数学中国

标题: \(\Large\mathbf{雏议“无限与有限、精确与近似”的辩证关系}\) [打印本页]

作者: 春风晚霞 时间: 2022-7-29 15:51
标题: \(\Large\mathbf{雏议“无限与有限、精确与近似”的辩证关系}\)
本帖最后由春风晚霞于 2022-7-29 19:09 编辑

一、无限与有限的辩证关系
1、什么是有限
定义：有限，指有条件的、在空间和时间上都有一定限度、有始有终的。
2、什么是无限
定义：无限，指无条件的、在空间和时间上都没有限制、无始无终的。
3、无限与有限的辩证关系
无限由有限构成，物质世界整体是无限的，但由无数具体有限的物质客体构成。有限是构成无限的环节、部分和因素，有限包含和体现着无限。有限事物的运动变化，使有限的界限不断被打破并否定而趋于无限。
【注】
①、上述1、2、3参见《汉语大辞典》﹝有限与无限﹞词条。
②、3是辩证无穷观关于无限双相性的认识，哲学上始于黑格尔（Hegel）无限是“进展之自我完成（going-together-with-itself）, 复合词“进展”意即“延伸”（潜无限）；“完成”意即过程的理想终结而成为整体自身（实无限）。数学上的双相无穷观在刘徽（公元250年左右）时代就已有认识。刘徽在割圆术中提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”亦是这种双相无穷观在数学中的反映：其中“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割”即表达“延伸”（潜无限）的思想；而“与圆合体而无所失”则表示过程的理想终结而成为整体自身（实无限）之意。
③、现行教科书上的等式1/3=0.3333……； √2=1.41421356……；\(\pi\)= 3.14159265……；……亦是双相无穷观在数学计算上的具体体现。上列各式右端的省略号“……”表示无限“延伸”（潜无限）；等号（=）则表示过程的理想终结而成为整体自身（实无限）。所以，现行教科书关于无穷地介绍没有改写的必要。

