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标题: 素数公式，寻找1亿位素数 [打印本页]

作者: 太阳 时间: 2022-11-13 22:05
标题: 素数公式，寻找1亿位素数
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，h＞0，k＞0，y＞0，k＞d\)
\(k＞f，d\ne f，m是2^p-1的最小质因数，\frac{2^p-1}{m}＝ty，\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{d}{k}\)
\(\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{f}{k}，\frac{ty-1}{m-1}＝h，质数k＞0，p＞0，t＞0，v＞0\)
\(求证:y＝v\)
\(例1:p＝499，m是2^{499}-1最小质因数，m＝20959，t＝1998447222711143545931606352264121\)
\(y＝\frac{2^{499}-1}{41885455340802857579180537537103712039}，\frac{2^{499}-1}{m}＝ty\)
\(d\ne f，\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{2}{7}，\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{3}{7}，\frac{ty-1}{m-1}＝h\)
\(判断(2^{499}-1)\div41885455340802857579180537537103712039是质数\)
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，h＞0，k＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(m是\frac{10^p-1}{9}的最小质因数，\frac{10^p-1}{9m}＝ty，\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{d}{k}\)
\(\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{f}{k}，\frac{ty-1}{m-1}＝h，质数k＞0，p＞0，t＞0，v＞0\)
\(求证:y＝v\)
\(例1:p＝103，m是\frac{10^p-1}{9}的最小质因数，m＝1031，t＝7034077\)
\(y＝\left( 10^{103}-1\right)\div65269200483，\frac{10^p-1}{9m}＝ty，d\ne f，\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{1}{5}，\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{2}{5}，\frac{ty-1}{m-1}＝h\)
\(判断(10^{103}-1)\div65269200483是质数\)
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，v＞0，w＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(\frac{k}{5}\ne w，奇合数k＞0，d和k互质数，f和k互质数，m是2^p-1的最小质因数\)
\(\frac{2^p-1}{m}＝ty，\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{d}{k}，\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{f}{k}，质数p＞0，t＞0\)
\(求证:\frac{ty-1}{m-1}\ne v\)
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，v＞0，w＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(\frac{k}{5}\ne w，奇合数k＞0，d和k互质数，f和k互质数，m是\frac{10^p-1}{9}的最小质因数\)
\(\frac{10^p-1}{9m}＝ty，\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{d}{k}，\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{f}{k}，质数p＞0，t＞0\)
\(求证:\frac{ty-1}{m-1}\ne v\)
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，h＞0，w＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(奇合数k＞0，v＞0，d和k互质数，f和k互质数，m是2^p-1的最小质因数，\frac{2^p-1}{m}＝ty\)
\(\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{d}{k}，\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{f}{k}，\frac{ty-1}{m-1}＝h，质数p＞0，t＞0\)
\(求证:\frac{k}{5}＝w，y＝v\)
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，h＞0，w＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(奇合数k＞0，v＞0，d和k互质数，f和k互质数，m是\frac{10^p-1}{9}的最小质因数，\frac{10^p-1}{9m}＝ty\)
\(\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{d}{k}，\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{f}{k}，\frac{ty-1}{m-1}＝h，质数p＞0，t＞0\)
\(求证:\frac{k}{5}＝w，y＝v\)
\(例1:p＝29，检验和验证，k＝55，y＝207720300095927104067，判断y是合数\)

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-14 06:30
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-14 07:11 编辑

2^499-1<151> = 20959 · 1998447222711143545931606352264121<34> · 3907550462...33<113>

113位素数：39075504626391841678304934944805852280404731716385642050296152320994438836806257083337312828162589099799400566633

对于三因子梅森数，第3因子一定是素数，还有必要再进行减1相除比较吗？
假定我们并不知道第3因子是素数，你凭什么理论可以断定（ty-1）/(m-1)是整数时y就是素数；不是整数时y就不是素数？

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-14 08:58
查看太阳先生以往的各贴，类似于1楼的第一命题，梅森数2^p-1的最小素因子是m，(2^p-1)/m=ty；(t-1)/(m-1)不是整数，(y-1)/(m-1)也不是整数，但(ty-1)/(m-1)是整数，比比皆是。
所求结论却完全相反：一些帖子是——求证：y是素数；另一些帖子是——求证：y必定是合数。
请问太阳先生：满足上述条件的y，到底是素数，还是合数？

须知，
满足第1个整除条件“(t-1)/(m-1)不是整数”的梅森数占比较大，不满足第1个整除条件的梅森数也不少；
满足第2个整除条件“(y-1)/(m-1)不是整数”的梅森数占比更是大许多；
同时满足两个不整除和一个整除条件的梅森数寥寥无几。

对于寥寥无几的哪些梅森数，又可能是3素因子梅森数，或多因子梅森数；对于3素因子梅森数来说，y是素数不言而喻；对于素因子个数多于3个的梅森数，y“必定是合数”。

请太阳先生，好好琢磨琢磨，好生地品品味，你忽而要别人求证：y必定是素数，忽而又要别人求证：y必定是合数，到底你想干什么？
忽悠人，也不能老用这个法子呀！
把别人忽悠死了——摊不摊判刑？
大概中国的刑法上还没有这一条。

作者: 太阳 时间: 2022-11-14 11:47
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，h＞0，k＞0，y＞0，k＞d\)
\(k＞f，d\ne f，m是2^p-1的最小质因数，\frac{2^p-1}{m}＝ty，\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{d}{k}\)
\(\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{f}{k}，\frac{ty-1}{m-1}＝h，质数k＞0，p＞0，t＞0，v＞0\)
\(求证:y＝v\)
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，h＞0，w＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(奇合数k＞0，v＞0，d和k互质数，f和k互质数，m是\frac{10^p-1}{9}的最小质因数，\frac{10^p-1}{9m}＝ty\)
\(\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{d}{k}，\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{f}{k}，\frac{ty-1}{m-1}＝h，质数p＞0，t＞0\)
\(求证:\frac{k}{5}＝w，y＝v\)
\(例1:p＝29，检验和验证，k＝55，y＝207720300095927104067，判断y是合数\)
\(注意k取值，k取素数，判断y是素数，k取奇合数，判断y是合数\)

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-14 19:20
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-15 20:28 编辑

太阳发表于 2022-11-14 11:47
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，h＞0，k＞0，y＞0，k＞d\)
\(k＞f，d\ne f，m是2^p-1的最小质因数，\ ...

