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标题: 偶数素对数量计算式——连乘式的数学理论依据 [打印本页]

作者: 愚工688 时间: 2022-5-14 20:38
标题: 偶数素对数量计算式——连乘式的数学理论依据
本帖最后由愚工688 于 2022-5-14 13:40 编辑

连乘式的理论依据是概率的乘法定理。

运用到的数学定理
【相互独立事件同时发生的概率】两个相互独立的事件同时发生的事件记作A·B事件，则A·B事件的概率等于事A与事件B发生的概率的积，即P（A·B）=P(A)·P(B)。
      一般地，如果事件A1、A2、…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，
  即  P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·P(An).
-摘自《高中数理化概念公式定理手册》189页  上海远东出版社  ISBN 7-80613-324-0. 98年12月第一版

而在自然数中除以任意二个素数的余数变化是相互独立的，因此除以素数的余数变化是独立事件。
比如：
在单数列中除以任意奇素数的余数是以该素数的值为周期循环变化的；
同样在偶数列中除以任意奇素数的余数是以该素数的值为周期循环变化的；
它们并没有因为除以2的余数不同而对于除以其它素数时的余数的周期性变化而改变。
这就是自然数中除以任意素数的余数变化具有独立性的体现。

偶数2A分成的两个数表示为A±x，则x与A在除以√（2A）内的素数时的余数对应关系是A±x构成为素对的必要条件。
由已知A可以确定 A除以这些素数时的余数：j2、j3、j5、j7、……；
那么当x值除以这些素数时的余数同时满足不等于j2，不等于j3与3-j3，不等于j5与5-j5，不等于j7与7-j7，……时，这样的x值使得A±x不能被2，3，5，7 ，……这些素数整除而成为素数对，即{1+1}的解。
这样的x值的数量依据概率的乘法定理有：
Sp(m)= (A-2) P(2·3·…·n·…·r)
   =(A-2)*P(2)P(3)…P(n)…P(r)
   =(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r). --------------{式3}----这是人们通常称为“连乘式”的素对数量计算式。
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [jn=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] ；jn系A除以n时的余数。

实例：
例：偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，其半值A= 454，其分成两个素数对A±x的变量x的取值区间[0，A-3]中含有的整数为( 908/2- 2)个，
因此，其构成素对的x值的计算式是：
Sp( 908)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15

具体到每一步的含义：
1/2——[0，A-3]中满足除以2的余数不等于j2的数的发生概率；
( 1/ 3)—— [0，A-3]中满足除以3的余数不等于j3与（3-j3）的数的发生概率；
( 3/ 5)—— [0，A-3]中满足除以5的余数不等于j5与（5-j5）的数的发生概率；
( 5/ 7)—— [0，A-3]中满足除以7的余数不等于j7与（7-j7）的数的发生概率；
……
这里的j2,j3,…,jn,…，jr系偶数半值A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。

因此依据概率的独立事件的乘法定理：
在自然数[0，A-3]区域中除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r-jr)的x值的分布概率P(m)，
有P(m)=P(2·3·5·…·n·…·r)
   =P(2)P(3)…P(n)…P(r).
即有
Sp( 908)=( 908/2- 2)*P(m)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15
A= 454 ，
x= : 33 , 45 , 87 , 117 , 123 , 147 , 177 , 255 , 273 , 297 , 303 , 315 , 357 , 375 , 423 ,
把x代人到A±x中，得到全部素对：
[ 908 = ]  421 + 487  409 + 499  367 + 541  337 + 571  331 + 577  307 + 601  277 + 631  199 + 709  181 + 727  157 + 751  151 + 757  139 + 769  97 + 811  79 + 829  31 + 877
M= 908       S(m)= 15 S1(m)= 15 Sp(m)= 15.00 δ(m)≈ 0    δ1(m)≈  0 r= 29

连乘式的计算值Sp(m)与实际上不能被√M内素数整除的素对数量 S1(m)的相似程度是蛮高的。看下例的数据折线图：
[attach]110778[/attach]
[attach]110779[/attach]

图中的k(m),体现了偶数素对数量的波动程度的幅度。k(m)=π[(p1-1)/(p1-2)]，
在图中可以看到波动系数k(m)的波动与S1(m),Sp(m)二条折线的波动规律基本是同步的。

波动系数来源于上述的（式3）的变形：
{式3}经过数学变形，也可以用另一种形式表达:
Sp(m)= (A-2)/2*π[(n-2)/n]*π[(p1-1)/(p1-2)] -------------------{式4}
式中：3≤ n≤r；n是素数;
p1是偶数半值A所含的奇素数因子. K(m)= π[(p1-1)/(p1-2)], K(m)为偶数M的素因子系数，也可以称为表法数波动系数。

而偶数全部素对S(m)的图形因为S(m)≥S1(m)，并且它们的差距很小，故S(m)图形的波动基本与S1(m)图形类似。
[attach]110777[/attach]

[attach]110782[/attach]

作者: 愚工688 时间: 2022-5-15 12:57
本帖最后由愚工688 于 2022-5-15 05:01 编辑

连乘式的素对计算值的相对误差平均水平，在一亿以下的范围内是小于哈代计算式的相对误差平均水平的。
而在50000以上，连乘式的计算值的相对误差中值将逐渐离开0位，向0.20区域偏移；
而对应的哈代计算式，在偶数趋大时的相对误差将逐渐的趋向于0位。这就是数学家把哈代公式称作渐进式的因素。这个趋于0的趋势，是连乘式的计算值所不具备的优点。