作者: 春风晚霞 时间: 2022-7-29 15:51
本帖最后由春风晚霞于 2022-8-2 11:55 编辑

二、精确与近似的辩证关系
1、什么是“精确”：精确就是非常准确；非常正确。
2、什么是“近似”: 相近或相像但不相同。
3、准确值：数学中由定义内涵确定的值叫准确值。数学中某一概念的准确值是客观存在的，与使用这一概念的人的学识水平、学术派别无关。
4、近似值：计算上接近准确值的数值叫做近似值，如3.1416是圆周率值的近似值。
5、精确与近似的辩证关系
数学上精确与近似这一对矛盾中：精确是矛盾的主体（或主要方面），近似是矛盾的从属（或矛盾的次要方面）。所以，在解决数学问题时应该抓住矛盾的主体，顺带解决矛盾的从属。如抓住√2、\(\pi\)、sin\(\pi\over 12\)……准确值，我们才能完成√2、\(\pi\)、sin\(\pi\over 12\)……的有效十进制展开。如：
例1、已知√2=1.41421356……；√5=2.236067977……；求计算：\((\small\sqrt 2\)×\(\small\sqrt 5)^8\)
【解:】\(\small(\sqrt 2\)×\(\small\sqrt 5)^8\)= \((\small\sqrt 2)^8×(\small\sqrt 5)^8\)= \(\small 2^4×5^4\)=16×625=10000
【注意】如果本题按\(\small(\sqrt 2\)×\(\small\sqrt 5)^8\)=(\( 1.41421356……)^8×(2.236067977……)^8\) 依次计算，必然遭遇运算无法进行的尴尬。
例2、①、计算cos\(\pi\over 12\)的值；②、计算Ln\(\sqrt 3\)+Ln\(\sqrt 5\)（精确到小数点后第10位）。
【解:】①、因为2\(\small\ cos^2\)\(\small\pi\over 12\)=1+cos\(\small\pi\over 6\),所以，cos\(\small\pi\over 12\)= \(\small\sqrt{\dfrac{2+\small\sqrt 3}{4}}\)
②、Ln\(\small\sqrt 3\)+Ln\(\small\sqrt 5\)=Ln（\(\small\sqrt 3×\small\sqrt 5\)）=Ln\(\small\sqrt{15}\)=\(\small 1\over 2\)×Ln15≈1.3540251006。
【注意】(1)、在根式运算中如遇非完全平方数的平方根地计算，当题设中没告诉精确度时，结果应保留根式，否则视为错误（因未指明精确度，则题设条件默认是精确计算，所以必须保留根式。）
(2)、若不承认\(\small\pi\)、√2……等准确值，则我们就不能完成如sin\(\small\pi\over 6\)、cos\(\small\pi\over 3\)、\((\small\sqrt 2)^{2n}\)……的精确计算。
(3)、含有无理数地计算，应在计算结果时根据指定精确度采用四舍五入法，以确保“精确”程度。
6、无理数的十进制展开
人类数学认识的过程是先认识精确数,如\(\sqrt 5\)、\(\pi\)、sin\(\pi\over 12\)……，由于工程和物理需要，人类需要把\(\sqrt 5\)、\(\pi\)、sin\(\pi\over 12\)……这样的无理数展开成十进制小数，于是有了“无尽不循环小数叫无理数”的概念。
例3、把下列确定的数（或式）展开成无穷级数：①、\(\small\sqrt 5\)；②、\(\small\pi\)；③、f(x)=Ln(1+x)
【解】①、因为\(\small\sqrt 5\)= \(\small\sqrt{（4+1)}\)= \(\small\sqrt{4(1+\small\dfrac{1}{4}}\))=2\(\small\sqrt{(1+\small\dfrac{1}{4}}\))
根据公式\(\sqrt{1+x}\)=1+\(\dfrac{1}{2}x\)-\(\dfrac{1}{2\centerdot 4}x^2\)+ \(\dfrac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4\centerdot 6}x^3\)- \(\dfrac{1\centerdot 3\centerdot 5}{2\centerdot 4\centerdot 6\centerdot 8}x^4\)+……
所以，\(\sqrt 5\)= 2\(\sqrt{(1+\dfrac{1}{4}}\))=2[1+\(\dfrac{1}{2}\centerdot\dfrac{1}{4}\)-\(\dfrac{1}{2\centerdot 4}\centerdot(\dfrac{1}{4})^2\)+ \(\dfrac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4\centerdot 6}\centerdot(\dfrac{1}{4})^3\)- \(\dfrac{1\centerdot 3\centerdot 5}{2\centerdot 4\centerdot 6\centerdot 8}\centerdot(\dfrac{1}{4})^4\)+……]= 2.2360679774……。
②由arctnx=\(\int_0^x \tfrac{1}{1+x^2}dx\)=x-\(\tfrac{x^3}{3}\)+\(\tfrac{x^5}{5}\)-\(\tfrac{x^7}{7}\)+……（-1≤x≤1）
因arctn1=\(\tfrac{\pi}{4}\)；所以\(\pi\)=4[1-\(\tfrac{1}{3}\)+\(\tfrac{1}{5}\)-\(\tfrac{1}{7}\)+……]=3.1415926……
③因为f(x)=Ln(1+x)；所以\(f'(x)\)=\(\dfrac{1}{1+x}\)=1-x+\(x^2\)-\(x^3\)+……\(\;\)（-1<x<1）
所以，f(x)=Ln(1+x)= \(\int_0^x f'(x)dx\)=\(\int_0^x\dfrac{1}{1+x}dx\)=x-\(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}\)+……\(\;\)（-1<x≤1）注意：当x=1时，f(1)=Ln2,所以此时无穷级数依然成立。故f(x)的收敛域为（-1<x≤1）。

作者: 李利浩 时间: 2022-7-30 18:56
既然无限由有限构成，那么，有限的数到底到多少位，才能称之为无限小数？

作者: 春风晚霞 时间: 2022-7-30 19:12
本帖最后由春风晚霞于 2022-7-30 21:52 编辑

李利浩发表于 2022-7-30 18:56
既然无限由有限构成，那么，有限的数到底到多少位，才能称之为无限小数？

“无限由有限构成”是指构成无限的每项（或每部分）是有限的，构成无限的项数（或部分数）是无限的。就其无限小数而言，无限小数每个数位上的数字的值是有限的，无限小数的位数是无限的。也就是说：有限个有限只能构成有限，只有无穷多个有限才能构成无限无限。

作者: jzkyllcjl 时间: 2022-7-31 09:45
春风晚霞：你说【只有无穷多个有限才能构成无限无限】，那么你的 “无穷多个有限”的无限多个能背完成吗？有终结吗？你的【过程的理想终结而成为整体自身（实无限）】违背实践的事实。现行教科书中“称无尽小数未实施”的定义，造成了布劳威尔反例与连续统假设的大难题，所以这个定义违背事实，没有√2、π的无尽小数之前就有了这些无理数的近似值，不是你说的先有无尽小数。

作者: elim 时间: 2022-7-31 10:13
jzkyllcjl 是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣．90多岁了，没弄对过任何数学概念．他活该因篡改和造谣被抛弃．

作者: 春风晚霞 时间: 2022-7-31 11:24
本帖最后由春风晚霞于 2023-3-9 15:51 编辑

jzkyllcjl 发表于 2022-7-31 09:45
春风晚霞：你说【只有无穷多个有限才能构成无限无限】，那么你的 “无穷多个有限”的无限多个能背完成吗？ ...

