数学中国

标题: 求方程 x^2-ln(1+x)=0 的解 [打印本页]

作者: 永远 时间: 2023-1-3 00:19
标题: 求方程 x^2-ln(1+x)=0 的解
[attach]121441[/attach]

作者: 永远 时间: 2023-1-3 00:34
本帖最后由永远于 2023-1-3 06:10 编辑

数学研发论坛网友给出的答案，谁会分析过程，看看怎么样

[attach]121442[/attach]

作者: wilsony 时间: 2023-1-3 07:15
非零解如何求出，级数展开？

作者: elim 时间: 2023-1-3 08:33
$x^2-\ln(1+x)=0$ 的非平凡解是
$\qquad\,x\small=0.74688174230852863531184994065235793116303381721342\ldots$
$\frac{1}{\pi}+\frac{3}{7}\small=0.74688131475521924296633895531645729549749072005234\ldots$

作者: 永远 时间: 2023-1-3 11:22

elim 发表于 2023-1-3 08:33
$x^2-\ln(1+x)=0$ 的非平凡解是
\(\qquad\,x\small=0.74688174230852863531184994065235793116303381721 ...

第二个解是误差很小的近似解，请问elim老师知道它是怎么来的吗

作者: elim 时间: 2023-1-3 13:43

永远发表于 2023-1-2 20:22
第二个解是误差很小的近似解，请问elim老师知道它是怎么来的吗

按照现代数值计算的标准，这个误差可不算小。近似解怎么来的问题不会有唯一的说法。最简单的做法是把解极其近似展成连分数。你自己练练手吧。

作者: 永远 时间: 2023-1-3 13:56

elim 发表于 2023-1-3 13:43
按照现代数值计算的标准，这个误差可不算小。近似解怎么来的问题不会有唯一的说法。最简单的做法是把解极 ...

elim老师你好，我要是会，就不会再问了，奈何我能力有限，可否分析一下吧，拜托了

作者: 永远 时间: 2023-1-3 13:57

elim 发表于 2023-1-3 13:43
按照现代数值计算的标准，这个误差可不算小。近似解怎么来的问题不会有唯一的说法。最简单的做法是把解极 ...

如何写连分数逼近得到二楼第二个误差很小的解，求助于elim老师

作者: uk702 时间: 2023-1-3 14:46
如果我说用瞪眼法你信吗？试了一下，4/75+43/62 = 0.746881720... 较 $\frac{1}{\pi}+\frac{3}{7}\small=0.746881314755$ 还要好出 10 倍。

作者: 王守恩 时间: 2023-1-3 18:17
没有有比这更逼近的了(谢谢 uk702)：

$\frac{3}{4},\frac{47}{63},\frac{59}{79},\frac{180}{241},\frac{1018}{1363},\frac{2455}{3287},\frac{7964}{10663},\frac{28383}{38002},\frac{80658}{107993},\frac{205627}{275314},\frac{778197}{1041928}, ......$

作者: 永远 时间: 2023-1-3 23:54

永远发表于 2023-1-3 13:56
elim老师你好，我要是会，就不会再问了，奈何我能力有限，可否分析一下吧，拜托了

这个误差很小的近似解是研发论坛一网友给的，他只给出解，其他的并没有说

作者: elim 时间: 2023-1-4 00:01

永远发表于 2023-1-3 08:54
这个误差很小的近似解是研发论坛一网友给的，他只给出解，其他的并没有说

你问他就是了．

作者: 永远 时间: 2023-1-4 00:03

elim 发表于 2023-1-4 00:01
你问他就是了．

问过了，到现在还没回答，不过我自己心里有数，我有自己的思想，他不告诉我，我也能得到那个近似解，而且高精度的近似解有很多个，他的只是其中的一个

作者: elim 时间: 2023-1-4 03:34

[attach]121546[/attach]

作者: 永远 时间: 2023-1-4 15:52
本帖最后由永远于 2023-1-7 20:28 编辑

elim 发表于 2023-1-4 03:34

在软件里编程得到数值解，然后在把求得的数值解输入到网页版进行操作。

可知：$x \approx \frac{1}{\pi } + \frac{3}{7}$只是其中的一个误差很小的近似解，而像这样的近似解有很多。

[attach]121810[/attach]

在网页版 Mathematica里任输入一定精度的小数可用常用的数凑出来，从而像这样的数有很多个。这是本地版软件不具备的功能。

[attach]121550[/attach]

