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标题: (a^2+3)/p=c两整数解之和等于p [打印本页]

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-17 12:19
标题: (a^2+3)/p=c两整数解之和等于p
不定方程(a^2+3)/p=c两整数解之和等于p

对于不定方程(a^2+3)/p=c，在p范围内2个整数解之和等于p的证明

证明：
不定方程中的a和c是大于等于1的正整数，p是模6余1的素数。
设不定方程的第一个整数解是t，则(t^2+3)/p=c，
取a=p-t试一试，[(p-t)^2+3]/p=[p^2-2pt+t^2+3]/p=p-2t+c也是整数；
t+(p-t)=p，故原不定方程的两个整数解的和等于p。
因为a^2+3都是模6余1的整数，其中没有模6余5的素因子，故分母中如果含有模6余5的素因子，则就没有整数解了。

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-17 12:21
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-17 17:24 编辑

对于不定方程(a^2+3)/(p1*p2*p3)=c，在p1*p2*p3范围内有8个整数解的证明
不定方程中的a,c是大于等于1的正整数，p1,p2,p3是模6余1的素数；现以p1=7,p2=13,p3=19证明之，7*13*19=1729。

对于不定方程(a^2+3)/7=c，在7以内共有2个整数解，相加等于7，7的2个整数解可能位于16,25或34位；在91以内共有2*13=26个整数解，在1729以内共有2*13*19=494个整数解；
对于不定方程(a^2+3)/13=c，在13以内共有2个整数解，相加等于13，13的2个整数解可能位于1c,2b,3a,49,58或67位；在91以内共有2*7=14个整数解，在1729以内共有2*7*19=266个整数解；
（整数解位号中的abcdef……分别表示第10,11,12,13,14,15……位，下同）
对于不定方程(a^2+3)/91=c，在91以内共有4个整数解，相加等于91；必须在7和13的共同有解位。
对7的3种整数解位和13的6种整数解位两两组合（排列）共18种排列方式；
对p1有(p1-1)/2种解位，对p2有(p2-1)/2种解位，各种解位两两组合共(p1-1)/2*(p2-1)/2种排列方式；
经统计每种排列方式之中都有4个共同解，即不论两个素数的单个整数解如何排列，都有4个整数解。

对于不定方程(a^2+3)/19=c，在19以内共有2个整数解，相加等于19，19的2个整数解可能位于1i,2h,3g,4f,5e,6d,7c,8b或9a位；在1729以内共有2*91=182个整数解；
对于不定方程(a^2+3)/1729=c，在1729以内共有8个整数解，相加等于1729；必须在91和19的共同有解位。
对7的3种整数解位、13的6种整数解位和19的9种整数解位两两组合（排列）共18*9=162种排列方式；
对p1有(p1-1)/2种解位，对p2有(p2-1)/2种解位，对p3有(p3-1)/2种解位，各种解位两两组合共(p1-1)/2*(p2-1)/2*(p3-1)/2种排列方式；
经统计每种排列方式之中都有8个共同解，即不论三个素数的单个整数解如何排列，都有8个整数解。

由于三个素因子两两互素，每种排列都会有8个共同整数解；
任意排列共有(p1-1)/2*(p2-1)/2*(p3-1)/2种排列，实际上对于特定的三个素数只要一种特定的排列，
对于这一个特定排列也一定有8个整数解！

类似的可以证明，当分母是素因子各不相同的二合数、四合数、五合数、六合数……n合数时，分别有4,16,32,64……2^n个整数解。

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-17 12:24
a a^2+3 7 13 19 91 133 247 1729
1 4 0 0 0 0 0 0 0
2 7 1 0 0 0 0 0 0
3 12 0 0 0 0 0 0 0
4 19 0 0 1 0 0 0 0
5 28 1 0 0 0 0 0 0
6 39 0 1 0 0 0 0 0
7 52 0 1 0 0 0 0 0
8 67 0 0 0 0 0 0 0
9 84 1 0 0 0 0 0 0
10 103 0 0 0 0 0 0 0
11 124 0 0 0 0 0 0 0
12 147 1 0 0 0 0 0 0
13 172 0 0 0 0 0 0 0
14 199 0 0 0 0 0 0 0
15 228 0 0 1 0 0 0 0
16 259 1 0 0 0 0 0 0
17 292 0 0 0 0 0 0 0
18 327 0 0 0 0 0 0 0
19 364 1 1 0 1 0 0 0
……
1711 2927524 0 0 0 0 0 0 0
1712 2930947 0 0 0 0 0 0 0
1713 2934372 1 0 0 0 0 0 0
1714 2937799 0 0 1 0 0 0 0
1715 2941228 0 0 0 0 0 0 0
1716 2944659 0 0 0 0 0 0 0
1717 2948092 1 0 0 0 0 0 0
1718 2951527 0 0 0 0 0 0 0
1719 2954964 0 0 0 0 0 0 0
1720 2958403 1 0 0 0 0 0 0
1721 2961844 0 0 0 0 0 0 0
1722 2965287 0 1 0 0 0 0 0
1723 2968732 0 1 0 0 0 0 0
1724 2972179 1 0 0 0 0 0 0
1725 2975628 0 0 1 0 0 0 0
1726 2979079 0 0 0 0 0 0 0
1727 2982532 1 0 0 0 0 0 0
1728 2985987 0 0 0 0 0 0 0
1729 2989444 0 0 0 0 0 0 0
表中：1——是整数解；0——不是整数解

