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标题: 梅森数探索点滴广义梅森素数表 [打印本页]

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 16:53
标题: 梅森数探索点滴广义梅森素数表
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-25 06:31 编辑

梅森数探索点滴
2^n-1同(10^n-1)/9有着许多类似的性质。
当n是合数时，2^n-1都是合数；当n是素数时，2^n-1赋有一个专有数学名称——梅森数；
梅森数中有合有素，对于梅森数中的素数，引起人们的高度重视。
前31个梅森数如下表，其中梅森素数12个——指数分别为2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127：
状态指数位数数值及分解式
P 2 1 3=3
P 3 1 7=7
P 5 2 31=31
P 7 3 127=127
FF 11 4 2047=23×89
P 13 4 8191=8191
P 17 6 131071=131071
P 19 6 524287=524287
FF 23 7 8388607=47×178481
FF 29 9 536870911=233×1103×2089
P 31 10 2147483647<10>=2147483647<10>
FF 37 12 137438953471<12>=223×616318177
FF 41 13 2199023255551<13>=13367×164511353
FF 43 13 8796093022207<13>=431×9719×2099863
FF 47 15 140737488355327<15>=2351×4513×13264529
FF 53 16 9007199254740991<16>=6361×69431×20394401
FF 59 18 576460752303423487<18>=179951×3203431780337<13>
P 61 19 2305843009213693951<19>=2305843009213693951<19>
FF 67 21 147573952589676412927<21>=193707721×761838257287<12>
FF 71 22 2361183241434822606847<22>=228479×48544121×212885833
FF 73 22 9444732965739290427391<22>=439×2298041×9361973132609<13>
FF 79 24 604462909807314587353087<24>=2687×202029703×1113491139767<13>
FF 83 25 9671406556917033397649407<25>=167×57912614113275649087721<23>
P 89 27 618970019642690137449562111<27>=618970019642690137449562111<27>
FF 97 30 158456325028528675187087900671<30>=11447×13842607235828485645766393<26>
FF 101 31 2535301200456458802993406410751<31>=7432339208719<13>×341117531003194129<18>
FF 103 32 10141204801825835211973625643007<32>=2550183799<10>×3976656429941438590393<22>
P 107 33 162259276829213363391578010288127<33>=162259276829213363391578010288127<33>
FF 109 33 649037107316853453566312041152511<33>=745988807×870035986098720987332873<24>
FF 113 35 10384593717069655257060992658440191<35>=3391×23279×65993×1868569×1066818132868207<16>
P 127 39 170141183460469231731687303715884105727<39>=170141183460469231731687303715884105727<39>
梅森数中含有位数较多的素因子，或本身就是一个素数，目前已知的最大素数的前几位都是梅森素数。

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 16:56
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-25 06:35 编辑

2^pq-1的分解式及素因子
设p,q,r都是素数，p<q<r，对于2^pq-1和2^pqr-1等整数都是合数，均可分解成不同的素因子或复合因子的乘积，
2^pq-1=(2^p-1)*(2^q-1)*D
2^pqr-1=(2^p-1)*(2^q-1)*(2^r-1)*D
若将D称作分解余因子或余因子，下面讨论余因子的大小。

2^15-1=2^(3*5)-1=7*31*151，7=2^3-1，31=2^5-1，D=(2^15-1)/7/31=151，151即大于7，又大于31；
2^21-1=2^(3*7)-1=7*127*(7*337)，7=2^3-1，127=2^7-1，D=(2^21-1)/7/127=7*337，余因子之小因子7等于7，大因子337大于127；
2^35-1=2^(5*7)-1=31*127*71*122921，31=2^5-1，127=2^7-1，D=(2^35-1)/31/127=71*122921，余因子之小因子71大于31小于127，大因子122921大于127；
2^33-1=7*(23*89)*599479
2^55-1=31*(23*89)*(881*3191*201961)
2^77-1=127*(23*89)*581283643249112959<18>
余因子可以是素数，也可以是合数；
当余因子是素数时肯定较大，即大于2^p-1又大于2^q-1；
当余因子是合数时，余因子的小因子可以小于等于2^p-1，大因子则很大，一般应大于2^q-1。
当指数是三因子、四因子合数时也是这样。
2^(p1*p2*p3)-1=∏(2^p-1)*∏(D2)*D3， 2^(p1*p2*p3*p4)-1=∏(2^p-1)*∏(D2)*∏(D3)*D4
式中D2——二合指数余因子，D3——三合指数余因子，D4——四合指数余因子。
2^105-1=[7*31*127]*[151*(7*337)*(71*122921)]*(29191*106681*152041)
2^165-1=[7*31*(23*89)]*[151*599479*(881*3191*201961)]*2048568835297380486760231<25>
2^231-1<70>=[7*127*(23*89)]*[(7*337)*599479*581283643249112959<18>]*(463*4982397651178256151338302204762057<34>)
2^385-1=[31*127*(23*89)]*[(71*122921)*(881*3191*201961)*581283643249112959<18>]*(55441*1971764055031<13>*3105534168...41<56>)
2^1155-1<348>=[7*31*127*(23*89)]*[151*(7*337)*(71*122921)*599479*(881*3191*201961)*581283643249112959<18>]*[(29191*106681*152041)*2048568835297380486760231<25>*(463*599479*4982397651178256151338302204762057<34>)*(55441*1971764055031<13>*3105534168...41<56>)]*[2311*6250631311<10>*494224324441<12>*2048568835297380486760231<25>*2600788923...51<120>]

2^165-1, 2^231-1, 2^385-1, 2^1155-1之中分别含有25,34,56,120位的余因子一个。

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 16:57
亿位大素数存在哪里？
令p，q都是略大于20000的素数时，20000*20000=400000000，2^400000000-1有120411999位；
2^20000-1为6021位，减去6021*2=12042位，余因子位数仍大于120000000位，1.2亿位。
若余因子是素数，则大于1亿位的素数被找到；若余因子是合数，则余因子中1亿位素数的可能性较小些。

取20000-21000之间的100个素数（20011-21011）两两相乘可得100*99/2=4950个不同的合数指数。
1.2亿位整数附近的素数分率按1.2亿位整数内素数分率的1/2估算，
1/ln(2^400000000)/2=1/(400000000*ln(2))/2=1.8*10(-9),
4950个2^pq-1之中有1亿位素数的可能性极小。

另据计算，1.2-1.3亿之间约有1.3*10^8/ln(1.3*10^8)-1.2*10^8/ln(1.2*10^8)=50万个素数，实际536539个素数；
1千万内可能有一个亿位梅森素数存在，比余因子中的素数分率大得多。

作者: wlc1 时间: 2022-1-22 18:27

作者: wlc1 时间: 2022-1-22 18:28
滴水可以穿石！

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 19:39
A000043——梅森素数（指数）
Mersenne exponents: primes p such that 2^p - 1 is prime. Then 2^p - 1 is called a Mersenne prime.
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161，74207281，77232917，82589933

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 19:39
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-25 06:41 编辑

A004023——清一色素数的指数（以10为基的广义梅森素数）
Indices of prime repunits: numbers n such that 11...111 (with n 1's) = (10^n - 1)/9 is prime.
2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207

例：2表示(10^2-1)/9=11，19表示(10^19-1)/9=1111111111111111111，23表示(10^23-1)/9=11111111111111111111111，……

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 19:43
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-2-17 20:14 编辑

640个小于1000位的广义梅森素数 (A179625给定,底数不包括2和10，括号内数字是底数，φ后数字是指数）
GRU 位数指数底数编号及素数值（仅给出前100个素数，如网友需用101-640号素数值，请从网页下载）
Φ2(4) 1 2 4 1 5——(4^2-1)/(4-1)=5
Φ2(6) 1 2 6 2 7——(6^2-1)/(6-1)=7
Φ3(3) 2 3 3 3 13
Φ3(5) 2 3 5 4 31
Φ3(6) 2 3 6 5 43
Φ3(8) 2 3 8 6 73
Φ3(12) 3 3 12 7 157
Φ3(14) 3 3 14 8 211
Φ3(15) 3 3 15 9 241
Φ7(3) 4 7 3 10 1093
Φ5(7) 4 5 7 11 2801
Φ7(5) 5 7 5 12 19531
Φ5(12) 5 5 12 13 22621
Φ5(13) 5 5 13 14 30941
Φ7(6) 5 7 6 15 55987
Φ5(17) 5 5 17 16 88741
Φ5(22) 6 5 22 17 245411
Φ5(23) 6 5 23 18 292561
Φ5(24) 6 5 24 19 346201
Φ13(3) 6 13 3 20 797161
Φ7(13) 7 7 13 21 5229043
Φ7(14) 7 7 14 22 8108731
Φ11(5) 8 11 5 23 12207031
Φ7(17) 8 7 17 24 25646167
Φ13(5) 9 13 5 25 305175781
Φ7(26) 9 7 26 26 321272407
Φ7(31) 9 7 31 27 917087137
Φ13(7) 11 13 7 28 16148168401
Φ11(17) 13 11 17 29 2141993519227
Φ11(20) 14 11 20 30 10778947368421
Φ11(21) 14 11 21 31 17513875027111
Φ11(30) 15 11 30 32 610851724137931
Φ17(11) 17 17 11 33 50544702849929377
Φ11(53) 18 11 53 34 178250690949465223
Φ13(34) 19 13 34 35 2458736461986831391
Φ19(11) 19 19 11 36 6115909044841454629
Φ13(37) 19 13 37 37 6765811783780036261
Φ19(12) 20 19 12 38 29043636306420266077
Φ13(43) 20 13 43 39 40911050578149780601
Φ19(14) 21 19 14 40 459715689149916492091
Φ17(20) 21 17 20 41 689852631578947368421
Φ17(21) 22 17 21 42 1502097124754084594737
Φ13(59) 22 13 59 43 1809873235795386729241
Φ29(6) 22 29 6 44 7369130657357778596659
Φ19(19) 24 19 19 45 109912203092239643840221
Φ17(28) 24 17 28 46 148020807352107352204781
Φ17(31) 24 17 31 47 751670559138758105956097
Φ19(24) 25 19 24 48 7282588256957615350925401
Φ17(55) 28 17 55 49 7141212583461249612878870081
Φ17(57) 29 17 57 50 12638179502096199521694978001
Φ17(62) 29 17 62 51 48453916488902607769120106731
Φ19(40) 29 19 40 52 70481514601025641025641025641
Φ19(45) 30 19 45 53 585578449280908796570517800071
Φ19(46) 30 19 46 54 869333244926326187979597262939
Φ19(48) 31 19 48 55 1868467947605686541562499217713
Φ17(84) 31 17 84 56 6218272796370530483675222621221
Φ47(5) 33 47 5 57 177635683940025046467781066894531
Φ19(65) 33 19 65 58 435686197988821897112429141998291
Φ19(66) 33 19 66 59 573352114691143033129973591044159
Φ19(67) 33 19 67 60 751410597400064602523400427092397
Φ71(3) 34 71 3 61 3754733257489862401973357979128773
Φ19(75) 34 19 75 62 5713895385466654457755990930505701
Φ31(14) 35 31 14 63 26063080998214179685167270877966651
Φ19(85) 35 19 85 64 54285057541336632875522658938453311
Φ19(90) 36 19 90 65 151781091873369897640449438202247191
Φ23(40) 36 23 40 66 180432677378625641025641025641025641
Φ31(19) 39 31 19 67 243270318891483838103593381595151809701
Φ23(82) 43 23 82 68 1285978139266094478723147821625123656873807
Φ31(31) 45 31 31 69 568972471024107865287021434301977158534824481
Φ29(40) 45 29 40 70 739052246542850625641025641025641025641025641
Φ23(113) 46 23 113 71 1484520425576434196455942238665054573307722183
Φ41(14) 46 41 14 72 7538867501749984216983927242653776257689563451
Φ103(3) 49 103 3 73 6957596529882152968992225251835887181478451547013
Φ31(44) 50 31 44 74 20585646725737777436116973149348140195500598968701
Φ43(15) 50 43 15 75 26656068987980386414408582952871386493955339704241
Φ29(65) 51 29 65 76 586553146232068395470571577233998687006533145904541
Φ29(70) 52 29 70 77 4666530080888666270779140579710144927536231884057971
Φ31(53) 52 31 53 78 5451909197716512648567801549394409749475252856973123
Φ71(6) 55 71 6 79 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371
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作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 19:45
GRU 位数指数底数
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Φ223(183) 503 223 183
Φ181(618) 503 181 618
Φ223(186) 504 223 186
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Φ197(388) 508 197 388
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Φ197(763) 565 197 763
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Φ227(350) 575 227 350
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Φ317(392) 820 317 392
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Φ281(864) 823 281 864
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Φ383(403) 996 383 403
Φ541(70) 997 541 70
Φ349(741) 999 349 741