【只有无穷多个有限才能构成无限】这是黑格尔、恩格斯的辩证无穷观。 “无穷多个有限”是能被完成的。如单位圆周上有无穷多个点，当我们用圆规在纸上旋转一周，我们就得到一条封闭曲线。按你们所谓潜无穷观的认知，圆周上的点永远处于构造之中，所以你们永远不能画出一个圆。也永远做不出和圆有关的各种物品。你成天实践、实践，你画过圆吗？圆画出来了、和圆有关的物品做出来了，那么画圆（或做圆相关的物品）的工作也就终结了。【过程的理想终结而成为整体自身（实无限）】这是双相无穷观的基本信条，它是符合黑格尔、恩格斯、徐利治等学者实践事实的。现行教科书中“称无尽小数为实数”的定义，是满足实数的完备性和纯粹性的。√2、π本身就是准确值，如果根据”狗要吃屎“的事实，和你”要吃狗屎“地实践，你是得不到cos\(\pi\over 3\)=\(1\over 2\),sin\(\pi\over 2\)=1;……这些准确值的。√2、π的无尽小数之前就有了这些无理数的近似值？你能说说你的这些认知源于何典吗？任给你一个三角函数值，或任给你一个非完全平方数的算术平方根，你能写出它们的“曹托尔”基本数列吗？不妨你写一个给我们看看！

作者: jzkyllcjl 时间: 2022-7-31 18:25
春风晚霞：π的无尽小数表达式从来没有人算到底，刘辉、祖冲之算出的是有有尽位，近代法国人使用电子计算机计算到50万位数字，茅以升在《十万个为什么》中指出“50万位小数完了吗？没完。永远算不完的，这是个‘无尽’”的数啊！”由于无穷级数算不到底，你说的π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）不成立。现行教科书中“称无尽小数未实施”的定义，造成了布劳威尔反例与连续统假设的大难题，所以这个定义违背事实，没有√2、π的无尽小数之前就有了这些无理数的近似值，不是你说的先有无尽小数。，

作者: 春风晚霞 时间: 2022-7-31 19:37
本帖最后由春风晚霞于 2022-7-31 20:07 编辑

Jzkyllcjl, 【π的无尽小数表达式从来没有人算到底】，并不意味着π就没有底。刘徽割圆术所说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。这里的“所失弥少”、“与圆合体，而无所失”均表明圆周与直径的比是一个确定的常数。2019年3月14日,谷歌宣布日裔前谷歌工程师爱玛(Emma HarukaIwao)在谷歌云平台的帮助下,圆周率计算到小数点后31.4万亿位，其精度远比你那个【近代法国人使用电子计算机计算到50万位数字】高得多。半圆所对的圆心角如果用弧度(单位是rad)表示，它是一个无尽小数，但如果用角度表示它是\(180^o\)。从刘徽割圆示意图我们看到，一个圆圆周与直径之比与圆的内接正多边形的边数没有关系。所以用圆的内接正多形的周长逼近圆周，必然会产生误差。这就是刘徽所说的“割之弥细，所失弥少”，当到达“割之又割，以至于不可割”即内接正多边形的边长为趋向于零时，这时内接正多边形的周长便是圆周长。由正切函数的泰勒级数得π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）是成立的，因为正切函数的幂级数是收敛的。收敛级数的余项为零。【布劳威尔反例与连续统假设的大难题】与【现行教科书中“称无尽小数未实施”的定义】无关。人类对数的认识最先认识的是整数，分数，毕达歌拉斯万物皆数就是讲的这个史实。所有无理数的定义值都是准确值，它们的十进制展开都有“写不到底”的特征。Jzkyllcjl,无穷级数是把无理数展开成无限十尽制小数行之有效的方法，谷歌工程师爱玛(Emma HarukaIwao)在谷歌云平台下，根据无穷级数的机理把圆周率计算到小数点后31.4万亿位，你用你的“曹托尔”基本数列办得到吗？你总强调无穷级数“写不到底”，你为什么从不去想对于任意无理数，你的“曹托尔”数列还开不了头呢？

作者: jzkyllcjl 时间: 2022-8-1 09:29
春风晚霞：你引用的表达式 π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）右端的无穷级数具有永远算不到底的性质，31.4万亿位，不是无尽位。

作者: elim 时间: 2022-8-1 09:50
本帖最后由 elim 于 2022-7-31 18:58 编辑

jzkyllcjl 发表于 2022-7-31 18:29
春风晚霞：你引用的表达式 π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）右端的无穷级数具有永远算不到底的性质，31.4万亿位 ...