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-17 12:26
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-17 17:27 编辑

不定方程(a^2+3)/7=c，在7以内共有2个整数解，相加等于7，7的2个整数解可能位于16，25或34位
a 7.1 7.2 7.3
1 1
2 1
3 1
4 1
5 1
6 1
7
【附注】实际只要一种解位a=2和5，简写作25。

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-17 12:28
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-17 17:29 编辑

不定方程(a^2+3)/13=c，在13以内共有2个整数解，相加等于13，13的2个整数解可能位于1c，2b，3a，49，58或67位
a 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6
1 1
2 1
3 1
4 1
5 1
6 1
7 1
8 1
9 1
10 1
11 1
12 1
13
【附注】实际解位只有一种，a=6和7，简写作67。

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-17 12:35
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-17 17:31 编辑

对于不定方程(a^2+3)/(p1*p2*p3)=c，在p1*p2*p3范围内有8个整数解的证明
不定方程中的a,c是大于等于1的正整数，p1,p2,p3是模6余1的素数；现以p1=7,p2=13,p3=19证明之，7*13*19=1729。

对于不定方程(a^2+3)/7=c，在7以内共有2个整数解，相加等于7，7的2个整数解可能位于16,25或34位；在91以内共有2*13=26个整数解，在1729以内共有2*13*19=494个整数解；
对于不定方程(a^2+3)/13=c，在13以内共有2个整数解，相加等于13，13的2个整数解可能位于1c,2b,3a,49,58或67位；在91以内共有2*7=14个整数解，在1729以内共有2*7*19=266个整数解；
（整数解位号中的abcdef……分别表示第10,11,12,13,14,15……位，下同）
对于不定方程(a^2+3)/91=c，在91以内共有4个整数解，相加等于91；必须在7和13的共同有解位。
对7的3种整数解位和13的6种整数解位两两组合（排列）共18种排列方式；
对p1有(p1-1)/2种解位，对p2有(p2-1)/2种解位，各种解位两两组合共(p1-1)/2*(p2-1)/2种排列方式；
经统计每种排列方式之中都有4个共同解，即不论两个素数的单个整数解如何排列，都有4个整数解。

a 1 2 3 4 17 18
1 2 1 1 1 0 0
2 0 1 0 0 0 0
3 0 0 1 0 1 1
4 0 0 0 1 1 1
5 0 0 0 0 1 0
6 1 1 1 1 0 1
7 0 0 0 0 0 1
8 1 1 1 1 1 0
9 0 0 0 1 0 0
10 0 0 1 0 1 1
11 0 1 0 0 1 1
12 1 0 0 0 0 0
13 1 1 1 1 0 0
……
90 2 1 1 1 0 0 2
91 0 0 0 0 0 0 0
2个数 4 4 4 4 4 4

2个数——即二合数91的各种排列式的整数解个数。

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-17 12:41
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-17 12:44 编辑

对于不定方程(a^2+3)/19=c，在19以内共有2个整数解，相加等于19，19的2个整数解可能位于1i,2h,3g,4f,5e,6d,7c,8b或9a位；在1729以内共有2*91=182个整数解；
对于不定方程(a^2+3)/1729=c，在1729以内共有8个整数解，相加等于1729；必须在91和19的共同有解位。
对7的3种整数解位、13的6种整数解位和19的9种整数解位两两组合（排列）共18*9=162种排列方式；
对p1有(p1-1)/2种解位，对p2有(p2-1)/2种解位，对p3有(p3-1)/2种解位，各种解位两两组合共(p1-1)/2*(p2-1)/2*(p3-1)/2种排列方式；
经统计每种排列方式之中都有8个共同解，即不论三个素数的单个整数解如何排列，都有8个整数解。

由于三个素因子两两互素，每种排列都会有8个共同整数解；
任意排列共有(p1-1)/2*(p2-1)/2*(p3-1)/2种排列，实际上对于特定的三个素数只要一种特定的排列，
对于这一个特定排列也一定有8个整数解！

