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标题: 梅森素数特别判定法 [打印本页]

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-3 00:16
标题: 梅森素数特别判定法
已知：整数r，整数c>0，素数p≥3，1≤r≤2^p-1，
求证：如果(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，则2^p-1是素数；否则如果(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)≠c，则2^p-1是合数。
亦或如果不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c有正整数解，则2^p-1是素数；否则如果不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c无正整数解，则2^p-1是合数。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-3 00:21
太阳先生，您梦寐以求的梅森素数公式被我抢先找到了！
别再像一只无头的苍蝇到处乱碰、乱蒙啦！

作者: 太阳 时间: 2024-9-3 02:50
如果(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，则2^p-1是素数；否则如果(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)≠c，则2^p-1是合数。
命题肯定是错误，方程有整数解，判断它是素数，没有整数解解，判断它是合数，方向弄反掉了，这是自相矛盾
可能这样方程是不存在，有整数解，判断它是素数，没有整数解，判断它是合数
有整数解，合数的素因子构成，有整数解越多，基本判断它是合数

作者: 太阳 时间: 2024-9-3 02:54
我也考虑过这样方程，也没有了找到这样方程，有整数解，判断它是素数，没有整数解，判断它是合数

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-3 06:02
令p=5，r=1,2,3,……,31，余数表为——
r=r1 r2 r3 r4 r5 r6 (r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)
8 0 -2 2 2 2 123.9354839
23 0 -2 2 2 2 8958.935484
14 8 0 -2 2 2 1214 不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^5-1)=c有正整数解，则2^5-1是素数；
17 8 0 -2 2 2 2657 方程共有4个正整数解，r=14,17,5,26，其中14+17=5+26=31，
5 23 0 -2 2 2 17 一半正整数解小于31/2，一半正整数解大于31/2，由于正整数解较多，我们可以只求其中的一半小整数解即可。
26 23 0 -2 2 2 14654 另r=8、23时，第1余数r2=0，且8+23=31。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-3 06:05
令p=7，r=1,2,3,……,127，余数表为——
r=r1 r2 r3 r4 r5 r6 (r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)
16 0 -2 2 2 2 507.984252
111 0 -2 2 2 2 1194942.984
48 16 0 -2 2 2 41726 不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^7-1)=c有正整数解，则2^7-1是素数；
79 16 0 -2 2 2 306497 方程共有4个正整数解，r=48,79,42,85，其中48+79=42+85=127，
42 111 0 -2 2 2 24446 一半正整数解小于127/2，一半正整数解大于127/2，由于正整数解较多，我们可以只求其中的一半小整数解即可。
85 111 0 -2 2 2 410801 另r=16、111时，第1余数r2=0，且16+111=127。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-3 06:07
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-3 06:08 编辑

令p=9，r=1,2,3,……,255，余数表为——
r=r1 r2 r3 r4 r5 r6 (r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)
32 0 -2 2 2 2 2043.996086 不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^9-1)=c没有正整数解，则2^9-1是合数；
178 0 -2 2 2 2 1964283.996 已求出方程的2个r2=0解，r=32,178，另2个可根据511-32=和511-178=求出，
75 2 2 2 2 2 61875.00391 全部余数之中，只有r2中有余数0，其余r3及以后都没有余数0。
0个数 2 0 0 0 0

作者: 太阳 时间: 2024-9-3 10:33
1≤r≤2^p-1，(n^4-4*n^2+2)/(2^13-1)=c，n=1624，n最小值也是很难找到，判断8191是素数，
怎么能快速找到n最小值？有整数解，难度大，非常困难
1≤r≤2^p-1，(n^4-4*n^2+2)/(2^13-1)=c，n=1624，试除法判断8191是素数，增加复杂难度
1≤r≤2^p-1，(n^4-4*n^2+2)/(2^11-1)≠c，没有整数解？找到捷径方法判断它没有整数解？

作者: 太阳 时间: 2024-9-3 10:42
1楼主帖，肯定是错误，不可能是正确
方程有整数解，合数的素因子构成，素数也构成，有整数解越多，基本判断它是合数

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-3 14:20
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-3 14:22 编辑

令p=11，2^11-1=2047，r=1,2,3,……,1023，余数表为——
r=r1 r2 r3 r4 r5 r6 (r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)
622 -1 -1 -1 -1 -1 0
64 0 -2 2 2 2 0
915 0 -2 2 2 2 0
0个数 2 0 0 0 0 大于0的个数是0

不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^11-1)=c没有正整数解（0表示无整数解），则2^11-1是合数；
已求出方程的2个r2=0解，r=64,915，另2个可根据2047-64=和2047-915=求出，
全部余数之中，只有r2中有余数0，其余r3及以后都没有余数0。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-3 14:20
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-12 05:53 编辑

令p=13，2^13-1=8191，r=1,2,3,……,4095，余数表为——
r=r1 r2 r3 r4 r5 r6 (r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)
128 0 -2 2 2 2 0
1624 8063 0 -2 2 2 849193214
3470 128 0 -2 2 2 17700308222
0个数 1 2 4 8 16 大于0的个数是2

不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^13-1)=c有正整数解，则2^13-1是素数；
已求出方程的2个r3=0解，r=1624,3470，另2个可根据8191-1624=和8191-3470=求出，
全部余数之中，只有r2-r12之中都有余数0，个数分别为1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024再分别乘以2。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-3 14:24
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-3 20:20 编辑

令p=15，2^15-1=32767，r=1,2,3,……,16383，余数表为——
r=r1 r2 r3 r4 r5 r6 (r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)
256 0 -2 2 2 2 0
5541 0 -2 2 2 2 0
8502 0 -2 2 2 2 1.59459E+11
13787 0 -2 2 2 2 1.10266E+12
16308 13890 2 2 2 2 2.15857E+12
4682 32766 32766 32766 32766 32766 14665229949
0个数 4 0 0 0 0 55

不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^15-1)=c在r=3-16383之间有55个正整数解（0表示无整数解），2^15-1虽是合数，但又有多组整数解，判断法不可用；
已求出方程的4个r2=0解，r=256,5541,8502,13787，还可根据32767-256=等关系求出4个0解，
全部余数之中，只有r2中有余数0，其余r3及以后都没有余数0。
主楼所说的判断法不适用于非梅森数的判定，但可用于梅森数的素合性判定。

以上所给结论是错误的，本来该系列没有正整数解，但由于计算误差错误地给出55个整数解，实际上它们都不是真正的整数，是四舍五入造成的假整数；
主楼给出的结论还是正确的，该判断法还是对非梅森数有效，不仅仅适用于配对梅森数的素合性！

作者: 太阳 时间: 2024-9-3 15:51
不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^127-1)=c，2^127-1是素数，是否能快速找到整数解？
试除多少次？求出r最小值，找到整数解？

作者: 太阳 时间: 2024-9-3 18:14
不定方程\(\left( r^4-4r^2+2\right)\div\left( 2^{127}-1\right)=c\)
求出\(r\)最小值，找到整数解，也是很困难的，难度大

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-3 20:38
如果继续求下去，对于梅森素数2^17-1,2^19-1,2^31-1,2^61-1,2^127-1,……，不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c都有正整数解；
对于梅森合数2^23-1,2^29-1,2^37-1,2^41-1,2^43-1,……，不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c都没有正整数解；
对于非梅森数2^21-1,2^25-1,2^27-1,2^33-1,2^35-1,……，不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c也都没有正整数解；
结论——
对于不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，如果有正整数解的2^p-1是素数，反之没有正整数解的2^p-1是合数！（P≥3的正整数）

作者: 太阳 时间: 2024-9-3 23:21
不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^127-1)=c，2^127-1是素数，是否能快速找到整数解？
试除多少次？求出r最小值，找到整数解？
如果求r最小值，难度大，很难找到整数解，判断2^p-1大素数难度也是很大
1楼主帖，如果命题是正确，寻找2^p-1大素数有很大帮助，有很高科研价值
这个命题不可能是正确，肯定是错误的命题
方程有整数解，合数的素因子构成整数解，素数也构成整数解，整数解越多，基本上判断是合数

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-4 13:33
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-4 22:08 编辑

太阳发表于 2024-9-3 23:21
不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^127-1)=c，2^127-1是素数，是否能快速找到整数解？
试除多少次？求出r最小值， ...

2^127-1素性判定次数
试除法
直接用2^127-1平方根以内的奇数试除，最多2^63.5/2次≈6.5219*10^18；
直接用2^127-1平方根以内的素数试除，最多2^63.5/ln(2^63.5)≈2.9635*10^17次；
仅用2^127-1平方根以内的模8余7和余1的素数试除，最多≈2.9635*10^17/2次；
仅用2^127-1平方根以内的254k+1型素数试除，最多≈***次？
仅用2^127-1平方根以内的127k*2+1,127k*8+1,127k*10+1,127k*16+1,……127k*(8n+2)+1,127k*8n型素数试除，最多≈***次？

LL检验法
只用126次。

不定方程(r^4-4*r2+2)/(2^127-1)=c有无正整数解法
比直接用2^127-1平方根以内的奇数试除的最多2^63.5/2次≈6.5219*10^18次还要多的多，全试一遍要2^127-1次，仅试一半数字还要2^126次。

作者: 太阳 时间: 2024-9-4 13:46
已知：整数r，整数c>0，素数p≥3，1≤r≤2^p-1，
求证：如果(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，则2^p-1是素数；否则如果(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)≠c，则2^p-1是合数。
命题是错误的，找到一个反例
(r^4-4*r^2+2)/(2^23-1)=c，r=555182

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-4 22:09

太阳发表于 2024-9-4 13:46
已知：整数r，整数c>0，素数p≥3，1≤r≤2^p-1，
求证：如果(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，则2^p-1是素数；否 ...

的确是一个反例，猜想不成立！

作者: 太阳 时间: 2024-9-6 12:18
[attach]146723[/attach]
[attach]146724[/attach]

作者: 太阳 时间: 2024-9-6 23:45
已知:\(a^2b^2c^2=ct^2\)，\(abc=t\)，\(a＞c\)，\(c^5＞t\)，\(t\)的最小质因数是\(m\)
奇数\(a＞1\)，\(b＞1\)，\(c＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(p＞0\)
求证:\(b=p\)

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 01:06
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-7 01:27 编辑

对于不定方程(r^4-4*r2+2)/(2^p-1)=c，不论指数p是素数，还是合数，r2（第一余数）之中总有两个0解——
例p=3，r=4或3时r2都是0,4+3=7；p=5，r=8或23时r2都是0,8+23=31；p=7，r=16或111时r2都是0,16+111=127；
又p=9，r=32或479时r2都是0,32+479=511；p=11，r=64或1983时r2都是0,64+1983=2047；p=13，r=128或8063时r2都是0,128+8063=8191；
p 2^p-1 第1个0解r 第2个0解r
3 7 4 3
5 31 8 23
7 127 16 111
9 511 32 479
11 2047 64 1983
13 8191 128 8063
15 32767 256 32511
17 131071 512 130559
19 524287 1024 523263
21 2097151 2048 2095103
23 8388607 4096 8384511
25 33554431 8192 33546239

这是因为，当r=2^(p+1)/2时，r^2-2=2^(p+1)-2=2*(2^p-1)，除以2^p-1总是等于2（整数）；
且r=2^(p+1)/2一定有另一个互补整数解r=(2^p-1)-2^(p+1)/2。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 01:08
当2^p-1是合数时，第1余数r2中的0解还要多一些，经计算知——
9有4个0解，11有4个0解，15有8个0解，21有8个0解，25有8个0解：
9 511
r1 r2
32 0
178 0
333 0
479 0

