数学中国

标题: 在 1～500 中任意取 5 个不同整数，使得这 5 个数之和能被 5 整除，有几种不同取法？ [打印本页]

作者: lihp2020 时间: 2021-7-26 18:23
标题: 在 1～500 中任意取 5 个不同整数，使得这 5 个数之和能被 5 整除，有几种不同取法？
啦啦啦恭喜自己成了注册会员可以加好友了，顺便分享一个问题

从 1~500 之间任意取 5个不同的整数，使得这5个整数之和能被5整除
问有多少组合方案？

作者: lihp2020 时间: 2021-7-26 18:55
具体的值我感觉可能算不出来但是主要是思路

作者: 王守恩 时间: 2021-7-27 09:02

lihp2020 发表于 2021-7-26 18:55
具体的值我感觉可能算不出来但是主要是思路

先从简单算起。
1~5=1
1~6=2
1~7=5
1~8=11
1~9=22

作者: 天山草 时间: 2021-7-27 11:51
本帖最后由天山草于 2021-7-27 11:59 编辑

从 1 至 n 这 n 个正整数中每次取出 5 个相加，其和恰好是 5 的倍数，有多少种取法？

当 n = 5、6、7、........、19、20 时的方案数如下：

a[5] = 1
a[6] = 2
a[7] = 5
a[8] = 12
a[9] = 26
a[10] = 52
a[11] = 94
a[12] = 160
a[13] = 259
a[14] = 402
a[15] = 603
a[16] = 876
a[17] = 1240
a[18] = 1716
a[19] = 2328
a[20] = 3104

能不能从以上数据中找到一个通项公式呢？王守恩是寻求通项公式的行家。

作者: lihp2020 时间: 2021-7-27 12:28
[attach]98941[/attach]
1 当N趋近无穷是结果差不多是C(n,5)/5
所以猜测通项公式是 \(A_n=1/5n^5+an^4+bn^3+cn^2+dn^1+e\)

如果这个是对的那么可以考虑用差分序列求出abcde 但是求出前5~20项的结果差分序列就找不到恒为0的
[attach]98942[/attach]
其中标红的感觉都是1234之类的
但是结果越来越靠近我猜测有个取整的逻辑

作者: 王守恩 时间: 2021-7-27 14:25
本帖最后由王守恩于 2021-7-27 14:29 编辑

天山草发表于 2021-7-27 11:51
从 1 至 n 这 n 个正整数中每次取出 5 个相加，其和恰好是 5 的倍数，有多少种取法？

当 n = 5、6、7 ...

谢谢鼓励！卡住了，试试下面的题目(我只会手工，数目大了手工不行)。
从 1 至 n 这 n 个正整数中每次取出 3 个相加，其和恰好是 3 的倍数，有多少种取法？

当 n = 3,4,5,6,7........、19、20 时的方案数

作者: lihp2020 时间: 2021-7-27 15:15
[attach]98945[/attach]
先上一张图片这个是个提示
可以观察得到一个结果\(C(n,5) -4*(\left\lceil(C(n,5)/5)\right\rceil-1)\)
其中\(\left\lceil***\right\rceil\) 表示对***向上取整
\(\left\lceil1.5\right\rceil =2 \left\lceil2\right\rceil =2\)

作者: 小fisher 时间: 2021-7-27 16:08
1-500除以5后余数为0、1、2、3、4的数字个数各为100个，根据余数不同，从1-500中取5个数之和能被5整除的组合方式有下列7种：
1）｛00000｝，方案数=COMBIN(100,5)=75287520
2）｛00014｝，方案数=COMBIN(100,3)*COMBIN(100,1)*COMBIN(100,1)=1617000000
3）｛00023｝，方案数=COMBIN(100,3)*COMBIN(100,1)*COMBIN(100,1)=1617000000
4）｛00113｝，方案数=COMBIN(100,2)*COMBIN(100,2)*COMBIN(100,1)=2450250000
5）｛00122｝，方案数=COMBIN(100,2)*COMBIN(100,1)*COMBIN(100,2)=2450250000
6）｛01112｝，方案数=COMBIN(100,1)*COMBIN(100,3)*COMBIN(100,1)=1617000000
7）｛11111｝，方案数=COMBIN(100,5)=75287520
方案总数为9,902,075,040个

作者: 小fisher 时间: 2021-7-27 16:25

小fisher 发表于 2021-7-27 16:08
1-500除以5后余数为0、1、2、3、4的数字个数各为100个，根据余数不同，从1-500中取5个数之和能被5整除的组 ...

