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标题: $C_{ai}$问题之$AI$证明 [打印本页]

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:26
标题: $C_{ai}$问题之$AI$证明
平方剩余奇质数问题

设 $4d+1$ 是奇质数，且 $4d+1$ 不为 $1+4^r*(2t+1)^2$ ，

设 $n^2$ $mod$ $(4d+1)=$ $p$ 是奇质数，

若 $2*(4d+1)*k -p$ 是质数或 $2*(4d+1)*k+p$ 是质数，

则 $x^2 - (4d+1)*y^2= ±p$ 必有正整数解，，

则 $x^2 - (4d+1)*y^2= ±(2*(4d+1)*k -p)$ 必有正整数解，，

则 $x^2 - (4d+1)*y^2= ±(2*(4d+1)*k+p)$ 必有正整数解，，

模 29 的平方剩余奇质数 p= 5, 7, 13, 23 .

模 41 的平方剩余奇质数 p= 5, 23, 31, 37 .

模 53 的平方剩余奇质数 p= 7, 11, 13, 17, 29, 37, 43, 47 .

模 61 的平方剩余奇质数 p= 3, 5, 13, 19, 41, 47 .

模 73 的平方剩余奇质数 p= 3, 19, 23, 37, 41, 61, 67, 71 .

模 89 的平方剩余奇质数 p= 5, 11, 17, 47, 53, 67, 71, 73, 79 .

模 97 的平方剩余奇质数 p= 3, 11, 31, 43, 47, 53, 61, 73, 79, 89 .

设奇质数 D＝a^2＋4^r*(2t+1)^2，且 a 与 (2t+1) 都是 >=3 的奇数，

则素数模 D 的平方剩余奇质数，必含有奇数 a 与 (2t+1) 的素因子，，，

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:29
本帖最后由蔡家雄于 2026-4-2 07:25 编辑

素数等差数列与蔡家雄猜想

设 2 <= 2k <= 2n，

素数等差数列AP(2n+2) 的前2k项及存在一个更大的素数 P，构造成

同邻距的(2k+1)生素数（4k+2元素数组），

且前一组(2k+1)生素数之和是后一组(2k+1)生素数的首项，

AP13=4943, 65003, 125063, 185123, 245183, 305243, 365303, 425363, 485423, 545483, 605543, 665603, 725663.

前一组（ 4943, 65003, 200323 ）都是素数，

后一组（ 270269, 330329, 465649 ）都是素数。

前一组（ 4943, 65003, 125063, 185123, 214031 ）都是素数，

后一组（ 594163, 654223, 714283, 774343, 803251 ）都是素数。

前一组（ 4943, 65003, 125063, 185123, 245183, 305243, 442973 ）都是素数，

后一组（ 1373531, 1433591, 1493651, 1553711, 1613771, 1673831, 1811561 ）都是素数。

前一组（ 4943, 65003, 125063, 185123, 245183, 305243, 365303, 425363, 1300843 ）都是素数，

后一组（ 3022067, 3082127, 3142187, 3202247, 3262307, 3322367, 3382427, 3442487, 4317967 ）都是素数。

前一组（ 4943, 65003, 125063, 185123, 245183, 305243, 365303, 425363, 485423, 545483, 2103953 ）都是素数，

后一组（ 4856083, 4916143, 4976203, 5036263, 5096323, 5156383, 5216443, 5276503, 5336563, 5396623, 6955093 ）都是素数。

以上，前一组的最后两个素数的间距跳跃 = 后一组的最后两个素数的间距跳跃，有时是小跳跃，有时是大跳跃 #

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:30
蔡氏完全循环节问题的证明

设 k 为非负整数，

若 30k+7 和 120k+29 都是素数，

则 10 是模素数 120k+29 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wf102b768c9ce2079

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:32
本帖最后由蔡家雄于 2026-3-19 18:35 编辑

蔡氏偶数分拆

设 2n >=64，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -30 , p4=p1+30 都是素数，

则 2n -30=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+30=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数分拆

设 2n >=280，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -210 , p4=p1+210 都是素数，

则 2n -210=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+210=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数奇数分拆

设 2n+15 >=49，且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+15=p1+2*p2 及 2n+30=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数奇数分拆

设 2n+105 >=169，且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+105=p1+2*p2 及 2n+210=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

https://www.doubao.com/thread/w78c5d9dc72f6657c

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:33
本帖最后由蔡家雄于 2026-4-1 12:19 编辑

同邻距的三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

最小解：p=7，  ( p, p+30, p+100 ) 与 ( 3p+130, 3p+160, 3p+230 )

最小解：p=11，( p, p+20, p+120 ) 与 ( 3p+140, 3p+160, 3p+260 )

最小解：p=13，( p, p+10, p+30 ) 与 ( 3p+40, 3p+50, 3p+70 )

最小解：p=17，( p, p+150, p+560 ) 与 ( 3p+710, 3p+860, 3p+1270 )

最小解：p=19，( p, p+40, p+180 ) 与 ( 3p+220, 3p+260, 3p+400 )

