数学中国

标题: 已知平面上一点 P 到正三角形 ΔABC 三顶点的距离为 3,5,7 ，求正三角形 ΔABC 的面积 [打印本页]

作者: wintex 时间: 2023-4-1 16:00
标题: 已知平面上一点 P 到正三角形 ΔABC 三顶点的距离为 3,5,7 ，求正三角形 ΔABC 的面积
請問數學

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作者: Nicolas2050 时间: 2023-4-1 17:33
本帖最后由 Nicolas2050 于 2023-4-1 17:51 编辑

ANS:
正三角形内存在这一点满足要求。

设三角形边长为a，
S△ABC=√3a²/4=(3+5+7)*a/2，a=0（舍去），a=10√3，正三角形边长是10√3。

S△ABC=1/2*a*a*sin60=10√3*10√3**√3/4=300√3/4=75√3

作者: luyuanhong 时间: 2023-4-1 18:57
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

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从上面的解答可以看出，到正三角形各顶点距离为 3、5、7 的点 P 只有两种解：

一种解 P 点在正三角形外，另一种解 P 点在正三角形边上。

由此可见，如果要求 P 点完全在正三角形内部，那是不可能的，没有这样的解。

当然，如果不要求 ΔABC 是正三角形，P 点在三角形内部的解，那是很容易得到的。

作者: wintex 时间: 2023-4-1 19:18

luyuanhong 发表于 2023-4-1 18:57
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

1.請問陸老師，有沒有一種方式判斷到正三角形各顶点距离为 a、b、c的點p不存在於內部
2.若到正三角形各顶点距离为 a、b、c的點p，a,b,c滿足畢氏定理，p可能能在內，上或外或同時皆存在

作者: 天山草 时间: 2023-4-1 20:13
本帖最后由天山草于 2023-4-1 20:31 编辑

借用陆教授 3# 楼的图，解下面的复数方程，并解答 4# 楼提出的P点为什么不可能在三角形内部的问题。

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方程只有两组解，第一个解P点在三角形外，第二个解P点在AB边上。没有P点在三角形内部的第三组解。

作者: 天山草 时间: 2023-4-1 20:55
本帖最后由天山草于 2023-4-1 21:00 编辑

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至于楼主的第二个问题，若距离为 3、4、5，则是一组勾股数。此时也是两组解，有一组解P点在三角形内部。

这两组解是：

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近似数字解是：

[attach]125618[/attach]

作者: 陈九章 时间: 2023-4-2 22:44
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作者: 陈九章 时间: 2023-4-2 22:45
本帖最后由陈九章于 2023-4-2 22:54 编辑

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可以推广到正四面体

作者: wintex 时间: 2023-4-2 23:51

陈九章发表于 2023-4-2 22:45
可以推广到正四面体

但是不對

作者: 王守恩 时间: 2023-4-3 16:13
已知平面上一点到正三角形三顶点的距离为 3,5,7, 求正三角形边长。

\(当四面体体积=0时,可求得正三角形边长\ a=8, a=\sqrt{19}\)

\(\sqrt{\frac{a^2(3^25^2+5^27^2+7^23^2+a^2(3^2+5^2+7^2)-a^4-3^4-5^4-7^4)}{144}}=0\)

附"四面体体积公式"：

\(\sqrt{\frac{aA(b+B+c+C)+bB(a+A+c+C)+cC(a+A+b+B)-(aA(a+A)+bB(b+B)+cC(c+C)+a(bc+BC)+A(bC+Bc))}{144}}\)

把四面体看作一个平放在桌面上的三角形ABC (P是顶点)，6条棱

\(BC=\sqrt{a},CA=\sqrt{b},AB=\sqrt{c},PA=\sqrt{A},PB=\sqrt{B},PC=\sqrt{C}\)

作者: wintex 时间: 2023-4-3 16:41

wintex 发表于 2023-4-2 23:51
但是不對

但我想知道有無類似正確結果

作者: luyuanhong 时间: 2023-4-3 19:47
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

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作者: 王守恩 时间: 2023-4-4 05:30
已知平面上一点到正三角形三顶点的距离为 A,B,C, 求正三角形边长。

\(当四面体体积=0时,可求得正三角形边长\ a,不妨约定A≤B≤C≤A+B\)

\(\sqrt{\frac{a^2(A^2B^2+B^2C^2+C^2A^2+a^2(A^2+B^2+C^2)-a^4-A^4-B^4-C^4)}{144}}=0\)

\(a^2(A^2B^2+B^2C^2+C^2A^2+a^2(A^2+B^2+C^2)-a^4-A^4-B^4-C^4)=0\)

\(A^2B^2+B^2C^2+C^2A^2+a^2(A^2+B^2+C^2)-a^4-A^4-B^4-C^4=0\)

\(a^4 - a^2 (A^2 + B^2 + C^2) - (A^2 B^2 + B^2 C^2 + C^2 A^2 - A^4 - B^4 - C^4) =0\)

\(a^2 - a (A^2 + B^2 + C^2) - (A^2 B^2 + B^2 C^2 + C^2 A^2 - A^4 - B^4 - C^4) =0\)

化简，至此，也就是解一元二次方程，2个解。

\((a_{1})^2=\frac{A^2+B^2+C^2+\sqrt{3(2A^2B^2+2B^2C^2+2C^2A^2-A^4-B^4-C^4)}}{2}\)

\((a_{2})^2=\frac{A^2+B^2+C^2-\sqrt{3(2A^2B^2+2B^2C^2+2C^2A^2-A^4-B^4-C^4)}}{2}\)

\(特别地,当A=3,B=5,C=7,解得a_{1}=8,a_{2}=\sqrt{19}\)

作者: 陈九章 时间: 2023-4-4 07:12
几年前，辅导学生写的文章，差点在《数学传播》上发表，
审稿老师、台大某名教授也给出了一个“高观点”的证明。
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作者: 陈九章 时间: 2023-4-4 07:12
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作者: 陈九章 时间: 2023-4-4 07:13
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作者: 陈九章 时间: 2023-4-4 07:14
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作者: 陈九章 时间: 2023-4-4 07:21
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作者: luyuanhong 时间: 2023-4-5 19:49
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