无穷级数的和不是逐项加出来的，而是分析地确定的．jzkyllcjl 不要以为初小差班那点数学就可以到处胡扯了．绝大多数实数的十进制值都是无尽小数．都是写不完数不尽的．但无尽小数本身的存在唯一性根本不依赖于人的计算．它是先于人的计算的．没有人构造\(\pi\),人们可以求它的近似值．然而否定\(\pi\)的绝对准的十进制值的存在还是畜生不如的行径．

\(\pi=\displaystyle 4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\) 是写完全了．否认这点是具有jzkyllcjl 吃狗屎特色的不可理喻行为．

作者: 春风晚霞 时间: 2022-8-1 13:04
本帖最后由春风晚霞于 2022-8-1 13:05 编辑

jzkyllcjl 发表于 2022-8-1 09:29
春风晚霞：你引用的表达式 π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）右端的无穷级数具有永远算不到底的性质，31.4万亿位 ...

   Jzkyllcjl,把确定的常数π展开成无穷级数的目的，就是为了计算π精确到任意数位的十制小数的值。
   级数4\(\small\displaystyle\sum_{k=1}^∞ \dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\)计算到底就是\(\pi\)。恩格斯认为：数学。把某个确定的数，例如把一个二项式，化为无穷级数，即化为某种不确定的东西，从常上来说，这是荒谬的，但是，如果没有无穷级数和二项式定理，那我们能走多远呢？（参见《自然辩证法》P195页）。
   31.4万亿位，不是无尽位，但它也足以说明把确定数\(\pi\)展开成无穷级数，从而求出指定数位的近似值是能够办到的，它也足以说根据已知的常数\(\pi\)去求它的无尽表达式是能够办到的。到是你的那个“曹托尔”基本数列，写到多少项了？达到31.4万亿项了吗？

作者: elim 时间: 2022-8-1 13:21
辩证法是原理级别的东西，和天人合一，合久必分等等一样，对数学而言没有推演意义，虽放之四海而皆准，却总是马后炮而已。恩格斯在【费尔巴哈和德国古典哲学的终结】也说，哲学最后仅存逻辑学。

另一方面，数学处处定性定量地印证辩证法。总之，实事求是，具体情况具体分析在数学中达到了极致，

作者: jzkyllcjl 时间: 2022-8-1 16:10
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2022-8-1 08:12 编辑

春风晚霞：你引用的表达式 π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）右端的无穷级数具有永远算不到底的性质，31.4万亿位，不是无尽位。对你引用恩格斯在《自然辩证法》一书中说道的话:“数学。把某个确定的数，例如把一个二项式，化为无穷级数，即化为某种不确定的东西，从常识上来说，这是荒谬的。但是，如果没有无穷级数和二项式定理，我们能走多远呢？”笔者看了恩格斯这段话之后，不仅认为：应当尊重恩格斯的话；还应当知道：恩格斯这段话具有如下的三个层次的意义：第一层意义是：使用二项式级数，把某个确定的无理数数化为某种不确定的东西；第二个意思是：需要使用：无穷级数和是其前n项和的数列的趋向性极限的定义；第三个意义是，由于二项式级数给出了无理数的有理数的足够准表示方法，在近似方法下解决了“无理数与有理数之间不可公度的一次数学危机”，因此二项式级数是必要的。事实上，4（1-1/3+1/5-1/7+……）的所有前n项和都是有理数，它永远达不到无理数，它只是趋向于无理数。你的叙述违背了这个事实。