类似的可以证明，当分母是素因子各不相同的二合数、四合数、五合数、六合数……n合数时，分别有4,16,32,64……2^n个整数解。

a A1 A18 B1 B18 C1 C18 I1 I18
1 3 1 2 0 2 0 2 0
2 0 0 1 1 0 0 0 0
3 0 1 0 1 1 2 0 1
4 0 1 0 1 0 1 0 1
5 0 0 0 0 0 0 0 0
6 1 1 1 1 1 1 1 1
7 0 1 0 1 0 1 0 1
8 1 0 1 0 1 0 1 0
9 0 0 0 0 0 0 1 1
10 0 1 0 1 0 1 1 2
11 0 1 0 1 0 1 0 1
12 1 0 1 0 1 0 1 0
13 1 0 1 0 1 0 1 0
……
1727 0 0 1 1 0 0 0 0
1728 3 1 2 0 2 0 2 0
1729 0 0 0 0 0 0 0 0

3个数 8 8 8 8 8 8 8 8

162中排列方式中3个数都是8个，即各种可能排列中的整数解个数都是8。

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-17 12:45
不定方程(a^2+3)/(p1*p2*…*pn)=c在1-p1*p2*…*pn范围内共有2^n个整数解，第1个小于p1*p2*…*pn/2，第2^n/2个不大于p1*p2*…*pn/2；
不定方程中的p1、p2、…、pn都是模6余1的素数。
只考虑第1个整数解a，它大于等于1，小于等于p1*p2*…*pn/2；有整数解的最小a应大于等于(p1*p2*…*pn-3)的平方根，一般认为大于p1*p2*…*pn的平方根即可；
要寻找它的最小整数解可从a=√(p1*p2*…*pn-3)开始，不必从a=1开始。

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-17 12:46
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-17 17:35 编辑

不定方程(a^2+3)/(2^p-1)=c在1-(2^p-1)范围内可能有2个或多个整数解；
不定方程中的2^p-1是梅森数。
若不定方程在2^p-1以内只有2个整数解，则2^p-1是素数，否则多个整数解及没有整数解的都是合数。
此法可以当作判断一个梅森数是不是梅森素数的一种方法，但该法实用价值很小；
因为梅森数都非常大，要判断它有没有整数解、有几个整数解非常困难，甚至不可能；
有解找不到，多解找不全是正常现象。
试想一个二合梅森数应有4个整数解，但我们费了九牛二虎之力，仅找到2个（找到1个后第2个迎刃而解），你能断定它是梅森素数吗？
一个梅森素数应该有2个整数解，如果我们连一个也没有找到（中间计算数值超界或计算误差都有可能找不到它的正确整数解，计算误差就不用说了），你能断定它一定不是梅森素数吗？

作者: 太阳 时间: 2024-4-17 13:57
本帖最后由太阳于 2024-4-17 14:05 编辑

(22374409540713252305937784154097278455686355260294264209082609675141894979517995824637882437579036322097480866815321796017098253533468270654139310715130669074908416658627182515642936250860404635935473420230235317248696314653397309354164114816234096229338406325749512812092225049869779423839571018442424580060635834926137719803297717644851952053756963695681339121225539123881789914395810156421579964539989040856733483263618405135507793478978055171587569623957693544196797897186255617234783739341249985745419377705271744298885911854498909795185990791325082656878453970774394714176698353038081976860179831463843377419489061331724997161598258154409976056125769900080299993843851608639216034^2+3)/(2^2281-1)＝1122233055447768129778599392799236214993728618895965978105411233208832454771200863349729892774825965249472409350961046119215026275385045542703431006500363404708561670338159928843447845754006211980513583219463042167202527797550088946944377586644684225311715401727560116409413900864286160475809537572406886575965497980804391450554862632761721945041355798903846104703464843500443855481158801417899337376392666990722900556575753820586127197531668779395885102507736272059009651158997204301307062618488666235915407413590831389756810559660529319469762428457708495421256129491651495854028237759402235010675791631303909933204561647923572337156618811924177128549024666762974697659433041483462009
(423713147643045177265213922248004531430522277152565636902908610288262790813302477544474662831424952704055765064308994906378660452160211094136764186746016401990345776695310942462583371696452006162939395619840044011180113997101446798740714137678632664740248591803233133065503803929301757538663497411174907122124114489656871452028807198405305676832849408449820363104699586100195039691031363417543233030710580371623987255213236888546158919365853135706033037162706168646043320673550576284651695486469164728333516008857226223879843215775096014616774970595388863623020821036180522425582097708185721416677201203202651025531562997716243696093790389776030949048061047109559871770289320809493620317^2+3)/(2^2281-1)＝402460971157779693089054737486706489189829650511167338671931411846329728288555682583186510286620742347207756606844634156480777224902127869025328307037386096320145921707021919875783883291345607738984435782829271736098620210245599578333494400449043252736221900879211180369820992780296264275299735930304889428639444152711538123676064343393215446724133800553042870088177511819813693632116712062539552403546983997757976672506194237231237253084406749313841352641256211373905532427523317871718218809746403408824012038565545310970714114480257634141058742232521489461563623194897779207259427592907041674827697163370111558045278498032442271269348750433545150120484301876242546474104902242337866292