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 19:48
1925个已知广义梅森素数
（序号序—位数倒序）
序号位数指数底数
1 41382 12973 1549
2 37090 8317 28839
3 36758 10099 4366
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39 14152 3541 9945
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42 13512 3301 12432
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500 2941 1201 282

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 19:50
1925个已知广义梅森素数
（序号序—位数倒序）
序号位数指数底数
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502 2939 997 891
503 2938 829 3529
504 2937 1021 757
505 2937 877 2247
506 2935 829 3497
507 2932 947 1257
508 2929 1583 71
509 2928 857 2627
510 2922 1103 448
511 2922 991 893
512 2914 823 3504
513 2909 881 2021
514 2906 823 3429
515 2906 1151 336
516 2902 1409 115
517 2901 827 3251
518 2901 877 2047
519 2900 907 1588
520 2899 823 3359
521 2898 839 2869
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528 2857 827 2869
529 2849 859 2091
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842 2016 733 566
843 2015 829 271
844 2013 617 1848
845 2012 613 1937
846 2012 587 2705
847 2006 593 2446
848 2003 613 1871
849 2002 1297 35
850 1999 613 1845
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852 1991 631 1443
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作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 19:50
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1500 564 191 924

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 19:51
1925个已知广义梅森素数
（序号序—位数倒序）
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作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 19:53
1925个已知广义梅森素数
（底数排序）
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作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 19:55
1925个已知广义梅森素数
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作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 19:55
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作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 19:56
1925个已知广义梅森素数
（底数排序）
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19 17332 4051 19026
12 21211 4933 19979
18 17648 4099 20250
9 23333 5347 23151
2 37090 8317 28839

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 20:21
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-22 20:29 编辑

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rank prime digits who when comment
1 (7176^24691 - 1)/7175 95202 CH2 Jun 2017 Generalized repunit
2 (40734^16111 - 1)/40733 74267 CH2 Mar 2015 Generalized repunit
3 (64758^15373 - 1)/64757 73960 p170 Jan 2018 Generalized repunit
4 (58729^15091 - 1)/58728 71962 CH2 Feb 2017 Generalized repunit
5 (27987^15313 - 1)/27986 68092 CH12 Aug 2020 Generalized repunit
6 (23340^15439 - 1)/23339 67435 p170 Mar 2020 Generalized repunit
7 (24741^15073 - 1)/24740 66218 p170 Jul 2020 Generalized repunit
8 (63847^13339 - 1)/63846 64091 p170 May 2013 Generalized repunit
9 (28507^13831 - 1)/28506 61612 CH12 Aug 2020 Generalized repunit
10 (26371^13681 - 1)/26370 60482 p170 Feb 2012 Generalized repunit
11 (4529^16381 - 1)/4528 59886 CH2 Dec 2012 Generalized repunit
12 (9082^15091 - 1)/9081 59729 CH2 Oct 2014 Generalized repunit
13 (43326^12041 - 1)/43325 55827 p170 Nov 2017 Generalized repunit
14 (38284^11491 - 1)/38283 52659 CH2 Feb 2013 Generalized repunit
15 (34120^11311 - 1)/34119 51269 CH2 Sep 2011 Generalized repunit
16 (50091^10357 - 1)/50090 48671 p170 Nov 2016 Generalized repunit
17 (44497^10093 - 1)/44496 46911 p170 Jun 2016 Generalized repunit
18 (1852^13477 - 1)/1851 44035 p170 Aug 2015 Generalized repunit
19 (42417^9337 - 1)/42416 43203 p170 Nov 2015 Generalized repunit
20 (36210^9319 - 1)/36209 42480 p170 Mar 2019 Generalized repunit

作者: wlc1 时间: 2022-1-22 20:40

作者: 蔡家雄 时间: 2022-1-22 20:53
广义费马数：a^(a^n)+a -1

若 3^(3^n)+2 是素数，则 n=

如 3^(3^5)+2=3^243+2 是素数，

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-22 21:22

蔡家雄发表于 2022-1-22 20:44
广义费马数：a^(a^n)+a -1

Any generalized Fermat number Fb,n = b^2^n+1 (with b an integer greater than one and n greater than zero) which is prime is called a generalized Fermat prime (because they are Fermat primes in the special case b=2).

b^2^n+1型数称为广义费马数

作者: 蔡家雄 时间: 2022-1-23 08:29
广义梅森数：(a^n -1)/(a -1)

广义费马数：a, b 一奇一偶且互质，

a^(2^n)+b^(2^n) 如：a=2, b=1,

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-23 09:03

蔡家雄发表于 2022-1-23 08:29
广义梅森数：(a^n -1)/(a -1)

广义费马数：a, b 一奇一偶且互质，

蔡老师好！

学生暂无兴趣探讨费马素数和广义费马素数。

近期太阳先生提出许多个寻找大素数、寻找梅森素数的公式，尽管都不是完全正确的，但某些公式的反例并不多，不愧为寻找大素数的有效公式，请关注并帮他完善这些寻找方法和寻找公式。

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-23 11:19
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-25 06:45 编辑

10000以内共有1229个素数，以这些素数作2^n-1的指数，可得1229个梅森数，其中梅森素数22个；
分解不是素数的各个梅森数，有280个完全分解的，873个未完全分解，54个一个素因子也没有找到。
在280个完全分解的梅森数中，最小素因子是2^11-1的23，最大素因子是2^9901-1的2479176932...53<2844>，
2^9733-1的1834385146...27<2876>，2^9697-1的8855139416...59<2888>，……
它们都是2^p-1的φ因子之一，都不是前面所说的2^(pqr…)-1的余因子。

在54个一个素因子未曾找到的梅森数中，最小的是2^1277-1<385>=2601983048...71<C385>,2^1619-1<488>=2331111140...87<C488>，……
在873个未完全分解的梅森数中，最小的复合因子是2^1213-1<366>的6022881435...11<C297>,2^1217-1<367>的1599862690...13<C248>，2^1229-1<370>的5339295584...87<C284>，……
最大的复合因子是2^9949-1<2995>的1094014231...53<C2989>，2^9967-1<3001>的5588811182...37<C2978>，2^9973-1<3003>的3395870015...01<C2959>，……

太阳先生一直想找到一些大素数因子，可在这些梅森数中寻找，或设法分解这些没有分解或没有完全分解的梅森数中寻找。

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-24 08:51
在尚未完全分解的梅森数中，最小的复合因子是2^1217-1<367>的1599862690...13<C248>，
2^1217-1<367>=1045741327<10>×6116773272...79<55>×2205339002...99<56>×1599862690...13<248>
第2个素因子等于6116773272167843384976777858063213917010557325918356879——55位
第3个素因子等于22053390021902056444354293154701006674049109757797668799——56位
梅森数2^1217-1等于2256860539307393105011327329377011038103787896235450685421418815999277883882438081825667093264603044024991209099357269234625403589861921393867700290549018439799210439036894036739316763396676665200668451067534577006194941659478827887479039428662128356194410007853719090458077244657854235383855942530190262213802290413079280077010045004063560752944055732277904851075071
梅森数除以第1、第2和第3素因子等于15998626902122785734478916025259371445087839066846331843763775490851714167735345664056701978718195915214824941034106110533345761829269920128282514453043980438376392031003178144844531369491923452362083612934632103158494908388545475693079542033948513——248位
复合因子平方根3999828359082772658479476607994569620765178450883469776277365413601013103175014799691629403314619604784087148266530959496800——124位
复合因子平方根除以2*1217等于1643314855826940286967738951517900419377641105539634254838687515859085087582175349092699015330575022507841885072527099218——121位
248位复合因子中一定含有大于56位第3素因子，小于124位平方根的第4个素因子。

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-24 08:51
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-2-14 05:21 编辑

