数学中国

标题: 求X^6+Y^4=Z^2 [打印本页]

作者: lusishun 时间: 2023-3-15 18:29
标题: 求X^6+Y^4=Z^2
的正整数解。

作者: 费尔马1 时间: 2023-3-15 20:13
求X^6+Y^4=Z^2 的正整数解。
此题有解。

作者: lusishun 时间: 2023-3-15 22:22
本帖最后由 lusishun 于 2023-3-15 14:27 编辑

假设a^2+b^2=c^2，
两边同乘以a^4，得
a^6+b^2·a^4=c^2·a^4，
两边再同乘以【（a^2·b）^2】^18，得：
（待续）

作者: lusishun 时间: 2023-3-16 01:46
本帖最后由 lusishun 于 2023-3-15 23:14 编辑

lusishun 发表于 2023-3-15 14:22
假设a^2+b^2=c^2，
两边同乘以a^4，得
a^6+b^2·a^4=c^2·a^4，

用的是凑底凑指法。

作者: lusishun 时间: 2023-3-16 01:53
本帖最后由 lusishun 于 2023-3-15 23:18 编辑

公式：
【（m^2-n^2）^7（2mn）^3】^6+【（m^2-n^2）^10（2mn）^5】^4=
【（m^2-n^2）^20·（2mn）^9·（m^2+n^2）】^2
（m，n为正整数，m大于n）

作者: lusishun 时间: 2023-3-16 07:16
本帖最后由 lusishun 于 2023-3-15 23:19 编辑

lusishun 发表于 2023-3-15 17:53
公式：
【（m^2-n^2）^7（2mn）^3】^6+【（m^2-n^2）^10（2mn）^5】^4=
【（m^2-n^2）^20·（2mn）^9（m^2 ...

取m=2，n=1，可以求出a=3，b=4，c=5时，X，Y，Z的值

作者: 费尔马1 时间: 2023-3-16 10:09

lusishun 发表于 2023-3-15 22:22
假设a^2+b^2=c^2，
两边同乘以a^4，得
a^6+b^2·a^4=c^2·a^4，

老师的方法可能得不到解？
学生的解法是：
求A^6+B^4=C^2 的正整数解。
采用逐项配方法：a^2+b^2=c^2，
两边同乘以a^4，得
a^6+(ba^2）^2=(ca^2）^2
两边同乘以(ba^2）^(6x)需6x+2=4y
最小解是 x=1 y=2
即两边同乘以(ba^2）^(6×1），即(ba^2）^6
（aba^2）^6+[(ba^2)^2]^4=(ca^2b^3a^6)^2
A=a^3b
B==a^4b^2
C==a^8b^3c
例，a=3，b=4，c=5时，有解108^6+1296^4=2099520^2

作者: 时空伴随者 时间: 2023-3-16 11:10
本帖最后由时空伴随者于 2023-3-16 11:12 编辑

7#结果基本正确，表述欠佳。
都是勾股定理若得祸！
设\(a^2+b^2=c^2\)，正整数a,b,c两两互质，两边同乘以\(a^{2x}b^{2y}\)保证右边为平方项。
得\(a^{2x+2}b^{2y}+a^{2x}b^{2y+2}=(a^xb^yc)^2\)
只要，x是2的倍数，且2x+2是6的倍数；y是3的倍数，2y+2是4的倍数，即可！
（x=2,8,14,...；y=3,9,15...）
最小解是\(12^6+36^4=2160^2\)

作者: lusishun 时间: 2023-3-16 17:41

时空伴随者发表于 2023-3-16 03:10
7#结果基本正确，表述欠佳。
都是勾股定理若得祸！
设\(a^2+b^2=c^2\)，正整数a,b,c两两互质，两边同乘以 ...

3^2+4^2=5^2，
两边同乘以3^2，得：
3^4+12^2=15^2，
两边同乘以12^4，得
36^4+12^6=（15·12^2）^2，即：
12^6+36^4=2160^2.

作者: 费尔马1 时间: 2023-3-16 17:45
本帖最后由费尔马1 于 2023-3-16 17:54 编辑

求X^6+Y^4=Z^2 的正整数解。
此题有多种解法，其中学生只会两种解法，
（1）逐项配方法；
（2）平方差公式法。
这个类型的题属于大勾股数，
A^(2x)+B^(2y)=C^(2z)
其中正整数x、y、z两两互质，则此方程有正整数解。

作者: 王守恩 时间: 2023-3-16 18:13

时空伴随者发表于 2023-3-16 11:10
7#结果基本正确，表述欠佳。
都是勾股定理若得祸！
设\(a^2+b^2=c^2\)，正整数a,b,c两两互质，两边同乘以 ...

