数学中国

标题: 二百五方程 [打印本页]

作者: lusishun 时间: 2022-12-9 04:44
标题: 二百五方程
二百五的一亿倍是25000000000，则不定方程：
25000000000X^25000000000+Y^（25000000000+1）=Z^25000000000
称作二百五方程，可不用计算机，计算器直接写出答案。

作者: lusishun 时间: 2022-12-9 04:46
这是俺老鲁的杰作，老w服气吧！神吧？

作者: lusishun 时间: 2022-12-9 11:23
其中一个答案：
X=Y=25000000000^25000000000-25000000000，
Z=25000000000（25000000000^25000000000-25000000000）.

验算验算，对吧？

作者: lusishun 时间: 2022-12-9 16:49
二百五等式：
（25000000000^25000000000-25000000000）^25000000000
+（25000000000^25000000000-25000000000）^（25000000000+1）
=【25000000000（25000000000^25000000000-25000000000）】^25000000000

接受网友们的检验，也接受老w的验算。

作者: lusishun 时间: 2022-12-9 21:13
一般式：
X^n+Y^（n+1）=Z^n.

作者: lusishun 时间: 2022-12-10 06:49
直接写出答案，对于掌握了公式的，不是难事，如何研究出公式，还是很有意思的

作者: lusishun 时间: 2022-12-10 14:36

lusishun 发表于 2022-12-9 13:13
一般式：
X^n+Y^（n+1）=Z^n.

应是：nX^n+Y^（n+1）=Z^n。

作者: lusishun 时间: 2022-12-11 13:38

lusishun 发表于 2022-12-10 06:36
应是：nX^n+Y^（n+1）=Z^n。

通解：
X=Y=a^n-n，
Z=a（a^n-n）.

作者: lusishun 时间: 2022-12-14 07:01
特解：
X=Y=n^n-n，
Z=n（n^n-n）.

作者: yangchuanju 时间: 2022-12-14 09:29
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-14 09:32 编辑

解不定方程：X^2+Y^3=Z^2。

解：
假设：X=Y，
公提：X^2（1+X）
配底，令X=a^2-1，则1+X=a^2.
所以，X^2+Y^3=（a^2-1）^2+(a^2-1)^3=(a^2-1)^2*a^2=｛（a^2-1）*a｝^2.
令｛（a^2-1）*a｝^2=Z^2
则Z=a*（a^2-1），
X=Y=a^2- 1，

作者: yangchuanju 时间: 2022-12-14 09:38
解不定方程：X^n+Y^(n+1)=Z^n。

解：
假设：X=Y，
公提：X^n*(1+X）
配底，令X=a^n-1，则1+X=a^n.
所以，X^n+Y^(n+1)=（a^n-1）^n+(a^n-1)^(n+1)=(a^n-1)^n*a^n=｛ (a^n-1）*a｝^n.
令｛（a^n-1）*a｝^n=Z^n
则Z=a*（a^n-1），
X=Y=a^n- 1，

作者: yangchuanju 时间: 2022-12-14 09:48
解不定方程：n*X^n+Y^(n+1)=Z^n。

解：
假设：X=Y，
公提：X^n*(n+X）
配底，令X=a^n-n，则n+X=a^n.
所以，n*X^n+Y^(n+1)=n*(a^n-n）^n+(a^n-n)^(n+1)=(a^n-n)^n*a^n=｛ (a^n-n）*a｝^n.
令｛（a^n-n）*a｝^n=Z^n
则Z=a*（a^n-n），
X=Y=a^n- n，

作者: yangchuanju 时间: 2022-12-14 09:53
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-14 09:55 编辑

令a=250, n=250, 鲁不定方程变成：X^250+Y^251=Z^250
正整数解是X=Y=250^250-1，Z=250*(250^250-1）

令a=250, n=250, 鲁不定方程变成：250*X^250+Y^251=Z^250
正整数解是X=Y=250^250-250，Z=250*(250^250-250）