作者: 春风晚霞 时间: 2022-8-1 18:44
本帖最后由春风晚霞于 2022-8-2 06:04 编辑

      Jzkyllcjl，你太自以为是了。恩格斯的这段话，只表达了一种意思：无穷级数左端是一个确定的数（或二项式），右端是这个确定的数或二项式的无穷展开。虽然这种把一个确定的数（或式）化成不确定的东西，貌似荒谬实为数学之必须。正如恩格斯所说“如果没有无穷级数和二项式定理，我们能走多远呢？”
      Jzkyllcjl，恩格斯所论之数学，局限于十八世纪五十年代（1760年以前）的认知。他的两大专著《反杜林论》和《自然辩证法》均未涉及如Cauchy、Weierstrass等极限理论创始人，当然他更不知道你的“无穷级数和是其前n项和的数列的趋向性极限的定义”了。更何况你故意混淆无穷级数展开和无穷数列求和两种不同的数学理念。
      Jzkyllcjl，因为无穷级数和二项式定理是“把某个确定的数，例如把一个二项式，化为无穷级数”，因此不需要对等式的右端所有项求和。当然也就根本不存在【右端的无穷级数具有永远算不到底】的杞忧。由于级数等式的右端是左端无穷展开而得，如果你再对右端所有项求和，得到的只有两种结果：①、右端所有项之和等于左端（实无穷学派）；②、右边所有项之和趋向但不等开左边（潜无穷学派）。这两种结果都是逻辑上不允许的：①是循环论证，多此一举。②不仅画蛇添足，还将导致左边这个确定的数（或式）不等于它自身。其实，泰勒级数和二项式定理与无穷数列求和是两个不同范畴的数学运算。因为先生是教大学数学的教授，春风晚霞不能说先生分不清这两种数学运算的区别和联系。因先生长期坚持要对二项式定理或泰勒级数右端所有项求和，只能说先生是为了兜售你的《全能近似》有意而为了。
      Jzkyllcjl，你认为【4（1-1/3+1/5-1/7+……）的所有前n项和都是有理数，它永远达不到无理数，它只是趋向于无理数】这种认识是源于你《全能近似》错误认知吧？先生既然承认【π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）右端的无穷级数具有永远算不到底】的事实，那也就是你承认π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）是无限不循环小数嘛，而“无限不循环小数是无理数”这可是无理数的定义呀。呜呼，“唯吾”主义者的《全能近似》实则是《乱伦近视》哟！

作者: elim 时间: 2022-8-1 21:54
数值计算只能是有限操作，没有理由认为实数的十进制值皆可以通过有限操作得到，更没有理由认为有些实数没有十进制值。

级数和是其部分和序列的极限，(序列的)极限不是通过计算序列的项得到的，而是通过分析的方法确定的。初小差班老生jzkyllcjl 90出头，加减乘除缺除法，就是达不到数学分析的程度。

作者: 任在深 时间: 2022-8-1 22:18
从elim他对π的定义以及公式可知它是一个地地道道的二百五！
把完美的代数数π胡诌八咧成体无完肤的大杂烩？
天理难容啊！
数理何在啊？
(1) π=3+√2/10,多么完美无缺呀！
再看 (2) π=3.1415926......支离破碎，杂乱无章？丑的不能再丑了？！
还臭美那？？？？？？？？？？？？
真不知世界上还有羞耻二字！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

作者: elim 时间: 2022-8-1 22:33
日本楞种可以谈谈他被禁言数月的原由，其他么，跟小炉匠栾平没两样，只会干嚎而已。

作者: 任在深 时间: 2022-8-2 00:52

elim 发表于 2022-8-1 22:33
日本楞种可以谈谈他被禁言数月的原由，其他么，跟小炉匠栾平没两样，只会干嚎而已。

elim的自我表述：跟小炉匠栾平没两样，只会干嚎而已。

作者: elim 时间: 2022-8-2 03:16
本帖最后由 elim 于 2022-8-1 12:18 编辑

如果日本楞种还会数值计算，可以批判一下吃狗屎的 jzkyllcjl 的数学主张。解释一下日本楞律为什么不如中华祖律.

数值计算只能是有限操作，没有理由认为实数的十进制值皆可以通过有限操作得到，更没有理由认为有些实数没有十进制值。

级数和是其部分和序列的极限，(序列的)极限不是通过计算序列的项得到的，而是通过分析的方法确定的。初小差班老生jzkyllcjl 90出头，加减乘除缺除法，就是达不到数学分析的程度。

作者: jzkyllcjl 时间: 2022-8-2 09:55

春风晚霞发表于 2022-8-1 10:44
Jzkyllcjl，你太自以为是了。恩格斯的这段话，只表达了一种意思：无穷级数左端是一个确定的数（或 ...

春风晚霞：你对等式 π=3.14159265……的解释式自相矛盾的。事实上根据右端省略号表示无限延伸（潜无，限），右端就是永远算不到底的左端的以十进小数为近似值的无穷数列3.1，3.14，3.141，……的无穷数列的简写，它永远不等于左端，这与你说的“等号表示过程的过程的理想终结而成位整体自身(实无限是不相容的矛盾。你无法使用反正切函数无穷级数表达式得到表达式：π=4（1-1/3+1/5-1/7+……） .，事实上右端的所有前n项和都是是有理数，它永远达不到无理数，它只是趋向无理数，即需要吧这个等式改写为右限趋向于左端的极限性表达式。现行教科书中的表达式那是概念混淆的表达式。。

作者: elim 时间: 2022-8-2 10:56
jzkyllcjl 吃上了狗屎扯什么无限延伸？怎么伸法？省略号就是省略么，也就是是说 pi 的无尽小数值是被 pi 唯一决定的，人的书写只能给出前若干位有效数字。

作者: 春风晚霞 时间: 2022-8-2 11:56
本帖最后由春风晚霞于 2022-8-2 15:51 编辑

jzkyllcjl 发表于 2022-8-2 09:55
春风晚霞：你对等式 π=3.14159265……的解释式自相矛盾的。事实上根据右端省略号表示无限延伸（潜无，限 ...