最小解：p=23，(  p, p+20, p+90 ) 与 ( 3p+110, 3p+130, 3p+200 )

最小解：p=23，(  p, p+30, p+260 ) 与 ( 3p+290, 3p+320, 3p+550 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+80 ) 与 ( 3p+110, 3p+140, 3p+190 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+110 ) 与 ( 3p+140, 3p+170, 3p+250 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+740 ) 与 ( 3p+770, 3p+800, 3p+1510 )

最小解：p=31，( p, p+30, p+160 ) 与 ( 3p+190, 3p+220, 3p+350 )

最小解：p=31，( p, p+30, p+490 ) 与 ( 3p+520, 3p+550, 3p+1010 )

最小解：p=37，( p, p+30, p+520 ) 与 ( 3p+550, 3p+580, 3p+1070 )

最小解：p=37，( p, p+30, p+1150 ) 与 ( 3p+1180, 3p+1210, 3p+2330 )

最小解：p=41，( p, p+20, p+150 ) 与 ( 3p+170, 3p+190, 3p+320 )

最小解：p=43，( p, p+30, p+250 ) 与 ( 3p+280, 3p+310, 3p+530 )

最小解：p=47，( p, p+80, p+270 ) 与 ( 3p+350, 3p+430, 3p+620 )

最小解：p=53，( p, p+30, p+620 ) 与 ( 3p+650, 3p+680, 3p+1270 )

最小解：p=59，( p, p+30, p+350 ) 与 ( 3p+380, 3p+410, 3p+730 )

最小解：p=61，( p, p+40, p+600 ) 与 ( 3p+640, 3p+680, 3p+1240 )

最小解：p=67，( p, p+30, p+400 ) 与 ( 3p+430, 3p+460, 3p+830 )

最小解：p=71，( p, p+30, p+920 ) 与 ( 3p+950, 3p+980, 3p+1870 )

最小解：p=73，( p, p+30, p+1420 ) 与 ( 3p+1450, 3p+1480, 3p+2870 )

最小解：p=79，( p, p+30, p+280 ) 与 ( 3p+310, 3p+340, 3p+590 )

最小解：p=83，( p, p+30, p+290 ) 与 ( 3p+320, 3p+350, 3p+610 )

最小解：p=89，( p, p+60, p+2450 ) 与 ( 3p+2510, 3p+2570, 3p+4960 )

最小解：p=97，( p, p+60, p+880 ) 与 ( 3p+940, 3p+1000, 3p+1820 )

任意固定同邻距的三生素数（六元素数组），只要有一个解，就必有：无穷多个解！！！

同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

(222337, 222367, 222437) 与 (667141, 667171, 667241) 及 (2001553, 2001583, 2001653)

(5021, 5171, 5581) 与 (15773, 15923, 16333) 及 (48029, 48179, 48589)

同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

蔡家雄猜想：对任一大于5的素数 p，

同邻距的三连三生素数，有无穷多组（九元素数组）的解。

设 0 < a < b 是偶数，

当 p 是定数时，

求九元素数组（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b ）的解。

同邻距的五生素数（十元素数组），

且前一组五生素数之和是后一组五生素数的首项，

蔡家雄猜想：同邻距的五生素数（十元素数组）有无穷多组解。

（ 7，11，13，17，409，457，461，463，467，859 ）

（ 11，13，17，19，131，191，193，197，199，311 ）

（ 11，13，17，19，761，821，823，827，829，1571 ）

（ 13，19，47，71，73，223，229，257，281，283 ）

（ 13，17，19，23，4441，4513，4517，4519，4523，8941 ）

（ 17，19，23，29，139，227，229，233，239，349 ）

（ 19，23，29，31，127，229，233，239，241，337 ）

同邻距的2k+1生素数（4k+2元素数组），

且前一组2k+1生素数之和是后一组2k+1生素数的首项，

蔡家雄猜想：同邻距的2k+1生素数（4k+2元素数组）有无穷多组解。

同邻距的七生素数（十四元素数组），

且前一组七生素数之和是后一组七生素数的首项，

前一组（ 11，13，17，19，23，29，1068589 ）

后一组（ 1068701，1068703，1068707，1068709，1068713，1068719，2137279 ）

同邻距的九生素数（十八元素数组），

且前一组九生素数之和是后一组九生素数的首项，

前一组（ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 910935731 ）

后一组（ 910935911, 910935913, 910935917, 910935919, 910935923, 910935929, 910935931, 910935937, 1821871631 ）