连乘式的优点，是贴切的符合埃拉脱色尼筛法，对于素数的判断定理，也是比较直观的。如1#的实例。

在偶数趋大的各个阶段，连乘式计算值的相对误差的统计计算的样本数据如下：
相对误差δ(m)的统计计算:
M=[ 6 , 100 ]       r= 7 n= 48 μ=-.2418  σχ= .2292  δ(min)=-.625  δ(max)= .3429
M=[ 6 , 10000 ]    r= 97 n= 4998  μ=-.075 σχ= .0736  δ(min)=-.625  δ(max)= .3429
M=[ 10002 , 20000 ] r= 139  n= 5000  μ=-.0315  σχ= .0361  δ(min)=-.1603 δ(max)= .1017
M=[ 20002 , 30000 ] r= 173  n= 5000  μ=-.0100  σχ= .0288  δ(min)=-.1145 δ(max)= .1245
M=[ 30002 , 40000 ] r= 199  n= 5000  μ=-.0037  σχ= .0263  δ(min)=-.1034 δ(max)= .1101
M=[ 40002 , 50000 ] r= 223  n= 5000  μ= .005 σχ= .0253  δ(min)=-.1021 δ(max)= .1131
M=[ 50002 , 60000 ] r= 241  n= 5000  μ= .0082  σχ= .0219  δ(min)=-.0688 δ(max)= .1064
M=[ 60002 , 70000 ] r= 263  n= 5000  μ= .0139  σχ= .0213  δ(min)=-.0681 δ(max)= .0993
M=[ 70002 , 80000 ] r= 281  n= 5000  μ= .0145  σχ= .0202  δ(min)=-.051  δ(max)= .1006
M=[ 80002 , 90000 ] r= 293  n= 5000  μ= .0129  σχ= .0196  δ(min)=-.0597 δ(max)= .0976
M=[ 90002 , 100000 ]  r= 313  n= 5000  μ= .0218  σχ= .0174  δ(min)=-.038  δ(max)= .112
M=[ 100002 , 110000 ] r= 331  n= 5000  μ= .0233  σχ= .017 δ(min)=-.0381 δ(max)= .0906

15万——1亿的偶数样本的相对误差E(m)的统计计算数据如下：

[ 150002 , 150100 ] : n= 50 μ= .0316 σχ= .0135 δ(min)= .0004  δ(max)= .0589
[ 500002 , 500100 ] : n= 50 μ= .0536 σχ= .0084 δ(min)= .0359  δ(max)= .0698
[ 1000002 , 1000100 ] : n= 50 μ= .0691 σχ= .0069 δ(min)= .0508  δ(max)= .0879
[ 2000002 , 2000100 ] : n= 50 μ= .0804 σχ= .0063 δ(min)= .0641  δ(max)= .0951
[ 3000002 , 3000100 ] : n= 50 μ= .0825 σχ= .005 δ(min)= .0706  δ(max)= .0923
[ 4000002 , 4000100 ] : n= 50 μ= .0874 σχ= .004 δ(min)= .0792  δ(max)= .0967
[ 5000002 , 5000100 ] : n= 50 μ= .0923 σχ= .004 δ(min)= .0841  δ(max)= .1012
[ 6000002 , 6000100 ] : n= 50 μ= .0897 σχ= .0041 δ(min)= .0799  δ(max)= .0999
[ 7000002 , 7000100 ] : n= 50 μ= .096 σχ= .0033 δ(min)= .0884  δ(max)= .1027
[ 8000002 , 8000100 ] : n= 50 μ= .0935 σχ= .0035 δ(min)= .0842  δ(max)= .1003
[9000002 -  9000100 ] : n= 50 μ= .0959 σχ= .0026 δ(min)= .0893  δ(max)= .1007
[10000000 - 10000100] : n= 51 μ= .10032  σχ= .00256  δ(min)= .09543 δ(max)= .10503
[20000002 - 20000100] : n= 50 μ= .1046 σχ= .0022 δ(min)= .0969  δ(max)= .1094

1亿-500亿的取样样本的相对误差的统计计算数据：
（标准偏差的通用符号为σx ，μ-样本平均值）

100000000 - 100000098 : n= 50 μ= .1192  σx= .0013  δ(min)= .1156  δ(max)= .1224
1000000000 - 1000000098 : n= 50 μ= .1368  σx= .0004  δ(min)= .1356  δ(max)= .138
2000000000 - 2000000098 : n= 50 μ= .1406  σx= .0003  δ(min)= .1399  δ(max)= .141
3000000000 - 3000000098 : n= 50 μ= .1431  σx= .0002  δ(min)= .1425  δ(max)= .1435
4000000000 - 4000000098 : n= 50 μ= .1449  σx= .0003  δ(min)= .1441  δ(max)= .1456
5000000000 - 5000000098 : n= 50 μ= .1462  σx= .0003  δ(min)= .1456  δ(max)= .1468
5999999990 - 6000000088 : n= 50 μ= .1471  σx= .0002  δ(min)= .1466  δ(max)= .1474
8000000000 - 8000000050 : n= 26 μ= .1486  σx= .0002  δ(min)= .1481  δ(max)= .1490
10000000000-10000000098 : n= 50 μ= .1494  σx= .0002  δ(min)= .1491  δ(max)= .1497
15000000000-15000000098 : n= 50 μ= .15159 σx= .00014 δ(min)= .1511  δ(max)= .15185
20000000002-20000000100 : n= 50 μ= .15281 σx= .00011 δ(min)= .1525  δ(max)= .15307
30000000002-30000000100 : n= 50 μ= .15494 σx= .0001  δ(min)= .15474 δ(max)= .15519
40000000002-40000000100 : n= 50 μ= .15614 σx= .00008 δ(min)= .1559  δ(max)= .15637
50000000002-50000000100 : n= 50 μ= .1571  σx= .0001  δ(min)= .1569  δ(max)= .1573
70000000000 - 70000000048 : n= 25 μ= .158689 σx = .000061  δmin = .158571 δmax = .158863
80000000000 - 80000000048 : n= 25 μ= .159080 σx = .000052  δmin = .158896 δmax = .159196
100000000000-100000000048 : n= 25 μ= .160175 σx = .000049  δmin = .16005  δmax = .16026
200000000000-200000000048 : n= 25 μ= .162808 σx = .000041  δmin = .16272  δmax = .16289
400000000000-400000000038 : n= 20 μ= .16544  σx = .000024  δmin = .165403 δmax = .165486