忘记考虑余数之和为10、15、20的情况了，汗！

作者: 小fisher 时间: 2021-7-27 16:46
这次应该全了
[attach]98947[/attach]
[attach]98946[/attach]

作者: lihp2020 时间: 2021-7-27 17:44
再上传两张图片
[attach]98950[/attach]
[attach]98951[/attach]

还在上班晚上再解释能理解这三张图一定能求出通项公式

作者: 王守恩 时间: 2021-7-27 17:49
本帖最后由王守恩于 2021-7-27 19:00 编辑

lihp2020 发表于 2021-7-27 12:28
1 当N趋近无穷是结果差不多是C(n,5)/5
所以猜测通项公式是 \(A_n=1/5n^5+an^4+bn^3+cn^2+dn^1+e\) ...

提醒得好！改了一下。还有错吗？我是根据11楼的资料出来的呀？
\(a(n)=\lfloor\frac{n!}{5*5!(n-5)!}\rfloor+\lfloor\frac{n}{5}\rfloor-\lfloor\frac{n}{5^2}\rfloor\)

{1, 2, 5, 12, 26, 52, 94, 160, 259, 402, 603, 876, 1240, 1716, 2328,
3104, 4073, 5270, 6733, 8504, 10630, 13160, 16150, 19660, 23755,
28506, 33987, 40280, 47472, 55656, 64932, 75404, 87185, 100394,
115157, 131608, 149886, 170140, 192526, 217208, 244359, 274158,
306795, 342468, 381384, 423760, 469820, 519800, 573945, 632510,
695761, 763972, 837430, 916432, 1001286, 1092312}

\(特别地\ \ a(500)=51048937600\)

作者: lihp2020 时间: 2021-7-27 18:31
本帖最后由 lihp2020 于 2021-7-27 18:39 编辑

7楼给了一个错误的结果我的错误我说了是观察得到不是故意给错误答案
我当时只看了前10来项推断出来的后来发现 25项以后就不满足了
有点不严谨我道歉u

作者: lihp2020 时间: 2021-7-27 18:53
对图1的解释
[attach]98981[/attach]

作者: 天山草 时间: 2021-7-27 20:12
本帖最后由天山草于 2021-7-27 20:18 编辑

王守恩发表于 2021-7-27 17:49
提醒得好！改了一下。还有错吗？我是根据11楼的资料出来的呀？
\(a(n)=\lfloor\frac{n!}{5*5!(n-5)!}\rf ...

[attach]98997[/attach]

上面公式中 C(n, 5) 表示从 n 个不同元素中取 5 个的组合数。

公式下面的数表不是按公式算出来的，是编程硬算出来的，经核对，此数表与 12# 楼按公式计算的所有数据都一致。

感谢楼主提出的问题，很是有趣。

如果把 5 换成别的数字，这个公式还对吗？

作者: luyuanhong 时间: 2021-7-27 20:22
[attach]98998[/attach]

[attach]98999[/attach]

作者: lihp2020 时间: 2021-7-27 23:15
本帖最后由 lihp2020 于 2021-7-27 23:18 编辑

天山草发表于 2021-7-27 20:12
上面公式中 C(n, 5) 表示从 n 个不同元素中取 5 个的组合数。

公式下面的数表不是按公式算出来 ...

我验证换成3也对
由于那个公式我化简不出来
可以把那个公式理解成 5An +4[n/5]=C(n,5)
这个化简出来就是王守恩的那个公式

对于3 就有
在 1~n 选3个数据被3整除的数的通项公式是3An+2[[n/5]]=C(n,3)

对于一般的就有
在 1~n 选2k+1个数据被2k+1整除的数的通项公式是（2k+1）An+2k[[n/5]]=C(n,2k+1)
其他的（余1 2....2k）就是也能用（2k+1）Bn-[[n/5]]=C(n,2k+1)
在 1~n 选2k个数据被2k除余k的数的通项公式是（2k）An+(2k-1)[[n/5]]=C(n,2k)

其他的（余0 12 k-1. k+1 ,k+2.....）就是也能用（2k）Bn-[[n/5]]=C(n,2k)
为啥是偶数就不找整除找余数是k 是因为 1++2k =2K*k+k  刚好第一个数是余数K  就是第一种情况要多些
[[]] 就是表示向上还是向下取整

这个只是猜测论证感觉有点玄乎

作者: 王守恩 时间: 2021-7-28 07:20
本帖最后由王守恩于 2021-7-28 07:23 编辑

lihp2020 发表于 2021-7-27 23:15
我验证换成3也对
由于那个公式我化简不出来
可以把那个公式理解成 5An +4[n/5]=C(n,5)

