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标题: 【答】设 α=π／7 ，证明：cosα 是 8x^3-4x^2-4x+1=0 的根 [打印本页]

作者: dodonaomikiki 时间: 2022-10-4 20:56
标题: 【答】设 α=π／7 ，证明：cosα 是 8x^3-4x^2-4x+1=0 的根
本帖最后由 dodonaomikiki 于 2022-10-11 15:45 编辑

题目见图

[attach]117953[/attach]

作者: 天山草 时间: 2022-10-5 09:08
题目有错吧？应改为 cos(π/7) 是 8 x^3 - 4 x^2 - 4 x + 1 = 0 的根。

作者: Future_maths 时间: 2022-10-5 13:03
真的是一个错题！

作者: Future_maths 时间: 2022-10-5 13:04
[attach]117995[/attach]

作者: Future_maths 时间: 2022-10-5 13:05
[attach]117996[/attach]

作者: luyuanhong 时间: 2022-10-5 18:42
原题的方程有错，应改为 8x^4-4x^3-4x^2+1=0 。

[attach]118004[/attach]

[attach]118005[/attach]

作者: ysr 时间: 2022-10-6 13:29
输入1: a=8, b=-4, c=-4, d=1; 输出结果1: x1=-0.6234898018587335306188499717562092420762797953281961149330071128208329486162725122606767601829979733,
x2=0.2225209339563144044997705625845459543532803348444869996238719257268598059475611814965689495331948843,
x3=0.9009688679024191261190794091716632877229994604837091153091351870939731426687113307641078106498030890 m=-3.5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 n=18.1865334794732115820381865858116598528994551650089965945859732842452966775424003893520349609511100446i

用计算器算的： cos(π/7) = cos(180/7)= cos( 25.714285714285714285714285714286 )=0.90096886790241912623610231950745.

从点后第19位以后就不一样了，第19位一个是1一个是2，咋回事，哪个准确？

作者: dodonaomikiki 时间: 2022-10-7 15:22
本帖最后由 dodonaomikiki 于 2022-10-7 15:26 编辑

此题一开始，
我想着能否利用三次方程之根的特性，
紧接着，
把\(cos\alpha\) 代进去

\( cos(π/7) 是 8 x^3 - 4 x^2 - 4 x + 1 = 0 的根\)

作者: 时空伴随者 时间: 2022-10-7 16:48
\(设\alpha=\frac\pi7，则sin4\alpha=sin3\alpha，\)
\(由倍角和三倍角公式展开得 4sin\alpha cos\alpha(2cos^2\alpha-1)=3sin\alpha-4sin^3\alpha\)
\(两边消去sin\alpha(>0)整理得8cos^3\alpha-4cos^2\alpha-4cos\alpha+1=0\)
命题得证。

作者: luyuanhong 时间: 2022-10-7 18:09
谢谢楼上 dodonaomikiki 指出我的笔误！现已在第 6 楼中作了更正。

作者: 天山草 时间: 2022-10-7 19:17
本帖最后由天山草于 2022-10-7 19:21 编辑

可否直接求出给定三次方程的公式解，并证明其中一个解是 \(cos(\pi/7)\) ?

[attach]118079[/attach]

运行上面程序得到三个公式解是：

[attach]118081[/attach]

如何证明上面的第二个根化简后就是 \(cos(\pi/7)\) ? 或者能不能把 mathemayica 程序改进一下，使之求出的三个公式解都有最简形式？

作者: ysr 时间: 2022-10-8 07:03
本帖最后由 ysr 于 2022-10-7 23:05 编辑

输入1: a=8, b=-4, c=-4, d=1; 输出结果1: x1=-0.62348980185873353061884997175620924, x2=0.22252093395631440449977056258454595, x3=0.90096886790241912611907940917166329 m=-3.50000000000000000000000000000000000 n=18.18653347947321158203818658581165985i

由于m为有理数，此方程应该能得到根式解，我的软件只能给出数值解，也许用手工计算可以得到根式解（可能有负数开偶次方的情况）

作者: dodonaomikiki 时间: 2022-10-8 14:32

时空伴随者发表于 2022-10-7 16:48
\(设\alpha=\frac\pi7，则sin4\alpha=sin3\alpha，\)
\(由倍角和三倍角公式展开得 4sin\alpha cos\alpha(2 ...

二倍角，三倍角用上去，
很是简捷！

感谢时空老师

作者: dodonaomikiki 时间: 2022-10-8 14:47

ysr 发表于 2022-10-8 07:03
输入1: a=8, b=-4, c=-4, d=1; 输出结果1: x1=-0.62348980185873353061884997175620924, x2=0.222 ...

Y老师很是执着！
谢谢你的执着，非常值得数学爱好者学习~~~~

我运用网路上的计算器，
运算到小数点后面8位，
和你的运算结果一对照，
非常之契合！
很是 \( \boldsymbol{ \boxed{ 喲茜}} \)

可能因为我特别爱玩耍，
奇巧，特别的法子有时候非常吸引人让我感觉！

作者: 王守恩 时间: 2022-10-8 17:08
Solve[{8 Cos[x]^3 - 4 Cos[x]^2 - 4 Cos[x] + 1 == 0, 1 > x > 0}, {x}] // FullSimplify

{{x -> \[Pi]/7}}

说得更好的还有：大胆地假设小心地求证 [复制链接]

说得太好了！谢谢时空伴随者！大胆地假设小心地求证！

作者: ysr 时间: 2022-10-9 09:19

天山草发表于 2022-10-7 11:17
可否直接求出给定三次方程的公式解，并证明其中一个解是 \(cos(\pi/7)\) ?

手工计算结果出来了，形式上是根式解实际不是，由于根号内有虚数，虚数开立方需要用到三角函数，所以无法手工计算出来数值，要把弧度制（实数制）的角度换算成角度制的，用计算器计算也不方便，计算器是可以计算的很麻烦的

作者: dodonaomikiki 时间: 2022-10-9 15:17

\( YSL \) 老师实在太执着，
已经被你的执着精神感动

做人确实应该这样，
首先把一件事做好！

第二件事？那.......到时候再说

一件一件的，把事情做好，实际上，把人生延长啦

作者: ysr 时间: 2022-10-10 07:14
本帖最后由 ysr 于 2022-10-10 00:58 编辑

设x=cos(π／7),由于cosπ=-1,由7倍角公式得到一个7次方程：
64x^7-112x^5+56x^3-7x+1=0.

若用x-cos(π／7)试除，若能分解方程左边的多项式则x=cos(π／7)即为该方程的一个解，实际不好弄。

不知道x=cos（π／7）的值无法弄。

如果用x-0.90096886790241912623610231950745(这是个近似值可能余数不为0，会有个小余数的)或x-cos(π／7),试除8x^3-4x^2-4x+1=0，64x^7-112x^5+56x^3-7x+1=0能分解方程左边的多项式，则x=cos(π／7)是该俩方程的解。

作者: 时空伴随者 时间: 2022-10-10 11:49

ysr 发表于 2022-10-10 07:14
设x=cos(π／7),由于cosπ=-1,由7倍角公式得到一个7次方程：
64x^7-112x^5+56x^3-7x+1=0.

分解因式，7次多项式没有本质的变化。
\(64x^7-112x^5+56x^3-7x+1=(x+1)(8x^3-4x^2-4x+1)^2\)

作者: dodonaomikiki 时间: 2022-10-10 14:36

可以，相当可以！
因为7倍角公示哦，几乎不曾耳闻，更木有实际运用过

很有创意，值得点赞

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