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标题: 基于偶数哥猜哈-李素对计算公式改进的偶数素对计算式 Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2 [打印本页]

作者: 愚工688 时间: 2018-11-7 23:18
标题: 基于偶数哥猜哈-李素对计算公式改进的偶数素对计算式 Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2
本帖最后由愚工688 于 2019-1-28 08:10 编辑

偶数哥猜的哈-李公式是个渐近式，它首创使用的拉曼扭扬系数来体现偶数可分成的素对数量的波动性，首创使用素数定理原理用于偶数的素对数量的计算等等。因此在哥德巴赫猜想问题上，哈代等先驱们作出了创造性的前瞻性的巨大贡献，直至现在仍然在哥猜领域得到普遍的使用。
偶数猜想哈-李公式：
H-l (N)~ 2C(N)*N/(lnN)^2, ------  {式1}
式中的C(N)，即为著名的拉曼扭扬系数。
{式1}对于素数对的表示方法采用双记法，即把3+5与5+3 这样的素对看作2对。
若规定素数p1≤p2,那么素数对{p1+p2}的数量的表示方法即为单记法。
此时偶数猜想单记哈-李公式则为：H-l (N)~ C(N)*N/(lnN)^2, ---  {式2}

通常在小偶数的情况下，{式2}对大多数偶数的素对计算值的相对误差是比较大，随着偶数N的增大，计算值的相对误差会逐渐地缩小。
广东省的陈君佐老师对于哈代—李德伍特的素数计算式进行了研究，依据素数定理，引入了π(N):
素数定理：
在x→∞时，x内的素数数量 π(x) =x/ln(x) ；
两边平方有： π(x)^2=x^2/(ln(x))^2,
两边除以 x ,则有 π(x)^2/x = x/(ln(x))^2;
把x用偶数N替换，则有 π(N)^2/N = N/(lnN)^2 ；------  {式3}
把这个等值关系引入哈-李公式（2），则得出陈君佐的素对计算式
Zuo(N) ~ C(N)* π(N)^2/N . ------- {式4}
此式最早是发表在91年的北京电子报。
因为{式3} 是基于x→∞时成立的，实际我们计算偶数的素对，是在非无穷大的情况，π(N)是真值，而 N/(lnN)只是近似于真值，因此{式4}比较单记的偶数哈李公式{式2}，计算值的精度有了明显的提高。


通常对于大偶数的计算，使用对数计算式带来了计算方面的便利，而 Zuo(N) 式子，由于含有了不能计算的因子π(N),对大偶数的计算显得比较困难。
因此只要解决了偶数哥猜的哈-李公式的偏差比较大的问题，用适当的参数进行修正，那么就同样能够对偶数的素对数量进行比较高精度的计算，而由于不含有需要计数统计的π(N)，而计算就比较的容易，计算速度比较 {式4}有很大的提高。
我对于单记的偶数哥猜哈-李公式的误差进行了分区分析统计，发现了随着偶数的增大，相近偶数间的相对误差值趋于相近；相对误差值逐渐趋于缩小。
比如：50亿附近的连续偶数猜想哈-李公式计算值实例如下（双记）：
D( 5000000000 )= 9703556 Dh(m)= 1.764872E+07 δh(m)=-.09061
D( 5000000002 )= 7278155 Dh(m)= 1.323654E+07 δh(m)=-.09067
D( 5000000004 )= 1.469503E+07 Dh(m)= 2.67252E+07 δh(m)=-.09067
D( 5000000006 )= 7281567 Dh(m)= 1.323922E+07 δh(m)=-.09091
D( 5000000008 )= 7308988 Dh(m)= 1.329192E+07 δh(m)=-.09071
D( 5000000010 )= 1.990447E+07 Dh(m)= 3.620439E+07 δh(m)=-.09055
D( 5000000012 )= 8836777 Dh(m)= 1.607994E+07 δh(m)=-.09017
D( 5000000014 )= 7289472 Dh(m)= 1.32527E+07 δh(m)=-.09097
D( 5000000016 )= 1.725261E+07 Dh(m)= 3.13755E+07 δh(m)=-.0907
D( 5000000018 )= 7960799 Dh(m)= 1.4481E+07 δh(m)=-.09048
D( 5000000020 )= 9952518 Dh(m)= 1.810125E+07 δh(m)=-.09062
D( 5000000022 )= 1.477314E+07 Dh(m)= 2.688035E+07 δh(m)=-.09023
D( 5000000024 )= 7786427 Dh(m)= 1.416268E+07 δh(m)=-.09055
D( 5000000026 )= 9056088 Dh(m)= 1.647213E+07 δh(m)=-.09055
D( 5000000028 )= 1.459027E+07 Dh(m)= 2.653942E+07 δh(m)=-.09051
D( 5000000030 )= 9701521 Dh(m)= 1.764872E+07 δh(m)=-.09042
D( 5000000032 )= 7487067 Dh(m)= 1.361472E+07 δh(m)=-.09078
D( 5000000034 )= 1.460001E+07 Dh(m)= 2.654981E+07 δh(m)=-.09076
D( 5000000036 )= 7280351 Dh(m)= 1.324089E+07 δh(m)=-.09064
D( 5000000038 )= 8526110 Dh(m)= 1.550726E+07 δh(m)=-.0906
D( 5000000040 )= 2.365619E+07 Dh(m)= 4.301188E+07 δh(m)=-.0909
D( 5000000042 )= 7283404 Dh(m)= 1.324828E+07 δh(m)=-.09052
D( 5000000044 )= 8286624 Dh(m)= 1.507291E+07 δh(m)=-.09053
D( 5000000046 )= 1.455627E+07 Dh(m)= 2.647307E+07 δh(m)=-.09066
D( 5000000048 )= 7318099 Dh(m)= 1.330584E+07 δh(m)=-.0909
D( 5000000050 )= 1.035162E+07 Dh(m)= 1.88253E+07 δh(m)=-.09071
5000000000 - 5000000050 :
n= 26    μ=-.09063    σx= .00019       δ min=-.09097 δ max=-.09017

很显然，50亿后的连续偶数的计算值的相对误差差异主要体现在小数点后的万分位上，并且对相对误差的统计计算的均方差 σx= .00019  ，比较小，说明各个偶数的计算值的相对误差的分布范围很接近。

因此在哈-李公式的基础上使用一个容易计算的参数t1来对计算的相对误差的偏差进行修正，以提高速度计算值的计算精度，得出偶数素对计算式有：
   Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2 ; --------- {式5}

说明一下：
拉曼纽扬系数C（N）=C2A（N）*C2B（N）。
   式中：C2A（N）= PI(1-1/（P-1）^2）[这里P为大于“2”，N以内的全部素数]
            C2B（N）= PI((P-1)/(P-2))[这里P为大于“2”，能整除N的全部素数]
我计算式中的C1，是对拉曼纽扬系数C（N）的改进：
   C1(M)=C2A(M)× C2B(M),
   式中：C2A(M)= PI(1-1/（P-1）^2）[这里P为大于“2”，√M以内的全部素数]
            C2B(M)= PI((P-1)/(P-2))[这里P为大于“2”，能整除M的全部√M内的素数]
  在大偶数的计算中，改进后的C1(M)与拉曼纽扬系数C（N）值变动很小，偶数不含大于√M的因子时则相同，但是程序运行时间将大幅度减小。

式中的动态 t1修正参数计算式暂不公布，原因从下面例子中大家可以理解。—— 注：在46楼，动态 t1的解析式已经公布。
（比如有位童先生，把Zuo(N) -{式4}改为双记形式，命名为哈-李公式（B），命名为【童某某的1+1式】，到处发帖。
理由是大家都可以从素数定理由{式1}推理出{式4}来，因此他不是剽窃{式4}。）

对50万的偶数：
D( 500000 )= 3052 Xi(m)≈ 3014.45 δxi (m)≈-.0123
D( 500002 )= 2340 Xi(m)≈ 2331.67 δxi(m)≈-.00356
D( 500004 )= 5261 Xi(m)≈ 5231.42 δxi(m)≈-.00562
D( 500006 )= 2483 Xi(m)≈ 2466.39 δxi(m)≈-.00669
D( 500008 )= 2293 Xi(m)≈ 2260.87 δxi(m)≈-.01401 (t1= 1.179424 )
对5亿的偶数：
D( 500000000 )= 1219610 Xi(m)≈ 1227059.68 δxi(m)≈ .00611
D( 500000002 )= 939454 Xi(m)≈ 943892.05 δxi(m)≈ .00472
D( 500000004 )= 2230221 Xi(m)≈ 2242860.76 δxi(m)≈ .00567
D( 500000006 )= 1053889 Xi(m)≈ 1059021.06 δxi(m)≈ .00487
D( 500000008 )= 916242 Xi(m)≈ 920294.75 δxi(m)≈ .00442 （ t1= 1.118589 ）
对50亿的偶数：
D( 5000000000 )= 9703556 Xi(m)= 9732259.577 δxi(m)= .00296
D( 5000000002 )= 7278155 Xi(m)= 7299194.521 δxi(m)= .00289
D( 5000000004 )= 14695026 Xi(m)= 14737420.771 δxi(m)= .00288
D( 5000000006 )= 7281567 Xi(m)= 7300674.695 δxi(m)= .00262
D( 5000000008 )= 7308988 Xi(m)= 7329735.034 δxi(m)= .00284 ( t1= 1.102894 )
对500亿的偶数：
D( 50000000000 )= 79004202 Xi(m)= 78668343.661 δxi(m)=-.00425
D( 50000000002 )= 59262284 Xi(m)= 59004612.466 δxh(m)=-.00435
D( 50000000004 )= 118490110 Xi(m)= 118002512.837 δxi(m)=-.00412
D( 50000000006 )= 68100948 Xi(m)= 67817533.605 δxi(m)=-.00416
D( 50000000008 )= 71099519 Xi(m)= 70801508.773 δxi(m)=-.00419
小偶数：
S( 230 )= 9 ;Xi(M)≈ 9.05 δxi( 230 )≈ .0056 ( t1= 1.26170)
S( 232 )= 7 ;Xi(M)≈ 6.76 δxi( 232 )≈-.0343 (  t1=1.26159 )
S( 234 )= 15 ;Xi(M)≈ 14.3 δxi( 234 )≈-.0467 (  t1=1.261484)
S( 1092 )= 48 ;Xi(1092)= 47.94 δxi( 1092 )=-.0013 ；
S( 2090 )= 46 ;Xi(2090)= 45.76 δi( 2090 )=-.0052
S( 4088 )= 58 ;Xi(4088)= 58.33 δxi( 4088 )= .0057

可以看出，素对计算值的相对误差绝对值一般不大。

Zuo(N)式的计算精度在网络上，得到许多人士的肯定与赞扬。也是我始终欣赏与佩服的。
当然，我们的一切研究，目的是在于对计算式的提高：
提高计算的速度、提高计算值的精度，等等。
那么 {式5}与 {式4}比较有什么提高呢？
从计算速度方面有比较大的提高：因为计算√M内的素数与计算M内的素数，差别巨大。
计算值的精度，我下面公布一些具体偶数的素对数量的对比计算数据，以供考察：
Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2  ; Zuo(N)= c1*pi(N)^2/N;
1亿级别偶数：
  S( 100000000 ) = 291400 ;Xi(M)≈ 292495.97 δXi( M)≈0.00376  (t1=  1.127558 )
  C2B( 100000000 )= 1.333333 ;Zuo( 100000000 )≈ 283127          Δz(N)≈-0.02839

  S( 100000002 ) = 464621  ;Xi(M)≈ 465575.31 δXi( M )≈ 0.00205 (t1=  1.127558 )
  C2B( 100000002 )= 2.12231 ;Zuo( 100000002 )≈ 450662.4          Δz( N )≈-0.03004

  S( 100000004 ) = 247582 ;Xi(M)≈ 248227.08 δXi(M )≈0.002605  (t1=  1.127558 )
  C2B( 100000004 )= 1.131535;Zuo( 100000004 )≈ 240276.1          Δz( N )≈-0.02951

  S( 100000006 ) = 218966 ;Xi(M)≈ 219820.61 δXi( M )≈ 0.0039 (t1=  1.127558 )
  C2B( 100000006 )= 1.002045 ;Zuo( 100000006 )≈ 212779.5          Δz( N )≈0.02826

  S( 100000008 ) =  437717;Xi(M)≈ 438743.99 δXi( M )≈ 0.00234 (t1=  1.127558 )
  C2B( 100000008 )= 2    ;Zuo( 100000008 )≈ 424690.7          Δz( M)≈-0.02976

  S( 100000010 ) =  323687  ;Xi(M)≈ 324995.56 δXi( M )≈0.004041  (t1=  1.127558 )
  C2B( 100000010 )= 1.481481 ;Zuo( 100000010 )≈ 314585.7          Δz( 100000010 )≈-0.02812

  S( 100000012 ) = 263241  ;Xi(M)≈ 263246.41 δXi( M )≈0.000019  (t1=  1.127558 )
  C2B( 100000012 )= 1.2 ;Zuo( 100000012 )≈ 254814.4          Δz( N )≈-0.03201

  S( 100000014 ) = 437518  ;Xi(M)≈ 438744.01 δXi( M )≈ 0.002802 (t1=  1.127558 )
  C2B( 100000014 )= 2    ;Zuo( 100000014 )≈ 424690.6          Δz( N )≈-0.02932

  S( 100000016 ) =  220846 ;Xi(M)≈ 221681.19 δXi( M )≈ 0.003781 (t1=  1.127558 )
  C2B( 100000016 )= 1.010526;Zuo( 100000016 )≈ 214580.5          Δz( N )≈-0.02837

  S( 100000018 ) = 233634 ;Xi(M)≈ 234273.93 δXi( M )≈ 0.002739 (t1=  1.127558 )
  C2B( 100000018 )= 1.06793 ;Zuo( 100000018 )≈ 226769.9          Δz( N )≈-0.02938

  S( 100000020 ) =  595554 ;Xi(M)≈ 597991.86 δXi( M )≈0.004092  (t1=  1.127558 )
  C2B( 100000020 )= 2.725926 ;Zuo( 100000020 )≈ 578837.6          Δz( N )≈-0.02807

  S( 100000022 ) =  220244 ;Xi(M)≈ 221544.02 δXi( M )≈0.005903  (t1=  1.127558 )
  C2B( 100000022 )= 1.009901;Zuo( 100000022 )≈ 214447.7          Δz( N )≈-0.02632

2亿级别偶数：
  S( 200000000 ) = 538290 ;Xi(M)≈  539946.96    δXi( M )≈ 0.003078 (t1=  1.121696 )
  C2B( 200000000 )= 1.333333 ;Zuo( 200000000 )≈ 540204.9          Δz( N )≈0.003557