梅森数中的素因子都是2kp+1型，其中不含平方因子；
梅森数若只有一大一小二个素因子，则小因子小于梅森数的平方根，大因子大于梅森数的平方根；
梅森数若含有3个或3个以上的素因子，则第1、第2个小因子一定小于梅森数的平方根，大因子不一定大于梅森数的平方根。
梅森数2^1217-1中的未分解到底的复合因子248位，尚大于总位数367的一半183位，
但复合因子中的素因子不会小于56位，不会大于248-56+1=193位，据此该梅森数的大因子有可能大于梅森数的平方根，也有可能小于其平方根。

第3个素因子p3等于22053390021902056444354293154701006674049109757797668799
找到第3个素因子p3意味着已经试除到了k=(p3-1)/(2*1217)=9060554651562060987820169743098195018097415676991647——52位
若用太阳试除法继续试除之，从k+1=9060554651562060987820169743098195018097415676991648——52位开始
试除到1643314855826940286967738951517900419377641105539634254838687515859085087582175349092699015330575022507841885072527099218——121位
尚需（至多）试除181370227212704790725664093259305684155078671537705667434014404511773次——69位数
亦有可能试除若干次后就找到第4个大于等于56位的素因子，
248位复合因子究竟还含有几个素因子尚不清楚。

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-24 15:49
所有的梅森数因子（素因子或复合因子）都具有2kp+1的形式，包括梅森数自身也可表示成2kp+1的形式。

2^3-1=7=2*1*3+1
2^5-1=31=2*3*5+1
2^7-1=127=2*9*7+1
2^9-1=511=2*28.333*9+1≠2k*9+1
2^11-1=2047=23*89=(2*1*11+1)*(2*4*11+1)=2*93*11+1
2^13-1=8191=2*63*65+1=2*315*13+1
2^15-1=32767=7*31*151=(2*1*3+1)*(2*3*5+1)*(2*5*15+1)=2*1092.2*15+1≠2k*15+1
2^17-1=131071=2*255*257+1=2*3855*17+1
2^19-1=524287=2*511*513=2*13797*19+1
2^21-1=2097151=2*49932.143*21+1≠2k*21+1
2^23-1=8388607=47*178481=(2*1*23+1)*(2*3880*23+1)=2*182361*23+1

不能表示成2kn+1形式的2^n-1型数字都不是梅森数。

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-24 15:50
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-2-14 05:23 编辑

2^3-1=7, 7=2*3+1
2^9-1=511=7*73, 73=2*4*9+1
2^27-1=134217727=7*73*262657, 262657=2*4864*27+1

2^5-1=31, 31=2*3*5+1
2^25-1=33554431=31*(601*1801), 601=2*24*25+1, 1801=2*72*25+1, 1082401=2*21648*25+1
2^125-1=42535295865117307932921825928971026431<38>=31*(601*1801)*(269089806001<12>*4710883168879506001<19>)

2^7-1=127, 127=2*9*7+1
2^49-1=562949953421311<15>=127*4432676798593<13>, 4432676798593=2*45321395904*49+1
2^343-1=127*4432676798593<13>*(6073159*1428389887<10>*62228099977<11>*5896180447...57<62>)

2^15-1=2^(3*5)-1=32767=7*31*151, 151=2*5*15+1
2^21-1=2^(3*7)-1=2097151=7^2*127*337, 337=2*8*21+1
2^35-1=2^(5*7)-1=34359738367<11>=31*127*(71*122921), 71=2*35+1, 122921=2*1706*35+1
2^105-1=2^(3*5*7)-1=7^2*31*127*151*337*(71*122921)*(29191*106681*152041), 29191=2*139*105+1, 106681=2*508*105+1, 152041=2*724*105+1

梅森数2^p-1的素因子都具有2kp+1的形式；
2^(p^2)-1的较大素因子或复合因子具有2k*p^2+1形式；
2^(p^3)-1的较大素因子或复合因子具有2k*p^3+1形式；……

2^pq-1=(2^p-1)*(2^q-1)*(2k*pq+1)，余因子具有2k*pq+1的形式；
2^pqr-1=(2^p-1)*(2^q-1)*(2^r-1)*(2k1*pq+1)*(2k2*pr+1)*(2k3*qr+1)*(2*k*pqr+1)，余因子具有2k*pqr+1的形式；
……

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-24 15:51
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-25 06:48 编辑

2^3-1=7含有素因子7；
2^21-1=2^(3*7)-1=2097151=7^2*127*337，21=3*7，含有素因子7的平方；
2^147-1=2^(3*7*7)-1=7^3*127*337*4432676798593<13>*2741672362528725535068727<25>,  147=3*7*7，含有素因子7的立方；
……

2^4-1=15=3*5含有素因子5；
2^20-1=1048575=3*5^2*(11*31*41),  20=4*5含有素因子5的平方，大复合因子中的11、31、41都是2k*5+1型；
2^100-1=1267650600228229401496703205375<31>=3*5^3*(11*31*41)*(101*251*601*1801*4051*8101*268501),  100=4*5*5含有素因子5的立方，大复合因子中的101、251、601、1801、4051、8101、268501都是2k*25+1型；
2^500-1<151>=3*5^4*(11*31*41)*(101*251*601*1801*4051*8101*268501)*(7001*28001*96001*3775501*229668251*269089806001<12>*4710883168879506001<19>*47970133603445383501<20>*94291866932171243501<20>*5519485418336288303251<22>), 500=1*5*5*5含有素因子5的4次方，大复合因子中的各个小因子都是2k*125+1型；
……

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-25 07:48
以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，以后指数每增大p-1，又出现一次；
非以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在指数等于(p-1)的某个约数中，以后指数每增大p-1的同一个约数，又出现一次。

以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，素因子p的平方第一次出现在2^[(p-1)*p]-1中，以后指数每增大（p-1）*p，又出现一次；
素因子p的立方第一次出现在2^[(p-1)*p^2]-1中，以后指数每增大（p-1）*p^2，又出现一次；……

非以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在指数等于(p-1)的某个约数(p-1)/k中，以后指数每增大(p-1)/k，又出现一次。
素因子p的平方第一次出现在2^[(p-1)/k*p]-1中，以后指数每增大（p-1）/k*p，又出现一次；
素因子p的立方第一次出现在2^[(p-1)/k*p^2]-1中，以后指数每增大（p-1）/k*p^2，又出现一次；……

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-25 07:48
以2为原根的素数有：
3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797，……
例：素因子3，第一次出现在2^2-1中，以后指数每增加2循环出现一次；素因子5，第一次出现在2^4-1中，以后指数每增加4循环出现一次；素因子11，第一次出现在2^10-1中，以后指数每增加10循环出现一次；……

素数7、23、31以2为基的原根分别是3、11和5，分别等于7-1、11-1和31-1的1/2、1/2和1/6，在2^n-1中，素因子7、23、31第一次出现在n=3、11、5时，以后n每增加3、11、5循环出现一次。

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-25 07:49
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-25 07:56 编辑

以2为底（基）的φ因子
除2以外的所有素数均可是某些2^n-1的素因子，第一次出现的素因子又被赋予一个专用名称——φ因子；对应于某个指数n，φ因子可能是1个或多个。
n φ因子
1 ——
2 3
3 7
4 5
5 31
6 ——
7 127
8 17
9 73
10 11
11 23 89
12 13
13 8191
14 43
15 151
16 257
17 131071
18 19
19 524287
20 41
21 337
22 683
23 47 178481
24 241
25 601 1801
26 2731
27 262657
28 29 113
29 233 1103 2089
30 331
31 2147483647
32 65537
33 599479
34 43691
35 71 122921
36 37 109
37 223 616318177
38 174763
39 79 121369
40 61681
41 13367 164511353
42 5419
43 431 9719 2099863
44 397 2113
45 631 23311
46 2796203

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-25 10:33
以2为底（基）的φ因子
个数 n φ1 φ2 φ3
3 47 2351 4513 13264529
2 48 97 673
1 49 4432676798593<13>
2 50 251 4051
3 51 103 2143 11119
3 52 53 157 1613
3 53 6361 69431 20394401
1 54 87211
3 55 881 3191 201961
1 56 15790321
2 57 32377 1212847
2 58 59 3033169
2 59 179951 3203431780337<13>
2 60 61 1321
1 61 2305843009213693951<19>
1 62 715827883
2 63 92737 649657
2 64 641 6700417
1 65 145295143558111<15>
2 66 67 20853
2 67 193707721 761838257287<12>
3 68 137 953 26317
1 69 10052678938039<14>
2 70 281 86171
3 71 228479 48544121 212885833
2 72 433 38737
3 73 439 2298041 9361973132609<13>
2 74 1777 25781083
2 75 100801 10567201
3 76 229 457 525313
1 77 581283643249112959<18>
1 78 22366891
3 79 2687 202029703 1113491139767<13>
1 80 4278255361<10>
3 81 2593 71119 97685839
2 82 83 8831418697<10>
2 83 167 57912614113275649087721<23>
2 84 1429 14449
1 85 9520972806333758431<19>
1 86 2932031007403<13>
2 87 4177 9857737155463<13>
2 88 353 2931542417<10>
1 89 618970019642690137449562111<27>
1 90 18837001

作者: 太阳 时间: 2022-1-25 10:40

yangchuanju 发表于 2022-1-25 07:48
以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，以后指数每增大p-1，又出现一次；
非以2为原根的素数 ...

意义不大，找不到大素数

作者: 太阳 时间: 2022-1-25 10:48
\(2^{ac}-1=\left( 2^a-1\right)\times\left( 2^c-1\right)\times m，\left( 整数m＞0，素数a＞0，c＞0，a\ne c\right)\)

作者: 太阳 时间: 2022-1-25 10:57
找大素数十分困难，难度超大

作者: 大傻8888888 时间: 2022-1-25 11:35

yangchuanju 发表于 2022-1-25 07:48
以2为原根的素数有：
3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173 ...

"以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，以后指数每增大p-1，又出现一次；
非以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在指数等于(p-1)的某个约数中，以后指数每增大p-1的同一个约数，又出现一次。"
应该是不管任何素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，以后指数每增大p-1，又出现一次。比如素数7，第一次出现在2^(7-1)-1中，以后指数每增大6，又出现一次。

作者: wlc1 时间: 2022-1-25 21:13

大傻8888888 发表于 2022-1-25 11:35
"以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，以后指数每增大p-1，又出现一次；
非以2为原根的 ...

