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标题: \(Carmichael\) \(numbers\) 的分解 [打印本页]

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-10 22:21
标题: \(Carmichael\) \(numbers\) 的分解


设 m=6k，

若 m^2+1,  2m^2+1,  3m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(2m^2+1)(3m^2+1) 必是 卡迈克尔数。


设 m=84k+6 或 m=84k+78，

若 m^2+1,  3m^2+1,  56m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(3m^2+1)(56m^2+1) 必是 卡迈克尔数。


设 m=42k+6 或 m=42k+36，

若 m^2+1,  2m^2+1,  12m^2+1,  21m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(2m^2+1)(12m^2+1)(21m^2+1) 必是 卡迈克尔数。


设 m=70k+6 或 m=70k+64，

若 m^2+1,  2m^2+1,  5m^2+1,  70m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(2m^2+1)(5m^2+1)(70m^2+1) 必是 卡迈克尔数。


设 m=90k+6 或 m=90k+84，

若 m^2+1,  2m^2+1,  45m^2+1,  60m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(2m^2+1)(45m^2+1)(60m^2+1) 必是 卡迈克尔数。


设 m=510k+6 或 m=510k+504，

若 2m^2+1,  3m^2+1,  5m^2+1,  15m^2+1,  17m^2+1 都是质数，

则 (2m^2+1)(3m^2+1)(5m^2+1)(15m^2+1)(17m^2+1) 必是 卡迈克尔数。



设 (m+1, 2m+1, 3m+1) 与 (6m+1, 12m+1, 18m+1) 都是质数，

且 m=36k+6，

则 (m+1)(2m+1)(3m+1) * (6m+1)(12m+1)(18m+1) 必是 卡迈克尔数。

如 509033161=(7*13*19) * (37*73*109) = 两个卡迈克尔数的乘积。


设 (2m+1, 10m+1, 66m+1) 与 (5m+1, 30m+1, 55m+1) 都是质数，

且 m=330k+6，

则 (2m+1)(10m+1)(66m+1) * (5m+1)(30m+1)(55m+1) 必是 卡迈克尔数。

如 584698468861=(13*61*397) * (31*181*331) = 两个卡迈克尔数的乘积。



是否存在 7个素因子的卡迈克尔数 = 两个卡迈克尔数的乘积 ？并且有两种不同的分拆方式 ？？


设 (m+1, 2m+1, 5m+1, 10m+1) 与 (6m+1, 12m+1, 30m+1) 都是质数，

且 m=60k+6，

则 (m+1)(2m+1)(5m+1)(10m+1) * (6m+1)(12m+1)(30m+1) 必是 卡迈克尔数，

则 (m+1)(5m+1)(12m+1) * (2m+1)(6m+1)(10m+1)(30m+1) 必是 卡迈克尔数。

如 84127131361=(7*13*31*61) * (37*73*181) = 两个卡迈克尔数的乘积，

且 84127131361=(7*31*73) * (13*37*61*181) = 两个卡迈克尔数的乘积。

如 167322186003243570600968222134860395423562961=(359407*718813*1797031*3594061) * (2156437*4312873*10782181)

且 167322186003243570600968222134860395423562961=(359407*1797031*4312873) * (718813*2156437*3594061*10782181)



是否存在 8个素因子的卡迈克尔数 = 两个卡迈克尔数的乘积 ？并且有两种不同的分拆方式 ？？

例1（最小的 双分拆 8素因子卡迈克尔数）
C = 39218375198807825413908500199133921
  = 163*379*2377*16633*216217*277993*432433*617761

分拆一（4+4）
C = (163*379*432433*617761) * (2377*16633*216217*277993)
  = 16503122761725601 * 2376421466715616321

分拆二（3+5）
C = (216217*277993*617761) * (163*379*2377*16633*432433)
  = 37131644585075041 * 1056198173742391681

例2
C = 38610448457205183805452289211975246401
  = 73*1171*5347*66529*99793*151201*432433*194594401

分拆一（3+5）
C = (66529*99793*432433) * (73*1171*5347*151201*194594401)
  = 2870978253343201 * 13448533931681311663201

分拆二（4+4）
C = (73*1171*5347*151201) * (66529*99793*432433*194594401)
  = 69110590348801 * 558676293493346446017601

例3
C = 8819897625708057066460592134761234830532001
  = 163*379*118801*432433*617761*3088801*7484401*194594401

分拆一（3+5）
C = (118801*3088801*7484401) * (163*379*432433*617761*194594401)
  = 2746420762657572001 * 3211415288447459052960001

分拆二（4+4）
C = (163*379*432433*617761) * (118801*3088801*7484401*194594401)
  = 16503122761725601 * 534438103203313391648966401



是否存在 9个素因子的卡迈克尔数 = 两个卡迈克尔数的乘积 ？并且有两种不同的分拆方式 ？？

例1（4+5 与 3+6 双分拆）
C = 2789987203657877406282581090230702081
  = 199*421*1093*23167*23761*66529*72073*96097*120121

分拆一（4+5）
C = (421*1093*66529*72073) * (199*23167*23761*96097*120121)
  = 2206408150346401 * 1264492792604965603681

分拆二（3+6）
C = (72073*96097*120121) * (199*421*1093*23167*23761*66529)
  = 831957935608801 * 3353519552182949429281

例2（4+5 与 3+6 双分拆）
C = 140246659764577195950187264754865147841
  = 199*4621*9241*23167*23761*36037*72073*96097*120121

分拆一（4+5）
C = (4621*9241*36037*72073) * (199*23167*23761*96097*120121)
  = 110911395133899361 * 1264492792604965603681

分拆二（3+6）
C = (72073*96097*120121) * (199*4621*9241*23167*23761*36037)
  = 831957935608801 * 168574219635213939587041