  S( 200000002 ) = 431204 ;Xi(M)≈ 431957.57    δXi( M )≈ 0.001748 (t1=  1.121696 )
  C2B( 200000002 )= 1.066667;Zuo( 200000002 )≈ 432163.9          Δz( N )≈0.002226

  S( 200000004 ) = 857900 ;Xi(M)≈  859451.05    δXi( M )≈0.001808  (t1=  1.121696 )
  C2B( 200000004 )= 2.12231;Zuo( 200000004 )≈ 859861.6          Δz( N )≈0.002287

  S( 200000006 ) = 404351 ;Xi(M)≈ 405591.99  δXi( M )≈0.003069  (t1=  1.121696 )
  C2B( 200000006 )= 1.00156 ;Zuo( 200000006 )≈ 405785.8          Δz( N )≈0.003546

  S( 200000008 ) =  457516 ;Xi(M)≈  458226.67 δXi( M )≈ 0.001553  (t1=  1.121696 )
  C2B( 200000008 )= 1.131535 ;Zuo( 200000008 )≈ 458445.6          Δz( N )≈0.002035

  S( 200000010 ) =  1294228;Xi(M)≈  1295872.72 δXi( M )≈ 0.001271 (t1=  1.121696 )
  C2B( 200000010 )= 3.2 ;Zuo( 200000010 )≈ 1296492          Δz( N )≈0.001749

  S( 200000012 ) =  405763 ;Xi(M)≈ 405788.38 δxi( M )≈0.0000616  (t1=  1.120532 )
  C2B( 200000012 )= 1.002045 ;Zuo( 200000012 )≈ 405982.2          Δz( N )≈0.000540

  S( 200000014 ) =  404754 ;Xi(M)≈ 404960.24 δXi( M)≈0.000540  (t1=  1.121696 )
  C2B( 200000014 )= 1    ;Zuo( 200000014 )≈ 405153.7          Δz( N )≈0.000986

  S( 200000016 ) =  808511;Xi(M)≈  809920.49 δXi( M )≈0.001743  (t1=  1.121696 )
  C2B( 200000016 )= 2    ;Zuo( 200000016 )≈ 810307.3          Δz( N )≈0.002221

  S( 200000018 ) = 407227 ;Xi(M)≈ 407715.07    δXi( M )≈0.001198 (t1=  1.121696 )
  C2B( 200000018 )= 1.006803  ;Zuo( 200000018 )≈ 407909.8          Δz( N )≈0.001677

  S( 200000020 ) =  599793  ;Xi(M)≈ 599941.12  δXi( M )≈0.001287  (t1=  1.121696 )
  C2B( 200000020 )= 1.481481 ;Zuo( 200000020 )≈ 600227.6          Δz( N )≈0.000724 *

4亿级别偶数：
  S( 400000000 ) = 999700  ;Xi(M)≈ 1001480.06 δXi( M )≈0.001781  (t1=  1.115903 )
  C2B( 400000000 )= 1.333333 ;Zuo( 400000000 )≈ 1001778          Δz( N )≈0.002079

  S( 400000002 ) =  1499250 ;Xi(M)≈ 1502220.06 δXi( M )≈0.001981  (t1=  1.115903 )
  C2B( 400000002 )= 2    ;Zuo( 400000002 )≈ 1502668          Δz( N )≈0.002280

  S( 400000004 ) = 799625 ;Xi(M)≈ 801184.04 δXi( 400000004 )≈0.001950  (t1=  1.115903 )
  C2B( 400000004 )= 1.066667  ;Zuo( 400000004 )≈ 801422.6          Δz( 400000004 )≈0.002247

  S( 400000006 ) = 934974  ;Xi(M)≈ 936858.25 δXi( M )≈0.002015  (t1=  1.115903 )
  C2B( 400000006 )= 1.247298 ;Zuo( 400000006 )≈ 937137.3          Δz( N )≈0.002314

  S( 400000008 ) = 1591043;Xi(M)≈ 1594088.21 δXi( M )≈0.001914  (t1=  1.115903 )
  C2B( 400000008 )= 2.12231 ;Zuo( 400000008 )≈ 1594563          Δz( N )≈0.002212

  S( 400000010 ) =  1019242 ;Xi(M)≈ ;Xi(M)≈ 1021116.92 δXi( M )≈ 0.001840 (t1=  1.115903 )
  C2B( 400000010 )= 1.359477  ;Zuo( 400000010 )≈ 1021421          Δz( N )≈0.00214

  S( 400000012 ) =  751426;Xi(M)≈ 752281.83 δXi( M )≈0.00114  (t1=  1.115903 )
  C2B( 400000012 )= 1.00156  ;Zuo( 400000012 )≈ 752505.9          Δz( N )≈0.00144

  S( 400000014 ) = 1499100 ;Xi(M)≈ 1502220.1 δXi( M )≈ 0.00208 (t1=  1.115903 )
  C2B( 400000014 )= 2    ;Zuo( 400000014 )≈ 1502667          Δz( N )≈0.00238

  S( 400000016 ) =  848700 ;Xi(M)≈ 849907.32 δXi( M )≈0.00142  (t1=  1.115903 )
  C2B( 400000016 )= 1.131535 ;Zuo( 400000016 )≈ 850160.4          Δz( N )≈0.00172

  S( 400000018 ) = 875367 ;Xi(M)≈ 876928.14 δXi( M )≈ 0.00178 (t1=  1.115903 )
  C2B( 400000018 )= 1.16751 ;Zuo( 400000018 )≈ 877189.3          Δz( N )≈0.00208

  S( 400000020 ) =  2398503  ;Xi(M)≈ 2403552.15 δXi( M )≈0.00211  (t1=  1.115903 )
  C2B( 400000020 )= 3.2 ;Zuo( 400000020 )≈ 2404268          Δz( N )≈0.00240

  10亿级偶数：

  S( 1000000040 ) = 2572795 ;Xi(M)≈ 2567568.1 δxi( M )≈-0.002032  (t1=  1.107077 )
  C2B( 1000000040 )= 1.508713 ;Zuo( 1000000040 )≈ 2575136       Δz( N )≈0.0009099 *

  S( 1000000042 ) = 1704957 ;Xi(M)≈ 1702733.09 δxi( M )≈-0.0013044  (t1=  1.107077 )
  C2B( 1000000042 )= 1.000533 ;Zuo( 1000000042 )≈ 1707752       Δz( N )≈0.001639

  S( 1000000044 ) = 3633170 ;Xi(M)≈ 3630562.97 δxi( M )≈-0.0007178  (t1=  1.107077 )
  C2B( 1000000044 )= 2.133333 ;Zuo( 1000000044 )≈ 3641264       Δz( N )≈0.0022278

  S( 1000000046 ) = 1763094 ;Xi(M)≈ 1762780.02 δxi( M )≈ -0.0001781 (t1=  1.107077 )
  C2B( 1000000046 )= 1.035817 ;Zuo( 1000000046 )≈ 1767976       Δz( N )≈0.002769

  S( 1000000048 ) = 1704634 ;Xi(M)≈ 1701826.39 δxi( M )≈-0.001647  (t1=  1.107077 )
  C2B( 1000000048 )= 1       ;Zuo( 1000000048 )≈ 1706842       Δz( N )≈0.001295 *

  S( 1000000050 ) = 5453298 ;Xi(M)≈ 5445844.34 δxi( M )≈-0.001367  (t1=  1.107077 )
  C2B( 1000000050 )= 3.2    ;Zuo( 1000000050 )≈ 5461896       Δz( N )≈0.001577

  S( 1000000052 ) = 1704355 ;Xi(M)≈ 1701826.4 δxi( M )≈-0.001484  (t1=  1.107077 )
  C2B( 1000000052 )= 1       ;Zuo( 1000000052 )≈ 1706842       Δz( N )≈0.001484

  S( 1000000054 ) =  1721027 ;Xi(M)≈ 1719334.27 δxi( M )≈ -0.0009837 (t1=  1.107077 )
  C2B( 1000000054 )= 1.010288 ;Zuo( 1000000054 )≈ 1724402       Δz( N )≈0.001961

可以看到，在总共42个偶数的计算值相对误差绝对值的对比中，Zuo(N)式优于Xi(M)的只有3个；持平有1个；其余都是Xi(M)式优。
虽然说偶数素对计算式Zuo(N)式的精度是不错的，但是对于多数的偶数来说，Xi(M)式的偶数素对计算值的计算精度仍然有了比较大的提高，而该式的计算速度是远远胜于Zuo(N)式的。
因此可以看出，这个基于哈-李素对计算公式改进的偶数素对计算式是具有一定的优越性的。

作者: dlpangong 时间: 2018-11-8 13:18
高兴看到你的帖子
你说:
在x→∞时，x内的素数数量 π(x) =x/ln(x) ；
这句话和童某犯了同样错误

童某说:
N越大.计算值N/ln(N)越接近真实的 π(N)

实际上 ,随着N增大,只是 π(x) /x/ln(x) 趋于1 ,二者之差趋于非常大的数值,绝不是 0

陈君佐老师的公式是好公式,
精度不是最好的,
N大时,计算值大于真值,不是下界估值,不适合用于证哥猜

作者: 愚工688 时间: 2018-11-8 17:34

dlpangong 发表于 2018-11-8 05:18
高兴看到你的帖子
你说:
在x→∞时，x内的素数数量 π(x) =x/ln(x) ；

这是素数定理，已经证明的定理。若你不理解，也不要轻易的否定。

作者: 愚工688 时间: 2018-11-8 17:41

dlpangong 发表于 2018-11-8 05:18
高兴看到你的帖子
你说:
在x→∞时，x内的素数数量 π(x) =x/ln(x) ；

若要看下界的估值，请看我的帖子《偶数M表为两个素数和数量的区域下界计算值infS(m)与实际验证》，这里与百度都有。

作者: 愚工688 时间: 2018-11-8 17:53
童信平发帖说：我说“上海愚公”的计算式的精确度没有哈-李猜想(A)中的公式(B)高，不是第一。他反咬一口，说他反咬一口，说我所说的公式(B)是剽窃了陈君子佐的公式。这是第三人说我剽窃了，不得不解说一下。

什么逻辑！
我从来没有说我的素对计算值是第一，即使能够比公式(B)的精度高，也不能成为“第一”的理由。
更不能成为他剽窃别人公式的借口。
如果他不造谣说我说过我的公式精度是第一，难道说公式(B)就不是剽窃了陈君子佐的公式？就成为“童信平的1+1公式”了？

作者: 愚工688 时间: 2018-11-8 17:56

愚工688 发表于 2018-11-8 09:41
若要看下界的估值，请看我的帖子《偶数M表为两个素数和数量的区域下界计算值infS(m)与实际验证》，这里与 ...

也可以看看这网站的我的另外一个帖子，大多数大偶数的数据我是下界计算值的。
这里第二页的：高精度计算大偶数表为两个素数和的表法数值的实例（以当天日期为随机数选择偶数）

作者: dlpangong 时间: 2018-11-8 22:21

愚工688 发表于 2018-11-8 17:56
也可以看看这网站的我的另外一个帖子，大多数大偶数的数据我是下界计算值的。
这里第二页的：高精度计 ...

别急,素数定理用的是等价符号"～" ,不是等号 "=",差别巨大
我是善意提醒.怕你收到专业人士的批判.仔细琢磨一下

作者: lkPark 时间: 2018-11-9 08:48
你乌烟瘴气地胡说霸道。π（N）不可以构成公式，㏑N和素数分布无关，哈李公式只是猜想其不能被使用并且错误。

作者: dlpangong 时间: 2018-11-9 09:11

愚工688 发表于 2018-11-8 17:34
这是素数定理，已经证明的定理。若你不理解，也不要轻易的否定。

回复上海愚工
几个数据:
n=200000000  π(n)=11078937  n/ln(n)=10463628 n/ln(n)/π(n)=  0.9445 n/ln(n)-π(n)=-615309
n=400000000  π(n)=21336326  n/ln(n)=20194905 n/ln(n)/π(n)=  0.9465 n/ln(n)-π(n)=-1141421
n=600000000  π(n)=31324703  n/ln(n)=29684688 n/ln(n)/π(n)=  0.9476 n/ln(n)-π(n)=-1640015
n=800000000  π(n)=41146179  n/ln(n)=39024157 n/ln(n)/π(n)=  0.9484 n/ln(n)-π(n)=-2122022
n=1000000000 π(n)=50847534  n/ln(n)=48254942 n/ln(n)/π(n)=  0.9490 n/ln(n)-π(n)=-2592592
lim n->∞ n/ln(n)=π(n) 吗?  总体上是不是差值越来越大,你对素数定理的理解有误.

作者: 愚工688 时间: 2018-11-9 11:06

dlpangong 发表于 2018-11-8 14:21
别急,素数定理用的是等价符号"～" ,不是等号 "=",差别巨大
我是善意提醒.怕你收到专业人士的批判.仔细 ...

素数定理用的是等价符号"～":我也不清楚"～"是什么符合号，有人说是接近符号。
因此我计算式一般用“≈”符号，当然不是与真值相比的四舍五入的近似，而是相对误差比较小的近似。

至于你说的[素数定理用的是等价符号"～"] ，也只是你的一面之词。
素数定理用的是等价符号"～":倔场芳数 [日] 所著《素数的奥秘》（中译本，倔是土字旁）133页的高斯预料的素数定理中使用的是等号。难道你比他更权威？

作者: 愚工688 时间: 2018-11-9 11:09

lkPark 发表于 2018-11-9 00:48
你乌烟瘴气地胡说霸道。π（N）不可以构成公式，㏑N和素数分布无关，哈李公式只是猜想其不能被使用并且错误 ...

你既不懂素数定理，也不懂猜想的含义，凭什么评论素数定理？
靠边去吧！

作者: lkPark 时间: 2018-11-9 11:23
本帖最后由 lkPark 于 2018-11-9 15:06 编辑

愚工688 发表于 2018-11-9 11:09
你既不懂素数定理，也不懂猜想的含义，凭什么评论素数定理？
靠边去吧！

我不知是哪个学生不知，～是渐近号，这表示两者之比的极限为1。至今为止所有人对素数分布的研究都在有限范围，你有什么权力将其（素数分布）扩展到无限的N/㏑N无限域？

作者: 愚工688 时间: 2018-11-9 11:44

dlpangong 发表于 2018-11-9 01:11
回复上海愚工
几个数据:
n=200000000 π(n)=11078937 n/ln(n)=10463628 n/ln(n)/π(n)= 0.9445 n/ln ...

