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标题: 函数型丢番图不定方程解结构探讨 [打印本页]

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-28 14:33
标题: 函数型丢番图不定方程解结构探讨
函数型丢番图不定方程解结构探讨
仿费尔马的解法，丢番图方程解的一般结构形式
无（1以外）系数的三元（2+1项）丢番图方程解可表示为1个底数2的幂形式，右端一项的指数比左端各项的指数高1次；
无（1以外）系数的四元（3+1项）丢番图方程解可表示为1个底数3的幂形式，右端一项的指数比左端各项的指数高1次；
无系数的三元丢番图方程解也可表示为3个底数的幂连乘积的形式，3个底数是一组勾股数，其中1项的指数比其余项的指数高2次；
无系数的四元丢番图方程解也可表示为4个底数的幂连乘积的形式，4个底数是a^2+b^2+c^2=d^2之abcd数，其中1项的指数比其余项的指数高2次；
猜想无系数的4元丢番图方程解可表示为4个底数的幂连乘积的形式，4个底数是a^3+b^3+c^3=d^3之abcd数，其中1项的指数比其余项的指数高3次。

左端各项系数不全为1的丢番图方程解可表示为1个底数（各系数和）的幂形式，右端一项的指数比左端各项的指数高1次；
带系数的3元丢番图方程解可表示为3+3个底数的幂连乘积的形式，3个底数是一组勾股数，其中1项的指数比其余项的指数高2次；
另3个底数为系数（系数1也算，但当底数为1时实际不用考虑该底数），其中1项的指数比其余项的指数低1次；
带系数的4元丢番图方程可表示为4+4个底数的幂连乘积的形式，4个底数是一组四元毕达哥拉斯数，其中1项的指数比其余项的指数高2次；
另4个底数为系数（系数1也算，但当底数为1时实际不用考虑该底数），其中1项的指数比其余项的指数低1次；
猜想带系数的4元丢番图方程可表示为4+4个底数的幂连乘积的形式，4个底数是a^3+b^3+c^3=d^3之abcd数，其中1项的指数比其余项的指数高3次。
另4个底数为系数（系数1也算，但当底数为1时实际不用考虑该底数），其中1项的指数比其余项的指数低1次。

无系数函数丢番图方程X^(2n+1)+Y^(2n+2)=Z^(2n+3)解的结构
（分别将各个指数用stu表示，以便结构简单。）
无系数的3元丢番图方程也可表示为3个底数的幂连乘积的形式，3个底数是a^2+b^2=c^2=之abc数，其中1项的指数比其余项的指数高2次；
对于方程X^s+Y^t=Z^u，3底数分别是a、b、c，
底数a的最终指数的周期部分都是lcm(stu)*k，XYZ项解的指数分别为lcm(stu)/s*k、lcm(stu)/t*k、lcm(stu)/u*k；
底数a的最终指数的非周期部分分别是[lcm(tu)*m1+2]、tu*m1/gcd(tu)、tu*m1/gcd(tu)；
XYZ项解的指数分别为[lcm(tu)*m1+2]/s、u*m1/gcd(tu)、t*m1/gcd(tu)。式中lcm(tu)*gcd(tu)=tu。

底数b的最终指数的周期部分都是lcm(stu)*k，XYZ项解的指数分别为lcm(stu)/s*k、lcm(stu)/t*k、lcm(stu)/u*k；
底数b的最终指数的非周期部分分别是[su*m2/gcd(su)、lcm(su)*m2+2]、su*m2/gcd(su)；
XYZ项解的指数分别为[u*m2/gcd(su)、lcm(su)*m2+2]/t、t*m2/gcd(su)。

底数c的最终指数的周期部分都是lcm(stu)*k，XYZ项解的指数分别为lcm(stu)/s*k、lcm(stu)/t*k、lcm(stu)/u*k；
底数c的最终指数的非周期部分分别是[st*m3/gcd(st)、st*m3/gcd(st)、lcm(st)*m3+2]；
XYZ项解的指数分别为[t*m3/gcd(st)、s*m3/gcd(st)、lcm(st)*m3+2]/u。

无系数函数丢番图方程X^(2n+1)+Y^(2n+2)+Z^(2n+3)=U^(4n+3)解的结构
（分别将各个指数用stuv表示，以便结构简单。）
无系数的4元丢番图方程也可表示为4个底数的幂连乘积的形式，4个底数是a^2+b^2+c^2=d^2之abcd数，其中1项的指数比其余项的指数高2次；
对于方程X^s+Y^t+Z^u=U^v，4底数分别是a、b、c、d，
底数a的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数a的最终指数的非周期部分分别是[lcm(tuv)*m1+2]、tuv*m1/gcd(tuv)、tuv*m1/gcd(tuv)、tuv*m1/gcd(tuv)；
XYZU项解的指数分别为[lcm(tuv)*m1+2]/s、uv*m1/gcd(tuv)、tv*m1/gcd(tuv)、tu*m1/gcd(tuv)。式中lcm(tuv)*gcd(tuv)=tuv。

底数b的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数b的最终指数的非周期部分分别是[suv*m2/gcd(suv)、lcm(suv)*m2+2]、suv*m2/gcd(suv)、suv*m2/gcd(suv)；
XYZU项解的指数分别为[uv*m2/gcd(suv)、lcm(suv)*m2+2]/t、tv*m2/gcd(suv)、tu*m2/gcd(suv)。

底数c的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数c的最终指数的非周期部分分别是[stv*m3/gcd(stv)、stv*m3/gcd(stv)、lcm(stv)*m3+2]、stv*m3/gcd(stv)；
XYZU项解的指数分别为[tv*m3/gcd(stv)、sv*m3/gcd(stv)、lcm(stv)*m3+2]/u、st*m3/gcd(stv)。