作者: wlc1 时间: 2022-1-25 21:14

太阳发表于 2022-1-25 10:57
找大素数十分困难，难度超大

用光子、量子机器也难

作者: wlc1 时间: 2022-1-25 21:30

太阳发表于 2022-1-25 10:57
找大素数十分困难，难度超大

用光子、量子机器也难，但，探索精神可嘉！

作者: 太阳 时间: 2022-1-26 13:12
本帖最后由太阳于 2022-1-26 13:40 编辑

2^pq-1=(2^p-1)*(2^q-1)*(2k*pq+1)，余因子具有2k*pq+1的形式，命题不成立，反例：2^28-1，2^165-1
反例：2^28-1=268435455 = 3*5*29*43*113*127，43/(2*4*7+1)≠m，(整数m＞0)

作者: 太阳 时间: 2022-1-26 13:17
本帖最后由太阳于 2022-1-26 14:34 编辑

2^pq-1=(2^p-1)*(2^q-1)*(2k*pq+1)，余因子具有2k*pq+1的形式，命题加条件成立
2^pq-1=(2^p-1)*(2^q-1)*(2k*pq+1)，(加条件素数p＞0，q＞0，p≠q)，余因子具有2k*pq+1的形式
2^( p^n)-1={2^[p^(n-1)]-1}*(2k*p^n+1)，(素数p＞0)，余因子具有2k*p^n+1的形式

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-26 19:38
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-26 19:47 编辑

请问蔡老师，兔子素数是不是斐波那契素数？
斐波那契数列中的素数不会有这么多吧？

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-26 19:42
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-26 19:48 编辑

斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368

素数7，11,17都不在这个数列中呀？

作者: 蔡家雄 时间: 2022-1-26 19:44
本帖最后由蔡家雄于 2022-1-26 20:56 编辑

在10^7内有664579个素数p，

仅有38个素数p，使 2^p -1 是素数，占比 38/664579=0.000057，

另一方面，有能力分解 2^(521*607) -1 吗？

定义：若 n 是素数，且 f(n) 也是素数，则称 f(n) 为兔子素数。

如 f(n)=f(5), f(7), f(11), f(13), f(17),

对应的兔子素数是5，13，89，233，1597，

作者: 时空伴随者 时间: 2022-1-26 20:27
2022-01-26 20:24:16
3: 2　<1>
5: 5　<1>
7: 13　<2>
11: 89　<2>
13: 233　<3>
17: 1597　<4>
23: 28657　<5>
29: 514229　<6>
43: 433494437　<9>
47: 2971215073　<10>
83: 99194853094755497　<17>
131: 1066340417491710595814572169　<28>
137: 19134702400093278081449423917　<29>
359: 475420437734698220747368027166749382927701417016557193662268716376935476241　<75>
431: 529892711006095621792039556787784670197112759029534506620905162834769955134424689676262369　<90>
433: 1387277127804783827114186103186246392258450358171783690079918032136025225954602593712568353　<91>
449: 3061719992484545030554313848083717208111285432353738497131674799321571238149015933442805665949　<94>
509: 10597999265301490732599643671505003412515860435409421932560009680142974347195483140293254396195769876129909　<107>
569: 36684474316080978061473613646275630451100586901195229815270242868417768061193560857904335017879540515228143777781065869　<119>
571: 96041200618922553823942883360924865026104917411877067816822264789029014378308478864192589084185254331637646183008074629　<119>
2971: 357103560641909860720907774139063454445569926582843306794041997476301071102767570483343563518510007800304195444080518562630900027386498933944619210192856768352683468831754423234217978525765921040747291316681576556861490773135214861782877716560879686368266117365351884926393775431925116896322341130075880287169244980698837941931247516010101631704349963583400361910809925847721300802741705519412306522941202429437928826033885416656967971559902743150263252229456298992263008126719589203430407385228230361628494860172129702271172926469500802342608722006420745586297267929052509059154340968348509580552307148642001438470316229　<621>
4723: 500195636126957292905024512596972806695803345136243348970565288179435361313804956505581782637634612477979679893275103396147348650762007594937510804541145002304302867341006298493404319657382123201158007188252606550806694535329232256851056656372379649097735304781630173812454531781511107460619516018844320335033801984806819067802561370394036732654089838823551603083295670024453477589093119918386566397677610274213837391954591147603054442650326827980781140275941425217172428448698161710841740688042587204161256084914166762549007012713922172748259690566614580062682196606466498102571627683726718483229578044343646737694436406261444368327649097401550241341102704783841619376027737767077127010039900586625841991295111482539736725172169379740443890332234341104310470907449898415522414805210341138063350999730749950920147250683227798780264811215647706542511681027825390882770762662185410080310045261286851842669934849330548237271838345164232560544964315090365421726004108704302854387700053591957　<987>
在 10^1000以内，有22个兔子素数
用时 54.6991286277771 秒

作者: wlc1 时间: 2022-1-26 20:43
时空伴随者发表于 2021-12-22 11:08

2^7897466719774591 -1 没有10亿以内的素因子；

2^7897466719774591 -3 有5，149，117764497三个。

我的断言：2^7897466719774591 -1 没有10^16 以内的素因子；

作者: wlc1 时间: 2022-1-26 20:52
时空伴随者发表于 2021-12-22 11:08

2^7897466719774591 -1 没有10亿以内的素因子；

2^7897466719774591 -3 有5，149，117764497三个。

我的断言：2^7897466719774591 -1 没有10^17 以内的素因子；

作者: 太阳 时间: 2022-1-27 09:23
本帖最后由太阳于 2022-1-27 09:32 编辑

素数7897466719774591
2^7897466719774591-1 试除法14次才能判断有没有10^17 以内的素因子

作者: 大傻8888888 时间: 2022-1-27 10:47

yangchuanju 发表于 2022-1-25 07:48
以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，以后指数每增大p-1，又出现一次；
非以2为原根的素数 ...

我在28楼的回复不准确。
任何素数或者素因子p第一次出现在2^[(p-1)/2]-1中，以后指数每增大(p-1)/2，又出现一次。只不过为什么是这样，具体成立不成立我暂时还不能证明。不知哪位先生可以证明？

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-27 14:37
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-27 14:49 编辑

大傻8888888 发表于 2022-1-27 10:47
我在28楼的回复不准确。
任何素数或者素因子p第一次出现在2^[(p-1)/2]-1中，以后指数每增大(p-1)/2，又 ...

仍不全对，有的素数第一次出现及循环出现周期是（p-1），这些素数都是以2为原根的素数；
其余素数第一次出现及循环出现周期是（p-1）/k，k是不同的正整数；
素数23,47之k=2,
素数31之k=6（素数31第一次出现在n=5=（31-1）/6，以后n每增加5又循环出现一次；
素数89之k=8（素数89第一次出现在n=11=（89-1）/8，以后n每增加11又循环出现一次；
素数127之k=18（素数127第一次出现在n=7=（126-1）/18，以后n每增加7又循环出现一次；……

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-27 15:09
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-27 15:12 编辑

回复大傻8888888
第一次出现在2^n-1中的素数p及其循环出现之周期分数k值:
指数n 素数p 周期分数k=(p-1)/n
2 3 1
3 7 2
4 5 1
5 31 6
7 127 18
8 17 2
9 73 8
10 11 1
11 23 2
11 89 8
12 13 1
13 8191 630
14 43 3
15 151 10
16 257 16
17 131071 7710
18 19 1
19 524287 27594
20 41 2
21 337 16
22 683 31
23 47 2
23 178481 7760
24 241 10
25 601 24
25 1801 72
26 2731 105
27 262657 9728
28 29 1
28 113 4
29 233 8
29 1103 38
29 2089 72
30 331 11
31 2147483647 69273666
32 65537 2048
33 599479 18166
34 43691 1285
35 71 2
35 122921 3512
36 37 1
36 109 3
37 223 6
37 616318177 16657248
38 174763 4599
39 79 2
39 121369 3112
40 61681 1542
41 13367 326
41 164511353 4012472
42 5419 129
43 431 10
43 9719 226
43 2099863 48834
44 397 9
44 2113 48
45 631 14
45 23311 518
46 2796203 60787
47 2351 50
47 4513 96
47 13264529 282224
48 97 2
48 673 14
49 4432676798593 90462791808
50 251 5
50 4051 81
51 103 2
51 2143 42
51 11119 218
52 53 1
52 157 3
52 1613 31
53 6361 120
53 69431 1310
53 20394401 384800
54 87211 1615
55 881 16
55 3191 58
55 201961 3672
56 15790321 281970
57 32377 568
57 1212847 21278
58 59 1
58 3033169 52296
59 179951 3050
59 3203431780337 54295453904
60 61 1
60 1321 22

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-27 15:14

yangchuanju 发表于 2022-1-27 14:37
仍不全对，有的素数第一次出现及循环出现周期是（p-1），这些素数都是以2为原根的素数；
其余素数第一 ...

回复大傻8888888
不同素数在2^n-1第一次出现n值及循环出现之周期分数k:
素数p 指数n 周期分数k=(p-1)/n
3 2 1
5 4 1
7 3 2
11 10 1
13 12 1
17 8 2
19 18 1
23 11 2
29 28 1
31 5 6
37 36 1
41 20 2
43 14 3
47 23 2
53 52 1
59 58 1
61 60 1
67 66 1
71 35 2
73 9 8
79 39 2
83 82 1
89 11 8
97 48 2
101 100 1
103 51 2
107 106 1
109 36 3
113 28 4
127 7 18
131 130 1
137 68 2
139 138 1
149 148 1
151 15 10
157 52 3
163 162 1
167 83 2
173 172 1
179 178 1
181 180 1
191 95 2
193 96 2
197 196 1
199 99 2
211 210 1
223 37 6
227 226 1
229 76 3
233 29 8
239 119 2
241 24 10
251 50 5
257 16 16
263 131 2
269 268 1
271 135 2
277 92 3
281 70 4
283 94 3
293 292 1
307 102 3
311 155 2
313 156 2
317 316 1
331 30 11
337 21 16
347 346 1
349 348 1
353 88 4
359 179 2
367 183 2
373 372 1
379 378 1
383 191 2
389 388 1
397 44 9
401 200 2
409 204 2
419 418 1
421 420 1
431 43 10
433 72 6
439 73 6
443 442 1
449 224 2
457 76 6
461 460 1
463 231 2

作者: 白新岭 时间: 2022-1-27 15:28

yangchuanju 发表于 2022-1-27 14:37
仍不全对，有的素数第一次出现及循环出现周期是（p-1），这些素数都是以2为原根的素数；
其余素数第一 ...