作者: yangchuanju 时间: 2022-12-14 10:07
请解朱明君不定方程：x^2+y^n=z^2的正整数解。

作者: lusishun 时间: 2022-12-14 11:28

yangchuanju 发表于 2022-12-14 02:07
请解朱明君不定方程：x^2+y^n=z^2的正整数解。

解：
Y^n=Z^2-X^2=（Z+X）（Z-X），
……

作者: lusishun 时间: 2022-12-14 11:46
程先生，休息时，抽空研究一下，
方程
X^2+Y^3=Z^2
除了
X=Y=a^2-1，Z=a（a^2-1以外，
还有其它解吗？

作者: lusishun 时间: 2022-12-14 15:58
X^3+Y^4=Z^3
解法一：
X=Y=2^3-1=7，
Z=2（2^3-1）=14.
检验：7^3+7^4=14^3

作者: lusishun 时间: 2022-12-14 16:13

lusishun 发表于 2022-12-14 03:46
程先生，休息时，抽空研究一下，
方程
X^2+Y^3=Z^2

取a=时，X=Y=3，Z=6，
检验：3^2+3^3=6^2=36，
按程先生的公式有：
X=13
Y=3，
Z=14
检验：13^2+3^3=14^2=196

作者: lusishun 时间: 2022-12-14 16:15

lusishun 发表于 2022-12-14 07:58
X^3+Y^4=Z^3
解法一：
X=Y=2^3-1=7，

这个解法二，需程先生做了，我还没有学会

作者: yangchuanju 时间: 2022-12-14 18:21

lusishun 发表于 2022-12-14 11:28
解：
Y^n=Z^2-X^2=（Z+X）（Z-X），
……

朱明君不定方程（11），求不定方程x^2+y^n=z^2的正整数解
设[y^ (n-1)-y]/2=x，[y^ (n-1)+y]/2=z，
其中y为大于等于2的正整数，n为大于等于4的正整数，
则x^2+y^n=z^2，

解朱明君方程：Z^2=[Y^(2n-2)+2*Y^n+Y^2]/4,  X^2=[Y^(2n-2)-2*Y^n+Y^2]/4
Z^2-X^2=2*Y^n/4+2*Y^n/4=Y^n
朱明君没有解到底。
Z-X=[Y^(n-1)+Y]/2-[Y^(n-1)-Y]/2=Y
Z+X=[Y^(n-1)+Y]/2+[Y^(n-1)-Y]/2=Y^(n-1)
两个方程解不出三个未知量。

程中战：不定方程X^2+Y^n=Z^2
其中一个答案是：
X=(a^n -b^n)/2，Y=ab， Z=(a^n +b^n)/2
其中，a、b为互质的奇数，a＞b

按程中战解法，对于朱明君方程，设Y=ab，
则Z-X=ab,  Z+X=a^(n-1)*b^(n-1)
2Z= a^(n-1)*b^(n-1)=ab,  2X=a^(n-1)*b^(n-1)-ab
X=[a^(n-1)*b^(n-1)-ab]/2,  Y=ab,  Z=[a^(n-1)*b^(n-1)+ab]/2

令n=3,  X=[a^2*b^2-ab]/2,  Y=ab,  Z=[a^2*b^2+ab]/2
X^2+y^n=[a^4*b^4-2*a^3*b^3+a^3*b^3]/4+4a^3*b^3/4=[a^4*b^4+3*a^3*b^3]/4
Z^2=[a^4*b^4+2*a^3*b^3+a^3*b^3]/4=[a^4*b^4+3*a^3*b^3]/4
X^2+y^n=Z^2

作者: yangchuanju 时间: 2022-12-14 18:21
同一个不定方程X^2+Y^3=Z^2，鲁思顺、朱明君、程中战分别给出三套解：
鲁思顺：X=Y=a^2-1,  Z=a*(a^2-1)
朱明君：按程中战方法解到底得X=[a^2*b^2-ab]/2,  Y=ab,  Z=[a^2*b^2+ab]/2
程中战：X=(a^3 -b^3)/2，Y=ab， Z=(a^3 +b^3)/2
其中，a、b为互质的奇数，a＞b

再来一个勾股方程X^2+Y^2=Z^2，仍按鲁思顺、朱明君、程中战的各自解法有：
鲁思顺：方程无整数解，X=Y，X^2+Y^2=2*X^2，2的平方根不是整数；
朱明君：X=0,  Y=ab,  Z=ab，不是正整数解；
程中战：X=(a^2-b^2)/2,  Y=ab,  Z=(a^2+b^2)/2，它是勾股方程的一组通解。