3^2+4^2=5^2，
两边同乘以3^4，得：
3^6+6^4=45^2，

作者: 费尔马1 时间: 2023-3-16 18:13
求A^6+B^4=C^2 的正整数解
a^4+b^2=c^2
两边同×a^2
a^6+(ab)^2=(ac)^2
两边同×(ab)^(6x)需6x+2=4y，即3x+1=2y
x=1 y=2
即两边同×(ab)^6
（aba）^6+[(ab)^2]^4=[(ab)^3ac]^2
A=a^2b
B=a^2b^2
C=a^4b^3c

作者: 费尔马1 时间: 2023-3-16 18:30
a^4+b^2=c^2
例
a=3
b=12
c=15

作者: lusishun 时间: 2023-3-16 20:20
大家试一试，求
X^10+Y^4=Z^2的部分解.

作者: lusishun 时间: 2023-3-16 20:30

lusishun 发表于 2023-3-16 12:20
大家试一试，求
X^10+Y^4=Z^2的部分解.

求最小的一组，更好

作者: 费尔马1 时间: 2023-3-16 20:53
X^10+Y^4=Z^2的部分解.
a^2+b^2=c^2
(ab)^10+(a^2b^3)^4=(a^4b^5c)^2
取b=3，a=4，c=5得较小解。

作者: 费尔马1 时间: 2023-3-16 20:56
大家试一试，求
X^10+Y^4=Z^2的部分解.
a^2+b^2=c^2
两边同×a^8
a^10+(a^4b)^2=(a^4c)^2
同×(a^4b)^(10x)
10x+2=4y
…………

作者: 王守恩 时间: 2023-3-17 08:36
都是勾股定理若得祸！

\(2^{04}+003^2=005^2\Rightarrow(003*2)^{04}+003^{06}=(003^2*005)^2\)
\(2^{06}+006^2=010^2\Rightarrow(006*2)^{06}+006^{08}=(006^3*010)^2\)
\(2^{08}+012^2=020^2\Rightarrow(012*2)^{08}+012^{10}=(012^4*020)^2\)
\(2^{10}+024^2=040^2\Rightarrow(024*2)^{10}+024^{12}=(024^5*040)^2\)
\(2^{12}+048^2=080^2\Rightarrow(048*2)^{12}+048^{14}=(048^6*080)^2\)
\(2^{14}+096^2=160^2\Rightarrow(096*2)^{14}+096^{16}=(096^7*160)^2\)
\(2^{16}+192^2=320^2\Rightarrow(192*2)^{16}+192^{18}=(192^8*320)^2\)
\(2^{18}+384^2=640^2\Rightarrow(384*2)^{18}+384^{20}=(384^9*640)^2\)

作者: lusishun 时间: 2023-3-17 16:52

王守恩发表于 2023-3-17 00:36
都是勾股定理若得祸！

\(2^{04}+003^2=005^2\Rightarrow(003*2)^{04}+003^{06}=(003^2*005)^2\)

王先生：
是，X^6+Y^4=Z^2，

作者: lusishun 时间: 2023-3-17 17:01
本帖最后由 lusishun 于 2023-3-17 09:05 编辑

由2^4+3^2=5^2
两边同乘以2^2，
得：2^6+6^2=10^2，
两边同乘以6^6，得
12^6+6^8=（10·6^3）^2
即：12^+36^4=2160^2.

作者: lusishun 时间: 2023-3-18 05:26

lusishun 发表于 2023-3-15 17:53
公式：
【（m^2-n^2）^7（2mn）^3】^6+【（m^2-n^2）^10（2mn）^5】^4=
【（m^2-n^2）^20·（2mn）^9·（ ...

该公式不包裹小解

作者: wangyangke 时间: 2025-2-10 14:25
哥猜分坛的鲁思顺是个三愚蠢四无知的老牌二百五
窥熊一兵王若仲赞评鲁思顺哥猜证明之一斑而知熊王诸多猜想证明之全豹是垃圾
论坛上没有称得上靠得住的哥猜证明，却有些靠得住的二百五；鲁思顺是二百五中的突出代表，，，
鲁思顺、熊一兵、王若仲，一群傻瓜蛋

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