作者: 王守恩 时间: 2023-1-6 14:33
没有有比这更逼近的了(谢谢 uk702)。

$\frac{3}{4},\frac{47}{63},\frac{59}{79},\frac{180}{241},\frac{1018}{1363},\frac{2455}{3287},\frac{7964}{10663},\frac{28383}{38002},\frac{80658}{107993},\frac{205627}{275314},\frac{778197}{1041928}, ......$

下面是连分数(谢谢天山草)。

$\frac{3}{4},\frac{59}{79}\frac{180}{241},\frac{419}{561},\frac{1018}{1363},\frac{3473}{4650},\frac{4491}{6013},\frac{7964}{10663}\frac{36347}{48665},\frac{44311}{59328}\frac{80658}{107993},\frac{205627}{275314}
\frac{286285}{383307},\frac{778197}{1041928},...$

作者: 永远 时间: 2023-1-6 18:10

elim 发表于 2023-1-4 00:01
你问他就是了．

原答题者版主已回答：f(0)=0,f(1/2)>0,f(1)<0,f(3/4)=9/16+ln(4/7)=x^2-3/7, 3/7是用来近似计算ln(4/7)的，想到误差很大，与方程的解比较，发现差值3.2左右，竟然很接近1/pi。误打误撞的，不好意思回复，顺便想等等看哪位大师能凑出

作者: elim 时间: 2023-1-7 01:38
用 pari_gp 及Newton极速逼近法数值求解 $x^2-\ln(1+x)=0$:

[attach]121791[/attach]

作者: elim 时间: 2023-1-10 05:28
上贴表明用大牌软件数值求根背后的逻辑可能是很简单的(一行代码)。

作者: 永远 时间: 2023-1-12 15:23

elim 发表于 2023-1-10 05:28
上贴表明用大牌软件数值求根背后的逻辑可能是很简单的(一行代码)。

在Mathematica 12.1中文版里轻松搞定！老师你那太麻烦！

[attach]121954[/attach]

作者: 永远 时间: 2023-1-12 19:39
本帖最后由永远于 2023-1-12 19:40 编辑

永远发表于 2023-1-12 15:23
在Mathematica 12.1中文版里轻松搞定！老师你那太麻烦！

早就不用9.0版本的，目前win7-64最高支持12.1简体中文版的版本，从12.2开始只支持win10以上版本

作者: elim 时间: 2023-1-13 10:18

永远发表于 2023-1-12 00:23
在Mathematica 12.1中文版里轻松搞定！老师你那太麻烦！

不学数学也可以用Mathematica 数值解方程。

作者: 永远 时间: 2023-1-13 10:29

elim 发表于 2023-1-13 10:18
不学数学也可以用Mathematica 数值解方程。

Mathematica比老师的方便，小半行代码搞定，老师的难道就不是数值解，就老师的程序迭代，太繁琐，你不感觉麻烦吗

作者: elim 时间: 2023-1-13 10:40
1）这种问题谈不上麻烦，我非常欣赏牛顿的极速逼近法。也常常愿意练练手.

2）请永远用 Mathematica 求极限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n(na_n-2)}{\ln n}$ 其中 $a_1=1,\,a_{n+1}=\ln(1+a_n).$

作者: 永远 时间: 2023-1-13 11:36

elim 发表于 2023-1-13 10:40
1）这种问题谈不上麻烦，我非常欣赏牛顿的极速逼近法。也常常愿意练练手.

2）请永远用 Mathematica 求极 ...

关于这个极限的Mathematica编程，老师怎么不会，你自己都会，我不会

作者: elim 时间: 2023-1-13 11:55

永远发表于 2023-1-12 20:36
关于这个极限的Mathematica编程，老师怎么不会，你自己都会，我不会

Mathematica 根本干不了这活．

作者: 永远 时间: 2023-1-14 10:33

elim 发表于 2023-1-13 11:55
Mathematica 根本干不了这活．

Limit[n (n*RSolve[{a[1] == 1, a[n + 1] == Log[1 + a[n]]}, a[n], n] - 2)/Log[n], n -> Infinity]

作者: elim 时间: 2023-1-14 11:23

永远发表于 2023-1-13 19:33
Limit[n (n*RSolve[{a[1] == 1, a[n + 1] == Log[1 + a[n]]}, a[n], n] - 2)/Log[n], n -> Infinity]

算出啥结果了？

作者: elim 时间: 2023-1-14 11:41

永远发表于 2023-1-13 20:32
那个程序要改进，请看这个Series[r Log[1+n]/(1+n)^2+2/(1+n)- Log[1+r Log[n]/n^2+2/n]/.n->1/x,{x,0,3} ...