谢谢 lihp2020！很是有趣的题目。
从 1 至 n 这 n 个正整数中每次取出 3 个相加，其和恰好是 3 的倍数，有多少种取法？

\(a(n)=\lfloor\frac{n!}{3*3!(n-3)!}\rfloor+\lfloor\frac{n}{3}\rfloor-\lfloor\frac{n}{3^2}\rfloor\)

{1, 2, 4, 8, 13, 20, 30, 42, 57, 76, 98, 124, 155, 190, 230, 276, 327, 384, 448, 518, 595,
680, 772, 872, 981, 1098, 1224, 1360, 1505, 1660, 1826, 2002, 2189, 2388, 2598, 2820, ...

作者: 王守恩 时间: 2021-7-28 09:23

小fisher 发表于 2021-7-27 16:08
1-500除以5后余数为0、1、2、3、4的数字个数各为100个，根据余数不同，从1-500中取5个数之和能被5整除的组 ...

还可以有吗？

在 1～500 中任意取 6 个不同整数，使得这 6 个数之和能被 5 整除，有几种不同取法？

作者: lihp2020 时间: 2021-7-28 09:52
本帖最后由 lihp2020 于 2021-7-28 10:18 编辑

在 1～500 中任意取 6 个不同整数，使得这 6 个数之和能被 5 整除，有几种不同取法

当N~无穷时 An~ C(n，6)/5 我猜这个题的结论是 An= C(n，6)/5 +{XXX} 取整

后面取整函数求要慢慢猜测了

作者: 王守恩 时间: 2021-7-28 12:21
本帖最后由王守恩于 2021-7-28 13:24 编辑

王守恩发表于 2021-7-28 07:20
谢谢 lihp2020！很是有趣的题目。
从 1 至 n 这 n 个正整数中每次取出 3 个相加，其和恰好是 3 的倍数 ...

谢谢天山草的鼓励！很是有趣的题目。验证了一些数据，这个公式，对于 3 成立，对于 5 成立。对于 7 也成立。是否对于一切奇数都成立？经验证对于 2 不成立，对于 4 不成立，对于 6 不成立。是否对于一切偶数都不成立？

从 1 至 n 这 n 个正整数中每次取出 (2k) 个相加，其和恰好是 (2k) 的倍数，有多少种取法？

\(a(n)=\lfloor\frac{(n-1)!}{2k*(2k)!(n-1-2k)!}\rfloor+\lfloor\frac{n-1}{2k}\rfloor-\lfloor\frac{n-1}{(2k)^2}\rfloor\)

上面的公式错误，看来我还得回到 8 楼的思路去(抄近路不行)。

作者: 天山草 时间: 2021-7-28 12:47
王守恩老兄，验证用的 mathematica 程序如下：

w = 6;
a = Subsets[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,
17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}, {w}];
L = Length[a]; k = 0;
Do[b = a[[i]];
If[Mod[(b[[1]] + b[[2]] + b[[3]] + b[[4]] + b[[5]] + b[[6]]), w] ==
0,(*Print[b];*)k = k + 1], {i, 1, L}];
Print[k ];

复制代码

上面程序表示从 1～26 中任意取 6 个不同整数，使得它们的和能被 6 整除，有几种不同取法？

k = 6; n = 26;
\[LeftFloor]Binomial[n - 1, k]/k\[RightFloor] + \[LeftFloor](n - 1)/
k\[RightFloor] - \[LeftFloor](n - 1)/k^2\[RightFloor]

复制代码

上面程序是按你的公式计算结果。

作者: luyuanhong 时间: 2021-7-28 16:42
通项公式很简单：

在 1～N 中任意取 5 个不同整数，使得这 5 个数之和能被 5 整除，不同取法总数是

{ C(N,5) + 4 [N／5] }／5 。

其中 [ ] 表示向下取整。

作者: 天山草 时间: 2021-7-28 17:46
本帖最后由天山草于 2021-7-28 18:01 编辑

luyuanhong 发表于 2021-7-28 16:42
通项公式很简单：

在 1～N 中任意取 5 个不同整数，使得这 5 个数之和能被 5 整除，不同取法总数是

陆教授的这个通项公式是对的，与王守恩公式等价，但比王守恩公式更简单一些，但是陆教授上面这个公式只适用于 5 的特定情况，好在只须在整个公式两边加个向上取整就解决了——这样我猜想就能适用于一切奇质数的情况，即 3、5、7、11、13、17、19、23、.........
但是对于非质数的其它奇数 9、15、21、..........，以及所有的偶数，两个公式都不成立。简言之就是对于 2 以及大于 2 的合数，公式不成立。