底数d的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数d的最终指数的非周期部分分别是[stu*m4/gcd(stu)、stu*m4/gcd(stu)、stu*m4/gcd(stu)、lcm(stu)*m4+2]；
XYZU项解的指数分别为[u*m4/gcd(stu)、stu*m4/gcd(stu)、st*m4/gcd(stu)、lcm(stu)*m4+2]/v。

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-28 14:34
整系数函数丢番图方程A*X^(2n+1)+B*Y^(2n+2)=C*Z^(2n+3解的结构
（分别将各个指数用stu表示，以便结构简单。）
整系数函数丢番图方程的解由6个幂因子组成，3个幂因子就是无系数方程的3个幂因子，另3个分别为以整系数为底数的幂因子；
如果某1,2项系数是1，则底数为1的各项可略去不考虑和显示。
以下仅叙述以A、B、C为底数的3个幂指数的结构形式。
整系数的3元丢番图方程的3个系底数的幂连乘积的形式，也由周期和非周期两部分构成，其中非周期部分1项的指数比其余项的指数低1次；
底数A的最终指数的周期部分都是lcm(stu)*k，XYZ项解的指数分别为lcm(stu)/s*k、lcm(stu)/t*k、lcm(stu)/u*k；
底数A的最终指数的非周期部分分别是[lcm(tu)*n1-1]、tu*n1/gcd(tu)、tu*n1/gcd(tu)、tu*n1/gcd(tu)；
XYZ项解的指数分别为[lcm(tu)*n1-1]/s、u*n1/gcd(tu)、t*n1/gcd(tu)、tu*n1/gcd(tu)。式中lcm(tu)*gcd(tu)=tu。

底数B的最终指数的周期部分都是lcm(stu)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stu)/s*k、lcm(stu)/t*k、lcm(stu)/u*k；
底数B的最终指数的非周期部分分别是[su*n2/gcd(su)、lcm(su)*n2-2]、su*n2/gcd(su)；
XYZU项解的指数分别为[u*n2/gcd(su)、lcm(su)*n2-1]/t、t*n2/gcd(su)。

底数C的最终指数的周期部分都是lcm(stu)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stu)/s*k、lcm(stu)/t*k、lcm(stu)/u*k；
底数C的最终指数的非周期部分分别是[st*n3/gcd(st)、st*n3/gcd(st)、lcm(st)*n3+2]；
XYZU项解的指数分别为[t*n3/gcd(st)、s*n3/gcd(st)、lcm(st)*n3+2]/u。
整系数丢番图方程各系底数的指数的周期部分与前4底数的指数的周期部分完全相同，非周期部分不同是因为求乘数m时要加2，而求乘数n时要减1。

整系数函数丢番图方程A*X^(2n+1)+B*Y^(2n+2)+C*Z^(2n+3)=D*U^(4n+3)解的结构
（分别将各个指数用stuv表示，以便结构简单。）
整系数函数丢番图方程的解由8个幂因子组成，4个幂因子就是无系数方程的4个幂因子，另4个分别为以整系数为底数的幂因子；
如果某1,2,3项系数是1，则底数为1的各项可略去不考虑和显示。
以下仅叙述以ABCD为底数的4个幂指数的结构形式。
整系数的4元丢番图方程的4个系底数的幂连乘积的形式，也由周期和非周期两部分构成，其中非周期部分1项的指数比其余项的指数低1次；
底数A的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数A的最终指数的非周期部分分别是[lcm(tuv)*n1-1]、tuv*n1/gcd(tuv)、tuv*n1/gcd(tuv)、tuv*n1/gcd(tuv)；
XYZU项解的指数分别为[lcm(tuv)*n1-1]/s、uv*n1/gcd(tuv)、tv*n1/gcd(tuv)、tu*n1/gcd(tuv)。式中lcm(tuv)*gcd(tuv)=tuv。

底数B的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数B的最终指数的非周期部分分别是[suv*n2/gcd(suv)、lcm(suv)*n2-2]、suv*n2/gcd(suv)、suv*n2/gcd(suv)；
XYZU项解的指数分别为[uv*n2/gcd(suv)、lcm(suv)*n2-1]/t、tv*n2/gcd(suv)、tu*n2/gcd(suv)。

底数C的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数C的最终指数的非周期部分分别是[stv*n3/gcd(stv)、stv*n3/gcd(stv)、lcm(stv)*n3+2]、stv*n3/gcd(stv)；
XYZU项解的指数分别为[tv*n3/gcd(stv)、sv*n3/gcd(stv)、lcm(stv)*n3+2]/u、st*n3/gcd(stv)。

底数D的最终指数的周期部分都是lcm(stuv)*k，XYZU项解的指数分别为lcm(stuv)/s*k、lcm(stuv)/t*k、lcm(stuv)/u*k、lcm(stuv)/v*k；
底数D的最终指数的非周期部分分别是[stu*n4/gcd(stu)、stu*n4/gcd(stu)、stu*n4/gcd(stu)、lcm(stu)*n4+2]；
XYZU项解的指数分别为[u*n4/gcd(stu)、stu*n4/gcd(stu)、st*n4/gcd(stu)、lcm(stu)*n4+2]/v。
整系数丢番图方程各系底数的指数的周期部分与前4底数的指数的周期部分完全相同，非周期部分不同是因为求乘数m时要加2，而求乘数n时要减1。

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-28 14:35
本帖最后由 yangchuanju 于 2023-1-28 16:00 编辑