同邻距的七生素数（十四元素数组），

且前一组七生素数之和是后一组七生素数的首项，

前一组（ 97，101，103，107，109，113，10m+7 ）

后一组（ 10m+637, 10m+641, 10m+643, 10m+647, 10m+649, 10m+653, 20m+547 ）

求解如下，

在 m < 10^8 以内，求：八生素数的解，

（ 10m+7, 10m+637, 10m+641, 10m+643, 10m+647, 10m+649, 10m+653, 20m+547 ）都是素数，

|  组号 | m 值       | 10m+7    | 10m+637    | 10m+641    | 10m+643    | 10m+647    | 10m+649    | 10m+653    | 20m+547    |
| :-: | :--------- | :---------- | :---------- | :---------- | :---------- | :---------- | :---------- | :---------- | :------------ |
|  1  | 1,542    | 15,427    | 16,057    | 16,061    | 16,063    | 16,067    | 16,069    | 16,073    | 31,387       |
|  2  | 195,372 | 1,953,727 | 1,954,357 | 1,954,361 | 1,954,363 | 1,954,367 | 1,954,369 | 1,954,373 | 3,907,987    |
|  3  | 339,957 | 3,399,577 | 3,400,207 | 3,400,211 | 3,400,213 | 3,400,217 | 3,400,219 | 3,400,223 | 6,799,687    |
|  4  | 1,451,991  | 14,519,917  | 14,520,547  | 14,520,551  | 14,520,553  | 14,520,557  | 14,520,559  | 14,520,563  | 29,040,367 |
|  5  | 2,500,878  | 25,008,787  | 25,009,417  | 25,009,421  | 25,009,423  | 25,009,427  | 25,009,429  | 25,009,433  | 50,018,107 |
|  6  | 25,769,844 | 257,698,447 | 257,699,077 | 257,699,081 | 257,699,083 | 257,699,087 | 257,699,089 | 257,699,093 | 515,397,427 |
|  7  | 36,005,349 | 360,053,497 | 360,054,127 | 360,054,131 | 360,054,133 | 360,054,137 | 360,054,139 | 360,054,143 | 720,107,527 |
|  8  | 51,651,777 | 516,517,777 | 516,518,407 | 516,518,411 | 516,518,413 | 516,518,417 | 516,518,419 | 516,518,423 | 1,033,036,087 |
|  9  | 59,112,972 | 591,129,727 | 591,130,357 | 591,130,361 | 591,130,363 | 591,130,367 | 591,130,369 | 591,130,373 | 1,182,259,987 |
|  10 | 61,530,576 | 615,305,767 | 615,306,397 | 615,306,401 | 615,306,403 | 615,306,407 | 615,306,409 | 615,306,413 | 1,230,612,067 |
|  11 | 71,443,479 | 714,434,797 | 714,435,427 | 714,435,431 | 714,435,433 | 714,435,437 | 714,435,439 | 714,435,443 | 1,428,870,127 |
|  12 | 75,929,730 | 759,297,307 | 759,297,937 | 759,297,941 | 759,297,943 | 759,297,947 | 759,297,949 | 759,297,953 | 1,518,595,147 |
|  13 | 76,350,192 | 763,501,927 | 763,502,557 | 763,502,561 | 763,502,563 | 763,502,567 | 763,502,569 | 763,502,573 | 1,527,004,387 |

同邻距的四连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

设 0 < a < b 是偶数，一个是6倍数，一个非6倍数，

当 p =7 时，求十二元素数组，

（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b, 27p+13a+13b, 27p+14a+13b, 27p+13a+14b ）的解。

|  组别  | 三生素数                      |    间隔       |
| :-----: | :-------------------------- | :------------: |
| 第1组 | $(7, 193, 2447)$             | $186, 2254$ |
| 第2组 | $(2647, 2833, 5087)$    | $186, 2254$ |
| 第3组 | $(10567, 10753, 13007)$ | $186, 2254$ |
| 第4组 | $(34327, 34513, 36767)$ | $186, 2254$ |

同邻距四连三生素数，
第1组：( 7, 241, 1319 ) ，             间距 ( 234, 1078 )
第2组：( 1567, 1801, 2879 ) ，    间距 ( 234, 1078 )
第3组：( 6247, 6481, 7559 ) ，    间距 ( 234, 1078 )
第4组：( 20287, 20521, 21599 ) ，间距 ( 234, 1078 )

同邻距的四连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

设 0 < a < b 是偶数，一个是6倍数，一个非6倍数，

当 p =23 时，求十二元素数组，

（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b, 27p+13a+13b, 27p+14a+13b, 27p+13a+14b ）的解。

十二元素数组: [23, 163, 7247, 7433, 7573, 14657, 29663, 29803, 36887, 96353, 96493, 103577]

十二元素数组: [23, 347, 1543, 1913, 2237, 3433, 7583, 7907, 9103, 24593, 24917, 26113]

十二元素数组: [23, 1097, 1423, 2543, 3617, 3943, 10103, 11177, 11503, 32783, 33857, 34183]

十二元素数组: [23, 6373, 8753, 15149, 21499, 23879, 60527, 66877, 69257, 196661, 203011, 205391]

同邻距的九生素数（十八元素数组），

且前一组九生素数之和是后一组九生素数的首项，

前一组（ 101, 103, 107, 109, 191, 193, 197, 199, 588272021 ）

后一组（ 588273221, 588273223, 588273227, 588273229, 588273311, 588273313, 588273317, 588273319, 1176545141 ）