   Jzkyllcjl, π=3.14159265……这个等式的右端正是左边这个常π的无限展开，对等式右端省略号潜无穷者认为是表示无限延伸（即有限小数3.14159265亿分五后边的各位数字永远处于构造之中），但这个延伸并非随心所欲，它必须受等号左边的确定数π的约束。而实无穷论者认为右端省略号表示所有由π确定的各位数字构成的π这个整体。所以无论是潜无穷论者，还是实无穷论者都认为π=3.14159265……这个等式是正确的，只有“狗要吃屎，人就必须吃屎”的“狗屎学派”不认为形如π=3.14159265……这样等式是正确的。
   反正切函数无穷级数表达式是数学家Taylor(1685_1731)于1715年提出来的，那时柯西（Cauchy 1789—1857）、康托尔（Cantor(1845—1918)、“曹托尔”（jzkyllcjl 1932—）都还没有出生，何来【无穷数列3.1，3.14，3.141，……的无穷数列的简写，它永远不等于左端】之说。再者反正切函数的Taylor展式，arctnx=\(\int_0^x \tfrac{1}{1+x^2}dx\)=x-\(\tfrac{x^3}{3}\)+\(\tfrac{x^5}{5}\)-\(\tfrac{x^7}{7}\)+……（-1≤x≤1）；左端是确定的反正切函数表达式arctnx，右端的\(\int_0^x \tfrac{1}{1+x^2}dx\)=x-\(\tfrac{x^3}{3}\)+\(\tfrac{x^5}{5}\)-\(\tfrac{x^7}{7}\)+……（-1≤x≤1）是左端的确定反正切函数表达式arctnx的无限展开，谁要求你去把右端计算计算到底？前面的帖子已经说明，把这个Taylor展式右端所有项计算到底无非两种结果：①右端=arctnx; ②右端≠arctnx；结合Taylor展式，于是有①arctnx =arctnx；②arctnx≠arctnx；从逻辑的角度看①是循环论证；②是荒谬推理。所以你坚持对等式右端进行无穷计算本身就是无事生非，胡搅蛮缠。正因为π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）右端“写”不到底，所以它的右端是无限不循环小数，所以π是无理数。
   Jzkyllcjl先生，你虽然也属人类。但你又是 “因狗要吃屎，所以人必须吃屎”的异类。因而，你认知的“事实”，不足以证明【现行教科书中的表达式那是概念混淆的表达式】。

作者: jzkyllcjl 时间: 2022-8-2 16:27
春风晚霞：你对等式 π=3.14159265……的解释式自相矛盾的。事实上根据右端省略号表示无限延伸（潜无，限），右端就是永远算不到底的左端的以十进小数为近似值的无穷数列3.1，3.14，3.141，……的无穷数列的简写，它永远不等于左端，这与你说的“等号表示过程的过程的理想终结而成位整体自身(实无限是不相容的矛盾。你无法使用反正切函数无穷级数表达式得到表达式：π=4（1-1/3+1/5-1/7+……） .，事实上右端的所有前n项和都是是有理数，它永远达不到无理数，它只是趋向无理数，即需要吧这个等式改写为右限趋向于左端的极限性表达式。现行教科书中的表达式那是概念混淆的表达式。。

