数学中国

标题: 不定方程a^4±bc^4+am=ab的整数解 [打印本页]

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-28 15:05
标题: 不定方程a^4±bc^4+am=ab的整数解
不定方程2a^4+2b*c^4+a*c^4-1=2ab的整数解
太阳先生曾经给出不定方程组
a^2+bc^4+am=ab
2m=c^4-1
并认为该方程组如果有整数解，则参数c就是素数，当然方程组中的各个参数都有一些限制条件。
从第二个方程中解出m带入第一个方程得：
2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0
在不定方程2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0中给定一个参数c，可能对应着有一组或几组整数解a和b。

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-28 15:08
给定参数c，分别用参数a和b作纵横坐标，做一张大大的二维表，
二维表的数据区分别写入不定方程左端之值，
其中的数值0就是不定方程的一组整数解。
改变参数c，可得到一系列二维表，各个二维表中可能有也可能没有数据0，
有数据0时，可能是1个，也可能是多个。

令a=0，c=0，不论b取什么整数值，方程左端都等于0；
令b=0，c是大于1的奇数，当a取(c^4-1)/2时，方程左端都等于0，其中的c不一定是素数；
存在a≠0，b≠0，c是大于1的奇数或偶数时，方程有整数解的情况，
a=-18,b=4,c=3,方程左=0；
a=-576,b=22,c=6,方程左=0。

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-28 15:08
用a=-1500至0，b=-100至100做二维表，当c取下列数值时：
c 0个数
0 201
1 1
2 1
3 3
4 1
5 2
6 2
7 2
8 1
9 1
10 1

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-28 15:09
a=-18,b=4,c=3,方程左=0
a=-40,b=0,c=3,方程左=0
a=-312,b=0,c=5,方程左=0
a=-576,b=22,c=6,方程左=0
a=-7320,b=0,c=11,方程左=0
a=-14280,b=0,c=13,方程左=0
a=-25312,b=0,c=15,方程左=0

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-28 15:09
太阳先生人为规定c不能是3的倍数数，不能是5的倍数数，不能是幂数，没有道理，
即便常数c可以取任意整数，不定方程的整数解都不是很多，
加上种种限制条件，不定方程的整数解少之又少；
太阳先生认为只要加上了那些限制条件，最后得到的整数解中的c就是素数是没有任何道理的；
何况最后太阳先生已亲自找到了c不是素数的反例！

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-28 15:10
纵观各张二维表，
各列数据之中都有最小值（其中不乏负数），最小值的上下数据相等（对称）；
各列数据正负值变换时的a值关于最小值上下对称；
各列数据关于最小值上下对称相等；
各列数据均表现为U型线；
整个二维表数据表现为U型槽面，槽底数据逐渐有负到正切逐渐升高；
因而槽面之中可能存在有一个或多个数据0，即不定方程有整数解存在。

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-28 15:11
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-7-28 15:24 编辑

c=7 b
a -100 -99 -98 -1 0 1
-1500 119800 127602 135404 892198 900000 907802
-1499 116402 124202 132002 888602 896402 904202
-1498 113008 120806 128604 885010 892808 900606