11 2047
r1 r2
64 0
915 0
1132 0
1983 0

15 32767
r1 r2
256 0
5541 0
8502 0
13787 0
18980 0
24265 0
27226 0
32511 0

21 2097151
r1 r2
2048 0
340344 0
873141 0
881618 0
1215533 0
1224010 0
1756807 0
2095103 0

25 33554431
r1 r2
8192 0
2855573 0
3255395 0
6102776 0
27451655 0
30299036 0
30698858 0
33546239 0

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 01:14
对于梅森合数2^23-1不但第1余数r2中有4个0解，出尔反尔地在第2余数r3中出现了16个0解(不定方程(r^4-4*r2+2)/(2^23-1)=c的反例)；
太阳先生曾经给出了它的一个反例555182，不曾想一下子搜出了16个反例，4个一级0解数有各自引出4个二级0解——
r1 r2 r3
4096 0
3922486 0
4466121 0
8384511 0
2339992 4096 0
3053916 4096 0
5334691 4096 0
6048615 4096 0
3411827 3922486 0
4125751 3922486 0
4262856 3922486 0
4976780 3922486 0
555182 4466121 0
3549881 4466121 0
4838726 4466121 0
7833425 4466121 0
1627017 8384511 0
2478046 8384511 0
5910561 8384511 0
6761590 8384511 0

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 01:15
如果存在一个整数x，使得x^2-2除以(2^3-1)=7等于某个正整数c，余数为2^(p+1)/2=4或7-4=3，
x^2-2=7c+4，x^2=7c+6；或x^2-2=7c+3，x^2=7c+5：
c 7c+6 x1 x2
0 6 2.449489743 2.236067977
1 13 3.605551275 3.464101615
2 20 4.472135955 4.358898944
3 27 5.196152423 5.099019514
4 34 5.830951895 5.744562647
5 41 6.403124237 6.32455532
6 48 6.92820323 6.8556546
7 55 7.416198487 7.348469228
不存在满足条件余数等于4或3的x。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 01:19
如果存在一个整数x，使得x^2-2除以(2^5-1)=31等于某个正整数c，余数为2^(p+1)/2=8或23，
x^2-2=31c+8，x^2=31c+10；或x^2-2=31c+23，x^2=31c+25：
c 31c+10 x1 x2
0 10 3.16227766 5
1 41 6.403124237 7.483314774
2 72 8.485281374 9.327379053
3 103 10.14889157 10.86278049
4 134 11.5758369 12.20655562
5 165 12.84523258 13.41640786
6 196 14 14.52583905
7 227 15.06651917 15.55634919
8 258 16.0623784 16.52271164
9 289 17 17.43559577
10 320 17.88854382 18.30300522
11 351 18.734994 19.13112647
12 382 19.54482029 19.92485885
13 413 20.32240143 20.68816087
14 444 21.07130751 21.42428529
15 475 21.79449472 22.13594362
16 506 22.49444376 22.82542442
17 537 23.17326045 23.49468025
18 568 23.83275058 24.14539294
19 599 24.4744765 24.77902339
20 630 25.0998008 25.3968502
21 661 25.70992026 26
22 692 26.30589288 26.5894716
23 723 26.88865932 27.16615541
24 754 27.45906044 27.73084925
25 785 28.01785145 28.28427125
26 816 28.56571371 28.82707061
27 847 29.10326442 29.35983651
28 878 29.63106478 29.88310559
29 909 30.14962686 30.39736831
30 940 30.65941943 30.90307428
31 971 31.1608729 31.40063694
65 2025 45
74 2304 48
满足余数8的x等于14和17，下一级x等于45和48；满足余数23的x等于5和26。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 01:21
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-7 01:46 编辑

如果存在一个整数x，使得x^2-2除以(2^7-1)=127等于某个正整数c，余数为2^(p+1)/2=16或111，
x^2-2=127c+16，x^2=127c+18；或x^2-2=127c+111，x^2=127c+113：
c 127c+18 x1 127c+113 x2
0 18 4.242640687 113 10.63014581
1 145 12.04159458 240 15.49193338
2 272 16.4924225 367 19.15724406
3 399 19.97498436 494 22.22611077
4 526 22.93468988 621 24.91987159
5 653 25.55386468 748 27.34958866
6 780 27.92848009 875 29.58039892
7 907 30.11644069 1002 31.65438358
8 1034 32.15587038 1129 33.60059523
9 1161 34.07345007 1256 35.44009029
10 1288 35.88871689 1383 37.18870796
11 1415 37.61648575 1510 38.85871846
12 1542 39.26830783 1637 40.45985665
13 1669 40.85339643 1764 42
14 1796 42.3792402 1891 43.48562981
15 1923 43.8520239 2018 44.92215489
16 2050 45.27692569 2145 46.31414471
17 2177 46.65833259 2272 47.66550115
18 2304 48 2399 48.97958759

49 6241 79 6336 79.59899497
50 6368 79.79974937 6463 80.39278575
51 6495 80.59156283 6590 81.17881497
52 6622 81.37567204 6717 81.95730596
53 6749 82.15229759 6844 82.72847152
54 6876 82.92164977 6971 83.49251463
55 7003 83.68392916 7098 84.24962908
56 7130 84.43932733 7225 85

126 16020 126.5701387 16115 126.9448699
127 16147 127.0708464 16242 127.4441054
241 30625 175 30720 175.2712184
334 42436 206 42531 206.2304536
满足余数等于16的x等于48和79，下一级x等于175和206；满足余数等于111的x等于42和85。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 01:23
如果存在一个整数x，使得x^2-2除以(2^9-1)=511等于某个正整数c，余数为2^(p+1)/2=32或479，
x^2-2=511c+32，x^2=511c+34；或x^2-2=511c+479，x^2=511c+481；
试算表明不存在满足余数等于32或479的x，即32和479之前没有满足条件的x，或32和479不会是2^9-1的第一余数r2，但当r1=32或479时，它的r2=0。

如果存在一个整数x，使得x^2-2除以(2^11-1)=2047等于某个正整数c，余数为2^(p+1)/2=64或1983，
x^2-2=2047c+64，x^2=2047c+66；或x^2-2=2047c+1983，x^2=2047c+1985；
试算表明不存在满足余数等于64或1983的x，即64和1983之前没有满足条件的x，或64和1983不会是2^11-1的第一余数r2，但当r1=64或1983时，它的r2=0。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 01:24
不定方程(r^2-2)/(2^p-1)=c对于各个p都有至少2个正整数解，其中p是大于等于3的奇数，r取值范围为1至2^p-1；
不定方程((r^2-2)^2-2)/(2^p-1)=(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c对于各个p不一定都有正整数解，其中p是大于等于3的奇数，r取值范围为1至2^p-1；
当2^p-1是梅森素数（不含2^3-1=7）时，都有2个正整数解；当2^p-1不是梅森素数时不定方程一般是没有正整数解，但已知2^23-1存在正整数解4个（反例）；

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 01:24
((r^2-2)^2-2)=(r^4-4*r^2+2)
((r^2-2)^2-2)^2-2=(r^4-4*r^2+2)^2-2=r^8+16*r^4+4-8*r^6+4*r^4-16*r^2-2=r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c对于哪些p有正整数解呢？
一级不定方程(r^2-2)/(2^p-1)=c当p≥3时都有至少2个正整数解，已知p=9,11,23时有4个整数解，p=15,21,25时有8个整数解；
二级不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c对于p≥5的梅森素数都有4个正整数解，其余的合数2^p-1一般无整数解，但p=23时有16个整数解；
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c对于p≥7的梅森素数都有8个正整数解，其余的合数2^p-1中尚未发现有正整数解的。

二级不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数，因为2^23-1中有反例没有成立；
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数，总该成立了吧？2^23-1中是没有三级余数r4=0的。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 01:25
((r^2-2)^2-2)=(r^4-4*r^2+2)
((r^2-2)^2-2)^2-2=(r^4-4*r^2+2)^2-2=r^8+16*r^4+4-8*r^6+4*r^4-16*r^2-2=r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c对于哪些p有正整数解呢？
一级不定方程(r^2-2)/(2^p-1)=c当p≥3时都有至少2个正整数解，已知p=9,11,23时有4个整数解，p=15,21,25时有8个整数解；
二级不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c对于p≥5的梅森素数都有4个正整数解，其余的合数2^p-1一般无整数解，但p=23时有16个整数解；
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c对于p≥7的梅森素数都有8个正整数解，其余的合数2^p-1中尚未发现有正整数解的。

二级不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数，因为2^23-1中有反例没有成立；
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数，总该成立了吧？2^23-1中是没有三级余数r4=0的。

作者: 太阳 时间: 2024-9-7 01:29
本帖最后由太阳于 2024-9-7 01:50 编辑

已知:\(a^2b^2c^4=c^2t^2\)，\(abc=t\)，\(4+4c+c^2＞a＞b\)，\(t\)的最小质因数是\(c\)
奇数\(a＞1\)，\(b＞1\)，\(c＞1\)，\(t＞1\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(a=k\)，\(b=p\)
已知:\(a^2b^2c^2=ct^2\)，\(abc=t\)，\(a＞b\)，\(c^5＞t\)，\(t\)的最小质因数是\(c\)
奇数\(a＞1\)，\(b＞1\)，\(c＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(b=p\)
这两个素数公式都是正确的，意义不大，找大素数非常困难

作者: 太阳 时间: 2024-9-7 01:38
32楼，主帖，意义不大，找大素数是困难的，难度大
第一个命题，合数有3个素因子，才能保证命题是正确
第二个命题，合数有4个素因子，才能保证命题是正确

作者: 太阳 时间: 2024-9-7 02:08
本帖最后由太阳于 2024-9-7 02:10 编辑

已知:\(a^2b^2c^4=c^2t^2\)，\(abc=t\)，\(4+4c+c^2＞a＞b\)，\(t\)的最小质因数是\(c\)
奇数\(a＞1\)，\(b＞1\)，\(c＞1\)，\(t＞1\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(a=k\)，\(b=p\)
素数公式都是正确的，意义不大，找大素数非常困难
合数有3个素因子，才能保证命题是正确
取一个例子，\(t=2^{53}-1\)，\(t\)的最小质因数是6361，\(a=20394401\)，
\(b=69431\)，\(4+4\times6361+6361^2＞20394401＞69431\)
判断69431是素数，20394401是素数
这个命题是正确的，没有意义

作者: 太阳 时间: 2024-9-7 03:12
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数，总该成立了吧？2^23-1中是没有三级余数r4=0的。
命题应该也是错误，不可能是正确的

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 06:21
2^3-1=7中的整数解
r 余1
3 0
4 0

2^5-1=31中的整数解
r 余1 余2 余3
8 0
23 0
14 8 0
17 8 0
5 23 0
26 23 0
4 14 8 0
27 14 8 0
9 17 8 0
22 17 8 0
10 5 23 0
21 5 23 0
11 26 23 0
20 26 23 0

2^7-1=127中的整数解
r 余1 余2 余3 余4 余5
16 0
111 0
48 16 0
79 16 0
42 111 0
85 111 0
47 48 16 0
80 48 16 0
9 79 16 0
118 79 16 0
60 42 111 0
67 42 111 0
50 85 111 0
77 85 111 0
7 47 48 16 0
120 47 48 16 0
35 80 48 16 0
92 80 48 16 0
30 9 79 16 0
97 9 79 16 0
45 118 79 16 0
82 118 79 16 0
58 60 42 111 0
69 60 42 111 0
14 67 42 111 0
113 67 42 111 0
59 50 85 111 0
68 50 85 111 0
29 77 85 111 0
98 77 85 111 0
3 7 47 48 16 0
124 7 47 48 16 0
54 120 47 48 16 0
73 120 47 48 16 0
52 35 80 48 16 0
75 35 80 48 16 0
27 92 80 48 16 0
100 92 80 48 16 0
63 30 9 79 16 0
64 30 9 79 16 0
37 97 9 79 16 0
90 97 9 79 16 0
38 45 118 79 16 0
89 45 118 79 16 0
46 82 118 79 16 0
81 82 118 79 16 0
21 58 60 42 111 0
106 58 60 42 111 0
43 69 60 42 111 0
84 69 60 42 111 0
4 14 67 42 111 0
123 14 67 42 111 0
49 113 67 42 111 0
78 113 67 42 111 0
51 59 50 85 111 0
76 59 50 85 111 0
18 68 50 85 111 0
109 68 50 85 111 0
44 29 77 85 111 0
83 29 77 85 111 0
10 98 77 85 111 0
117 98 77 85 111 0

