数学中国

标题: 在圆周上任取三点 A,B,C ，求 A,B,C 三点落在同一半圆周内的概率 [打印本页]

作者: luyuanhong 时间: 2014-10-21 21:16
标题: 在圆周上任取三点 A,B,C ，求 A,B,C 三点落在同一半圆周内的概率
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

在半徑為1的圓周上任取三點ABC, 求 ABC三點可落在同一半圓周內的機率?

作者: luyuanhong 时间: 2014-10-21 23:36
[attach]32224[/attach]

[attach]32225[/attach]

作者: 水无月 时间: 2016-6-6 19:39
P=【（2π-x）在（0，π）积分】/π=0.75

作者: 水无月 时间: 2016-6-6 19:40

水无月发表于 2016-6-6 19:39
P=【（2π-x）在（0，π）积分】/π=0.75

“π”是pai

作者: dodonaomiki 时间: 2016-6-6 22:47
本帖最后由 dodonaomiki 于 2016-6-6 15:40 编辑

从上面两位老师的解答来看，
我的思路和方向，肯定出错啦！因为，我的计算结果，不是3/4

但，我检查了好几遍，
始终发现不辽自己的错误！
一直觉得，
是7/16，
哪位大侠，可以指出一下我的错误？谢谢~~~

作者: luyuanhong 时间: 2016-6-7 06:57

dodonaomiki 发表于 2016-6-6 22:47
从上面两位老师的解答来看，
我的思路和方向，肯定出错啦！因为，我的计算结果，不是3/4

举个简单的例子：

设 A 在区域 1 中 11 点钟的位置，B 在区域 2 中 1 点钟的位置，C 在区域 4 中 4 点钟的位置。

这时，A,B,C 显然在同一半圆周内，但是按照楼上的做法，却没有把这种情况计算进去。

作者: dodonaomiki 时间: 2016-6-7 11:58

:Dlaoshi
老师，我知道我错在哪里啦~~~实际上就是，我没有细化
进一步的说，我的思路和方法，是行不通的！

另外，原来老师的方法，是极其简单的、

;P简洁的，很好的，现在，也看懂啦！

作者: 王守恩 时间: 2016-10-10 08:38
标题: q
本帖最后由王守恩于 2016-10-15 14:28 编辑

在半径为R的圆周上任取两点，则两点落在同一半圆周内的概率是1/2；
在半径为R的圆周上任取三点，则三点落在同一半圆周内的概率是3/4＝1/2+1/4；
在半径为R的圆周上任取四点，则四点落在同一半圆周内的概率是7/8＝1/2+1/4+1/8；
在半径为R的圆周上任取五点，则五点落在同一半圆周内的概率是15/16＝1/2+1/4+1/8+1/16;
。。。。。。
各位网友，我的想法不太成熟，希望大家批评。

求概率的题目，答案不可能是1。

作者: 王守恩 时间: 2016-10-15 06:27

王守恩发表于 2016-10-10 08:38
在半径为R的圆周上任取两点，则两点落在同一半圆周内的概率是1/2；
在半径为R的圆周上任取三点，则三点落 ...

我用的是加法原理。
一件工作，
第1个人完成全部的1/2，
第2个人完成剩下的1/2，
第3个人完成再剩下的1/2，
第4个人完成再再剩下的1/2，

作者: 天山草 时间: 2016-10-17 09:13
本帖最后由天山草于 2016-10-17 10:06 编辑

我用 VB 语言编写了一个小程序，用产生随机数的方法模拟每次的试验，试验次数累计到 1 亿次，求得概率为 0.74999832（理论概率是0.75）。
程序如下：

   Private Sub form_Click()
   Randomize    '启动随机数发生器
   n = 0
   For i = 1 To 1000000 ' 试验次数
   b1 = 360 * Rnd  '产生三个 1 至 360 之间的随机数
   b2 = 360 * Rnd
   b3 = 360 * Rnd
   If b1 <= b2 And b1 <= b3 And b2 <= b3 Then a1 = b2 - b1: a2 = b2 - b3
   If b1 <= b3 And b1 <= b2 And b3 <= b2 Then a1 = b3 - b1: a2 = b3 - b2
   If b2 <= b1 And b2 <= b3 And b1 <= b3 Then a1 = b1 - b2: a2 = b1 - b3
   If b2 <= b3 And b2 <= b1 And b3 <= b1 Then a1 = b3 - b2: a2 = b3 - b1
   If b3 <= b1 And b3 <= b2 And b1 <= b2 Then a1 = b1 - b3: a2 = b1 - b2
   If b3 <= b2 And b3 <= b1 And b2 <= b1 Then a1 = b2 - b3: a2 = b2 - b1

