数学中国

标题: 偶指数的不定方程 [打印本页]

作者: 费尔马1 时间: 2024-2-23 16:25
标题: 偶指数的不定方程
解丢番图方程：
A^6+B^8=C^10
其中一个答案是：
A=2^7*u*v（u^6－v^6）^5*（u^6+v^6）^8
B=2^5*（u^6－v^6）^4*（u^6+v^6）^6
C=2^4*（u^6－v^6）^3*（u^6+v^6）^5
其中，u、v为正整数，u>v

作者: 费尔马1 时间: 2024-2-23 16:27
比尔方程的三个指数有最大公约数2时，且约去2之后的三个指数两两互质，则不定方程有特解（类勾股数解）。

作者: 费尔马1 时间: 2024-2-24 13:47
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作者: 费尔马1 时间: 2024-2-24 19:00
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作者: 费尔马1 时间: 2024-2-25 18:20
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作者: 费尔马1 时间: 2024-2-26 10:58
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作者: 费尔马1 时间: 2024-2-26 17:32
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作者: Treenewbee 时间: 2024-2-26 17:48
另一个解：\[\left(2^{14} 3^5 5^8\right)^6+\left(2^{10} 3^4 5^6\right)^8=\left(2^8 3^3 5^5\right)^{10}\]

作者: Treenewbee 时间: 2024-2-26 17:52
或者\[\left(2^{10} 3^7 5^8\right)^6+\left(2^8 3^5 5^6\right)^8=\left(2^6 3^4 5^5\right)^{10}\]

作者: 费尔马1 时间: 2024-2-26 21:37

Treenewbee 发表于 2024-2-26 17:52
或者\[\left(2^{10} 3^7 5^8\right)^6+\left(2^8 3^5 5^6\right)^8=\left(2^6 3^4 5^5\right)^{10}\]

T老师的两个题与下面的这个题类似：
解不定方程
A^11+B^13=C^17
A=a^181*b^170*c^91
B=a^153*b^144*c^77
C=a^117*b^110*c^59
其中，a、b、c为正整数，且a^2+b^2=c^2
2024年元宵节

作者: 费尔马1 时间: 2024-2-26 21:41
这说明，若指数是勾股数的平方，这种方程有两种解法。

作者: lusishun 时间: 2024-2-27 07:13
本帖最后由 lusishun 于 2024-2-26 23:14 编辑

Treenewbee 发表于 2024-2-26 09:52
或者\[\left(2^{10} 3^7 5^8\right)^6+\left(2^8 3^5 5^6\right)^8=\left(2^6 3^4 5^5\right)^{10}\]

由您的解得：
（4^5·3^7·5^8)^6+(4^4·3^5·5^6)^8=(4^3·3^4·5^5)^10.
用一组勾股数，按大小顺序，换下上式中的底数3，4，5，，就是一组新解。由您的每一组解，都可以得到无穷多组解。

作者: lusishun 时间: 2024-2-27 07:37
我也求一组
x^6+y^8=z^10的解：
(3^67·4^25·5^8)^6+(3^50·4^19·5^6)^8=(3^40·4^15·5^5)^10,
依次用一组勾股数a，b，c代入上边式子中的底数3，4，5，就可以得到一组
新的解，勾股数有无数多组，由上式就可以得到无穷多组解。

作者: 费尔马1 时间: 2024-2-27 10:46
解不定方程
X^16+Y^30=Z^34
X=a^32*b^238*c^240
Y=a^17*b^127*c^128
Z=a^15*b^112*c^113
其中，a、b、c为正整数，且a^2+b^2=c^2
2024－2－27

作者: 费尔马1 时间: 2024-2-27 18:32
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作者: 费尔马1 时间: 2024-2-28 17:10
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作者: 费尔马1 时间: 2024-2-29 17:00
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作者: 费尔马1 时间: 2024-3-1 09:26
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作者: 费尔马1 时间: 2024-3-2 10:01
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作者: 费尔马1 时间: 2024-3-2 18:07
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作者: 费尔马1 时间: 2024-3-3 09:24
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作者: 费尔马1 时间: 2024-3-5 10:22
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作者: 费尔马1 时间: 2024-3-7 17:16
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作者: 费尔马1 时间: 2024-3-8 13:11
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作者: 费尔马1 时间: 2024-3-8 13:12
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作者: 费尔马1 时间: 2024-3-22 12:12
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作者: 费尔马1 时间: 2024-3-23 13:41
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作者: 费尔马1 时间: 2024-3-26 11:53
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作者: 费尔马1 时间: 2024-3-26 11:54
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作者: 费尔马1 时间: 2024-3-27 15:55
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作者: lusishun 时间: 2024-3-28 09:11
网友们，研究的重点移到这里来吧，偶次的三个指数最大公约数为2.
程先生在这方面，做了开创性的公作。

作者: lusishun 时间: 2024-3-28 18:22
一起玩个指数大的，大勾股方程：
x^202+y^206=z^14.

（不急，慢慢玩）

作者: 费尔马1 时间: 2024-3-29 15:26

lusishun 发表于 2024-3-28 18:22
一起玩个指数大的，大勾股方程：
x^202+y^206=z^14.

A^202+B^206=C^14
其中一个答案是：
A=2^257*u*v*（u^202－v^202）^567*（u^202+v^202）^618
B=2^252*（u^202－v^202）^556*（u^202+v^202）^606
C=2^3708*（u^202－v^202）^8181*（u^202+v^202）^8917
其中，u、v为正整数，且u＞v

作者: 费尔马1 时间: 2024-4-3 09:07
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作者: 费尔马1 时间: 2024-4-4 09:01
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作者: lusishun 时间: 2024-4-4 18:25
时空伴随者，很长时间没有参与了

作者: lusishun 时间: 2024-4-5 07:50

朱明君发表于 2024-4-4 11:23
\(x^6+y^8=z^2\)
\(\left( 1\times3^8\right)^6+\left( 2\times3^6\right)^8=\left( 3^{25}\right)^2\)

左边=3^48+2^8·3^48=(1+2^8)·3^48,
不等于右边

作者: lusishun 时间: 2024-4-5 19:24

lusishun 发表于 2024-4-4 23:50
左边=3^48+2^8·3^48=(1+2^8)·3^48,
不等于右边

朱先生有扯去的贴子

作者: 费尔马1 时间: 2024-4-6 14:54
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作者: cz1 时间: 2024-4-6 16:25

lusishun 发表于 2024-4-4 18:25
时空伴随者，很长时间没有参与了

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作者: cz1 时间: 2024-4-6 16:25

lusishun 发表于 2024-4-5 19:24
朱先生有扯去的贴子

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作者: cz1 时间: 2024-4-6 16:27

lusishun 发表于 2024-4-4 18:25
时空伴随者，很长时间没有参与了

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作者: 费尔马1 时间: 2024-4-12 15:10
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作者: 费尔马1 时间: 2024-4-13 14:18
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作者: 费尔马1 时间: 2024-5-9 16:58
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作者: 费尔马1 时间: 2024-5-11 13:09
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作者: 费尔马1 时间: 2024-11-12 17:11
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