前一组（ 101, 103, 107, 109, 191, 193, 197, 199, 1857511181 ）

后一组（ 1857512381, 1857512383, 1857512387, 1857512389, 1857512471, 1857512473, 1857512477, 1857512479, 3715023461 ）

前一组（ 101, 103, 107, 109, 191, 193, 197, 199, 3581921141 ）

后一组（ 3581922341, 3581922343, 3581922347, 3581922349, 3581922431, 3581922433, 3581922437, 3581922439, 7163843381 ）

前一组（ 101, 103, 107, 109, 191, 193, 197, 199, 6492181571 ）

后一组（ 6492182771, 6492182773, 6492182777, 6492182779, 6492182861, 6492182863, 6492182867, 6492182869, 12984364241 ）

前一组（ 101, 103, 107, 109, 191, 193, 197, 199, 7035374501 ）

后一组（ 7035375701, 7035375703, 7035375707, 7035375709, 7035375791, 7035375793, 7035375797, 7035375799, 14070750101 ）

同邻距的九生素数（十八元素数组），

且前一组九生素数之和是后一组九生素数的首项，

前一组（ 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669，2088614537 ）都是素数，

后一组（ 2088622009, 2088622219, 2088622429, 2088622639, 2088622849, 2088623059, 2088623269, 2088623479, 4177236347 ）

素数等差数列与 Cai 问题，

同邻距的十一生素数（二十二元素数组），

且前一组十一生素数之和是后一组十一生素数的首项，

前一组（ 4943, 65003, 125063, 185123, 245183, 305243, 365303, 425363, 485423, 545483, 2103953 ）都是素数，

后一组（ 4856083, 4916143, 4976203, 5036263, 5096323, 5156383, 5216443, 5276503, 5336563, 5396623, 6955093 ）都是素数。

素数等差数列与蔡家雄猜想

素数等差数列AP(2k+2) 的前2k项及存在一个更大的素数 P，构造成

同邻距的(2k+1)生素数（4k+2元素数组），

且前一组(2k+1)生素数之和是后一组(2k+1)生素数的首项，

同邻距的九生素数（十八元素数组），

且前一组九生素数之和是后一组九生素数的首项，

前一组（ 50943795±2，50943795±4，50943795±8，50943795±16，是中心对称 8生连续素数，p = 6211603529 ）

后一组（ 6619153905±2，6619153905±4，6619153905±8，6619153905±16，是中心对称 8生连续素数，q=12779813639 ）

前一组（ 50943779, 50943787, 50943791, 50943793, 50943797, 50943799, 50943803, 50943811, 6211603529 ）

后一组（ 6619153889, 6619153897, 6619153901, 6619153903, 6619153907, 6619153909, 6619153913, 6619153921, 12779813639 ）

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:35
蔡氏完全循环节问题

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^1*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^1*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^5*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^5*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^9*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^9*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^13*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^13*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^17*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^17*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^21*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^21*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^25*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^25*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^29*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^29*4+1 的原根。

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:36
蔡氏完全循环节问题的证明

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wce01dec41eb9bfed

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:38
本帖最后由蔡家雄于 2026-3-19 13:01 编辑

设 n 为正整数，

若 2*10^n+29 是素数，则 10 是这个素数的原根。

设 n 为正整数，

若 8*10^n+17 是素数，则 10 是这个素数的原根。

设 n 为正整数，

若 4*10^n+19 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 2*10^n - 51 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 2*10^n - 153 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 19 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 21 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 33 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 51 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 57 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 63 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 4*10^n - 33 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 4*10^n - 21 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 4*10^n - 11 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 4*10^n - 17 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 4*10^n - 23 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 16^k+3 是素数，则 10 是素数 16^k+3 的原根。

若 16^k+7 是素数，则 10 是素数 16^k+7 的原根。

若 16^k+13 是素数，则 10 是素数 16^k+13 的原根。

若 16^k+31 是素数，则 10 是素数 16^k+31 的原根。

若 16^k+81 是素数，则 10 是素数 16^k+81 的原根。

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:39
蔡氏完全循环节问题的证明

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w3279f93c3b340ac0

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:41
蔡氏完全循环节等差九生素数有无穷多组以及 AI 的分析，

10是如下等差9生素数(公差9240)的原根，即：这些素数倒数具有最大循环节长！！！

1---(95339,104579,113819,123059,132299,141539,150779,160019,169259)

2---(7827167,7836407,7845647,7854887,7864127,7873367,7882607,7891847,7901087)

3---(9195167,9204407,9213647,9222887,9232127,9241367,9250607,9259847,9269087)

4---(32288903,32298143,32307383,32316623,32325863,32335103,32344343,32353583,32362823)

5---(59941697,59950937,59960177,59969417,59978657,59987897,59997137,60006377,60015617)

6---(72980177,72989417,72998657,73007897,73017137,73026377,73035617,73044857,73054097)

7---(77003567,77012807,77022047,77031287,77040527,77049767,77059007,77068247,77077487)

8---(121526753,121535993,121545233,121554473,121563713,121572953,121582193,121591433,121600673)