我不是要介绍哈代-李公式，而是在此公式上的改进。
我的计算值：

  S( 200000000 ) = 538290  ;Xi(M)≈  539946.96  δXi( M )≈ 0.003078 (t1=  1.121696 )

  S( 400000000 ) = 999700  ;Xi(M)≈ 1001480.06  δXi( M )≈ 0.001781  (t1=  1.115903 )

  S( 600000000 ) = 2874881 ;Xi(N)≈ 2873237.48  δxi( M )≈-0.0005718  (t1=  1.11131 )
  S( 800000000 ) = 1859646 ;Xi(N)≈ 1858106.61  δxi( M )≈ - 0.000828 (t1=  1.108922 )
  S( 1000000040 ) = 2572795 ;Xi(M)≈ 2567568.1  δxi( M )≈ -0.002032  (t1=  1.107077 )
  S( 1200000000 ) = 5352052 ;Xi(N)≈ 5344006.71 δxi( M )≈ 0.001503  (t1=  1.105575 )
  S( 1400000000 ) = 3688114 ;Xi(N)≈ 3682016.31  δxi( M )≈ -0.00165 (t1=  1.104308 )

当然从你的计算数据中可以看出，虽然说总体上相对误差的差值越来越大，但是小范围内存在一定的波动。若这么简单的随着偶数增大而增大，岂不是成为线性关系了？
而这个小范围内存在一定的波动，并不能够影响对偶数的素对数量的比较高精度的计算。

作者: 愚工688 时间: 2018-11-9 12:21

lkPark 发表于 2018-11-9 03:23
我不知哪个畜生不知，～是渐进号，这表示两者之比的极限为1。至今为止所有人对素数分布的研究都在有限 ...

我即使不知道～是渐进号，也与你没有关系。

而你只是一只疯狗，你的言论恰好证明了这个结论。

作者: lkPark 时间: 2018-11-9 13:10

愚工688 发表于 2018-11-9 12:21
我即使不知道～是渐进号，也与你没有关系。

而你只是一只疯狗，你的言论恰好证明了这个结论。

全世界的人都知道谁是疯狗！

作者: dlpangong 时间: 2018-11-9 16:01
本帖最后由 dlpangong 于 2018-11-9 16:06 编辑

愚工688 发表于 2018-11-9 11:06
素数定理用的是等价符号"～":我也不清楚"～"是什么符合号，有人说是接近符号。
因此我计算式一般用“≈ ...

你的火气真大,质问"我比他更权威"?
你把权威的等式发表在这里看看,他的等号与你的等号绝不一样
等待你的权威等式
如果你理论和事实面前仍如此态度,我只好旁观了,不再说我的"一面之词"

作者: 愚工688 时间: 2018-11-9 17:50

dlpangong 发表于 2018-11-9 08:01
你的火气真大,质问"我比他更权威"?
你把权威的等式发表在这里看看,他的等号与你的等号绝不一样
等待 ...

      这个问题上不是我火气大，而是你质问我引用的素数定理：
      在x→∞时，x内的素数数量 π(x) =x/ln(x) ；
   的等号“=”用错了，应该用“~” 。
   那么我该怎么样回复你才满意？

作者: 愚工688 时间: 2018-11-10 15:24
我使用公式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 对偶数 2^5 到 2^34 的素对（单记）计算数据与相对误差

  S( 32 ) =  2       ;Xi(N)≈ 2.4       δxi( 32 )≈0.2  (t1=  1.283849 )
  S( 64 ) = 5       ;Xi(N)≈ 3.22       δxi( 64 )≈-0.356  (t1=  1.274037 )
  S( 128 ) = 3       ;Xi(N)≈ 4.65       δxi( 128 )≈0.55  (t1=  1.264734 )
  S( 256 ) = 8       ;Xi(N)≈ 7.03       δxi( 256 )≈-0.1213  (t1=  1.255846 )
  S( 512 ) =  11       ;Xi(N)≈ 10.95       δxi( 512 )≈-0.00455  (t1=  1.247306 )
  S( 1024 ) = 22       ;Xi(N)≈ 17.55       δxi( 1024 )≈-0.2023  (t1=  1.239063 )
  S( 2048 ) =  25       ;Xi(N)≈ 28.76       δxi( 2048 )≈0.1504  (t1=  1.231079 )
  S( 4096 ) =  53       ;Xi(N)≈ 47.96       δxi( 4096 )≈-0.0951  (t1=  1.223324 )
  S( 8192 ) = 76    ;Xi(N)≈ 81.13       δxi( 8192 )≈-0.0675  (t1=  1.215771 )
  S( 16384 ) =  151    ;Xi(N)≈ 138.98    δxi( 16384 )≈-0.0796  (t1=  1.208402 )
  S( 32768 ) =  244    ;Xi(N)≈ 240.58    δxi( 32768 )≈-0.01402  (t1=  1.201198 )
  S( 65536 ) =  435    ;Xi(N)≈ 420.3       δxi( 65536 )≈-0.0338  (t1=  1.194146 )
  S( 131072 ) =  749    ;Xi(N)≈ 740.15    δxi( 131072 )≈ -0.0118 (t1=  1.187232 )
  S( 262144 ) =  1314    ;Xi(N)≈ 1312.67    δxi( 262144 )≈-0.00101  (t1=  1.180447 )
  S( 524288 ) = 2367    ;Xi(N)≈ 2342.77    δxi( 524288 )≈-0.01024  (t1=  1.173781 )
  S( 1048576 ) = 4239    ;Xi(N)≈ 4204.82    δxi( 1048576 )≈ -0.008068 (t1=  1.167226 )
  S( 2097152 ) =7471    ;Xi(N)≈ 7585.34    δxi( 2097152 )≈ 0.01530 (t1=  1.160775 )
  S( 4194304 ) = 13705    ;Xi(N)≈ 13746.82    δxi( 4194304 )≈0.00305  (t1=  1.15442 )
  S( 8388608 ) = 24928    ;Xi(N)≈ 25017.95    δxi( 8388608 )≈0.000361  (t1=  1.148157 )
  S( 16777216 ) = 45746    ;Xi(N)≈ 45705.27    δxi( 16777216 )≈-0.00089  (t1=  1.14198 )
  S( 33554432 ) = 83467    ;Xi(N)≈ 83792.8    δxi( 33554432 )≈0.003903  (t1=  1.135884 )
  S( 67108864 ) = 153850    ;Xi(N)≈ 154121.36 δxi( 67108864 )≈0.0017614  (t1=  1.129866 )
  S( 134217728 ) = 283746 ;Xi(N)≈ 284328.73 δxi( 134217728 )≈0.0020536  (t1=  1.123921 )
  S( 268435456 ) = 525236 ;Xi(N)≈ 526000.19 δxi( 268435456 )≈ 0.0014546 (t1=  1.118045 )
  S( 536870912 ) =975685    ;Xi(N)≈ 975604.11 δxi( 536870912 )≈0.00008302  (t1=  1.112236 )
  S( 1073741824 ) = 1817111 ;Xi(N)≈ 1813876.74 δxi( 1073741824 )≈ -0.0017799 (t1=  1.106491 )
  S( 2147483648 ) = 3390038 ;Xi(N)≈ 3380024.25 δxi( 2147483648 )≈-0.002954  (t1=  1.100806 )
  S( 4294967296 ) = 6341424 ;Xi(N)≈ 6311717.92 δxi( 4294967296 )≈-0.004684  (t1=  1.095179 )
  S( 8589934592 ) = 11891654  ;Xi(N)≈ 11809589.19  δxi( 8589934592 )≈-0.006901  (t1=  1.089608 )
  S( 17179869184 ) =22336060 ;Xi(N)≈ 22137571.87  δxi( 17179869184 )≈-0.008886  (t1=  1.08409 )

  计算值的相对误差在偶数大一些时基本都比较小。

作者: 愚工688 时间: 2018-11-13 11:59

dlpangong 发表于 2018-11-8 14:21
别急,素数定理用的是等价符号"～" ,不是等号 "=",差别巨大
我是善意提醒.怕你收到专业人士的批判.仔细 ...

我所具有的《素数的奥秘》（日）崛场芳数著上面139页时高斯预想的素数定理是用“≈”号的，而在100年后的1896年被阿达马与普桑几乎同时证明的素数定理，则使用等号。
因此，数学界本身在素数定理的符号上面也是不很规范的。

作者: 愚工688 时间: 2018-11-13 12:20
我使用公式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2
对偶数（2+2^5 ）到（2+2^34）的素对（单记）计算数据与相对误差如下，
可以看到，偶数(2+2^n)的素对数量计算值的相对误差与偶数 2^n的素对数量计算值的相对误差是比较接近的。

使用公式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 对偶数(2+ 2^5) 到(2+ 2^34) 的素对（单记）计算值与相对误差

  S( 34 ) =  4       ;Xi(N)≈ 2.47       δxi( 34 )≈-0.3825  (t1=  1.282968 )
  S( 66 ) =  6       ;Xi(N)≈ 6.55       δxi( 66 )≈ 0.0917 (t1=  1.273614 )
  S( 130 ) =  7       ;Xi(N)≈ 6.26       δxi( 130 )≈-0.1057  (t1=  1.264531 )
  S( 258 ) =  14       ;Xi(N)≈ 14.12       δxi( 258 )≈0.00857  (t1=  1.255748 )
  S( 514 ) = 14       ;Xi(N)≈ 10.98       δxi( 514 )≈ -0.2157 (t1=  1.247259 )
  S( 1026 ) =  42       ;Xi(N)≈ 37.21       δxi( 1026 )≈-0.114  (t1=  1.23904 )

  S( 2050 ) =  42       ;Xi(N)≈ 39.35       δxi( 2050 )≈ -0.0631 (t1=  1.231068 )
  S( 4098 ) =  102       ;Xi(N)≈ 95.95       δxi( 4098 )≈-0.05931  (t1=  1.223318 )
  S( 8194 ) =  97       ;Xi(N)≈ 86.56       δxi( 8194 )≈ -0.1076 (t1=  1.215768 )
  S( 16386 ) = 285       ;Xi(N)≈ 277.99    δxi( 16386 )≈-0.024596  (t1=  1.2084 )
  S( 32770 ) = 344       ;Xi(N)≈ 335.66    δxi( 32770 )≈- 0.02424 (t1=  1.201197 )

  S( 65538 ) =  929    ;Xi(N)≈ 934.02    δxi( 65538 )≈0.00538  (t1=  1.194145 )
  S( 131074 ) = 768    ;Xi(N)≈ 740.16    δxi( 131074 )≈-0.03625  (t1=  1.187232 )
  S( 262146 ) =  2661    ;Xi(N)≈ 2625.36    δxi( 262146 )≈-0.01339  (t1=  1.180447 )
  S( 524290 ) = 3612    ;Xi(N)≈ 3537.79    δxi( 524290 )≈-0.02055  (t1=  1.173781 )
  S( 1048578 ) = 8444    ;Xi(N)≈ 8409.66    δxi( 1048578 )≈ -0.00407 (t1=  1.167226 )

  S( 2097154 ) =  8118    ;Xi(N)≈ 8091.04    δxi( 2097154 )≈-0.003326  (t1=  1.160775 )
  S( 4194306 ) = 28047    ;Xi(N)≈ 28164.23    δxi( 4194306 )≈0.0041787  (t1=  1.15442 )
  S( 8388610 ) = 33378    ;Xi(N)≈ 33457.56    δxi( 8388610 )≈ 0.0023836 (t1=  1.148157 )
  S( 16777218 ) = 91210    ;Xi(N)≈ 91410.55    δxi( 16777218 )≈0.002199  (t1=  1.14198 )
  S( 33554434 ) = 84870    ;Xi(N)≈ 85133.57    δxi( 33554434 )≈ 0.003106 (t1=  1.135884 )

  S( 67108866 ) = 342981    ;Xi(N)≈ 343952.32 δxi( 67108866 )≈0.002831  (t1=  1.129866 )
  S( 134217730 ) = 388508 ;Xi(N)≈ 389273.68 δxi( 134217730 )≈ 0.001971 (t1=  1.123921 )
  S( 268435458 ) = 1113342 ;Xi(N)≈ 1113882.73 δxi( 268435458 )≈0.0004859  (t1=  1.118045 )
  S( 536870914 ) = 1041368 ;Xi(N)≈ 1040644.39 δxi( 536870914 )≈ -0.000695 (t1=  1.112236 )
  S( 1073741826 ) = 3698190 ;Xi(N)≈ 3691398.42 δxi( 1073741826 )≈ -0.001837 (t1=  1.106491 )

  S( 2147483650 ) = 5147510 ;Xi(N)≈ 5131813.66 δxi( 2147483650 )≈ -0.003049 (t1=  1.100806 )
  S( 4294967298 ) = 12679919 ;Xi(N)≈ 12623435.85  δxi( 4294967298 )≈-0.004455  (t1=  1.095179 )
  S( 8589934594 ) = 11908498 ;Xi(N)≈ 11828070.6 δxi( 8589934594 )≈ -0.006754 (t1=  1.089608 )
  S( 17179869186 ) = 45427779  ;Xi(N)≈ 45024475.69  δxi( 17179869186 )≈ -0.008878 (t1=  1.08409 )

可以看到，从偶数(2+ 2^20)起的素对计算值的相对误差绝对值都比较小。

作者: 愚工688 时间: 2018-11-18 20:54
使用公式
Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 ;
对偶数 M=2^n-2;  (n=5到34) 的素数对数量的计算：

  S( 30 ) = 3       ;Xi(N)≈ 6.25    ；δxi( 30 )≈ 1.0833  (t1=  1.284793 )
  S( 62 ) = 3       ;Xi(N)≈ 3.17    ；δxi( 62 )≈ 0.05667 (t1=  1.274474 )
  S( 126 ) = 12       ;Xi(N)≈ 11.07    ；δxi( 126 )≈-0.0775  (t1=  1.26494 )
  S( 254 ) = 9       ;Xi(N)≈ 6.99    ；δxi( 254 )≈-0.22333  (t1=  1.255944 )
  S( 510 ) = 32       ;Xi(N)≈ 31.07    ；δxi( 510 )≈-0.02906  (t1=  1.247353 )
  S( 1022 ) = 18    ;Xi(N)≈ 21.03    ；δxi( 1022 )≈ 0.16833 (t1=  1.239086 )

  S( 2046 ) = 75    ;Xi(N)≈ 66.06    ；δxi( 2046 )≈-0.1192  (t1=  1.23109 )
  S( 4094 ) = 51    ;Xi(N)≈ 50.22    ；δxi( 4094 )≈-0.01529  (t1=  1.223329 )
  S( 8190 ) = 292    ;Xi(N)≈ 283.18    ；δxi( 8190 )≈-0.030205 (t1=  1.215774 )
  S( 16382 ) = 141    ;Xi(N)≈ 138.97    ；δxi( 16382 )≈-0.014397 (t1=  1.208403 )
  S( 32766 ) = 518    ;Xi(N)≈ 496.81    ；δxi( 32766 )≈-0.040907 (t1=  1.201198 )