作者: 愚工688 时间: 2022-5-15 13:12
本帖最后由愚工688 于 2022-6-20 15:35 编辑

相对误差修正系数的运用原理

由相对误差的定义知：
相对误差  Δ=（计算值-真值）/真值
整理可得  真值=计算值/（1+Δ） {式A}

式A显示了计算值及相对误差与真值的关系。
而我们使用素对计算式计算实际的真值，是不可能预先知道偶数的相对误差Δ的。但是通过样本区域的偶数的相对误差的统计计算，我们可以知道样本区域相对误差的平均值μ是与实际的相对误差值很接近的，
因此，使用平均值μ代替{式A}的真实的相对误差值Δ，将能够大幅度的提高连乘式的计算值的计算精度。
同时由于临近的样本区域的相对误差的平均值μ变化比较小，因此可以把一个样本区域的相对误差的均值μ扩大使用到一个比较大的范围内的偶数，修正后的计算值精度不会下降很多。

由于连乘式计算值的相对误差变化具有规律性，即样本区域的最大值与最小值趋近，标准偏差比较小。
因此当我们对偶数趋大时的素对计算值的相对误差趋大的现象可以进行一定的修正。
采用的具有修正系数的计算式如下：
计算式： Sp(m*)=(A-2)P(m) /(1+μ)
      =(A-2)×P(2·3·…·n·…·r)/(1+μ)
      =(A-2)×P(2)×P(3)×…×P(n)×…×P(r)/(1+μ).
      =(A-2)×(1/2)×f(3)×…×f(n)×…×f(r)/(1+μ)；                {式3}
      式中：
   3≤ n≤r；n是素数；
   μ系相对误差修正值，只适用一定范围的偶数区域。
      f(n)=(n-1)/n, [jn=0时]；或f(n)=(n-2)/n,  [jn>0时] 。jn系A除以n时的余数。
更多的计算实例数据，可以参见我的帖子：高精度计算大偶数表为两个素数和的表法数值的实例（……）
  http://www.mathchina.com/bbs/for ... id=59160&extra=

作者: 愚工688 时间: 2022-5-28 19:28

用inf( m )=Sp( m )/(1+μ) 来计算1亿-100亿偶数的素对数量下界：
（这里的μ=0.1502  ，系125亿样本小区域的素对计算值相对误差值进行统计计算得到的相对误差均值μ)

G(100000000) = 291400,inf( 100000000 )≈  283684.9 , Δ≈-0.026, k(m)= 1.33333
G(100000002) = 464621,inf( 100000002 )≈  451550.5 , Δ≈-0.028, k(m)= 2.12231
G(100000004) = 247582,inf( 100000004 )≈  240749.6 , Δ≈-0.028, k(m)= 1.13154
G(100000006) = 218966,inf( 100000006 )≈  213198.8 , Δ≈-0.026, k(m)= 1.00204
G(100000008) = 437717,inf( 100000008 )≈  425527.4 , Δ≈-0.028, k(m)= 2
G(100000010) = 323687,inf( 100000010 )≈  315205.5 , Δ≈-0.026, k(m)= 1.48148
G(100000012) = 263241,inf( 100000012 )≈  255316.5 , Δ≈-0.03, k(m)= 1.2

G(1000000000) = 2274205,inf( 1000000000 )≈  2245348.2 , Δ≈-0.013, k(m)= 1.33333
G(1000000002) = 3496205,inf( 1000000002 )≈  3454562.6 , Δ≈-0.012, k(m)= 2.05139
G(1000000004) = 1747858,inf( 1000000004 )≈  1727191 , Δ≈-0.012, k(m)= 1.02564
G(1000000006) = 1704301,inf( 1000000006 )≈  1684011.2 , Δ≈-0.012, k(m)= 1
G(1000000008) = 4151660,inf( 1000000008 )≈  4104122.7 , Δ≈-0.011, k(m)= 2.43711
G(1000000010) = 2422662,inf( 1000000010 )≈  2395038.2 , Δ≈-0.011, k(m)= 1.42222
G(1000000012) = 1960129,inf( 1000000012 )≈  1937861 , Δ≈-0.011, k(m)= 1.15074