-1465 3250 10982 18714 768718 776450 784182
-1464 -8 7722 15452 765262 772992 780722
-1463 -3262 4466 12194 761810 769538 777266
-1462 -6512 1214 8940 758362 766088 773814
-1461 -9758 -2034 5690 754918 762642 770366
-1460 -13000 -5278 2444 751478 759200 766922
-1459 -16238 -8518 -798 748042 755762 763482
数字都有正负变换过程
-1203 -713582 -706374 -699166 10 7218 14426
-1202 -715792 -708586 -701380 -2398 4808 12014
-1201 -717998 -710794 -703590 -4802 2402 9606
-1200 -720200 -712998 -705796 -7202 0 7202
-1199 -722398 -715198 -707998 -9598 -2398 4802
-1198 -724592 -717394 -710196 -11990 -4792 2406
-1197 -726782 -719586 -712390 -14378 -7182 14
-1196 -728968 -721774 -714580 -16762 -9568 -2374
—— ———— ———— ———— 数字都有正负变换过程
-655 -1325150 -1319038 -1312926 ———— ———— ————
-654 -1325168 -1319058 -1312948 ———— ———— ————
-653 -1325182 -1319074 -1312966 ———— ———— ————
-652 -1325192 -1319086 -1312980 ———— ———— ————
-651 -1325198 -1319094 -1312990 ———— ———— ————
-650 -1325200 -1319098 -1312996 ———— ———— ————
-649 -1325198 -1319098 -1312998 ———— ———— ————
-648 -1325192 -1319094 -1312996 ———— ———— ————
-647 -1325182 -1319086 -1312990 ———— ———— ————
-646 -1325168 -1319074 -1312980 ———— ———— ————
-645 -1325150 -1319058 -1312966 ———— ———— ————
-644 -1325128 -1319038 -1312948 ———— ———— ————
最小值上下数字相等对称
-606 -1321328 -1315314 -1309300 -725942 -719928 -713914
-605 -1321150 -1315138 -1309126 -725962 -719950 -713938
-604 -1320968 -1314958 -1308948 -725978 -719968 -713958
-603 -1320782 -1314774 -1308766 -725990 -719982 -713974
-602 -1320592 -1314586 -1308580 -725998 -719992 -713986
-601 -1320398 -1314394 -1308390 -726002 -719998 -713994
-600 -1320200 -1314198 -1308196 -726002 -720000 -713998
-599 -1319998 -1313998 -1307998 -725998 -719998 -713998
-598 -1319792 -1313794 -1307796 -725990 -719992 -713994
-597 -1319582 -1313586 -1307590 -725978 -719982 -713986
-596 -1319368 -1313374 -1307380 -725962 -719968 -713974
-595 -1319150 -1313158 -1307166 -725942 -719950 -713958
-594 -1318928 -1312938 -1306948 -725918 -719928 -713938
—— ———— ———— ———— 最小值上下数字相等对称
-4 -490568 -485758 -480948 -14378 -9568 -4758
-3 -487982 -483174 -478366 -11990 -7182 -2374
-2 -485392 -480586 -475780 -9598 -4792 14
-1 -482798 -477994 -473190 -7202 -2398 2406
0 -480200 -475398 -470596 -4802 0 4802
1 -477598 -472798 -467998 -2398 2402 7202
2 -474992 -470194 -465396 10 4808 9606
3 -472382 -467586 -462790 2422 7218 12014
—— ———— ———— ———— 数字都有正负变换过程

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-28 15:12
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-7-28 16:43 编辑

不定方程2a^2-2b*c^4+a*c^4-a=2ab的整数解
肯定与
不定方程2a^2+2b*c^4+a*c^4-a=2ab的整数解
类同，不再重复计算论述！

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-30 18:22
不定方程2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0中给定一个参数c，可能对应着有一组或几组整数解a和b。
令c=0，f=2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=2*a^2-a-2ab，
c=0，a=0，不论b是多少，f都是0；
a不变，b±1，f±(-2ab)；a=1至5，f增-2至-10；a=-1至-5，f增2至10；
a增减1，f=2*a^2-a-2ab，f增减量各不相等；
其中b=0，a=-5至5时，f增加量分别为-19,-15,-11,-7,-3,1,5,9,13,17，递增4。
给定更多的a，抛物面（U型槽面）的谷底（即f的最小值）先是逐渐增大到0，后又逐渐减小；
其中b从-6到0，再到5时的最小f值是（已附上最小值对应的a值）：
b -6 -5 -4 -3 -2 -1
f -15 -10 -6 -3 -1 0
a -3 -2 -2 -1 -1 0

b 0 1 2 3 4 5
f 0 -1 -3 -6 -10 -15
a 0 1 1 2 2 3
最小f有两个0，然后向左向右对称式的逐渐降低1,2,3,4,5……个数。

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-30 18:23
令c=1，f=2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=2*a^2+2b-2ab，
c=1，a=1，不论b是多少，f都是2，等f的a比c=0、a=0时大1；
a不变，b±1，f±(2b-2ab)；a=2至5，f增-2至-8；a=0至-5，f增2至12；
a增减1，f=2*a^2+2b-2ab，f增减量各不相等；
其中b=0，a=-5至5时，f增加量分别为-18,-14,-10,-6,-2,2,6,10,14,18，递增4，各个增加量都比c=0时大1个数。
给定更多的a，抛物面（U型槽面）的谷底（即f的最小值）先是逐渐增大到0，2，后又由2,0逐渐减小为负数；
其中b从-4到2，再到7时的最小f值是（已附上最小值对应的a值）：
b -4 -3 -2 -1 0 1
f -16 -10 -6 -2 0 2
a -2 -1,-2 -1 -1,0 0 0,1

b 2 3 4 5 6 7
f 2 2 0 -2 -6 -10
a 1 1,2 2 2,3 3 3,4

最小f有两个0，分别对应a=0,b=0;a=2,b=4;b=2,3时最小分是2；
然后向左向右对称式的逐渐降低为-2,-6,-10,-16,-22,-30,-38,-40……，且最小f值个数分别是2,1,2,1……。

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-30 18:24
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-7-30 18:26 编辑