  S( 65534 ) = 534       ;Xi(N)≈ 525.24 ；δxi( 65534 )≈-0.016404  ( 1.194146 )
  S( 131070 ) = 2167    ;Xi(N)≈ 2113.55 ；δxi( 131070 )≈-0.024665 ( 1.187232 )
  S( 262142 ) = 1293    ;Xi(N)≈ 1312.66 ；δxi( 262142 )≈ 0.015205 ( 1.180447 )
  S( 524286 ) = 6055    ;Xi(N)≈ 6037.21 ；δxi( 524286 )≈-0.002973 ( 1.173781 )
  S( 1048574 ) = 4319    ;Xi(N)≈ 4204.82 ；δxi( 1048574 )≈-0.02644 ( 1.167226 )

  S( 2097150 ) = 23899    ;Xi(N)≈ 23846.22 ；δxi( 2097150 )≈-0.002218 ( 1.160775 )
  S( 4194302 ) = 16589    ;Xi(N)≈ 16677.78 ；δxi( 4194302 )≈ 0.005352 ( 1.15442 )
  S( 8388606 ) = 53108    ;Xi(N)≈ 53098.91 ；δxi( 8388606 )≈-0.000171  ( 1.148157 )
  S( 16777214 ) = 46683 ;Xi(N)≈ 46720.94 ；δxi( 16777214 )≈0.000812  ( 1.14198 )
  S( 33554430 ) = 312340 ;Xi(N)≈ 313319.38  ；δxi( 33554430 )≈0.003136  ( 1.135884 )

  S( 67108862 ) = 159483    ;Xi(N)≈ 159790.82 ；δxi( 67108862 )≈ 0.001925  ( 1.129866 )
  S( 134217726 ) = 567857 ;Xi(N)≈ 568935.32 ；δxi( 134217726 )≈ 0.001898 ( 1.123921 )
  S( 268435454 ) = 639256 ;Xi(N)≈ 640090.38 ；δxi( 268435454 )≈ 0.001305 ( 1.118045 )
  S( 536870910 ) = 2810965 ;Xi(N)≈ 2810979.17 ；δxi( 536870910 )≈ 0.000005  ( 1.112236 )
  S( 1073741822 ) = 1826974  ;Xi(N)≈ 1824257.29 ；δxi( 1073741822 )≈-0.001487 ( 1.106491 )

  S( 2147483646 ) = 9444526 ;Xi(N)≈ 9415314.91 ；δxi( 2147483646 )≈-0.003093 ( 1.100806 )
  S( 4294967294 ) = 6344842 ;Xi(N)≈ 6311717.92 ；δxi( 4294967294 )≈-0.005221 ( 1.095179 )
  S( 8589934590 ) = 33947667  ;Xi(N)≈ 33723966.81 ；δxi( 8589934590 )≈-0.00659 ( 1.089608 )
  S( 17179869182 ) = 28404998 ;Xi(N)≈ 28149976.2 ；δxi( 17179869182 )≈-0.008978 (1.08409 )

可以看到，除小偶数区域偶数的素对计算值的相对误差值有偏大现象存在外，从n=20后的偶数的素对计算值的相对误差值绝对值是比较小的。

作者: 愚工688 时间: 2018-12-8 14:02
本帖最后由愚工688 于 2018-12-14 13:26 编辑

前面我对使用哈-李偶数表为两个素数和的素对计算式的改进式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 对偶数 2^n、 2^n±2 的系列偶数的n=5 到 n=34 的偶数的素对（单记）做了计算以及相对误差的计算，数据中可以看出，绝对相对误差值比较哈-李素对计算式有了明显的缩小。
下面我在对  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 对偶数 2^n（n=15→34) 的各个区段连续20个偶数分别进行计算，看看计算值的误差有什么变化？
  计算 M=2^15 起的连续20个偶数表为两个素数和的单记数量：

  S( 32768 )= 244 ;  Xi(M)≈ 240.37          δxi( 32768 )≈-.0149 (t1=  1.201198 )
  S( 32770 )= 344 ;  Xi(M)≈ 335.38          δxi( 32770 )≈-.0251 (t1=  1.201197 )
  S( 32772 )= 497 ;  Xi(M)≈ 480.97          δxi( 32772 )≈-.0323 (t1=  1.201197 )
  S( 32774 )= 301 ;  Xi(M)≈ 288.61          δxi( 32774 )≈-.0412 (t1=  1.201196 )
  S( 32776 )= 277 ;  Xi(M)≈ 257.52          δxi( 32776 )≈-.0703 (t1=  1.201195 )
  S( 32778 )= 495 ;  Xi(M)≈ 481.66          δxi( 32778 )≈-.0269 (t1=  1.201195 )
  S( 32780 )= 355 ;  Xi(M)≈ 358.63          δxi( 32780 )≈ .0102 (t1=  1.201194 )
  S( 32782 )= 268 ;  Xi(M)≈ 247.89          δxi( 32782 )≈-.075  (t1=  1.201193 )
  S( 32784 )= 502 ;  Xi(M)≈ 481.64          δxi( 32784 )≈-.0406 (t1=  1.201193 )
  S( 32786 )= 276 ;  Xi(M)≈ 265.1          δxi( 32786 )≈-.0395 (t1=  1.201192 )
  S( 32788 )= 309 ;  Xi(M)≈ 288.83          δxi( 32788 )≈-.0653 (t1=  1.201192 )
  S( 32790 )= 674 ;  Xi(M)≈ 641.92          δxi( 32790 )≈-.0476 (t1=  1.201191 )
  S( 32792 )= 253 ;  Xi(M)≈ 240.57          δxi( 32792 )≈-.0491 (t1=  1.20119 )
  S( 32794 )= 242 ;  Xi(M)≈ 254.97          δxi( 32794 )≈ .0536 (t1=  1.20119 )
  S( 32796 )= 516 ;  Xi(M)≈ 481.6          δxi( 32796 )≈-.0667 (t1=  1.201189 )
  S( 32798 )= 261 ;  Xi(M)≈ 260.69          δxi( 32798 )≈-.0012 (t1=  1.201188 )
  S( 32800 )= 355 ;  Xi(M)≈ 328.97          δxi( 32800 )≈-.0733 (t1=  1.201188 )
  S( 32802 )= 657 ;  Xi(M)≈ 650.82          δxi( 32802 )≈-.0094 (t1=  1.201187 )
  S( 32804 )= 250 ;  Xi(M)≈ 246.59          δxi( 32804 )≈-.0136 (t1=  1.201187 )
  S( 32806 )= 256 ;  Xi(M)≈ 246.65          δxi( 32806 )≈-.0365 (t1=  1.201186 )
  S( 32808 )= 483 ;  Xi(M)≈ 481.57          δxi( 32808 )≈-.003  (t1=  1.201185 )

作者: 愚工688 时间: 2018-12-8 14:03
标题: 2
本帖最后由愚工688 于 2018-12-14 13:27 编辑

使用素对计算式 Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2  计算 M=2^16 起的连续20个偶数表为两个素数和的单记数量：

  S( 65536 )= 435 ;  Xi(M)≈ 420.05          δxi( 65536 )≈-.0344 (t1=  1.194146 )
  S( 65538 )= 929 ;  Xi(M)≈ 936.3          δxi( 65538 )≈ .0079 (t1=  1.194145 )
  S( 65540 )= 589 ;  Xi(M)≈ 586.07          δxi( 65540 )≈-.005  (t1=  1.194145 )
  S( 65542 )= 440 ;  Xi(M)≈ 420.09          δxi( 65542 )≈-.0453 (t1=  1.194145 )
  S( 65544 )= 859 ;  Xi(M)≈ 840.49          δxi( 65544 )≈-.0215 (t1=  1.194144 )
  S( 65546 )= 456 ;  Xi(M)≈ 458.47          δxi( 65546 )≈ .0054 (t1=  1.194144 )
  S( 65548 )= 509 ;  Xi(M)≈ 504.35          δxi( 65548 )≈-.0091 (t1=  1.194144 )
  S( 65550 )= 1257 ; Xi(M)≈ 1242.71       δxi( 65550 )≈-.0114 (t1=  1.194143 )
  S( 65552 )= 464 ;  Xi(M)≈ 450.02          δxi( 65552 )≈-.0301 (t1=  1.194143 )
  S( 65554 )= 437 ;  Xi(M)≈ 427.01          δxi( 65554 )≈-.0229 (t1=  1.194143 )
  S( 65556 )= 872 ;  Xi(M)≈ 841.69          δxi( 65556 )≈-.0348 (t1=  1.194142 )
  S( 65558 )= 433 ;  Xi(M)≈ 420.18          δxi( 65558 )≈-.0296 (t1=  1.194142 )
  S( 65560 )= 654 ;  Xi(M)≈ 626.71          δxi( 65560 )≈-.0417 (t1=  1.194142 )
  S( 65562 )= 1031 ; Xi(M)≈ 1013.01       δxi( 65562 )≈-.0174 (t1=  1.194142 )
  S( 65564 )= 453 ;  Xi(M)≈ 433.18          δxi( 65564 )≈-.0438 (t1=  1.194141 )
  S( 65566 )= 429 ;  Xi(M)≈ 420.22          δxi( 65566 )≈-.0205 (t1=  1.194141 )
  S( 65568 )= 850 ;  Xi(M)≈ 841.66          δxi( 65568 )≈-.0098 (t1=  1.194141 )
  S( 65570 )= 570 ;  Xi(M)≈ 574.58          δxi( 65570 )≈ .008  (t1=  1.19414 )
  S( 65572 )= 466 ;  Xi(M)≈ 463.27          δxi( 65572 )≈-.0059 (t1=  1.19414 )
  S( 65574 )= 865 ;  Xi(M)≈ 840.72          δxi( 65574 )≈-.0281 (t1=  1.19414 )
  S( 65576 )= 514 ;  Xi(M)≈ 504.74          δxi( 65576 )≈-.018  (t1=  1.194139 )

作者: 愚工688 时间: 2018-12-8 14:03
本帖最后由愚工688 于 2018-12-14 13:26 编辑

使用素对计算式 Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 计算 M=2^17 起的连续20个偶数表为两个素数和的单记数量：

  S( 131072 )= 749 ;  Xi(M)≈ 739.86    δxi( 131072 )≈-.0122 (  t1=  1.187232 )
  S( 131074 )= 768 ;  Xi(M)≈ 739.88    δxi( 131074 )≈-.0366 (  t1=  1.187232 )
  S( 131076 )= 1680 ; Xi(M)≈ 1649.18 δxi( 131076 )≈-.0183 (  t1=  1.187232 )
  S( 131078 )= 771 ;  Xi(M)≈ 739.9    δxi( 131078 )≈-.0403 (  t1=  1.187232 )
  S( 131080 )= 1054 ; Xi(M)≈ 1032.29 δxi( 131080 )≈-.0206 (  t1=  1.187232 )
  S( 131082 )= 1814 ; Xi(M)≈ 1776.35 δxi( 131082 )≈-.0208 (  t1=  1.187232 )
  S( 131084 )= 728 ;  Xi(M)≈ 739.94    δxi( 131084 )≈ .0164 (  t1=  1.187231 )
  S( 131086 )= 757 ;  Xi(M)≈ 739.94    δxi( 131086 )≈-.0225 (  t1=  1.187231 )
  S( 131088 )= 1493 ; Xi(M)≈ 1480.41 δxi( 131088 )≈-.0084 (  t1=  1.187231 )
  S( 131090 )= 993 ;  Xi(M)≈ 986.67    δxi( 131090 )≈-.0064 (  t1=  1.187231 )
  S( 131092 )= 862 ;  Xi(M)≈ 807.54    δxi( 131092 )≈-.0632 (  t1=  1.187231 )
  S( 131094 )= 1521 ; Xi(M)≈ 1480.13 δxi( 131094 )≈-.0269 (  t1=  1.187231 )
  S( 131096 )= 904 ;  Xi(M)≈ 888.35    δxi( 131096 )≈-.0173 (  t1=  1.18723 )
  S( 131098 )= 859 ;  Xi(M)≈ 845.08    δxi( 131098 )≈-.0162 (  t1=  1.18723 )
  S( 131100 )= 2241 ; Xi(M)≈ 2188.88 δxi( 131100 )≈-.0233 (  t1=  1.18723 )
  S( 131102 )= 708 ;  Xi(M)≈ 740.01    δxi( 131102 )≈ .0452 (  t1=  1.18723 )
  S( 131104 )= 803 ;  Xi(M)≈ 792.65    δxi( 131104 )≈-.0129 (  t1=  1.18723 )
  S( 131106 )= 1482 ; Xi(M)≈ 1480.11 δxi( 131106 )≈-.0013 (  t1=  1.18723 )
  S( 131108 )= 763 ;  Xi(M)≈ 752.13    δxi( 131108 )≈-.0142 (  t1=  1.18723 )
  S( 131110 )= 1208 ; Xi(M)≈ 1184.69 δxi( 131110 )≈-.0193 (  t1=  1.187229 )
  S( 131112 )= 1518 ; Xi(M)≈ 1482.54 δxi( 131112 )≈-.0234 (  t1=  1.187229 )

作者: 愚工688 时间: 2018-12-8 14:04
本帖最后由愚工688 于 2018-12-14 13:25 编辑

使用素对计算式 Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 计算 M=2^18 起的连续20个偶数表为两个素数和的单记数量：

  S( 262144 )= 1314       ;Xi(M)≈ 1312.33  δxi( 262144 )≈-.0013 (  t1=  1.180447 )
  S( 262146 )= 2661       ;Xi(M)≈ 2624.74  δxi( 262146 )≈-.0136 (  t1=  1.180447 )
  S( 262148 )= 1320       ;Xi(M)≈ 1312.37  δxi( 262148 )≈-.0058 (  t1=  1.180447 )
  S( 262150 )= 2140       ;Xi(M)≈ 2119.77  δxi( 262150 )≈-.0095 (  t1=  1.180447 )
  S( 262152 )= 2913       ;Xi(M)≈ 2925.23  δxi( 262152 )≈ .0042 (  t1=  1.180447 )
  S( 262154 )= 1440       ;Xi(M)≈ 1420.42  δxi( 262154 )≈-.0136 (  t1=  1.180447 )
  S( 262156 )= 1319       ;Xi(M)≈ 1312.4 δxi( 262156 )≈-.005  (  t1=  1.180447 )
  S( 262158 )= 2868       ;Xi(M)≈ 2864.25  δxi( 262158 )≈-.0013 (  t1=  1.180447 )
  S( 262160 )= 1832       ;Xi(M)≈ 1831.02  δxi( 262160 )≈-.0005 (  t1=  1.180447 )
  S( 262162 )= 1434       ;Xi(M)≈ 1389.81  δxi( 262162 )≈-.0308 (  t1=  1.180447 )
  S( 262164 )= 3172       ;Xi(M)≈ 3150.81  δxi( 262164 )≈-.0067 (  t1=  1.180447 )
  S( 262166 )= 1358       ;Xi(M)≈ 1342.07  δxi( 262166 )≈-.0117 (  t1=  1.180447 )
  S( 262168 )= 1338       ;Xi(M)≈ 1312.47  δxi( 262168 )≈-.0191 (  t1=  1.180446 )
  S( 262170 )= 3591       ;Xi(M)≈ 3503.46  δxi( 262170 )≈-.0244 (  t1=  1.180446 )
  S( 262172 )= 1312       ;Xi(M)≈ 1312.47  δxi( 262172 )≈ .0004 (  t1=  1.180446 )
  S( 262174 )= 1587       ;Xi(M)≈ 1557.73  δxi( 262174 )≈-.0184 (  t1=  1.180446 )
  S( 262176 )= 2659       ;Xi(M)≈ 2625.9 δxi( 262176 )≈-.0124 (  t1=  1.180446 )
  S( 262178 )= 1628       ;Xi(M)≈ 1606.92  δxi( 262178 )≈-.0129 (  t1=  1.180446 )
  S( 262180 )= 1757       ;Xi(M)≈ 1750.11  δxi( 262180 )≈-.0039 (  t1=  1.180446 )
  S( 262182 )= 2693       ;Xi(M)≈ 2702.27  δxi( 262182 )≈ .0034 (  t1=  1.180446 )
  S( 262184 )= 1421       ;Xi(M)≈ 1432.39  δxi( 262184 )≈ .008  (  t1=  1.180446 )

