数学中国

标题: 在 ΔABC 中，已知 sinA+2SinB=2 SinC ，求 1／sinA+1／sinB-1／sinC 的最小值 [打印本页]

作者: 天山草 时间: 2025-3-22 14:50
标题: 在 ΔABC 中，已知 sinA+2SinB=2 SinC ，求 1／sinA+1／sinB-1／sinC 的最小值
在 △ABC 中，已知 \(sinA+2 sinB = 2 sinC\)，求 \(\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}-\frac{1}{sinC}\) 的最小值。

作者: ataorj 时间: 2025-3-22 17:53
本帖最后由 ataorj 于 2025-3-22 18:44 编辑

一个三角形中，因为正弦定理，角的正弦可用对边“代替”，则：
c=a/2+b,求f=1/a+1/b-1/c最小值
设a=bt
bf=1/t+1-2/(t+2)
t约是4.8时右边约有最小值0.9，而正弦值b有最大值1？，所以答案约是
0.9/1=0.9（？）
这不对，因为若是直角三角形，b并非最大边，还要求出b的最大值，，
t约=4.8，所以b是最小边，
a=4.8b
c=3.4b
a取最大值1时b才有最大值：
a:b:c=1:1/4.8:3.4/4.8
f约=0.9/（1/4.8）=4.32

作者: ataorj 时间: 2025-3-22 19:00
本帖最后由 ataorj 于 2025-3-22 19:27 编辑

题目就是求
f=[1/t+1-2/(t+2)]/(1/t)
=1+t-2t/(t+2)最小值？
但是这和上帖结果却不同，，，
上帖结果中b+c＜a，这是不行的，，

作者: 天山草 时间: 2025-3-22 20:59
用拉格朗日乘数法做此题。
[attach]152491[/attach]
最小值是 \(\frac{\sqrt{33}}{3}\)

作者: 波斯猫猫 时间: 2025-3-22 21:01
题：在△ABC中,已知sinA+SinB=SinC,求 1/sinA+1/sinB-1/sinC 的最小值。

思路：1/sinA+1/sinB-1/sinC=1/sinA+(sinC -sinB)/(sinBsinC)

=1/sinA+sinA/(sinBsinC)=1/sinA+2sinA/[cos(C-B)-cos(B+C)]

≥1/sinA+2sinA/(1+cosA)=1/sinA+2sinA/{2[cos(A/2)]^2}

=[1+(tanθ)^2]/(2tanθ)+2tanθ (0＜θ=A/2＜π/2)

=5tanθ/2+1/(2tanθ)≥√5. (A=2arctan(1/√5)时，取得最小值√5)

注：原题条件为sinA+2SinB=2SinC，此法失效，不知条件是否笔误？

作者: 天山草 时间: 2025-3-23 07:41
此题来自抖音，抖音上的做法如下（我没看懂他的方法，也没有仔细看）
[attach]152545[/attach]

作者: luyuanhong 时间: 2025-3-23 09:52
楼上天山草的帖子已收藏。

作者: 波斯猫猫 时间: 2025-3-23 22:08
本帖最后由波斯猫猫于 2025-3-23 22:16 编辑

题：在△ABC中,已知sinA+2SinB=2SinC,求 1/sinA+1/sinB-1/sinC 的最小值。

思路：∵ sinA+2SinB=2SinC，

∴ 2sin(A/2)cos(A/2)=4cos[(C+B)/2]sin[(C-B)/2]，

cos(A/2)=2sin[(C-B)/2]，4cos(C-B)=3-cosA.

∴ 1/sinA+1/sinB-1/sinC=1/sinA+(sinC -sinB)/(sinBsinC)

=1/sinA+sinA/(2sinBsinC)=1/sinA+sinA/[cos(C-B)-cos(B+C)]

=1/sinA+sinA/[cos(C-B)+cosA]=1/sinA+4sinA/(3+3cosA)

=[3+3cosA+4(sinA)^2]/[3sinA(1+cosA)]=(7-4cosA)/(3sinA)

=[7-4(1-m^2)/(1+m^2)]. (1+m^2)/(6m) (0＜A/2＜π/2，tan(A/2)=m)

=11m/6+3/(6m)≥√33/3. (仅当A=2arctan(√33/11时取等号)

作者: ataorj 时间: 2025-3-27 06:36
一个三角形中，因为正弦定理，内角的正弦值可做对边长度看[注意这个长度若缩放,就不是原正弦值了],则：
c=a/2+b,求f=1/a+1/b-1/c最小值
设a=bt，则
c=a/2+b=b(t/2+1)
bf=1/t+1-2/(t+2)
又据余弦定理,有
bb=aa+cc-2ac√(1-bb),即
1=tt+(t/2+1)^2-2t(t/2+1)√(1-bb)
b=[(9t+12)(4-t)]^0.5/(4t+8),则
f=[8/t+4t+4]/[(9t+12)(4-t)]^0.5

两边平方,整理,移项等,得到t的4次方程[还含有t的1,2,3次项],我的经验不便继续分析严格解,放弃.
电脑作f图观察,正数范围内,t约取1.388至1.396时,f都有最小值1.91486,仅最后一位大了1.可见这个思路也有可取之处.
此时t约=1.392,b:0.58948,a=bt:0.820556,c=a/2+b:0.999758

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