证明2^n-2模2^K-1只有k种余数
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 6&fromuid=37263
(出处: 数学中国)
以前对这类问题做了尝试性分析，也有些自己的体会。

作者: 大傻8888888 时间: 2022-1-27 15:58

yangchuanju 发表于 2022-1-27 14:37
仍不全对，有的素数第一次出现及循环出现周期是（p-1），这些素数都是以2为原根的素数；
其余素数第一 ...

我在51楼的回复确实仍然不准确。
1.如果2^n-1是梅森素数，则这个梅森素数的素因子p第一次出现在2^(2n)-1中，以后指数每增大n又出现一次。
2.如果p不是梅森素数，则素因子p第一次出现在2^[(p-1)/2]-1中，以后指数每增大(p-1)/2，又出现一次。

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-27 16:25

大傻8888888 发表于 2022-1-27 15:58
我在51楼的回复确实仍然不准确。
1.如果2^n-1是梅森素数，则这个梅森素数的素因子p第一次出现在2^(2n)-1 ...

梅森素数2^3-1=7，素因子7先后出现在n=3,6,9,12……的2^n-1之中，应该认为素因子7第一次出现在n=3的2^n-1中，7是7的一个因子；
2^11-1=2047=11*89，不是梅森素数；素因子23和89第一次出现在n=11的2^n-1中，素因子23和89第一次出现在2^[(23-1)/2]-1和2^[(89-1)/8]-1中，以后指数每增加2^[(23-1)/2]-1和2^[(89-1)/8]-1又出现一次。

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-27 18:54

蔡家雄发表于 2022-1-26 19:44
在10^7内有664579个素数p，

仅有38个素数p，使 2^p -1 是素数，占比 38/664579=0.000057，

蔡家雄在46楼帖子中询问：有能力分解 2^(521*607) -1 吗？
2^3-1=7、2^5-1=31是两个小梅森素数，2^(3*5)-1=2^15-1=32767=7*31*151；三因子位数分别是1,2,3位，总位数5位。
2^521-1=7、2^607-1=31是两个较大的梅森素数，2^(521*607)-1=（2^521-1)*(2^607-1)*D=6864797660...51<157>*5311379928...27<183>*D
2^(521*607)-1是一个95200位大数，减157，再减183等于94860，余因子D应是一个94860或94861位的数字，这种余因子最难分解。

作者: 大傻8888888 时间: 2022-1-27 19:51

yangchuanju 发表于 2022-1-27 16:25
梅森素数2^3-1=7，素因子7先后出现在n=3,6,9,12……的2^n-1之中，应该认为素因子7第一次出现在n=3的2^n-1 ...

56楼应该增加如下：
3.如果2^n-1是若干个素数之积，其中所有大于等于2n+1的素数在指数每增加n这所有素数的素因子都会再次出现。
或者干脆把56楼改为：
1.如果2^n-1是梅森素数，则这个梅森素数的素因子p第一次出现在2^(2n)-1中，以后指数每增大n又出现一次。
2.如果2^n-1是若干个大于等于两个素数之积，其中所有大于等于2n+1的素数在指数每增加n时，这所有素数的素因子都会再次出现。
当然如果还有反例出现，则2有可能不成立。

作者: wlc1 时间: 2022-1-27 21:02

作者: wlc1 时间: 2022-1-27 21:03
(21!*(21!+1)+41)= 2610284371992958109320182727285309440041 是质数，

作者: wlc1 时间: 2022-1-27 21:10
(32!*(32!+1)+41)= 69237837345426015193166198943959583917599350124435438032818012160000041 是质数，

作者: wlc1 时间: 2022-1-27 21:36
求：2^(2n)+2^n+41 的欧拉素数，，

作者: 时空伴随者 时间: 2022-1-27 21:49
2022-01-27 21:50:59
2!(2!+1)+103 = 109 是素数
14!(14!+1)+103 = 7600054456639175731303 是素数
26!(26!+1)+103 = 162644002617632464507038883812920068147661635584000103 是素数
57!(57!+1)+103 = 1642431204554797391706825085547896279783618490455644334004314396974343031844472342713337095769872032298224878814689704927466665002145184481280000000000103 是素数
58!(58!+1)+103 = 5525138572122338425701759587783123085192092601892787539590513631421689959124670978891782866091255236581329133075637922223861535920524420699914240000000000103 是素数
94!(94!+1)+103 = 11823651586424567337848341342376360194918652389411546490590393909887467884461412446261417203578061815564746386898317948984533617009985012494104175266807321864359757920552235614826065526550874266073021530164457042138734247148297477486607757492885211904865651202385340530688000000000000000000103 是素数
用时 1.0640606880187988 秒

作者: 时空伴随者 时间: 2022-1-27 22:38
500! 以内的就寥寥3个
2022-01-27 22:37:15
1!(1!+1)+3 = 5 是素数
2!(2!+1)+5 = 11 是素数
50!(50!+1)+101 = 925017065282507919013470723235883682349486807421901987706139271049224663919073812485995821306512984146521641568960512000000000101 是素数
用时 37.186126708984375 秒

作者: wlc1 时间: 2022-1-27 22:42

时空伴随者发表于 2022-1-27 22:38
500! 以内的就寥寥3个
2022-01-27 22:37:15
1!(1!+1)+3 = 5 是素数

谢谢！不知 2^(2n)+2^n+41 的欧拉素数，又如何？

作者: 时空伴随者 时间: 2022-1-28 13:49
n在3000以内
2022-01-28 13:52:05
\(2^{2} + 2^{1} + 41 = {47}\)
\(2^{4} + 2^{2} + 41 = {61}\)
\(2^{6} + 2^{3} + 41 = {113}\)
\(2^{8} + 2^{4} + 41 = {313}\)
\(2^{10} + 2^{5} + 41 = {1097}\)
\(2^{12} + 2^{6} + 41 = {4201}\)
\(2^{14} + 2^{7} + 41 = {16553}\)
\(2^{18} + 2^{9} + 41 = {262697}\)
\(2^{22} + 2^{11} + 41 = {4196393}\)
\(2^{24} + 2^{12} + 41 = {16781353}\)
\(2^{26} + 2^{13} + 41 = {67117097}\)
\(2^{130} + 2^{65} + 41 = {1361129467683753853890391917874491949097}\)
\(2^{144} + 2^{72} + 41 = {22300745198530623141540440639131231151194153}\)
\(2^{162} + 2^{81} + 41 = {5846006549323611672814741748716771307882079584297}\)
\(2^{432} + 2^{216} + 41 = {11090678776483259438313656736572334813745748301503266300681918322563797522891059678857815652100228744708459939246163398570207608873}\)
\(2^{528} + 2^{264} + 41 = {878694100496718043517683302282418331810487718418343092402491322775749527474900004314462478757612211471266090082213960265867688867948124509150981647023915139113}\)
\(2^{730} + 2^{365} + 41 = {5648027917416434993898217684409255726702707823703155049366803861725387660722396999811747841990459993941795731071721355805009257024220160992511891052995733777927828045598743330175952948652877246285882667270267557753389097}\)
\(2^{1506} + 2^{753} + 41 = {2244778375067778479848165629457974911585537016341173044740851073586621686436052621034053176741438032745801626034908001113554851132254077424266946490752300854264957215061062224927155373541341628578347659797768872284886749328956613300716723903762078775798616540269955373621063525971184701536759921913411000341344866280371406144316972786115707867860234731981331992850518906379188579139378401809863398216632732506722597513856371148008315847859962138964525097}\)
\(2^{1840} + 2^{920} + 41 = {78558290045507684229937911761820822518539509311115967890245119697213329156968677187519553731966250623581153291188259194332429956051299859910253308366542459585693686907928812162068026756049614215920211545973675776982248677528000730767279520555557817043079049804410450150947110694016090929652791389854884194075599884623868126657981979927296508604730627563857620471220609722645636878321569830730185421338853118012247820653439970308915039019953455111051875223481233234486742476985176739909061314940348607780871633112734239044791324569041773089243109735268393}\)
\(2^{2622} + 2^{1311} + 41 = {1998244521506527032749440813817790263520058206757150231719680223656663239950281567545449464581634997952102125488934026802788522497720216033259623020560547751479156540446744538643422986348383383744632088753526272245572884290263288190561943919777508655948303720055455528697770941040030386289621836700742062699440729660205738431529066924581099493046774531866791328017754065624103861666631136497342216171849344259506575184858127976870011557446066855870833292778524476125913932328843068214055783240984091828010652128310861800019243998539799710011412595759318051401266555733143834916194994089296983045670438811763298860427040110645894539704761168528720713369721716123209318474897763923336805740643727942014370911928924055003667433140989737335597843238202634103557901131077242593097376612694884393}\)
\(2^{3210} + 2^{1605} + 41 = {2024352234478145529501927874394074460482960059008792400812304087202140775520205953798446949350003776613677306576040579511263199290928179823518575856230562830570833000647784011859002431141834861450035528836934342568559457568421337429825870381455094951945592425009258375909568339545492433370299533041313082388108655789353814342349264783992722139710835067317645705319747594377653170853974925784449247733405485304831031184539015645069805571379287732336817631228931578019666016534474246170996451807563668410822385264523652401225922848916918624250994401688059413345766706097638523888684539810502570015699927361337244066464337041731770032489835662885605809883686294543299777174643093219945617065040989124452143888735845438315129343737924810592042887440767028831294335477056352756848825988987568787009082163327903765685569722550748549715288639147068751128374318282644460695092509052290996405854739082393147873683063927429850957974838657289534349446125146313525270335566381097}\)
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\(2^{4196} + 2^{2098} + 41 = {1323920192395071872334039473972430539998025552858169749633906205576523577770211110476772721735692213725795573740431283245048881763884429863059046090404834210013278643146035642964086348738787722937930879197046576900947520111166082663386546531473308193759626634778987215988512065461930894246393403750708806185959041453206266579082777692420734840006706218262613215998607917537506853205894714944554797806497270927896449532912010082823325464381681637303686621662659948427329862068048360045264977209607871575690389944238293083734734354250690006556186572223206299935829332135036157958140197382713938001542124864606439116842871483371342895500011603196338547710978441754291380389170115883759609600724392555752035820975778350283485712813853327406644656555486503599543826867550717259559206247285661261384744101942470303991282824242684866060172661639019388816141824276307874458539169423468347920585445730990874161834562070184790618244486716168425205294827942578376182419802344204952958801747194423001613191028420159701608845401798518887562880558186972658049047956291853981855745102635892715927369368674005498038568541843254253090088744471256738887006815741756119045269272414149066499396943001367558374097933070440240158621408949140779027093525925166427977622942202589798727721}\)
\(2^{4446} + 2^{2223} + 41 = {2395304454076484195411567343113141817556927941608863813959920808433575739391795769909063526167943573319750633470997773557985124041567577289636422896964243637755558397550527212383646175596088738957695113012091476797956690902538968109553504034706460582740031888679355588646624348538132118379581922327560207902250773099677090971423857976323378645658478702985915823988117439042617474075993389848609241086686793244661255689559639488992894316445792992677167303149407337921885180745501853500003348141113772202578115184651587155514493154985352578332080127546065494679290799821773205988189382609231829401589707282687934730753487033646090343847030962577784775571188853807155530509878992020661588126499712448338464793072329970514696067113614125905243724310307515848823062133050399811649595977029260918920331126896133620601227946975138873185541951610695990858372984126151984811581107908478090626815523511930246052512743730380327621367326509662848545665209599665069036532469838577826540625245083327865242422108121224910545561833480593360649027847112462760136008788672690005706546688960666754135072559312557160896155534200168560165416130234272008469942882251995750999662861186469289925457431679623643638897308710307009937380509575275769173516665912413129578430323732155604599211200582885298584984891438120097042204436709109296510814609376612362089398313}\)
\(2^{5950} + 2^{2975} + 41 = {1344231910053605603140001238786098230292049710341186771277567949886568238854036158823240414574009498793005544703567212950122271527333137076456624339303111868144147158490703904219725823723115034136687266739836418895947491587674970461162616704050915742103240599812169011910528992597741700580637783615991718551370523860003976931447782244570172889990325178218086311379352620542929927624934371244911170546144809348329051059439668232165870825772131743997656218314637498993151441541746382373391210347654164235334271435824226251533493544432789709461523017923009188099834615623841516472071553626905332986800827078965646972145123825892990059144315017915771458628259337714337340386542292540416510781455616845335840596197324875348131017033110575513555309285294187701842585054236930014756291133986661807731773450799530750063078829634242171618354707291565199559749135134078740891723060858505704755026739045097167863566997984363198785350455179621488281441787692004058921343681585518312648686092051446475656765953765341673054386700125055005422374165556029922069609559322572068745407911004534398120475035863804373597539094655325017112525492645722094972085315513821203912172542822452436341108884913519370483850606131653228983818059571223659988408799522206656114053635124895376470338630433674129000591191217224886575439034915168639769369513534307886346540722371663171494398763058779917232943566255323188827509018621810554387588952642377258775050933016456986383005640199954938310415231255958069808964415552904510512583873110292221371745496257965635616488653430125628344074182035883838009501475133147008911324192685601091232248926690178156446882159559924789783444931393670027392834174749286175947356150387885380700895745468430754848332315062948598023532788746626669832219421560713471148182868654519516663688200233}\)
用时 135.17501497268677 秒