梅森数、梅森数的素因子、复合因子都是2kp+1型整数。
假定所研究的梅森数2^p=1=mty，其中m是梅森数的最小素因子，t和y的素合性不知；
令m=2k1*p+1，t=2k2*p+1，y=2k3*p+1，则(t-1)/(m-1)=k2/k1，(y-1)/(m-1)=k3/k1；
ty=(2k2*p+1)*(2k3*p+1)=4k2*k3*p^2+2*(k2+k3)*p+1=2k4+1；(ty-1)/(m-1)=k4/k1。
其中k4=2k2*k3*p+k2*p+k3*p

对于梅森素数和二素因子梅森数，不在本研究课题之内；
对于三素因子梅森数，不论k2/k1、k3/k1、k4/k1是不是整数，y必定是素数——无研究必要；
对于四素因子或多于四个素因子的梅森数，t和y之中至少有一个合数。

假定四素因子梅森数的t是素数，则y必定是合数；反之t是合数，则y必定是素数。
按照太阳先生的再次声明，当k1是素数时y是素数；k1是合数时y是合数；
请问太阳先生你的理论根据是什么？

2^499-1是一个3素因子梅森数，t和y都是素数，还需要证明吗？
广义梅森数(10^29-1)/9=
11111111111111111111111111111<29>=3191*16763*43037*62003*77843839397<11>
m=3191，y=207720300095927104067
11111111111111111111111111111<29>/3191=3482015390508026045475121
3482015390508026045475121/207720300095927104067=16763
看来太阳先生内定t=16763（第2个素因子），才有了y=2077…
既如此，还用再求证y是合数吗？
尚若设t=16763*43037*62003，那么y=7784…，还是合数吗？
能不能整除，不整除之分母是素数还是合数，纯粹是无效条件！

作者: 太阳 时间: 2022-11-14 21:36

\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，v＞0，w＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(\frac{k}{5}\ne w，奇合数k＞0，d和k互质数，f和k互质数，m是2^p-1的最小质因数\)
\(\frac{2^p-1}{m}＝ty，\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{d}{k}，\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{f}{k}，质数p＞0，t＞0\)
\(求证:\frac{ty-1}{m-1}\ne v\)
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，v＞0，w＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(\frac{k}{5}\ne w，奇合数k＞0，d和k互质数，f和k互质数，m是\frac{10^p-1}{9}的最小质因数\)
\(\frac{10^p-1}{9m}＝ty，\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{d}{k}，\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{f}{k}，质数p＞0，t＞0\)
\(求证:\frac{ty-1}{m-1}\ne v\)
yangchuanju:网友，找不到反例，无法否定这两个命题，同样找不到反例，无法否定1楼(命题1和命题2)

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-15 11:02

太阳发表于 2022-11-14 21:36
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，v＞0，w＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(\frac{k}{5}\ne w，奇 ...

太阳上不会有1亿位素数

太阳先生一心要找一个寻找1亿位以上大素数的公式，愿望是好的，但思路大大错了！
梅森数、清一色数（广义梅森数）中肯定存在着大量的1亿位以上的素数，
以稍大于1亿的素数为指数的梅森数约为3.01千万位，以大于3.322亿的素数为指数的梅森数将大于1亿位。
如果先生能够找到一个指数大于3.322亿的梅森素数，则先生的名气就飞上天了——全世界第一个发现1亿位大素数的数学家！

然而，太阳先生现今寻找亿位大素数的方法是：
令梅森数2^p-1或清一色数(10^p-1)/9的最小素因子为m，
令(2^p-1)/m或[(10^p-1)/9]/m的最小素因子为t，换言之——t就是所设梅森数或清一色数的第2个素因子；
再令2^p-1或（10^p-1)/9等于mty，亦即y是梅森数或清一色数去掉第1、第2个素因子之后的余因子。

假定梅森数或清一色数本身就是素数，或2素因子数，不在太阳研究范围——此乃太阳的一大错误也！
特大素数就从太阳眼皮底下溜走了。

太阳先生的研究范围只能是3素因子或3素因子以上的梅森数和清一色数。
对于含3素因子或3个以上素因子的梅森数或清一色数，当第1、第2因子已经找到并确定了它们都是素数，
但它的余因子y是素数，还是合数，尚未知道。

太阳先生猜想：
当(t-1)/(m-1)和(y-1)/(m-1)不是整数（不整除），而(ty-1)/(m-1)是整数（整除）；
带分数(t-1)/(m-1)和(y-1)/(m-1)的分母是素数时，余因子y是素数；分母是合数时，余因子y就是合数。

对于亿位以上的梅森数或清一色数，第1、第2因子可能不太大，也可能不太小，位数可能是2--8位数（1位的素因子3,5,7不会再是它们的因子）；
第3个余因子的必定是3--8位数：因为
对于8位数的2素因子合数，最小素因子不大于4位数，最大素因子不小于4位数；
1亿的立方根等于464,对于8位数的3素因子合数，第1、第2素因子可能是2-4位数，最大素因子不小于2-4位数；
1亿的4次方根等于100,对于8位数的4素因子合数，第1、第2素因子也可能是2-4位数，最大素因子也不小于2-4位数。

接下来是做除法，对每一个梅森数或清一色数都要做3次大除法；
随后再从3个商数中找出第1、第2个商不是整数，但第3个商是整数的梅森数或清一色数；
第3大步是从前2个不是整数的商数中分析既约分数的分母是不是素数；
分母是素数，余因子y就是素数；否则分母是合数，余因子y就是合数！

请注意：
1、高位数字相除怎么做？这里的8位数不是亿内的数字，而是位数1千万--1亿的大数。
2、3次相除2个商不是整数，第3个商是整数的梅森数或清一色数到底有几个？有，肯定有，但为数不多。
3、第3步的判定没有任何理论依据。
4、太阳先生及他的子子孙孙辛辛苦苦忙活了数日、数年、数代，到手的大素数不理睬，
而仅找那些3个商不是整数、不是整数和商是整数的个别梅森数或清一色数；
即便找到了，又能说明什么？——因为他的判定方法缺少理论依据，

到头来：竹篮打水——一场空！
癞蛤蟆想吃天鹅肉——心高妄想！

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-15 15:14

太阳发表于 2022-11-14 21:36
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，v＞0，w＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(\frac{k}{5}\ne w，奇 ...

按照太阳先生推理，当(t-1)/(m-1)和(y-1)/(m-i)都不是整数，而(ty-1)/(m-1)是整数；此时若前两个分数的既约分母是素数时，y即是素数，否则既约分母是合数时，y便是合数。

请问太阳先生：
1、当第1、第2个除式的商都是整数，而第3个除式的商不是整除时，y是素数还是合数？
2、当3个除式的商都不是整数时，y是素数还是合数？
3、当3个除式的商都是整数时，y是素数还是合数？
4、当第1、第3个除式的商或第2、第3个除式的商是整数，另一个不是整数时，y是素数还是合数？
5、当第1、第3个除式的商或第2、第3个除式的商不是整数，另一个是整数时，y是素数还是合数？

5个问题太阳先生不一定都回答，但回答其中的一两个还是有把握的。

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-15 15:18

yangchuanju 发表于 2022-11-14 19:20
梅森数、梅森数的素因子、复合因子都是2kp+1型整数。
假定所研究的梅森数2^p=1=mty，其中m是梅森数的最 ...