9---(121535993,121545233,121554473,121563713,121572953,121582193,121591433,121600673,121609913)

10---(171184589,171193829,171203069,171212309,171221549,171230789,171240029,171249269,171258509)

—— AI 的分析：https://www.doubao.com/thread/wccef73d8fb76ce31

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:43
具有完全循环节的一条龙素数及其证明

设 n >=2 ,

若 (2*10^n+7)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。

https://www.doubao.com/thread/wd7428e80f4e07a62

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:43
具有完全循环节的一条龙素数及其证明

设 n >=2 ,

若 (4*10^n+23)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。

https://www.doubao.com/thread/w2ecdd0ab2059c425

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:44
具有完全循环节的一条龙素数及其证明

设 n >=2 ,

若 (8*10^n - 17)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。

https://www.doubao.com/thread/w6c1f401846c07e28

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:45
具有完全循环节的一条龙素数及其证明

设 n >=2 ,

若 (2*10^n+61)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。

https://www.doubao.com/thread/wd08329dd9f82d49c

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:45
具有完全循环节的一条龙素数及其证明

若 (2*10^n - 23)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。

https://www.doubao.com/thread/wed389eb45db3ca9c

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:47
具有完全循环节的一条龙素数及其证明

若 (2*10^n - 59)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。

https://www.doubao.com/thread/w55433ac8ab4a7bb6

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:48
具有完全循环节的一条龙素数及其证明

若 (8*10^n - 11)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。

https://www.doubao.com/thread/wf948462c51e577e7

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:50
杨辉三角中的素性判定及其证明

若 C(2*n, n) ≡ 2 （mod n^2）, 则 n 一定是素数。

https://www.doubao.com/thread/w2166001c9dccc685

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:52
一个改进了的蔡家雄猜想以及 AI 分析

设 n >=5,
在 (2n)! +2n 与 (2n)! +n^2 之间有一个素数，
即 (2n)! +2n < 素数P < (2n)! +n^2

—— AI 分析：https://www.doubao.com/thread/w41485df664733c59

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:54
https://www.doubao.com/thread/w7e46bdffd0ca877b

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:58
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+17) 与 (30k+17)*2^(4t+3)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+17)*2^(4t+3)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w0251ec89208c1184

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 07:59
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+29) 与 (30k+29)*2^(4t+3)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+29)*2^(4t+3)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wa7c1e45a30b454a8

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 08:00
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+1) 与 (30k+1)*2^(4t+4)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+1)*2^(4t+4)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w7c7a9c921daa1604

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 08:01
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+7) 与 (30k+7)*2^(4t+4)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+7)*2^(4t+4)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wfc8e0a6fc45c5144

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 08:02
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+11) 与 (30k+11)*2^(4t+5)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+11)*2^(4t+5)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w559d9e36d5d4a60b

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 08:03
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+23) 与 (30k+23)*2^(4t+5)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+23)*2^(4t+5)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w9ed4038860914d47

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 08:03
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+13) 与 (30k+13)*2^(4t+6)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+13)*2^(4t+6)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w61dbee407c7b87d4

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 08:06
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+19) 与 (30k+19)*2^(4t+6)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+19)*2^(4t+6)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wdb72642026e9d9b4

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 19:46
定义：孪生素数(p, p+2)的中项(p+1)，叫：孪中数。

孪中比猜想：正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。

https://www.doubao.com/thread/wa34a5748077d74f1

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 20:07
定义：若 15k±2 和 15k±4 是四生素数，则称 15k 为双中数。

奇数双中比猜想：一奇数均可表为两个双中数之比。

3 = 83226465 /27742155,
5 = 335769525 /67153905,
7 = 105 /15,
9 = 163690065 /18187785,
11 = 167563935 /15233085,

蔡氏8生素数猜想：设 (2n+1) 为任一奇数，

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, (2n+1)p+8n, (2n+1)p+8n+2, (2n+1)p+8n+6, (2n+1)p+8n+8 均有解。

奇数双中比猜想与此蔡氏8生素数猜想是等价命题。

https://www.doubao.com/thread/w812c00cf21f75f53

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 20:24
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+17) 与 (30k+17)^(4r+1)*2^(4t+3)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+17)^(4r+1)*2^(4t+3)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wcb3341437fd4c5c8

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 20:36
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+29) 与 (30k+29)^(4r+1)*2^(4t+3)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+29)^(4r+1)*2^(4t+3)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wd2ce49207d275ec4

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 20:44
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+1) 与 (30k+1)^(4r+1)*2^(4t+4)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+1)^(4r+1)*2^(4t+4)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wf00c49dceb22d1cc

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 20:49
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+7) 与 (30k+7)^(4r+1)*2^(4t+4)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+7)^(4r+1)*2^(4t+4)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w3992659d813f19dc

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 20:55
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+11) 与 (30k+11)^(4r+1)*2^(4t+5)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+11)^(4r+1)*2^(4t+5)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w36437d26e4499d2e

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 21:02
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+23) 与 (30k+23)^(4r+1)*2^(4t+5)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+23)^(4r+1)*2^(4t+5)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wfaf7427bb4610f1d