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-28 17:45

时空伴随者发表于 2022-1-28 13:49
n在3000以内
2022-01-28 13:52:05
\(2^{2} + 2^{1} + 41 = {47}\)

时空伴随者老师的素数判断和寻找软件功能强大，找到了许多大素数，不知老师的分解软件功能如何？
日本网站给出n=1-30万之间的清一色数111…1的完全分解式或部分分解式，但仍有许多清一色数111…1未能完全分解，其中没有分解到底的最小合数因子是
(10^323-1)/9中的271位复合因子1056451947...<C271>，请问时空老师能否分解这样的复合因子？
R323 =(10^323-1)/9=1111111111...<323>=2071723×5363222357<10>×851908127328669427<18>×1111111111111111111<19>×[1056451947...<C271>]

1056451947256486910979047656080778871099133607305218026381676926013258296263666236117636528131018402299873694829461264849653221413719797346360654189071297780240211263216623630905609430166398514228896863880648389230991814006930996022251242719776759218947985196989907530733

作者: 时空伴随者 时间: 2022-1-28 18:43
能分解<C271>的话，三辈子也吃喝无虞了！

作者: 蔡家雄 时间: 2022-1-29 09:21

时空伴随者发表于 2022-1-28 18:43
能分解的话，三辈子也吃喝无虞了！

求 97^(2n)+97^n+41 的欧拉素数，

作者: 蔡家雄 时间: 2022-1-29 09:24
求 97^(2n)+97^n+41 的欧拉素数，，

作者: 蔡家雄 时间: 2022-1-29 09:45
问 a^(2n)+a^n+41 的欧拉素数都有无限多吗？

作者: 蔡家雄 时间: 2022-1-29 10:49
设 a 不是 41 的倍数，

求 a^(2n)+a^n+41 的欧拉素数，

作者: 时空伴随者 时间: 2022-1-29 11:09
2022-01-29 10:54:57
\(61^{2} + 61^{1} + 41 = 3823\)
\(61^{4} + 61^{2} + 41 = 13849603\)
\(61^{8} + 61^{4} + 41 = 191707326843163\)
\(61^{14} + 61^{7} + 41 = 9876832533364460837948503\)
\(61^{16} + 61^{8} + 41 = 36751693856637656339226390283\)
\(61^{92} + 61^{46} + 41 = 177969188840810640752044161775428480415358069927068128735800344320302264500799394569255296722796858403422788669280900401393432288774981657308975599266305983872563923\)
\(61^{470} + 61^{235} + 41 = 127356892879790673429366925442487405498154106599002342495359701988468604130340288986714261006453588317063279996099229864787648609263175079881479447471318864112822931267548996685222842267581593755956200611862238252445426579154179716920257066361105091409711899161968227153725542414831653777601531845125837708183474678548511825356262172632062872482844324730369629496505642471442836634311245272500541225942730152286037964779796764951661068581290341645632466138052687553272649131150751935921513205651874545225764117165343460406723983448196124057985508581085480150938151670187353906172130834167224560289265421486397233888741039394237345791129548734429899824543669409892563867418440374103986815593326845612215497037057683634294181033134971916333943792126535661228279835343069549019287205496465807436170357457707495858560650388677751595577118958343\)
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\(3^{1110} + 3^{555} + 41 = 40233956202870872987340683451265842962666777551378249323581025971828928512675664486712738791102173249038997009487664492758383006233448677943747519756187304574935852902193776089706888967484079510258307157241985957510977833052185110041758871739708520583822698286957332472767962299886899448599078941603791156119196090510986752873226036898451295687852512985349809861677528429974166929682665759159752303168903109399647155008268918372728061098107782319344979221815072830736356900433089772667359341806042603841180788652755577221331857597\)
\(3^{3786} + 3^{1893} + 41 = 2404752409960373161226670783809548507925748914709159296075659754213612141226881848510160403925527112777041889448809713522738002600690513298505421185985788165481752861128221007335286621708208351473883955613174149390898477840565572051289029550031470890787753035822172306262492351721591477416411001813506890323137589788378734552221730483947959124373378220479765806753465952605151849664645515529271419906723594048319709206795886856679182517416236872008380586459091529453953278123292538719882741209544829494627223300380371544351438554298454311700703381478439054764715481280173086903549732335610965326827416591363812746154794895240634754955148208421254879499017138636173075868949911423844574063750940990047663777445585983902504834172005481046697635796586693399962751498725122629426680557064055217366839558809962883183705299425030391148478325906483289503675684078419795458231155171503384271296432593701857650546142352368936989125302394902194966339091721275182791508151744581644509238511851099638795459174418927296804842849508520283114740254550424480916326502609245703067795148914790425419891400155394808069201890500764653181170963525212486243688371482703271855487545881393289401422002384217906133643461840879272573896678410404831292022006418809363071856382162206103878576707365399203523205212675684823963190573964003628737452681466364734698176167845641230090021289462371093288974955386963976646901865239865812736285142916755876852220131097196044036665875322814065481643760563103270555943268387731670972826989342308748271510339801897802811375504671236947043510674255080125918785354708700709228383138871890425720464986414511024424292485852965243570770999995179243202481484098007347848764346134496041211836099284398138976946553334123415532239909878987535189798878161952699676895116180108997396186780603435570371284293\)
\(3^{3910} + 3^{1955} + 41 = 350030552804870154176918801714254797547132172758863895731271314750607852405446491849236152550128485554816826102137539383396869108321193981638714777355327224016696205151343612976745532725625573489452134687775369455379115459116051706860292000030722462939444369085160528166447176238373997490551519486262165991844084536624599317474833216812128514496122343791326541924880344726819859197559164492333225670431646570624829108349469033843816378050160909384704240519452066884854287046939917059307801503483737542834208107915585993787902953862335394921190135181967604894425114852905802551703938448044944837988761584670866235896442160156547514161698344065837635241850500728273008106904050670094989285935699206763101707578505993841748387031749662339045794356809516273367984179096158712708525910596157718859796508294226115687835488458516771143931945644794544034965290254243628110498249782676166919962974348822500179397599336315152108667236720358739395840751974508419457875765919006981349622952136476807348612399192788870118650632922522099408608665451250475753390506378163232047542826034014257261215030700137559767362031367598144149090159325135992765001054583303600681912049522613281863605332907232501279654784607564637507682266345937526304721972726269408424768321468682501750211016398104748150970662311253109997106582720605958382296085244314348500247782295814166773505919332648456170532752615072886443361105659879020323589948995683396974311263348418407169976803648769906599446859580942257273858052658405554650573297764576367897256598938825692934048371267022403679060146059819286631677791031566861264089455578992523645024674241062448463739604365046536071434358795080435852380596191980405809191451758329931531218721033724957123341740101163729862536846852087283091241192013001032560189615685021935158077512239318467574770685187505760142200137320252223337144806491598980463393391197597\)
\(3^{4762} + 3^{2381} + 41 = 11256800648039283362661236447874019299523195957345455724654776240254696531034883892236281277302212001917981074865621698605130718754211569978151275084209024047310278391604745384384933311151111593669946977078570164959809368025437126944858090388099827737745287722062222899538718336613314145049855150753309177227501763317577123557965046379686835629308220584007538478193741723622160450085143301147187724344685502356913045701362486140594749222401355233170510511265212793678940702158453610915663417273103812323235536855357129867993830271861773318572474160939416479339972902857540650495997345902101603176983090135711857557626368732212708106005654930905757509393236302355900306705947724640563052301731331482412556520935338263284143508364326422261111366050082771145461329505339327808794642812750240436105419641132669378025371419649569921089060380354069664154219760214163952439434640623953493287645363811179886468445229228025446248086801512025020665071350253183395610829123901784388553704694524154484526225135198863314725066289810452597882972870748190398302733438272657918754579901138401083384466895303631294280346730294755465003705246995480556545359042801431328615215164612583661457209737271574295370541682116245473207386088507383995955104062873762773272741792620082796504126366940092695116436479313561852074036141951785213670751023026529104176831034499321472497514415762611960580203939575073866370653385963446794056246766394520869719413556035149630615156729618763255181513025875330350594951071143462403233283686226349041338381135168591346067948517121520209005902537887281800155896391836364923860069529368654740655964261025234473953896877180740930686491912610396489616272720197435422808347039509036308067779973696839933804484999036039967603497930950779512349648203176784695078513850145109562988285800586496128570043575397838559320903657726377911432097636006177658676970446656488661003779072427136294299660328853846276863377702223353487681818343245517388323324257458595234692568003732613239415001424160857260733740866399970410131777485327567039140255397944469643663280724037202407630775442290030914440605585110128783139447393790828249839173981209478710934354676023761092043044669230758168758453179563172168663097777896533983937836292820634641874954564657956091518407653280481808615653\)
用时 621.2706580162048 秒