例3（两种不同的 4+5 分拆）
C = 160388716420554107462919949518832321
  = 163*379*1093*2377*8737*16633*25741*432433*617761

分拆一（4+5）
C = (163*379*432433*617761) * (1093*2377*8737*16633*25741)
  = 16503122761725601 * 9718688925500274721

分拆二（4+5）
C = (1093*8737*25741*617761) * (163*379*2377*16633*432433)
  = 151854756434821441 * 1056198173742391681



是否存在 10个素因子的卡迈克尔数 = 两个卡迈克尔数的乘积 ？并且有两种不同的分拆方式 ？？？？

类型一：4 种分拆方式（两种3+7，两种4+6）

C = 2014399835982717990242168544555837782792946991468321
  = 2269*7561*8317*66529*99793*432433*540541*1297297*1621621*4324321

分拆1（3+7）: (66529*99793*432433) * (2269*7561*8317*540541*1297297*1621621*4324321)
  = 2870978253343201 * 701642317783837857979218071025741121

分拆2（3+7）: (540541*1621621*4324321) * (2269*7561*8317*66529*99793*432433*1297297)
  = 3790494975615828481 * 531434508933874917972801012452641

分拆3（4+6）: (2269*7561*8317*1297297) * (66529*99793*432433*540541*1621621*4324321)
  = 185105724264901441 * 10882428644399710517655351643507681

分拆4（4+6）: (432433*540541*1297297*1621621) * (2269*7561*8317*66529*99793*4324321)
  = 491740799472344388526561 * 4096466752696220568878372161

类型二：两种不同的 5+5 分拆

C = 13356580255947768358117079760227126886393285601
  = 5281*7393*8317*21061*23167*45361*51481*72073*270271*1853281

分拆1（5+5）: (5281*7393*8317*21061*45361) * (23167*51481*72073*270271*1853281)
  = 310216707031800048481 * 43055644500083603735867521

分拆2（5+5）: (5281*7393*23167*270271*1853281) * (8317*21061*45361*51481*72073)
  = 453051313870384009740961 * 29481385103694958674241

类型三：4+6 与 5+5 双分拆

C = 824906498112295473518874025533340783820641
  = 313*5281*7393*8317*21061*21841*26209*45361*120121*123553

分拆1（4+6）: (8317*21061*45361*123553) * (313*5281*7393*21841*26209*120121)
  = 981706360459144321 * 840278245448553973981921

分拆2（5+5）: (313*21841*26209*120121*123553) * (5281*7393*8317*21061*45361)
  = 2659129825743830799361 * 310216707031800048481

类型四：3+7 与 5+5 双分拆

C = 913167546501014199003549106284032498522178241
  = 157*313*3169*6553*21061*28513*393121*540541*1621621*4324321

分拆1（3+7）: (540541*1621621*4324321) * (157*313*3169*6553*21061*28513*393121)
  = 3790494975615828481 * 240909842217283260430368961

分拆2（5+5）: (157*313*393121*540541*4324321) * (3169*6553*21061*28513*1621621)
  = 45156138800535398956321 * 20222445292204370735521

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-10 22:27
设 a1*a2*a3 是卡迈克尔数，与 a4*a5*a6 是卡迈克尔数，

且 a1*a2*a3*a4*a5*a6 是卡迈克尔数，

在 10^12 范围内找到 5 组本质不同的解，

解 1，
  a1*a2*a3 = 1729 = 7 × 13 × 19
  a4*a5*a6 = 294409 = 37 × 73 × 109
  乘积     = 509033161 = 7 × 13 × 19 × 37 × 73 × 109

解 2，
  a1*a2*a3 = 15841 = 7 × 31 × 73
  a4*a5*a6 = 115921 = 13 × 37 × 241
  乘积     = 1836304561 = 7 × 13 × 31 × 37 × 73 × 241

解 3，
  a1*a2*a3 = 15841 = 7 × 31 × 73
  a4*a5*a6 = 1615681 = 23 × 199 × 353
  乘积     = 25594002721 = 7 × 23 × 31 × 73 × 199 × 353

解 4，
  a1*a2*a3 = 2465 = 5 × 17 × 29
  a4*a5*a6 = 19384289 = 89 × 353 × 617
  乘积     = 47782272385 = 5 × 17 × 29 × 89 × 353 × 617

解 5，
  a1*a2*a3 = 314821 = 13 × 61 × 397
  a4*a5*a6 = 1857241 = 31 × 181 × 331
  乘积     = 584698468861 = 13 × 31 × 61 × 181 × 331 × 397

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-11 06:36


参数化的卡迈克尔数的公式

(6k+1)(12k+1)(18k+1)*(36k+1),

(6k+1)(12k+1)(18k+1)*(72k+1),

(6k+1)(12k+1)(18k+1)*(108k+1).

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-11 06:38
设 a1*a2*a3*a4 是卡迈克尔数，与 a5*a6*a7*a8 是卡迈克尔数，

且 a1*a2*a3*a4*a5*a6*a7*a8 是卡迈克尔数，可以有吗 ？？？？

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-11 07:22


7个素因子的卡迈克尔数 = 3个素因子的卡迈克尔数 * 4个素因子的卡迈克尔数，

如 96578912521 = (7*13*19*109) * (31*61*271)，所有素因子均为6d+1型。


8个素因子的卡迈克尔数 = 3个素因子的卡迈克尔数 * 5个素因子的卡迈克尔数，

要求：所有素因子均为 6d+1 型，Kimi 是否能 找到几个例子 ？？？？

例1
C8 = 6306933889924826996567489761
   = (66529*99793*432433) * (19*37*811*1621*2377)
C3 = 2870978253343201 = 66529*99793*432433
C5 = 2196789154561 = 19*37*811*1621*2377