太阳点评：
注意t是素数，t是(10^p-1)/9/m的最小素因子发表于 2022-11-14 21:10

对于5因子清一色数，y是第3-5个素因子的积，它是合数，还用这样求证、那样求证吗？

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-15 15:24
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-15 15:28 编辑

送给太阳先生两个炮弹——
梅森数2^73-1（3素因子梅森数），第1、第2除式的商不是整数，第3除式的商是整数；前两分数部分的既约分母都是素数3，第3因子是素数。

梅森数2^113-1（5素因子梅森数），第1、第2除式的商不是整数，第3除式的商是整数；前两分数部分的既约分母都是合数15，第3因子（等于第3-5素因子的乘积）是合数。

请不要用该炮弹反打我吆！

作者: 太阳 时间: 2022-11-15 17:52
本帖最后由太阳于 2022-11-15 18:15 编辑

\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，v＞0，w＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(\frac{k}{5}\ne w，奇合数k＞0，d和k互质数，f和k互质数，m是2^p-1的最小质因数\)
\(\frac{2^p-1}{m}＝ty，\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{d}{k}，\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{f}{k}，质数p＞0，t＞0\)
\(求证:\frac{ty-1}{m-1}\ne v\)
\(2^{113}-1，不符合题意，\frac{k}{5}\ne w，d\ne f\)

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-15 18:28

太阳发表于 2022-11-15 17:52
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，v＞0，w＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(\frac{k}{5}\ne w，奇合 ...

你的题意到底是什么？请交代清楚！

请详细列出在第1、第2除式不能整除而第3除式整除时，当分母k是素数时y是素数，当分母k是合数时y是合数的推导过程！
你自己能“求证”的出吗？

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-15 18:30
请问：“求证”是什么意思？
给出一个499，就算是“求证”了？

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-15 19:07
2^499-1是一个3素因子梅森数，为什么还要求证第3因子是素数？

如果要检验它的第3因子到底是不是素数，可用其它素性检验方法，绝不是先生的“不整除+不整除+整除”能够证明的。

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-15 20:31
梅森数、梅森数的素因子、复合因子都是2kp+1型整数。
假定所研究的梅森数2^p=1=mty，其中m是梅森数的最小素因子，t是第2素因子，y的素合性不知；
令m=2k1*p+1，t=2k2*p+1，y=2k3*p+1，则(t-1)/(m-1)=k2/k1，(y-1)/(m-1)=k3/k1；
ty=(2k2*p+1)*(2k3*p+1)=4k2*k3*p^2+2*(k2+k3)*p+1=2k4+1；(ty-1)/(m-1)=k4/k1。
其中k4=2k2*k3*p+k2*p+k3*p

当k2/k1,  k3/k1都是整数时，不妨令k2/k1=n2,  k3/k1=n3,  则k2=k1*n2,  k3=k1*n3;
k4=2k1*n2*k1*n3*p+k1*n2*p+k1*n3*p,  k4/k1=2k1*n2*n3*p+n2*p+n3*p;
即当k2/k1,  k3/k1都是整数时，(ty-1)/(m-1)=k4/k1也是整数。

当k2/k1,  k3/k1都不是整数时，不妨令k2/k1=n2+a/k1,  k3/k1=n3+b/k1,  则k2=k1*n2+a,  k3=k1*n3+b;
k4=2*(k1*n2+a)*(k1*n3+b)*p+(k1*n2+a)*p+(k1*n3+b)*p=[2*k1*n2*k1*n3 +2*k1*n2*b +2*k1*n3*a +2*a*b +k1*n2 +k1*n3 +a+b]*p;
k4/k1=[2*k1*n2*n3 +2*n2*b +2*n3*a +n2+n3]*p +[2*a*b*p+a+b]*p/k1;
只有当上式后部分式是整数时，k4/k1才是整数（整除），否则k4/k1不是整数。
式中a、b都小于k1，或许还有一个0，并且与k1互素；p给定后，a,b跟随者被确定，k4/k1也就确定了。
当a=0或b=0时，后部分式等于b/k或a/k1，k4/k1不会是整数。

对于3素因子梅森数，第3因子一定是素数；对于4素因子或更多素因子的梅森数，第3素因子及后部素因子的乘积肯定是合数！
3个分式是否整除，与梅森数的后部因子的素合性有什么关系？
太阳坚持说，在“不整除+不整除+整除”时，如果k1是素数余因子y就是素数；如果k1是合数余因子y就是合数，有什么理论根据？
太阳后来又硬性地加上k1不能是5的倍数，又有何道理？

作者: 太阳 时间: 2022-11-15 21:43
1楼主帖，有谁能找到反例？

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-16 03:37

太阳发表于 2022-11-15 21:43
1楼主帖，有谁能找到反例？

反例还是被找到了，某梅森数的(t-1)/(m-1)和(y-1)/(m-1)分别等于2.666和89…70.666，不整除，既约分母等于素数3；
但(ty-1)/(m-1)是整数5686…684；该梅森数已被完全分解，共有9个素因子，复合因子y是后部7个素因子的乘积——不是素数！

太阳先生的“素数公式”溜网了！
太阳先生赶快跳河——捞捞素数公式去吧！

作者: 太阳 时间: 2022-11-16 05:47

yangchuanju 发表于 2022-11-16 03:37
反例还是被找到了，某梅森数的(t-1)/(m-1)和(y-1)/(m-1)分别等于2.666和89…70.666，不整除，既约分母等 ...

找到反例，请你写出来，吹牛吧！找到反例是假的吧！

作者: 太阳 时间: 2022-11-16 07:03
本帖最后由太阳于 2022-11-16 07:35 编辑

2^397-1＝2383×6353×50023×53993×202471×5877983×814132872808522587940886856743×1234904213576000272542841146073×6597485910270326519900042655193

作者: 太阳 时间: 2022-11-16 07:04
yangchuanju:网友，没有找到反例

作者: 太阳 时间: 2022-11-16 07:46
1楼主帖，有谁能找到反例？

作者: 太阳 时间: 2022-11-16 10:11
2^397-1＝2383×6353×50023×53993×202471×5877983×814132872808522587940886856743×1234904213576000272542841146073×6597485910270326519900042655193
这个不是反例，不符合题题意，注意d≠f

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-16 15:52

太阳发表于 2022-11-16 10:11
2^397-1＝2383×6353×50023×53993×202471×5877983×814132872808522587940886856743×1234904213576000 ...