作者: 太阳 时间: 2024-4-17 14:26
本帖最后由太阳于 2024-4-17 14:37 编辑

方程(a^2+3)/c-2^2281+1=0，(2^2281-1)范围内2个整数解，a最小值和a最大值误差小于20倍
方程(a^2+3)/c-2^k+1＝0，2^k-1范围内最多2个整数解
a取值大于[(2^k-1)/1000]最多2个整数解
判断2^k-1是素数
如果a取值大于[(2^k-1)/1000]找到3个整数解
判断2^k-1是合数
重点:方程(a^2+3)/c-2^k-1＝0，如果有大于2个整数解
a取值大于[(2^k-1)/1000]必定最少找到3个整数解

作者: 太阳 时间: 2024-4-17 14:35
本帖最后由太阳于 2024-4-17 14:38 编辑

(20971429078308381894888084611979890129203248951164753254377683912370890948295752862892816501427978100972476135985363065540243044644866256229950619147618285911374101310090093301828064866183628033218333551737058218844900691508467658341724052877819630633862296881209753772604282131802598887923219566660088764892033860787921^2+3)/(2^1063-1)＝4450109130008665410217176247875848340518813480686622962627279594916714463167708696361217534494009151245135159970475990081611591609939542935567159253336977548013344150981487977663216502488753420827908320060063575017374061214742624164594388133097349703891678041920398939262834188724495162611509951042129959256250462624092

(35448934174406292464345215533927956456304522965778649359431634991066624832830561304495163817872610757523384254867807205619862970686658174085155140563228855644981904679980579580965207812965146208352313945339739737810660136705842154581886733654830607172287572593890078543374070267845708404131408645116570933803194421741724^2+3)/(2^1063-1)＝12715134930499767815594687792269014462870158702205422455577568130654312715585342113784582906203988785041553110792455843743407143851308564134328345916407218776926982934556892701870250971062253306769399597956832936114030483944214922575481403633878752943547980855736757477119347913494670363945892540962388900460910436802797

(63380291073303970403084152981168384876486809926868869369524106233264595659354666670094867286344735187392181108568136110488442076864998797041316246126584869902634025142561589054028399482978807083268666366414530315198132579810121077165234045470735582447248587812535101902101229837247310410412696583714486811952522248714083^2+3)/(2^1063-1)＝40646491829397445754333625239509442883052445663295642465670039372852283542109447479384286374676113214910349964492784748611986250029649187090489451479763233034579103397137902174933442641075914181685752019031623513501502927048493845158828715449783728218508996074381780835846507482896272370227180479560304778610238263775156

(77857796169401880972541283903116451203588083941482765474578057311960329543889475111697214602789367843943089227450580250568062002906790714896520767542195439636241828512452075333165542429760325258402646760017211834163892025007495573405396726247746558985673863525215426672871017973290419926620885662170968980863682809667886^2+3)/(2^1063-1)＝61336476221102164487870375539012409414903648471004635182827652994506153058761430945165615635855398894215748251435693175109430549871864001602137307647914131272881071353343470009000694066065450646012221528340217190336365394713770539228267061503024278055703244685926071839529570030212316201309176046553010175227899411504057
a最小值和a最大值误差小于4倍
方程(a^2+3)/c-2^1063-1＝0，如果有大于2个整数解
a取值大于[(2^1063-1)/1000]必定最少找到3个整数解，实际上找到4个整数解
判断2^1603-1是合数

作者: 太阳 时间: 2024-4-17 15:11
本帖最后由太阳于 2024-4-17 15:13 编辑

素数k＞0，方程(a^2+3)/c-2^k+1=0，2^k-1范围内有整数解，a最大值和(2^k-1)误差小于100倍

作者: 太阳 时间: 2024-4-17 15:18
素数k＞0，方程(a^2+3)/c-2^k+1=0，2^k-1范围内有整数解，a最大值和(2^k-1)误差小于10倍
10a＞2^k-1，误差小于10倍，这个值足够

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-17 18:40

太阳发表于 2024-4-17 14:26
方程(a^2+3)/c-2^2281+1=0，(2^2281-1)范围内2个整数解，a最小值和a最大值误差小于20倍
方程(a^2+3)/c-2^k ...