例2
C8 = 347880306759622545818130661441
   = (72073*96097*120121) * (19*43*2017*5281*48049)
C3 = 831957935608801 = 72073*96097*120121
C5 = 418146509420641 = 19*43*2017*5281*48049

例3
C8 = 7078661543894890516248235494900961
   = (108109*540541*648649) * (19*109*10531*25741*332641)
C3 = 37905326674094881 = 108109*540541*648649
C5 = 186745826114527681 = 19*109*10531*25741*332641

例4
C8 = 2786490466979681285779628312641
   = (540541*1621621*4324321) * (19*127*241*547*2311)
C3 = 3790494975615828481 = 540541*1621621*4324321
C5 = 735125751361 = 19*127*241*547*2311



8个素因子的卡迈克尔数 = 4个素因子的卡迈克尔数 * 4个素因子的卡迈克尔数，

要求：所有素因子均为 6d+1 型，Kimi 是否能 找到几个例子 ？？？？可以有吗 ？？？？

例1
C8 = 4145474179873464659020801
   = (43*547*7561*9241) * (79*1249*3121*8191)
C4a = 1643440518721 = 43*547*7561*9241
C4b = 2522436396481 = 79*1249*3121*8191

例2
C8 = 41628077509770693775764010081
   = (79*1249*3121*8191) * (163*379*432433*617761)
C4a = 2522436396481 = 79*1249*3121*8191
C4b = 16503122761725601 = 163*379*432433*617761

例3
C8 = 4066088249327878418523551241528961
   = (163*379*432433*617761) * (271*2593*270271*1297297)
C4a = 16503122761725601 = 163*379*432433*617761
C4b = 246382960851387361 = 271*2593*270271*1297297

例4
C8 = 543621372928979316139273583237761
   = (271*2593*270271*1297297) * (421*1093*66529*72073)
C4a = 246382960851387361 = 271*2593*270271*1297297
C4b = 2206408150346401 = 421*1093*66529*72073

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-12 19:03
设 (m+1, 2m+1, 3m+1) 与 (6m+1, 12m+1, 18m+1) 都是质数，

且 m=36k+6，

则 (m+1)(2m+1)(3m+1)*(6m+1)(12m+1)(18m+1) 必是 卡迈克尔数。


设 (m+1, 5m+1, 12m+1) 与 (2m+1, 6m+1, 40m+1) 都是质数，

且 m=840k+126 或 m=840k+726，

则 (m+1)(5m+1)(12m+1)*(2m+1)(6m+1)(40m+1) 必是 卡迈克尔数。


设 (2m+1, 10m+1, 66m+1) 与 (5m+1, 30m+1, 55m+1) 都是质数，

且 m=330k+6，

则 (2m+1)(10m+1)(66m+1)*(5m+1)(30m+1)(55m+1) 必是 卡迈克尔数。

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-12 19:06
参数化的卡迈克尔数的公式

设 m=36k+6，且 4个因子均为质数，

则 (m+1)(2m+1)(3m+1)*(6m+1) 必是 卡迈克尔数，

则 (m+1)(2m+1)(3m+1)*(12m+1) 必是 卡迈克尔数，

则 (m+1)(2m+1)(3m+1)*(18m+1) 必是 卡迈克尔数。

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-12 20:35
证实存在 7个素因子的卡迈克尔数 = 两个卡迈克尔数的乘积 ！！！

5394826801 = (7*31*73) * (13*17*23*67)

20064165121 = (7*11*13*41) * (37*73*181)

84127131361 = (7*13*31*61) * (37*73*181)

96578912521 = (7*13*19*109) * (31*61*271)

416937760921 = (37*73*181) * (11*31*41*61)

12528180381601 = (17*37*53*73) * (41*241*521)


是否存在 8个素因子的卡迈克尔数 = 两个卡迈克尔数的乘积 ？？？？

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-15 12:18
前几年网上报道，有个要工者余建春发现了一个卡迈克尔数公式是：n=(6k+1)(18k+1)(54k^2+12k+1)，
被浙江大学的一位蔡教授充分肯定。simpley 仔细研究了他的公式后，发现可以找到无数类似的公式。如

(40K+3)(320K+17)(2560K^2+328K+11)

(1450K+4841)(8410K+28073)(6097250K^2+40709330K+67950697)

(50K+11)(10K+3)(250K^2+130K+17)

(150K+121)(90K+73)(6750K^2+10920K+4417)

(350K+481)(490K+673)(85750K^2+235620K+161857)

(450K+241)(810K+433)(182250K^2+195030K+52177)

(550K+911)(1210K+2003)(332750K^2+1101980K+912367)

(650K+271)(1690K+703)(549250K^2+457470K+95257)

(850K+4231)(2890K+14383)(1228250K^2+12226570K+30427237)

(950K+1841)(3610K+6993)(1714750K^2+6644680K+6437057)

(1050K+4261)(4410K+17893)(2315250K^2+18789330K+38121037)

(1150K+21)(5290K+93)(3041750K^2+109020K+977)

(1350K+11581)(7290K+62533)(4920750K^2+84422520K+362097337)

(1450K+4841)(8410K+28073)(6097250K^2+40709330K+67950697)

(18K+1)(6K+1)(54K^2+12K+1)

(54K+13)(54K+13)(1458K^2+702K+85)

(126K+271)(294K+631)(18522K^2+79590K+85501)

(162K+25)(486K+73)(39366K^2+11988K+913)

(198K+361)(726K+1321)(71874K^2+261822K+238441)

(234K+973)(1014K+4213)(118638K^2+986232K+2049625)

(306K+865)(1734K+4897)(265302K^2+1499196K+2117953)

(342K+2107)(2166K+13339)(370386K^2+4562850K+14052637)

