021-7-6 00:21
这感觉是一个很妙的结论

题意不变，记∠ADC=(2n)°

试证：AE的最小值=2tan(n)°

证：AE取得最小值=2tan(n)°，恒有\(∠CAB\equiv90°\)

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