看来，还是程老师道义深！

作者: yangchuanju 时间: 2022-12-14 18:40

lusishun 发表于 2022-12-14 16:15
这个解法二，需程先生做了，我还没有学会

不定方程X^2+Y^n=Z^2
其中一个答案是：
X=(a^n -b^n)/2，Y=ab， Z=(a^n +b^n)/2
其中，a、b为互质的奇数，a＞b
注：此解为本原解，即X、Y、Z两两互质。
验：X^2=(a^n-b^n)^2/4=(a^2n-2a^n*b^n+b^2n)/4
Y^n=a^n*b^n=4a^n*b^n/4
X^2+Y^n=(a^2n-2a^n*b^n+b^2n)/4+4a^n*b^n/4=(a^2n+2a^n*b^n+b^2n)/4
Z^2=(a^n+b^n)^2/4=(a^2n+2a^n*b^n+b^2n)/4= X^2+Y^n

验：令n=3，X^2=(a^3-b^3)^2/4=(a^6-2a^3*b^3+b^6)/4
Y^3=a^3*b^3=4a^3*b^3/4
X^2+Y^3=(a^6-2a^3*b^3+b^6)/4+4a^3*b^3/4=(a^6+2a^3*b^3+b^6)/4
Z^2=(a^3+b^3)^2/4=(a^6+2a^3*b^3+b^6)/4= X^2+Y^n
无法变成鲁思顺的X=Y= a^2-1和Z=a*（a^2-1）的形式。

作者: yangchuanju 时间: 2022-12-15 09:38
解鲁氏不定方程
http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

1楼费尔马1 发表于 2022-3-1 20:24
解鲁氏不定方程（一）
A^(n+1)+B^n=C^n
A=m^（nk+1）
B=bm^[（n+1）k+1]
C=am^[（n+1）k+1]
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^n－b^n，且m>0

5楼 yangchuanju
解鲁氏不定方程
费尔马解鲁氏不定方程（一）
A^(n+1)+B^n=C^n
A=m^（nk+1）
B=bm^[（n+1）k+1]
C=am^[（n+1）k+1]
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^n－b^n，且m>0

检验：
A^(n+1)=[m^(nk+1)]^(n+1)=m^(n^2*k+n*k+n+1)
B^n=b^n*m^[(n+1)*k+1]^n=b^n*m^(n^2*k+n*k+n)
C^n=a^n*m^[(n+1)*k+1]^n=a^n*m^(n^2*k+n*k+n)

A^(n+1)+B^n=m^(n^2*k+n*k+n+1)+b^n*m^(n^2*k+n*k+n)=(m+b^n)*m^(n^2*k+n*k+n)
令A^(n+1)+B^n=C^n，则m+b^n=a^n，m=a^n-b^n。
故当a、b为正整数，k为自然数，m=a^n－b^n，且m>0时原方程成立；
随意给定一对正整数a和b，即得一个正整数m。

作者: yangchuanju 时间: 2022-12-15 09:41
解鲁氏250之崽——25不定方程
仿程中战的函数不定方程的解法
Y^26+X^25=Z^25
Y=m^（25k+1）
X=bm^[26k+1]
Z=am^[26k+1]
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^25－b^25，且m>0

验：令k=0，则Y=m, X=bm, Z=am;
Y=a^25-b^25, X=b*a^25-b^26, Z=a^26-a*b^25;
Y^26=(a^25-b^25)^26
=a^25^26-26*a^25^25*b^25+325*a^25^24*b^25^2-…-26*a^25*b^25^25+b^25^26
=a^650-26*a^625*b^25+325*a^600*b^50-…-26*a^25*b^625+b^650
X^25=(a^25*b-b^26)^25
=a^25^25*b^25-25*a^25^24*b^24*b^26+300*a^25^23*b^23*b^26^2-…-25*a^25*b*b^26^24+ b^26^25
=a^625*b^25-25*a^600*b^50+300*a^575*b^75-…+25*a^25*b^625-b^650
Z^25=(a^26-a*b^25)^25
=a^26^25-25*a^26^24*a*b^25+300*a^26^23*a^2*b^25^2-…-25*a^26*a^24*b^25^24+a^25*b^25^25
=a^650-25*a^625*b^25+300*a^600*b^50-…+25*a^50*b^600-a^25*b^625
经检验，Y^26+X^25=Z^25，通解正确！
附：二项式系数
1 25 300 2300 12650 53130 177100 480700 1081575 2042975 3268760 4457400 5200300
1 26 325 2600 14950 65780 230230 657800 1562275 3124550 5311735 7726160 9657700