带系数函数型丢番图不定方程解结构探讨
解函数丢番图方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)+cZ^(2n+3)=dU^(4n+3)
其中一组通解公式为：
X=(2pm)^[lcm(XYZU指)/X指*k+[lcm(YZU指)*m1+2]/X指]
*(2pq)^[lcm(XYZU指)/X指*k+Z指*U指/gcd(YZU指)*m2]
*[p^(2n+1)-m^(2n+1)-q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/X指*k+Y指*U指/gcd(YZU指)*m3]
*[p^(2n+1)+m^(2n+1)+q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/X指*k+Y指*U指/gcd(YZU指)*m4]
*a^[lcm(XYZU指)/X指*k+[lcm(YZU指)*m5-1]/X指]
*b^[lcm(XYZU指)/X指*k+Z指*U指/gcd(YZU指)*m6]
*c^[lcm(XYZU指)/X指*k+Y指*U指/gcd(YZU指)*m7]
*d^[lcm(XYZU指)/X指*k+Y指*U指/gcd(YZU指)*m8]

Y=(2pm)^[lcm(XYZU指)/Y指*k+Z指*U指/gcd(XZU指)*m1]
*(2pq)^[lcm(XYZU指)/Y指*k+[lcm(XZU指)*m2+2]/X指]
*[p^(2n+1)-m^(2n+1)-q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/Y指*k+X指*U指/gcd(XZU指)*m3]
*[p^(2n+1)+m^(2n+1)+q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/Y指*k+X指*Z指/gcd(XZU指)*m4]
*a^[lcm(XYZU指)/Y指*k+Z指*U指/gcd(XZU指)*m5]
*b^[lcm(XYZU指)/Y指*k+[lcm(XZU指)*m6-1]/X指]
*c^[lcm(XYZU指)/Y指*k+X指*U指/gcd(XZU指)*m7]
*d^[lcm(XYZU指)/Y指*k+X指*U指/gcd(XZU指)*m8]

Z=(2pm)^[lcm(XYZU指)/Z指*k+Y指*U指/gcd(XYU指)*m1]
*(2pq)^[lcm(XYZU指)/Z指*k+X指*U指/gcd(XYU指)*m2]
*[p^(2n+1)-m^(2n+1)-q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/Z指*k+[lcm(XYU指)*m3+2]/Z指]
*[p^(2n+1)+m^(2n+1)+q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/Z指*k+X指*Y指/gcd(XYU指)*m4]
*a^[lcm(XYZU指)/Z指*k+Y指*U指/gcd(XYU指)*m5]
*b^[lcm(XYZU指)/Z指*k+X指*U指/gcd(XYU指)*m6]
*c^[lcm(XYZU指)/Z指*k+[lcm(XYU指)*m7-1]/Z指]
*d^[lcm(XYZU指)/Z指*k+X指*Y指/gcd(XYU指)*m8]

U=(2pm)^[lcm(XYZU指)/U指*k+Y指*Z指/gcd(XYZ指)*m1]
*(2pq)^[lcm(XYZU指)/U指*k+X指*Z指/gcd(XYZ指)*m2]
*[p^(2n+1)-m^(2n+1)-q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/U指*k+X指*Y指/gcd(XYZ指)*m3]
*[p^(2n+1)+m^(2n+1)+q^(2n+1)]^[lcm(XYZU指)/U指*k+[lcm(XYZ指)*m4+2]/U指]
*a^[lcm(XYZU指)/U指*k+Y指*Z指/gcd(XYZ指)*m5]
*b^[lcm(XYZU指)/U指*k+X指*Z指/gcd(XYZ指)*m6]
*c^[lcm(XYZU指)/U指*k+X指*Y指/gcd(XYZ指)*m7]
*d^[lcm(XYZU指)/U指*k+[lcm(XYZ指)*m8-1]/U指]

其中，n、m、p、q为正整数，k为0或正整数，p＞m, p>q
lcm——最大公倍数；gcd——最小公约数。
本例之中，gcd(XYZU指)、gcd(YZU指)、gcd(XZU指)、gcd(XYU指)、gcd(YZU指)都等于1。

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-28 14:42
对于各个指数是互素的数字时，我勉强能求出8个乘数m1-m8，
但对于指数是一次二项式an+b的函数式时，我还不会求这些乘数，这里只是纸上谈兵。
尚需向程中战等老师好好学习！

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-28 17:36

yangchuanju 发表于 2023-1-28 14:42
对于各个指数是互素的数字时，我勉强能求出8个乘数m1-m8，
但对于指数是一次二项式an+b的函数式时，我还不 ...

老师您太执着了，休息好，别太累了！
对于函数不定方程的解法，其实与数字不定方程的解法是类似的。首先确定各指数之间的互质情况，如果所有指数有大于2的公约数，有可能无解，也有可能有解，但费马方程是无解。
列出二元一次不定方程式，采用辗转相除法解之。

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-28 19:05

费尔马1 发表于 2023-1-28 17:36
老师您太执着了，休息好，别太累了！
对于函数不定方程的解法，其实与数字不定方程的解法是类似的。首先 ...