作者: 重生888@ 时间: 2018-12-13 16:54
愚工好！您上面有一处：
D（5百亿）=79004202 是不是笔误？

作者: 愚工688 时间: 2018-12-13 20:42
本帖最后由愚工688 于 2018-12-13 12:48 编辑

重生888@ 发表于 2018-12-13 08:54
愚工好！您上面有一处：
D（5百亿）=79004202 是不是笔误？

没有。
具体500亿起连续25个偶数的素对真值（单记）：

G(50000000000) = 79004202
G(50000000002) = 59262284
G(50000000004) = 118490110
G(50000000006) = 68100948
G(50000000008) = 71099519
G(50000000010) = 157988586
G(50000000012) = 65732162
G(50000000014) = 61272843
G(50000000016) = 118510495
G(50000000018) = 59292853
G(50000000020) = 79010010
G(50000000022) = 142186907
G(50000000024) = 70921585
G(50000000026) = 59251942
G(50000000028) = 137457486
G(50000000030) = 79532797
G(50000000032) = 59282642
G(50000000034) = 118500487
G(50000000036) = 74548291
G(50000000038) = 59294346
G(50000000040) = 159496823
G(50000000042) = 59239605
G(50000000044) = 59280620
G(50000000046) = 119778384
G(50000000048) = 59688934

作者: 愚工688 时间: 2018-12-14 21:25
n= 19  , M=2^n= 524288
使用素对计算式 Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 计算 M=10^19 起的连续20个偶数表为两个素数和的单记数量：
  S( 524288 ) = 2367    ;Xi(M)≈ 2342.77    δxi( 524288 )≈-0.01024  (t1=  1.173781 )
  S( 524290 ) = 3612    ;Xi(M)≈ 3537.79    δxi( 524290 )≈-0.02055  (t1=  1.173781 )
  S( 524292 ) = 4629    ;Xi(M)≈ 4685.56    δxi( 524292 )≈ 0.01222  (t1=  1.173781 )
  S( 524294 ) = 2406    ;Xi(M)≈ 2342.79    δxi( 524294 )≈-0.02627  (t1=  1.173781 )
  S( 524296 ) = 2343    ;Xi(M)≈ 2342.8    δxi( 524296 )≈-0.000085  (t1=  1.173781 )
  S( 524298 ) = 4714    ;Xi(M)≈ 4685.61    δxi( 524298 )≈-0.00602  (t1=  1.173781 )
  S( 524300 ) = 3833    ;Xi(M)≈ 3784.2    δxi( 524300 )≈-0.01273  (t1=  1.173781 )
  S( 524302 ) = 2361    ;Xi(M)≈ 2342.82    δxi( 524302 )≈-0.00771  (t1=  1.173781 )
  S( 524304 ) = 5311    ;Xi(M)≈ 5222.1    δxi( 524304 )≈-0.01674  (t1=  1.173781 )
  S( 524306 ) = 2380    ;Xi(M)≈ 2342.83    δxi( 524306 )≈-0.00771  (t1=  1.173781 )
  S( 524308 ) = 2583    ;Xi(M)≈ 2535.71    δxi( 524308 )≈-0.01831  (t1=  1.173781 )
  S( 524310 ) = 6293    ;Xi(M)≈ 6247.59    δxi( 524310 )≈-0.00722  (t1=  1.173781 )
  S( 524312 ) = 2338    ;Xi(M)≈ 2342.86    δxi( 524312 )≈-0.00208  (t1=  1.173781 )
  S( 524314 ) = 2996    ;Xi(M)≈ 2998.86    δxi( 524314 )≈ 0.000955  (t1=  1.173781 )
  S( 524316 ) = 5144    ;Xi(M)≈ 5111.72    δxi( 524316 )≈-0.00628  (t1=  1.173781 )
  S( 524318 ) = 2350    ;Xi(M)≈ 2350.32    δxi( 524318 )≈ 0.00013  (t1=  1.173781 )
  S( 524320 ) = 3303    ;Xi(M)≈ 3268.73    δxi( 524320 )≈-0.01038  (t1=  1.173781 )
  S( 524322 ) = 4693    ;Xi(M)≈ 4685.79    δxi( 524322 )≈-0.00154  (t1=  1.173781 )
  S( 524324 ) = 2477    ;Xi(M)≈ 2480.72    δxi( 524324 )≈ 0.001502  (t1=  1.173781 )
  S( 524326 ) = 2647    ;Xi(M)≈ 2603.23    δxi( 524326 )≈-0.01654  (t1=  1.173781 )
  S( 524328 ) = 5685    ;Xi(M)≈ 5623       δxi( 524328 )≈-0.01091  (t1=  1.173781 )

作者: 愚工688 时间: 2018-12-14 21:31
使用偶数素对计算式 Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 对2^n 起连续偶数的计算：
  n=20:  M=2^n= 1048576

  S( 1048576 ) = 4239 ;Xi(M)≈ 4204.82    δxi( 1048576 )≈-0.008257  (t1=  1.167226 )
  S( 1048578 ) = 8444 ;Xi(M)≈ 8409.66    δxi( 1048578 )≈ -0.004067 (t1=  1.167226 )
  S( 1048580 ) = 6426 ;Xi(M)≈ 6349.67    δxi( 1048580 )≈-0.011874  (t1=  1.167226 )

  S( 1048582 ) = 4367 ;Xi(M)≈ 4429.51    δxi( 1048582 )≈ 0.014312 (t1=  1.167226 )
  S( 1048584 ) = 8419 ;Xi(M)≈ 8409.7    δxi( 1048584 )≈-0.001105  (t1=  1.167226 )
  G(1048586) = 5631    ;Xi(M)≈ 5615.56    δxi( 1048586 )≈-0.002742  (t1=  1.167226 )
  G(1048588) = 4230    ;Xi(M)≈ 4204.86    δxi( 1048588 )≈ -0.005943 (t1=  1.167226 )
  G(1048590) = 11466 ;Xi(M)≈ 11463.37    δxi( 1048590 )≈-0.000227  (t1=  1.167226 )

  G(1048592) = 4166    ;Xi(M)≈ 4204.88    δxi( 1048592 )≈ 0.009333  (t1=  1.167226 )
  G(1048594) = 4539    ;Xi(M)≈ 4485.21    δxi( 1048594 )≈-0.011897  (t1=  1.167226 )
  G(1048596) = 8391    ;Xi(M)≈ 8409.78    δxi( 1048596 )≈ 0.002240  (t1=  1.167226 )
  G(1048598) = 4353    ;Xi(M)≈ 4389.24    δxi( 1048598 )≈ 0.008270  (t1=  1.167226 )
  G(1048600) = 6878    ;Xi(M)≈ 6791.92    δxi( 1048600 )≈-0.012518  (t1=  1.167226 )

  G(1048602) = 8446    ;Xi(M)≈ 8409.82    δxi( 1048602 )≈ -0.004286  (t1=  1.167226 )
  G(1048604) = 4218    ;Xi(M)≈ 4204.92    δxi( 1048604 )≈ -0.003106  (t1=  1.167226 )
  G(1048606) = 4774    ;Xi(M)≈ 4745.37    δxi( 1048606 )≈ -0.005997  (t1=  1.167226 )
  G(1048608) = 9416    ;Xi(M)≈ 9372.7    δxi( 1048608 )≈ -0.004599  (t1=  1.167226 )
  G(1048610) = 5924    ;Xi(M)≈ 5936.39    δxi( 1048610 )≈ 0.002093 (t1=  1.167226 )

  G(1048612) = 4212    ;Xi(M)≈ 4204.95    δxi( 1048612 )≈-0.001674  (t1=  1.167226 )
  G(1048614) = 10113 ;Xi(M)≈ 10091.89    δxi( 1048614 )≈-0.002087  (t1=  1.167226 )
  G(1048616) = 4536    ;Xi(M)≈ 4551.13    δxi( 1048616 )≈-0.003307 (t1=  1.167226 )
  G(1048618) = 4268    ;Xi(M)≈ 4204.97    δxi( 1048618 )≈-0.014768  (t1=  1.167226 )
  G(1048620) = 11266 ;Xi(M)≈ 11213.26    δxi( 1048620 )≈-0.004681  (t1=  1.167226 )

  G(1048622) = 4249    ;Xi(M)≈ 4256.89    δxi( 1048622 )≈ 0.001857 (t1=  1.167226 )
  G(1048624) = 4283    ;Xi(M)≈ 4204.99    δxi( 1048624 )≈-0.018214  (t1=  1.167226 )
  G(1048626) = 8433    ;Xi(M)≈ 8409.99    δxi( 1048626 )≈-0.002729 (t1=  1.167226 )

作者: 愚工688 时间: 2018-12-14 21:42

使用偶数素对计算式 Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 对2^n 起连续偶数的计算：
  n=21  ,  M=2^n=  2097152

  S( 2097152 ) = 7471    ;Xi(M)≈ 7585.34    δxi( 2097152 )≈ 0.01530  (t1=  1.160775 )
  S( 2097154 ) = 8118    ;Xi(M)≈ 8091.04    δxi( 2097154 )≈-0.003326  (t1=  1.160775 )
  S( 2097156 ) = 15159    ;Xi(M)≈ 15170.7    δxi( 2097156 )≈ 0.000772  (t1=  1.160775 )
  S( 2097158 ) = 9230    ;Xi(M)≈ 9168.95    δxi( 2097158 )≈-0.006614  (t1=  1.160775 )
  S( 2097160 ) = 11471    ;Xi(M)≈ 11454.55    δxi( 2097160 )≈-0.001434  (t1=  1.160775 )
  S( 2097162 ) = 15247    ;Xi(M)≈ 15263.4    δxi( 2097162 )≈ 0.001076 (t1=  1.160775 )
  S( 2097164 ) = 7992    ;Xi(M)≈ 7990.67    δxi( 2097164 )≈-0.000166  (t1=  1.160775 )
  S( 2097166 ) = 7629    ;Xi(M)≈ 7585.38    δxi( 2097166 )≈-0.005718  (t1=  1.160775 )
  S( 2097168 ) = 15170    ;Xi(M)≈ 15170.78    δxi( 2097168 )≈ 0.000051  (t1=  1.160775 )
  S( 2097170 ) = 10082    ;Xi(M)≈ 10113.86    δxi( 2097170 )≈ 0.003160 (t1=  1.160775 )
  S( 2097172 ) = 10216    ;Xi(M)≈ 10130.26    δxi( 2097172 )≈-0.008393 (t1=  1.160775 )
  S( 2097174 ) = 15075    ;Xi(M)≈ 15170.82    δxi( 2097174 )≈ 0.006355 (t1=  1.160775 )
  S( 2097176 ) = 7672    ;Xi(M)≈ 7585.41    δxi( 2097176 )≈-0.011288 (t1=  1.160775 )
  S( 2097178 ) = 7629    ;Xi(M)≈ 7585.42    δxi( 2097178 )≈-0.005715 (t1=  1.160775 )
  S( 2097180 ) = 20666    ;Xi(M)≈ 20679.49    δxi( 2097180 )≈ 0.000653 (t1=  1.160775 )
  S( 2097182 ) = 8112    ;Xi(M)≈ 8100.77    δxi( 2097182 )≈-0.001384 (t1=  1.160775 )
  S( 2097184 ) = 7617    ;Xi(M)≈ 7585.44    δxi( 2097184 )≈-0.004143  (t1=  1.160775 )
  S( 2097186 ) = 21025    ;Xi(M)≈ 20931.89    δxi( 2097186 )≈-0.004429  (t1=  1.160774 )
  S( 2097188 ) = 8136    ;Xi(M)≈ 8091.15    δxi( 2097188 )≈-0.005519  (t1=  1.160774 )
  S( 2097190 ) = 10164    ;Xi(M)≈ 10113.94    δxi( 2097190 )≈-0.004929  (t1=  1.160774 )
  S( 2097192 ) = 15252    ;Xi(M)≈ 15170.93    δxi( 2097192 )≈-0.005317  (t1=  1.160774 )

  time start =15:56:48    end time =15:56:49
从该实例计算中可以看出，由于采用了对数计算，计算Xi(M)值的速度是比较快的；
而计算值的相对误差都比较小，对于使用哈李素对计算式的计算值来说，计算精度有相当大的提高。

作者: 愚工688 时间: 2018-12-16 12:38
本帖最后由愚工688 于 2018-12-16 04:56 编辑

  使用偶数素对计算式 Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 对2^n 起连续偶数的计算：
  n= 22, M=2^n=  4194304