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 06:23
2^9-1=511中的整数解
r 余1
32 0
178 0
333 0
479 0

2^11-1=2047中的整数解
r 余1
64 0
915 0
1132 0
1983 0

2^15-1=32767中的整数解
r 余1
256 0
5541 0
8502 0
13787 0
18980 0
24265 0
27226 0
32511 0

2^21-1=2097151中的整数解
r 余1
2048 0
340344 0
873141 0
881618 0
1215533 0
1224010 0
1756807 0
2095103 0

2^25-1=33554431中的整数解
r 余1
8192 0
2855573 0
3255395 0
6102776 0
27451655 0
30299036 0
30698858 0
33546239 0

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 06:24
2^13-1=8191中的整数解
r 余1 余2 余3 余4 余5 余6 余7 余8 余9 余10 余11
128 0
8063 0
3470 128 0 4整数解
4721 128 0
1624 8063 0
6567 8063 0
1294 3470 128 0 8整数解
6897 3470 128 0
2037 4721 128 0
6154 4721 128 0
218 6567 8063 0
7973 6567 8063 0
1594 1624 8063 0
6597 1624 8063 0
36 1294 3470 128 0 16整数解
626 6897 3470 128 0
1413 6154 4721 128 0
3195 2037 4721 128 0
4996 2037 4721 128 0
6778 6154 4721 128 0
7565 6897 3470 128 0
8155 1294 3470 128 0
239 7973 6567 8063 0
1366 6597 1624 8063 0
2598 218 6567 8063 0
3538 1594 1624 8063 0
4653 1594 1624 8063 0
5593 218 6567 8063 0
6825 6597 1624 8063 0
7952 7973 6567 8063 0
1857 36 1294 3470 128 0 32整数解
8035 7952 7973 6567 8063 0
1580 6334 36 1294 3470 128 0 64整数解
7532 156 7952 7973 6567 8063 0
1017 2221 1857 36 1294 3470 128 0 128整数解
8050 3497 8035 7952 7973 6567 8063 0
1088 4238 5970 1857 36 1294 3470 128 0 256整数解
7229 8050 3497 8035 7952 7973 6567 8063 0
2133 3682 1017 2221 1857 36 1294 3470 128 0 512整数解
4142 4208 6511 4694 8035 7952 7973 6567 8063 0
764 2133 3682 1017 2221 1857 36 1294 3470 128 0 1024整数解
7675 4142 4208 6511 4694 8035 7952 7973 6567 8063 0
2631 764 2133 3682 1017 2221 1857 36 1294 3470 128 0 2048整数解
5368 7675 4142 4208 6511 4694 8035 7952 7973 6567 8063 0
总计4094整数解

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 06:25
2^17-1=131071中的整数解65536个，从略；
2^19-1=524287中的整数解262144个，从略；……

2^23-1=8388607中的整数解
r 余数1 余数2
4096 0
3922486 0
4466121 0
8384511 0
2339992 4096 0
3053916 4096 0
5334691 4096 0
6048615 4096 0
3411827 3922486 0
4125751 3922486 0
4262856 3922486 0
4976780 3922486 0
555182 4466121 0
3549881 4466121 0
4838726 4466121 0
7833425 4466121 0
1627017 8384511 0
2478046 8384511 0
5910561 8384511 0
6761590 8384511 0

2^27-1, 2^29-1, 2^31-1, 2^37-1及更高次2^p-1形式奇数的整数解未曾求算。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 06:32
不定方程(r^2-2)/(2^p-1)=c对于各个p都有至少2个正整数解，其中p是大于等于3的奇数，r取值范围为1至2^p-1；
不定方程((r^2-2)^2-2)/(2^p-1)=(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c对于各个p不一定都有正整数解，其中p是大于等于3的奇数，r取值范围为1至2^p-1；
当2^p-1是梅森素数（不含2^3-1=7）时，都有2个正整数解；当2^p-1不是梅森素数时不定方程一般是没有正整数解，但已知2^23-1存在正整数解4个（反例）；

((r^2-2)^2-2)=(r^4-4*r^2+2)
((r^2-2)^2-2)^2-2=(r^4-4*r^2+2)^2-2=r^8+16*r^4+4-8*r^6+4*r^4-16*r^2-2=r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c对于哪些p有正整数解呢？
一级不定方程(r^2-2)/(2^p-1)=c当p≥3时都有至少2个正整数解，已知p=9,11,23时有4个整数解，p=15,21,25时有8个整数解；
二级不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c对于p≥5的梅森素数都有4个正整数解，其余的合数2^p-1一般无整数解，但p=23时有16个整数解；
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c对于p≥7的梅森素数都有8个正整数解，其余的合数2^p-1中尚未发现有正整数解的。

二级不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数，因为2^23-1中有反例没有成立；
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数，总该成立了吧？2^23-1中是没有三级余数r4=0的。

作者: 太阳 时间: 2024-9-7 10:46
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数
假设命题是正确的，它没有意义了，判断大素数难度大，很难求出r的值，2^127-1是素数，有整数解
估计r最小值大于于\(\sqrt{2^{127}-1}\)，\(r^8\)值数据很大，如果找1亿位大素数，r最小值大于100万亿位大数，这个数据极大

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-7 11:45
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-7 13:40 编辑

太阳发表于 2024-9-7 10:46
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数
...

2^127-1中的整数解
一级小解等于2^64=，
一级大解等于2^127-1-2^64=；
二级4解的最小解可能小于一级的小解2^64，也可能大于一级的小解2^64，
二级4解的最大解可能大于一级的大解2^127-1-2^64，也可能小于一级的大解2^127-1-2^64：（小解越小大解越大，和等于2^127-1）
三级8解的最小解可能比二级4解的最小解小，也可能比二级4解的最小解大，
三级8解的最大解可能比二级4解的最大解大，也可能比二级4解的最大解小：（小解越小大解越大，和等于2^127-1）

解级数解个数 2^p-1之p 整数解总数
1 2 3 2
2 4
3 8 5 14
4 16
5 32 7 62
6 64
7 128 9 254
8 256
9 512 11 1022
10 1024
11 2048 13 4094
12 4096
13 8192 15 16382
14 16384
15 32768 17 65534
16 65536
17 131072 19 262142
18 262144
19 524288 21 1048574
20 1048576
21 2097152 23 4194302
22 4194304
23 8388608 25 16777214
24 16777216
25 33554432 27 67108862
26 67108864
27 134217728 29 268435454
28 268435456
29 536870912 31 1073741822
30 1073741824
31 2147483648 33 4294967294
32 4294967296
33 8589934592 35 17179869182
34 17179869184
35 34359738368 37 68719476734
36 68719476736
37 1.37439E+11 39 2.74878E+11
38 2.74878E+11
39 5.49756E+11 41 1.09951E+12
40 1.09951E+12
41 2.19902E+12 43 4.39805E+12
42 4.39805E+12
43 8.79609E+12 45 1.75922E+13
44 1.75922E+13
45 3.51844E+13 47 7.03687E+13
46 7.03687E+13
47 1.40737E+14 49 2.81475E+14
48 2.81475E+14
49 5.6295E+14 51 1.1259E+15
50 1.1259E+15
51 2.2518E+15 53 4.5036E+15
52 4.5036E+15
53 9.0072E+15 55 1.80144E+16
54 1.80144E+16
55 3.60288E+16 57 7.20576E+16
56 7.20576E+16
57 1.44115E+17 59 2.8823E+17
58 2.8823E+17
59 5.76461E+17 61 1.15292E+18
60 1.15292E+18
61 2.30584E+18 63 4.61169E+18
62 4.61169E+18
63 9.22337E+18 65 1.84467E+19
64 1.84467E+19
65 3.68935E+19 67 7.3787E+19
66 7.3787E+19
67 1.47574E+20 69 2.95148E+20
68 2.95148E+20
69 5.90296E+20 71 1.18059E+21
70 1.18059E+21
71 2.36118E+21 73 4.72237E+21
72 4.72237E+21
73 9.44473E+21 75 1.88895E+22
74 1.88895E+22
75 3.77789E+22 77 7.55579E+22
76 7.55579E+22
77 1.51116E+23 79 3.02231E+23
78 3.02231E+23
79 6.04463E+23 81 1.20893E+24
80 1.20893E+24
81 2.41785E+24 83 4.8357E+24
82 4.8357E+24
83 9.67141E+24 85 1.93428E+25
84 1.93428E+25
85 3.86856E+25 87 7.73713E+25
86 7.73713E+25
87 1.54743E+26 89 3.09485E+26
88 3.09485E+26
89 6.1897E+26 91 1.23794E+27
90 1.23794E+27
91 2.47588E+27 93 4.95176E+27
92 4.95176E+27
93 9.90352E+27 95 1.9807E+28
94 1.9807E+28
95 3.96141E+28 97 7.92282E+28
96 7.92282E+28
97 1.58456E+29 99 3.16913E+29
98 3.16913E+29
99 6.33825E+29 101 1.26765E+30
100 1.26765E+30
101 2.5353E+30 103 5.0706E+30
102 5.0706E+30
103 1.01412E+31 105 2.02824E+31
104 2.02824E+31
105 4.05648E+31 107 8.11296E+31
106 8.11296E+31
107 1.62259E+32 109 3.24519E+32
108 3.24519E+32
109 6.49037E+32 111 1.29807E+33
110 1.29807E+33
111 2.59615E+33 113 5.1923E+33
112 5.1923E+33
113 1.03846E+34 115 2.07692E+34
114 2.07692E+34
115 4.15384E+34 117 8.30767E+34
116 8.30767E+34
117 1.66153E+35 119 3.32307E+35
118 3.32307E+35
119 6.64614E+35 121 1.32923E+36
120 1.32923E+36
121 2.65846E+36 123 5.31691E+36
122 5.31691E+36
123 1.06338E+37 125 2.12676E+37
124 2.12676E+37
125 4.25353E+37 127 8.50706E+37
累计解数 8.50706E+37

2^127-1之125级最小解不一定很大，最大解可能接近于2^127-1。

作者: 太阳 时间: 2024-9-7 15:20
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c
有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数
这个命题没有意义，
判断2^127-1是素数，r最小值大于\(\sqrt{2^{127}-1}\)，(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)数值最小大于200位
2^127-1是39位，200多位数，39位数，试除得整数，难度大，无法精确计算出r最小值，命题没有意义

作者: 太阳 时间: 2024-9-7 15:32
如果找1亿位大素数，r最小值大于50000000位大数，r^8值大于五千万位的8次方，这个是超大数

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-8 04:18
弄清了2^p-1的各级整数解个数以后，再关注一下2^p-1的各个余数列中的循环节长和个数——
令r=1,2,3,4，……，2^p-1，依次计算r^2-1模2^p-1的余数1(r2)，r2^2-1模2^p-1的余数2(r3)，r3^2-1模2^p-1的余数3(r4)，……
当某一级的余数等于0时，即表示对应的r有正整数解，一旦某一余数等于0，则下面的余数便是-2,2,2,2，……；
否则余数列呈循环状态趋于无穷，循环节长不可能大于2^p-1（余数种类数最多2^p-1个）。
当r=1时余数列是-1,-1,-1,-1，……；
当r=2时余数列是2,2,2,2，……；
当r=2^p-3时，余数列也是2,2,2,2，……；
当r=2^p-2时，余数列也是-1,-1,-1,-1，……；
当r=2^p-1时，余数列是-2,2,2,2，……；
上述5种余数列结构简单，略去不谈。