最小整数解a宜从(2^p-1-3)的平方根开始取值！
然而这个平方根相当于2^p-1太小了，可能不定方程的整数解就在(2^p-1)/2附近，不妨就从(2^p-1)/2向前或向后搜寻，先找到不定方程的一对中等大小的整数解！

如2^1063-1是一个320位梅森数，平方根才160位，相对于320位的梅森数来说太小了；
改为它的半数（仍是320位大数）开始，在320位数字中就找到了它的2对整数解（都是320位的），但这不是规则。

作者: 太阳 时间: 2024-4-17 21:40
判断梅森素数最快的方法，\(2^k-1\)范围内找到2个最大整数解
素数\(k＞0\)，方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝c\)，\(2^k-1\)范围内找到2个最大整数解
2个最大整数解的和等于\(2^k-1\)，2个最大整数解为\(a_1\)和\(a_2\)，\(a_1+a_2＝2^k-1\)
结论:\(2^k-1\)是素数

作者: 太阳 时间: 2024-4-17 21:56
本帖最后由太阳于 2024-4-17 22:11 编辑

16楼方法判断梅森素数效果最好，精确度100%

作者: 太阳 时间: 2024-4-17 22:02
11楼方法可取，判断梅森素数精确度极高

作者: 太阳 时间: 2024-4-17 22:34
方程(a^2+3)/c-2^607+1=0，找到两个最大整数解
a1＝32945091792165156302706874241662114570936374279843225723757112572746476916601440173115592619992767634279364553001054861891738523234338439858321192427101294194679756931491642762145212
a2＝498192901024601942386881332310806512758656743447188697475687025627657082944250802566046909645236518034609964933245446153454840814418368799551198786339486057749151513903901576269582915
a1+a2＝2^607-1
判断2^607-1是素数

作者: 太阳 时间: 2024-4-17 22:46
素数\(k＞0\)，方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝c\)，\(2^k-1\)范围内找到最大整数解，最大整数解记作\(a_1\)
\(2^k-1-a_1＝a_2\)，\(a_1\)到\(a_2\)范围内没有整数解
结论:\(2^k-1\)是素数

作者: 太阳 时间: 2024-4-17 22:49
寻找1亿位梅森素数难度不大

作者: 太阳 时间: 2024-4-17 22:59
19楼，\(a_1\)和\(2^{607}-1\)误差小于2倍，很容易判断出\(2^{607}-1\)是素数

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-18 06:05
不定方程(a^2+3)/p=c的整数解
a,c是大于等于1的正整数，p是模6余1的素数
不定方程有2个整数解a1和a2，一奇一偶，p/2-a1=a2-p/2。
p a a^2+3 c a2-a1 p/2-a1=a2-p/2
7 2 7 1 — 1.5
7 5 28 4 3 1.5
13 6 39 3 — 0.5
13 7 52 4 1 0.5
19 4 19 1 — 5.5
19 15 228 12 11 5.5
31 11 124 4 — 4.5
31 20 403 13 9 4.5
37 16 259 7 — 2.5
37 21 444 12 5 2.5
43 13 172 4 — 8.5
43 30 903 21 17 8.5
49 12 147 3 — 12.5
49 37 1372 28 25 12.5
61 27 732 12 — 3.5
61 34 1159 19 7 3.5
67 8 67 1 — 25.5
67 59 3484 52 51 25.5
73 17 292 4 — 19.5
73 56 3139 43 39 19.5
79 32 1027 13 — 7.5
79 47 2212 28 15 7.5
97 26 679 7 — 22.5
97 71 5044 52 45 22.5
127 39 1524 12 — 24.5
127 88 7747 61 49 24.5
139 54 2919 21 — 15.5
139 85 7228 52 31 15.5
151 65 4228 28 — 10.5
151 86 7399 49 21 10.5
157 25 628 4 — 53.5
157 132 17427 111 107 53.5
8191 181 32764 4 — 3914.5
8191 8010 64160103 7833 7829 3914.5
131071 43811 1919403724 14644 — 21724.5
131071 87260 7614307603 58093 43449 21724.5
524287 138985 19316830228 36844 — 123158.5
524287 385302 1.48458E+11 283161 246317 123158.5
2147483647 879471824 7.73471E+17 360175357 — 194269999.5
2147483647 1268011823 1.60785E+18 748715356 388539999 194269999.5

请看最后一列差值，看不出两个整数解都靠近半p的迹象！

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-18 06:06
特别是梅森素数8191的两个整数解相差极远！

作者: 太阳 时间: 2024-4-18 06:51
素数\(k＞0\)，方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝c\)，\(2^k-1\)范围内最大整数解大于\(\frac{2^k-1}{2}\)