G(2000000000) = 4238417,inf( 2000000000 )≈  4203544.7 , Δ≈-0.0082, k(m)= 1.33333
G(2000000002) = 4897539,inf( 2000000002 )≈  4855431.3 , Δ≈-0.0086, k(m)= 1.54011
G(2000000004) = 6519934,inf( 2000000004 )≈  6467330.1 , Δ≈-0.0081, k(m)= 2.05139
G(2000000006) = 3342074,inf( 2000000006 )≈  3313613.9 , Δ≈-0.0085, k(m)= 1.05105
G(2000000008) = 3261215,inf( 2000000008 )≈  3233495.9 , Δ≈-0.0085, k(m)= 1.02564
G(2000000010) = 8478380,inf( 2000000010 )≈  8407089.5 , Δ≈-0.0084, k(m)= 2.66667
G(2000000012) = 3180443,inf( 2000000012 )≈  3152658.5 , Δ≈-0.0087, k(m)= 1

G(4000000000) = 7930427, inf( 4000000000 )≈  7891735.0 , Δ≈-0.0049, k(m)= 1.33333
G(4000000002) = 11887591,inf( 4000000002 )≈ 11837602.6 , Δ≈-0.0042, k(m)= 2
G(4000000004) = 9156520, inf( 4000000004 )≈  9115760.4 , Δ≈-0.0045, k(m)= 1.54014
G(4000000006) = 6404412, inf( 4000000006 )≈  6373721.7 , Δ≈-0.0048, k(m)= 1.07686
G(4000000008) = 12198479,inf( 4000000008 )≈ 12141765.9 , Δ≈-0.0046, k(m)= 2.05139
G(4000000010) = 7926931, inf( 4000000010 )≈  7892524.4 , Δ≈-0.0043, k(m)= 1.33347
G(4000000012) = 6249883, inf( 4000000012 )≈  6220979.0 , Δ≈-0.0046, k(m)= 1.05105

G(6000000000) = 22899781,inf( 6000000000 )≈ 22831687.7 , Δ≈-0.0030, k(m)= 2.66667
G(6000000002) = 8585981 ,inf( 6000000002 )≈  8563011.4 , Δ≈-0.0027, k(m)= 1.00013
G(6000000004) = 8588030 ,inf( 6000000004 )≈  8561882.9 , Δ≈-0.0030, k(m)= 1
G(6000000006) = 26447626,inf( 6000000006 )≈ 26372932.4 , Δ≈-0.0028, k(m)= 3.08027
G(6000000008) = 8957244 ,inf( 6000000008 )≈  8934138.7 , Δ≈-0.0026, k(m)= 1.04348
G(6000000010) = 11446102,inf( 6000000010 )≈ 11415843.9 , Δ≈-0.0026, k(m)= 1.33333
G(6000000012) = 17617549,inf( 6000000012 )≈ 17563755.4 , Δ≈-0.0031, k(m)= 2.05139

G(8000000000) = 14862150,inf( 8000000000 )≈  14841172.2 , Δ≈-0.0014, k(m)= 1.33333
G(8000000002) = 11485548,inf( 8000000002 )≈  11469257.9 , Δ≈-0.0014, k(m)= 1.0304
G(8000000004) = 22296318,inf( 8000000004 )≈  22261758.3 , Δ≈-0.0016, k(m)= 2
G(8000000006) = 11146652,inf( 8000000006 )≈  11131349.1 , Δ≈-0.0014, k(m)= 1.00004
G(8000000008) = 17167422,inf( 8000000008 )≈  17143070.4 , Δ≈-0.0014, k(m)= 1.54014
G(8000000010) = 29840750,inf( 8000000010 )≈  29801550.7 , Δ≈-0.0013, k(m)= 2.67738
G(8000000012) = 11998604,inf( 8000000012 )≈  11986401.1 , Δ≈-0.0010, k(m)= 1.07686

G(10000000000) = 18200488,inf( 10000000000 )≈  18189357.2 , Δ≈-0.00061, k(m)= 1.333
G(10000000002) = 27302893,inf( 10000000002 )≈  27284035.8 , Δ≈-0.00069, k(m)= 2
G(10000000004) = 13655366,inf( 10000000004 )≈  13642017.9 , Δ≈-0.00098, k(m)= 1
G(10000000006) = 13742400,inf( 10000000006 )≈  13734820.7 , Δ≈-0.00055, k(m)= 1.0068
G(10000000008) = 27563979,inf( 10000000008 )≈  27543883.7 , Δ≈-0.00073, k(m)= 2.019
G(10000000010) = 28031513,inf( 10000000010 )≈  28014088.3 , Δ≈-0.00062, k(m)= 2.0535
G(10000000012) = 13654956,inf( 10000000012 )≈  13644784.5 , Δ≈-0.00074, k(m)= 1.0002

显然，只要修正系数μ的取值不要离开统计计算的区域过远，那么素对下界计算值的计算精度就能够得到保障。

作者: yangchuanju 时间: 2022-6-15 08:38

愚工688 发表于 2022-5-28 19:28
用inf( m )=Sp( m )/(1+μ) 来计算1亿-100亿偶数的素对数量下界：
（这里的μ=0.1502 ，系125亿样本小 ...