对于梅森素数2^3-1=7，当r=1--7时，减去5剩2，再减去整数解个数2，不再剩余；
对于梅森素数2^5-1=31，当r=1--31时，减去5剩26，再减去整数解个数2+4+8=14，还剩12种余数列；计算知循环节长4的8种，循环节长2的4种；
对于梅森素数2^7-1=127，当r=1--127时，减去5剩122，再减去整数解个数2+4+8+16+32=62，还剩60种余数列；计算知循环节长6的48种，循环节长3的12种；
对于梅森素数2^13-1=8191，当r=1--8191时，减去5剩8186，再减去整数解个数2+4+8+16+……+2048=4094，还剩4092种余数列；计算知循环节长12的3960种，循环节长6的108种，循环节长4的8种，循环节长3的12种，循环节长2的4种；
对于梅森素数2^17-1=131071，当r=1--131071时，减去5剩131066，再减去整数解个数2+4+8+16+……+32768=65534，还剩65532种余数列；计算知循环节长16的65024种，循环节长8的480种，循环节长4的24种，循环节长2的4种；

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-8 04:19
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-11 01:40 编辑

对于非梅森合数2^9-1=511，当r=1--511时，减去5，再减去整数解个数4，还剩502种余数列；计算知循环节长18的252种，循环节长3的168种，循环节长1的82种，其中r=4的循环节长为3；

对于梅森合数2^11-1=2047，当r=1--2047时，减去5，再减去整数解个数4，还剩2038种余数列；计算知循环节长60的240种，循环节长20的80种，循环节长15的60种，……循环节长2的52种，其中r=4的循环节长为60；
循环节长个数备注
1 91 含5个特殊r及4个整数解
2 52
3 78
4 104
5 990
6 0
10 40
12 312
15 60
20 80
30 0
60 240 r=4在其中
总计 2047

对于非梅森合数2^15-1=32767，当r=1--32767时，减去5，再减去整数解个数8，还剩32754种余数列；计算知循环节长36的4032种，循环节长18的11818种，循环节长9的12796种，……，其中r=4的循环节长为9；
循环节长个数备注
1 929 含5个特殊r及8个整数解
2 840
3 0
4 2352
5 0
9 12796 r=4在其中
18 11818
36 4032
总计 32767
上面数字不全对，应改为
循环节长半个数个数
1 465 931
2 420 840
4 1176 2352
9 4788 9576
10 1610 3220
18 1008 2016
20 4900 9800
36 2016 4032
合计 16383 32767

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-8 06:08
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-12 06:09 编辑

对于非梅森合数2^21-1=2097151，当r=1--2097151时，减去5，再减去整数解个数8，还剩2097138种余数列；计算知循环节长78的970790种，循环节长6的912984种，循环节长3的171504种，……，其中r=4的循环节长为3；
循环节长总个数备注
1 41873 含5个特殊r及8个整数解
2 0
3 171504 r=4在其中
6 912984
78 970790
总计 2097151

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-9 06:52
2^23-1主要有三种循环节，32340=2*1470，3234=2*147，528=22*24；4+16=20个整数解。
2^29-1主要有三种循环节，924=28*33，252=28*9，84=28*3；另外还有循环节长等于660的，它不是28的整数倍。

对于2^23-1的LL检验余数，虽然没有0出现，但它的一系列余数是循环重复出现的，循环节长为32340；
由于2^23-1不是素数，它的余数循环节长32340不是2^23-1的分数，也不是两素因子减1的乘积的分数；它是指数23减1的1470倍。
将r1=4，换成5,10,14,19,21,23,24,26,28,31时循环节长也是32340，循环是从r2或r1开始的；
将r1=4，换成8,9,20,22,25,27,29,32时循环节长都是3234，循环是从r4或r5开始的；
将r1=4，换成3,6,7,11,12,13,15,16,17,18,30时循环节长都是528，循环是从r1、r2、r4或r5开始的；需要注意的是，528=22*24不是32340的分数(32340/528=61.25)。

r1 循环节长循环开始循环节/22
4 32340 r2 1470
5 32340 r1 1470
10 32340 r2 1470
14 32340 r1 1470
19 32340 r2 1470
21 32340 r2 1470
23 32340 r1 1470
24 32340 r2 1470
26 32340 r1 1470
28 32340 r2 1470
31 32340 r2 1470
8 3234 r5 147
9 3234 r5 147
20 3234 r5 147
22 3234 r4 147
25 3234 r4 147
27 3234 r5 147
29 3234 r5 147
32 3234 r4 147
3 528 r5 24
6 528 r2 24
7 528 r4 24
11 528 r5 24
12 528 r4 24
13 528 r5 24
15 528 r4 24
16 528 r3 24
17 528 r5 24
18 528 r5 24
30 528 r1 24

对于2^29-1，若将r1=4换成r1=3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14的循环节长较多，有的还不是28的整数，当r1=1--32时循环节长分别为：
r1 循环节长循环开始循环节/28
19 13860 —— 495
30 13860 —— 495
31 13860 —— 495
16 2772 —— 99
20 1980 —— 70.71428571
26 1980 —— 70.71428571
29 1980 —— 70.71428571
17 1260 —— 45
24 1260 —— 45
25 1260 —— 45
8 924 r5 33
11 924 r5 33
12 924 r2 33
13 924 r2 33
15 924 —— 33
21 924 —— 33
22 924 —— 33
32 924 —— 33
5 660 r5 23.57142857
23 660 —— 23.57142857
4 252 r2 9
6 252 r3 9
9 252 r4 9
10 252 r2 9
14 252 r1 9
27 252 —— 9
28 252 —— 9
3 84 r5 3
7 84 r4 3
18 84 —— 3

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-10 14:26
25 p=25的循环节结构较简单，循环节长不是很大——
r 循环节长循环开始
3 60 r3=47
4 60 r6=25732079
5 420 r5=24204089
6 60 r3=1154
7 60 r2=47
8 60 r4=14760962
9 520 r6=12539843
10 60 r6=3076070
11 520 r7=2067144
12 420 r2=142
13 2184 r2=167
14 60 r5=25732079
15 2184 r2=223
16 420 r2=254
17 546 r5=13349873
18 20 53=103682
19 60 r4=353294
20 546 r6=3874630
21 420 r6=25580334
22 60 r6=12481873
23 420 r4=24204089
24 140 r4=4532389
25 520 r3=388127
26 210 r5=3213245
27 728 r6=30398819
28 520 r3=611522
29 2184 r2=839
30 210 r3=806402
31 60 r4=2920822
32 420 r2=1022

27 p=27时的循环节结构复杂，循环节长要么是9，要么非常大——
r1 循环节长
3 537210 r4=2207
4 9 r7
5 537210 r2=23另1套循环节
6 9 r8
7 537210 r3=2207同3
8 107442 r2=62
9 9 r10
10 9 r7
11 537210 r5=66259552同5
12 9 r10
13 9 r10
14 9 r6
15 9 r10
16 >200000
17 >200000
18 >200000
19 9 r10
20 >200000
21 29845
22 >200000
23 >200000
24 9
25 89535
26 107442
27 18
28 3 r10
29 18
30 >200000
31 89535
32 9 r10
>20000的循环节长很可能都是537210

31 p=31的循环节结构比较简单——
r1 循环节长循环开始
3 r30=0
4 r30=0
5 30 r2=23
6 30 r1=6
7 r29=0
8 30 r2=62
9 30 r2=79
10 r30=0
11 30 r1=11
12 30 r2=142
13 r28=0
14 r29=0
15 30 r1=15
16 r28=0
17 30 r1=17
18 r30=0
19 30 r1=19
20 r30=0
21 30 r1=21
22 30 r=482
23 30 r1=23
24 r29=0
25 r30=0
26 30 r2=674
27 30 r1=27
28 30 r1=28
29 30 r2=839
30 r29=0
31 30 r1=31
32 30 r1=32
33 r29=0
34 30 r1=34,r30=6
35 30 r1=35

作者: 太阳 时间: 2024-9-10 22:03
已知:\(\frac{a^2}{c}+2mt^3=2b^2c\)，\(c=mt\)，\(c＞b\)，整数\(a＞1\)，\(b＞1\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(m=k\)，\(t=p\)
已知:\(\frac{a^2}{c}+2mt^3=2b^2c\)，\(c=mt\)，\(c\ne3u\)，\(c\ne5y\)，\(c＞b\)，整数\(a＞1\)，\(b＞1\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)，\(u＞1\)，\(y＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(m=k\)，\(t=p\)
已知:\(\frac{a^2}{3t}+54t=6b^2t\)，整数\(a＞1\)，\(b＞1\)，奇数\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{5t}+250t=10b^2t\)，整数\(a＞1\)，\(b＞1\)，奇数\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(t=p\)
已知:\(\frac{a^2}{7t}+686t=14b^2t\)，整数\(a＞1\)，\(b＞1\)，奇数\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(t=p\)
已知:\(\frac{a^2}{c}+2b^2c=2m^3t\)，\(c=mt\)，\(c＞b\)，整数\(a＞1\)，\(b＞1\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(m=k\)，\(t=p\)
已知:\(\frac{a^2}{c}+2b^2c=2m^3t\)，\(c=mt\)，\(c\ne3u\)，\(c\ne5y\)，\(c＞b\)，整数\(a＞1\)，\(b＞1\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)，\(u＞1\)，\(y＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(m=k\)，\(t=p\)
已知:\(\frac{a^2}{c}+2mt^3=2b^2c\)，\(c=mt\)，\(c＞b\)，整数\(a＞1\)，\(b＞1\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(m＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(t=p\)
已知:\(\frac{a^2}{c}+2mt^3=2b^2c\)，\(c=mt\)，\(c\ne3u\)，\(c\ne5y\)，\(c＞b\)，整数\(a＞1\)，\(b＞1\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)，\(u＞1\)，\(y＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(t＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{c}+2b^2c=2m^3t\)，\(c=mt\)，\(c＞b\)，整数\(a＞1\)，\(b＞1\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(m＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(t=p\)
已知:\(\frac{a^2}{c}+2b^2c=2m^3t\)，\(c=mt\)，\(c\ne3u\)，\(c\ne5y\)，\(c＞b\)，整数\(a＞1\)，\(b＞1\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)，\(u＞1\)，\(y＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(t＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{3m}+6m^3=6b^2m\)，整数\(a＞1\)，\(b＞1\)，奇数\(m＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{35m}+10m^3=10b^2m\)，整数\(a＞1\)，\(b＞1\)，奇数\(m＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{7m}+14m^3=14b^2m\)，整数\(a＞1\)，\(b＞1\)，奇数\(m＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)

作者: 太阳 时间: 2024-9-10 22:05
已知:\(a=bc\)，\(\sqrt[3]{a}＞m\)，\(t＞\sqrt{a}\)，\(a\)最小质因数是\(m\)
\(a\)最大质因数是\(t\)，奇数\(a＞1\)，\(b＞1\)，\(c＞1\)
求证:\(t＞\frac{\sqrt{a}\times\sqrt{m}}{100}\)
已知:\(2^k-1=ab\)，\(\sqrt[3]{2^k-1}＞m\)，\(t＞\sqrt{2^k-1}\)，\(\left( 2^k-1\right)\)最小质因数是\(m\)
\(\left( 2^k-1\right)\)最大质因数是\(t\)，奇数\(a＞1\)，\(b＞1\)，素数\(k＞1\)
求证:\(t＞\frac{\sqrt{2^k-1}\times\sqrt{m}}{100}\)

作者: 太阳 时间: 2024-9-10 22:07
53楼命题是正确的，是找不到反例的

作者: 太阳 时间: 2024-9-10 22:25

太阳发表于 2024-9-10 22:03
已知:\(\frac{a^2}{c}+2mt^3=2b^2c\)，\(c=mt\)，\(c＞b\)，整数\(a＞1\)，\(b＞1\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)， ...