(378K+277)(2646K+1933)(500094K^2+731808K+267721)

(414K+1585)(3174K+12145)(657018K^2+5029410K+9624913)

(486K+265)(4374K+2377)(1062882K^2+1157166K+314953)

(522K+2521)(5046K+24361)(1317006K^2+12718704K+30707041)

以上这些都是三个因数的公式，simpley 还可以找到无数个四个五个因数的公式。

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-15 20:18
设 (m+1, 2m+1, 5m+1, 10m+1) 与 (6m+1, 12m+1, 30m+1) 都是质数，

且 m=60k+6，

则 (m+1)(2m+1)(5m+1)(10m+1) * (6m+1)(12m+1)(30m+1) 必是 卡迈克尔数，

则 (m+1)(5m+1)(12m+1) * (2m+1)(6m+1)(10m+1)(30m+1) 必是 卡迈克尔数。

如 84127131361=(7*13*31*61) * (37*73*181) = 两个卡迈克尔数的乘积，

且 84127131361=(7*31*73) * (13*37*61*181) = 两个卡迈克尔数的乘积。

如 167322186003243570600968222134860395423562961=(359407*718813*1797031*3594061) * (2156437*4312873*10782181)

且 167322186003243570600968222134860395423562961=(359407*1797031*4312873) * (718813*2156437*3594061*10782181)



设 (m+1, 2m+1, 3m+1, 18m+1) 与 (5m+1, 10m+1, 45m+1) 都是质数，

且 m=90k+6，

则 (m+1)(2m+1)(3m+1)(18m+1)*(5m+1)(10m+1)(45m+1) 必是 卡迈克尔数。

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-15 22:38
Chernick 扩展公式 — 最小卡迈克尔数

n = 3 个素因子】
  最小 m = 1
  卡迈克尔数 = 1729
  因子 = 7 × 13 × 19

【n = 4 个素因子】
  最小 m = 1
  卡迈克尔数 = 63973
  因子 = 7 × 13 × 19 × 37

【n = 5 个素因子】
  最小 m = 380
  卡迈克尔数 = 26641259752490421121
  因子 = 2281 × 4561 × 6841 × 13681 × 27361

【n = 6 个素因子】
  最小 m = 380
  卡迈克尔数 = 1457836374916028334162241
  因子 = 2281 × 4561 × 6841 × 13681 × 27361 × 54721

【n = 7 个素因子】
  最小 m = 780320
  卡迈克尔数 = 24541683183872873851606952966798288052977151461406721
  因子 = 4681921 × 9363841 × 14045761 × 28091521 × 56183041 × 112366081 × 224732161

【n = 8 个素因子】
  最小 m = 950560
  卡迈克尔数 = 53487697914261966820654105730041031613370337776541835775672321
  因子 = 5703361 × 11406721 × 17110081 × 34220161 × 68440321 × 136880641 × 273761281 × 547522561

【n = 9 个素因子】
  最小 m = 950560
  卡迈克尔数 = 58571442634534443082821160508299574798027946748324125518533225605795841
  因子 = 5703361 × 11406721 × 17110081 × 34220161 × 68440321 × 136880641 × 273761281 × 547522561 × 1095045121

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-16 00:34
设 (m+1, 2m+1, 5m+1, 10m+1) 与 (6m+1, 12m+1, 30m+1, 60m+1) 都是质数，

且 m=60k+6，

则 (m+1)(2m+1)(5m+1)(10m+1) * (6m+1)(12m+1)(30m+1)(60m+1) = 两个卡迈克尔数的乘积，

则 (m+1)(5m+1)(12m+1) * (2m+1)(6m+1)(10m+1)(30m+1)(60m+1) = 两个卡迈克尔数的乘积，

则 (6m+1)(12m+1)(30m+1) * (m+1)(2m+1)(5m+1)(10m+1)(60m+1) = 两个卡迈克尔数的乘积。

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-16 14:59
设 m=6k，

若 m^2+1,  2m^2+1,  3m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(2m^2+1)(3m^2+1) 必是 卡迈克尔数。

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-16 16:50
设 m=10k+4 或 m=10k+6，

若 m^2+1,  2m^2+1,  5m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(2m^2+1)(5m^2+1) 必是 卡迈克尔数。

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-16 20:06
设 m=84k+6 或 m=84k+78，

若 m^2+1,  3m^2+1,  56m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(3m^2+1)(56m^2+1) 必是 卡迈克尔数。

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-17 06:27
设 m=42k+6 或 m=42k+36，

若 m^2+1,  2m^2+1,  12m^2+1,  21m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(2m^2+1)(12m^2+1)(21m^2+1) 必是 卡迈克尔数。

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-17 15:53
设 m=70k+6 或 m=70k+64，

若 m^2+1,  2m^2+1,  5m^2+1,  70m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(2m^2+1)(5m^2+1)(70m^2+1) 必是 卡迈克尔数。

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-17 15:53
设 m=90k+6 或 m=90k+84，

若 m^2+1,  2m^2+1,  45m^2+1,  60m^2+1 都是质数，

则 (m^2+1)(2m^2+1)(45m^2+1)(60m^2+1) 必是 卡迈克尔数。

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-18 08:14
设 m=510k+6 或 m=510k+504，

若 2m^2+1,  3m^2+1,  5m^2+1,  15m^2+1,  17m^2+1 都是质数，

则 (2m^2+1)(3m^2+1)(5m^2+1)(15m^2+1)(17m^2+1) 必是 卡迈克尔数。

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-18 12:11


人生三大劫：财劫，情劫，生离解，然后：必成佛道 ！

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-18 12:13
7个素因子的卡迈克尔数 = 3个素因子的卡迈克尔数 * 4个素因子的卡迈克尔数，