谢谢老师的指教！

(2n+1)*(2n+2)*(4n+3)=16n^3+36n^2+26n+6
(16n^3+36n^2+26n+6)*m3+2=(2n+3)*y3
(16n^3+36n^2+26n+6)*m7-1=(2n+3)*y7
请问程老师这两个二元一次方程有没有整数解？
另6个m我已经求出，但m3,m7一直找不到它们的整数解，
请老师帮一下忙，先行谢谢了！

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-29 09:13

yangchuanju 发表于 2023-1-28 19:05
谢谢老师的指教！

(2n+1)*(2n+2)*(4n+3)=16n^3+36n^2+26n+6

(2n+1)*(2n+2)*(4n+3)=16n^3+36n^2+26n+6
(16n^3+36n^2+26n+6)*m3+2=(2n+3)*y3
(16n^3+36n^2+26n+6)*m7-1=(2n+3)*y7
学生的分析是：2n+3虽然与2n+1、2n+2互质，但是她与4n+3不一定互质，当n是3的倍数时，2n+3与4n+3不互质，所以，老师的这两个不定方程做为函数解时是无解的，当然，当n不是3的倍数时，这两个不定方程一定有解，但这不是函数解。

作者: lusishun 时间: 2023-1-29 09:18
杨老师，是程中占函数丢番图方程研究专家，权威。

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-29 10:46
本帖最后由费尔马1 于 2023-1-29 10:54 编辑

解函数丢番图方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)+cZ^(2n+3)=dU^(4n+3)
这个不定方程中，由于4n+3与其它三个指数的互质不能确定，因此，要想解此题可以先移项，使右边的一项与左边各项都互质，解出的解同样是原方程的解。
例，因为2n+1与2n+2互质，所以[(2n+1)+(2n+2)]与(2n+1)、(2n+2)互质，即4n+3与(2n+1)、(2n+2)互质，又(2n+1)、(2n+2)、(2n+3)两两互质，所以，可以这样进行移项：
移项得，dU^(4n+3)-bY^(2n+2)-cZ^(2n+3)=aX^(2n+1)
或dU^(4n+3)-ax^(2n+1)-cZ^(2n+3)=by^(2n+2)
移项后的这两个不定方程就可能有函数解。待我实验?杨老师也抽时间实验。
但是，方程含有四个系数，解法也很麻烦的。采用整体换元法，先把右边一项的系数去掉，解第一步方程。然后，再加上右边项的系数，在在此基础上，再解一次方程。当然还有其它解法，学生看来，还是整体换元法较简单。

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-29 11:01
本帖最后由费尔马1 于 2023-1-29 12:05 编辑

解二元一次不定方程建议使用辗转相除法，这样比较简单，如果数字小，也可采用电子表格海选法等程序计算，数字再小，可以用观察法解之，其实，还是用辗转相除法既快又精确，一步到位。

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-29 12:11
移项得，U^(4n+3)+Y^(2n+2)+Z^(2n+3)=X^(2n+1)
或U^(4n+3)+x^(2n+1)+Z^(2n+3)=y^(2n+2)
老师可以解这两个不定方程，采用鲁氏解法（即取底数法），取底数为3，试试是否有函数解？

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-29 14:18
U^(4n+3)+Y^(2n+2)+Z^(2n+3)=X^(2n+1)
其中一个答案是：
u=3^[(8n^3+24n^2+22n+6)k+4n^3+10n^2+6n]
y=3^[(16n^3+44n^2+36n+9)k+8n^3+18n^2+9n]
z=3^[(16n^3+36n^2+26n+6)k+8n^3+14n^2+6n]
x=3^[(16n^3+52n^2+54n+18)k+8n^3+22n^2+16n+1]
其中，n为正整数，k为0或正整数。

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-29 14:19
请老师们检验，谢谢！
估计U^(4n+3)+x^(2n+1)+Z^(2n+3)=y^(2n+2)也有解，待解？

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-29 17:10
杨老师您好：
您以前发的帖子，一个5次幂等于8个5次幂的函数恒等式，还有3次幂的恒等式，我找不到了，请顶帖子。谢谢！

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-29 19:32

费尔马1 发表于 2023-1-29 17:10
杨老师您好：
您以前发的帖子，一个5次幂等于8个5次幂的函数恒等式，还有3次幂的恒等式，我找不到了，请顶 ...

请看一下鲁思顺的《又，突然发现》和我的《有解就凉出来》，看一看里面有没有老师所要的内容。

关于解四元丢番图不定方程的问题，说真的，我无意解它们。对于此类方程，我只会最小公倍数法，辗转相除法不会、整体换元法也没有探讨。

只是看到您的三元带三个系数的6底数通解式，3个底数分别高2次（为一组勾股数），三个底数分别低1次；受此启发想推广到四元丢番图不定方程，用一组四元毕达哥拉斯数组作底数；若部分项或全部项又带有整系数，再用低1次幂数表示，最多形成8个幂数的连乘积。
不想对于那个方程的4个指数不全互素，故只算出6个指数。

作者: 朱明君 时间: 2023-1-29 21:51
\(设x为大于等于2的正整数，n为任意正整数，x又为公式中的前项个数，\)
\(则x^n+x^n+\cdots+x^n=x^{(n+1)}){,}\ \ \ \ \ \ \ 简化公式：x(x^n)=x^{(n+1)}\)
\(x=2，\ \ \ 2^n+2^n=2^{(n+1)，}，\)
\(x=3，\ \ \ 3^n+3^n+3^n=3^{(n+1)}，\)
\(x=4，\ \ \ 4^n+4^n+4^n+4^n=4^{(n+1)，}，\)
\(\cdots\cdots。\)

作者: 朱明君 时间: 2023-1-29 21:57
，，，，，，，，，，，，，，，，，

作者: 朱明君 时间: 2023-1-30 07:03
，，，，，，，

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-30 09:22
本帖最后由费尔马1 于 2023-1-30 12:06 编辑