太阳的梅森素数公式实用性何在？
太阳先生为寻找梅森数的素因子，设定了一系列条件，
意图寻找大素数，进一步寻找亿位大素数。

太阳先生搜寻范围限定在3素因子及3素因子以上的梅森数和清一色数（广义梅森数）；
对于3素因子梅森数的第3因子，用太阳的惯用词语表述就是它“必定是素数”；
对于4素因子或4素因子以上的梅森数，因为按照太阳的条件，去掉最小素因子m和第二素因子t后余因子y“必定是合数”。
即如此，太阳为何还要花费那么大精力去搜寻哪？

太阳先生按照他的设定条件，在为数众多的梅森数中仅搜寻到一个113位的素因子（3素因子积的梅森数2^499-1的第3素因子），
其余的素因子均被太阳先生以“不合题意”被开除掉了！

试问太阳先生，你的那个大数，还用你再鉴定吗？它早被数学界定为素数了！
再问太阳先生，梅森数中还有哪几个素数符合“太阳素数”条件？

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-16 15:55
太阳先生最近连发多贴，宣称找到亿位大素数并不太难。
存在性：存在有亿位大素数，这是不言而喻的。
论据是素数无穷多，无穷大。
最小1位正整数是1，等于10^0；
最小2位正整数是10，等于10^1；……
最小亿位正整数是10^100000000。

最小1位素数是2，是最小1位正整数后的下1个正整数（即1+1）；
最小2位素数是11，是最小2位正整数后的下1个正整数（即10+1）；
最小3位素数是101，是最小3位数正整后的下1个正整数（即100+1）；
最小4位素数是1009，是最小4位正整数后的第9个正整数（即1000+9）；……
最小大于亿的素数（9位素数）是100000007，是最小9位数后的第7个正整数；
最小亿位素数肯定存在，应位于最小亿位正整数10^100000000之后。

梅森数中肯定存在有亿位大素数。
2^10-1=1023，4位数（10*lg2+1=4）；式中lg2=0.301029995663981
2^100-1=1.26765060022823E+30，31位数（100*lg2+1=31）；……
2^100000000-1是30102999+1=30103000位数。
梅森数2^100000007-1的位数也是30103000位数。
除以lg2，可得1亿位梅森数的指数应是大于332192810的素数。

经查找大于332192810的最小素数是332192831，
如果梅森数2^332192831-1是素数，它的位数就是1亿位；
如果梅森数2^332192831-1不是素数，它的最大素因子的位数就要小于1亿位了。

相应的如果清一色数(10^100000007-1)/9是素数，则它的位数也是1亿位。

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-16 15:58
寻找梅森数2^p-1因子的方法：
（1）首先计算p模4的余数是1还是3；
（2）若p模4余3，再查看2p+1是素数否，若2p+1是素数，则2p+1可整除该梅森数；
（3）若2p+1不是素数，再查看8p+1、10p+1是素数否，若是则用它们试除之；
（4）若p模4余1，再查看6p+1、8p+1是素数否，若是则用它们试除之；
（5）继续寻找2mp+1型数字中的素数并试除之；
（6）在找到了梅森数的一个素因子后，即将该因子除去；
（7）对消除了梅森数的一个素因子后的数，可再用下一个2mp+1型素数试除之；
（8）一直试除到2mp+1小于消除了梅森数2^p-1的若干个素因子后的数<（2^p-1)/[(2*m1*p+1)*(2*m2*p+1)*…*(2*mi*p+1)]>的平方根为止；
（9）剩余的数便是梅森数的一个重大的素因子。
（10）试除过程中，由于4p+1、12p+1、20p+1、……、（4+8k）p+1型素数不会是2^p-1的因子，在试除时可略去；这里2m=4+8k。
（11）对于模4余1的素数p，由于2p+1、10p+1、……、（2+8k）p+1型素数不会是2^p-1的因子，在试除时亦可略去；这里2m=2+8k。
（12）对于模4余3的素数p，由于6p+1、14p+1、……、（6+8k）p+1型素数不会是2^p-1的因子，在试除时同样可略去；这里2m=6+8k。
合到一起，对于模4余1的素数p，在试除时可略去（2+8k）p+1和（4+8k）p+1型素数；对于模4余3型素数p，在试除时可略去（4+8k）p+1、（6+8k）p+1型素数。

作者: 太阳 时间: 2022-11-16 16:30
\(已知:质数a＞0，c是2^a-1的最小质因数，m是\frac{2^a-1}{c}的最小质因数，t是2^a-1的最大质因数，m＝4c-3\)
\(求证:t＞\sqrt{2^a-1}\)
\(例1:a＝179，239，431，2593，2657，检验和验证179，239，431，t＞\sqrt{2^a-1}\)
\(试除法:寻找1亿位素数\)

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-16 19:36
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-16 19:38 编辑

太阳发表于 2022-11-16 16:30
\(已知:质数a＞0，c是2^a-1的最小质因数，m是\frac{2^a-1}{c}的最小质因数，t是2^a-1的最大质因数，m＝4c-3 ...

亿位素数的试除
最小的亿位数字是10^100000000=10^(10^8)，10^8是最小的9位数；
最小的亿位数字的平方根是10^50000000=10^(5*10^7)，1亿的平方根是10000；
1亿以内约有100000000/ln(100000000)=543万个素数；1亿平方根（1万）以内有1229个素数；
10^50000000以内约有10^50000000/ln(10^50000000)=10^50000000/50000000/ln(10)=10^49999992/4.6
约等于2.17*10^49999991个素数。

若用试除法判定一个亿位整数是素数，用域内全部素数试除一遍，需2*10^49999991次；
由于数字较大，假定用现代比较先进的计算机试除，每秒钟试除一百万次，
一天24*3600=86400秒，
每年365*86400=31536000秒约等于3.15*10^7秒，
每年可试除3.15*10^7*10^6=3.15*10^13次，
试完一个亿位数字需7*10^49999977年。