如 96578912521 = (7*13*19*109) * (31*61*271)，所有素因子均为6d+1型。


8个素因子的卡迈克尔数 = 3个素因子的卡迈克尔数 * 5个素因子的卡迈克尔数，

要求：所有素因子均为 6d+1 型，Kimi 是否能 找到几个例子 ？？？？

例1
C8 = 6306933889924826996567489761
   = (66529*99793*432433) * (19*37*811*1621*2377)
C3 = 2870978253343201 = 66529*99793*432433
C5 = 2196789154561 = 19*37*811*1621*2377

例2
C8 = 347880306759622545818130661441
   = (72073*96097*120121) * (19*43*2017*5281*48049)
C3 = 831957935608801 = 72073*96097*120121
C5 = 418146509420641 = 19*43*2017*5281*48049

例3
C8 = 7078661543894890516248235494900961
   = (108109*540541*648649) * (19*109*10531*25741*332641)
C3 = 37905326674094881 = 108109*540541*648649
C5 = 186745826114527681 = 19*109*10531*25741*332641

例4
C8 = 2786490466979681285779628312641
   = (540541*1621621*4324321) * (19*127*241*547*2311)
C3 = 3790494975615828481 = 540541*1621621*4324321
C5 = 735125751361 = 19*127*241*547*2311

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-18 13:11
8个素因子的卡迈克尔数 = 4个素因子的卡迈克尔数 * 4个素因子的卡迈克尔数，

要求：所有素因子均为 6d+1 型，Kimi 是否能 找到几个例子 ？？？？可以有吗 ？？？？

例1
C8 = 4145474179873464659020801
   = (43*547*7561*9241) * (79*1249*3121*8191)
C4a = 1643440518721 = 43*547*7561*9241
C4b = 2522436396481 = 79*1249*3121*8191

例2
C8 = 41628077509770693775764010081
   = (79*1249*3121*8191) * (163*379*432433*617761)
C4a = 2522436396481 = 79*1249*3121*8191
C4b = 16503122761725601 = 163*379*432433*617761

例3
C8 = 4066088249327878418523551241528961
   = (163*379*432433*617761) * (271*2593*270271*1297297)
C4a = 16503122761725601 = 163*379*432433*617761
C4b = 246382960851387361 = 271*2593*270271*1297297

例4
C8 = 543621372928979316139273583237761
   = (271*2593*270271*1297297) * (421*1093*66529*72073)
C4a = 246382960851387361 = 271*2593*270271*1297297
C4b = 2206408150346401 = 421*1093*66529*72073

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-18 13:18
是否存在 8个素因子的卡迈克尔数 = 两个卡迈克尔数的乘积 ？并且有两种不同的分拆方式 ？？

例1（最小的 双分拆 8素因子卡迈克尔数）
N = 39218375198807825413908500199133921
  = 163*379*2377*16633*216217*277993*432433*617761

分拆一（4+4）
N = (163*379*432433*617761) * (2377*16633*216217*277993)
  = 16503122761725601 * 2376421466715616321

分拆二（3+5）
N = (216217*277993*617761) * (163*379*2377*16633*432433)
  = 37131644585075041 * 1056198173742391681

例2
N = 38610448457205183805452289211975246401
  = 73*1171*5347*66529*99793*151201*432433*194594401

分拆一（3+5）
N = (66529*99793*432433) * (73*1171*5347*151201*194594401)
  = 2870978253343201 * 13448533931681311663201

分拆二（4+4）
N = (73*1171*5347*151201) * (66529*99793*432433*194594401)
  = 69110590348801 * 558676293493346446017601

例3
N = 8819897625708057066460592134761234830532001
  = 163*379*118801*432433*617761*3088801*7484401*194594401

分拆一（3+5）
N = (118801*3088801*7484401) * (163*379*432433*617761*194594401)
  = 2746420762657572001 * 3211415288447459052960001

分拆二（4+4）
N = (163*379*432433*617761) * (118801*3088801*7484401*194594401)
  = 16503122761725601 * 534438103203313391648966401

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-18 15:54
9个素因子的卡迈克尔数 = 3个素因子的卡迈克尔数 * 3个素因子的卡迈克尔数 * 3个素因子的卡迈克尔数，

例1
N = 90538128975031592128008078029861032320349766881
  = (66529*99793*432433) * (72073*96097*120121) * (108109*540541*648649)
C3a = 2870978253343201 = 66529*99793*432433
C3b = 831957935608801 = 72073*96097*120121
C3c = 37905326674094881 = 108109*540541*648649

例2
N = 9053722869404865918005515557890602177317854700481
  = (66529*99793*432433) * (72073*96097*120121) * (540541*1621621*4324321)
C3a = 2870978253343201 = 66529*99793*432433
C3b = 831957935608801 = 72073*96097*120121
C3c = 3790494975615828481 = 540541*1621621*4324321

例3
N = 141374605565107635677482717829544357717593012814448321
  = (96097*432433*4084081) * (123553*216217*2625481) * (656371*1969111*9189181)
C3a = 169716085176718081 = 96097*432433*4084081
C3b = 70137779436204481 = 123553*216217*2625481
C3c = 11876716472538677761 = 656371*1969111*9189181

例4
N = 1751508671143825689759237284786702259289453884433426081
  = (96097*432433*4084081) * (123553*216217*2625481) * (816817*1633633*110270161)
C3a = 169716085176718081 = 96097*432433*4084081
C3b = 70137779436204481 = 123553*216217*2625481
C3c = 147142209898425661921 = 816817*1633633*110270161


9个素因子的卡迈克尔数 = 4个素因子的卡迈克尔数 * 5个素因子的卡迈克尔数，

例1
N = 3610292307692396883036481
  = (43*547*7561*9241) * (19*37*811*1621*2377)
C4 = 1643440518721 = 43*547*7561*9241
C5 = 2196789154561 = 19*37*811*1621*2377