  S( 4194304 ) = 13705    ;Xi(M)≈ 13746.82    δxi( 4194304 )≈ 0.003050 (t1=  1.15442 )
  S( 4194306 ) = 28047    ;Xi(M)≈ 28164.23    δxi( 4194306 )≈ 0.004172 (t1=  1.15442 )
  S( 4194308 ) = 14601    ;Xi(M)≈ 14663.29    δxi( 4194308 )≈ 0.004266 (t1=  1.15442 )
  S( 4194310 ) = 18766    ;Xi(M)≈ 18650.68    δxi( 4194310 )≈-0.006145  (t1=  1.15442 )
  S( 4194312 ) = 27349    ;Xi(M)≈ 27493.68    δxi( 4194312 )≈ 0.005290 (t1=  1.15442 )
  S( 4194314 ) = 14050    ;Xi(M)≈ 14016.39    δxi( 4194314 )≈-0.002391  (t1=  1.15442 )
  S( 4194316 ) = 16617    ;Xi(M)≈ 16616.78    δxi( 4194316 )≈-0.000013  (t1=  1.15442 )
  S( 4194318 ) = 27442    ;Xi(M)≈ 27493.71    δxi( 4194318 )≈ 0.001884 (t1=  1.15442 )
  S( 4194320 ) = 20607    ;Xi(M)≈ 20758.95    δxi( 4194320 )≈ 0.007374 (t1=  1.15442 )
  S( 4194322 ) = 15551    ;Xi(M)≈ 15462.87    δxi( 4194322 )≈-0.005667  (t1=  1.15442 )
  S( 4194324 ) = 27892    ;Xi(M)≈ 27661.67    δxi( 4194324 )≈-0.008258  (t1=  1.15442 )
  S( 4194326 ) = 15199    ;Xi(M)≈ 15248.64    δxi( 4194326 )≈ 0.003263 (t1=  1.15442 )
  S( 4194328 ) = 14485    ;Xi(M)≈ 14481.39    δxi( 4194328 )≈-0.000249  (t1=  1.15442 )
  S( 4194330 ) = 43714    ;Xi(M)≈ 43990.06    δxi( 4194330 )≈ 0.006314 (t1=  1.15442 )
  S( 4194332 ) = 13684    ;Xi(M)≈ 13746.9    δxi( 4194332 )≈ 0.004597 (t1=  1.15442 )
  S( 4194334 ) = 14095    ;Xi(M)≈ 14135.36    δxi( 4194334 )≈ 0.002863 (t1=  1.15442 )
  S( 4194336 ) = 27531    ;Xi(M)≈ 27493.82    δxi( 4194336 )≈-0.001351  (t1=  1.15442 )
  S( 4194338 ) = 13662    ;Xi(M)≈ 13746.91    δxi( 4194338 )≈ 0.006214 (t1=  1.15442 )
  S( 4194340 ) = 18501    ;Xi(M)≈ 18329.23    δxi( 4194340 )≈-0.009286  (t1=  1.15442 )
  S( 4194342 ) = 29270    ;Xi(M)≈ 29346.06    δxi( 4194342 )≈ 0.002597 (t1=  1.15442 )

  time start =15:56:53    time end  =15:56:54

作者: 愚工688 时间: 2018-12-16 12:59
使用偶数素对计算式 Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 对2^n 起连续偶数的计算：
  n=23 ,  M=2^n= 8388608

  S( 8388608 ) = 24928    ;Xi(M)≈ 25017.95    δxi( 8388608 )≈ 0.003608 (t1=  1.148157 )
  S( 8388610 ) = 33378    ;Xi(M)≈ 33457.56    δxi( 8388610 )≈ 0.002384 (t1=  1.148157 )
  S( 8388612 ) = 51382    ;Xi(M)≈ 51256.3    δxi( 8388612 )≈-0.002446 (t1=  1.148157 )
  S( 8388614 ) = 28910    ;Xi(M)≈ 28897.75    δxi( 8388614 )≈-0.000424 (t1=  1.148157 )
  S( 8388616 ) = 26657    ;Xi(M)≈ 26685.83    δxi( 8388616 )≈ 0.001080 (t1=  1.148157 )
  S( 8388618 ) = 60017    ;Xi(M)≈ 60043.12    δxi( 8388618 )≈ 0.000435 (t1=  1.148157 )
  S( 8388620 ) = 33892    ;Xi(M)≈ 33942.52    δxi( 8388620 )≈ 0.001490 (t1=  1.148157 )
  S( 8388622 ) = 27779    ;Xi(M)≈ 27797.75    δxi( 8388622 )≈ 0.000675 (t1=  1.148157 )
  S( 8388624 ) = 50016    ;Xi(M)≈ 50035.97    δxi( 8388624 )≈ 0.000399 (t1=  1.148157 )
  S( 8388626 ) = 24999    ;Xi(M)≈ 25157.76    δxi( 8388626 )≈ 0.006351 (t1=  1.148157 )
  S( 8388628 ) = 25512    ;Xi(M)≈ 25508.54    δxi( 8388628 )≈-0.000137 (t1=  1.148157 )
  S( 8388630 ) = 66551    ;Xi(M)≈ 66714.67    δxi( 8388630 )≈ 0.002459 (t1=  1.148157 )
  S( 8388632 ) = 30168    ;Xi(M)≈ 30241.02    δxi( 8388632 )≈ 0.002420 (t1=  1.148157 )
  S( 8388634 ) = 25047    ;Xi(M)≈ 25072.28    δxi( 8388634 )≈ 0.001009 (t1=  1.148157 )
  S( 8388636 ) = 49873    ;Xi(M)≈ 50036.03    δxi( 8388636 )≈ 0.003268 (t1=  1.148157 )
  S( 8388638 ) = 24881    ;Xi(M)≈ 25018.02    δxi( 8388638 )≈ 0.005506 (t1=  1.148157 )
  S( 8388640 ) = 37669    ;Xi(M)≈ 37779.38    δxi( 8388640 )≈ 0.002930 (t1=  1.148157 )
  S( 8388642 ) = 50032    ;Xi(M)≈ 50036.06    δxi( 8388642 )≈ 0.000085 (t1=  1.148157 )
  S( 8388644 ) = 28047    ;Xi(M)≈ 28153.26    δxi( 8388644 )≈ 0.003789 (t1=  1.148157 )
  S( 8388646 ) = 30102    ;Xi(M)≈ 30174.04    δxi( 8388646 )≈ 0.002392 (t1=  1.148157 )
  S( 8388648 ) = 50285    ;Xi(M)≈ 50341.7    δxi( 8388648 )≈ 0.001128 (t1=  1.148157 )
  time start =15:56:56    time end =15:56:58

作者: 重生888@ 时间: 2018-12-16 19:54
请问S(8388624)=50016 那么·D（8388624）是不是在45626左右？
S（8388640）=66551 那么D（8388640）是不是在60779左右？
望帮助，谢谢！

作者: 愚工688 时间: 2018-12-17 22:11

重生888@ 发表于 2018-12-16 11:54
请问S(8388624)=50016 那么·D（8388624）是不是在45626左右？
S（8388640）=66551 那么D（83886 ...

S(8388624)=50016 就是表示偶数8388624的素对数量有50016对。（单记）
D（8388624）=50016对（单记）。
各人表示的方式不同。
我是一直用S(m)=S1(m)+S2(m)的方式来计算偶数M的素数对数量的，故用S(8388624)=50016。

作者: 重生888@ 时间: 2018-12-18 09:39

愚工688 发表于 2018-12-17 22:11
S(8388624)=50016 就是表示偶数8388624的素对数量有50016对。（单记）
D（8388624）=50016对（单记）。 ...

谢谢好友的解释！另外，请好友在多年的交流的感情分上，帮忙提供以下数据：
一，各偶数的素数对：
300+（0  2  4  6  8  10  12  14  16  18  20  22  24  26  28）连续15个
3000+（0  2  4  ........................................）15个
30000+（0  ........）连续15个
300000+（。。）
3000000+.....
30000000+.....
3亿+（0  2  4  6  8  10.....）连续15个各自素数对

二，100等各自的素数对：
D（100）
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
10亿

我要以上连续数据，目的想验证我的想法，麻烦您辛苦一下，特别感谢！方便就在这里发，不方便，我的邮箱：wdddyyy@aliyun.com    谢谢！

作者: 愚工688 时间: 2018-12-18 10:50
本帖最后由愚工688 于 2018-12-18 04:51 编辑

重生888@ 发表于 2018-12-18 01:39
谢谢好友的解释！另外，请好友在多年的交流的感情分上，帮忙提供以下数据：
一，各偶数的素数对：
300+ ...

M= 300    S(m)= 21 S1(m)= 19 Sp(m)≈ 17.2    δ(m)≈-.18 K(m)= 2.6667
M= 302    S(m)= 9    S1(m)= 9 Sp(m)≈ 6.5       δ(m)≈-.2776  K(m)= 1
M= 304    S(m)= 10 S1(m)= 9 Sp(m)≈ 6.5       δ(m)≈-.3455  K(m)= 1
M= 306    S(m)= 15 S1(m)= 14 Sp(m)≈ 14.1    δ(m)≈-.063 K(m)= 2.1333
M= 308    S(m)= 8    S1(m)= 8 Sp(m)≈ 8.8       δ(m)≈ .1054  K(m)= 1.3333
M= 310    S(m)= 12 S1(m)= 10 Sp(m)≈ 8.9       δ(m)≈-.2582  K(m)= 1.3333
M= 312    S(m)= 17 S1(m)= 16 Sp(m)≈ 14.7    δ(m)≈-.1376  K(m)= 2.1818
M= 314    S(m)= 9    S1(m)= 7 Sp(m)≈ 6.8       δ(m)≈-.2485  K(m)= 1
M= 316    S(m)= 10 S1(m)= 8 Sp(m)≈ 6.8       δ(m)≈-.3193  K(m)= 1
M= 318    S(m)= 15 S1(m)= 12 Sp(m)≈ 13.7    δ(m)≈-.0866  K(m)= 2
M= 320    S(m)= 11 S1(m)= 8 Sp(m)≈ 9.2       δ(m)≈-.1644  K(m)= 1.3333
M= 322    S(m)= 11 S1(m)= 9 Sp(m)≈ 8.3       δ(m)≈-.2432  K(m)= 1.2
M= 324    S(m)= 20 S1(m)= 16 Sp(m)≈ 14       δ(m)≈-.3019  K(m)= 2
M= 326    S(m)= 7    S1(m)= 6 Sp(m)≈ 7       δ(m)≈ .0036  K(m)= 1
M= 328    S(m)= 10 S1(m)= 8 Sp(m)≈ 7.1       δ(m)≈-.2931  K(m)= 1
M= 330    S(m)= 24 S1(m)= 22 Sp(m)≈ 21.1    δ(m)≈-.122 K(m)= 2.963
M= 3000 S(m)= 104 S1(m)= 99 Sp(m)≈ 98       δ(m)≈-.0574  K(m)= 2.6667
M= 3002 S(m)= 40 S1(m)= 38 Sp(m)≈ 38.9    δ(m)≈-.0263  K(m)= 1.0588
M= 3004 S(m)= 41 S1(m)= 37 Sp(m)≈ 36.8    δ(m)≈-.1022  K(m)= 1
M= 3006 S(m)= 78 S1(m)= 73 Sp(m)≈ 73.7    δ(m)≈-.0555  K(m)= 2
M= 3008 S(m)= 36 S1(m)= 34 Sp(m)≈ 37.7    δ(m)≈ .0466  K(m)= 1.0222
M= 3010 S(m)= 69 S1(m)= 65 Sp(m)≈ 60.5    δ(m)≈-.1239  K(m)= 1.639
M= 3012 S(m)= 76 S1(m)= 72 Sp(m)≈ 73.8    δ(m)≈-.0287  K(m)= 2
M= 3014 S(m)= 44 S1(m)= 41 Sp(m)≈ 41       δ(m)≈-.0674  K(m)= 1.1111
M= 3016 S(m)= 50 S1(m)= 46 Sp(m)≈ 41.8    δ(m)≈-.1638  K(m)= 1.1313
M= 3018 S(m)= 85 S1(m)= 81 Sp(m)≈ 74       δ(m)≈-.1298  K(m)= 2
M= 3020 S(m)= 49 S1(m)= 48 Sp(m)≈ 49.3    δ(m)≈ .007 K(m)= 1.3333
M= 3022 S(m)= 42 S1(m)= 38 Sp(m)≈ 37       δ(m)≈-.1183  K(m)= 1
M= 3024 S(m)= 99 S1(m)= 95 Sp(m)≈ 88.9    δ(m)≈-.1017  K(m)= 2.4
M= 3026 S(m)= 43 S1(m)= 41 Sp(m)≈ 39.6    δ(m)≈-.0802  K(m)= 1.0667
M= 3028 S(m)= 41 S1(m)= 38 Sp(m)≈ 37.1    δ(m)≈-.095 K(m)= 1
M= 3030 S(m)= 110 S1(m)= 105  Sp(m)≈ 99       δ(m)≈-.0999  K(m)= 2.6667
M= 30000 S(m)= 602 S1(m)= 590  Sp(m)≈ 607.9    δ(m)≈ .0098  K(m)= 2.6667
M= 30002 S(m)= 261 S1(m)= 256  Sp(m)≈ 273.6    δ(m)≈ .0481  K(m)= 1.2
M= 30004 S(m)= 258 S1(m)= 254  Sp(m)≈ 248.7    δ(m)≈-.036 K(m)= 1.0909
M= 30006 S(m)= 460 S1(m)= 451  Sp(m)≈ 456       δ(m)≈-.0087  K(m)= 2
M= 30008 S(m)= 238 S1(m)= 234  Sp(m)≈ 262.1    δ(m)≈ .1012  K(m)= 1.1494
M= 30010 S(m)= 316 S1(m)= 311  Sp(m)≈ 304       δ(m)≈-.0379  K(m)= 1.3333
M= 30012 S(m)= 469 S1(m)= 463  Sp(m)≈ 475.7    δ(m)≈ .0143  K(m)= 2.086
M= 30014 S(m)= 231 S1(m)= 225  Sp(m)≈ 233.6    δ(m)≈ .0114  K(m)= 1.0244
M= 30016 S(m)= 290 S1(m)= 285  Sp(m)≈ 277.9    δ(m)≈-.0417  K(m)= 1.2185
M= 30018 S(m)= 462 S1(m)= 451  Sp(m)≈ 456.2    δ(m)≈-.0126  K(m)= 2
M= 30020 S(m)= 318 S1(m)= 310  Sp(m)≈ 326.2    δ(m)≈ .0258  K(m)= 1.4301
M= 30022 S(m)= 240 S1(m)= 237  Sp(m)≈ 243.3    δ(m)≈ .0139  K(m)= 1.0667
M= 30024 S(m)= 470 S1(m)= 461  Sp(m)≈ 459.6    δ(m)≈-.0221  K(m)= 2.0146
M= 30026 S(m)= 223 S1(m)= 216  Sp(m)≈ 228.2    δ(m)≈ .0231  K(m)= 1
M= 30028 S(m)= 237 S1(m)= 233  Sp(m)≈ 228.2    δ(m)≈-.0373  K(m)= 1
M= 30030 S(m)= 905 S1(m)= 891  Sp(m)≈ 885.1    δ(m)≈-.022 K(m)= 3.8788
300000:

G(300000) = 3915
G(300002) = 1464
G(300004) = 1484
G(300006) = 3548
G(300008) = 1493
G(300010) = 2112
G(300012) = 3085
G(300014) = 1787
G(300016) = 1581
G(300018) = 3100
G(300020) = 2357
G(300022) = 1441
G(300024) = 2927
G(300026) = 1534
G(300028) = 1491

G(3000000) = 27502
G(3000002) = 10307
G(3000004) = 12451
G(3000006) = 20416
G(3000008) = 11547
G(3000010) = 15324
G(3000012) = 21121
G(3000014) = 10220
G(3000016) = 10363
G(3000018) = 24788
G(3000020) = 13772
G(3000022) = 10323
G(3000024) = 23902
G(3000026) = 10339
G(3000028) = 10839