请太阳先生趁您健在，抓紧时间立个遗嘱，让您的子子孙孙接着试除下去，找到了亿位大素数之最终荣誉就属于太阳家族的啦！

作者: 费尔马1 时间: 2022-11-16 19:45
！！！！！？？？？？？

作者: 太阳 时间: 2022-11-16 20:17
已知:整数\(a\)＞0，\(c\)＞0，\(d\)＞0，\(f\)＞0，\(h\)＞0，\(k\)＞0
\(y\)＞0，\(k\)＞\(d\)，\(k\)＞\(f\)，\(d\)≠\(f\)，\(m\)是\(2^p-1\)的最小质因数
\({2^p-1\over m}\)＝\(ty\)，\({t-1\over m-1}\)＝\(a\)\(\dfrac dk\)，\({y-1\over m-1}\)＝\(c\)\(\dfrac fk\)，\({ty-1\over m-1}\)＝\(h\)
质数\(k\)＞0，\(p\)＞0，\(t\)＞0，\(v\)＞0
求证:\(y\)＝v
例1:\(p\)＝499，\(m\)是\(2^p-1\)的最小质因数，\(m\)＝20959
\(t\)＝1998447222711143545931606352264121
\(y\)＝\({2^{499}-1\over 41885455340802857579180537537103712039}\)
\({2^p-1\over m}\)＝\(ty\)，\(d\)≠\(f\)，\({t-1\over m-1}\)＝\(a\)\(\dfrac 27\)，\({y-1\over m-1}\)＝\(c\)\(\dfrac 37\)，\({ty-1\over m-1}\)＝\(h\)
判断:\({2^{499}-1\over 41885455340802857579180537537103712039}\)是质数
已知:整数\(a\)＞0，\(c\)＞0，\(d\)＞0，\(f\)＞0，\(h\)＞0，\(k\)＞0
\(y\)＞0，\(k\)＞\(d\)，\(k\)＞\(f\)，\(d\)≠\(f\)，\(m\)是\({10^p-1\over 9}\)的最小质因数
\({10^p-1\over 9m}\)＝\(ty\)，\({t-1\over m-1}\)＝\(a\)\(\dfrac dk\)，\({y-1\over m-1}\)＝\(c\)\(\dfrac fk\)，\({ty-1\over m-1}\)＝\(h\)
质数\(k\)＞0，\(p\)＞0，\(t\)＞0，\(v\)＞0
求证:\(y\)＝v
例1:\(p\)＝103，\(m\)是\({10^p-1\over 9}\)的最小质因数，\(m\)＝1031
\(t\)＝7034077，\(y\)＝\({10^{103}-1\over 65269200483}\)，\({10^p-1\over 9m}\)＝\(ty\)
\(d\)≠\(f\)，\({t-1\over m-1}\)＝\(a\)\(\dfrac 15\)，\({y-1\over m-1}\)＝\(c\)\(\dfrac 25\)，\({ty-1\over m-1}\)＝\(h\)
判断:\({10^{103}-1\over 65269200483}\)是质数

作者: 太阳 时间: 2022-11-16 20:21
yangchuanju先生，26楼，29楼，命题能找到反例吗？如果26楼命题成立，试除法，容易找1亿位素数

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-17 01:28

太阳发表于 2022-11-16 20:21
yangchuanju先生，26楼，29楼，命题能找到反例吗？如果26楼命题成立，试除法，容易找1亿位素数

太阳素数究竟有多少？
按照太阳先生设定的梅森数的因子条件，（没有指明t是第2素因子，）
一般来说，3个分式是3不整除，偶有2不整除+1整除，另有不少3整除的；还有没有其它类型的不详。
太阳先生仅要2不整除+1整除的，其余各类均不考虑。
在太阳先生所要的寥寥无几的2不整除+1整除的梅森数中，还要排除既约分子不能是5的倍数的，两个既约分子不能相等的，
p=113的不合题意，分母为15；p=397的不合题意，分子相等；
这也不行，那也不中，符合太阳条件的素数还有几个？
太阳先生仅给出一个p=499的梅森数的113位素因子，须知p=499的梅森数只含3个素因子，第3因子能不是素数吗？
太阳先生一再声称，不存在“反例”，请问你的“正例”还有几个？

太阳先生给不出推导过程，他也无能力进行推导，只是瞎猜！
须知，在无穷多个梅森数中，符合太阳条件的素数肯定不只一个499，应该无穷多；
不符合太阳条件的素数也必然存在，并且也是无穷多的。
我暂时找不到“反例”（找到的太阳不予承认），那就请太阳找出几个“正例”吧！

我曾给他提供了两个“炮弹”他不认可，说是p=113的分母是15；p=73的下场又怎么样？
也不满足太阳素数条件吆？——分子相等。
那就只好请太阳先生自己亲自寻找满足他的素数条件的“正例”了！

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-18 21:17
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-18 22:20 编辑

太阳的第3梅森因子素合性判断公式剖析
太阳先生不断地发贴，称他获得一个素数公式，说白了就是：
对于因子个数大于等于3的梅森数来说，如果第2因子（不一定是第2素因子）减1除以最小素因子减1的商不是整数；第3因子减1除以最小素因子减1的商也不是整数；
但第2、第3因子的积减1除以最小素因子减1的商是整数，则：
当两个不是整数的既约分母是素数时，第3因子就是素数；既约分母是合数时，第3因子就是合数；
附加条件是分母中不得含素因子5，两个真分数的分子不能相等。

先看梅森素数，它只含一个素因子；现令它的最小素因子是1，第2因子也是1，梅森素数本身是第3因子；
各个除式的除数都是1-1=0，无意义，不予讨论。

再看二素因子梅森数，令小素因子为第1因子，大素因子为第2因子，第3因子为1；
第2因子减1除以第1因子减1可能是整数，也可能不是整数；第3因子减1除以第1因子减1等于0；
第2、第3因子的积等于第2因子，积减1除以第1因子减1，等于第2因子减1除以第1因子减1；
依然是可能是整数，也可能不是整数。也不予讨论。

对于3素因子梅森数，第2素因子减1除以第1素因子减1的商，可能是整数，也可能不是整数，比例大致相等；
同样第3素因子减1除以第1素因子减1的商，可能是整数，也可能不是整数，是整数的比例要少许多；
第2、第3素因子的积减1除以第1素因子减1，绝大多数不能整除，能整除的微乎及微；
不管满足太阳条件的梅森数有几个，前两个分数的分母是素还是合，第3因子都是素数，太阳公式怎么成立？

对于4素因子梅森数，第2素因子减1除以第1素因子减1的商，可能是整数，也可能不是整数，比例大致相等；
令第3因子是第3、第4素因子的积，第3因子减1除以第1素因子减1的商绝大多数不是整数；
第2、第3因子积（也就是第2,3,4素因子的积）减1除以第1素因子减1的商是整数的更少；
不管满足太阳条件的梅森数有几个，前两个分数的分母是素还是合，第3因子都是合数，太阳公式又怎么成立？

