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标题: 用四个三边长分别为 5、6、7 的三角形纸板，拼接成一个四面体，求这个四面体的体积 [打印本页]

作者: ccmmjj 时间: 2023-3-28 21:31
标题: 用四个三边长分别为 5、6、7 的三角形纸板，拼接成一个四面体，求这个四面体的体积
来道趣味题

昨天从以前收集的材料中看到一道题，觉得挺有趣。因为很多人有一个错误想象，觉得四面相同的四面体就是正四面体。然而这道题却说不是，而且还能求体积。题目如下：
已知三角形纸板三边长分别为5、6、7。用四个这样规格的纸板拼接成一个四面体，求四面体的体积。

作者: 天山草 时间: 2023-3-28 23:40
本帖最后由天山草于 2023-3-29 11:06 编辑

四面体棱长为 AB=a=5; AD=b=7; AC=c=6; DC=p=5; BC=q=7; BD=r=6。

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上图中的 \(V\) 应该改成 \(V^2\) 才对。因此体积是 \(\sqrt{380}=19.4936\)。

作者: 王守恩 时间: 2023-3-29 09:04
用四个三边长分别为 (n-1), n, (n+1) 的三角形纸板, 拼接成一个四面体, 求这个四面体的体积

\(这个四面体的体积=\sqrt{\frac{ n^6 - 14 n^4 - 32 n^2}{72}}\ \ \ n=4,5,6,7,8,9,.....\)

如果按“四舍五入”，可以是这样一串数：

0, 9, 19, 34, 53, 78, 109, 147, 193, 248, 311, 385, 469, 565, 672, 792, 926, 1074, 1237,
1415, 1609, 1821, 2050, 2297, 2564, 2850, 3157, 3485, 3835, 4208, 4604, 5024, 5469,
5939, 6435,6959, 7509, 8088, 8697, 9334, 10003, 10702, 11433, 12197, 12994, .........

参考《已知一个四面体的六条棱长为 2、3、3、4、5、5 ，求此四面体体积的最大值》

作者: ccmmjj 时间: 2023-3-29 09:43

天山草发表于 2023-3-28 15:40
四面体棱长为 AB=a=5; AD=b=7; AC=c=6; DC=p=5; BC=q=7; BD=r=6。

是四面体体积公式吗？感觉上是不对的。

作者: luyuanhong 时间: 2023-3-29 10:40
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作者: luyuanhong 时间: 2023-3-29 10:41
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作者: 天山草 时间: 2023-3-29 11:02
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作者: 王守恩 时间: 2023-3-29 12:25

天山草发表于 2023-3-29 11:02

用四个三边长分别为 (n-1), n, (n+1) 的三角形纸板, 拼接成一个四面体, 求这个四面体的体积

\(这个四面体的体积=\sqrt{\frac{ n^6 - 14 n^4 - 32 n^2}{72}}\ \ \ n=4,5,6,7,8,9,.....\)

这公式应该没有问题，麻烦天山草找几个数验算验算。谢谢！

作者: 天山草 时间: 2023-3-29 13:42
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作者: 天山草 时间: 2023-3-29 13:56
回答时空伴随者：为什么 n=3 时不行？因为这时三角形三边为 3、4、5，是一个直角三角形。四个这样的三角形无法构成一个四面体。

作者: 王守恩 时间: 2023-3-29 16:15

天山草发表于 2023-3-29 13:42

谢谢天山草！公式没有问题。

Table[Sqrt[( n^6 - 14 n^4 - 32 n^2)/72], {n, 4, 20}]

{0, (15 Sqrt[3/2])/2, 2 Sqrt[95], (7 Sqrt[187/2])/2, 16 Sqrt[11],
(3 Sqrt[5395/2])/2, 10 Sqrt[119], (11 Sqrt[1435/2])/2, 16 Sqrt[146],
(39 Sqrt[323/2])/2, 42 Sqrt[55],(5 Sqrt[47443/2])/2, 32 Sqrt[215],
(17 Sqrt[8827/2])/2, 6 Sqrt[12551], (209 Sqrt[115/2])/2, 80 Sqrt[134]}

Table[Sqrt[( (n - 3) (n + 1)^2 (n + 5) (n^2 + 2 n + 3))/72], {n, 3, 19}]

{0, (15 Sqrt[3/2])/2, 2 Sqrt[95], (7 Sqrt[187/2])/2, 16 Sqrt[11],
(3 Sqrt[5395/2])/2, 10 Sqrt[119], (11 Sqrt[1435/2])/2, 16 Sqrt[146],
(39 Sqrt[323/2])/2, 42 Sqrt[55], (5 Sqrt[47443/2])/2, 32 Sqrt[215],
(17 Sqrt[8827/2])/2, 6 Sqrt[12551], (209 Sqrt[115/2])/2, 80 Sqrt[134]}

作者: 王守恩 时间: 2023-3-29 16:51
谢谢天山草！把"四面体体积公式"一并验算验算？谢谢天山草！

把四面体看作一个平放在桌面上的三角形ABC(P(顶点)是内部一点)，6条棱

\(BC=\sqrt{a},CA=\sqrt{b},AB=\sqrt{c},PA=\sqrt{A},PB=\sqrt{B},PC=\sqrt{C}\)

四面体体积公式如下：

\(\sqrt{\frac{aA(b+B+c+C)+bB(a+A+c+C)+cC(a+A+b+B)-(aA(a+A)+bB(b+B)+cC(c+C)+a(bc+BC)+A(bC+Bc))}{144}}\)

作者: 宇宙无理数 时间: 2023-3-29 17:10
这样的四面体称为等腰四面体. 去计算一下等腰四面体的内心与重心之间的距离.

作者: 王守恩 时间: 2023-3-29 19:36

天山草发表于 2023-3-29 13:42

谢谢天山草！把"四面体体积公式"一并验算验算？谢谢天山草(您那个公式我不会用)！

把四面体看作一个平放在桌面上的三角形ABC (P是顶点)，6条棱

\(BC=\sqrt{a},CA=\sqrt{b},AB=\sqrt{c},PA=\sqrt{A},PB=\sqrt{B},PC=\sqrt{C}\)

"四面体体积公式"(只有一个"-"号)如下：

\(\sqrt{\frac{aA(b+B+c+C)+bB(a+A+c+C)+cC(a+A+b+B)-(aA(a+A)+bB(b+B)+cC(c+C)+a(bc+BC)+A(bC+Bc))}{144}}\)

这公式比较实用，譬如：

\(6条棱是6个连续整数，四面体体积=\sqrt{\frac{ 2n^6 - 6n^5-61 n^4 +240n^3- 256n^2}{144}}\)
\(每个面是3个连续整数，四面体体积=\sqrt{\frac{ n^6 - 14 n^4 - 32 n^2}{72}}\)
\(6条棱都相同，这个四面体体积=\sqrt{\frac{ n^6}{72}}\)

作者: ccmmjj 时间: 2023-3-29 21:11
呵呵，解答已经很完整了，谢谢大家。其实我记不住这个公式，临时推算了一下，大致也是如此。这个帖子可以下沉了。

作者: 波斯猫猫 时间: 2023-3-30 18:44
如果不追求用公式解决，用坐标法也是一个不错的路径。用到的东西是勾股定理，空间两点距离和解方程组（不难，较易计算）。

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