对不定方程2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0，已得到26组c=3的整数解，整数解成对成双出现，互相对称：
a b c f
-3186 -3068 3 0
78 -3068 3 0
-1008 -896 3 0
72 -896 3 0
-810 -700 3 0
70 -700 3 0
-282 -188 3 0
54 -188 3 0
-216 -128 3 0
48 -128 3 0
-40 0 3 0
0 0 3 0
-18 4 3 0
180 400 3 0
162 404 3 0
202 404 3 0
114 532 3 0
378 532 3 0
108 592 3 0
444 592 3 0
92 1104 3 0
972 1104 3 0
90 1300 3 0
1170 1300 3 0
84 3472 3 0
3348 3472 3 0

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-30 18:26
对不定方程2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0，已得到8组c=7的整数解，整数解成对成双出现，互相对称：
a b c f
0 0 7 0
-1200 0 7 0
-2058 -396 7 0
462 -396 7 0
4802 12004 7 0
6002 12004 7 0
4340 12400 7 0
6860 12400 7 0

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-30 18:40
以下a,b,c都是不定方程的整数解
c a b
0 0 任意整数
1 2 4
2 32 79
5 -312 0
6 -576 22
6 192 -146
9 -3280 0
11 -7320 0
13 -14280 0
15 -25312 0

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-30 18:59
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-7-30 19:01 编辑

太阳先生的整数解
序号 a b c
1 -1299497230788526 -1299497019051308 109
2 -283773943550649876 -283773941198291088 199
3 -2126461065140485465476 -2126461064936853467088 199
4 -20577735824498028 -20577733990251696 187

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-30 21:10
对不定方程2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0，已得到8组c=5的整数解，整数解成对成双出现，互相对称：
a b c
-4060 -3248 5
500 -3248 5
-312 0 5
0 0 5
1250 3124 5
1562 3124 5
750 6372 5
5310 6372 5

c=3,5,7时，分别找到多组整数解！

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-31 05:29
对不定方程2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0，已得到6组c=9的整数解，
但根据整数解成对成双、互相对称出现的原则，没有找到第7-8组整数解，b=-39888、-40000、-40112都不是：
a b c
-2916 112 9
-252 112 9
-3280 0 9
0 0 9
9720 40000 9
27000 40000 9

作者: 太阳 时间: 2024-7-31 09:39
对不定方程2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0，c＝9
数学软件，wolfram Alpha，找到72 整数解

作者: 太阳 时间: 2024-7-31 13:22
a = -64560240, b = -64550400
a = -21515706, b = -21505868
a = -7167528, b = -7157696
a = -4960116, b = -4950288
a = -2384802, b = -2374988
a = -1648998, b = -1639196
a = -790560, b = -780800
a = -545292, b = -535568
a = -259146, b = -249548
a = -177390, b = -167900
a = -82008, b = -72896
a = -78732, b = -69648
a = -54756, b = -45968
a = -22962, b = -15308
a = -21870, b = -14300
a = -13878, b = -7196
a = -3280, b = 0
a = -2916, b = 112
a = -252, b = 112
a = 0, b = 0
a = 3402, b = -7196
a = 4290, b = -14300
a = 4374, b = -15308
a = 5508, b = -45968
a = 5804, b = -69648
a = 5832, b = -72896
a = 6210, b = -167900
a = 6318, b = -249548
a = 6444, b = -535568
a = 6480, b = -780800
a = 6522, b = -1639196
a = 6534, b = -2374988
a = 6548, b = -4950288
a = 6552, b = -7157696
a = 6558, b = -21505868
a = 6560, b = -64550400
a = 6562, b = 64583204
a = 6564, b = 21538672
a = 6570, b = 7190500
a = 6574, b = 4983092
a = 6588, b = 2407792
a = 6600, b = 1672000
a = 6642, b = 813604
a = 6678, b = 568372
a = 6804, b = 282352
a = 6912, b = 200704
a = 7290, b = 105700
a = 7318, b = 102452
a = 7614, b = 78772
a = 8748, b = 48112
a = 8832, b = 47104
a = 9720, b = 40000
a = 13122, b = 32804
a = 13374, b = 32692
a = 16038, b = 32692
a = 16402, b = 32804
a = 27000, b = 40000
a = 34992, b = 47104
a = 36084, b = 48112
a = 67878, b = 78772
a = 91854, b = 102452
a = 95130, b = 105700
a = 190512, b = 200704
a = 272268, b = 282352
a = 558414, b = 568372
a = 803682, b = 813604
a = 1662120, b = 1672000
a = 2397924, b = 2407792
a = 4973238, b = 4983092
a = 7180650, b = 7190500
a = 21528828, b = 21538672
a = 64573362, b = 64583204