对于5素因子梅森数，第2因子有3种取定方法：等于第2素因子，等于第2-3素因子的积，等于第2-4素因子的积；
相应的第3因子也有3种取定方法：等于第3-5素因子积，等于第4-5素因子积，等于第5素因子；
不管满足太阳条件的梅森数有多少，前两个分数的分母是素还是合，第1-2种取定法的第3因子都是合数，
第3种取定法的第3因子都是素数，太阳公式又怎么成立？
如果限定第2因子就是第2素因子，则第3因子（第3-5素因子积）都是合数了。

对于更多素因子的梅森数来说，与5素因子梅森数完全相同。
总之，太阳素数公式没道理！

作者: 太阳 时间: 2022-11-19 23:11
本帖最后由太阳于 2022-11-19 23:21 编辑

\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，h＞0，w＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(奇合数k＞0，v＞0，d和k互质数，f和k互质数，m是2^p-1的最小质因数，\frac{2^p-1}{m}＝ty\)
\(\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{d}{k}，\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{f}{k}，\frac{ty-1}{m-1}＝h，质数p＞0，t＞0\)
\(求证:\frac{k}{5}＝w，y＝v\)
\(例1:p＝317，检验和验证，k＝15\)
\(y＝47783735877628479268387358731593427074361197756454306800348746288005866959\)
\(判断y是合数\)

作者: 太阳 时间: 2022-11-19 23:28
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，h＞0，w＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(奇合数k＞0，v＞0，d和k互质数，f和k互质数，m是2^p-1的最小质因数，\frac{2^p-1}{m}＝ty\)
\(\frac{t-1}{m-1}＝a\frac{d}{k}，\frac{y-1}{m-1}＝c\frac{f}{k}，\frac{ty-1}{m-1}＝h，质数p＞0，t＞0\)
\(求证:\frac{k}{5}＝w，y＝v\)
\(例1:p＝317，检验和验证，k＝15\)
\(y＝47783735877628479268387358731593427074361197756454306800348746288005866959\)
\(判断y是合数\)

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-20 03:13
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-20 03:25 编辑

太阳发表于 2022-11-19 23:28
\(已知:整数a＞0，c＞0，d＞0，f＞0，h＞0，w＞0，y＞0，k＞d，k＞f，d\ne f\)
\(奇合数k＞0，v＞0，d和k ...

不要自己打自己的嘴巴吆！
2^317-1<96>=
9511*587492521482839879<18>*4868122671322098041565641<25>*9815639231755686605031317440031161584572466128599<49>
令m=9511, t=587492521482839879,
y=486...641*981...599
=47783735877628479268387358731593427074361197756454306800348746288005866959
ty=587…879*477…959
=28072587476617996036103218722657345634038278340298769450465797600439224658035965592773657961
(t-1)/(m-1)=61776290376744.4666…
(y-1)/(m-1)=
5024577905113404760082792716255880870069526577965752555241718852576852.4666…
(ty-1)/(m-1)=
2951901942862039541125469897230004798531890466908387954833417202990454748479071040249596（整数）
0.46666…=7/15
k=15,d=7,f=7,
d=f“不符合题意”吆！

y是两个素数的乘积，“必定是合数”——还有你再检验吗？
如果允许d=f，这样的梅森数还有好多呢？
我送给你的第二发“炮弹”——113不是被你销毁了吗？
317与113不是一个娘生的“俩傻瓜”吗？

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-25 16:48
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-25 19:03 编辑

太阳发表于 2022-11-16 16:30
\(已知:质数a＞0，c是2^a-1的最小质因数，m是\frac{2^a-1}{c}的最小质因数，t是2^a-1的最大质因数，m＝4c-3 ...

估一估，2^100000007-1会有什么样的素因子？
100000007是一个最小的9位素数，梅森数2^100000007-1可能是梅森素数，但几率极低；
故这个梅森数很可能是合数。

如果这个梅森数是合数，则它的素因子一定是2*100000007*k+1中的某几个素数，
其中k为1,3,4,5,7,8,9，……；k中没有2,6,10，……4n+2型的正整数。
一般我们把2与k合并到一起，若仍有k表示，则：
梅森数2^100000007-1的素因子一定是100000007k+1中的某几个素数，
其中k为2,6,8,10,14,16,18，……；k中没有4,12,20，……8n+4型的正整数。

用试除法寻找梅森数的素因子，
试除所用到的最大试除数不超过梅森数的平方根，2^5000003.5约等于10的15051500次方，
相应的k不超过10的15051492次方，但后部的大k可能是无用的。
实际上试除中如果找到了一个素因子之后，继续试除时只需要试除到“梅森数除以第1素因子之商”的平方根即可。
同时试除工作不用从头开始，而是从上一个有用的k之后接着进行的；
同时梅森数的第2素因子不会小于第1素因子的2倍，故下一个试除用k加倍即可。
在找到第1个素因子后，反查一下该素因子对应的k，再看一看该k的2倍是不是2,6,8,10,14,16……中的数字；
若不是，则下一个试除用k再加倍即可（4倍数）。

先算出一些较小的100000007k+1的正整数，例如先算1万的，注意只要其中的2,6,8,10,14,16，……即可；
再找出其中的素数，接着从最小素数逐个试除即可。
如果选定的素数已用完，但没有找到给定梅森数的最大素因子，则需加大试除用k，直至找到梅森数的第1个最小的素因子为止；
此时试除工作只完成了第一步。

例：100000007k+1型素数表
k 100000007k+1 分解式
18 1800000127 1800000127 is prime
50 5000000351 5000000351 is prime
86 8600000603 8600000603 is prime
146 14600001023 14600001023 is prime
168 16800001177 16800001177 is prime

3000多万位的梅森数除以第一个试除用素数1800000127，我是不会算，太阳先生会算吗？

再告诉你两个绝招：
一、所有的梅森因子都是模8余1或7的，如果上述素数之中有模8余3和余5的统统去掉，不必试除；
上面的5个素数中第3个素数模8余3，不必用它试除了。
二、所有梅森因子都只能是某一个特定梅森数的因子，如果你收集或下载了全部已知的梅森因子，那怕是部分梅森因子也行，
将你所筛选的待试除用的素数与梅森因子表中的素因子比对一下，如果梅森因子表中有那个素数，也不必再试除。

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-27 15:47
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-27 15:55 编辑