例2
N = 1054747974424110203081164321
  = (79*1249*3121*8191) * (19*43*2017*5281*48049)
C4 = 2522436396481 = 79*1249*3121*8191
C5 = 418146509420641 = 19*43*2017*5281*48049

例3
N = 3081889293607912923250174640861281
  = (163*379*432433*617761) * (19*109*10531*25741*332641)
C4 = 16503122761725601 = 163*379*432433*617761
C5 = 186745826114527681 = 19*109*10531*25741*332641

例4
N = 181122459218423982014383948321
  = (271*2593*270271*1297297) * (19*127*241*547*2311)
C4 = 246382960851387361 = 271*2593*270271*1297297
C5 = 735125751361 = 19*127*241*547*2311


9个素因子的卡迈克尔数 = 3个素因子的卡迈克尔数 * 6个素因子的卡迈克尔数，

例1
N = 31455016438189901107916923477921
  = (66529*99793*432433) * (19*31*79*397*1783*332641)
C3 = 2870978253343201 = 66529*99793*432433
C6 = 10956201567030721 = 19*31*79*397*1783*332641

例2
N = 43326653797049296866999504071774401
  = (72073*96097*120121) * (19*31*127*21841*24571*1297297)
C3 = 831957935608801 = 72073*96097*120121
C6 = 52077938009382885601 = 19*31*127*21841*24571*1297297

例3
N = 20567537703362979006507347918401
  = (108109*540541*648649) * (19*31*181*211*859*28081)
C3 = 37905326674094881 = 108109*540541*648649
C6 = 542602834693921 = 19*31*181*211*859*28081

例4
N = 18430727670359758177838222317629121
  = (540541*1621621*4324321) * (19*31*199*331*541*231661)
C3 = 3790494975615828481 = 540541*1621621*4324321
C6 = 4862353805749441 = 19*31*199*331*541*231661

---

作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-18 18:16
是否存在 9个素因子的卡迈克尔数 = 两个卡迈克尔数的乘积 ？并且有两种不同的分拆方式 ？？

例1（4+5 与 3+6 双分拆）
N = 2789987203657877406282581090230702081
  = 199*421*1093*23167*23761*66529*72073*96097*120121

分拆一（4+5）
N = (421*1093*66529*72073) * (199*23167*23761*96097*120121)
  = 2206408150346401 * 1264492792604965603681

分拆二（3+6）
N = (72073*96097*120121) * (199*421*1093*23167*23761*66529)
  = 831957935608801 * 3353519552182949429281

例2（4+5 与 3+6 双分拆）
N = 140246659764577195950187264754865147841
  = 199*4621*9241*23167*23761*36037*72073*96097*120121

分拆一（4+5）
N = (4621*9241*36037*72073) * (199*23167*23761*96097*120121)
  = 110911395133899361 * 1264492792604965603681

分拆二（3+6）
N = (72073*96097*120121) * (199*4621*9241*23167*23761*36037)
  = 831957935608801 * 168574219635213939587041

例3（两种不同的 4+5 分拆）
N = 160388716420554107462919949518832321
  = 163*379*1093*2377*8737*16633*25741*432433*617761

分拆一（4+5）
N = (163*379*432433*617761) * (1093*2377*8737*16633*25741)
  = 16503122761725601 * 9718688925500274721

分拆二（4+5）
N = (1093*8737*25741*617761) * (163*379*2377*16633*432433)
  = 151854756434821441 * 1056198173742391681

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-18 18:18
10个素因子的卡迈克尔数 = 3个素因子的卡迈克尔数 * 3个素因子的卡迈克尔数 * 4个素因子的卡迈克尔数，

例1
N = 3925412143946591773794095422858607946270721
  = (66529*99793*432433) * (72073*96097*120121) * (43*547*7561*9241)
C3a = 2870978253343201 = 66529*99793*432433
C3b = 831957935608801 = 72073*96097*120121
C4  = 1643440518721 = 43*547*7561*9241

例2
N = 6024922928628578439411173683193240291268481
  = (66529*99793*432433) * (72073*96097*120121) * (79*1249*3121*8191)
C3a = 2870978253343201 = 66529*99793*432433
C3b = 831957935608801 = 72073*96097*120121
C4  = 2522436396481 = 79*1249*3121*8191

例3
N = 178848020168077207290378838822281478967150401
  = (66529*99793*432433) * (108109*540541*648649) * (43*547*7561*9241)
C3a = 2870978253343201 = 66529*99793*432433
C3b = 37905326674094881 = 108109*540541*648649
C4  = 1643440518721 = 43*547*7561*9241

例4
N = 12069973453748547706639927719378691864200013542241
  = (66529*99793*432433) * (108109*540541*648649) * (4621*9241*36037*72073)
C3a = 2870978253343201 = 66529*99793*432433
C3b = 37905326674094881 = 108109*540541*648649
C4  = 110911395133899361 = 4621*9241*36037*72073


10个素因子的卡迈克尔数 = 5个素因子的卡迈克尔数 * 5个素因子的卡迈克尔数，

例1
N = 806554041147262860120789121
  = (19*37*811*1621*2377) * (31*61*2161*2971*30241)
C5a = 2196789154561 = 19*37*811*1621*2377
C5b = 367151321496961 = 31*61*2161*2971*30241

例2
N = 153523043513129795284952172001
  = (19*43*2017*5281*48049) * (31*61*2161*2971*30241)
C5a = 418146509420641 = 19*43*2017*5281*48049
C5b = 367151321496961 = 31*61*2161*2971*30241