作者: 太阳 时间: 2024-7-31 13:23
2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0，c=9
整数解
a = -64560240, b = -64550400
a = -21515706, b = -21505868
a = -7167528, b = -7157696
a = -4960116, b = -4950288
a = -2384802, b = -2374988
a = -1648998, b = -1639196
a = -790560, b = -780800
a = -545292, b = -535568
a = -259146, b = -249548
a = -177390, b = -167900
a = -82008, b = -72896
a = -78732, b = -69648
a = -54756, b = -45968
a = -22962, b = -15308
a = -21870, b = -14300
a = -13878, b = -7196
a = -3280, b = 0
a = -2916, b = 112
a = -252, b = 112
a = 0, b = 0
a = 3402, b = -7196
a = 4290, b = -14300
a = 4374, b = -15308
a = 5508, b = -45968
a = 5804, b = -69648
a = 5832, b = -72896
a = 6210, b = -167900
a = 6318, b = -249548
a = 6444, b = -535568
a = 6480, b = -780800
a = 6522, b = -1639196
a = 6534, b = -2374988
a = 6548, b = -4950288
a = 6552, b = -7157696
a = 6558, b = -21505868
a = 6560, b = -64550400
a = 6562, b = 64583204
a = 6564, b = 21538672
a = 6570, b = 7190500
a = 6574, b = 4983092
a = 6588, b = 2407792
a = 6600, b = 1672000
a = 6642, b = 813604
a = 6678, b = 568372
a = 6804, b = 282352
a = 6912, b = 200704
a = 7290, b = 105700
a = 7318, b = 102452
a = 7614, b = 78772
a = 8748, b = 48112
a = 8832, b = 47104
a = 9720, b = 40000
a = 13122, b = 32804
a = 13374, b = 32692
a = 16038, b = 32692
a = 16402, b = 32804
a = 27000, b = 40000
a = 34992, b = 47104
a = 36084, b = 48112
a = 67878, b = 78772
a = 91854, b = 102452
a = 95130, b = 105700
a = 190512, b = 200704
a = 272268, b = 282352
a = 558414, b = 568372
a = 803682, b = 813604
a = 1662120, b = 1672000
a = 2397924, b = 2407792
a = 4973238, b = 4983092
a = 7180650, b = 7190500
a = 21528828, b = 21538672
a = 64573362, b = 64583204

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-31 16:20
太阳先生的72组整数解重排序
序 a b b增原序和
1 -64560240 -64550400 ——
36 6560 -64550400 37
2 -21515706 -21505868 43044532
35 6558 -21505868 37
3 -7167528 -7157696 14348172
34 6552 -7157696 37
4 -4960116 -4950288 2207408
33 6548 -4950288 37
5 -2384802 -2374988 2575300
32 6534 -2374988 37
6 -1648998 -1639196 735792
31 6522 -1639196 37
7 -790560 -780800 858396
30 6480 -780800 37
8 -545292 -535568 245232
29 6444 -535568 37
9 -259146 -249548 286020
28 6318 -249548 37
10 -177390 -167900 81648
27 6210 -167900 37
11 -82008 -72896 95004
26 5832 -72896 37
12 -78732 -69648 3248
25 5804 -69648 37
13 -54756 -45968 23680
24 5508 -45968 37
14 -22962 -15308 30660
23 4374 -15308 37
15 -21870 -14300 1008
22 4290 -14300 37
16 -13878 -7196 7104
21 3402 -7196 37
17 -3280 0 7196
20 0 0 37
18 -2916 112 112
19 -252 112 37
54 13374 32692 32580
55 16038 32692 109
53 13122 32804 112
56 16402 32804 109
52 9720 40000 7196
57 27000 40000 109
51 8832 47104 7104
58 34992 47104 109
50 8748 48112 1008
59 36084 48112 109
49 7614 78772 30660
60 67878 78772 109
48 7318 102452 23680
61 91854 102452 109
47 7290 105700 3248
62 95130 105700 109
46 6912 200704 95004
63 190512 200704 109
45 6804 282352 81648
64 272268 282352 109
44 6678 568372 286020
65 558414 568372 109
43 6642 813604 245232
66 803682 813604 109
42 6600 1672000 858396
67 1662120 1672000 109
41 6588 2407792 735792
68 2397924 2407792 109
40 6574 4983092 2575300
69 4973238 4983092 109
39 6570 7190500 2207408
70 7180650 7190500 109
38 6564 21538672 14348172
71 21528828 21538672 109
37 6562 64583204 43044532
72 64573362 64583204 109