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 21:09
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+13) 与 (30k+13)^(4r+1)*2^(4t+6)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+13)^(4r+1)*2^(4t+6)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w9ab3147646ef4918

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-10 21:14
蔡氏完全循环节问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+19) 与 (30k+19)^(4r+1)*2^(4t+6)+1 都是素数，

则 10 是模素数 (30k+19)^(4r+1)*2^(4t+6)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w5abfe4e5fc11dbe3

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-17 20:43
求证：(8r+3)*(8t+3)=u^2+v^2+w^2，均可表为三个非零平方数之和。

https://www.doubao.com/thread/w544855a85ec4ac93

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-17 21:00
蔡氏原根问题及其证明

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 2, 3, 10, 15 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w1f93c8a7840fc47e

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-17 21:02
求证：(8r+3)*(8t+3)=u^2+v^2+w^2，均可表为三个非零平方数之和。

https://www.doubao.com/thread/w544855a85ec4ac93

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-17 21:12
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+17) 与 (30k+17)*2^(4t+3)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+17)*2^(4t+3)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/we5d1fc7dba24495a

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-17 21:18
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+29) 与 (30k+29)*2^(4t+3)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+29)*2^(4t+3)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wba5bbd3b4af94ec2

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-17 21:24
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+1) 与 (30k+1)*2^(4t+4)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+1)*2^(4t+4)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w9c74bbc6374e3bc9

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-17 21:29
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+7) 与 (30k+7)*2^(4t+4)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+7)*2^(4t+4)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wc16c5eeff35d61c3

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-17 21:34
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+11) 与 (30k+11)*2^(4t+5)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+11)*2^(4t+5)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w74ab1223ef4ffa14

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-17 21:38
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+23) 与 (30k+23)*2^(4t+5)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+23)*2^(4t+5)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wfda3bb47f200276a

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-17 21:42
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+13) 与 (30k+13)*2^(4t+6)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+13)*2^(4t+6)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w6a9e5eea8799f774

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-17 21:48
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，t 为非负整数，

若 (30k+19) 与 (30k+19)*2^(4t+6)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+19)*2^(4t+6)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w6e2e731c7913ac93

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-18 19:05
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+17) 与 (30k+17)^(4r+1)*2^(4t+3)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+17)^(4r+1)*2^(4t+3)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w8b3ee4d431b2a216

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-18 19:10
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+29) 与 (30k+29)^(4r+1)*2^(4t+3)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+29)^(4r+1)*2^(4t+3)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w6ef03f97e854d3a5

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-18 19:15
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+1) 与 (30k+1)^(4r+1)*2^(4t+4)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+1)^(4r+1)*2^(4t+4)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wd6160635210e325f

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-18 19:20
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+7) 与 (30k+7)^(4r+1)*2^(4t+4)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+7)^(4r+1)*2^(4t+4)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w8460bb9a6c99459b

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-18 19:25
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+11) 与 (30k+11)^(4r+1)*2^(4t+5)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+11)^(4r+1)*2^(4t+5)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wfc1965325261f7cc

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-18 19:29
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+23) 与 (30k+23)^(4r+1)*2^(4t+5)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+23)^(4r+1)*2^(4t+5)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wce0ae6147356a137

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-18 19:48
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+13) 与 (30k+13)^(4r+1)*2^(4t+6)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+13)^(4r+1)*2^(4t+6)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/we52b524eb6996f6a

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-18 20:33
蔡氏原根问题及其证明

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+19) 与 (30k+19)^(4r+1)*2^(4t+6)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是模素数 (30k+19)^(4r+1)*2^(4t+6)+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wd7fda2ff58537a70

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-21 18:31
蔡氏偶数分拆

设 2n >=64，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -30 , p4=p1+30 都是素数，

则 2n -30=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+30=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

https://www.doubao.com/thread/w9d82dc9b89b2f8a6

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-21 19:02
蔡氏原根问题及其证明

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 5, 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。

https://www.doubao.com/thread/we9ed498d059bc77f

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-21 22:07
模 181 的平方剩余奇质数 p= 3, 5, 11, 13, 29, 37, 43, 59, 67, 73, 79, 101, 137, 139, 167 .

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-22 16:55
本帖最后由蔡家雄于 2025-9-28 19:27 编辑

模 113 的平方剩余奇质数 p= 7, 11, 13, 31, 41, 53, 61, 83, 97, 109 .

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-22 18:12
模 149 的平方剩余奇质数 p= 5, 7, 17, 19, 29, 31, 37, 47, 53, 61, 67, 73, 103, 107, 113, 127 .

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-22 20:13
模 137 的平方剩余奇质数 p= 7, 11, 17, 19, 37, 59, 61, 73, 101, 103, 107, 109 .

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-22 20:30
模 157 的平方剩余奇质数 p= 3, 11, 13, 17, 19, 31, 37, 47, 67, 71, 89, 101, 109, 113, 127 .

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-22 20:55
模 173 的平方剩余奇质数 p= 13, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67, 73, 83, 89, 109, 113,

及连续的 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167 .