命题是错误的，找到反例

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 01:54
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-12 06:16 编辑

用r1=4对2^p-1型梅森合数和非梅森合数进行（广义）LL检验时，
笔者发现了2^p-1型合数循环节长的一大规律——
2^p-1型梅森合数和非梅森合数的循环节长规等于它的各个素因子循环节长的最小公倍数——
2^11-1=2047=23*89，23循环节长5，89循环节长12，5和12的最小公倍数是60，2047的循环节长等于60；
2^23-1=8388607=47*178481，47循环节长11，178481循环节长2940，11和2940的最小公倍数是32340，20478388607的循环节长等于32340；
2^9-1=511=7*73，7循环节长算作1，73循环节长3，1和3的最小公倍数是3，511的循环节长等于3；
2^15-1=32767=7*31*151，7和31循环节长算作1，151循环节长9，1,1和9的最小公倍数是9，32767的循环节长等于9；
…………

此处给出的规律不全对，后面有修改后的规律（猜想）！

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 01:55
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-11 02:12 编辑

2^11-1=2047=23*89，23循环节长5，89循环节长12，5和12的最小公倍数是60，2047的循环节长等于60；

r1=4 23 89 2047
1 4 4 4
2 14 14 14
3 10 16 194
4 6 76 788
5 11 78 701
6 4 30 119
7 14 8 1877
8 10 62 240
9 6 15 282
10 11 45 1736
11 4 65 510
12 14 40 129
13 10 85 263
14 6 14 1616
15 11 16 1529
16 4 76 165
17 14 78 612
18 10 30 1988
19 6 8 1432
20 11 62 1575
21 4 15 1706
22 14 45 1647
23 10 65 332
24 6 40 1731
25 11 85 1598
26 4 14 993
27 14 16 1440
28 10 76 2034
29 6 78 167
30 11 30 1276
31 4 8 809
32 14 62 1486
33 10 15 1528
34 6 45 1202
35 11 65 1667
36 4 40 1108
37 14 85 1509
38 10 14 815
39 6 16 995
40 11 76 1322
41 4 78 1591
42 14 30 1187
43 10 8 631
44 6 62 1041
45 11 15 816
46 4 45 579
47 14 65 1578
48 10 40 930
49 6 85 1064
50 11 14 103
51 4 16 372
52 14 76 1233
53 10 78 1413
54 6 30 742
55 11 8 1966
56 4 62 418
57 14 15 727
58 10 45 401
59 6 65 1133
60 11 40 218
61 4 85 441
62 14 14 14
循环节长 5 12 60

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 02:00
2^23-1=8388607=47*178481，47循环节长11，178481循环节长2940，11和2940的最小公倍数是32340，20478388607的循环节长等于32340；
r1=4 47 178481 8388607
1 4 4 4
2 14 14 14
3 6 194 194
4 34 37634 37634
5 26 71219 7031978
6 16 72901 7033660
7 19 105543 1176429
8 30 147156 7643358
9 5 145566 3179743
10 23 17553 2694768
11 10 49601 763525
12 4 77095 4182158
13 14 43242 7004001
14 6 103606 1531454
15 34 177413 5888805
16 26 69736 1140622
17 16 37887 4321431
18 19 80565 7041324
19 30 79177 2756392
20 5 30683 1280050
21 23 137693 6563009
22 10 39541 6107895
23 4 175600 6243954
24 14 90033 4552058
25 6 47991 5402421
26 34 17255 7870419
27 26 28715 7881879
28 16 147484 6394319
29 19 50784 3441923
30 30 142685 6924963
31 5 38515 4857502
32 23 49632 2905328
33 10 119141 4045723
34 4 162430 7837113
35 14 86516 8296642
36 6 60557 1845367
37 34 79621 7575823
38 26 37000 6640797
39 16 50728 2727943
40 19 169405 5523835
41 30 94033 450995
42 5 77866 6324701
43 23 114384 6896662
44 10 149749 8181394
45 4 53197 4336741
46 14 104552 6886830
47 6 51857 6834135
48 34 153701 3009397
49 26 73758 4357302
50 16 141682 3889783
51 19 31052 7170292
52 30 72340 2928036
53 5 12678 3582298
54 23 98782 1526630
55 10 148771 862695
56 4 95553 5449983
57 14 1771 2143543
58 6 102262 994667
59 34 136371 1742700
60 26 43363 400325
61 16 52432 4157495
62 19 150260 6397095
63 30 42617 3433756
2940 6 81402 4721908
2941 34 178477 1070882
2942 26 14 6960773
32340 10 81402 7042161
32341 4 178477 4640502
32342 14 14 14
循环节长 11 2940 32340

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 02:06
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-12 06:19 编辑

一般素数的广义LL检验余数列——

素数 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
r1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
r2 2 4 0 3 1 14 14 14 14 14 14 14 14 14
r3 2 4 5 7 12 7 4 10 20 8 9 30 22 6
r4 2 4 2 3 12 13 14 6 21 0 5 37 9 34
r5 2 4 2 7 12 14 4 11 4 29 23 14 36 26
r6 2 4 2 3 12 7 14 4 14 2 9 30 4 16
r7 2 4 2 7 12 13 4 14 20 2 5 37 14 19
r8 2 4 2 3 12 14 14 10 21 2 23 14 22 30
r9 2 4 2 7 12 7 4 6 4 2 9 30 9 5
r10 2 4 2 3 12 13 14 11 14 2 5 37 36 23
r11 2 4 2 7 12 14 4 4 20 2 23 14 4 10
r12 2 4 2 3 12 7 14 14 21 2 9 30 14 4
r13 2 4 2 7 12 13 4 10 4 2 5 37 22 14
r14 2 4 2 3 12 14 14 6 14 2 23 14 9 6
r15 2 4 2 7 12 7 4 11 20 2 9 30 36 34
r16 2 4 2 3 12 13 14 4 21 2 5 37 4 26
素数 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
循环节 1 1 1 2 1 3 2 5 4 1 3 3 5 11
开始 2 1 4 2 3 2 1 1 1 6 3 2 1 1

素数 53 59 61 67 71 73 83 89 97 127 151
r1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
r2 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14
r3 35 17 11 60 52 48 28 16 0 67 43
r4 4 51 58 47 4 39 35 76 95 42 35
r5 14 3 7 63 14 59 61 78 2 111 15
r6 35 7 47 14 52 48 67 30 2 0 72
r7 4 47 11 60 4 39 5 8 2 125 48
r8 14 24 58 47 14 59 23 62 2 2 37
r9 35 43 7 63 52 48 29 15 2 2 8
r10 4 18 47 14 4 39 9 45 2 2 62
r11 14 27 11 60 14 59 79 65 2 2 67
r12 35 19 58 47 52 48 14 40 2 2 108
r13 4 5 7 63 4 39 28 85 2 2 35
r14 14 23 47 14 14 59 35 14 2 2 15
r15 35 55 11 60 52 48 61 16 2 2 72
r16 4 14 58 47 4 39 67 76 2 2 48
素数 53 59 61 67 71 73 83 89 97 127 151
循环节 3 14 4 4 3 3 10 12 1 1 9
开始 1 2 3 2 1 3 2 2 5 8 4

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 02:10
2^9-1=511=7*73，7循环节长算作1，73循环节长3，1和3的最小公倍数是3，511的循环节长等于3；
2^15-1=32767=7*31*151，7和31循环节长算作1，151循环节长9，1,1和9的最小公倍数是9，32767的循环节长等于9；

序号 511 32767
r1 4 4
r2 14 14
r3 194 194
r4 331 4867
r5 205 29913
r6 121 19098
r7 331 4125
r8 205 9550
r9 121 11937
r10 331 21051
r11 205 3691
r12 121 25174
r13 331 16494
r14 205 20400
r15 121 19098
r16 331 4125

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 07:39
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-11 08:34 编辑

对于动物界及人类，一对祖先可以生育几个儿女；
每个儿女又可生育几个孙子孙女；……
这里的数字循环截然与生育规律相反——
每一个数字r平方减2除以2^p-1的余数都是唯一确定的，
r1-r2-r3-r4-……，该余数列都是循环的，即便有余数0存在，0后便是-2,2,2，……（认定它的循环节长等于1即可）；
然而反过来向上追求它的父辈数，缺往往不只一个（这里不论对），
例在2^9-1=511的余数16，它的父辈数有4个——23,96,415,488；
其中96的父辈数有2个——224,287；
287的父辈数有4个——17,129,382,494；
曾祖4数共同养育一个287，祖辈数287和另一祖辈数224共同养育一个96；
父辈数96和另三个父辈数23,415,488共同养育一个16；
16以后18代单传，然16的19代孙又是16（形成循环）。
若追求16以后的15代子女数，它们都与父辈数一样各有4个曾祖数、2个祖辈数、4个父辈数；谁也不亚于另一数。

2^9-1=511的另一套循环节长等于18的领头数55，除有4个父辈数111,181,330,400外，
也是18代单传，19代返祖（循环）。

本系统中，循环节长等于18的共252数——
循环从r2开始的144=18*4*2种；
循环从r3开始的36=18*2种；
循环从r4开始的72=18*4种；
分别是4,2,4个一组，第一组循环节两种，第2、第3组仅为第一大组的前半部的循环节。

r1 2 3 4 5 6 17 18 19 20 21
23 16 254 128 30 387 163 506 23
96 16 254 128 30 387 163 506 23
415 16 254 128 30 387 163 506 23
488 16 254 128 30 387 163 506 23
224 96 16 254 128 30 485 163 506 23
287 96 16 254 128 30 485 163 506 23
17 287 96 16 254 128 226 485 163 506 23
129 287 96 16 254 128 226 485 163 506 23
382 287 96 16 254 128 226 485 163 506 23
494 287 96 16 254 128 226 485 163 506 23

111 55 468 314 482 328 461 454 181
181 55 468 314 482 328 461 454 181
330 55 468 314 482 328 461 454 181
400 55 468 314 482 328 461 454 181

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 07:40
循环节长等于3的共两套——48,258,132和121,331,205；
48的父辈数4个——132,160,361,379；
160的祖辈数4个——69,223,288,442；
祖辈数69有4个曾祖数——85,134,377,426；
祖辈数223有4个曾祖数——15,204,307,496。

然121截然不同，
121的父辈数4个——205,233,278,306；
233的祖辈数4个——142,215,296,369；278的祖辈数4个——112,399,77,434；
另两个父辈数205,306都没有祖辈数；
8个祖辈数中有6个各有4个曾祖数，有2个有2个曾祖数，共28个曾祖数。
循环节121后的331,205具有同样多的父辈数、祖辈数、曾祖数。