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-31 16:21
太阳先生的72组整数解重排序
序 a b a1增 a2增 a均增
1 -64560240 -64550400 —— —— ——
36 6560 -64550400
2 -21515706 -21505868 43044534 -2 21522266
35 6558 -21505868
3 -7167528 -7157696 14348178 -6 7174086
34 6552 -7157696
4 -4960116 -4950288 2207412 -4 1103704
33 6548 -4950288
5 -2384802 -2374988 2575314 -14 1287650
32 6534 -2374988
6 -1648998 -1639196 735804 -12 367896
31 6522 -1639196
7 -790560 -780800 858438 -42 429198
30 6480 -780800
8 -545292 -535568 245268 -36 122616
29 6444 -535568
9 -259146 -249548 286146 -126 143010
28 6318 -249548
10 -177390 -167900 81756 -108 40824
27 6210 -167900
11 -82008 -72896 95382 -378 47502
26 5832 -72896
12 -78732 -69648 3276 -28 1624
25 5804 -69648
13 -54756 -45968 23976 -296 11840
24 5508 -45968
14 -22962 -15308 31794 -1134 15330
23 4374 -15308
15 -21870 -14300 1092 -84 504
22 4290 -14300
16 -13878 -7196 7992 -888 3552
21 3402 -7196
17 -3280 0 10598 -3402 3598
20 0 0
18 -2916 112 364 -252 56
19 -252 112
54 13374 32692 16290 16290 16290
55 16038 32692
53 13122 32804 -252 364 56
56 16402 32804
52 9720 40000 -3402 10598 3598
57 27000 40000
51 8832 47104 -888 7992 3552
58 34992 47104
50 8748 48112 -84 1092 504
59 36084 48112
49 7614 78772 -1134 31794 15330
60 67878 78772
48 7318 102452 -296 23976 11840
61 91854 102452
47 7290 105700 -28 3276 1624
62 95130 105700
46 6912 200704 -378 95382 47502
63 190512 200704
45 6804 282352 -108 81756 40824
64 272268 282352
44 6678 568372 -126 286146 143010
65 558414 568372
43 6642 813604 -36 245268 122616
66 803682 813604
42 6600 1672000 -42 858438 429198
67 1662120 1672000
41 6588 2407792 -12 735804 367896
68 2397924 2407792
40 6574 4983092 -14 2575314 1287650
69 4973238 4983092
39 6570 7190500 -4 2207412 1103704
70 7180650 7190500
38 6564 21538672 -6 14348178 7174086
71 21528828 21538672
37 6562 64583204 -2 43044534 21522266
72 64573362 64583204

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-31 16:21
将太阳先生提供的72组整数解重新分组和排序，容易看出——
1、每一个b对应两个a；
2、前后对应组的b增互相对称相等；
3、重排后原表序号和前半部都是37，后半部都是109；
4、a1增、a2增表现为前半部a1增=后半部a2增，前半部a2增=后半部a1增；
5、a均增与b增的前后对称关系相同；
6、……

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-31 16:27
将不定方程中的参数c换成其它奇数，甚至某些偶数，也一定会有多组对称的整数解，只是组数有多有少，具体数字要大得多！

无法根据整数解组数或有无，判断参数c的素合性！即便加上一些限制条件也不可行！

作者: yangchuanju 时间: 2024-7-31 16:45
在不定方程2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0中给定一个参数c，可能对应着有一组、几组或无穷多组整数解a和b。
图像应该是一个无穷大的开口向上的抛物曲面，谷底中间高两边低，谷底的制高点对应的b为对称点；
抛物曲面与高度为0的水平面（0平面）相交成两条平面曲线，其中的整数交点就是不定方程的整数解。

再给定参数b，用b立面（垂直平面）截抛物曲面，可得一条平面型抛物线，抛物线可能与0平面有2个、1个或0个交点；当交点的坐标a和b都是整数时，它就是不定方程的整数解。
故对应于某个特定的b，整数解往往是成对出现的！

作者: yangchuanju 时间: 2024-8-1 06:27
马鞍形抛物曲面的对称中心应在b=(112+32692)/2=16402，
b=112，0，-7196到b=16402分别为16290,16402,23598；
b=32692，32804，40000到b=16402分别为16290,16402,23598；
b=32692,32804相距112；b=40000的对称组是b=-7196。

作者: yangchuanju 时间: 2024-8-1 15:50

yangchuanju 发表于 2024-7-30 21:10
对不定方程2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0，已得到8组c=5的整数解，整数解成对成双出现，互相对称：
a b c
...

对于c=5，除先前找到的4*2=8组整数解以外，今在b=±100万以内又找到6*2=12组整数解；
20组（10对）整数解互相对称，b增前后相等；对称中心点在b=（0+3124）/2=1562处，位于马鞍面的高点处，这里方程左端的数值f没有负数和0。
与c=9的72组整数解类同，c=5的20组整数解中的b为负数的对应a值都是一正一负的：
b a1 a2 b增
-584064 624 -585000 ——
-115568 620 -116500 468496
-21888 600 -22800 93680
-3248 500 -4060 18640
0 0 -312 3248
3124 1562 1250 3124
6372 5310 750 3248
25012 24050 650 18640
118692 117750 630 93680
587188 586250 626 468496