U^(4n+3)+x^(2n+1)+Z^(2n+3)=y^(2n+2)
可以引出无穷多个函数不定方程：
由(2n+3)与(2n+2)互质，则(4n+5)与(2n+3)、(2n+2)互质
所以U^(4n+3)+x^(2n+1)+Z^(2n+3)+v^(4n+5)=y^(2n+2)
由(4n+5)与(2n+2)互质，则(6n+7)与(4n+5)、(2n+2)互质
所以U^(4n+3)+x^(2n+1)+Z^(2n+3)+v^(4n+5)+q^(6n+7)=y^(2n+2)
…………………………………………………………………………
猜想这些不定方程是有函数解的。

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-30 11:40
解函数不定方程U^(4n+3)+x^(2n+1)+Z^(2n+3)=y^(2n+2)
解：(4n+3)(2n+1)(2n+3)x+1=(2n+2)y
即（16n^3+44n^2+36n+9）x+1=(2n+2)y
解得：x=(2n+2)k+2n+1
y=（16n^3+44n^2+36n+9）k+16n^3+36n^2+22n+5
继续解下去即可

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-30 11:51
本帖最后由费尔马1 于 2023-1-30 11:56 编辑

解函数不定方程U^(4n+3)+x^(2n+1)+Z^(2n+3)=y^(2n+2)
解：(4n+3)(2n+1)(2n+3)x+1=(2n+2)y
即（16n^3+44n^2+36n+9）x+1=(2n+2)y……………………………………（一）
解得：x=(2n+2)k+2n+1
注：2n+1是最小解，2n+2是方程（一）中y的系数，k是周期数；
y=（16n^3+44n^2+36n+9）k+16n^3+36n^2+22n+5
注：16n^3+36n^2+22n+5是最小解，（16n^3+44n^2+36n+9）是方程（一）中x的系数，k是周期数。
这个知识数学界有，我是跟某本书上学的，辗转相除法也是跟一位幻方大师学习的。取底数法即鲁氏解法是跟鲁思顺老师学习的。

作者: 朱明君 时间: 2023-1-30 16:46
，，，，，

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-30 19:22
A^(4n+3)+B^(2n+1)+C^(2n+3)+D^(4n+5)+E^(6n+7)=F^(2n+2)
解：(4n+3)(2n+1)(2n+3)(4n+5)(6n+7)x+1=(2n+2)y
即（384n^5+1984n^4+3976n^3+3844n^2+1782n+315)x+1=(2n+2)y
解得，x=(2n+2)k+2n+1
y=（384n^5+1984n^4+3976n^3+3844n^2+1782n+315)k+384n^5+1792n^4+3176n^3+2656n^2+1048n+158

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-30 20:07

费尔马1 发表于 2023-1-30 19:22
A^(4n+3)+B^(2n+1)+C^(2n+3)+D^(4n+5)+E^(6n+7)=F^(2n+2)
解：(4n+3)(2n+1)(2n+3)(4n+5)(6n+7)x+1=(2n+2)y ...

对于三元函数型丢番图不定方程
aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)
（方程的3个指数是彼此互素的）程中战老师曾给出一套通解：
X=2^(8n^2+6n-4)
*a^[(16n^2+28n+12)k+8n^2+18n+11]
*b^[(16n^2+28n+12)k+8n^2+18n+9]
*c^[(16n^2+28n+12)k+16n^2+20n+4]
*uv
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+8n^2+6n]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+14n+6)k+16n+16]

Y=2^(8n^2+2n-3)
*a^[(16n^2+20n+6)k+8n^2+14n+6]
*b^[(16n^2+20n+6)k+8n^2+14n+4]
*c^[(16n^2+20n+6)k+16n^2+12n+2]
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+8n^2+2n+1]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (8n^2+10n+3)k+16n+8]

Z=2^(4n^2+2n-2)
*a^[(8n^2+12n+4)k+4n^2+8n+4]
*b^[(8n^2+12n+4)k+4n^2+8n+3]
*c^[(8n^2+12n+4)k+8n^2+8n+1]
*[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+4n^2+2n]
*[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^[ (4n^2+6n+2)k+8n+6]
其中，n、u、v为正整数，k为0或正整数，u＞v

方程通解中的第1,5,6个底数是一组勾股数，XYZ项中各有一项指数比另两项高2次；
第2,3,4个底数分别是3个系数abc，各有一项指数比另两项低1次，
对这组通解进行检验后知通解正确。
出于好奇，根据通解中的非周期部分反求了通解中的6个乘数（一次二项式sn+t)分别为：
底数二项式
2uv 2n-2
u^α-v^α 2n
u^α+v^α 0n+8
a 2n+2
b 2n+3
c 8n+2
底数中的α=2n+1

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-30 20:11
前三个底数并非一定要局限于2uv, u^α-v^α, u^α+v^α；实际上任意给定一组勾股数，如3,4,5；5,12,13都行。

作者: yangchuanju 时间: 2023-1-30 20:13
本帖最后由 yangchuanju 于 2023-1-30 20:28 编辑

看到程老师可将三元函数型丢番图不定方程表示成6个幂数的连乘积形式，
抱着试试看的想法，试图把四元函数型丢番图不定方程表示成8个幂数的连乘积形式，
将程老师方程中cZ^(4n+3)改为dU^(4n+3)，另增加了一项cZ^(2n+3),
试图解出8个乘数，不幸的是只解出6个乘数；
后咨询程老师方知改后的方程4个指数不全互素，部分指数无解。

再用我的程序重求程老师方程中的6个乘数，所求乘数和非周期表达式不尽相同，但都是对的：
底数程二项式非周期杨二项式非周期
2uv 2n-1 8n^2+6n-4 2n-1 8n^2+6n-4
u-v 2n+0 8n^2+2n+1 2n+0 8n^2+2n+1
u+v 0n+8 0n^2+8n+6 n+0 1n^2+0n+1
a 2n+2 8n^2+18n+11 n+0 4n^2+5n+0
b 2n+3 8n^2+14n+4 n+0 4n^2+1n=0
c 8n+2 8n^2+8n+1 n+2 n^2+2n+2
底数u-v, u+v中的指数省略未写，都是2n+1.
表中系数1和数字0本不应写的，只是为了表格整齐写了，仅起占位符作用。