作者: 春风晚霞 时间: 2022-8-2 20:06
本帖最后由春风晚霞于 2022-8-3 00:17 编辑

jzkyllcjl，并非我对等式 π=3.14159265……的解释式自相矛盾，纯属是你无事生非，胡说八道！自1715年数学家Taylor(1685_1731)发表Taylor级数后，无理数展开成无尽十进制小数便得至了数学界公认。无论是潜无穷论者，还是实无穷论者，都认为形如π=3.14159265……；\( \small\sqrt 2\)=1.41423562……这样的等式是对的。这是因为潜无穷论者认为等式右端的省略号（……）表示无限延伸（即永远写不到底），并且每个数位上的数字都受等式左端那个确定的数和等号（=）的约束。所以，等式是成立的。而实无穷论者则认为等式右端的省略号（……）包括了所有由等式左端那个确定数和等号（=）约束的每位数字的全体（其位数仍有无穷无尽多位）。所以，无论是潜无穷论者还是实无穷论者，都认为类似π=3.14159265……；\( \small\sqrt 2\)=1.41423562……这样的含有无穷小数的等式是成立的。只有“要吃狗屎”学派的论者（虽然不多，但确实存在），才会以“写不到底、算不到底”为由反对这些等式成立。至于『等号表示过程的理想终结而成为整体自身』也不与什么“狗要吃屎”的事实矛盾。我们知道圆周率π等于单位圆的周长与直径的比值，圆心在O半径为R的圆周上的点x的集合为\(S_o\)={x ||Ox|=R},当我们在画圆的过程中，圆周上的点就被我们逐一构造出来。当圆规在纸上旋转一圆时整个圆周就已画完，这个时候画圆的过程『理想终结』，这时无穷集合\(S_o\)={x ||Ox|=R}也就成为“整体完成了的实无穷”集合。如果不承认无穷集合\(S_o\)={x ||Ox|=R}是“整体完成了的实无穷”集合，那就永远画不出一个圆，也永远做不出一个与圆相关的物品，这才是与人类实践不相容的矛盾！我使用【使用反正切函数无穷级数表达式得到表达式：π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）】本身就得到了\(\pi\)=4\(\small\displaystyle\sum_{k=1}^∞ \dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\)是无限不循环小数，所以根据“无限不循环小数叫无理数”有定义，\(\pi\)=4\(\small\displaystyle\sum_{k=1}^∞ \dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\)本身就是无理数，根本就不需什么趋向。因此【现行教科书中的表达式是概念混淆的表达式】，那只是只重视“狗要吃屎”的事实，而忽视“人不吃屎”的事实所犯下的致命错误。最后我再次强调：把一个已知的、确定的数（或式）展开成无穷级数，与根据已知数列求其所有项之和是有本质区别的。前者等式左端是知的，等式的右端是左端这个数（或式）的无穷展开（一般用于求左边那个确定数指定精确度的近似值，无须对右边所有项求和）。后者等式右端是已知的（或其通项是确定的），等式左端是待求的。所以，对Taylor级数的右端求所有项的和，或以等式右端“写不到底、算不至底”为由说事，确实是吹毛求疵，无理取闹。

作者: jzkyllcjl 时间: 2022-8-3 08:37

春风晚霞与elim 等网友：无穷项相加的操作无方法进行到底是事实，级数和只能是其前n项和序列的极限，而且这个就限制具有其前n项和序列的达不到的性质，例如等式 π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）的右端的所有前n项和都是是有理数，它永远达不到无理数，它只是趋向无理数，现行教科书中的这个等式是概念混淆的等式，需要将这个等式改写为趋向性极限性质的等式。

作者: elim 时间: 2022-8-3 10:33
无穷次相加是你吃狗屎特色的级数和解读．级数和是其部分和序列的极限而不是无穷次相加．当然你也不懂极限．

作者: 春风晚霞 时间: 2022-8-3 10:47
本帖最后由春风晚霞于 2022-8-3 13:40 编辑

Jzkyllcjl:“无限不循环小数叫无理数”，既然是“无限”当然也就具有“写不到底”的性质。你的【永远达不到无理数，它只是趋向无理数】是什么意思？π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）的右端是有限小数吗？如果是，这个“限”又是多少？π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）的右端是无限循环小数吗？如果是，那它的循环节又是多少？π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）的右端既不是有限小数，又不是无限循环小数，那你说π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）的右端是什么数？有限个有理数之和固然是有理数，但无限多个不循环的有数的和就是无理数，还有什么需要你去趋向的呢？倒不是【现行教科书中的这个等式是概念混淆的等式】，而是你根本就没有无理数的概念。其实，你尊重“狗要吃屎”的事实，时刻践行“要吃狗屎”的实践。本来是人畜无害的，但你偏要根据“狗要吃屎”强行要求人必须吃屎，这就有违天理，丧失人伦了。

作者: jzkyllcjl 时间: 2022-8-3 18:02

春风晚霞发表于 2022-8-3 02:47
Jzkyllcjl:“无限不循环小数叫无理数”，既然是“无限”当然也就具有“写不到底”的性质。你的【永远达不到 ...