作者: 太阳 时间: 2024-4-18 07:01
素数\(k＞0\)，方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝c\)，\(2^k-1\)范围内最大整数解，最大整数解记作\(m\)，\(m＞\frac{2^k-1}{2}\)

作者: 太阳 时间: 2024-4-18 07:06
不定方程(a^2+3)/p=c的整数解
a,c是大于等于1的正整数，p是模6余1的素数
如果方程整数解越多，p范围内最大整数解靠近p

作者: 太阳 时间: 2024-4-18 07:16
六合数7*13*19*37*67*97＝415760527，64个整数解，(a^2+3)/415760527＝c
415760527范围内最大整数解398081430，398081430靠近415760527，误差小于1.05倍

作者: 太阳 时间: 2024-4-18 07:23
2^1063-1＝98829225247710262867429368515096341332791332892647518728955741224331220492185227974590031104217345944915565363435943316108305047551656971126471386689813725547615929822542168634993607295943953291620980311754270053008792716515963231747120779125566189619536160406425180445475300105093018814544105228831057745755716670455807
最大整数解77857796169401880972541283903116451203588083941482765474578057311960329543889475111697214602789367843943089227450580250568062002906790714896520767542195439636241828512452075333165542429760325258402646760017211834163892025007495573405396726247746558985673863525215426672871017973290419926620885662170968980863682809667886和2^1063-1，误差小于1.3倍

作者: 太阳 时间: 2024-4-18 07:57
不定方程(a^2+3)/p=c的整数解
a,c是大于等于1的正整数，p是模6余1的素数
p范围内最大整数解大于p/2

作者: 太阳 时间: 2024-4-18 12:47
本帖最后由太阳于 2024-4-18 14:05 编辑

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{m^c}＝2^k-1\)，素数\(k＞0\)，\(m＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(2^k-1＝p\)
前提条件不限制\(a\)值，这个命题是否正确？

作者: 太阳 时间: 2024-4-18 12:48
yangchuanju先生观看31楼命题，可能找到一个反例？

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-18 16:41

太阳发表于 2024-4-18 12:47
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{m^c}＝2^k-1\)，素数\(k＞0\)，\(m＞0\)，\(p＞0\)
求证:\( ...

别变着花样“求证”这是素数，那是素数了！
能找到几个符合(a^2+3)/m^c=2^k-1的特例就不错了！
可以找到的特例都是m=2，c=2的，
还就是那4个数：
(a^2+3)/4=2^k-1
a^2+3=2^2*(2^k-1)
序号 a k 特例
1 3 2 12 = 2^2 · 3
2 5 3 28 = 2^2 · 7
3 11 5 124 = 2^2 · 31
4 181 11 32764 = 2^2 · 8191

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-18 17:37
已知不定方程(a^2+3)/67=c的最小整数解是a=8，那么它在67以内的最大整数解是a=59；
已知不定方程(a^2+3)/103=c的最小整数解是a=10，那么它在103以内的最大整数解是a=93；
已知不定方程(a^2+3)/199=c的最小整数解是a=14，那么它在199以内的最大整数解是a=185；
……
已知不定方程(a^2+3)/3912487=c的最小整数解是a=1978，那么它在3912487以内的最大整数解是a=3910509；
……

作者: 太阳 时间: 2024-4-18 19:49
(a^2+3)/c=2^37-1，a取无限大的值，有可能是无限多整数解，c的值有没有可能是素数？
(a^2+3)/c=2^67-1，a取无限大的值，有可能是无限多整数解，c的值有没有可能是素数？

作者: 太阳 时间: 2024-4-18 20:03
(88^2+3)/61=2^7-1

作者: 太阳 时间: 2024-4-18 20:36
本帖最后由太阳于 2024-4-18 20:46 编辑

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{m^c}＝2^k-1\)，素数\(k＞0\)，\(m＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(2^k-1＝p\)
考虑\(2^k-1＞m\)，此命题是否正确吗？