[attach]99045[/attach]

作者: lihp2020 时间: 2021-7-28 18:01
奇质数提醒了我谁说 2也符合其实就是质数才可以合数不可以我去验证一下9？？

作者: 天山草 时间: 2021-7-28 18:21
当 p=2 时，王守恩给出了下面的公式，经验证没问题。但公式对于其它偶数不成立。

[attach]99046[/attach]

作者: lihp2020 时间: 2021-7-28 18:51
N 王守恩公式代码逻辑计算
9 1 1
10 2 2
11 7 7
12 25 26
13 80 81
14 223 224
15 557 559
16 1272 1274
17 2702 2704
18 5404 5408
19 10266 10270
20 18664 18668
21 32660 32668
22 55270 55278
23 90800 90808
24 145280 145292
25 226999 227011
26 347174 347186
27 520761 520779
28 767436 767454
29 1112781 1112799
30 1589686 1589712
31 2240011 2240037
发现有问题准备回去验证一下当12 13的时候直接数出来有多少

作者: 王守恩 时间: 2021-7-31 15:58
本帖最后由王守恩于 2021-7-31 16:30 编辑

天山草发表于 2021-7-28 12:47
王守恩老兄，验证用的 mathematica 程序如下：

帖子有点乱，先确认一下，下面的结论成立吗？有反例吗？
在 1～n 中任意取 P 个不同整数，使得这 P 个数之和能被 P 整除，有几种不同取法？

\(a(n)=\lfloor\frac{n!}{P*P!(n-P)!}\rfloor+\lfloor\frac{n}{P}\rfloor-\lfloor\frac{n}{P^2}\rfloor\)

\(P=3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29,31, ......P是奇素数。\)
注意：这3个取整符号(小数部分作 0 )既不能少，又不可以合并。
能把主帖解决，很不容易的，我们应该高兴。
如果这串数能成立，可是在《整数序列在线百科全书(OEIS)》没有的！
在 1～500 中任意取 5 个不同整数，使得这 5 个数之和能被 5 整除，有几种不同取法？
{1, 2, 5, 12, 26, 52, 94, 160, 259, 402, 603, 876, 1240, 1716, 2328,
3104, 4073, 5270, 6733, 8504, 10630, 13160, 16150, 19660, 23755,
28506, 33987, 40280, 47472, 55656, 64932, 75404, 87185, 100394,
115157, 131608, 149886, 170140, 192526, 217208, 244359, 274158,
306795, 342468, 381384, 423760, 469820, 519800, 573945, 632510,
695761, 763972, 837430, 916432, 1001286, 1092312}

作者: lihp2020 时间: 2021-7-31 16:44
本帖最后由 lihp2020 于 2021-7-31 16:48 编辑

这个公式的主要来源是 11楼的 第一个图这图
两个信息 a 有余数数据都是一样的 b其次就是相差的数据有规律
如果能从原理上解释这个东西可能会得到一些惊天大秘密

11楼的图来源于 7楼的图片 7楼的图片还能得到一个更大的秘密

【在1~n，中取m-1个数使得这 m-1 个数之和能被 m 整除直接=C（n,m-1）/m（当m是素数）（当n是m的倍数-1除外)】
这个问题我认为可以用对称性证明

作者: 王守恩 时间: 2021-7-31 19:56
本帖最后由王守恩于 2021-7-31 19:58 编辑

天山草发表于 2021-7-28 12:47
王守恩老兄，验证用的 mathematica 程序如下：

谢谢天山草！谢谢22楼的公式！
比较这几个算式，就可以想象题目有多难了。
\(\frac{C_{11n}^{11}}{11}+\frac{10n}{11}=\frac{2357947691n^{11}-11789738455n^{10}+25723065720n^9-32153832150n^8+25409499423n^7-13206987255n^6+4547933830n^5-1017549500n^4+140289336n^3-10628640n^2+3628800n}{3628800}\)
\(\frac{C_{7n}^7}{7}+\frac{6n}{7}=\frac{16807n^7-50421n^6+60025n^5-36015n^4+11368n^3-1764n^2+720n}{720}\)
\(\frac{C_{5n}^5}{5}+\frac{4n}{5}=\frac{125n^5-250n^4+175n^3-50n^2+24n}{24}\)
\(\frac{C_{3n}^3}{3}+\frac{2n}{3}=\frac{3n^3-3n^2+2n}{2}\)

作者: 天山草 时间: 2021-8-1 08:05
本帖最后由天山草于 2021-8-1 08:49 编辑

王守恩发表于 2021-7-31 15:58
帖子有点乱，先确认一下，下面的结论成立吗？有反例吗？
在 1～n 中任意取 P 个不同整数，使得这 P 个数 ...