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-29 19:46
素数无穷多，素数无穷大；1亿位素数仍是小素数。
2^p-1中有无穷多个素数——梅森素数，但目前只找到51个，且最后几个梅森素数都是目前所知道的最大素数。
(b^n-1)/(b-1)、b^n+1中都有许多素数——广义梅森素数，对于特定的正整数基b都应该有无穷多个素数。
n！±1中有许多素数；p#±1中有许多素数。
2^(2n)+2^n-1中有许多素数；b^(2n)+b^n+k中有许多素数（b,k互素)。
上面各类素数中的基数b、指数n、2n，常数项k都是正整数，其中b≥2、n≥1、k≥1。

还有更多类素数，大多类中都应该有无穷多个素数，任何人也不可能求出某一类素数中的全部素数。

各类含有无穷多素数的表达式都不是素数公式，不存在简单的素数公式。

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-31 08:19

时空伴随者发表于 2022-1-26 20:27
2022-01-26 20:24:16
3: 2　
5: 5　

时空伴随者 2^7897466719774591 -1 没有10亿以内的素因子
wlc1 我的断言：2^7897466719774591 -1 没有10^16 以内的素因子
wlc1 我的断言：2^7897466719774591 -1 没有10^17 以内的素因子
时空伴随者 2^7897466719774591 -1 没有10^22 以内的素因子！
太阳 2^7897466719774591-1 试除法14次才能判断有没有10^17 以内的素因子
时空伴随者一次也不需要验证2k×7897466719774591 + 1没有10^17以下的素数！

7897466719774591是一个16位素数，用p表示之；
2^7897466719774591-1是一个梅森数。
这个梅森数如果是合数，则它的素因子都是2kp+1形式的素数，
太阳先生说试除14次即可判断它有没有10^17以内的素因子，实则令k=1-6试除6次即可；
时空先生说一次试除也不需要，因为k=1-6时2kp+1都不是素数。
若要判断10^22以内有没有素因子，k要取到633115，并用其中的素数试除一遍才行；
时空先生不会计算出63万多个2kp+1，并用其中的素数试除之；
时空先生肯定还有奥妙隐藏在其中。

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-31 08:20
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-31 08:22 编辑

wlc1 发表于 2022-1-26 20:52
时空伴随者发表于 2021-12-22 11:08

2^7897466719774591 -1 没有10亿以内的素因子；

时空伴随者       2^7897466719774591 -1 没有10亿以内的素因子
wlc1       我的断言：2^7897466719774591 -1 没有10^16 以内的素因子
wlc1       我的断言：2^7897466719774591 -1 没有10^17 以内的素因子
时空伴随者       2^7897466719774591 -1 没有10^22 以内的素因子！
太阳       2^7897466719774591-1 试除法14次才能判断有没有10^17 以内的素因子
时空伴随者       一次也不需要验证2k×7897466719774591 + 1没有10^17以下的素数！

7897466719774591是一个16位素数，用p表示之；
2^7897466719774591-1是一个梅森数。
这个梅森数如果是合数，则它的素因子都是2kp+1形式的素数，
太阳先生说试除14次即可判断它有没有10^17以内的素因子，实则令k=1-6试除6次即可；
时空先生说一次试除也不需要，因为k=1-6时2kp+1都不是素数。
若要判断10^22以内有没有素因子，k要取到633115，并用其中的素数试除一遍才行；
时空先生不会计算出63万多个2kp+1，并用其中的素数试除之；
时空先生肯定还有奥妙隐藏在其中。

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-31 08:20
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-31 08:23 编辑

太阳发表于 2022-1-27 09:23
素数7897466719774591
2^7897466719774591-1 试除法14次才能判断有没有10^17 以内的素因子

时空伴随者       2^7897466719774591 -1 没有10亿以内的素因子
wlc1       我的断言：2^7897466719774591 -1 没有10^16 以内的素因子
wlc1       我的断言：2^7897466719774591 -1 没有10^17 以内的素因子
时空伴随者       2^7897466719774591 -1 没有10^22 以内的素因子！
太阳       2^7897466719774591-1 试除法14次才能判断有没有10^17 以内的素因子
时空伴随者       一次也不需要验证2k×7897466719774591 + 1没有10^17以下的素数！

7897466719774591是一个16位素数，用p表示之；
2^7897466719774591-1是一个梅森数。
这个梅森数如果是合数，则它的素因子都是2kp+1形式的素数，
太阳先生说试除14次即可判断它有没有10^17以内的素因子，实则令k=1-6试除6次即可；
时空先生说一次试除也不需要，因为k=1-6时2kp+1都不是素数。
若要判断10^22以内有没有素因子，k要取到633115，并用其中的素数试除一遍才行；
时空先生不会计算出63万多个2kp+1，并用其中的素数试除之；
时空先生肯定还有奥妙隐藏在其中。

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-31 08:53
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-31 09:09 编辑

k 2^p-1 2kp+1
— 7897466719774591 7.89747E+15
1 15794933439549183 1.57949E+16
2 31589866879098365 3.15899E+16
3 47384800318647547 4.73848E+16
4 63179733758196729 6.31797E+16
5 78974667197745911 7.89747E+16
6 94769600637295093 9.47696E+16
7 110564534076844275 1.10565E+17
8 126359467516393457 1.26359E+17
9 142154400955942639 1.42154E+17
10 157949334395491821 1.57949E+17
100 1579493343954918201 1.57949E+18
1000 15794933439549182001 1.57949E+19
10000 157949334395491820001 1.57949E+20
100000 1579493343954918200001 1.57949E+21
600000 9476960063729509200001 9.47696E+21
633115 10000009284580180361931 1E+22

作者: 太阳 时间: 2022-1-31 09:36
[attach]106945[/attach]

作者: 太阳 时间: 2022-1-31 09:37
\(例1:方程\left( 29x+1\right)\times\left( 29y+1\right)-2^{29}-1＝0\)
\(正整数解:\begin{cases}
x=8\\
y=79454
\end{cases}，\begin{cases}
x=38\\
y＝16784
\end{cases}，\begin{cases}
x＝72\\
y＝8862
\end{cases}，\begin{cases}
x＝79454\\
y＝8
\end{cases}，\begin{cases}
x＝16784\\
y＝38
\end{cases}，\begin{cases}
x＝8862\\
y＝72
\end{cases}\)
\(2^{29}-1=233\times1103\times2089\)
\(试除法:方程找到1亿位大素数\)

作者: 太阳 时间: 2022-1-31 10:08
\(例2:方程\left( 71x+1\right)\times\left( 72y+1\right)-2^{71}-1＝0\)
\(试除法，y＞x，找到一组正整数解\begin{cases}
x=2998392\\
y＝156215665098
\end{cases}，素数71\times2998392+1\)
按照这样方法找到1亿位大素数

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-31 14:11
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-1-31 17:35 编辑

太阳发表于 2022-1-31 09:36

二元一次方程判断梅森素数
已知：素数a>0，未知数x和y，(ax+1)×(ay+1)-2^a+1=0，方程没有正整数解
结论：2^a-1必定是素数。

解：
(ax+1)×(ay+1)-2^a+1=0不是二元一次方程，而是二元二次方程。
如果给定x(或y)，则对于y(或x)方程变成一元一次方程。

梅森数2^a-1不论是不是素数，都可表示成2ki*a+1或2ki*a+1的乘积；
式中a是素数，ki是≥1的正整数，i是有限数，等于1,2，……i。
如果该梅森数不是梅森素数，不论它有几个素因子，都可表示成(2k1*a+1)×(2k2*a+1)=(ax+1)×(ay+1)的形式，式中x=2*k1, y=2*k2都是非0正整数；
如果该梅森数是梅森素数，硬它表示成(2k1*a+1)×(2k2*a+1)=(ax+1)×(ay+1)的形式，式中x=2*k1, y=2*k2必有一个等于0。

如果方程有正整数解，即有正整数x和y使得方程成立，2^a-1便不是素数；
反之如果方程没有正整数解，即没有正整数x和y使得方程成立，2^a-1便是素数；
即找到了一个梅森素数。

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-31 14:12
下一步是如何找到这个方程没有正整数解的问题了。
令a=31，
y=[(2^a-1)÷(ax+1)-1]÷a=[(2^31-1)/(31x+1)-1)/31
=(2147483647/(31x+1)-1)/31
x的取值范围是1-1494，即需1494次试除都不是方程的正整数解，才能确定2^31-1是素数。
式中1494等于2147483647^0.5/31=1494.869向下取整值。