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-22 21:26
模 193 的平方剩余奇质数 p= 3, 7, 23, 31, 43, 59, 67, 83, 97, 101, 107, 109, 131, 137, 139, 151, 157, 179, 181, 191 .

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-23 20:58
公式化的广义原根及其证明

设 d, k 为非负整数，

设 g1= 2^(2d+1)， g2= 3^(2d+1)， g3= 5*3^(2d)，

设 g4= 6*g1 或 6*g2 或 6*g3，g5= 10*g1 或 10*g2 或 10*g3，

设 P >= 5，
设 P 和 4P+1 都是素数，

若 4P+1 ≡ 13 或 37 （mod 40），

且 g^4 ≠ 1 （mod (4P+1)），

则 g1, g2, g3, g4, g5 是 4P+1 的广义原根。

https://www.doubao.com/thread/wc6cca11211a27e98

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-23 20:59
公式化的广义原根及其证明

设 d, k 为非负整数，

设 g1= 2^(2d+1)=2, 8, 32, 128, 512, ...

设 g2= 3^(2d+1)=3, 27, 243, 2187, .....

设 g3= 5*g1=10, 40, 160,, 640, 2560, ...

设 g4= 5*g2=15, 135, 1215, 10935, ......

若 30k+7 和 120k+29 同为素数，

且 g^4 ≠ 1 （mod (120k+29)），

则 g1, g2, g3, g4 都是 120k+29 的广义原根。

https://www.doubao.com/thread/w6ecf6ceb62b9f9ae

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-24 19:17
公式化的广义原根及其证明

设 d, k 为非负整数，

设 g1= 3^(2d+1)=3, 27, 243, 2187, ......

设 g2= 5^(2d+1)=5, 125, 3125, 78125, ......

设 g3= 3*2^d= 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, ......

设 g4= 5*2^d= 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, ......

设 n>=3,  P>= 5，

设 P 和 (2^n)*P+1 都是素数，

若 (2^n)*P+1  ≡ 17 或 33（ mod  40），

且 g^(2^n)  ≠  1 （ mod  ((2^n)*P+1)），

则 g1, g2, g3, g4  是 (2^n)*P+1 的广义原根。

https://www.doubao.com/thread/w0c5132500e6c8daa

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-27 19:15
模 113 的平方剩余奇质数之一是 7，

求 $x^2 - 113*y^2= 7$ 的正整数解，，

作者: ysr 时间: 2025-9-27 21:13

蔡家雄发表于 2025-9-27 11:15
模 113 的平方剩余奇质数之一是 7，

求 $x^2 - 113*y^2= 7$ 的正整数解，，

请输入一个数字：100000000
x= 32 y= 3
x= 131952 y= 12413
x= 76946640 y= 7238531
请输入一个数字：

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-28 06:57
模 113 的平方剩余奇质数之一是 7，

求 $x^2 - 113*y^2= -7$ 的正整数解，，

作者: ysr 时间: 2025-9-28 21:50

蔡家雄发表于 2025-9-27 22:57
模 113 的平方剩余奇质数之一是 7，

求 $x^2 - 113*y^2= -7$ 的正整数解，，

请输入一个数字：100000000
x= 85 y= 8
x= 49579 y= 4664
请输入一个数字：

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-29 17:58
模 113 的平方剩余奇质数之一是 11，

求 $x^2 - 113*y^2= 11$ 的正整数解，，

作者: ysr 时间: 2025-9-29 19:04

蔡家雄发表于 2025-9-29 09:58
模 113 的平方剩余奇质数之一是 11，

求 $x^2 - 113*y^2= 11$ 的正整数解，，

请输入一个数字：100000000
x= 202 y= 19
x= 32794 y= 3085
请输入一个数字：

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-29 19:28
模 113 的平方剩余奇质数之一是 11，

求 $x^2 - 113*y^2= -11$ 的正整数解，，

作者: ysr 时间: 2025-9-29 21:41

蔡家雄发表于 2025-9-29 11:28
模 113 的平方剩余奇质数之一是 11，

求 $x^2 - 113*y^2= -11$ 的正整数解，，

请输入一个数字：100000000
x= 21 y= 2
x= 313483 y= 29490
x= 50896309 y= 4787922
请输入一个数字：

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-29 21:58
模 113 的平方剩余奇质数之一是 13，

求 $x^2 - 113*y^2= 13$ 的正整数解，，

作者: ysr 时间: 2025-9-29 22:45

蔡家雄发表于 2025-9-29 13:58
模 113 的平方剩余奇质数之一是 13，

求 $x^2 - 113*y^2= 13$ 的正整数解，，

请输入一个数字：100000000
x= 489 y= 46
x= 16009 y= 1506
请输入一个数字：

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-30 06:12
模 113 的平方剩余奇质数之一是 13，