王守恩，昨天我已将此难题发到【数学研发论坛 - 难题征解】栏，看看准数学家们的反应。在下面这个帖子中，引用了陆教授的一个公式和你的两个公式。你可看一看。

【新提醒】从 1～n 这 n 个正整数中取出 m 个数，其和能被 m 整除。问：有多少种不同的取法？ - 难题征解 - 数学研发论坛 - Powered by Discuz!
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... ;tid=17953#lastpost

作者: 天山草 时间: 2021-8-1 18:12
@王守恩，那个验证程序可以简化如下，以 p=7, 共有 20 个数为例：

p = 7; n = 20;
lst = Range[n];
a = Subsets[lst, {p}];
L = Length[a]; k = 0;
Do[b = a[[i]];
If[Mod[Sum[b[[j]], {j, 1, p}], p] == 0, k = k + 1], {i, 1, L}];
Print[k];
\[LeftCeiling](Binomial[n, p] + 4 \[LeftFloor]n/p\[RightFloor])/
p\[RightCeiling] (*陆教授公式, p 为奇素数*)
\[LeftFloor]Binomial[n, p]/p\[RightFloor] + \[LeftFloor]n/
p\[RightFloor] - \[LeftFloor]n/
p^2\[RightFloor] (*王守恩公式, p 为奇素数*)

复制代码

作者: 独舟星海 时间: 2021-8-1 20:23
本帖最后由独舟星海于 2021-8-1 20:25 编辑

用什么法则可以使上面的每一种取法对应着线性不定方程的一组正整数解？x+y+z+u+v+w=501，这里有501个1，排列成一排，1与1之间有500个空位，现在拿5块挡板放在500空位的5个空位上，则可以把501个1，分成有序的6份，第一份对应x，第二份对应y，.....，第6份对应w，这样每一种放挡板法就是方程的一组解，所以放挡板的方法数就是线性不定方程的正整数解组数，那个方程共有\(C_{501-1}^{6-1}\)=\(C_{500}^{5}\)组解，与从 1~500 之间任意取 5个不同的整数的取法数相同，现在的问题是：如何使它们的每一种方法形成一一对应关系，求法则。

作者: 独舟星海 时间: 2021-8-1 20:29

独舟星海发表于 2021-8-1 20:23
用什么法则可以使上面的每一种取法对应着线性不定方程的一组正整数解？x+y+z+u+v+w=501，这里有501个1，排 ...

如果能找到对应法则，形成一一映射对应关系，则可以有新的方法解决此类问题，从mn个连续数字中抽取m个不同数字，它们的和能整除m的抽取方法数。

作者: 独舟星海 时间: 2021-8-1 20:49

独舟星海发表于 2021-8-1 20:23
用什么法则可以使上面的每一种取法对应着线性不定方程的一组正整数解？x+y+z+u+v+w=501，这里有501个1，排 ...

我们可以令x=1,2,3，.....，493,494,495,496，则此时原方程分成了496个5元1次方程：y+z+u+v+w=500,499,498，.....，9,8,7,6,5，则每个方程的解组数分别对应着：\(C_{500-1}^{5-1}\),\(C_{499-1}^{5-1}\),\(C_{498-1}^{5-1}\),\(C_{497-1}^{5-1}\),......,\(C_{9-1}^{5-1}\),\(C_{8-1}^{5-1}\),\(C_{7-1}^{5-1}\),\(C_{6-1}^{5-1}\),\(C_{5-1}^{5-1}\)。
此时，我还是不能建立一一对应关系。