愚工688老师：
您好！
老师曾计算并提供给10^10-10^16的单计哥猜数，学生一度转载过：
G( 10^10) = 18200488; ( 2.539 sec)
G( 10^11) = 149091160; (38.146 sec)
G( 10^12 ) = 1243722370 (625.098 sec)
G( 10^13 ) = 10533150855, ;(1090.54 sec，约18分10秒)
G( 10^14 ) = 90350630388 ;(12740.44 sec，约3个半小时多一点 ) ;
G( 10^15 ) = 783538341852 ;(169664.44 sec，约 47.13h ）
G(10^16)=68526741128787 (单记法)—— 挂机计算，忘记记录时间了。
其中的10^10-10^14数据与A065577完全相同，10^16哥猜数是第一次见到的！

白新岭先生也曾引用过愚工老师的这些数据，并与它的计算数据进行过比对：
10^n 偶数为10的n次方(理论值) 愚工688给的数据单记比值(理论/实际）
10    36548552       18200488       1.004054177
11    299158483       149091160       1.003273712
12    2494079818       1243722370       1.002667427
13    21112797736    10533150855    1.002207128
14    1.8104035318900000E+11    9.0350630388000000E+10 1.001876536
15    1.5696113224770000E+12    7.8353834185200000E+11 1.001617431
16    1.3738923405990000E+13    6.8526741128787000E+12 1.002449787
其中白新岭的理论值为双计，愚工的10^16哥猜数为单计6.8526741128787000E+12，有效数字14位，实为6.8526741128787*10^13；

与10^1-10^15的哥猜数进行综合比对，14位数字68526741128787之中可能多了一个数字，实际哥猜数应为13位数字。
学生相信愚工老师花费百多个小时（估计数）的计算结果是不会出错的，可能是发帖录入时多写了一个数字：
或许是411...中多了一个1，或许是28787之中多了一个7或8，或许是其它，学生无法分清。
请愚工老师查对（复核）一下10^16的哥猜数究竟是多少！

敬候佳音！
               您的学生  yangchuanju

作者: 愚工688 时间: 2022-6-15 16:49

yangchuanju 发表于 2022-6-15 00:38
愚工688老师：
您好！
老师曾计算并提供给10^10-10^16的单计哥猜数，学生一度转载过：

谢谢，确实如此，在手工记录时10^16的素对数量时发生了错误，多出了一位数。把它删去吧！没有兴趣再重新计算一遍。

  G( 10^10 ) = 18200488       ;Xi(M)≈ 18179890.52       δxi(M)≈-0.001132
  G( 10^11 ) = 149091160       ;Xi(M)≈ 148486029.78       δxi(M)≈-0.004059
  G( 10^12 ) = 1243722370    ;Xi(M)≈ 1233556241.87       δxi(M)≈-0.008174
  G( 10^13 ) = 10533150855,    ;Xi(M)≈ 10395227871.57    δxi(M)≈-0.013094
  G( 10^14 ) = 90350630388    ;Xi(M)≈ 88673642506.88    δxi(M)≈-0.018561
  G( 10^15 ) = 783538341852    ;Xi(M)≈ 764388083252.93    δxi(M)≈-0.024441
G(10^16) =68526741128787 (单记法)——明显多了一位数。
可以从下面两个偶数的素对计算时间看出，偶数大10倍，用时要10倍多，故在原始的记录中能否找到少一位的记录，不再重新计算了。——没有找到，只能猜测多写了一个“1”。
G( 10^14 ) = 90350630388  ;(12740.44 sec，约3个半小时多一点 ) ;
  G( 10^15 ) = 783538341852 ;(169664.44 sec，约 47.13h ）

因为使用的这个高速计算程序：Gpartiton 没有文本输出（也许是我不熟悉使用其功能），只是在屏幕上面显示运算结果，手工纪录下来，眼睛一花出错的可能性比较大。

作者: 重生888@ 时间: 2022-6-16 04:25
令10^16=N
D(N)=5/6*(N+F*N/lnN)/(lnN)^2 F=3.3556
=6639661079555
G(N)=68526741128787或6852674128787
1. D/G=0.096891
2. D/G=0.968915
明显是第二个是对的！

作者: 大傻8888888 时间: 2022-6-20 21:49

yangchuanju 发表于 2022-6-15 08:38
愚工688老师：
您好！
老师曾计算并提供给10^10-10^16的单计哥猜数，学生一度转载过：

yangchuanju先生：您好！
您在这个帖子提到白新岭先生也曾引用过愚工老师的这些数据，并与它的计算数据进行过比对。其中偶数为10的n次方(理论值)是用什么方法和公式得出的，看起来比哈李公式要准确，不知白新岭先生是怎样做到的，愿闻其详，谢谢啦！

作者: 大傻8888888 时间: 2022-6-22 23:50

yangchuanju 发表于 2022-6-15 08:38
愚工688老师：
您好！
老师曾计算并提供给10^10-10^16的单计哥猜数，学生一度转载过：

白新岭在其《k生素数的数量公式》帖子中一般只提供计算结果，不提供计算公式是因为他怕别人抢夺他辛勤努力得来的成果，我也就不强人所难了。不过光有计算公式，如果不能证明其成立，这样的公式不过是个猜想而已，有些看起来比较符合实际值，不过是凑数罢了。不过也有可能是我吃不到葡萄就说葡萄是酸的。还是八仙过海各显神通好！

作者: 重生888@ 时间: 2022-6-23 08:21

大傻8888888 发表于 2022-6-22 23:50
白新岭在其《k生素数的数量公式》帖子中一般只提供计算结果，不提供计算公式是因为他怕别人抢夺他 ...