试除法求1亿位大素数。

梅森数2^23-1的素因子是模8余7和余1的素数，因子至少是指数的2倍加1，
47是一个模8余7的素数，等于23*2+1，试除知它是梅森数的一个素因子。

以下选定继续试除上限：2^23-1=8388607，除以47等于178481，平方根等于422，除以23等于18；
下一步看23乘6,8,10；14,16,18加1是不是它的素因子？
首先看它们是不是素数，不是素数的肯定不是；
再看各个素数模8的余数，不是7和1的也不是。
倍数加1中只有一个素数139，它又是模8余3的不用再试；
当然找到要试除的素数后，还可以查看一下它是不是其它梅森数的素因子，若是亦可免试除，
不过比对并不容易，还不如直接试除爽快一些。

至此已经知道，2^23-1除以47之商的平方根内没有其它素因子；
该梅森数的另一个素因子便是8388607/47=178481。
(178481-1)/23=7760，7760模8余0；178481模8余1，故2^23-1=47*178481。
一个6位小素数被找到！

倍数k 23k+1 模8余数素性
2 47 7 素数
6 139 3 素数
8 185 1 合数
10 231 7 合数
14 323 3 合数
16 369 1 合数
18 415 7 合数
7760 178481 1 素数

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-27 16:01
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-27 16:08 编辑

给太阳先生提供20个最大的梅森数余因子。

r序号素数位数
1 (2^106391-1)/286105171290931103 32010
2 (2^87691-1)/806957040167570408395443233 26371
3 (2^86371-1)/41681512921035887 25984
4 (2^86137-1)/2584111/7747937967916174363624460881 25896
5 (2^84211-1)/1347377/31358793176711980763958121/3314641676042347824169591561 25291
6 (2^82939-1)/883323903012540278033571819073 24938
7 (2^78737-1)/1590296767505866614563328548192658003295567890593 23654
8 (2^63703-1)/42808417 19169
9 (2^58199-1)/237604901713907577052391 17497
10 (2^57131-1)/61481396117165983261035042726614288722959856631 17152
11 (2^53381-1)/15588960193/38922536168186976769/155991271597169062945033668006103 16008
12 (2^51487-1)/57410994232247/17292148963401772464767849635553 15455
13 (2^41681-1)/1052945423/16647332713153/2853686272534246492102086015457 12495
14 (2^41521-1)/41602235382028197528613357724450752065089 12459
15 (2^41263-1)/(1402943*983437775590306674647) 12395
16 (2^35339-1)
/490988430384989040283954404/86235033667674267835480981233904512709297747031041 10562
17 (2^32531-1)/(65063825225122959) 9778
18 (2^32611-1)
/15148007312464299210917787487318/99943932296901864652928732838910515860494755367311 9736
19 (2^29473-1)/(5613392570256862943*24876264677503329001) 8835
20 (2^28771-1)/104726441 8653
（数据摘自网络）

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-27 16:07
再来一组最大的10个素数。

序号素数位数
1 2618163402417·2^1290000-1 388342
2 18543637900515·2^666667-1 200701
3 183027·2^265440-1 79911
4 648621027630345·2^253824-1 76424
5 620366307356565·2^253824-1 76424
6 1068669447·2^211088-1 63553
7 99064503957·2^200008-1 60220
8 12443794755·2^184516-1 55555
9 21749869755·2^184515-1 55555
10 14901867165·2^184515-1 55555
（数据来自网络）

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-27 17:05
2^67-1=193707721*761838257287 你可以用baidu计算器验算一下. 1903年,在纽约的一次数学报告会上,数学家科乐上了讲台,他没有说一句话,只是用粉笔在黑板上写了两数的演算结果,一个是2的67次方－1,另一个是193707721×761838257287,两个算式的结果完全相同,这时,全场爆发出经久不息的掌声.这是为什么呢? 因为科乐解决了两百年来一直没弄清的问题,即2是67次方－1是不是质数?现在既然它等于两个数的乘积,可以分解成两个因数,因此证明了2是67次方－1不是质数,而是合数. 科尔只做了一个简短的无声的报告,可这是他花了3年中全部星期天的时间,才得出的结论.在这简单算式中所蕴含的勇气,毅力和努力,比洋洋洒洒的万言报告更具魅力.

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-27 17:16
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-27 17:27 编辑

雪球牛人系列——天地侠影
来自施洛斯008的雪球专栏
梅森曾于1644年断言：“2的67次方-1是个素数.”当时,人们对其断言深信不疑,连德国大数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的.也许这是因为梅森的名气太大了,因此没有人敢对其断言表示怀疑。

1930年（应为1903年）,在美国数学协会的年会上,数学家科尔（1861-1926）作了一次精彩的演讲,他提交的论文题目是“关于大数的因子分解”.在“演讲”过程中,他始终一言不发,只默默地在黑板上进行计算.他先算出2的67次方-1的结果,再算出193707721×761838257287的结果,两个结果完全一样.科尔第一个否定了“2的67次方-1是个素数”这一自梅森断言以来一直被人们相信的结论,其“演讲”赢得了全场听众起立热烈鼓掌和齐声喝彩.这个“一言不发的演讲”成了科学史上的佳话。

会后,人们问科尔：“你花费多少时间来研究这个问题?”他静静地说：“三年的全部星期天.”后来,这一传奇的“演讲”使他当选为美国数学协会的会长.他去世后,该协会专门设立了“科尔奖”,用于奖励作出杰出贡献的数学家。

【附注：文中括号内的数字为笔者根据其它资料增补的。】

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-27 17:23
质数的性质
被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。但是，就是在F5上出了问题！费尔马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=4294967297=641*6700417，并非质数，而是合数。

更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑！

质数的假设
17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。

还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721*761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。

作者: 费尔马1 时间: 2022-11-27 18:40
谢谢杨老师演讲！

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-27 19:48
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-28 04:48 编辑

试除法判定2^67-1不是素数，至少要试除多少次？
2^67-1=1 4757 3952 5896 7641 2927，平方根约等于121 4800 2000，除以67约等于1 8131 3463。
只取倍数2k等于2,6,8,10,14,16,18……181313462（最大倍数模8余6）加1之奇数，共（除以2*4乘3等于）6799万个奇数；
若不排除其中的合数，不排除其中的模8余3和5的奇数，还是6799万个待试除之数。

在121.48亿内的全部素数共约52316万，分率4.3%，按奇数计分率8.6%；
6799万奇数乘以0.086等于586万，即需要试除的素数586万个。

由于2^67-1的较小素因子是193707721，约等于平方根的16%，按正比例减少需试除素数约为94万素数，
实际上，前部素数密度大，按需试除100万次计，试除到193707721，并确定它是素数。

3年内共约160个星期天，每天约需试除6250个素数，每小时625素数（按每天工作10小时计），每分钟要试除10个以上的素数。
在上面的估算中，没有计算寻找符合要求的奇数，再从中挑出素数等辅助用时。
据此估算，要用试除法分解2的67次方减1，每个星期天试除6250个素数，试除3年方能找到它的一个小素因子。