若用太阳先生的计算软件，一定能找到更多组c=5的整数解！

作者: 太阳 时间: 2024-8-1 16:12
2*a^2+2*b*5^4+a*5^4-a-2ab=0
20整数解
a = -585000, b = -584064
a = -116500, b = -115568
a = -22800, b = -21888
a = -4060, b = -3248
a = -312, b = 0
a = 0, b = 0
a = 500, b = -3248
a = 600, b = -21888
a = 620, b = -115568
a = 624, b = -584064
a = 626, b = 587188
a = 630, b = 118692
a = 650, b = 25012
a = 750, b = 6372
a = 1250, b = 3124
a = 1562, b = 3124
a = 5310, b = 6372
a = 24050, b = 25012
a = 117750, b = 118692
a = 586250, b = 587188

作者: yangchuanju 时间: 2024-8-1 21:13
36组c=7的整数解
b a1 a2
-1229148 2394 -1232742
-659088 2388 -662676
-170496 2352 -174048
-89100 2310 -92610
-25488 2124 -28812
-19548 2058 -22806
-8208 1764 -11172
-396 462 -2058
0 0 -1200
12004 6002 4802
12400 6860 4340
20212 15974 3038
31552 27608 2744
37492 33614 2678
101104 97412 2492
182500 178850 2450
671092 667478 2414
1241152 1237544 2408

作者: 太阳 时间: 2024-8-1 22:30
2*a^2+2*b*7^4+a*7^4-a-2ab=0
40整数解
a = -8643600, b = -8640000
a = 2400, b = -8640000
a = 2402, b = 8652004
a = 8648402, b = 8652004

作者: yangchuanju 时间: 2024-8-2 05:47

太阳发表于 2024-8-1 22:30
2*a^2+2*b*7^4+a*7^4-a-2ab=0
40整数解
a = -8643600, b = -8640000

c=11和c=21的整数解各4组，其中c=21的第4组整数解是根据对称原则求得的！
c b a1 a2
11 -206300 13310 -226930
11 0 0 -7320
11 73204 36602 29282
11 279504 256212 15972
21 -453788 129654 -680682
21 0 0 -97240
21 972404 486202 388962
21 1426192 1069644 259308

作者: 太阳 时间: 2024-8-2 09:40
2*a^2+2*b*11^4+a*11^4-a-2ab=0
20整数解
a = -321516360, b = -321494400
a = -29215450, b = -29193500
a = -2642640, b = -2620800
a = -226930, b = -206300
a = -7320, b = 0
a = 0, b = 0
a = 13310, b = -206300
a = 14520, b = -2620800
a = 14630, b = -29193500
a = 14640, b = -321494400
a = 14642, b = 321567604
a = 14652, b = 29266704
a = 14762, b = 2694004
a = 15972, b = 279504
a = 29282, b = 73204
a = 36602, b = 73204
a = 256212, b = 279504
a = 2671922, b = 2694004
a = 29244732, b = 29266704
a = 321545642, b = 321567604

作者: 太阳 时间: 2024-8-2 09:41
2*a^2+2*b*21^4+a*21^4-a-2ab=0
100整数解

作者: 太阳 时间: 2024-8-2 09:44
2*a^2+2*b*c^4+a*c^4-a-2ab=0
如果c是素数，方程最少有20组整数解
2*a^2+2*b*17^4+a*17^4-a-2ab=0
c=17，方程有80组整数解

作者: 太阳 时间: 2024-8-2 15:26
已知:\(2a^2+a^2b=b^2c^2\)，\(a=bd\)，\(b+2\ne m^2\)
奇数\(a＞1\)，\(b＞1\)，\(c＞1\)，\(d＞1\)，\(m＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(b=p\)
已知:\(2a^2+a^2b=b^2c^2\)，\(a=bd\)，\(b+2\ne m^2\)，\(b\ne3t\)，\(b\ne5u\)
奇数\(a＞1\)，\(b＞1\)，\(c＞1\)，\(d＞1\)，\(m＞1\)，\(t＞1\)，\(u＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(b=p\)
素数公式是正确的，肯定是找不到反例

作者: 太阳 时间: 2024-8-2 15:39
大量数据验证，\(b+2=m^2\)，找到反例
当\(b+2\ne m^2\)，肯定是找不到反例

作者: yangchuanju 时间: 2024-8-2 16:45

太阳发表于 2024-8-2 09:40
2*a^2+2*b*11^4+a*11^4-a-2ab=0
20整数解
a = -321516360, b = -321494400

