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标题: 已知 x,y>0 ，x^3+y^3-x/4-y/4=3 ，求 13x+y 的最大值 [打印本页]

作者: 王守恩 时间: 2024-1-27 08:41
标题: 已知 x,y>0 ，x^3+y^3-x/4-y/4=3 ，求 13x+y 的最大值
[转载]如何解决这个二元不等式求最大值问题？

已知 x,y>0, x^3+y^3-x/4-y/4=3, 求13x+y最大值。

注：本题源自清华大学2024年1月中学生标准学术能力测试第8题，
欢迎各位采用各种方法，例如简洁优美的不等式法，甚至可以是几何法，也期望给出通法。

作者: 王守恩 时间: 2024-1-27 08:43
x^3+y^3-x/4-y/4=3

4x^3-x+4y^3-y=12

x(2x+1)(2x-1)+y(2y+1)(2y-1)=12

求13x+y最大值。瞪眼: y尽量小, 2y-1=0, y=1/2。

作者: Nicolas2050 时间: 2024-1-27 11:13
本帖最后由 Nicolas2050 于 2024-1-27 11:31 编辑

已知 x,y>0, x^3+y^3-x/4-y/4=3, 求13x+y最大值。

注：本题源自清华大学2024年1月中学生标准学术能力测试第8题

Sulution:

由AM-GM不等式得：

3abc<=a^3+b^3+c^3;
4(13x+y)=3*2x*3*3+3*2y*1*1-2x-2y<=[(2x)^3+3^3+3^3]+[(2y)^3+1^3+1^3]-2x-2y
=8x^3+8y^3-2x-2y+56=8[x^3+y^3-x/4-y/4]+56=8*3+56=80

当且仅当2x＝3，2y＝１时取等号；即x=3/2,y=1/2取等号.

(13x+y)<=80/4=20.x=3/2,y=1/2取等号.

so (13x+y)max=20.
Q.E.D

Appendix:
证明：a,b,c均大于等于0,a³+b³+c³>=3abc

作者: 王守恩 时间: 2024-1-28 09:40
给出通法。《数学中国论坛》的学习氛围还是很好的。谢谢Nicolas2050！谢谢陆老师！

\(已知 x,y>0,x^3+y^3-(x+y)/C=B, 求A*x+y最大值。\)

\(等同解二元方程组: x^3+y^3-(x+y)/C=B,\frac{3y^2-1/C}{3x^2-1/C}=\frac{1}{A}\)

\(已知 x,y>0,(x^3+y^3)*D-(x+y)/C=B, 求A*x+y最大值。\)

\(等同解二元方程组: (x^3+y^3)*D-(x+y)/C=B,\frac{3Dy^2-1/C}{3Dx^2-1/C}=\frac{1}{A}\)

作者: 王守恩 时间: 2024-1-29 09:56

王守恩发表于 2024-1-28 09:40
给出通法。《数学中国论坛》的学习氛围还是很好的。谢谢Nicolas2050！谢谢陆老师！

\(已知 x,y>0,x^3+y^ ...

谢谢 Nicolas2050! 能用你的方法把这答案(答案没问题)表述一下？谢谢！

作者: cgl_74 时间: 2024-1-29 15:59
本帖最后由 cgl_74 于 2024-1-29 16:04 编辑

王同学很好学，想要学通用解法。
这种求最大值的问题，本质上都是解方程组。像本题，带约束条件的最值问题，通用解法是拉格朗日乘数法。3个变量的偏导数组成3个方程的高次方程组，解之即可。
当然还可以用待定系数法，用均值不等式去配凑。其中含待定系数，也是需要解方程组的。把待定系数求出来。

3楼的解法答案是对的，但是解答方法是凑的。看上去很巧妙，其实是典型的知道答案去寻求解法。如果本题是证明题，就非常简单。就是证明当x =3/2, y=1/2时是最大值。相当于证明方程组的一组解，与求出方程组的解，难度是不一样的。

作者: cgl_74 时间: 2024-1-29 16:28

cgl_74 发表于 2024-1-29 15:59
王同学很好学，想要学通用解法。
这种求最大值的问题，本质上都是解方程组。像本题，带约束条件的最值问题 ...

这位Nicolas2050，不知道你的来历。但从你发帖给的解法看，其实很粗浅。你自己的水平如何，你自己应该知道得很清楚。你在网上说大话吓唬人，别人不知道如何，但想吓唬我就显得很可笑！

而且，为什么要拿高考，拿文凭来压人呢？有什么low的比较条件吗？我很早就从985大学毕业了，高中时我也拿过高中数学联赛一等奖。你要是用这个来吓唬我，真实太可笑了！

作者: cgl_74 时间: 2024-1-29 16:52
哎，我真是又气又好笑！要吹牛也要说拿过国家科技进步奖，或者院士，教授头衔什么的。没听过那高考来吹牛的！

作者: 波斯猫猫 时间: 2024-1-29 20:34
本帖最后由波斯猫猫于 2024-1-29 20:35 编辑

已知 x，y>0 ，x^3+y^3-x/4-y/4=3 ，求 13x+y 的最大值.