作者: yangchuanju 时间: 2022-12-15 09:49
验：
Y^26=(a^25-b^25)^26
=a^25^26-26*a^25^25*b^25+325*a^25^24*b^25^2-…-26*a^25*b^25^25+b^25^26
=a^650-26*a^625*b^25+325*a^600*b^50-…-26*a^25*b^625+b^650
X^25=(a^25*b-b^26)^25
=a^25^25*b^25-25*a^25^24*b^24*b^26+300*a^25^23*b^23*b^26^2-…+25*a^25*b*b^26^24-b^26^25
=a^625*b^25-25*a^600*b^50+300*a^575*b^75-…+25*a^25*b^625-b^650
Z^25=(a^26-a*b^25)^25
=a^26^25-25*a^26^24*a*b^25+300*a^26^23*a^2*b^25^2-…+25*a^26*a^24*b^25^24-a^25*b^25^25
=a^650-25*a^625*b^25+300*a^600*b^50-…+25*a^50*b^600-a^25*b^625
项数 Y系数 a指数 b指数 X系数 Z系数
1 1 650 0 0 1
2 -26 625 25 1 -25
3 325 600 50 -25 300
4 -2600 575 75 300 -2300
5 14950 550 100 -2300 12650
6 -65780 525 125 12650 -53130
7 230230 500 150 -53130 177100
8 -657800 475 175 177100 -480700
9 1562275 450 200 -480700 1081575
10 -3124550 425 225 1081575 -2042975
11 5311735 400 250 -2042975 3268760
12 -7726160 375 275 3268760 -4457400
13 9657700 350 300 -4457400 5200300
14 -10400600 325 325 5200300 -5200300
15 9657700 300 350 -5200300 4457400
16 -7726160 275 375 4457400 -3268760
17 5311735 250 400 -3268760 2042975
18 -3124550 225 425 2042975 -1081575
19 1562275 200 450 -1081575 480700
20 -657800 175 475 480700 -177100
21 230230 150 500 -177100 53130
22 -65780 125 525 53130 -12650
23 14950 100 550 -12650 2300
24 -2600 75 575 2300 -300
25 325 50 600 -300 25
26 -26 25 625 25 -1
27 1 0 650 -1 0
X、Z项的指数与Y项指数相同，本网站版面不能正常显示过多列数，隐藏未显示！
Y系数+X系数=Z系数，通解正确。

作者: lusishun 时间: 2022-12-15 10:12
程氏函数不定方程妙趣无穷，深不可测

作者: yangchuanju 时间: 2022-12-15 10:50
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-15 11:19 编辑

lusishun 发表于 2022-12-15 10:12
程氏函数不定方程妙趣无穷，深不可测

解鲁氏250之崽——25不定方程2
仿程中战的函数不定方程的解法
Y^26-Z^25=X^25——移项，X项去掉负号
一组通解是：
Y=m^[25k+1]
X=-bm^[26k+1]——b改为负号
Z=am^[26k+1]
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^25－b^25，且m>0

作者: yangchuanju 时间: 2022-12-15 11:18
解鲁氏250之崽——25不定方程3
仿程中战的函数不定方程的解法
X^25-Y^26=Z^25——Y项改为负号
一组通解是：
Y=-m^[25k+1]——m前加一个负号，不是将m改为（-m）
X=bm^[26k+1]
Z=am^[26k+1]
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^25－b^25，且m>0

作者: wangyangke 时间: 2025-2-10 14:57
哥猜分坛的鲁思顺是个三愚蠢四无知的老牌二百五
窥熊一兵王若仲赞评鲁思顺哥猜证明之一斑而知熊王诸多猜想证明之全豹是垃圾
论坛上没有称得上靠得住的哥猜证明，却有些靠得住的二百五；鲁思顺是二百五中的突出代表，，，
鲁思顺、熊一兵、王若仲，一群傻瓜蛋

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