作者: 太阳 时间: 2024-4-18 23:23
(349402^2+3)/931417＝2^17-1

作者: 太阳 时间: 2024-4-18 23:51
(508256^2+3)/8333037469=2^5-1

作者: 太阳 时间: 2024-4-18 23:53
(73538^2+3)/660217=2^13-1

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-19 07:26
当限定a是正整数时，代数式a^2+3的分解式中可能含平方因子4（a是奇数），含一个素因子3（a是3的倍数），其余素因子都是模6余1的。
在a=1-7中，有2个含素因子7的（a=2和5）；以后a每增加7，之中都有2个含素因子7的（a=2+7k和a=5+7k）；
在a=1-49中，有2个含素因子7^2=49的（a=12和37）；以后a每增加49，之中都有2个含素因子7^2的（a=12+49k和a=37+49k）；
在a=1-343中，有2个含素因子7^3=343的（a=37和306）；以后a每增加343，之中都有2个含素因子7^3的（a=37+343k和a=306+343k）；
在a=1-2401中，有2个含素因子7^4=2401的（a=306和2095）；以后a每增加2401，之中都有2个含素因子7^4的（a=306+2401k和a=2095+2401k）；
在a=1-16807中，有2个含素因子7^5=16807的（a=2707和14100）；以后a每增加16807，之中都有2个含素因子7^5的（a=2707+16807k和a=14100+16807k）；
在a=1-117649中，有2个含素因子7^6=117649的（a=47714和69935）；以后a每增加117649，之中都有2个含素因子7^6的（a=47714+117649k和a=69935+117649k）；
在a=1-823543中，有2个含素因子7^7=823543的（a=165363和685180）；以后a每增加823543，之中都有2个含素因子7^6的（a=165363+823543k和a=685180+823543k）；
……在a=1-7^t中，一定有2个含素因子7^t的；以后a每增加7^t，之中都有2个含素因子7^t的。

将7换成素数13,19,31,37,43,61,67,73,79,97,103,109,127……都有类似的结果；
将7换成梅森素数31,127,8191,2^17-1,2^19-1,2^31-1,2^61-1,2^107-1……都有类似的结果。

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-19 07:27
判断一个正整数m是不是素数，最基本的方法是用整数m平方根内的全部整数试除一遍，若有可以除尽的则m就不是素数，最多试除m^0.5次；
一级简化是——用整数m平方根内的全部素数试除一遍，若有可以除尽的则m就不是素数，最多试除m^0.5内素数个数次；
二级简化是——只用模8余1和余7的素数筛除，筛除次数再减一半。

用太阳的整除判断法（只要2个整数解）判断一个整数m是不是素数，要在m内做（最多）m次筛除（a=1--m），如果只有2次整除发生，则m就是素数；
当然筛除次数可以适当减少一些——如果在m/2范围内只有1次整除发生，也可判断吗是素数；
二级简化是——筛除从a大于等于m的平方根开始，直至m/2为止。
需要特别注意的是，如果m非常大，要找到一个整数解非常困难，甚至不可能，——找不到不等于没有；
这里不像通常的试除法——找到一个即可结束——一票否决了；
而必须是找全（至少3个，m/2以内至少2个），若整数解个数多于2个才可确定m不是素数。
筛除次数m/2与m平方根内的素数个数哪个小？

通常的筛除法，一旦整除发生，m的一个素因子p即找到了，下一步再找可从p开始找到m/p的平方根即可；
太阳的整除判断法则不行，如果整除次数（整数解数）大于2，m便是合数，但它的素因子是谁无法知道，因为素因子与a没有明确关系。

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-19 09:27
现在已知的梅森素数的指数已经达到8000多万（51#指数是82589933，4811740号素数），梅森素数位数达到2500万位（51#位数是24862048位）；
在481万多的素数中只有51个梅森素数，分率10万分之1.06，它们都是模6余1（第一个梅森素数3除外）；
其余的481万多个梅森合数之中有一些素因子全是模6余1的，像2^37-1,2^67-1,2^101-1,2^103-1等，但为数不会太大，特别是达到亿级时恐怕为数更少，即有整数解的更少；
太阳先生试图通过求整数解的个数确定一个指数达到亿级，位数超过3000万位的梅森数的整数解个数是不是2，能够如愿吗？
假定某个梅森数2^p-1是一个二合数，在(2^p-1)范围内应该有4个整数解，但你只找到2个（没有找全），你能断定它就是素数吗？
假定某个梅森数2^p-1是一个素数，在(2^p-1)范围内应该有2个整数解，但你一个整数解也没有找到（请注意：没有找到不等于不存在！），你能断定它就不是事实嘛？

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-19 19:26
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-19 19:47 编辑

一次找出全部亿位梅森数和梅森素数
1亿位最小整数是10^999999999，1后面10^99999999个0；最大整数是10^100000000-1，10^99999999个9。
10的自然对数是2.30258509299405，常用对数是0.301029995663981；分别取倒数是0.434294481903252和3.32192809488736；
当k取332192809.4887时2^k-1是较小的1亿位数100……几，当k取3321928091.5654时2^k-1是较大的1亿位数999……几（10亿位）；
小指数3.32亿内有17896981个素数，大指数33.2亿内有159166556个素数；在大小两个指数中间有141269575个素数，即共有141269575个亿位梅森数；
（30亿个整数中有1.4亿个素数）
1.4亿个亿位梅森数中可能有几个或一二十个梅森素数。