给定不同的s、t，会得到不同的乘数m（一次二项式）和非周期表达式（二次三项式），
但有一个非周期表达式系数最小的，我们一般应取那个系数最小的。
下面是第一个乘数m1（二项式）和非周期表达式（二次三项式）：
二项式非周期
2n-1 8n^2+6n-4
4n 16n^2+20n+2
5n-1 20n^2=21n-3
6n+1 24n^2+34n+8
比较二人所求非周期表达式，程的4个表达式乘数系数并非最小，但它的表达式系数首项都是8。

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-30 20:31
杨老师辛苦了，休息好，把数字当游戏玩玩而已！

作者: 朱明君 时间: 2023-1-30 21:07
本帖最后由朱明君于 2023-1-30 13:12 编辑

\(五元毕达哥拉斯数组的所有解:\)
\(4^n十4^n十4^n十4^n=4^{\left( n+1\right)}\)
\(n=2，4^2=2^4，\)
\(n=3，4^3=2^6=8^2，\)
\(n=4，4^4=2^8=16^2，\)
\(n=5，4^5=2^{10}，\)
\(......。\)

作者: 朱明君 时间: 2023-1-30 21:47
\(四元毕达哥拉斯数组的所有解:\)
\(3^n十3^n十3^n=3^{\left( n+1\right)}\)
\(n=2，3^2，\)
\(n=3，3^3，\)
\(n=4，3^4=9^2，\)
\(n=5，3^5\)
\(n=6，3^6=27^2，\)
\(......。\)

作者: 费尔马1 时间: 2023-1-31 08:32

yangchuanju 发表于 2023-1-30 20:11
前三个底数并非一定要局限于2uv, u^α-v^α, u^α+v^α；实际上任意给定一组勾股数，如3,4,5；5,12,13都 ...

老师您好：
25楼，前三个底数并非一定要局限于2uv, u^α-v^α, u^α+v^α；实际上任意给定一组勾股数，如3,4,5；5,12,13都行。
回复：只是uv， u^α-v^α, u^α+v^α，这是一种解法，只适用于原方程三个指数两两互质，才可解。称为平方差公式法，这种方法只适用二项和方程，也就是您说的三元方程，所得出的解的形式如24楼。
采用无穷降幂法，把其中两个指数降为二次，然后使用平方差公式进行分解因式，再逐项配方，特别是含系数的方程，解题过程非常繁琐。
这种解法与勾股数无关。
学生想，是不是采用这种解法，再加上整体换元法（此法也适用于二项和方程，两个指数同次），来证明费马大定理！？

作者: yangchuanju 时间: 2023-2-1 11:24

费尔马1 发表于 2023-1-31 08:32
老师您好：
25楼，前三个底数并非一定要局限于2uv, u^α-v^α, u^α+v^α；实际上任意给定一组勾股数 ...

重新对费尔马不定方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)进行分析知
三指数两两互素，这是基本条件。
X项 2 的非周期指数=(Y指*Z指*m1+2)/X指
X项 uv 的非周期指数=1
X项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=Z指*m2
X项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=Y指*m3
X项系数a的非周期指数=(Y指*Z指*m4-1)/X指
X项系数b的非周期指数=Z指*m5
X项系数c的非周期指数=Y指*m6

Y项 2 的非周期指数=Z指*m1
Y项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=(X指*Z指*m2+2)/Y指
Y项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=Z指*m3
Y项系数a的非周期指数=Z指*m4
Y项系数b的非周期指数=(X指*Z指*m5-1)/Y指
Y项系数c的非周期指数=X指*m6

Z项 2 的非周期指数=Y指*m1
Z项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=X指*m2
Z项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=(X指*Y指*m3+2)/Z指
Z项系数a的非周期指数=Y指*m4
Z项系数b的非周期指数=X指*m5
Z项系数c的非周期指数=(X指*Y指*m6-1)/Z指

aX^(2N+1)项 2 的非周期指数=Y指*Z指*m1+2
aX^(2n+1)项 uv 的非周期指数=X指
aX^(2N+1)项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Z指*m2
aX^(2N+1)项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Y指*m3
aX^(2N+1)项系数a的非周期指数=Y指*Z指*m4-1
aX^(2N+1)项系数b的非周期指数=X指*Z指*m5
aX^(2N+1)项系数c的非周期指数=X指*Y指*m6

bY^(2N+2)项 2 的非周期指数=Y指*Z指*m1
bY^(2N+2)项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Z指*m2+2
bY^(2N+2)项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=Y指*Z指*m3
bY^(2N+2)项系数a的非周期指数=Y指*Z指*m4
bY^(2N+2)项系数b的非周期指数=(X指*Z指*m5-1
bY^(2N+2)项系数c的非周期指数=Y指*X指*m6

cZ^(4N+3)项 2 的非周期指数=Y指*Z指*m1
cZ^(4N+3)项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Z指*m2
cZ^(4N+3)项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Y指*m3+2
cZ^(4N+3)项系数a的非周期指数=Y指*Z指*m4
cZ^(4N+3)项系数b的非周期指数=X指*Z指*m5
cZ^(4N+3)项系数c的非周期指数=X指*Y指*m6-1