思路：由x，y>0 ，x^3+y^3-x/4-y/4=3 有，8x^3+8y^3-2x-2y=24，

或24+2a^3+2b^3=(2x)^3+2a^3+(2y)^3+2b^3-2x-2y≥6xa^2-2x+6yb^2-2y

=2(3a^2-1)x+2(3b^2-1)y，即(3a^2-1)x+(3b^2-1)y≤12+a^3+b^3(a，b∈R+)，

当且仅当2x=a，2y=b时等号成立。特别地，当2x=a=3，2y=b=1时，有13x+y ≤20。

注：为了把三次幂降为一次幂，必须配上2a^3+2b^3。

作者: cgl_74 时间: 2024-1-30 13:05
我接下来给出2种比较通用的解法。讲清楚解法的关键点和难点。
[attach]138686[/attach]

作者: cgl_74 时间: 2024-1-30 13:43
解法2:均值不等式加上待定系数法
[attach]138687[/attach]

作者: cgl_74 时间: 2024-1-30 13:47
以10楼，11楼的解法为例说明了通用方法是如何做的；同时也揭示了，这种求极值问题，本质上就是解方程组。如果知道了方程组的解，再进行证明，其实就相对简单。

to Nicolas2050: 之所以说你的解法很粗浅，是因为你根本不知道方法的难点和关键点在哪里，不管你是抄来的答案还是凑出来的答案，明眼人一眼就可以看穿你。

作者: 波斯猫猫 时间: 2024-1-30 16:15
头晕眼花，眼花聊人。

作者: 王守恩 时间: 2024-2-1 09:01
《数学中国论坛》的学习氛围还是很好的。谢谢Nicolas2050！谢谢cgl_74！谢谢波斯猫猫！

\(已知 x,y>0,x^3+y^3-x/4-y/4=3, 求13x+y最大值。\)

\(等同解二元方程组: x^3-x/4+y^3-y/4=3,\frac{3y^2-1/4}{3x^2-1/4}=\frac{1}{13}(1)\)

求13x+y最大值。瞪眼(方向明确): x尽量大 , y尽量小,

y最大=1/2(y^3-y/4=0)=>x^3-x/4=3,x=3/2

试探一下：y=1/2, x=3/2代入(1)恰好满足。

\(这题目难就难在是3次(如果是2次用\sin^2(a)+\cos^2(a)=1就解决了)\)

这题目好就好在是3次: 不管13变得多大，x<1.50736432不变。

作者: Nicolas2050 时间: 2024-2-4 18:55
本帖最后由 Nicolas2050 于 2024-2-4 18:56 编辑

已知x、y为正实数,且满足xy^2(3x+ 4y)=3,则(3x+ 2y)的最小值为?[这次我不给答案了]

作者: cgl_74 时间: 2024-2-5 00:02
15楼的题目，用10楼的方法做，解方程组更为简单。最小值为2*3^0.5

作者: Nicolas2050 时间: 2024-2-6 15:39
高一不等式

作者: 王守恩 时间: 2024-2-7 15:50
本帖最后由王守恩于 2024-2-7 15:54 编辑

Nicolas2050 发表于 2024-2-6 15:39
高一不等式

\(已知\ x\ 是一个锐角,那么\ \frac{8}{\sin(x)}+\frac{1}{\cos(x)}\ 的最小值=?\)

N[Minimize[{8/Sin[x] + 1/Cos[x], Pi/2 > x > 0}, {x}], 20]

复制代码

{11.180339887498948482, {x -> 1.1071487177940905030}}
\(电脑是这样出来的。经反复推算：\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{1}{2}。\)

作者: 王守恩 时间: 2024-2-13 11:45
挺不错的题目。谢谢Nicolas2050！

谢谢 cgl_74！谢谢波斯猫猫！谢谢陆老师！《数学中国论坛》的学习氛围还是很好的。

\(已知\ x\ 是一个锐角,求\ \frac{a}{\sin(x)}+\frac{b}{\cos(x)}\ 的最小值。\)

\(等同解方程: \frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\)

作者: Nicolas2050 时间: 2024-2-13 22:31

Nicolas2050 发表于 2024-2-4 18:55
已知x、y为正实数,且满足xy^2(3x+ 4y)=3,则(3x+ 2y)的最小值为?[这次我不给答案了]

tips:万能Ｋ法。

作者: 波斯猫猫 时间: 2024-2-13 22:49
本帖最后由波斯猫猫于 2024-8-30 16:59 编辑

题：已知x，y∈R+，且满足xy^2.(3x+ 4y)=3，求3x+ 2y的最小值。

思路：∵k(3x+ 2y)=(3x+ 4y)+(k-2)y+(k-2)y+3(k-1)x≥4[3(k-1)(k-2)^2.xy^2.(3x+ 4y)]^(1/4) (k＞2),

且xy^2.(3x+ 4y)=3，∴k(3x+ 2y)≥4[9(k-1)(k-2)^2]^(1/4)。(使用均值定理得到)

又由(3x+ 4y)=(k-2)y=3(k-1)x有，3x=(k-6)y，3x(k-1)=(k-2)y，消去x,y整理得，k^2-8k+8=0，即k=4+2√2。

将其代入k(3x+ 2y)≥4[9(k-1)(k-2)^2]^(1/4)中，化简得3x+ 2y≥2√3(仅当3x=√12-√6，2y=√6时取得最小值)。

(权档服从中仰：xy^2.(3x+ 4y)=3)

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