就算最新的Mathematica，也干不了这活．

作者: yeyucaiji 时间: 2023-1-17 15:57
这道题因为只能求出近似解，故在未要求特别精确时可以用泰勒展开式：ln(1+x)=x-$\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}......$此时只需要算至x^3就足够了（大多数情况如此用的）故有2x^2-9x+6=0,即可求出近似解

作者: 永远 时间: 2023-1-24 15:53

elim 发表于 2023-1-13 10:40
1）这种问题谈不上麻烦，我非常欣赏牛顿的极速逼近法。也常常愿意练练手.

2）请永远用 Mathematica 求极 ...

转载之百度贴吧

[attach]122261[/attach]

基本思路:

an=a[n]/.Solve[a[n]==Log[1+a[n]],a[n],Reals][[1]]
nan=n a[n] //DifferenceDelta[1/a[n] #,n]/DifferenceDelta[1/a[n],n]/.a[n+1]->Log[1+a[n]]& //Limit[#,a[n]->an]&
n (n a[n]-2)/Log[n] //nan/(n a[n]) #& //n DifferenceDelta[Log[n] #,n]/Limit[n DifferenceDelta[Log[n],n],n->Infinity]& //nan/(n a[n]) #/.a[n+1]->Log[1+a[n]]& //Limit[#,a[n]->an]&

复制代码

作者: elim 时间: 2023-1-24 20:29

永远发表于 2023-1-24 00:53
转载之百度贴吧

有这种思路的Hacker比Mathematica强
用Stolz定理求出所论极限的又比Hacker強．
一般来说用较初等的方法和工具解决问题的人数学能力较强．且知其所以然．

作者: 永远 时间: 2023-1-24 20:45

elim 发表于 2023-1-24 20:29
有这种思路的Hacker比Mathematica强
用Stolz定理求出所论极限的又比Hacker強．
一般来说用较初等的方法 ...

也就是说Mathematica能做到老师你给的那个数列极限计算

作者: elim 时间: 2023-1-24 20:53
本帖最后由 elim 于 2023-1-24 06:38 编辑

永远发表于 2023-1-24 05:45
也就是说Mathematica能做到老师你给的那个数列极限计算

是的，在少数人手里问题转化为它可以执行的形式．而会做这种转化的人事先己经知道结果了、
Mathematica 不懂这种转化的等价性．Hacker 也没有能力让它懂、所以Mathematica没有做我要求的计算．

作者: 永远 时间: 2023-1-25 09:34
本帖最后由永远于 2023-1-25 10:35 编辑

elim 发表于 2023-1-24 20:53
是的，在少数人手里问题转化为它可以执行的形式．而会做这种转化的人事先己经知道结果了、
Mathematic ...

话不能老师你一个人说的算，这也不行，那也不行，到底怎样才行？？？？

就是普通的话题，这下好了。被你一说话题太高端没法玩了

作者: elim 时间: 2023-1-25 14:20
极限问题不是数值计算问题，而是数学分析问题．没有一般方法．在这方面Mathematica 取代不了人．

作者: 永远 时间: 2023-1-25 14:23

elim 发表于 2023-1-25 14:20
极限问题不是数值计算问题，而是数学分析问题．没有一般方法．在这方面Mathematica 取代不了人．

对于我来说用软件主要是应用与验证

作者: elim 时间: 2023-1-25 14:42

永远发表于 2023-1-24 23:23
对于我来说用软件主要是应用与验证

你觉得你会用软件玩数学分析吗？

作者: 永远 时间: 2023-1-26 12:08
本帖最后由永远于 2023-1-26 12:31 编辑

elim 发表于 2023-1-25 14:42
你觉得你会用软件玩数学分析吗？

不会玩，谢谢老师，你是专业的，可否分析一下用切比雪夫多项式拟合椭圆周长

作者: elim 时间: 2023-1-26 23:31
题：设$a_1=1, a_{n+1}=\ln(1+a_n)$. 试用 Mathematica 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n$

作者: xfhaoym 时间: 2023-1-28 09:50
局部拟合一下也挺好。

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