本系统中，循环节长等于3的共168数——
从r2开始循环的24=4*3*2；
从r3开始循环的36=4*3*1+8*3*1；
从r4开始循环的108=8*3*1+28*3*1。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 07:41
r1 2 3 4 5 6
132 48 258 132
160 48 258 132
351 48 258 132
379 48 258 132
69 160 48 258 132
223 160 48 258 132
288 160 48 258 132
442 160 48 258 132
85 69 160 48 258 132
134 69 160 48 258 132
377 69 160 48 258 132
426 69 160 48 258 132
15 223 160 48 258 132
204 223 160 48 258 132
307 223 160 48 258 132
496 223 160 48 258 132

r1 2 3 4 5 6
205 121 331 205
233 121 331 205
278 121 331 205
306 121 331 205
142 233 121 331 205
215 233 121 331 205
296 233 121 331 205
369 233 121 331 205
112 278 121 331 205
399 278 121 331 205
77 306 121 331 205
434 306 121 331 205
12 142 233 121 331 205
61 142 233 121 331 205
450 142 233 121 331 205
499 142 233 121 331 205
231 215 233 121 331 205
280 215 233 121 331 205
58 296 233 121 331 205
131 296 233 121 331 205
380 296 233 121 331 205
453 296 233 121 331 205
161 369 233 121 331 205
350 369 233 121 331 205
25 112 278 121 331 205
171 112 278 121 331 205
340 112 278 121 331 205
486 112 278 121 331 205
67 399 278 121 331 205
213 399 278 121 331 205
298 399 278 121 331 205
444 399 278 121 331 205
88 77 306 121 331 205
234 77 306 121 331 205
277 77 306 121 331 205
423 77 306 121 331 205
158 434 306 121 331 205
207 434 306 121 331 205
304 434 306 121 331 205
353 434 306 121 331 205

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 10:01
2^21-1= 2097151=7^2*127*337
序号 7 127 337 2097151
r1 4 4 4 4
r2 0 14 14 14
r3 5 67 194 194
r4 2 42 227 37634
r5 2 111 303 741029
r6 2 0 143 1766697
r7 2 125 227 1193544
r8 2 2 303 840107
r9 2 2 143 379605
r10 2 2 227 516511
r11 2 2 303 840107
整数 7 127 337 2097151
循环节长 1 1 3 3
循环开始 r2=0 r6=0 r5 r8

2^21-1=2097151=7^2*127*337
三素因子的循环节长分别是1,1,3，最大公约数是1，最小公倍数是3，
实际2^21-1的循环节长是3，是三素因子的最小公倍数。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 10:03
2^25-1= 33554431=31*601*1801
序号 31 601 1801 33554431
r1 4 4 4 4
r2 14 14 14 14
r3 8 194 194 194
r4 0 372 1614 37634
r5 29 152 748 7031852
r6 2 264 1192 25732079
r7 2 579 1674 1528922
r8 2 482 1719 33046467
r9 2 336 1319 27405335
r10 2 507 1794 619537
r11 2 420 47 30512589
r12 2 305 406 632557
r13 2 469 943 25323003
r14 2 594 1354 11509744
r15 2 47 1697 4734725
r16 2 404 8 6137816
r17 2 343 62 17606638
r18 2 452 240 17127750
r19 2 563 1767 6497974
r20 2 240 1154 11648221
r21 2 503 775 19728929
r22 2 587 890 11638952
r23 2 194 1459 26577015
r62 2 587 1787 30307214
r63 2 194 194 5412199
r64 2 372 1614 20603253
r65 2 152 748 14608659
r66 2 264 1192 25732079
整数 31 601 1801 33554431
循环节长 1 20 60 60
循环开始 r4=0 r3 r3 r6

2^25-1=33554431=31*601*1801
三素因子的循环节长分别是1,20,30，不计入1的最大公约数是10，最小公倍数是60，
实际2^25-1的循环节长是60，是三素因子的最小公倍数。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 10:04
2^29-1= 536870911=233*1103*2089
序号 233 1103 2089 536870911
r1 4 4 4 4
r2 14 14 14 14
r3 194 194 194 194
r4 121 132 32 37634
r5 193 877 1022 342576132
r6 200 336 2071 250734296
r7 155 388 322 433300702
r8 24 534 1321 16341479
r9 108 580 724 49808751
r10 12 1086 1924 57936161
r11 142 287 66 211467447
r12 124 745 176 71320725
r13 229 214 1728 91230447
r14 14 571 801 153832672
r15 194 654 276 217471443
r16 121 853 970 239636427
r17 193 730 848 223645010
r18 200 149 486 90243197
r19 155 139 137 27374393
r20 24 568 2055 490737401
r21 108 546 1154 35441039
r22 12 304 1021 303927542
r23 142 865 28 202574536
r24 124 389 782 515018664
r25 229 208 1534 330289146
r26 14 245 940 148819211
r27 194 461 2040 365171774
r28 121 743 310 458738443
r29 193 547 4 199330295
r252 124 308 310 67096901
r253 229 4 4 285716712
r254 14 14 14 14
r255 194 194 194 194
整数 233 1103 2089 536870911
循环节长 12 252 28 252
循环开始 r2 r1 r1 r2

2^29-1=536870911=233*1103*2089
三素因子的循环节长分别是12,252,28，最大公约数是4，最小公倍数是21168，
实际2^29-1的循环节长是252，仅为最小公倍数的84分之一。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 10:07
用r1=4对2^p-1型梅森合数和非梅森合数进行（广义）LL检验时，
笔者发现了2^p-1型合数循环节长的一大规律——
猜想2^p-1型梅森合数和非梅森合数的循环节长规等于它的各个素因子循环节长的最小公倍数或最小公倍数的某个约数——

2^11-1=2047=23*89，23循环节长5，89循环节长12，5和12的最小公倍数是60，2047的循环节长等于60；
2^23-1=8388607=47*178481，47循环节长11，178481循环节长2940，11和2940的最小公倍数是32340，20478388607的循环节长等于32340；
2^9-1=511=7*73，7循环节长算作1，73循环节长3，1和3的最小公倍数是3，511的循环节长等于3；
2^15-1=32767=7*31*151，7和31循环节长算作1，151循环节长9，1,1和9的最小公倍数是9，32767的循环节长等于9；

2^21-1=2097151=7^2*127*337
三素因子的循环节长分别是1,1,3，最大公约数是1，最小公倍数是3，
实际2^21-1的循环节长是3，是三素因子的最小公倍数。
2^25-1=33554431=31*601*1801
三素因子的循环节长分别是1,20,30，不计入1的最大公约数是10，最小公倍数是60，
实际2^25-1的循环节长是60，是三素因子的最小公倍数。
2^29-1=536870911=233*1103*2089
三素因子的循环节长分别是12,252,28，最大公约数是4，最小公倍数是21168，
实际2^29-1的循环节长是252，仅为最小公倍数的84分之一。
…………

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 16:22
2^33-1= 8589934591<10>=7*23*89*599479
序号 7 23 89 599479 8589934591
1 4 4 4 4 4
2 0 14 14 14 14
3 -2 10 16 194 194
4 2 6 76 37634 37634
5 2 11 78 348556 1416317954
6 2 4 30 271515 8559033198
7 2 14 8 64677 4600466523
8 2 10 62 549344 3380411946
9 2 6 15 502255 6313615604
10 2 11 45 520781 4112946721
11 2 4 65 157653 2302157013
12 2 14 40 69067 2150400240
13 2 10 85 196084 3011978580
14 2 6 14 150431 452757076
15 2 11 16 352467 7739026878
6423 2 10 16 599285 6269351188
6424 2 6 76 37634 37634
6425 2 11 78 348556 1416317954

整数 7 23 89 599479 8589934591
循环节长 1 5 12 6420 6420
循环开始 r4 r1 r2 r4 r4

2^35-1= 34359738367<11>=31*71*127*122921
序号 31 71 127 122921 34359738367
1 4 4 4 4 4
2 14 14 14 14 14
3 8 52 67 194 194
4 0 4 42 37634 37634
5 -2 14 111 22192 1416317954
6 2 52 0 63336 8383890141
7 2 4 -2 44980 26401509044
8 2 14 2 43659 4040948613
9 2 52 2 95253 7667169707
10 2 4 2 89155 21463079123
6828 2 52 2 46527 30812284834
6829 2 4 2 122917 9073044848
6830 2 14 2 14 23956688309
6831 2 52 2 194 5349890877
6832 2 4 2 37634 17786460492
6833 2 14 2 22192 14804135748
6834 2 52 2 63336 1620162116
6835 2 4 2 44980 12874052994
6836 2 14 2 43659 4040948613
6837 2 52 2 95253 7667169707

整数 31 71 127 122921 34359738367
循环节长 1 3 1 6828 6828
循环开始 r6 r1 r8 r2 r8

2^39-1= 549755813887<12>=7*79*8191*121369
序号 7 79 8191 121369 549755813887
1 4 4 4 4 4
2 0 14 14 14 14
3 -2 36 194 194 194
4 2 30 4870 37634 37634
5 2 29 3953 63093 1416317954
6 2 49 5970 66185 386286279983
7 2 29 1857 4275 543377877212
8 2 49 36 70273 340683217380
9 2 29 1294 32655 405514008909
10 2 49 3470 989 90300478893
11 2 29 128 7167 493015692185
12 2 49 0 26800 283542891445
13 2 29 -2 99625 197789575951
14 2 49 2 69279 424791083803
15 2 29 2 42734 193202984550
16 2 49 2 76780 496893622717
1163 2 29 2 27888 348718531009
1164 2 49 2 7990 294165815729
1165 2 29 2 4 426107139964
1166 2 49 2 14 475921468227
1176 2 49 2 26800 466839574112
1177 2 29 2 99625 14627127398
1178 2 49 2 69279 424791083803
1179 2 29 2 42734 193202984550

整数 7 79 8191 121369 549755813887
循环节长 1 2 1 1164 1164
循环开始 r4 r5 r14 r1 r14

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 20:42
众所周知，LL检验法常用于梅森数2^p-1的素性检验，令r1=4，r2=mod((r1^2-2),(2^p-1))，r3=mod((r2^2-2),(2^p-1))，……，当第p-1个余数等于0时这个梅森数就是素数；否则当第p-1个余数不等于0时这个梅森数就是合数；
然而并不是只有梅森素数的LL检验余数列中有余数0出现，普通素数97,607,12289,22783等套用LL检验时也都有余数0存在——
（下表中的7,31,12,8191都是梅森素数）
素数号素数 r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r10 r11 r12
4 7 4 0
11 31 4 14 8 0
31 127 4 14 67 42 111 0
1028 8191 4 14 194 4870 3953 5970 1857 36 1294 3470 128 0
25 97 4 14 0
111 607 4 14 194 0
2546 22783 4 14 194 14851 12759 7544 0
1470 12289 4 14 194 767 10704 5267 5014 9189 0

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 20:43
一般素数的LL检验余数列——
素数 5 11 13 17 19 23
r1 4 4 4 4 4 4
r2 4 3 1 14 14 14
r3 4 7 12 7 4 10
r4 4 3 12 13 14 6
r5 4 7 12 14 4 11
r6 4 3 12 7 14 4
循环节长 1 2 1 3 2 5
循环开始 1 2 3 2 1 1

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 20:44
普通二合数的LL检验余数列——
二合数 55 65 85 95 115 143 187 209 253 323 391
分解式 5*11 5*13 5*17 5*19 5*23 11*13 11*17 11*19 11*23 17*19 17*23
r1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
r2 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14
r3 29 64 24 4 79 51 7 194 194 194 194
r4 14 64 64 14 29 25 47 14 190 166 98
r5 29 64 14 4 34 51 150 194 172 99 218
r6 14 64 24 14 4 25 58 14 234 109 211
r7 29 64 64 4 14 51 183 194 106 251 336
r8 14 64 14 14 79 25 14 14 102 14 286
r9 29 64 24 4 29 51 7 194 29 194 75
r10 14 64 64 14 34 25 47 14 80 166 149
r11 29 64 14 4 4 51 150 194 73 99 303
r12 14 64 24 14 14 25 58 14 14 109 313
r13 29 64 64 4 79 51 183 194 194 251 217
r14 14 64 14 14 29 25 14 14 190 14 167
r15 29 64 24 4 34 51 7 194 172 194 126
r16 14 64 64 14 4 25 47 14 234 166 234
r17 29 64 14 4 14 51 150 194 106 99 14
r18 14 64 24 14 79 25 58 14 102 109 194
循环节长 2 1 3 2 5 2 6 2 10 6 15
循环开始 2 3 2 1 1 3 2 2 2 2 2
素数5的循环节长等于1，5p型二合数的循环节长等于单个素数p的循环节长；
素数11的循环节长等于2，11p型二合数的循环节长等于2个素数p的循环节长的最小公倍数（p的2倍数）；
素数17的循环节长等于3，17p型二合数的循环节长等于2个素数p的循环节长的最小公倍数（p的3倍数）；