例3
N = 68563976841990527861918391877441
  = (19*109*10531*25741*332641) * (31*61*2161*2971*30241)
C5a = 186745826114527681 = 19*109*10531*25741*332641
C5b = 367151321496961 = 31*61*2161*2971*30241

例4
N = 269902391078637526403113921
  = (19*127*241*547*2311) * (31*61*2161*2971*30241)
C5a = 735125751361 = 19*127*241*547*2311
C5b = 367151321496961 = 31*61*2161*2971*30241


10个素因子的卡迈克尔数 = 4个素因子的卡迈克尔数 * 6个素因子的卡迈克尔数，

例1
N = 891735484108862543505395041
  = (43*547*7561*9241) * (19*31*181*211*859*28081)
C4 = 1643440518721 = 43*547*7561*9241
C6 = 542602834693921 = 19*31*181*211*859*28081

例2
N = 18005865586532801171982627841
  = (43*547*7561*9241) * (19*31*79*397*1783*332641)
C4 = 1643440518721 = 43*547*7561*9241
C6 = 10956201567030721 = 19*31*79*397*1783*332641

例3
N = 146359577790385302582439201
  = (43*547*7561*9241) * (19*79*157*181*1171*1783)
C4 = 1643440518721 = 43*547*7561*9241
C6 = 89056814726881 = 19*79*157*181*1171*1783

例4
N = 481968437161231950359189761
  = (43*547*7561*9241) * (19*67*157*271*631*8581)
C4 = 1643440518721 = 43*547*7561*9241
C6 = 293267953218241 = 19*67*157*271*631*8581


10个素因子的卡迈克尔数 = 3个素因子的卡迈克尔数 * 7个素因子的卡迈克尔数，

例1
N = 3925412143946591773794095422858607946270721
  = (66529*99793*432433) * (43*547*7561*9241*72073*96097*120121)
C3 = 2870978253343201 = 66529*99793*432433
C7 = 1367273381250980232372863521 = 43*547*7561*9241*72073*96097*120121

例2
N = 178848020168077207290378838822281478967150401
  = (66529*99793*432433) * (43*547*7561*9241*108109*540541*648649)
C3 = 2870978253343201 = 66529*99793*432433
C7 = 62295149731563448943810767201 = 43*547*7561*9241*108109*540541*648649

例3
N = 17884624176296529104797750533707923134587796001
  = (66529*99793*432433) * (43*547*7561*9241*540541*1621621*4324321)
C3 = 2870978253343201 = 66529*99793*432433
C7 = 6229453028935421405232805492801 = 43*547*7561*9241*540541*1621621*4324321

例4
N = 6024922928628578439411173683193240291268481
  = (72073*96097*120121) * (79*1249*3121*8191*66529*99793*432433)
C3 = 831957935608801 = 72073*96097*120121
C7 = 7241860039738339421401675681 = 79*1249*3121*8191*66529*99793*432433

有意思的是：这里的 C7 = 两个卡迈克尔数的乘积，

所以这些 N 同时兼具：10 = 3 * 7 和 10 = 3 * (3 * 4) 两种不同的分拆方式。

---

作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-18 18:19
是否存在 10个素因子的卡迈克尔数 = 两个卡迈克尔数的乘积 ？并且有两种不同的分拆方式 ？？？？

类型一：4 种分拆方式（两种3+7，两种4+6）

N = 2014399835982717990242168544555837782792946991468321
  = 2269*7561*8317*66529*99793*432433*540541*1297297*1621621*4324321

分拆1（3+7）: (66529*99793*432433) * (2269*7561*8317*540541*1297297*1621621*4324321)
  = 2870978253343201 * 701642317783837857979218071025741121

分拆2（3+7）: (540541*1621621*4324321) * (2269*7561*8317*66529*99793*432433*1297297)
  = 3790494975615828481 * 531434508933874917972801012452641

分拆3（4+6）: (2269*7561*8317*1297297) * (66529*99793*432433*540541*1621621*4324321)
  = 185105724264901441 * 10882428644399710517655351643507681

分拆4（4+6）: (432433*540541*1297297*1621621) * (2269*7561*8317*66529*99793*4324321)
  = 491740799472344388526561 * 4096466752696220568878372161

类型二：两种不同的 5+5 分拆

N = 13356580255947768358117079760227126886393285601
  = 5281*7393*8317*21061*23167*45361*51481*72073*270271*1853281

分拆1（5+5）: (5281*7393*8317*21061*45361) * (23167*51481*72073*270271*1853281)
  = 310216707031800048481 * 43055644500083603735867521

分拆2（5+5）: (5281*7393*23167*270271*1853281) * (8317*21061*45361*51481*72073)
  = 453051313870384009740961 * 29481385103694958674241

类型三：4+6 与 5+5 双分拆

N = 824906498112295473518874025533340783820641
  = 313*5281*7393*8317*21061*21841*26209*45361*120121*123553

分拆1（4+6）: (8317*21061*45361*123553) * (313*5281*7393*21841*26209*120121)
  = 981706360459144321 * 840278245448553973981921

分拆2（5+5）: (313*21841*26209*120121*123553) * (5281*7393*8317*21061*45361)
  = 2659129825743830799361 * 310216707031800048481

类型四：3+7 与 5+5 双分拆

N = 913167546501014199003549106284032498522178241
  = 157*313*3169*6553*21061*28513*393121*540541*1621621*4324321

分拆1（3+7）: (540541*1621621*4324321) * (157*313*3169*6553*21061*28513*393121)
  = 3790494975615828481 * 240909842217283260430368961

分拆2（5+5）: (157*313*393121*540541*4324321) * (3169*6553*21061*28513*1621621)
  = 45156138800535398956321 * 20222445292204370735521

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-19 08:38
求 6个素因子的卡迈克尔数，且每个素因子均为 36k+1 的形式。

例 1（33 位）

C = 1297 * 2593 * 3889 * 567649 * 19867681 * 854310241.