怕人抢夺，言不由衷；把人用，人家还不用呢！见过随便加个系数，能计算连续偶数吗？只把别人拿来而已！

作者: 愚工688 时间: 2022-6-25 23:11
本帖最后由愚工688 于 2022-6-25 15:14 编辑

我刚刚补充计算玩几个万亿级别的大偶数，并且记录了用时。对比一下两组相对误差的数据，就会明白，为什么比较大的偶数使用连乘式进行计算时，应该使用修正系数。

1，使用修正系数的连乘式计算的5个9万亿的偶数素对计算值的相对误差情况：
G(9000000000000)= 19098578267，Sp( 9000000000000 *)≈  19089171964.8 , Δ≈-0.0004925,
G(9000000000002)= 8706005249 ，Sp( 9000000000002 *)≈  8701616850.1 , Δ≈-0.0005041,
G(9000000000004)= 7821717575 ，Sp( 9000000000004 *)≈  7817818444.9 , Δ≈-0.0004985,
G(9000000000006)= 14324181372, Sp(9000000000006 *)≈  14317156642.4 , Δ≈-0.0004904, (1517.57s)
G(9000000000008)= 7161994108 ，Sp( 9000000000008 *)≈  7158439486.8 , Δ≈-0.0004963, (762.20 sec)
计算式如下：
Sp( 9000000000000 *) = 1/(1+ .17621 )*( 9000000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 19089171964.8 , k(m)= 2.66667
Sp( 9000000000002 *) = 1/(1+ .17621 )*( 9000000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 8701616850.1 , k(m)= 1.21557
Sp( 9000000000004 *) = 1/(1+ .17621 )*( 9000000000004 /2 -2)*p(m) ≈ 7817818444.9 , k(m)= 1.09211
Sp( 9000000000006 *) = 1/(1+ .17621 )*( 9000000000006 /2 -2)*p(m) ≈ 14317156642.4 , k(m)= 2.00004
Sp( 9000000000008 *) = 1/(1+ .17621 )*( 9000000000008 /2 -2)*p(m) ≈ 7158439486.8 , k(m)= 1

2，没有修正系数的连乘式所计算的连续偶数，可以看到相对误差的偏移0位的具体数据：
以下4个偶数概率计算用时125分钟.无修正.(10万亿级偶数)
G(11111111111110)= 12000220328 ,Sp( 11111111111110 )=  14114669913.7 ,Δ≈0.176200897 ,
G(11111111111112)= 17470455584 ,Sp( 11111111111112 )=  20549005813.6 ,Δ≈0.17621465 ,
G(11111111111114)= 11172207831 ,Sp( 11111111111114 )=  13141002048.5 ,Δ≈0.176222484,
G(11111111111116)= 8805605145  ,Sp( 11111111111116 )=  10357204998.6 ,Δ≈0.176205931,

作者: 愚工688 时间: 2022-6-26 08:37

大傻8888888 发表于 2022-6-22 15:50
白新岭在其《k生素数的数量公式》帖子中一般只提供计算结果，不提供计算公式是因为他怕别人抢夺他 ...

我也曾经看到过白新岭先生的一些计算数据，确实在某些区域偶数的素对计算值的计算精度蛮高的。
至于在哪个帖子，什么时间等没有记录下来，就保存了具体的一些数据，没有注意到有没有具体的计算式。

白公式计算值的验证：
3*10^n 积分获得偶数素对（双记）  真值（单记）；  比值=计算值/2/真值；
1       1.40000000000000E+01 ；G（30） =  3    ，比值：≈2.3333
2       4.80000000000000E+01 ；G（300）= 21    ，比值：≈1.142857
3       2.18000000000000E+02 ；G（3000）= 104 ，比值：≈1.048077
4       1.23300000000000E+03 ；G（3e4）= 602 ，比值：≈1.024086
5       7.90200000000000E+03 ；G（3e5）= 3915 ，比值：≈1.0091954
6       5.49220000000000E+04 ；G（3e6）= 27502 ，比值：≈0.998509
7       4.03750000000000E+05 ；G（3e7）= 202166  ，比值：≈ 0.99856；
8       3.09275300000000E+06 ；G（3e8）= 1547388  ，比值：≈0.999346；
9       2.44470940000000E+07 ；G（3e9）= 12224533 ，比值：≈0.999919
10       1.98096436000000E+08 ；G（3e10）= 99039834 ，比值：≈1.00008465
11       1.63771039100000E+09 ；G（3e11）= 818772509 ，比值：≈1.000101
12       1.37654427440000E+10 ；G（3e12）= 6881609867  ，比值：≈1.00016152
13       1.17322925134000E+11 ；G（3e13）= 58651540055 ，比值：≈1.00016918

当然我一般给出的计算数据，都是有具体的计算式的，这样可以方便别人验证与探讨。

作者: 重生888@ 时间: 2022-6-26 08:54

愚工688 发表于 2022-6-25 23:11
我刚刚补充计算玩几个万亿级别的大偶数，并且记录了用时。对比一下两组相对误差的数据，就会明白，为什么比 ...

恭喜愚工先生找到了修正系数规律！

令11111111111110=N
G(N)=12000220328
D(N)=5/6*(N+F*N/lnN)/(ln)^2
   =11405299353                11405299353/2=5702649676 （一种组合最大下限值）
   DIG=0.950424...
G(N+2)=17470455584
D(N+2)=5702649676*3=17107949029          D/G=0.979250...