春风晚霞正教授，，关于你提出的【等式π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）的右端既不是有限小数，又不是无限循环小数，那你说π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）的右端是什么数？】的问题，我多次回答说：它不是定数，而是由无穷级数的前n项和的无穷数列性质的变数，它的趋向性极限才等于左端的无理数。现行教科书中的这个等式是概念混淆的等式，应当改写为极限性等式。“要吃狗屎”的学者是你，是elim；他吃了几万次，你学着吃。

作者: elim 时间: 2022-8-3 21:49
jzkyllcjl 是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣。不知道级数和是部分和序列的极限，而极限是定数。

作者: jzkyllcjl 时间: 2022-8-4 08:54

elim 发表于 2022-8-3 13:49
jzkyllcjl 是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣。不知道级数和是部分和序列的极限，而极限是定数。

虽然无穷级数和是其部分和序列Sn的极限值S，而且极限值S是定数；但这个极限值S具有其部分和序列Sn达不到的性质，它不等于无穷项相加,,即等式 n=1,到∞的∑Sn=S 表达式不成立。具体来讲;,你使用的等式
π=4（1-1/3+1/5-1/7+……）不成立，事实上等式的右端的所有前n项和都是是有理数，它永远达不到无理数，它只是趋向无理数；现行教科书中的这个等式是概念混淆的等式，需要将这个等式改写为趋向性极限性质的等式。。。；

作者: elim 时间: 2022-8-4 09:21

jzkyllcjl 发表于 2022-8-3 17:54
虽然无穷级数和是其部分和序列Sn的极限值S，而且极限值S是定数；但这个极限值S具有其部分和序列Sn达不到 ...

jzkyllcjl 说部分和的极限不等于无穷项相加，那么无穷项相加等于什么？或者说无穷项相加怎么定义？

jzkyllcjl 是具有不住吃狗屎啼猿声的学渣，九十多岁了，没弄对过任何数学概念。

作者: jzkyllcjl 时间: 2022-8-5 08:39

elim 发表于 2022-8-4 01:21
jzkyllcjl 说部分和的极限不等于无穷项相加，那么无穷项相加等于什么？或者说无穷项相加怎么定义？

jz ...

无穷项相加无法进行，无穷项相加不是数。只有它的前n项和序列收敛时，才可以说这个极限是理想实数。而且这个理想实数不等于无穷项相加。

作者: elim 时间: 2022-8-5 09:42
那么部分和极限不等于无穷次相加就是正当的，1/3 = 0.333.... 是推翻不了的。

作者: jzkyllcjl 时间: 2022-8-5 15:31

elim 发表于 2022-8-5 01:42
那么部分和极限不等于无穷次相加就是正当的，1/3 = 0.333.... 是推翻不了的。

。elim说的“恩格斯的数学水平不如现在的大学生”的话也是错误的。elim“违背了1被3除只能逐步得到1/3的近似值数列0.3，0.33，0.333，……的永远除不尽事实，违背无尽循环小数0.333……永远写不到底事实，违背无尽小数不是定数，而是变数事实：他坚持的0.333……=1/3的等式具有：变数与定数”概念混淆的错误

作者: 李利浩 时间: 2022-8-5 19:22

春风晚霞发表于 2022-7-30 19:12
“无限由有限构成”是指构成无限的每项（或每部分）是有限的，构成无限的项数（或部分数）是无限的。就 ...

照你的观点，莫非单靠“有限”构成不了“无限”？

作者: 春风晚霞 时间: 2022-8-5 20:24
本帖最后由春风晚霞于 2022-8-6 06:24 编辑

李利浩发表于 2022-8-5 19:22
照你的观点，莫非单靠“有限”构成不了“无限”？

这不是我的观点。有限个有限，只能构成有限。只有无限多个有限才能构成无限。这既是恩格斯的辩证无穷观，也是Cantor“有限个有限集的和（或说并）是有限集”的直观说法。李利浩先生，因你我年龄太过悬殊，今后不再回复，望见谅。

作者: jzkyllcjl 时间: 2022-8-6 07:59
马克思没有说：1/3=0.333……，事实上这个等式右端不是定数，而是康托尔基本数列0.3，0.33，0.333，…… 的简写，同理0.666……也不是定数。所以，春风晚霞的（2）（3）两式不成立。

作者: 春风晚霞 时间: 2022-8-6 08:18
本帖最后由春风晚霞于 2022-8-6 08:46 编辑

曹大教授：由马克思的级数等式到1/3=0.333……及2/3=0.6666……是根据恩格斯“初等数学，即常数数学，是形式逻辑范围内进行的”论述而得到的。你说马克思的级数等式的右端“不是定数，而是康托尔基本数列0.3，0.33，0.333，…… 的简写，同理0.666……也不是定数”的依据是什么？马克思在什么地方说了他的级数等式的右端等于“曹托尔”基本数列“0.3，0.33，0.333，…… 的简写”？！也就说，在你的眼里马克思和恩格斯还不及你唯物主义是吗？

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