作者: yangchuanju 时间: 2023-2-1 11:30
重排
aX^(2N+1)项 2 的非周期指数=Y指*Z指*m1+2
bY^(2N+2)项 2 的非周期指数=Y指*Z指*m1
cZ^(4N+3)项 2 的非周期指数=Y指*Z指*m1
aX^(2n+1)项 uv 的非周期指数=X指

aX^(2N+1)项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Z指*m2
bY^(2N+2)项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Z指*m2+2
cZ^(4N+3)项[u^(2n-1)-v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Z指*m2

aX^(2N+1)项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Y指*m3
bY^(2N+2)项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=Y指*Z指*m3
cZ^(4N+3)项[u^(2n-1)+v^(2n-1)]的非周期指数=X指*Y指*m3+2

aX^(2N+1)项系数a的非周期指数=Y指*Z指*m4-1
bY^(2N+2)项系数a的非周期指数=Y指*Z指*m4
cZ^(4N+3)项系数a的非周期指数=Y指*Z指*m4

aX^(2N+1)项系数b的非周期指数=X指*Z指*m5
bY^(2N+2)项系数b的非周期指数=X指*Z指*m5-1
cZ^(4N+3)项系数b的非周期指数=X指*Z指*m5

aX^(2N+1)项系数c的非周期指数=X指*Y指*m6
bY^(2N+2)项系数c的非周期指数=X指*Y指*m6
cZ^(4N+3)项系数c的非周期指数=X指*Y指*m6-1

aX项中2的指数高2次，多出一项(uv)^(2n+1);
合到一起等于4u^(2n+1)*v^(2n+1)。

bY项中u^(2n+1)-v^(2n+1)高2次；
bZ项中u^(2n+1)+v^(2n+1)高2次。

[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^2=u^(2n+1)^2-2*(u^(2n+1)*(v^(2n+1)+v^(2n+1)^2
[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^2=u^(2n+1)^2+2*(u^(2n+1)*(v^(2n+1)+v^(2n+1)^2

4u^(2n+1)*v^(2n+1)+[[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^2=u^(2n+1)^2-2*(u^(2n+1)*(v^(2n+1)+v^(2n+1)^2]
=[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^2+u^(2n+1)^2-2*(u^(2n+1)*(v^(2n+1)+v^(2n+1)^2

三项都乘上相同的各个幂数，由此可得
aX^(2n+1)+bY^(2n+2)=cZ^(4n+3)

作者: yangchuanju 时间: 2023-2-1 11:31
（接上楼）
如果将三项中的底数2都改为2uv，
则最终X项中底数2uv高2次，为4u^(2n+1)*v^(2n+1)，原方程仍成立。
（三项中所含有的相同的各个幂数不再相同，多出(uv)^(Y指*Z指*m1)一项。）

令u=2，v=1，n=0，则
4u^(2n+1)*v^(2n+1)=4*2^3*1^3=32
[u^(2n+1)-v^(2n+1)]^2=[2^3-1^3]=7^2=49
[u^(2n+1)+v^(2n+1)]^2=[2^3-1^3]=9^2=81
32^0.5=5.65854
5.65854^2+7^2=32+49=81=9^2
符合勾股数关系，但5.65854、7和9不是一组勾股数。

反之直接将三个底数直接换成4,3,5，且不再计uv，则有
aX^(2N+1)项 4 的非周期指数=Y指*Z指*m1+2
bY^(2N+2)项 4 的非周期指数=Y指*Z指*m1
cZ^(4N+3)项 4 的非周期指数=Y指*Z指*m1

aX^(2N+1)项 3 的非周期指数=X指*Z指*m2
bY^(2N+2)项 3 的非周期指数=X指*Z指*m2+2
cZ^(4N+3)项 3 的非周期指数=X指*Z指*m2

aX^(2N+1)项 5 的非周期指数=X指*Y指*m3
bY^(2N+2)项 5 的非周期指数=Y指*Z指*m3
cZ^(4N+3)项 5 的非周期指数=X指*Y指*m3+2
三项中底数4,3,5的次数分别高2次，4^2+3^2=5^2；
4,3,5是一组勾股数，这就是我所说的：
前三个底数并非一定要局限于2uv，u^α-v^α，u^α+v^α；实际上任意给定一组勾股数，如3,4,5；5,12,13都行。
的道理。式中α=2n+1。

作者: yangchuanju 时间: 2023-2-1 21:18
本帖最后由 yangchuanju 于 2023-2-2 07:21 编辑

解四元函数型丢番图不定方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)+cZ^(2n+3)=dU^(2n+5)

当n≠3t+2时，方程四个指数两两互素，式中t等于0,1,2，……。
方程通解由8个幂数连乘积构成，其中4个为一组四元毕达哥拉斯数，例3,4,12,13；另4个是4个系数a，b，c，d。
8个不同底数的指数都可分成周期部分和非周期部分；
X项指数的周期部分是Y指*Z指*U指*k；
Y项指数的周期部分是X指*Z指*U指*k；
Z项指数的周期部分是X指*Y指*U指*k；
U项指数的周期部分是X指*Y指*Z指*k，k——0或正整数。

X项底数3的指数的非周期部分是Y指*Z指*U指*m1+2；
Y项底数3的指数的非周期部分是Z指*U指*m1；
Z项底数3的指数的非周期部分是Y指*U指*m1；
U项底数3的指数的非周期部分是Y指*Z指*m1；

X项底数4的指数的非周期部分是Z指*U指*m2；
Y项底数4的指数的非周期部分是X指*Z指*U指*m2+2；
Z项底数4的指数的非周期部分是X指*U指*m2；
U项底数4的指数的非周期部分是X指*Z指*m2；