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 20:44
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-12 06:24 编辑

梅森素数的LL检验余数列——
都有余数0出现
素数 7 31 127 8191
指数p 3 5 7 13
r1 4 4 4 4
r2 0 14 14 14
r3 -2 8 67 194
r4 2 0 42 4870
r5 2 -2 111 3953
r6 2 2 0 5970
r7 2 2 -2 1857
r8 2 2 2 36
r9 2 2 2 1294
r10 2 2 2 3470
r11 2 2 2 128
r12 2 2 2 0
r13 2 2 2 -2
r14 2 2 2 2
循环节长 1 1 1 1
余数0位 r2 r4 r6 r12

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 20:45
梅森素数二合数的LL检验余数列——
二合数 217 889 3937 57337 253921 1040257
分解式 7*31 7*127 31*127 7*8191 31*8191 127*8191
r1 4 4 4 4 4 4
r2 14 14 14 14 14 14
r3 194 194 194 194 194 194
r4 93 296 2201 37634 37634 37634
r5 184 492 1889 36717 200537 528177
r6 2 254 1397 30543 96071 22352
r7 2 506 2792 1857 116531 288542
r8 2 2 2 8227 32800 557024
r9 2 2 2 25867 230642 361698
r10 2 2 2 36234 44425 642368
r11 2 2 2 128 106611 1024003
r12 2 2 2 16382 147438 1007493
r13 2 2 2 32762 40953 974727
r14 2 2 2 2 2 2
r15 2 2 2 2 2 2
循环节长 1 1 1 1 1 1
循环开始 6 8 8 14 14 14

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 20:46
梅森素数三合数的LL检验余数列——
三合数 27559 1777447 7281799 32247967
分解式 7*31*127 7*31*8191 7*127*8191 31*127*8191
r1 4 4 4 4
r2 14 14 14 14
r3 194 194 194 194
r4 10075 37634 37634 37634
r5 5826 1470142 3648948 29655373
r6 17145 603913 1062609 3143123
r7 6729 116531 288542 25254710
r8 2 1556326 3677795 21362164
r9 2 484563 1401955 5562983
r10 2 552267 3763139 18326737
r11 2 1376216 2064260 5185031
r12 2 1163122 6208778 29094432
r13 2 548795 5135755 25940895
r14 2 2 2 2
r15 2 2 2 2
循环节长 1 1 1 1
循环开始 8 14 14 14

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 20:46
梅森素数幂数的LL检验余数列——
梅森幂数 49 343 2401 961 29791 16129 2048383
分解式 7^2 7^3 7^4 31^2 31^3 127^2 127^3
r1 4 4 4 4 4 4 4
r2 14 14 14 14 14 14 14
r3 47 194 194 194 194 194 194
r4 2 247 1619 155 7843 5376 37634
r5 2 296 1668 959 24023 14335 885301
r6 2 149 1864 2 23066 8763 1460373
r7 2 247 247 2 2885 16127 999996
r8 2 296 982 2 11534 2 96776
r9 2 149 1521 2 16339 2 387098
r10 2 247 1276 2 5768 2 1548386
r11 2 296 296 2 23066 2 48389
r12 2 149 1178 2 2885 2 193550
r13 2 247 2305 2 11534 2 774194
r14 2 296 2011 2 16339 2 1048387
r15 2 149 835 2 5768 2 96776
r16 2 247 933 2 23066 2 387098
r17 2 296 1325 2 2885 2 1548386
r18 2 149 492 2 11534 2 48389
r19 2 247 1962 2 16339 2 193550
r20 2 296 639 2 5768 2 774194
r21 2 149 149 2 23066 2 1048387
r22 2 247 590 2 2885 2 96776
r23 2 296 2354 2 11534 2 387098
r24 2 149 2207 2 16339 2 1548386
r25 2 247 1619 2 5768 2 48389
循环节长 1 3 21 1 5 1 7
循环开始 4 4 4 6 6 8 8

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 20:47
梅森素数、普通素数积的LL检验余数列——
二合数 35 77 91 119 133 161
分解式 7*5 7*11 7*13 7*17 7*19 7*23
r1 4 4 4 4 4 4
r2 14 14 14 14 14 14
r3 19 40 12 75 61 33
r4 9 58 51 30 128 121
r5 9 51 51 65 23 149
r6 9 58 51 58 128 142
r7 9 51 51 30 23 37
r8 9 58 51 65 128 79
r9 9 51 51 58 23 121
r10 9 58 51 30 128 149
循环节长 1 2 1 3 2 5
循环开始 4 4 4 4 4 4
梅森素数7的循环节长等于1，7p型混合二合数的循环节长等于单个素数p的循环节长。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-11 20:48
半素数阶乘的LL检验余数列——
半素数阶乘 15 105 1155 15015 255255 4849845
分解式 5#/2 7#/2 11#/2 13#/2 17#/2 19#/2
r1 4 4 4 4 4 4
r2 14 14 14 14 14 14
r3 14 89 194 194 194 194
r4 14 44 674 7604 37634 37634
r5 14 44 359 13064 163214 163214
r6 14 44 674 7604 142739 3461054
r7 14 44 359 13064 223274 733784
r8 14 44 674 7604 232829 4316909
r9 14 44 359 13064 73124 4157204
r10 14 44 674 7604 37634 37634
r11 14 44 359 13064 163214 163214
r12 14 44 674 7604 142739 3461054
r13 14 44 359 13064 223274 733784
r14 14 44 674 7604 232829 4316909
r15 14 44 359 13064 73124 4157204
r16 14 44 674 7604 37634 37634
r17 14 44 359 13064 163214 163214
循环节长 1 1 2 2 6 12
循环开始 2 3 3 3 3 3
素数阶乘30,210,2310，……的LL检验余数列与半素数阶乘15,105,1155，……的LL检验余数列完全相同，乘以2后无影响。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-12 07:57
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-12 07:59 编辑

2^37-1= 137438953471<12>=223*616318177

2^37-1及因子循环节长循环开始
223 3 r6=211开始
616318177 516924 r4=37634开始
1.37439E+11 516924 r6=111419319480开始

复算正确，2^37-1的循环节长等于它的大因子616318177的循环节长，但开始循环点大2。

作者: 太阳 时间: 2024-9-12 23:07
已知:\(\frac{a^2}{5m}+mt^2=m^3\)，\(m\ne3c\)，整数\(a＞0\)，\(c＞0\)
奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{7m}+mt^2=m^3\)，\(m\ne3c\)，\(m\ne5k\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{my}+mt^2=m^3\)，\(m\ne3c\)，\(m\ne5k\)，\(y\ne3n\)，\(y\ne5r\)
\(m＞y\)，\(my＞t\)，整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，\(n＞0\)，\(r＞0\)
奇数\(m＞0\)，\(y＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)，\(v＞0\)
求证:\(m=p\)，\(y=v\)
已知:\(\frac{a^2}{my}+mt^2=m^3\)，\(m\ne3c\)，\(m\ne5k\)，\(m\ne uy\)
\(y\ne3n\)，\(y\ne5r\)，\(m＞y\)，\(my＞t\)，整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)
\(n＞0\)，\(r＞0\)，\(u＞0\)，奇数\(m＞0\)，\(y＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)，\(v＞0\)
求证:\(m=p\)，\(y=v\)
已知:\(\frac{a^2}{7m}-7t^2=343\)，\(m\ne3c\)，\(m\ne5k\)，\(7m＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，\(t＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{11m}-11t^2=1331\)，\(m\ne3c\)，\(m\ne5k\)，\(11m＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，\(t＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{my}-mt^2=m^3\)，\(y\ne3c\)，\(y\ne5k\)，\(y＞m\)，\(my＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，\(t＞0\)，奇数\(y＞0\)，素数\(m＞5\)，\(p＞0\)
求证:\(y=p\)
已知:\(\frac{a^2}{my}+mt^2=m^3\)，\(m\ne3c\)，\(m\ne5k\)，\(m＞y\)，\(my＞t\)，\(t=v^n\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，\(t＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(v＞0\)，\(y＞3\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{my}+mt^2=m^3\)，\(m\ne3c\)，\(m\ne5k\)，\(m＞y\)，\(my＞t\)，\(t=v^n\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，\(t＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(v＞2\)，\(y＞3\)
求证:\(m=p\)
素数公式可能是正确的，验证大量数据，没有找到反例
yangchuanju先生，不知能不能找到反例？

作者: 太阳 时间: 2024-9-13 01:18
已知:\(\frac{a^2}{5m}+mt^2=m^3\)，\(m\ne3c\)，整数\(a＞0\)，\(c＞0\)
奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{7m}+mt^2=m^3\)，\(m\ne3c\)，\(m\ne5k\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
求证:\(m=p\)
求证:\(m=p\)，\(y=v\)
已知:\(\frac{a^2}{my}+mt^2=m^3\)，\(m\ne3c\)，\(y\ne3u\)，\(m＞y\)，\(my＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(u＞0\)，奇数\(m＞0\)，\(y＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)，\(v＞0\)
求证:\(m=p\)，\(y=v\)
素数公式是正确
发现\(m\)是合数，\(m\)最小的质因数是\(q\)，\(t=qw\)，整数\(w＞0\)，\(t\)是合数，
通过大量数据验证得出结果，\(t=qw\)，\(m\)和\(t\)不能互质，它们有公共素因子
如果\(t\)是素数，\(m\)肯定是素数，素数公式是正确

作者: 太阳 时间: 2024-9-13 08:04
本帖最后由太阳于 2024-9-13 08:07 编辑

已知:\(\frac{a^2}{5m}+mt^2=m^3\)，\(m\ne3c\)，整数\(a＞0\)，\(c＞0\)
奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{7m}+mt^2=m^3\)，\(m\ne3c\)，\(m\ne5k\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{my}+mt^2=m^3\)，\(m\ne3c\)，\(y\ne3u\)，\(m＞y\)，\(my＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(u＞0\)，奇数\(m＞0\)，\(y＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)，\(v＞0\)
求证:\(m=p\)，\(y=v\)
已知:\(\frac{a^2}{7m}-7t^2=343\)，\(m\ne3c\)，\(m\ne5k\)，\(7m＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，\(t＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{11m}-11t^2=1331\)，\(m\ne3c\)，\(m\ne5k\)，\(11m＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，\(t＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{my}-mt^2=m^3\)，\(y\ne3c\)，\(y\ne5k\)，\(y＞m\)，\(my＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，\(t＞0\)，奇数\(y＞0\)，素数\(m＞5\)，\(p＞0\)
求证:\(y=p\)
已知:\(\frac{a^2}{c}-mt^2=m^3\)，\(c=my\)，\(c\ne3k\)，\(c\ne5u\)，\(y＞m\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，\(t＞0\)，\(u＞0\)，奇数\(m＞1\)，\(y＞1\)，素数\(p＞0\)，\(v＞0\)
求证:\(m=p\)，\(y=v\)