G(30000000) = 202166
G(30000002) = 83769
G(30000004) = 79354
G(30000006) = 154712
G(30000008) = 75586
G(30000010) = 101025
G(30000012) = 193167
G(30000014) = 85791
G(30000016) = 75906
G(30000018) = 155324
G(30000020) = 101402
G(30000022) = 82931
G(30000024) = 151328
G(30000026) = 91466
G(30000028) = 77818

G(300000000) = 1547388
G(300000002) = 580572
G(300000004) = 589370
G(300000006) = 1230849
G(300000008) = 774302
G(300000010) = 773160
G(300000012) = 1312508
G(300000014) = 596979
G(300000016) = 579569
G(300000018) = 1162422
G(300000020) = 853167
G(300000022) = 698982
G(300000024) = 1160034
G(300000026) = 581037
G(300000028) = 580285

M= 100    S(m)= 6    S1(m)= 5 Sp(m)≈ 4.6       δ(m)≈-.238 K(m)= 1.333
M= 102    S(m)= 8    S1(m)= 7 Sp(m)≈ 7       δ(m)≈-.125 K(m)= 2
M= 104    S(m)= 5    S1(m)= 3 Sp(m)≈ 3.6       δ(m)≈-.286 K(m)= 1

M= 1000 S(m)= 28 S1(m)= 24 Sp(m)≈ 20.6    δ(m)≈-.264 K(m)= 1.333
M= 1002 S(m)= 36 S1(m)= 32 Sp(m)≈ 31       δ(m)≈-.139 K(m)= 2
M= 1004 S(m)= 18 S1(m)= 16 Sp(m)≈ 15.5    δ(m)≈-.138 K(m)= 1

M= 10000 S(m)= 127 S1(m)= 125  Sp(m)≈ 127.6    δ(m)≈ .005 K(m)= 1.333
M= 10002 S(m)= 197 S1(m)= 191  Sp(m)≈ 191.4    δ(m)≈-.028 K(m)= 2
M= 10004 S(m)= 99 S1(m)= 95 Sp(m)≈ 99.9    δ(m)≈ .009 K(m)= 1.043

M= 100000  S(m)= 810 S1(m)= 800  Sp(m)≈ 820.4    δ(m)≈ .013 K(m)= 1.333
M= 100002  S(m)= 1423  S1(m)= 1405 Sp(m)≈ 1476.7    δ(m)≈ .038 K(m)= 2.4
M= 100004  S(m)= 627 S1(m)= 618  Sp(m)≈ 644.6    δ(m)≈ .028 K(m)= 1.048

D(1000000)= 5402
D(1000002)= 8200
D(1000004)= 4160

D(10000000)= 38807
D(10000002)= 59624
D(10000004)= 36850

D(100000000)= 291400
D(100000002)= 464621
D(100000004)= 247582

D(1000000000)= 2274205
D(1000000002)= 3496205
D(1000000004)= 1747858

作者: 重生888@ 时间: 2018-12-18 17:04
谢谢您！我复制了。

作者: 愚工688 时间: 2018-12-20 13:19
本帖最后由愚工688 于 2018-12-20 05:22 编辑

使用偶数素对计算式 Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 对2^n 起连续偶数的计算：
  n= 24, M=2^n= 16777216
  S( 16777216 ) = 45746    ;Xi(M)≈ 45705.27    δxi( 16777216 )≈-0.00089  (t1=  1.14198 )
  S( 16777218 ) = 91210    ;Xi(M)≈ 91410.55    δxi( 16777218 )≈ 0.002199  (t1=  1.14198 )
  S( 16777220 ) = 60816    ;Xi(M)≈ 61123.6    δxi( 16777220 )≈ 0.005058  (t1=  1.14198 )
  S( 16777222 ) = 60819    ;Xi(M)≈ 60940.38    δxi( 16777222 )≈ 0.001996 (t1=  1.14198 )
  S( 16777224 ) = 93374    ;Xi(M)≈ 93640.1    δxi( 16777224 )≈ 0.002850 (t1=  1.14198 )
  S( 16777226 ) = 45650    ;Xi(M)≈ 45741.14    δxi( 16777226 )≈ 0.001996 (t1=  1.14198 )
  S( 16777228 ) = 52736    ;Xi(M)≈ 52793.28    δxi( 16777228 )≈ 0.001086 (t1=  1.14198 )
  S( 16777230 ) = 123096 ;Xi(M)≈ 123463.68 δxi( 16777230 )≈ 0.002987 (t1=  1.14198 )
  S( 16777232 ) = 48608    ;Xi(M)≈ 48752.33    δxi( 16777232 )≈ 0.002969 (t1=  1.14198 )
  S( 16777234 ) = 45628    ;Xi(M)≈ 45705.32    δxi( 16777234 )≈ 0.001695 (t1=  1.14198 )
  S( 16777236 ) = 109298 ;Xi(M)≈ 109692.77 δxi( 16777236 )≈ 0.003612 (t1=  1.14198 )
  S( 16777238 ) = 45755    ;Xi(M)≈ 45705.33    δxi( 16777238 )≈-0.001086 (t1=  1.14198 )
  S( 16777240 ) = 61798    ;Xi(M)≈ 62009.57    δxi( 16777240 )≈ 0.003424  (t1=  1.14198 )
  S( 16777242 ) = 91322    ;Xi(M)≈ 91638.05    δxi( 16777242 )≈ 0.003460  (t1=  1.14198 )
  S( 16777244 ) = 50605    ;Xi(M)≈ 50783.71    δxi( 16777244 )≈ 0.003531 (t1=  1.14198 )
  S( 16777246 ) = 45744    ;Xi(M)≈ 45705.34    δxi( 16777246 )≈-0.000845 (t1=  1.14198 )
  S( 16777248 ) = 90995    ;Xi(M)≈ 91410.7    δxi( 16777248 )≈ 0.004568 (t1=  1.14198 )
  S( 16777250 ) = 72820    ;Xi(M)≈ 73128.57    δxi( 16777250 )≈ 0.004237 (t1=  1.14198 )
  S( 16777252 ) = 45828    ;Xi(M)≈ 45960.7    δxi( 16777252 )≈ 0.003071 (t1=  1.14198 )
  S( 16777254 ) = 103096 ;Xi(M)≈ 103414.16 δxi( 16777254 )≈ 0.003086 (t1=  1.14198 )
  S( 16777256 ) = 46526    ;Xi(M)≈ 46601.55    δxi( 16777256 )≈ 0.001624 (t1=  1.14198 )
  time start =15:57:04  time end =15:57:06

作者: 愚工688 时间: 2018-12-23 13:09
使用偶数素对计算式 Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 对2^n 起连续偶数的计算：
n= 25 ,  M=2^n= 33554432

  G(33554432) = 83467 ;Xi(M)≈ 83792.8    δxi( 33554432 )≈0.003903  (t1=  1.135884 )
  G(33554434) = 84870 ;Xi(M)≈ 85133.57    δxi( 33554434 )≈0.003106  (t1=  1.135884 )
  G(33554436) = 167025  ;Xi(M)≈ 167585.61 δxi( 33554436 )≈0.003356  (t1=  1.135884 )
  G(33554438) = 83526 ;Xi(M)≈ 83846.98    δxi( 33554438 )≈0.003843  (t1=  1.135884 )
  G(33554440) = 111813  ;Xi(M)≈ 112059.65 δxi( 33554440 )≈0.002206  (t1=  1.135884 )

  G(33554442) = 167124  ;Xi(M)≈ 167585.64 δxi( 33554442 )≈0.002762  (t1=  1.135884 )
  G(33554444) = 111610  ;Xi(M)≈ 111723.77 δxi( 33554444 )≈0.001019  (t1=  1.135884 )
  G(33554446) = 84546 ;Xi(M)≈ 84547.72    δxi( 33554446 )≈0.000020  (t1=  1.135884 )
  G(33554448) = 171273  ;Xi(M)≈ 171704.82 δxi( 33554448 )≈0.002521  (t1=  1.135884 )
  G(33554450) = 117429  ;Xi(M)≈ 117866.55 δxi( 33554450 )≈0.003721  (t1=  1.135884 )

  G(33554452) = 83461 ;Xi(M)≈ 83858.57    δxi( 33554452 )≈ 0.004764 (t1=  1.135884 )
  G(33554454) = 168376  ;Xi(M)≈ 168323.96 δxi( 33554454 )≈-0.000309 (t1=  1.135884 )
  G(33554456) = 96498 ;Xi(M)≈ 96787.46    δxi( 33554456 )≈ 0.003000 (t1=  1.135884 )
  G(33554458) = 101815  ;Xi(M)≈ 102008.69 δxi( 33554458 )≈ 0.001902 (t1=  1.135884 )
  G(33554460) = 225919  ;Xi(M)≈ 226349.54 δxi( 33554460 )≈ 0.001906 (t1=  1.135884 )

  G(33554462) = 86416 ;Xi(M)≈ 86682.27    δxi( 33554462 )≈ 0.003081 (t1=  1.135884 )
  G(33554464) = 89193 ;Xi(M)≈ 89379.06    δxi( 33554464 )≈ 0.002085 (t1=  1.135884 )
  G(33554466) = 185356  ;Xi(M)≈ 186206.38 δxi( 33554466 )≈ 0.004588 (t1=  1.135884 )
  G(33554468) = 83284 ;Xi(M)≈ 83792.88    δxi( 33554468 )≈ 0.006110 (t1=  1.135884 )
  G(33554470) = 116496  ;Xi(M)≈ 117044.02 δxi( 33554470 )≈ 0.004704 (t1=  1.135884 )

  G(33554472) = 200702  ;Xi(M)≈ 201102.93 δxi( 33554472 )≈ 0.001997 (t1=  1.135884 )
  G(33554474) = 83607 ;Xi(M)≈ 83835.96    δxi( 33554474 )≈ 0.002739 (t1=  1.135884 )
  G(33554476) = 83712 ;Xi(M)≈ 83792.9    δxi( 33554476 )≈ 0.000966 (t1=  1.135884 )
  G(33554478) = 167334  ;Xi(M)≈ 167746.22 δxi( 33554478 )≈ 0.002463 (t1=  1.135884 )
  G(33554480) = 113367  ;Xi(M)≈ 113683.95 δxi( 33554480 )≈ 0.002796 (t1=  1.135884 )

作者: 愚工688 时间: 2018-12-25 12:59
  使用偶数素对计算式 Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 对2^n 起连续偶数的计算：
  n=26 ,  M=2^n=  67108864
  S( 67108864 ) = 153850    ;Xi(M)≈ 154121.36 δxi( 67108864 )≈ 0.001764  (t1=  1.129866 )
  S( 67108866 ) = 342981    ;Xi(M)≈ 343952.32 δxi( 67108866 )≈ 0.002832 (t1=  1.129866 )
  S( 67108868 ) = 155785    ;Xi(M)≈ 156587.47 δxi( 67108868 )≈ 0.005151 (t1=  1.129866 )
  S( 67108870 ) = 205054    ;Xi(M)≈ 205495.15 δxi( 67108870 )≈ 0.002151 (t1=  1.129866 )
  S( 67108872 ) = 307444    ;Xi(M)≈ 308242.73 δxi( 67108872 )≈ 0.002598 (t1=  1.129866 )
  S( 67108874 ) = 195904    ;Xi(M)≈ 195824.8    δxi( 67108874 )≈-0.000404  (t1=  1.129866 )
  S( 67108876 ) = 153885    ;Xi(M)≈ 154221    δxi( 67108876 )≈ 0.002183 (t1=  1.129866 )
  S( 67108878 ) = 307571    ;Xi(M)≈ 308242.75 δxi( 67108878 )≈ 0.002184 (t1=  1.129866 )
  S( 67108880 ) = 205481    ;Xi(M)≈ 206113    δxi( 67108880 )≈ 0.003076 (t1=  1.129866 )
  S( 67108882 ) = 157670    ;Xi(M)≈ 158073.22 δxi( 67108882 )≈ 0.002556 (t1=  1.129866 )
  S( 67108884 ) = 307467    ;Xi(M)≈ 308242.78 δxi( 67108884 )≈ 0.002523 (t1=  1.129866 )
  S( 67108886 ) = 168042    ;Xi(M)≈ 168905.86 δxi( 67108886 )≈ 0.005141 (t1=  1.129866 )
  S( 67108888 ) = 205131    ;Xi(M)≈ 205495.2    δxi( 67108888 )≈ 0.001775 (t1=  1.129866 )
  S( 67108890 ) = 412565    ;Xi(M)≈ 413312.39 δxi( 67108890 )≈ 0.001812 (t1=  1.129866 )
  S( 67108892 ) = 155346    ;Xi(M)≈ 155509.9    δxi( 67108892 )≈ 0.001055 (t1=  1.129866 )
  S( 67108894 ) = 171874    ;Xi(M)≈ 172224.56 δxi( 67108894 )≈ 0.002040 (t1=  1.129866 )
  S( 67108896 ) = 314991    ;Xi(M)≈ 315819.25 δxi( 67108896 )≈ 0.002629 (t1=  1.129866 )
  S( 67108898 ) = 158500    ;Xi(M)≈ 158935.16 δxi( 67108898 )≈ 0.002315 (t1=  1.129866 )
  S( 67108900 ) = 216293    ;Xi(M)≈ 216793.72 δxi( 67108900 )≈ 0.002315 (t1=  1.129866 )
  S( 67108902 ) = 378682    ;Xi(M)≈ 379695.95 δxi( 67108902 )≈ 0.002678 (t1=  1.129866 )
  S( 67108904 ) = 153758    ;Xi(M)≈ 154265.81 δxi( 67108904 )≈ 0.003303 (t1=  1.129866 )
  time start =15:57:10  time end =15:57:17