作者: 独舟星海 时间: 2021-8-2 08:57
序号元1 元2 元3 元4 元5 和余数单序
1 0 0 0 0 0 0 0 1
2 1 1 1 1 1 5 0 2
3 2 2 2 2 2 10 0 3
4 3 3 3 3 3 15 0 4
5 4 4 4 4 4 20 0 5
6 0 0 0 0 1 1 1 1
7 0 0 0 0 2 2 2 2
8 0 0 0 0 3 3 3 3
9 0 0 0 0 4 4 4 4
10 1 1 1 1 0 4 4 5
11 1 1 1 1 2 6 1 6
12 1 1 1 1 3 7 2 7
13 1 1 1 1 4 8 3 8
14 2 2 2 2 0 8 3 9
15 2 2 2 2 1 9 4 10
16 2 2 2 2 3 11 1 11
17 2 2 2 2 4 12 2 12
18 3 3 3 3 0 12 2 13
19 3 3 3 3 1 13 3 14
20 3 3 3 3 2 14 4 15
21 3 3 3 3 4 16 1 16
22 4 4 4 4 0 16 1 17
23 4 4 4 4 1 17 2 18
24 4 4 4 4 2 18 3 19
25 4 4 4 4 3 19 4 20
26 0 0 0 1 1 2 2 1
27 0 0 0 2 2 4 4 2
28 0 0 0 3 3 6 1 3
29 0 0 0 4 4 8 3 4
30 1 1 1 0 0 3 3 5
31 1 1 1 2 2 7 2 6
32 1 1 1 3 3 9 4 7
33 1 1 1 4 4 11 1 8
34 2 2 2 0 0 6 1 9
35 2 2 2 1 1 8 3 10
36 2 2 2 3 3 12 2 11
37 2 2 2 4 4 14 4 12
38 3 3 3 0 0 9 4 13
39 3 3 3 1 1 11 1 14
40 3 3 3 2 2 13 3 15
41 3 3 3 4 4 17 2 16
42 4 4 4 0 0 12 2 17
43 4 4 4 1 1 14 4 18
44 4 4 4 2 2 16 1 19
45 4 4 4 3 3 18 3 20
46 0 0 0 1 2 3 3 1
47 0 0 0 1 3 4 4 2
48 0 0 0 1 4 5 0 3
49 0 0 0 2 3 5 0 4
50 0 0 0 2 4 6 1 5
51 0 0 0 3 4 7 2 6
52 1 1 1 0 2 5 0 7
53 1 1 1 0 3 6 1 8
54 1 1 1 0 4 7 2 9
55 1 1 1 2 3 8 3 10
56 1 1 1 2 4 9 4 11
57 1 1 1 3 4 10 0 12
58 2 2 2 0 1 7 2 13
59 2 2 2 0 3 9 4 14
60 2 2 2 0 4 10 0 15
61 2 2 2 1 3 10 0 16
62 2 2 2 1 4 11 1 17
63 2 2 2 3 4 13 3 18
64 3 3 3 0 1 10 0 19
65 3 3 3 0 2 11 1 20
66 3 3 3 0 4 13 3 21
67 3 3 3 1 2 12 2 22
68 3 3 3 1 4 14 4 23
69 3 3 3 2 4 15 0 24
70 4 4 4 0 1 13 3 25
71 4 4 4 0 2 14 4 26
72 4 4 4 0 3 15 0 27
73 4 4 4 1 2 15 0 28
74 4 4 4 1 3 16 1 29
75 4 4 4 2 3 17 2 30
76 0 0 1 1 2 4 4 1
77 0 0 1 1 3 5 0 2
79 0 0 2 2 1 5 0 4
78 0 0 1 1 4 6 1 3
103 2 2 1 1 0 6 1 28
80 0 0 2 2 3 7 2 5
112 3 3 0 0 1 7 2 37
81 0 0 2 2 4 8 3 6
83 0 0 3 3 2 8 3 8
94 1 1 3 3 0 8 3 19
85 0 0 4 4 1 9 4 10
92 1 1 2 2 3 9 4 17
84 0 0 3 3 4 10 0 9
86 0 0 4 4 2 10 0 11
93 1 1 2 2 4 10 0 18
95 1 1 3 3 2 10 0 20
97 1 1 4 4 0 10 0 22
106 2 2 3 3 0 10 0 31
87 0 0 4 4 3 11 1 12
107 2 2 3 3 1 11 1 32
96 1 1 3 3 4 12 2 21
98 1 1 4 4 2 12 2 23
109 2 2 4 4 0 12 2 34
99 1 1 4 4 3 13 3 24
110 2 2 4 4 1 13 3 35
108 2 2 3 3 4 14 4 33
133 4 4 3 3 0 14 4 58
111 2 2 4 4 3 15 0 36
122 3 3 4 4 1 15 0 47
135 4 4 3 3 2 16 1 60
136 0 0 1 2 3 6 1 1
137 0 0 1 2 4 7 2 2
138 0 0 1 3 4 8 3 3
139 0 0 2 3 4 9 4 4
140 1 1 0 2 3 7 2 5
141 1 1 0 2 4 8 3 6
142 1 1 0 3 4 9 4 7
143 1 1 2 3 4 11 1 8
144 2 2 0 1 3 8 3 9
145 2 2 0 1 4 9 4 10
146 2 2 0 3 4 11 1 11
147 2 2 1 3 4 12 2 12
148 3 3 0 1 2 9 4 13
149 3 3 0 1 4 11 1 14
150 3 3 0 2 4 12 2 15
151 3 3 1 2 4 13 3 16
152 4 4 0 1 2 11 1 17
153 4 4 0 1 3 12 2 18
154 4 4 0 2 3 13 3 19
155 4 4 1 2 3 14 4 20
156 0 1 2 3 4 10 0 1
5的无序拆分，然后再组合，共有126种方法。余数0占26种组合方式，其余的都占25种组合。所以\(C_{500}^5\)/126*26=52669538711