   If a1 <= 180 And -a2 <= 180 And a1 + (-a2) <= 180 Then n = n + 1  '三个点同在半圆内的情况一
   If a1 >= 180 And -a2 >= 180 And (360 - a1) + (360 + a2) <= 180 Then n = n + 1 '三个点同在半圆内的情况二
   If a1 >= 180 And -a2 <= 180 Then n = n + 1 '三个点同在半圆内的情况三
   If a1 <= 180 And -a2 >= 180 Then n = n + 1 '三个点同在半圆内的情况四
Next i
Print "s="; n / (i - 1)
End Sub

说明一下编程思路——
假定这圆周内部是一个圆盘，游戏者每次往盘上投掷三枚飞镖。
从圆盘中心向这三枚飞镖引三条射线，与圆周交于三点。这三点位于同一半圆圆周上的概率即为所求。
每试验一次，程序就产生三个 1 至 360 的随机数 b1，b2，b3，代表三枚飞镖的角度，将这三个角度同步旋转，使中间值角度到达 0 度位置，此时最大角度算是正角度，最小角度算是负角度。程序中将正角度记为 a1，负角度记为 a2，那个中间值角度 a0=0 不必要在程序中出现。
每试验一次，就把三枚飞镖是否落在同一半圆内的次数进行统计，最后算算总账，即得概率。
编程难点是，如何考虑 a0，a1，a2 是位于同一半圆内？如果对各种情况漏掉或多算，就出错了。我考虑的四种情况是：
（1）如果 a1，a2 都在第一、第二象限中，则 a0，a1，a2 位于同一半圆内；
（2）如果 a1，a2 都在第三、第四象限中，则 a0，a1，a2 位于同一半圆内；
（3）如果 a1 在一、二象限中，而 a2 在三、四象限中，就要计算 a1a0a2 圆弧是否小于半圆，是，则 a0，a1，a2 位于同一半圆内；
（4）如果 a2 在一、二象限中，而 a1 在三、四象限中，就要计算 a1a0a2 圆弧是否小于半圆，是，则 a0，a1，a2 位于同一半圆内。

作者: luyuanhong 时间: 2016-10-17 11:08
谢谢楼上天山草的编程解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

作者: 王江 时间: 2018-7-31 14:15

luyuanhong 发表于 2014-10-21 23:36

作者: 王江 时间: 2018-7-31 14:16

天山草发表于 2016-10-17 09:13
我用 VB 语言编写了一个小程序，用产生随机数的方法模拟每次的试验，试验次数累计到 1 亿次，求得概率为 0. ...

作者: 王江 时间: 2018-7-31 14:18

作者: EMROF 时间: 2018-8-12 20:52
bilibili av17275211
3b1b的中国官方账号。这个视频讲了一个球面任取四点，球心落于其形成的四面体的概率，弱化形式为一个圆任取三点，圆心落于其中的概率。而不包含圆心与本题落在同一半圆等价。

作者: markfang2050 时间: 2019-3-1 18:13
在半径为1cm的圆周上任取24点，则24个点落在同一3/7圆周内的概率是多少？

作者: markfang2050 时间: 2019-3-1 18:18
本帖最后由 markfang2050 于 2019-5-3 13:31 编辑

python3.6求随机5点共半圆的概率.10000次实验随机5点共半圆的概率是：5/16=0.310700

#编程难点：如何考虑 a1，a2，a3 ,a4,a5是位于同一半圆内？考虑的5种情况：
#（1）如果 a1a2 弧长与a2a3 ，a3a4,a4a5弧长之和小于半圆弧长，则a1，a2，a3 ,a4,a5 位于同一半圆内；
#（2）如果 a1a2 弧长与a2a3 ，a3a4,a4a5弧长之和大于半圆弧长且a1a2 弧长大于半圆弧长，则a1，a2，a3 ,a4,a5 位于同一半圆内；
#（3）如果 a1a2 弧长与a2a3 ，a3a4,a4a5弧长之和大于半圆弧长且a1a2 弧长小于半圆弧长,a2a3大于半圆弧长，则a1，a2，a3 ,a4,a5 位于同一半圆内；
#（4）如果 a1a2 弧长与a2a3 ，a3a4,a4a5弧长之和大于半圆弧长且a1a2 ,a2a3弧长小于半圆弧长,a3a4大于半圆弧长，则a1，a2，a3 ,a4,a5 位于同一半圆内；
#（5）如果 a1a2 弧长与a2a3 ，a3a4,a4a5弧长之和大于半圆弧长且a1a2 ，a2a3,a3a4弧长小于半圆弧长,a4a5大于半圆弧长，则a1，a2，a3 ,a4,a5 位于同一半圆内；

作者: markfang2050 时间: 2019-3-1 18:19
10000次实验随机4点共半圆的概率是：0.499400

作者: markfang2050 时间: 2019-3-1 18:19
#10000次实验随机3点共半圆的概率是：0.754900

作者: markfang2050 时间: 2019-3-1 18:24

王守恩发表于 2016-10-10 08:38
在半径为R的圆周上任取两点，则两点落在同一半圆周内的概率是1/2；
在半径为R的圆周上任取三点，则三点落 ...