G(N+4)=8805605145
D(N+4)=5702649676*1.5=8553974514          D/G=0.971423
预计：
G(11111111111130)=?
D(11111111111130)=5702649676*4=22810598706       D/G=0.95.......

作者: 重生888@ 时间: 2022-6-26 09:16

重生888@ 发表于 2022-6-26 08:54
恭喜愚工先生找到了修正系数规律！

令11111111111110=N

我用时间少，得益于愚工先生有素数对真值数据。谢谢好友！

作者: 大傻8888888 时间: 2022-6-26 11:30
本帖最后由大傻8888888 于 2022-6-26 11:45 编辑

愚工688 发表于 2022-6-25 23:11
我刚刚补充计算玩几个万亿级别的大偶数，并且记录了用时。对比一下两组相对误差的数据，就会明白，为什么比 ...

根据天山草先生的数据，愚工688的修正系数μ的值如下：
10万亿 0. 17335
100万亿    0.17898
1000万亿    0.1855
1亿亿    0.1903844
10亿亿    0.19406
上面10万亿 0. 17335  和  愚工688先生的 0.17621 有误差，计算得出的结果是愚工688计算值的99.757%，精确度是吻合的。
愚工688如果能计算到100万亿，可以看看是否与  100万亿    0.17898  的值是否也吻合。

作者: 愚工688 时间: 2022-6-27 17:49
本帖最后由愚工688 于 2022-6-28 10:59 编辑

大傻8888888 发表于 2022-6-26 03:30
根据天山草先生的数据，愚工688的修正系数μ的值如下：
10万亿 0. 17335
100万亿 0.17898

按照天山草先生的数据，他的推测我的修正系数μ的值并不准确。
10万亿时的数据：
G(10^ 13 ) = 10533150855, Δ≈0.00221188;

Sp( 10000000000000 *) = 1/(1+ .17335 )*( 10000000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 10556448962.8 , k(m)= 1.33333
Sp( 10000000000002 *) = 1/(1+ .17335 )*( 10000000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 15848790654.4 , k(m)= 2.00178
Sp( 10000000000004 *) = 1/(1+ .17335 )*( 10000000000004 /2 -2)*p(m) ≈ 9500804066.5 , k(m)= 1.2
Sp( 10000000000006 *) = 1/(1+ .17335 )*( 10000000000006 /2 -2)*p(m) ≈ 8945590471.5 , k(m)= 1.12987
Sp( 10000000000008 *) = 1/(1+ .17335 )*( 10000000000008 /2 -2)*p(m) ≈ 16588705513 , k(m)= 2.09524
start time :14:39:14, end time:16:59:13use

今天以10万亿 μ= 0. 17335的数据计算了一下，显然他推测的μ值还略小一点，故实际的计算值相对误差呈现正值。
1.17335*1.002212=1.17595 ，μ=0.17595，以这个值为修正系数1/（1+μ）计算10万亿的连续偶数，所得的计算值的相对误差绝对值会比较小，但是正负不确定，即有正有负。

最近电脑比较卡，用时比较多了。（6-27日）

（6-28日）再用μ=0.17595的修正系数计算一下：
G(10^ 13 ) = 10533150855,Sp( 10000000000000* )≈  10533108888.9 , Δ≈-0.0000040 ,

G(10000000000002)=15813767528,(1409.12 sec),Sp( 10000000000002 *)≈  15813749330.7 , Δ≈-0.0000012,

G(10000000000004)=9479735161,(839.88 sec);Sp( 10000000000004* )≈  9479798000 , Δ≈0.0000066  , k(m)= 1.2
time start =08:48:29  ,time end =10:02:47 ,time use =

计算式：
Sp( 10000000000000* ) = 1/(1+ .17595 )*( 10000000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 10533108888.9
Sp( 10000000000002* ) = 1/(1+ .17595 )*( 10000000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 15813749330.7
Sp( 10000000000004* ) = 1/(1+ .17595 )*( 10000000000004 /2 -2)*p(m) ≈ 9479798000

实际上，μ=0.17595可以适用于9万亿——11万亿范围偶数素对值的高精度计算，也许更大范围。这就是使用修正系数的实际意义。

作者: 重生888@ 时间: 2022-6-28 07:27
把帖子顶上来，让更多人看看！

作者: 重生888@ 时间: 2022-6-28 14:37
预计：
G(11111111111130)=?
D(11111111111130)=5702649676*4=22810598706 D/G=0.95.....

作者: 重生888@ 时间: 2022-6-29 12:21
请杨先生预测下18楼的修正系数是多少？

作者: 愚工688 时间: 2022-6-29 13:39

愚工688 发表于 2022-6-27 09:49
按照天山草先生的数据，他的推测我的修正系数μ的值并不准确。
10万亿时的数据：
G(10^ 13 ) = 10533 ...