作者: 独舟星海 时间: 2021-8-2 09:15
答案与以前楼的不一致，说明各种组合并不一致，一种组合方法的差距应该是那种分拆组合方式中的，除了最后一组外，其余分拆组合方式都一致，所以，最后一种单列，从总组合方法中单独分开最后一种组合方式，从每类余数中抽取一个自然数，则有100^5=10^10,(\(C_{500}^5\)-10^10)/5+10^10=59048937520

作者: 独舟星海 时间: 2021-8-2 09:39
4个相同 5=4+1组合表示4个同，1个异

5*4=20种拆成2组
分成两派，需要2步
3个相同 2个相同 5=3+2 拆成2组

5*4=20 分成2派，需要2步
2分法中没有组合方法。
2个同 3个不同 5=2+1+1+1 拆成4组
C(5,1)*C( 4,3)=5*4=20 分成4派，需要4步
4分法中也没有组合方法。
5个相同 5的拆分 5=5 表示5个相同
5*1=5种
拆成1组
1分法中，5种组合法占5种；
3个相同 2个不同 5=3+1+1 拆成3组
C(4,2)=6 分成3派，需要3步
5*4*3/2
3分法中，30种方法占10种方法，即1/3；
2个同2个同1个不同 5=2+2+1 拆成3组
分成3派，需要3步
C(5,1)*C( 4,1)*C(3,1) 60
2与2可置换或交换所以除2=30种
这种3分法中，30种方法占10种方法，即1/3；
5个不同 5=1+1+1+1+1 拆成5组
5分法中，1种方法占1种。
以上26种方法，全部给出，单独分析它占有的组合方法，安比例求值，相加即可。

作者: lihp2020 时间: 2021-8-2 09:40
我周末认真考虑现在又有两个收获
1  证明当N是素数  那个公式的正确性
2  当N是素数的单乘积  也是有方法求通项公式也是比较简单的
单乘积是指比如N=2*3*5  N=3*7  因式分解  不存在两个及以上的相同质数相乘如 n=3*3*5
当然我认为这些也是可以解决的  但是思路还没有想到
周一又开始上班  可能要慢慢分享出来

作者: 独舟星海 时间: 2021-8-2 09:44
最后回到了luyuanhong教授的方法上。之所以整除m的比其他模m的其他余数多一种组合方法，这是导致整除m的抽取方法数多的根本原因。

作者: lihp2020 时间: 2021-8-2 10:01
还是先上张图片
[attach]99278[/attach]

作者: 天山草 时间: 2021-8-3 15:28
本帖最后由天山草于 2021-8-3 15:56 编辑

m= 2 时的组合方案数公式如下：

[attach]99346[/attach]

m= 4 时的组合方案数公式如下：

[attach]99347[/attach]

m= 6 时的组合方案数公式如下：

[attach]99348[/attach]

m=8 时的组合方案数公式如下：

[attach]99349[/attach]

