数学中国

标题: 解不等式 (sinx)^3-(sinx)^2-sinx+1≥0 [打印本页]

作者: 波斯猫猫 时间: 2026-9-3 15:31
标题: 解不等式 (sinx)^3-(sinx)^2-sinx+1≥0
题：解不等式(sinx)^3-(sinx)^2-sinx+1≥0(原创).

作者: luyuanhong 时间: 2026-9-4 00:07
题解不等式 (sinx)^3-(sinx)^2-sinx+1 ≥ 0 。

解  对不等式左侧作因式分解，得

(sinx)^3-(sinx)^2-sinx+1 = (sinx)^2 (sinx-1)-(sinx-1)

   = [(sinx)^2-1](sinx-1) = (sinx+1)(sinx-1)(sinx-1)

                        = (sinx+1)(sinx-1)^2  。

因为对任何实数 x ，都有 sinx ≥ -1 ，即有 sinx+1 ≥ 0 ，又有 (sinx-1)^2 ≥ 0 ，所以恒有

                  (sinx)^3-(sinx)^2-sinx+1 = (sinx+1)(sinx-1)^2 ≥ 0 。

可见，不等式对任何 x 都成立，不等式的解是全体实数，即 x∈(-∞,+∞) 。

作者: 波斯猫猫 时间: 2026-9-4 09:15
当然，也可(sinx)^3-(sinx)^2-sinx+1
=(cosx)^2-sinx(cosx)^2
=(1-sinx)(cosx)^2 ≥ 0，即x∈R.

解不等式 (sinx)^3-(sinx)^2-sinx+1 ≥ 0，
实为"比较(sinx)^3+(cosx)^2与sinx的大小
的改编".结论为(sinx)^3+(cosx)^2≥sinx.

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