实际上，μ=0.17595可以适用于9万亿——11万亿范围偶数素对值的高精度计算，也许更大范围。这就是使用修正系数的实际意义。

实际验证一下，看看计算结果怎么样:
G(9500000000000)= 10632784926；Sp( 9500000000000 *)≈10631389423.6 , Δ≈-0.000131,
Sp( 9500000000002 *)≈  7531517737.7 , Δ≈, k(m)= 1.00013
Sp( 9500000000004 *)≈  16065210684.5 , Δ≈, k(m)= 2.13333
Sp( 9500000000006 *)≈  7530953117.9 , Δ≈, k(m)= 1.00005
start time :20:20:05, end time:22:32:21use time :
G(15000000000000)=30730203157,(4099.35s),Sp( 15000000000000 *)≈  30760168360.9 , Δ≈0.000975,
Sp( 15000000000002 *)≈  11932823933.1 , Δ≈,
start time :10:35:42, end time:11:51:05use time :
计算式：
Sp( 15000000000000 *) = 1/(1+ .17595 )*( 15000000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 30760168360.9 ,
Sp( 15000000000002 *) = 1/(1+ .17595 )*( 15000000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 11932823933.1 ,

实际验证了一下，即使计算范围扩大到15万亿，计算值的相对误差也不算大，绝对值小于0.001 。

作者: cuikun-186 时间: 2022-7-1 15:40
本帖最后由 cuikun-186 于 2022-7-8 16:45 编辑

当Q≥11时：

Q=3+q1+q2

Q=5+q3+q4，

作者: cuikun-186 时间: 2022-7-1 15:41
本帖最后由 cuikun-186 于 2022-7-8 16:46 编辑

实践是检验真理的唯一标准！

作者: 任在深 时间: 2022-7-1 22:40

cuikun-186 发表于 2022-7-1 15:41
愚公老师好，请问您能否验证一下我的结论？
您辛苦了！

虚伪！
虚伪至极！
叫一声老师，
难道人家就说你对了？
你不必叫什么！
说你的结论对？
结论好！
结论妙！
对你有什么好处？
只是喜欢别人表扬；
不喜欢别人指出问题！
一辈子不能有所进步！！
一辈子看不见后脑勺！！！

作者: 任在深 时间: 2022-7-8 16:29
本帖最后由任在深于 2022-7-8 16:38 编辑

cuikun-186
刘忠友这条疯狗！发表于 2022-7-8 11:47
*************************************************
你的修养？
你的人品？
你的道德？
试问？
一个没有修养，没有人品，没有道德的人？
苍天如何能把智慧，能力给他？！
苍天有眼啊！
只能让这样的不孝子孙，变得更蠢更笨！更不开窍！！

作者: 任在深 时间: 2022-7-8 17:08
cuikun-186
呜呼！哀哉！刘忠友这条疯狗终于认识到了！你破口大骂你爹娘，难
***********************************************************************
         积德行善，善莫大焉，焉能可贵，贵在自律！
         律人律己，己字当头，头顶有佛，佛在心中！

                  阿弥陀佛！阿弥陀佛！阿弥陀佛！

作者: 任在深 时间: 2022-8-10 10:39
本帖最后由任在深于 2022-8-10 10:53 编辑

愚工688
三宝和尚的谈天论地说数学的言论别人又看不懂，你又何必到别人的帖子里到处的传道呢？自己多发一些帖子供别人欣赏就可以了！  发表于 2022-8-10 10:06
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谢谢！
         救人救己，普度众生！
         发现错误，给予纠正！

               阿弥陀佛！阿弥陀佛！阿弥陀佛！

                                                                     释真一

作者: 任在深 时间: 2022-8-10 21:31
本帖最后由任在深于 2022-8-10 22:51 编辑

愚工688
如有能够看得懂你的理论的网友，也能够欣赏到你的文章。讲老实话，你的东西确实很难看懂。抱歉！  发表于 2022-8-10 20:13
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哈哈!
   您太抬举俺了！
   俺用《中华单位论》的素数单位定理给您证明一道简单的题，请您多多批评指正！
***证明在区间【n,2n】至少有一个素数单位。

         证：
               因为:
                     (1) π{N)=[N+12(√N-1)]/An-----中华素数单位定理：任意单位含有素数单位的个数是π(N)。
               所以 (2) π(n)=[n+12(√n-1)]/An
                     (3) π(2n)=[2n+12(√2n-1)]/A2n

               因此设区间【n,2n】含有素数单位的个数为D(2n-n).

                  即(4) D(2n-n)≥π(2n)-π(n)
                                    ≥ [2n+12(√2n-1)]/√2n-[n+12(√n-1)]/√n
                                    ≥2n/√2n+12(√2n-1)/√2n-n/√n-12(√n-1)/√n
                                    ≥√2n+12-√n-12
                                    ≥√2n-√n
                                    ≥√n(√2-1)
            当区间
                        i.【2,4】时：
                        1）D(2,4)=√2(√2-1)=2-1.414=[0.586]=1,即 2,3,4.区间有一个素数3.
                        ii.【4,8】时：
                        2)  D(4,8)=√4(√2-1)=2(√2-1)=[0.828]=1,即 4,5,6,7,8.区间有两个素数单位，5,7.
                        iii.【100,200】时：
                        3)  D(100,200)=√100(√2-1)=10[0.414}=4,即区间【100，200】实际有20个素数单位(略).

      当仅当n→∞ 时，只存在一个最大的素数 n+1.它和 n-1是最大一对孪生素数对。(在证明孪生素数对时得到证明）

               証毕。

                                          欢迎批评指导！

作者: 任在深 时间: 2022-8-11 20:24
愚工688
我只认识传统的数学，你的新理论中华素数单位定理的概念对我来说，犹如天书。只能敬而远之。抱歉！发表于 2022-8-11 19:51
**************************************************************************************】
谢谢您既谦虚又中肯的看法！
俺将思考如何能把具有中华民族的数学思想的数学理论《中华单位论》发扬光大！
看来得从头做起，从孩子们做起！
谢谢您的启发！！

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