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标题: 已知多项式 x^13+x+90 能够被 x^2-x+a 整除，其中 a 是整数，求 a [打印本页]

作者: wintex 时间: 2023-1-26 19:40
标题: 已知多项式 x^13+x+90 能够被 x^2-x+a 整除，其中 a 是整数，求 a
請問多項式

[attach]122298[/attach]

作者: Treenewbee 时间: 2023-1-27 00:02
x=-1->88/(a+2)--->a<>-2
x=3->1594416/(a+6)--->a<>-1

事实上，

\[\frac{x^{13 }+ x + 90}{x^2 - x+ 2}=x^{11}+x^{10}-x^9-3 x^8-x^7+5 x^6+7 x^5-3 x^4-17 x^3-11 x^2+23 x+45\]

作者: uk702 时间: 2023-1-27 09:07
本帖最后由 uk702 于 2023-1-27 09:27 编辑

Treenewbee 发表于 2023-1-27 00:02
x=-1->88/(a+2)--->a-2
x=3->1594416/(a+6)--->a-1

令 x = 0 => a | 90，令 x = 1 => a | 92
∴ a | 2

若 a = 1，令 x=-1 则有 \( (x^2-x+a) | (x^{13}+x+90)  \implies 3 | 88 \)，矛盾。

若 a = -1，令 x=-2，则有 \( (x^2-x+a) | (x^{13}+x+90)  \implies 5 | (-2^{13} -2 +90) \)，而 \( (-2^{13} -2 +90) = (-2)  \cdot (4)^6 - 2 + 90) = (-2 -2 +90) = 4 (mod 5)  \)
矛盾！

若 a=-2，x^2-x+a = x^2-x-2 = (x-2)(x+1)，∴ x = 2 是方程  x^13+x+90 的（一个）根，但 2^13+2+90 显然不等于 0，矛盾。

经楼上验证， a=2 满足

\[ \frac{x^{13 }+ x + 90}{x^2 - x+ 2}=x^{11}+x^{10}-x^9-3 x^8-x^7+5 x^6+7 x^5-3 x^4-17 x^3-11 x^2+23 x+45 \]

∴ a=2 是所求的解。

作者: luyuanhong 时间: 2023-1-27 11:00
楼上 uk702 的解答已收藏。

作者: 时空伴随者 时间: 2023-1-27 11:36
本帖最后由时空伴随者于 2023-1-27 11:40 编辑

由题意知，任给x，\(x^2-x+a\ne 0\)，即判别式1-4a<0，a>1/4。验证a=2即可！

作者: 天山草 时间: 2023-1-28 20:33
本帖最后由天山草于 2023-1-28 20:46 编辑

[attach]122343[/attach]

上面是手工计算的思路，实际上可用 mathematica 编程计算：

[attach]122344[/attach]

作者: haifeng2017 时间: 2023-2-12 14:46

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