X项底数12的指数的非周期部分是Y指*U指*m3；
Y项底数12的指数的非周期部分是X指*U指*m3；
Z项底数12的指数的非周期部分是X指*Y指*U指*m3+2；
U项底数12的指数的非周期部分是X指*Y指*m3；

X项底数13的指数的非周期部分是Y指*Z指*m4；
Y项底数13的指数的非周期部分是X指*Z指*m4；
Z项底数13的指数的非周期部分是X指*Y指*m4；
U项底数13的指数的非周期部分是X指*Y指*Z指*m4+2；

X项底数a的指数的非周期部分是Y指*Z指*U指*m5-1；
Y项底数a的指数的非周期部分是Z指*U指*m5；
Z项底数a的指数的非周期部分是Y指*U指*m5；
U项底数a的指数的非周期部分是Y指*Z指*m5；

X项底数b的指数的非周期部分是Z指*U指*m6；
Y项底数b的指数的非周期部分是X指*Z指*U指*m6-1；
Z项底数b的指数的非周期部分是X指*U指*m6；
U项底数b的指数的非周期部分是X指*Z指*m6；

X项底数c的指数的非周期部分是Y指*U指*m7；
Y项底数c的指数的非周期部分是X指*U指*m7；
Z项底数c的指数的非周期部分是Y指*Z指*U指*m7-1；
U项底数c的指数的非周期部分是X指*Y指*m7；

X项底数d的指数的非周期部分是Y指*Z指*m8；
Y项底数d的指数的非周期部分是Y指*Z指*m8；
Z项底数d的指数的非周期部分是Y指*Z指*m8；
U项底数d的指数的非周期部分是Y指*Z指*Z指*m8-1。

式中m1--m8都是待求乘数（一次二项式），必须先行求出。
由于4个指数两两互素，2-4个指数的最小公倍数就是2-4个指数的乘积；
2-4个指数的最大公约数都是1；
故而各个底数的非周期表达式不再用最小公倍数LCM(…)和最大公约数GCD(…)表达。

四项中的4底数3,4,12,13的指数各有一项高2次，构成一组四元毕达哥拉斯数组；
4底数a,b,c,d的指数各有一项低1次，四项中加上系数后指数变成相等。

作者: yangchuanju 时间: 2023-2-1 21:19
本帖最后由 yangchuanju 于 2023-2-2 07:20 编辑

对于不定方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)+cZ^(2n+3)=dU^(2n+5)
当n=1时，已经解得：
m1=2n，非周期函数式是8n^3+36n^2+44n+6；
m5=2n，非周期函数式是8n^3+36n^2+44n+5；
m2=2n，非周期函数式是8n^3+28n^2+18n-1；
m6=2n-1，非周期函数式是8n^3+24n^2+4n-10；
m3=2n，非周期函数式是8n^3+20n^2+4n+2；
m7=2n+2，非周期函数式是8n^3+28n^2+24n+7；
m4=2n+1，非周期函数式是8n^3+8n^2+14-4；
m5=2n，非周期函数式是8n^3+4n^2+12n-7.
4个周期函数式分别是
X项8个底数的指数的周期部分都是8n^3+40n^2+62n+30；
Y项8个底数的指数的周期部分都是8n^3+36n^2+46n+15；
Z项8个底数的指数的周期部分都是8n^3+32n^2+34n+10；
U项8个底数的指数的周期部分都是8n^3+24n^2+22n+6。

将相关函数式带入4*8=32个指数式中即得到XYZU的表达式；
再乘以各自的指数和系数，即得到方程的四项表达式，
届时你可以看到X项之底数3、Y项之底数4、Z项之底数12、U项之底数13的指数分别高2次，
刚好形成一组四元毕达哥拉斯数组。

对于本方程，当n≠3t+2时，方程四个指数两两互素，方程才有解，式中t等于0,1,2，……。

同样对于不定方程aX^(2n+1)+bY^(2n+2)+cZ^(2n+3)=dU^(4n+3)，
当n≠3t时，方程四个指数两两互素，方程才有解，式中t等于1,2,3……。

作者: yangchuanju 时间: 2023-2-2 07:17

费尔马1 发表于 2023-1-31 08:32
老师您好：
25楼，前三个底数并非一定要局限于2uv, u^α-v^α, u^α+v^α；实际上任意给定一组勾股数 ...

程中战老师曾在30楼中给出忠告，“这种方法只适用二项和方程”，对此不慎理解，现在才知，这种解法要求方程的各个指数必须两两互素。
可能不存在4个一次二项式an+b（指数）都两两互素的条件，故对于所有的an+b来说，三项和函数型丢番图不定方程无解，但当限定n的取值范围后，方程还是有解的。
再次谢谢老师指教！

作者: 费尔马1 时间: 2023-2-2 10:02
本帖最后由费尔马1 于 2023-2-2 10:11 编辑

yangchuanju 发表于 2023-2-2 07:17
程中战老师曾在30楼中给出忠告，“这种方法只适用二项和方程”，对此不慎理解，现在才知，这种解法要求方 ...

猜想，若四个数都是含字母的代数式，则不存在这四个式子两两互质。
但是，若四个数都是具体的数字，当然可以两两互质。
例，n n+1 2n+1两两互质，n+2只能与n+1互质，所以
A^n+B^(n+1)+C^(2n+1）=D^(n+2)不可解，但此方程是有解的，只需移项：
D^(n+2)-C^(2n+1)-A^n=B^(n+1）即可解。运用整体换元法解之即可，不能采用取底数法解，因为
左边各个系数的和是1-1-1=-1，负数及1都不能做底数

作者: 费尔马1 时间: 2023-2-2 10:35
n(n+2)(2n+1)x+1=(n+1)y
最小解是：
x=n
y=2n^3+3n^2-n+1

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