太阳先生曾经给出c=109时的一组整数解，
a=-1299497230788526，b=-1299497019051308，c=109；
根据该不定方程的规律，b=0，a=-70579080，c=109一定是它的一组整数解；
109^4=141158161，(109^4-1)/2=70579080。
该不定方程整数解的对称中心是b=352895402，b=705790804时也有一对整数解，a1，a2具体值暂不计算；
太阳先生已经给出b=-1299497019051308时的一个负数a，肯定还有另一个对应的正数a；
该b=-1299497019051308到对称中心352895402的距离是1299497371946710；
35…+1299…=1299497724842112,
在b=12994977248842112处一定还有一对整数解，a1，a1暂不计算；
至此由太阳先生给出的一个整数解，一下子变成了不定方程的8个解——
b1=0；其中一个a=-70579080；
b2=705790804；
b3=-1299497019051308；其中一个a=-1299497230788526；
b4= 1299497724842112；
另外的6个a的具体值暂不计算了！

作者: 太阳 时间: 2024-8-2 22:01
本帖最后由太阳于 2024-8-2 22:21 编辑

34楼命题是找不到反例

作者: 太阳 时间: 2024-8-2 22:01
本帖最后由太阳于 2024-8-2 22:20 编辑

，，，，，

作者: 太阳 时间: 2024-8-2 23:00
已知:\(2a^2+a^2b=b^2c^2\)，\(a=bd\)，\(b+2\ne m^2\)
奇数\(a＞1\)，\(b＞1\)，\(c＞1\)，\(d＞1\)，\(m＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(b=p\)
已知:\(2a^2+a^2b=b^2c^2\)，\(a=bd\)，\(b+2\ne m^2\)，\(b\ne3t\)，\(b\ne5u\)
奇数\(a＞1\)，\(b＞1\)，\(c＞1\)，\(d＞1\)，\(m＞1\)，\(t＞1\)，\(u＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(b=p\)
素数公式是正确的，肯定是找不到反例
大量数据验证，\(b+2=m^2\)，找到反例
当\(b+2\ne m^2\)，肯定是找不到反例
分解网站验证
\(b+2=m^2\)，找到反例
(2*(119*n)^2+(119*n)^2*119)/119^2，验证n在10000范围内，有整数平方根存在
(2*(287*n)^2+(287*n)^2*287)/287^2，验证n在10000范围内，有整数平方根存在
当\(b+2\ne m^2\)，肯定是找不到反例
(2*(133*n)^2+(133*n)^2*133)/133^2，验证n在10000范围内，没有整数平方根存在
(2*(187*n)^2+(187*n)^2*187)/187^2，验证n在10000范围内，没有整数平方根存在
分解网站验证，基本上可以确定素数公式是正确，找不到反例

作者: 太阳 时间: 2024-8-3 02:28
39楼命题，自相矛盾，无法判断素数

作者: yangchuanju 时间: 2024-8-3 08:32

太阳发表于 2024-8-3 02:28
39楼命题，自相矛盾，无法判断素数

方程右端是平方数，方程要相等左端也必须是平方数。
左端等于a^2*(2+b)，但太阳先生人为规定b+2不能是平方数，故左端不能是平方数；
因而不存在哪个b满足条件，何谈b是素数！！！
至于命题2中的b不能是3的倍数数，不能是5的倍数数，更是虚设条件。

现太阳先生终于明白了，他的命题自相矛盾！

作者: 太阳 时间: 2024-8-3 08:58
[attach]145431[/attach]
在梅森数中，命题是否能成立？

作者: 太阳 时间: 2024-8-3 09:26
本帖最后由太阳于 2024-8-3 10:04 编辑

已知:\(c=1+n\)，整数\(n＞0\)，\(y＞0\)，偶数\(k＞0\)，\(m＞0\)，\(t＞0\)，\(\cdots\)，\(v＞0\)，素数\(a＞2\)
求证:\(a^{\left( c-1\right)}k+a^{\left( c-2\right)}m+a^{\left( c-3\right)}t+\cdots+a^{\left( c-n\right)}v+3\ne y^2\)

作者: 太阳 时间: 2024-8-3 09:28
如果43楼命题是正确的，那么42楼命题肯定是正确的

作者: 白新岭 时间: 2024-8-3 09:32
杨先生与太阳讨论的问题，他人很少参与。

作者: yangchuanju 时间: 2024-8-3 14:24

yangchuanju 发表于 2024-8-2 16:45
太阳先生曾经给出c=109时的一组整数解，
a=-1299497230788526，b=-1299497019051308，c=109；
根据该不 ...