求 $x^2 - 113*y^2= -13$ 的正整数解，，

作者: ysr 时间: 2025-9-30 06:43

蔡家雄发表于 2025-9-29 22:12
模 113 的平方剩余奇质数之一是 13，

求 $x^2 - 113*y^2= -13$ 的正整数解，，

请输入一个数字：100000000
x= 10 y= 1
x= 758918 y= 71393
x= 24845978 y= 2337313
请输入一个数字：

作者: 蔡家雄 时间: 2025-9-30 07:26
模 113 的平方剩余奇质数之一是 31，

求 $x^2 - 113*y^2= 31$ 的正整数解，，

作者: ysr 时间: 2025-10-1 09:01

蔡家雄发表于 2025-9-29 23:26
模 113 的平方剩余奇质数之一是 31，

求 $x^2 - 113*y^2= 31$ 的正整数解，，

请输入一个数字：100000000
x= 12 y= 1
x= 1649788 y= 155199
x= 27254684 y= 2563905
请输入一个数字：

作者: 蔡家雄 时间: 2025-10-1 14:41
模 113 的平方剩余奇质数之一是 31，

求 $x^2 - 113*y^2= -31$ 的正整数解，，

作者: ysr 时间: 2025-10-1 14:54

蔡家雄发表于 2025-10-1 01:53
模 113 的平方剩余奇质数之一是 31，

求 $x^2 - 113*y^2= -31$ 的正整数解，，

请输入一个数字：100000000
x= 1063 y= 100
x= 17561 y= 1652
请输入一个数字：

作者: 蔡家雄 时间: 2025-10-1 15:23
模 113 的平方剩余奇质数之一是 41，

求 $x^2 - 113*y^2= 41$ 的正整数解，，

作者: ysr 时间: 2025-10-1 17:05

蔡家雄发表于 2025-10-1 07:23
模 113 的平方剩余奇质数之一是 41，

求 $x^2 - 113*y^2= 41$ 的正整数解，，

请输入一个数字：100000000
x= 43 y= 4
x= 577387 y= 54316
请输入一个数字：

作者: 蔡家雄 时间: 2025-10-1 17:46
模 113 的平方剩余奇质数之一是 41，

求 $x^2 - 113*y^2= -41$ 的正整数解，，

作者: ysr 时间: 2025-10-1 23:46

蔡家雄发表于 2025-10-1 09:46
模 113 的平方剩余奇质数之一是 41，

求 $x^2 - 113*y^2= -41$ 的正整数解，，

请输入一个数字：100000000
x= 372 y= 35
x= 66364 y= 6243
请输入一个数字：

作者: 蔡家雄 时间: 2025-10-2 02:46
模 113 的平方剩余奇质数之一是 53，

求 $x^2 - 113*y^2= 53$ 的正整数解，，

作者: ysr 时间: 2025-10-2 06:06

蔡家雄发表于 2025-10-1 18:46
模 113 的平方剩余奇质数之一是 53，

求 $x^2 - 113*y^2= 53$ 的正整数解，，

请输入一个数字：100000000
x= 149 y= 14
x= 214325 y= 20162
请输入一个数字：

作者: 蔡家雄 时间: 2025-10-2 08:59
模 113 的平方剩余奇质数之一是 53，

求 $x^2 - 113*y^2= -53$ 的正整数解，，

作者: ysr 时间: 2025-10-2 23:17

蔡家雄发表于 2025-10-2 00:59
模 113 的平方剩余奇质数之一是 53，

求 $x^2 - 113*y^2= -53$ 的正整数解，，

请输入一个数字：100000000
x= 138 y= 13
x= 231110 y= 21741
请输入一个数字：

作者: 蔡家雄 时间: 2025-10-3 07:35
模 113 的平方剩余奇质数之一是 61，

求 $x^2 - 113*y^2= 61$ 的正整数解，，

作者: ysr 时间: 2025-10-3 07:47

蔡家雄发表于 2025-10-2 23:35
模 113 的平方剩余奇质数之一是 61，

求 $x^2 - 113*y^2= 61$ 的正整数解，，

请输入一个数字：100000000
x= 319 y= 30
x= 115167 y= 10834
请输入一个数字：

作者: 蔡家雄 时间: 2025-10-3 07:49
模 113 的平方剩余奇质数之一是 61，

求 $x^2 - 113*y^2= -61$ 的正整数解，，

作者: ysr 时间: 2025-10-3 07:58

蔡家雄发表于 2025-10-2 23:49
模 113 的平方剩余奇质数之一是 61，

求 $x^2 - 113*y^2= -61$ 的正整数解，，

请输入一个数字：100000000
x= 74 y= 7
x= 495014 y= 46567
请输入一个数字：

作者: 蔡家雄 时间: 2025-10-3 08:09
模 113 的平方剩余奇质数之一是 83，

求 $x^2 - 113*y^2= 83$ 的正整数解，，

作者: ysr 时间: 2025-10-3 08:36

蔡家雄发表于 2025-10-3 00:09
模 113 的平方剩余奇质数之一是 83，

求 $x^2 - 113*y^2= 83$ 的正整数解，，

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x= 14 y= 1
x= 4058494 y= 381791
x= 29663390 y= 2790497
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