要一次找到这些梅森数中的梅森素数，用太阳的整数解法，可
（一）逐个计算出1.4亿个梅森数的整数值，不能近似或用指数式表达；
（二）取a等于10^(99999999/2)到10^99999999-10^(99999999/2)中的所有整数，分别计算出这些整数的平方再加3；并将这些平方数加3逐个分解到底；
（三）依次统计分解式中a不大于梅森数中的素因子是梅森数的个数；
（四）素因子个数只有2个的是梅森素数；没有等于梅森数的素因子或素因子个数多于2个的梅森数都不是素数。

这样多个亿位大素数不就找到了吗？

作者: 太阳 时间: 2024-4-19 20:05

yangchuanju 发表于 2024-4-19 09:27
现在已知的梅森素数的指数已经达到8000多万（51#指数是82589933，4811740号素数），梅森素数位数达到2500万 ...

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(t-m+\frac{m^2+3}{2^k-1}＝\frac{t^2+3}{2^k-1}\)
\(\frac{a^2+3}{c}＝2^k-1\)，\(2^k-1＞a\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝0\)
\(2^k-1\)范围内有整数解，最小整数解记作\(m\)，最大整数解记作\(t\)
求证:\(2^k-1＝p\)
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{c}＝2^k-1\)，\(2^k-1＞a\)，素数\(2^k-1\)
方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝0\)，\(2^k-1\)范围内有整数解，最小整数解记作\(m\)，最大整数解记作\(t\)
求证:\(t-m+\frac{m^2+3}{2^k-1}＝\frac{t^2+3}{2^k-1}\)

作者: 太阳 时间: 2024-4-19 20:07

yangchuanju 发表于 2024-4-19 09:27
现在已知的梅森素数的指数已经达到8000多万（51#指数是82589933，4811740号素数），梅森素数位数达到2500万 ...

只需要找到最大整数解，求出最小整数解，可以判断它是不是梅森素数

作者: 太阳 时间: 2024-4-19 20:33

yangchuanju 发表于 2024-4-19 19:26
一次找出全部亿位梅森数和梅森素数
1亿位最小整数是10^999999999，1后面10^99999999个0；最大整数是10^100 ...

方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝0\)，范围的有数解，最大整数解可能是偶数，也有可能是奇数
如何找到最大整数解？

作者: 太阳 时间: 2024-4-19 20:53
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(t-m+\frac{m^2+3}{2^k-1}＝\frac{t^2+3}{2^k-1}\)
\(\frac{a^2+3}{c}＝2^k-1\)，\(2^k-1＞a\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝0\)
\(2^k-1\)范围内有整数解，最小整数解记作\(m\)，最大整数解记作\(t\)
求证:\(2^k-1＝p\)
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{c}＝2^k-1\)，\(2^k-1＞a\)，素数\(2^k-1\)
方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝0\)，\(2^k-1\)范围内有整数解，最小整数解记作\(m\)，最大整数解记作\(t\)
求证:\(t-m+\frac{m^2+3}{2^k-1}＝\frac{t^2+3}{2^k-1}\)
命题是错误的

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-20 05:49
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-20 05:50 编辑

3.32亿中最小的和33.亿中最大的几个素数
332192831 332192857 332192863 332192873 332192879 332192891 332192897 332192909
3321927991 3321927997 3321928013 3321928021 3321928037 3321928067 3321928073 3321928079
指数p 位数
332192831 100000007
332192857 100000015
332192863 100000017
332192873 100000020
332192879 100000021
332192891 100000025
332192897 100000027
332192909 100000030
3321927991 999999969
3321927997 999999971
3321928013 999999976
3321928021 999999978
3321928037 999999983
3321928067 999999992
3321928073 999999994
3321928079 999999996

作者: yangchuanju 时间: 2024-4-20 05:51
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-20 06:27 编辑

任何判定最小的亿级梅森数2^332192831-1是不是素数？
用太阳的整数解法，可
（一）首先计算出这个梅森数的整数值，1亿零7位，不能近似或用指数式表达；
（二）取a等于2^(332192831/2)到（2^332192831-1）/2中的所有整数，分别计算出这些整数的平方再加3；（仅计算了一半a值）
（三）依次用这些平方数加3除以给定的梅森数；亦可从大数开始做除法，逐个减1向小数进行；
（四）若整除只有1次，则它就是梅森素数；若始终不能整除或整除次数多于1次时（相除即可终止），它就不是素数。（因值计算了一半a，故整数解个数减半）

不可能得出计算结果分析：
（一）这个1亿零7位的大整数如何得到？连乘3.32亿次吗？（肯定是最后再减1了）
（二）那么多那么大的平方如何挨个相除？大数相除如何进行？
最终结论是不可能——不可能——至少找你我的有生之年不可能——在当今时代恐怕也是不可能。

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