作者: 太阳 时间: 2022-11-27 21:06
如果不使用计算器，一天也不能试除6250个素数

作者: 太阳 时间: 2022-11-27 21:18
本帖最后由太阳于 2022-11-27 21:27 编辑

\(\sqrt{2^{67}-1}＝\)12148001999.90419876...，12148001999从大到小试除，
12148001999，11位数，193707721，9位数，试除奇数尾数是1，奇数尾数是7
2^67-1=147573952589676412927

作者: 太阳 时间: 2022-11-27 21:36
本帖最后由太阳于 2022-11-27 21:42 编辑

\(试除\frac{2^{67}-1}{12148001999-8-10x}，奇数尾数是1，\frac{2^{67}-1}{12148001999-2-10y}，奇数尾数是7\)
这样试除也不行，试除好多次了

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-28 04:50

yangchuanju 发表于 2022-11-27 19:48
试除法判定2^67-1不是素数，至少要试除多少次？
2^67-1=1 4757 3952 5896 7641 2927，平方根约等于121 480 ...

接续
选取10万内的倍数2k，只取2,6,8,10,14,16,18，……共37500个，
其中模8余1，余3，余7的各12500个，模8余3的不是需要试除的奇数，可去掉。
经查对于67来说，模8余3的倍数2k都是6+8n，据此选取2k时亦可直接取2+8n、6+8n，这样10万内的倍数2k还有25000个。
排序，删除模8余3的奇数，还剩25000个。

下一步，挑选其中的素数（用分解软件），25000个待试除奇数之中有素数3432个，占比13.728%；
再往后只能挨个试除喽——
2^67-1大于10的15次方，在16位的Excel中做除法得不到真实商，将大数分成a*10^12+b两部分，
2的67次方减1等于147573952 589676412927，分组后a=147573952，b=589676412927；
分别计算a除以p和b除以p，取a/p的小数部分乘以10^12加上b/p，看和数是不是整数。

如果用32位软件可不分组，但对于16位软件来说上述分组法还是不行的；
求和数时a/p的小数部分本该取12位以上乘以10的12次方，再与b/p相加才行，
实际上a/p的小数部分乘以10的12次方后只有3位数字还有效，
最终因计算误差竟出现4个能整除的假素因子——
假素因子试除商
1673393 88188460564658.9969
2066951 71396928417595.0049
4706081 31358141219769.9982
5607097 26319136727914.0013
再用大素数计算软件计算，它们都不是2^67-1的素因子。

太阳先生，不要再想往着能用试除法寻找到大素数了吧，与试除法告别吧！
试除——拜拜！

作者: 费尔马1 时间: 2022-11-28 05:32

yangchuanju 发表于 2022-11-27 17:16
雪球牛人系列——天地侠影
来自施洛斯008的雪球专栏
梅森曾于1644年断言：“2的67次方-1是个素数.”当时, ...

台上一分钟，台下十年功！科尔是采用什么方法判断这个非梅森素数的呢？

作者: 费尔马1 时间: 2022-11-28 07:26
本帖最后由费尔马1 于 2022-11-28 09:21 编辑

yangchuanju 发表于 2022-11-27 17:16
雪球牛人系列——天地侠影
来自施洛斯008的雪球专栏
梅森曾于1644年断言：“2的67次方-1是个素数.”当时, ...

学生估计科尔的方法是，先确定这个待定数的个位数，把这个数开平方，然后，再把所得到的平方根开平方，再继续开平方根的平方，把待定数的“可能小因子”缩小到一定范围，再加灵活运用，……
2的67次方-1= 193707721×761838257287
其中193707721是素数，761838257287也是素数，
谢谢杨老师指点，我采用网上的素数计算器，这个计算器的位数达不到，所以，显示761838257287是合数。

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-28 08:46
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-28 09:11 编辑

单从待试除数的尾数，看不出这个数是不是梅森数的因子，
因为梅森数的尾数是7，待试除数尾数是1,3,7,9的都有，
1*7=7，3*9=27，7*1=7，9*3=27，都能构成尾数是7的。

反过来，***7除以***1可能等于***7的整数；***7除以***3可能等于***9的整数；
***7除以***7可能等于***1的整数；***7除以***9可能等于***3的整数。

判断整数能否整除也可按照：被除数前几位数字（比除数多一位）除以除数只求余数即可；
上一级余数乘10加下一位做新的被除数，再求余数；……连续计算到最后一位，余数等于0则整除。
对于某个确定的试除数，在试除过程中的相减时，只有9种减数（不包括商数是0时减数也是0）。
相减求余时，必须求出余数的全部数字，方可乘10再加下一位数字。
试除没有简捷的方法可用。

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-28 18:55
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-11-28 20:02 编辑

太阳发表于 2022-11-27 21:36
\(试除\frac{2^{67}-1}{12148001999-8-10x}，奇数尾数是1，\frac{2^{67}-1}{12148001999-2-10y}，奇数尾数 ...

今天又来兴趣，接着那天找到反例的22家族后，再在18家族、24家族、26家族（即第1素因子减1与指数的比等于24和26的梅森数）中寻找，有有了新的发现。

在18家族中找到了一个“太阳素数公式”的正例——2^4099-1，它至少有7个素因子，2不整除+1整除类型，两个分数不相等，分母为合数(5/9+8/9)，属于分母k是合数时，因子y即是合数类。

在24家族中还找到了一个2^29-1的同类p8467，为“不整除+整除=不整除”类型的梅森数。

26家族中没有新的收获，2个梅森数都是3不整除的，3个分数互不相等，但分母都是13。

作者: yangchuanju 时间: 2022-11-28 21:06
30家族的梅森数更是千奇百态，可能都是2不整除+1整除型的；分母有5,15两种，分数有的相等，有的不等：
p1129，不整除+不整除=整除，两分数分别为3/5和4/5，分母是素数，4个素因子，y复合因子不是素数，算不算反例？
p1229，不整除+不整除=整除，两分数分别为4/15和7/15，分母是合数，至少5个素因子，y复合因子是合数，算不算正例？
p2389，不整除+不整除=整除，两分数都是2/5，分母是素数，至少8个素因子，y复合因子不是素数，算什么？
p2617，不整除+不整除=整除，两分数分别为1/5和3/5，分母是素数，至少5个素因子，y复合因子不是素数，算不算反例？
p2953，不整除+不整除=整除，两分数都是1/5，分母是素数，至少4个素因子，y复合因子不是素数，算什么？
p3257，不整除+不整除=整除，两分数分别为4/15和13/15，分母是合数，至少5个素因子，y复合因子是合数，算不算正例？

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