作者: 太阳 时间: 2024-9-13 13:10
命题是错误的，找到反例，a^2/7/253+253*t^2=253^3，t=197

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-14 17:21
2^41-1= 2199023255551<13> = 13367 · 164511353
它有两个素因子13367和164511353的LL检验法余数列循环节长分别为1620和6096，
大梅森数的余数列循环节长可能为（最小公倍数）——822960或它的某个约数。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-14 17:21
2^43-1= 8796093022207<13> = 431 · 9719 · 2099863
它有三个素因子431,8719和2099863的LL检验法余数列循环节长分别为28,28和60，
大梅森数的余数列循环节长可能为（最小公倍数）——420或它的某个约数。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-14 17:21
2^45-1= 35184372088831<14> = 7 · 31 · 73 · 151 · 631 · 23311
它有素因子较多，但都不是很大，不计梅森素数因子7和31，其余素因子73,151,631和23311的LL检验法余数列循环节长分别为3,9,39和115，
大梅森数的余数列循环节长可能为3,9,39和115的最小公倍数——13455或它的某个约数。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-14 17:23
2^47-1= 140737488355327<15> = 2351 · 4513 · 13264529
它有三个素因子2351,4513和13264519的LL检验法余数列循环节长分别为460,46和165806，
大梅森数的余数列循环节长可能为（最小公倍数）——38135380或它的某个约数。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-14 17:23
2^51-1= 2251799813685247<16> = 7 · 103 · 2143 · 11119 · 131071
它有素因子较多，但都不是很大，不计梅森素数因子7和131071，其余素因子103,2143和11119的LL检验法余数列循环节长分别为6,33和276，
大梅森数的余数列循环节长可能为6,33和276的最小公倍数——3036或它的某个约数。

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-14 20:09
几个2^p-1型合数套用LL检验法检验余数列中循环节长及循环开始点——
指数 11 23 29 37 9 15 21 25 27 33 35 39
循环节 60 32340 252 516924 3 9 3 60 9 6420 6828 1164
开始点 2 2 2 6 4 6 8 6 9 4 8 14

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-14 20:13
众所周知，LL检验法常用于梅森数2^p-1的素性检验，令r1=4，r2=mod((r1^2-2),(2^p-1))，r3=mod((r2^2-2),(2^p-1))，……，当第p-1个余数等于0时这个梅森数就是素数；否则当第p-1个余数不等于0时这个梅森数就是合数；
然而并不是只有梅森素数的LL检验余数列中有余数0出现，普通素数97,607,12289,22783等套用LL检验时也都有余数0存在——
（下表中的7,31,12,8191都是梅森素数）
素数号素数 r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r10 r11 r12
4 7 4 0
11 31 4 14 8 0
31 127 4 14 67 42 111 0
1028 8191 4 14 194 4870 3953 5970 1857 36 1294 3470 128 0
25 97 4 14 0
111 607 4 14 194 0
2546 22783 4 14 194 14851 12759 7544 0
1470 12289 4 14 194 767 10704 5267 5014 9189 0

在第10001-100000个素数中又4个有余数0的素数，其中2个梅森素数，2个普通素数——
265471 4 14 194 37634 30169 133971 0
592897 4 14 194 37634 479918 367823 0
131071 4 14 194 37634 95799 119121 66179 53645 122218 126220 70490 69559 99585 78221 130559 0
524287 4 14 194 37634 218767 510066 386344 323156 218526 504140 103469 417706 307417 382989 275842 85226 523263 0

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-15 07:34
2^51-1= 2251799813685247<16>=7×103×2143×11119×131071
它有素因子较多，但都不是很大，不计梅森素数因子7和131071，其余素因子103,2143和11119的LL检验法余数列循环节长分别为6,33和276，
大梅森数的余数列循环节长可能为6,33和276的最小公倍数——3036或它的某个约数。

2^53-1= 9007199254740991<16>=6361×69431×20394401
它有三个素因子6361,69431和20394401的LL检验法余数列循环节长分别为52,260和20148，
大梅森数的余数列循环节长可能为（最小公倍数）——1309620或它的某个约数。

2^55-1= 36028797018963967<17>=23×31×89×881×3191×201961
它有素因子较多，但都不是很大，不计梅森素数因子31，其余素因子23,89,881,3139和201961的LL检验法余数列循环节长分别为5,12,42,140和40，
大梅森数的余数列循环节长可能为6,33和276的最小公倍数——420或它的某个约数。

2^57-1= 144115188075855871<18>=7×32377×524287×1212847
不计它的二个梅森素数因子，其余的两个素因子32377和1212847的LL检验法余数列循环节长分别为630和1176，
大梅森数的余数列循环节长可能为（最小公倍数）——17640或它的某个约数。

2^49-1、2^59-1的部分素因子太大，在16位数字系统中无法直接计算2出精确数字；
2^41-1以上的2^p-1型数字本身太大，在16位数字系统中都不能直接计算，它们的循环节都不能直接计算。

作者: 太阳 时间: 2024-9-15 10:40
从古至今，没有找到正确的素数公式，素数判断找不到捷径的方法，计算循环节位数也是很困难的，难度大

作者: 太阳 时间: 2024-9-16 04:18
已知:\(a^2+c^4=c^4m\)，\(c=mt\)，\(m＞t\)，整数\(a＞0\)，\(c＞0\)
奇数\(m＞1\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(a^2+c^4=c^4m\)，\(c=mt\)，\(m＞t\)，整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(t＞0\)
奇数\(m＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(a^2+c^4=c^4m\)，\(c=mt\)，\(m＞t\)，整数\(a＞0\)，\(c＞0\)
奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)，\(w＞0\)
求证:\(m=p\)，\(t=w\)

作者: 太阳 时间: 2024-9-16 04:28
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(y＞0\)，\(m＞t\)，\(c＝mt\)，
奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
方程\(a^2-c^2m^2y^2-c^4m＝0\)，有2个正整数解
求证:\(m＝p\)
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(y＞0\)，\(m＞t\)，\(c＝mt\)，
奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
方程\(a^2-c^2m^2y^2-c^4m＝0\)，有3个正整数解
求证:\(m＝p\)

作者: 太阳 时间: 2024-9-16 04:29
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(y＞0\)，\(m＞t\)，\(c＝mt\)
奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)，\(w＞0\)
方程\(a^2-c^2m^2y^2-c^4m＝0\)，有3个正整数解
求证:\(m＝p\)，\(t=w\)
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(y＞0\)，\(m＞t\)，\(c＝mt\)
奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)，\(w＞0\)
方程\(a^2-c^2m^2y^2-c^4m＝0\)，有2个正整数解
求证:\(m＝p\)，\(t=w\)

作者: 太阳 时间: 2024-9-16 04:31
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(y＞0\)，\(c＞y\)，\(m＞t\)，\(c＝mt\)
奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)，\(w＞0\)
方程\(a^2-c^2m^2y^2-c^4m＝0\)，有3个正整数解
求证:\(m＝p\)，\(t=w\)
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(y＞0\)，\(c＞y\)，\(m＞t\)，\(c＝mt\)
奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)，\(w＞0\)
方程\(a^2-c^2m^2y^2-c^4m＝0\)，有2个正整数解
求证:\(m＝p\)，\(t=w\)

作者: 太阳 时间: 2024-9-16 05:00
已知:\(a^2+4c^4=c^4m\)，\(c=mt\)，\(m＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(a^2+4c^4=c^4m\)，\(c=mt\)，\(m＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)，\(w＞0\)
求证:\(m=p\)，\(t=w\)

作者: yangchuanju 时间: 2024-9-16 15:15
本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-17 05:33 编辑

太阳发表于 2024-9-16 05:00
已知:\(a^2+4c^4=c^4m\)，\(c=mt\)，\(m＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t ...

将命题1或2中的c=mt带入a^2+4*c^4=c^4*m之中，方程变成
a^2+4*m^4*t^4=m^5*t^4
m^5*t^4-4*m^4*t^c=(m-4)*(m^2*t^2)^2=a^2
令m=5,13,29,85,125,173……，不论t取什么样的正整数，都有整数a存在，请问太阳先生，m=85和125也是素数吗？t=4,6,8,9,10都是素数吗？
太阳先生是不是出题匆忙，忘了加个附加条件“m≠5y”了吗？
若如此，那么，令m=629=17*37, 1853=17*109，也都有整数a存在呀？

m m-4 t=1 2 3 4 5
5 1 25 100 225 400 625
13 9 507 2028 4563 8112 12675
29 25 4205 16820 37845 67280 105125
53 49 19663 78652 176967 314608 491575
85 81 65025 260100 585225 1040400 1625625
125 121 171875 687500 1546875 2750000 4296875
173 169 389077 1556308 3501693 6225232 9726925
229 225 786615 3146460 7079535 12585840 19665375
293 289 1459433 5837732 13134897 23350928 36485825
365 361 2531275 10125100 22781475 40500400 63281875
445 441 4158525 16634100 37426725 66536400 103963125
533 529 6534047 26136188 58806423 104544752 163351175
629 625 9891025 39564100 89019225 158256400 247275625
733 729 14506803 58027212 130561227 232108848 362670075
845 841 20706725 82826900 186360525 331307600 517668125
965 961 28867975 115471900 259811775 461887600 721699375
1093 1089 39423417 157693668 354810753 630774672 985585425
1229 1225 52865435 211461740 475788915 845846960 1321635875
1373 1369 69749773 278999092 627747957 1115996368 1743744325
1525 1521 90699375 362797500 816294375 1451190000 2267484375
1685 1681 116408225 465632900 1047674025 1862531600 2910205625
1853 1849 147645187 590580748 1328806683 2362322992 3691129675
2029 2025 185257845 741031380 1667320605 2964125520 4631446125
2213 2209 230176343 920705372 2071587087 3682821488 5754408575
2405 2401 283417225 1133668900 2550755025 4534675600 7085430625

m t=6 7 8 9 10 11
5 900 1225 1600 2025 2500 3025
13 18252 24843 32448 41067 50700 61347
29 151380 206045 269120 340605 420500 508805
53 707868 963487 1258432 1592703 1966300 2379223
85 2340900 3186225 4161600 5267025 6502500 7868025
125 6187500 8421875 11000000 13921875 17187500 20796875
173 14006772 19064773 24900928 31515237 38907700 47078317
229 28318140 38544135 50343360 63715815 78661500 95180415
293 52539588 71512217 93403712 118214073 145943300 176591393
365 91125900 124032475 162001600 205033275 253127500 306284275
445 149706900 203767725 266145600 336840525 415852500 503181525
533 235225692 320168303 418179008 529257807 653404700 790619687
629 356076900 484660225 633025600 801173025 989102500 1196814025
733 522244908 710833347 928435392 1175051043 1450680300 1755323163
845 745442100 1014629525 1325230400 1677244725 2070672500 2505513725
965 1039247100 1414530775 1847550400 2338305975 2886797500 3493024975
1093 1419243012 1931747433 2523098688 3193296777 3942341700 4770233457
1229 1903155660 2590406315 3383387840 4282100235 5286543500 6396717635
1373 2510991828 3417738877 4463985472 5649731613 6974977300 8439722533
1525 3265177500 4444269375 5804760000 7346649375 9069937500 10974624375
1685 4190696100 5704003025 7450126400 9429066225 11640822500 14085395225
1853 5315226732 7234614163 9449291968 11959260147 14764518700 17865067627
2029 6669282420 9077634405 11856502080 15005885445 18525784500 22416199245
2213 8286348348 11278640807 14731285952 18644283783 23017634300 27851337503
2405 10203020100 13887444025 18138702400 22956795225 28341722500 34293484225

作者: 太阳 时间: 2024-9-16 16:47
c=mt，m＞t，t是素数，a^2+4*c^4=c^4*m，有整数解，判断m是素数

作者: 太阳 时间: 2024-9-16 16:51
t=3，m=65，代入方程，a^2+4*195^4=195^4*65，没有正整数解，65不能判断是素数

作者: 太阳 时间: 2024-9-16 16:55
t=3，m=145，代入方程a^2+4*435^4=435^4*145，没有正整数解，145不能判断是素数
t=2，m=145，代入方程a^2+4*290^4=290^4*145，没有正整数解，145不能判断是素数

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