能找到规律吗？

作者: 天山草 时间: 2021-8-3 15:35
上述完整公式的 mathematica 验证程序 (以 m=6 为例)：

m = 6;
Do[
lst = Range[n];
a = Subsets[lst, {m}];
L = Length[a]; k = 0;
Do[b = a[[i]];
If[Mod[Sum[b[[j]], {j, 1, m}], m] == 0, k = k + 1], {i, 1, L}];
If[Mod[n, m] == 0 || Mod[n, m] == 1 ,
s = Binomial[n, m]/
m - (\[LeftFloor]n/
m\[RightFloor] (9 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor]^2 -
17 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor] + 10))/12];
If[Mod[n, m] == 2 ,
s = Binomial[n, m]/
m - (\[LeftFloor]n/
m\[RightFloor] (9 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor]^2 -
8 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor] + 7))/12];
If[Mod[n, m] == 3 ,
s = Binomial[n, m]/
m - (\[LeftFloor]n/
m\[RightFloor] (9 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor]^2 -
8 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor] - 1))/12];
If[Mod[n, m] == 4 || Mod[n, m] == 5 ,
s = Binomial[n, m]/
m - (\[LeftFloor]n/
m\[RightFloor] (9 \[LeftFloor]n/
m\[RightFloor]^2 + \[LeftFloor]n/m\[RightFloor] + 2))/12];
If[k == s, Print["n= ", n, " 时正确。"]];
, {n, 6, 30}]

复制代码

程序运行结果：

n= 6 时正确。
n= 7 时正确。
n= 8 时正确。
n= 9 时正确。
n= 10 时正确。
n= 11 时正确。
n= 12 时正确。
n= 13 时正确。
n= 14 时正确。
n= 15 时正确。
n= 16 时正确。
n= 17 时正确。
n= 18 时正确。
n= 19 时正确。
n= 20 时正确。
n= 21 时正确。
n= 22 时正确。
n= 23 时正确。
n= 24 时正确。
n= 25 时正确。
n= 26 时正确。
n= 27 时正确。
n= 28 时正确。
n= 29 时正确。
n= 30 时正确。

作者: 王守恩 时间: 2021-8-3 17:04
本帖最后由王守恩于 2021-8-3 17:07 编辑

天山草发表于 2021-8-3 15:35
上述完整公式的 mathematica 验证程序 (以 m=6 为例)：

合并公式很可能没有。
\(a(6n+0)=\frac{(6n+0)!/6}{6!(6n+0-6)!}-\frac{9n^3-17n^2+10n}{12}\)
\(a(6n+1)=\frac{(6n+1)!/6}{6!(6n+1-6)!}-\frac{9n^3-17n^2+10n}{12}\)
\(a(6n+2)=\frac{(6n+2)!/6}{6!(6n+2-6)!}-\frac{9n^3-8n^2+7n}{12}\)
\(a(6n+3)=\frac{(6n+3)!/6}{6!(6n+3-6)!}-\frac{9n^3-8n^2-n}{12}\)
\(a(6n+4)=\frac{(6n+4)!/6}{6!(6n+4-6)!}-\frac{9n^3+n^2+2n}{12}\)
\(a(6n+5)=\frac{(6n+5)!/6}{6!(6n+5-6)!}-\frac{9n^3+n^2+2n}{12}\)

能把主帖解决，已经很不容易了，我们应该高兴。
如果这串数能成立，可是在《整数序列在线百科全书(OEIS)》没有的！
要在前几年，会砰到楼板上去。这几年找的多了，存的多了，见多不怪了。
看看A345731,跟我们的余数挺相近的，发表时间：2021年6月25日

作者: 独舟星海 时间: 2021-8-16 16:52
今天编了个vfp小程序，对于5n中抽取5个不同自然数的和模5余数是0的个数进行了统计，结果显示其值为：\({C_{5n}^5-n}\over5\)+n

作者: 天山草 时间: 2021-8-16 17:15
本帖最后由天山草于 2021-8-18 08:59 编辑

m=9 和 m=10 的公式也有了，见
http://www.mathchina.com/bbs/for ... page%3D2&page=3
这全依赖【数学研发】网站的大神们。但是问题还没有最终解决。

有希望对于任何 m，得到一个统一的简单公式。

作者: 天山草 时间: 2021-8-20 08:54
本帖最后由天山草于 2021-8-22 10:14 编辑

这个问题发布在【数学研发论坛】上以后，经 mathe 大神研究，最终给出了一个完美的统一公式，此公式对于任何正整数 m、n 都是成立的。

[attach]100032[/attach]

此公式的 mathematica 计算代码是：

Clear["Global`*"];
m = 5; n = 500;
d = Divisors[m];
s = 0;
Do[a[i] =
1/m ((-1)^(m - d[[i]]) EulerPhi[m/d[[i]]])*
Binomial[\[LeftFloor]d[[i]]*n/m\[RightFloor], d[[i]]];
s = s + a[i], {i, 1, Length[d]}];
Print["F (", n, "，", m, ") = ", s];

复制代码

运行结果是：

F (500，5) = 51048937600

复制代码

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