#10000次实验随机5点共半圆的概率是：5/16=0.310700

作者: markfang2050 时间: 2019-3-1 19:03

王守恩发表于 2016-10-10 08:38
在半径为R的圆周上任取两点，则两点落在同一半圆周内的概率是1/2；
在半径为R的圆周上任取三点，则三点落 ...

n*(1/2)^(n-1);n为随机点数。n大于等于3.

作者: markfang2050 时间: 2019-3-1 19:11

王守恩发表于 2016-10-10 08:38
在半径为R的圆周上任取两点，则两点落在同一半圆周内的概率是1/2；
在半径为R的圆周上任取三点，则三点落 ...

1在半径为R的圆周上任取两点，则两点落在同一半圆周内的概率是1；
2在半径为R的圆周上任取三点，则三点落在同一半圆周内的概率是3/4＝1/2+1/4；
3在半径为R的圆周上任取四点，则四点落在同一半圆周内的概率是：0.499400=1/2
4在半径为R的圆周上任取五点，则五点落在同一半圆周内的概率是：5/16
5在半径为R的圆周上任取6点，则五点落在同一半圆周内的概率是：6*(1/2)^(6-1)=3/16
，
，
，
在半径为R的圆周上任取n点，则五点落在同一半圆周内的概率是n*(1/2)^(n-1);n为随机点数,1/2为圆周比例

作者: bieopi 时间: 2020-12-15 17:05
人类的思维缺失让我心痛香菇。如果有人说连个点在同半圆概率是1/2，其思维无法真正弥补，智者说1属于有点天赋的鉴赏专家，估计也只是标准答案。但别忘了后者只是将通过圆心的直径旋转相应的角度，其取直径的范围已经受到DNA的限制。而寡人意识到只有全面的旋转才能算出极好的结果，看起来不至于如此糟糕。

如果您有一个疑问，那将是什么？

作者: 陳全億 时间: 2021-2-28 19:58
本帖最后由陳全億于 2021-2-28 22:15 编辑

我對於本題目的理解為:再圓周上任取三點，可以找出一條過圓心的直線，使得三個點在直線同一側的機率為何?
若是如此，則計算很簡單:
先任意點一點A，之後再任意找一點B點，令兩者距離(此距離為在圓周上移動的最小距離)為N，若第三點C位於A，B正對面距離為N的範圍，則無法找出一條過圓心的直線，使得三個點在直線同一側，而C點出現於圓周上的任一點機率相同，故可以找出一條過圓心的直線，使得三個點在直線同一側的機率為1-N/(2*pi)，而A，B距離從0到pi(不包含0和pi)每個數字的出線機率相等，而A，B距離為0和pi的機率則為其他的一半，而A，B距離為N和A，B距離為pi-N兩者機率相加為2/3，平均為3/4，又每一個N又有相對應之pi-N，總機率為3/4。

作者: 玉树临风 时间: 2021-10-27 20:54
本帖最后由玉树临风于 2021-10-28 13:37 编辑

可以用一个圆请一百个人在上面取点，将数据汇总检验。

概率不受圆弧影响，可以看做直线，概率的变化率不变的情况下可以取平均值。

（π-x）/（π+x），在区间（0，π）的平均值怎么求？

作者: 玉树临风 时间: 2021-10-27 21:11
编程验证概率是不够准确的，计算机摸拟的概率受硬件影响大

作者: 玉树临风 时间: 2021-10-27 22:36

天山草发表于 2016-10-17 09:13
我用 VB 语言编写了一个小程序，用产生随机数的方法模拟每次的试验，试验次数累计到 1 亿次，求得概率为 0. ...

计算机的随机事件模拟受硬件的影响，会有微小的趋势，而且这一趋势会随着取样的增加而更加明显，所以编程计算随机概率不宜使用过大的样本，取样越大，误差越大

作者: sandii 时间: 2022-4-21 18:25

水无月发表于 2016-6-6 19:39
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错了吧

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