例 2（33 位）

C = 1297 * 2593 * 3889 * 567649 * 60170689 * 361024129.

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-19 08:53
求 7个素因子的卡迈克尔数，且每个素因子均为 36k+1 的形式。

例 1（43 位）
C = 1297 * 2593 * 3889 * 567649 * 19867681 * 854310241 * 8543102401.

例 2（43 位）
C = 1297 * 2593 * 3889 * 567649 * 19867681 * 854310241 * 25629307201.

例 3（43 位）
C = 1297 * 2593 * 3889 * 567649 * 19867681 * 854310241 * 64073268001.

这三个例子：前六个素因子竟然是：完全相同。

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-19 09:08
求 8个素因子的卡迈克尔数，且每个素因子均为 36k+1 的形式。

8 个例子（仅第 8 个素因子不同）

C1 = 1297 * 2593 * 3889 * 567649 * 19867681 * 854310241 * 8543102401 * 68344819201.
C2 = 1297 * 2593 * 3889 * 567649 * 19867681 * 854310241 * 8543102401 * 700534396801.
C3 = 1297 * 2593 * 3889 * 567649 * 19867681 * 854310241 * 8543102401 * 2451870388801.
C4 = 1297 * 2593 * 3889 * 567649 * 19867681 * 854310241 * 8543102401 * 4903740777601.
C5 = 1297 * 2593 * 3889 * 567649 * 19867681 * 854310241 * 8543102401 * 19614963110401.
C6 = 1297 * 2593 * 3889 * 567649 * 19867681 * 854310241 * 8543102401 * 4520446056527873018299201.
C7 = 1297 * 2593 * 3889 * 567649 * 19867681 * 854310241 * 8543102401 * 508642968793126133600323201.
C8 = 1297 * 2593 * 3889 * 567649 * 19867681 * 854310241 * 8543102401 * 20854361720518171477613251201.

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-19 09:21
求 9个素因子的卡迈克尔数，且每个素因子均为 36k+1 的形式。

主族 10 个例子，

设 S = 1297 * 2593 * 3889 * 567649 * 19867681 * 854310241 * 8543102401 * 68344819201 是前 8个素因子的乘积，

C1 = S * 205034457601.
C2 = S * 11345239987201.
C3 = S * 36947619328435201.
C4 = S * 114802483430476801.
C5 = S * 1262827317735244801.
C6 = S * 1888247272648665601.
C7 = S * 1723969759928231692801.
C8 = S * 23892258015652650921302121514981339081682918401.
C9 = S * 330509569216528337744679347623908523963280371201.
C10 = S * 1114808776967350083212803439535443451328144692057601.

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作者: 蔡家雄    时间: 2026-7-19 10:09
求 10 个素因子的卡迈克尔数，且每个素因子均为 36k+1 的形式。

设 S = 1297 * 2593 * 3889 * 567649 * 19867681 * 854310241 * 8543102401 * 68344819201 是前 8个素因子的乘积，

如下是 39 个例子的前 34 个例子，

C1 = S * 205034457601 * 5809241287180801.

C2 = S * 11345239987201 * 181523839795201.
C3 = S * 11345239987201 * 49216286397912883201.
C4 = S * 11345239987201 * 27249002007424394803201.
C5 = S * 11345239987201 * 2975075296467435876556801.
C6 = S * 11345239987201 * 5950150592934871753113601.
C7 = S * 11345239987201 * 6279030803985991084440323481601.
C8 = S * 11345239987201 * 12558061607971982168880646963201.
C9 = S * 11345239987201 * 5301476058244096965499019509937155799222476801.
C10 = S * 11345239987201 * 359345312864408661027575227799999036527372825267201.
C11 = S * 11345239987201 * 795817959318121983677432065723061364566112453910348801.
C12 = S * 11345239987201 * 3452302873327734980023786237302320690924211527360512073932801.

C13 = S * 36947619328435201 * 2525548586368162051846195201.
C14 = S * 36947619328435201 * 17810155541038401357488179201.
C15 = S * 36947619328435201 * 480230510944954759394744908801.
C16 = S * 36947619328435201 * 718047558010384441527573218995201.
C17 = S * 36947619328435201 * 829044930279796544789717253580801.
C18 = S * 36947619328435201 * 1092288138988387159881422453024870401.
C19 = S * 36947619328435201 * 3544866596315143670612033350015113864038401.
C20 = S * 36947619328435201 * 28334616543107429035525369902228653758310401.
C21 = S * 36947619328435201 * 692252379258740168432562869724143277003878401.
C22 = S * 36947619328435201 * 4958976501742598197648639622460618573633992585395201.

C23 = S * 1262827317735244801 * 5051309270940979201.
C24 = S * 1262827317735244801 * 19999613437271722359705601.
C25 = S * 1262827317735244801 * 568013821273948063300070401.
C26 = S * 1262827317735244801 * 1704041463821844189900211201.
C27 = S * 1262827317735244801 * 7384179676561324822900915201.
C28 = S * 1262827317735244801 * 3972555779637591207696775527854882976558505284084715066598401.

C29 = S * 114802483430476801 * 77376873832141363201.
C30 = S * 114802483430476801 * 12783489888302845909608499201.
C31 = S * 114802483430476801 * 280262174751081153623244709986328655613270813423363058022401.
C32 = S * 114802483430476801 * 531001182725713105603684710166975805961642179141891135155201.

C33 = S * 1888247272648665601 * 251136887262272524801.
C34 = S * 1888247272648665601 * 102440051774961184467350899201.

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作者: cz1    时间: 2026-7-26 18:52
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