又令a=7897466719774591（16位素数）
y=[(2^a-1)÷(ax+1)-1]÷a
x的取值要达到(2^a-1)的平方根除以a，约等于10^48758326-10^16，
计算量：
1次求幂数，1次减1；
10^48758326-10^16次除法，10^48758326-10^16次减1；
再加10^48758326-10^16次除法，判断每一次除法的商是不是整数；
总计约需4*10^48758326次计算。
试问太阳先生这种试除法有没有实用价值？

作者: yangchuanju 时间: 2022-1-31 14:27
改令a=100000007（最小的过亿素数）
y=[(2^a-1)÷(ax+1)-1]÷a
x的取值要达到(2^a-1)的平方根除以a，约等于10^30103002-10^8，
计算量：
1次求幂数，1次减1；
10^301030002-10^8次除法，10^30103002-10^8次减1；
再加10^301030002-10^8次除法，判断每一次除法的商是不是整数；
总计约需4*10^30103002次计算。
尚若100万个梅森数中有一个梅森素数，试除总次数平均为400*10^300000000次。
如此看来要找到第52号素数也确实不是一件容易事呀！
（现用的Lucas Lehmer判定法肯定比太阳试除法简单快捷的多）

作者: 太阳 时间: 2022-1-31 16:18
本帖最后由太阳于 2022-1-31 16:28 编辑

\(例1:方程\left( 29x+1\right)\times\left( 29y+1\right)-2^{29}-1＝0\)
\(正整数解:\begin{cases}
x=8\\
y=79454
\end{cases}，\begin{cases}
x=38\\
y＝16784
\end{cases}，\begin{cases}
x＝72\\
y＝8862
\end{cases}，\begin{cases}
x＝79454\\
y＝8
\end{cases}，\begin{cases}
x＝16784\\
y＝38
\end{cases}，\begin{cases}
x＝8862\\
y＝72
\end{cases}\)
\(2^{29}-1=233\times1103\times2089\)
\(估计2^{29}-1含有最少两个素数因子大于1000，\frac{1000}{29}\approx34.4827，取x\ge34\)
\(方程\left( 29x+1\right)\times\left( 29y+1\right)-2^{29}-1＝0，y＞x，x\ge34，试除法，x＝38\)
\(按照这样做法找到2^{29}-1含有素数因子1103\)
试除法:找到1亿位大素数

作者: wlc1 时间: 2022-2-2 19:56
本帖最后由 wlc1 于 2022-2-2 19:57 编辑

作者: wlc1 时间: 2022-2-2 19:57
如果整数a>1，p是质数，

求证：(a^p -1)/(a -1)=Z=(2k1p+1)*(2k2p+1)*....*(2knp+1) .

作者: yangchuanju 时间: 2022-2-2 20:04

wlc1 发表于 2022-2-2 19:57
如果整数a>1，p是质数，

求证：(a^p -1)/(a -1)=Z=(2k1p+1)*(2k2p+1)*....*(2knp+1) .

请参看《梅森素数的判定》19-20贴。
http://www.mathchina.com/bbs/for ... page%3D1&page=2

作者: 大傻8888888 时间: 2022-2-12 21:40
FF 113 35 10384593717069655257060992658440191<35>=3391×23279×65993×1868569×1066818132868207<16>
3391-1=3390=113×30
23279-1=23278=113×206
65993-1=65992=113×584
1868569-1=1868568=113×16536
1066818132868207-1=1066818132868206=113×9440868432462
由上面可以看出如果2^p-1有素因子，则这些素因子都是2np+1形式的素数。如果没有2np+1形式的素因子则2^p-1是梅森素数。

作者: yangchuanju 时间: 2022-2-13 07:58

大傻8888888 发表于 2022-2-12 21:40
FF 113 35 10384593717069655257060992658440191=3391×23279×65993×1868569×1066 ...

梅森数都是模8余7的，但它的素因子即有模8余7的，也有模8余1的，没有模8余3和余5的；
梅森数都是模6余1的，但梅森数的素因子即有模6余1的，也有模6余5的，没有模6余3的（它不是素数）。
梅森数的因子（素因子和合数因子）都是2mp+1形式的整数，进一步是8kp+1、(8k+2)p+1、(8k+6)p+1形式的整数，但没有(8k+4)p+1形式的整数。
当指数是模4余3的素数时，为8kp+1和(8k+2)p+1的形式；当指数是模4余1的素数时，为8kp+1和(8k+6)p+1的形式。

113模4余1，它的5个素因子减去1，再除以113的商中第1,2,5个商模8余6，第3,4个商模8余0。

作者: yangchuanju 时间: 2022-2-15 09:14
360个人图书馆梅森数及梅森素数（节录）
在2^N-1的数列中，一个素数作为素因子第一次出现在指数N的数中，这个素数作为因子数在2^N-1数列中以N为周期出现。
一个梅森合数的因子数只有唯一一次出现在一个梅森合数中。
一个是梅森素数的素数，它永远不是梅森合数的因子数。
一个是前面的梅森合数的因子数，它永远不会是后面的梅森合数的因子数。
所有梅森合数的数因子减1都能被这个梅森合数的指数整除，商是偶数。
梅森素数都在（1+4+16+64+。。。。。。+4A）*6+1数列中（A前项的数），这种数暂时叫它四倍金字塔数，代号A。
在1+4+16+64+。。。。。。+4A数列中的数，是阳性不等数（不等于6NM+-（N+M））的乘以6加上1就是梅森素数。
在2^N-1数列中指数是偶数的都是3A。

梅森素数的计算公式
3*5/3.8*7/5.8*11/9.8*13/11.8*......*P/(P-1.2)-1=M
P是梅森数的指数，M是P以下的梅森素数的个数。
这个公式是根据梅森素数的分布规律得出的。万数1为首，1被除外了，所以要减去1.在不考虑重叠问题，应该减1就可以了，这里已考虑重叠问题，所以就减1.2.在梅森数的指数渐渐增大，1.2是否合适，还要等实际检验。
所有的奇素数都是准梅森数（2^N-1）的因子数，则梅森合数的因子数是只有素数中的一部份。
在2^N-1的数列中，一个素数作为素因子第一次出现在指数N的数中，这个素数作为因子数在2^N-1数列中以N为周期出现。在这种数列中指数是偶数都等于3乘以四倍金字塔数，3A。
一个梅森合数的因子数只有唯一一次出现在一个梅森合数中。
一个是梅森素数的素数，它永远不是梅森合数的因子数。
一个是前面的梅森合数的因子数，它永远不会是后面的梅森合数的因子数。
所有梅森合数的数因子减1都能被这个梅森合数的指数整除，商是偶数。
d梅森素数都在（1+4+16+64+。。。。。。+4A）*6+1数列中，（A前项的数），这种数暂叫四倍金字塔数，代号A。
凡是一个素数是四倍金字塔数的因子数，以后就不是梅森合数的因子数。
在1+4+16+64+。。。。。。+4A数列中的数，有不等于6NM+-（N+M）的数乘以6加上1都是梅森素数。

作者: yangchuanju 时间: 2022-2-15 09:17
梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：
1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2^P-1)。即（2p+1）|（2^P-1）；.例如：23|(2^11-1)；11=4×2+3；47|(2^23-1)；47=4×11+3；167|(2^83-1)；,,,.83=4×20+3；。。。。
2，p=2^n×3^2+1,，则（6p+1）|(2^P-1)，例如：223|(2^37-1)；37=2×2×3×3+1；439|(2^73-1)；73=2×2×2×3×3+1；3463|(2^577-1)；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1；，，，。
3，p=2^n×3^m×5^s-1,则（8p+1）|（2^P-1）；.例如;233|(2^29-1)；29=2×3×5-1；1433|(2^179-1)；179=2×2×3×3×5-1；1913|（2^239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1；，，，。
还有一些梅森数分解取得进展，不再一一叙述（王晓明王蕊珂）。

作者: yangchuanju 时间: 2022-2-15 09:21
周氏（周海中）猜测
周氏猜测的基本内容为:
当2^(2^n)<p<2^(2^(n+1))时，Mp有2^(n+1)-1个是素数。
周海中还据此作出推论:当p<2^(2^(n+1))时，Mp有2^(n+2)-n-2个是素数。
(注:p为素数;n为自然数;Mp为梅森数)

周海中还据此作出推论:当p<2^(2^(n+1))时，Mp有2^(n+2)-n-2个是素数(注:p为素数;n为自然数;Mp为梅森数)。

作者: yangchuanju 时间: 2022-2-15 09:23
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-2-15 16:43 编辑

当2^(2^n)<p<2^(2^(n+1))时，Mp有2^(n+1)-1个是素数
n 2^n 2^2^n 2^(n+1)-1 累加
0 1 2 1 1
1 2 4 3 4
2 4 16 7 11
3 8 256 15 26
4 16 65536 31 57
5 32 4294967296 63 120
6 64 1.84467E+19 127 247
7 128 3.40282E+38 255 502
8 256 1.15792E+77 511 1013
9 512 1.3408E+154 1023 2036

指数2-4之间有2个梅森素数2^2-1=3, 2^3-1=7（周氏猜想中第一个梅森素数可能未计）
5-16之间有3个梅森素数2^5-1=31,2^7-1=127,2^13-1=8191
17-256之间有7个梅森素数，指数是17,19,31,61,89,107,127,
257-65536之间有15个梅森素数，指数是：
521 607 1279 2203 2281
3217 4253 4423 9689 9941
11213 19937 21701 23209 44497
65537-4294967296之间猜想有31个梅森素数（累计58个），已发现51-27=24个，指数是：
86243 110503 132049 216091 756839
859433 1257787 1398269 2976221 3021377
6972593 13466917 20996011 24036583 25964951
30402457 32582657 37156667 42643801 43112609
57885161 74207281 77232917 82589933

作者: yangchuanju 时间: 2022-2-15 09:43
梅森数的素因子只包含部分素数
指数p 素因子q
2 3
3 7
5 31
7 127
13 8191
17 131071
19 524287
31 2147483647

11 23
11 89
23 47
23 178481
29 233
29 1103
29 2089
37 223
37 616318177
41 13367
41 164511353
43 431
43 9719
43 2099863
47 2351
47 4513
47 13264529
53 6361
53 69431
53 20394401
59 179951
59 3203431780337
67 193707721
67 761838257287
71 228479
71 48544121
71 212885833
73 439
73 2298041
73 9361973132609
79 2687
79 202029703
79 1113491139767
83 167
97 11447

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