已经算得不定方程2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0当参数c=109时的8组整数解：
b a1 a2
0 0 -70579080
705790804 352895402 282316322
-1299497019051308 141158138 -1299497230788526
1299497724842112 1299497513104848 141158184

作者: 太阳 时间: 2024-8-3 17:24
2*a^2+2*b*109^4+a*109^4-a-2ab=0
80整数解

作者: yangchuanju 时间: 2024-8-8 09:33
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-8-8 09:34 编辑

太阳发表于 2024-8-3 08:58
在梅森数中，命题是否能成立？

送给太阳先生一些加2是平方数的梅森因子数——
n p1 加2开平方 p减1除以n
3 7 3 2
11 23 5 2
23 47 7 2
37 223 15 6
73 439 21 6
83 167 13 2
97 11447 107 118
179 359 19 2
419 839 29 2
683 1367 37 2
1103 2207 47 2
1511 3023 55 2
2963 5927 77 2
3037 18223 135 6
5303 10607 103 2
6947 180623 425 26
7079 14159 119 2
8821 405767 637 46
12011 24023 155 2
12421 74527 273 6
12959 25919 161 2
15913 95479 309 6
19139 13359023 3655 698
21011 42023 205 2
22259 44519 211 2
27143 54287 233 2
28559 57119 239 2
32003 64007 253 2
33023 66047 257 2
35111 70223 265 2

n p3 加2开平方 p减1除以n
35831 16410599 4051 458
38459 2845967 1687 74

作者: 太阳 时间: 2024-8-8 22:31
[attach]145799[/attach]
素数判断概率极大，不知是否能找到反例？

作者: 太阳 时间: 2024-8-9 00:02
已知:\(10ab^2+a^2b^2=a^3c^2\)，\(b=13+54m\)，\(a=2b\)，\(b\ne5t\)
整数\(a\ne0\)，\(c\ne0\)，\(m＞0\)，\(t＞0\)，奇数\(b＞0\)，素数\(p＞0\)
求证:\(b=p\)

作者: 太阳 时间: 2024-8-9 00:05
本帖最后由太阳于 2024-8-9 01:18 编辑

，，，，

作者: yangchuanju 时间: 2024-8-9 14:54

太阳发表于 2024-8-9 00:02
已知:\(10ab^2+a^2b^2=a^3c^2\)，\(b=13+54m\)，\(a=2b\)，\(b\ne5t\)
整数\(a\ne0\)，\(c\ne0\)，\(m＞0\ ...

太阳命题实实在在的太荒谬了——
已知：10ab^2+a^2*b^2=a^3*c^2，b=13+54m，a=2b，b≠5t
整数a≠0，c≠0，m>0，t>0，奇数b>0，素数p>0
求证：b=p

将a=2b带入原命题（方程）
20b^3+4b^4=8b^3*c^2
5+b=2c^2
b-2c^2+5=0

给定10000个连续b和520个连续c，共得115个整数解0，扣除b值中的5的倍数数，还有
以下92个b均满足太阳先生的所有条件，但其中超过一半的b（47个）不是素数——
b 分解式
67 67 is prime
283 283 is prime
877 877 is prime
1147 1147=31*37
2173 2173=41*53
3037 3037 is prime
3523 3523=13*271
4603 4603 is prime
5197 5197 is prime
6493 6493=43*151
8707 8707 is prime
9517 9517=31*307
12163 12163 is prime
14107 14107 is prime
15133 15133=37*409
17293 17293 is prime
18427 18427 is prime
20803 20803=71*293
24637 24637=71*347
25987 25987=13*1999
30253 30253 is prime
33277 33277=107*311
34843 34843 is prime
38083 38083 is prime
39757 39757=83*479
43213 43213=79*547
48667 48667=41*1187
50557 50557=13*3889
56443 56443 is prime
60547 60547=191*317
62653 62653 is prime
66973 66973 is prime
69187 69187=43*1609
73723 73723=13*53*107
80797 80797=43*1879
83227 83227 is prime
90733 90733=41*2213
95917 95917 is prime
98563 98563 is prime
103963 103963 is prime
106717 106717=13*8209
112333 112333=13*8641
121027 121027=37*3271
123997 123997 is prime
133123 133123=239*557
139387 139387 is prime
142573 142573 is prime
149053 149053 is prime
152347 152347=13*11719
159043 159043=89*1787
169357 169357=163*1039
172867 172867 is prime
183613 183613=31*5923
190957 190957=13*37*397
194683 194683 is prime
202243 202243 is prime
206077 206077 is prime
213853 213853=79*2707
225787 225787=41*5507
229837 229837 is prime
242203 242203=13*31*601
250627 250627=13*13*1483
254893 254893=37*83*83
263533 263533 is prime
267907 267907 is prime
276763 276763 is prime
290317 290317 is prime
294907 294907=79*3733
308893 308893=13*23761
318397 318397=191*1667
323203 323203=41*7883
332923 332923=67*4969
337837 337837 is prime
347773 347773 is prime
362947 362947=13*27919
368077 368077 is prime
383683 383683 is prime
394267 394267=43*53*173
399613 399613 is prime
410413 410413 is prime
415867 415867=197*2111
426883 426883=157*2719
443677 443677=13*34129
449347 449347 is prime
466573 466573 is prime
478237 478237=31*15427
484123 484123 is prime
496003 496003=563*881
501997 501997 is prime
514093 514093 is prime
532507 532507=439*1213
538717 538717=89*6053

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