作者: 愚工688 时间: 2018-12-26 21:08
使用偶数素对计算式 Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 对2^n 起连续偶数的计算：
n=27 ,  M=2^n=  134217728
  S( 134217728 ) = 283746 ;Xi(M)≈ 284328.73 δxi( 134217728 )≈ 0.002054 (t1=  1.123921 )
  S( 134217730 ) = 388508 ;Xi(M)≈ 389273.68 δxi( 134217730 )≈ 0.001971 (t1=  1.123921 )
  S( 134217732 ) = 632563 ;Xi(M)≈ 634535.85 δxi( 134217732 )≈ 0.003119 (t1=  1.123921 )
  S( 134217734 ) = 340683 ;Xi(M)≈ 341194.5    δxi( 134217734 )≈ 0.001501 (t1=  1.123921 )
  S( 134217736 ) = 287828 ;Xi(M)≈ 288878.31 δxi( 134217736 )≈ 0.003649 (t1=  1.123921 )
  S( 134217738 ) = 568401 ;Xi(M)≈ 569131.65 δxi( 134217738 )≈ 0.001285 (t1=  1.123921 )
  S( 134217740 ) = 378164 ;Xi(M)≈ 379105.02 δxi( 134217740 )≈ 0.002488 (t1=  1.123921 )
  S( 134217742 ) = 308406 ;Xi(M)≈ 308900.37 δxi( 134217742 )≈ 0.001602 (t1=  1.123921 )
  S( 134217744 ) = 567253 ;Xi(M)≈ 568657.53 δxi( 134217744 )≈ 0.002476 (t1=  1.123921 )
  S( 134217746 ) = 309517 ;Xi(M)≈ 310176.83 δxi( 134217746 )≈ 0.002132 (t1=  1.123921 )
  S( 134217748 ) = 360541 ;Xi(M)≈ 361264.79 δxi( 134217748 )≈ 0.002008 (t1=  1.123921 )
  S( 134217750 ) = 768529 ;Xi(M)≈ 770163.3    δxi( 134217750 )≈ 0.002165 (t1=  1.123921 )
  S( 134217752 ) = 284224 ;Xi(M)≈ 284538.85 δxi( 134217752 )≈ 0.001108 (t1=  1.123921 )
  S( 134217754 ) = 337770 ;Xi(M)≈ 338228.08 δxi( 134217754 )≈ 0.001356 (t1=  1.123921 )
  S( 134217756 ) = 568114 ;Xi(M)≈ 568657.58 δxi( 134217756 )≈ 0.000957 (t1=  1.123921 )
  S( 134217758 ) = 283064 ;Xi(M)≈ 284328.79 δxi( 134217758 )≈ 0.004468 (t1=  1.123921 )
  S( 134217760 ) = 380007 ;Xi(M)≈ 380244.85 δxi( 134217760 )≈ 0.000626 (t1=  1.123921 )
  S( 134217762 ) = 680882 ;Xi(M)≈ 682389.14 δxi( 134217762 )≈ 0.002213 (t1=  1.123921 )
  S( 134217764 ) = 290960 ;Xi(M)≈ 291619.29 δxi( 134217764 )≈ 0.002266 (t1=  1.123921 )
  S( 134217766 ) = 284440 ;Xi(M)≈ 284651.55 δxi( 134217766 )≈ 0.000744 (t1=  1.123921 )
  S( 134217768 ) = 567620 ;Xi(M)≈ 568657.63 δxi( 134217768 )≈ 0.001828  (t1=  1.123921 )
  time start =15:57:20  time end =15:57:31

作者: 愚工688 时间: 2018-12-29 20:35
使用偶数素对计算式 Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 对2^n 起连续偶数的计算：
n=28  ,  M=2^n=  268435456

  S( 268435456 ) = 525236 ;Xi(M)≈ 526000.19 δxi( 268435456 )≈ 0.0014549  (t1=  1.118045 )
  S( 268435458 ) = 1113342 ;Xi(M)≈ 1113882.73 δxi( 268435458 )≈ 0.00048565 (t1=  1.118045 )
  S( 268435460 ) = 718617 ;Xi(M)≈ 720145.41 δxi( 268435460 )≈ 0.00212686 (t1=  1.118045 )
  S( 268435462 ) = 524665 ;Xi(M)≈ 526129.9    δxi( 268435462 )≈ 0.00279207 (t1=  1.118045 )
  S( 268435464 ) = 1172204 ;Xi(M)≈ 1173873.54 δxi( 268435464 )≈ 0.00142424 (t1=  1.118045 )
  S( 268435466 ) = 581132 ;Xi(M)≈ 582051.6    δxi( 268435466 )≈ 0.00158243 (t1=  1.118045 )
  S( 268435468 ) = 629956 ;Xi(M)≈ 631200.26 δxi( 268435468 )≈ 0.00195715 (t1=  1.118045 )
  S( 268435470 ) = 1400746 ;Xi(M)≈ 1403642.26 δxi( 268435470 )≈ 0.00206747 (t1=  1.118045 )
  S( 268435472 ) = 534022 ;Xi(M)≈ 534416.78 δxi( 268435472 )≈ 0.00073926 (t1=  1.118045 )
  S( 268435474 ) = 561539 ;Xi(M)≈ 561576.58 δxi( 268435474 )≈ 0.00006692 (t1=  1.118045 )
  S( 268435476 ) = 1051505 ;Xi(M)≈ 1052877.61 δxi( 268435476 )≈ 0.00130537 (t1=  1.118045 )
  S( 268435478 ) = 527953 ;Xi(M)≈ 528670.28 δxi( 268435478 )≈ 0.0013586 (t1=  1.118045 )
  S( 268435480 ) = 700825 ;Xi(M)≈ 701333.66 δxi( 268435480 )≈ 0.0007258 (t1=  1.118045 )
  S( 268435482 ) = 1260390 ;Xi(M)≈ 1262400.59 δxi( 268435482 )≈ 0.0015952 (t1=  1.118045 )
  S( 268435484 ) = 571035 ;Xi(M)≈ 571457.04 δxi( 268435484 )≈ 0.0007390 (t1=  1.118045 )
  S( 268435486 ) = 593353 ;Xi(M)≈ 594698.15 δxi( 268435486 )≈ 0.0022670 (t1=  1.118045 )
  S( 268435488 ) = 1050429 ;Xi(M)≈ 1052000.5 δxi( 268435488 )≈ 0.0014961 (t1=  1.118045 )
  S( 268435490 ) = 701046 ;Xi(M)≈ 701333.69 δxi( 268435490 )≈ 0.00041037 (t1=  1.118045 )
  S( 268435492 ) = 573341 ;Xi(M)≈ 573818.45 δxi( 268435492 )≈ 0.00083275 (t1=  1.118045 )
  S( 268435494 ) = 1052910 ;Xi(M)≈ 1054511.28 δxi( 268435494 )≈ 0.00152081 (t1=  1.118045 )
  S( 268435496 ) = 667748 ;Xi(M)≈ 668329.74 δxi( 268435496 )≈ 0.00087114 (t1=  1.118045 )

  time start =15:57:33 , time end =15:57:50

作者: 愚工688 时间: 2018-12-30 09:57
  用计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 计算 M= 2^n 起的连续偶数的素对数量：
  n= 29 ,M= 2^n = 536870912

  S( 536870912 ) = 975685 ;Xi(M)≈ 975604.11 δxi( 536870912 )≈-0.00008302  (t1=  1.112236 )
  S( 536870914 ) = 1041368 ;Xi(M)≈ 1040644.39 δxi( 536870914 )≈-0.00069486  (t1=  1.112236 )
  S( 536870916 ) = 2065478 ;Xi(M)≈ 2065985.14 δxi( 536870916 )≈ 0.00024546  (t1=  1.112236 )
  S( 536870918 ) = 975861 ;Xi(M)≈ 975604.12 δxi( 536870918 )≈-0.00026336  (t1=  1.112236 )
  S( 536870920 ) = 1334819 ;Xi(M)≈ 1335696.9 δxi( 536870920 )≈ 0.00065769  (t1=  1.112236 )
  S( 536870922 ) = 2453728 ;Xi(M)≈ 2452947.45 δxi( 536870922 )≈-0.0003181 (t1=  1.112236 )
  S( 536870924 ) = 975576 ;Xi(M)≈ 975844.69 δxi( 536870924 )≈ 0.0002754 (t1=  1.112236 )
  S( 536870926 ) = 975674 ;Xi(M)≈ 975604.13 δxi( 536870926 )≈-0.0000716 (t1=  1.112236 )
  S( 536870928 ) = 2177351 ;Xi(M)≈ 2177253.69 δxi( 536870928 )≈-0.00004469  (t1=  1.112236 )
  S( 536870930 ) = 1301059 ;Xi(M)≈ 1301172.15 δxi( 536870930 )≈ 0.00008697  (t1=  1.112236 )
  S( 536870932 ) = 1079131 ;Xi(M)≈ 1079566.03 δxi( 536870932 )≈ 0.0004031 (t1=  1.112236 )
  S( 536870934 ) = 1955811 ;Xi(M)≈ 1956383.97 δxi( 536870934 )≈ 0.00029296  (t1=  1.112236 )
  S( 536870936 ) = 1170137 ;Xi(M)≈ 1170725    δxi( 536870936 )≈ 0.00050251  (t1=  1.112236 )
  S( 536870938 ) = 976486 ;Xi(M)≈ 976846.94 δxi( 536870938 )≈ 0.00036963  (t1=  1.112236 )
  S( 536870940 ) = 2603046 ;Xi(M)≈ 2603419.52 δxi( 536870940 )≈ 0.00014349  (t1=  1.112236 )
  S( 536870942 ) = 1005389 ;Xi(M)≈ 1005806.79 δxi( 536870942 )≈ 0.00041555  (t1=  1.112236 )
  S( 536870944 ) = 991066 ;Xi(M)≈ 991214.87 δxi( 536870944 )≈ 0.0001502 (t1=  1.112236 )
  S( 536870946 ) = 1952658 ;Xi(M)≈ 1951736.31 δxi( 536870946 )≈-0.00047178  (t1=  1.112236 )
  S( 536870948 ) = 1040465 ;Xi(M)≈ 1041589.78 δxi( 536870948 )≈ 0.00108104  (t1=  1.112236 )
  S( 536870950 ) = 1735823 ;Xi(M)≈ 1735366.11 δxi( 536870950 )≈-0.00026321  (t1=  1.112236 )
  S( 536870952 ) = 1952119 ;Xi(M)≈ 1952835.28 δxi( 536870952 )≈ 0.00036692  (t1=  1.112236 )
  time start =15:57:54 time end =15:58:20

作者: 愚工688 时间: 2018-12-31 11:25
今天是2018-12-31，我这个帖子发了近2个月了。
现在把原来帖子中公式中没有公布的参数t1的计算式公开了吧，以便大家验证我的计算。
（以原来20楼的帖子为例）
  使用公式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 对偶数 2^5 到 2^39 的素对（单记）计算值与相对误差
   t1=1.358-log(M)^(2.045/3)*.03178

  S( 32 ) =  2       ;Xi(M)≈ 2.4       δxi( 32 )≈0.2 (t1=  1.283849 )
  S( 64 ) =  5       ;Xi(M)≈ 3.22       δxi( 64 )≈-0.356  (t1=  1.274037 )
  S( 128 ) = 3       ;Xi(M)≈ 4.65       δxi( 128 )≈0.55 (t1=  1.264734 )
  S( 256 ) = 8       ;Xi(M)≈ 7.03       δxi( 256 )≈-0.1213  (t1=  1.255846 )
  S( 512 ) = 11    ;Xi(M)≈ 10.95       δxi( 512 )≈-0.00455  (t1=  1.247306 )
  S( 1024 ) = 22    ;Xi(M)≈ 17.55       δxi( 1024 )≈-0.2023  (t1=  1.239063 )
n=11
  S( 2048 ) = 25          ;Xi(M)≈ 28.76       δxi( 2048 )≈ 0.1504  (t1=  1.231079 )
  S( 4096 ) = 53          ;Xi(M)≈ 47.96       δxi( 4096 )≈-0.0951  (t1=  1.223324 )
  S( 8192 ) = 76          ;Xi(M)≈ 81.13       δxi( 8192 )≈-0.0675  (t1=  1.215771 )
  S( 16384 ) = 151       ;Xi(M)≈ 138.98    δxi( 16384 )≈-0.0796  (t1=  1.208402 )
  S( 32768 ) = 244       ;Xi(M)≈ 240.58    δxi( 32768 )≈-0.01402  (t1=  1.201198 )
n=16
  S( 65536 ) = 435       ;Xi(M)≈ 420.3       δxi( 65536 )≈-0.0338  (t1=  1.194146 )
  S( 131072 ) = 749       ;Xi(M)≈ 740.15    δxi( 131072 )≈-0.0118 (t1=  1.187232 )
  S( 262144 ) = 1314    ;Xi(M)≈ 1312.67    δxi( 262144 )≈-0.00101  (t1=  1.180447 )
  S( 524288 ) = 2367    ;Xi(M)≈ 2342.77    δxi( 524288 )≈-0.01024  (t1=  1.173781 )
  S( 1048576 ) = 4239    ;Xi(M)≈ 4204.82    δxi( 1048576 )≈-0.008068 (t1=  1.167226 )
n=21
  S( 2097152 ) = 7471       ;Xi(M)≈ 7585.34    δxi( 2097152 )≈ 0.01530 (t1=  1.160775 )
  S( 4194304 ) = 13705    ;Xi(M)≈ 13746.82    δxi( 4194304 )≈ 0.00305  (t1=  1.15442 )
  S( 8388608 ) = 24928    ;Xi(M)≈ 25017.95    δxi( 8388608 )≈ 0.000361  (t1=  1.148157 )
  S( 16777216 ) = 45746    ;Xi(M)≈ 45705.27    δxi( 16777216 )≈-0.00089  (t1=  1.14198 )
  S( 33554432 ) = 83467    ;Xi(M)≈ 83792.8    δxi( 33554432 )≈ 0.003903  (t1=  1.135884 )
n=26
  S( 67108864 ) = 153850    ;Xi(M)≈ 154121.36 δxi( 67108864 )≈ 0.0017614  (t1=  1.129866 )
  S( 134217728 ) = 283746 ;Xi(M)≈ 284328.73 δxi( 134217728 )≈ 0.0020536  (t1=  1.123921 )
  S( 268435456 ) = 525236 ;Xi(M)≈ 526000.19 δxi( 268435456 )≈ 0.0014546 (t1=  1.118045 )
  S( 536870912 ) = 975685 ;Xi(M)≈ 975604.11 δxi( 536870912 )≈ 0.000083  (t1=  1.112236 )
  S( 1073741824 ) = 1817111  ;Xi(M)≈ 1813876.74 δxi( 1073741824 )≈-0.001780 (t1=  1.106491 )
n=31
  S( 2147483648 ) = 3390038 ;Xi(M)≈ 3380024.25 δxi( 2147483648 )≈-0.002954  (t1=  1.100806 )
  S( 4294967296 ) = 6341424 ;Xi(M)≈ 6311717.92 δxi( 4294967296 )≈-0.004684  (t1=  1.095179 )
  S( 8589934592 ) = 11891654  ;Xi(M)≈ 11809589.19  δxi( 8589934592 )≈-0.006901  (t1=  1.089608 )
  S( 17179869184 ) = 22336060 ;Xi(M)≈ 22137571.87  δxi( 17179869184 )≈-0.008886  (t1=  1.08409 )
  S( 34359738368 ) = 42034097 ;Xi(M)≈ 41570608.91  δxi( 34359738368 )≈-0.011026  (t1=  1.078624 )
n=36
  S( 68719476736 ) = 79287664 ;Xi(M)≈ 78191757.13  δxi( 68719476736 )≈-0.013822  (t1=  1.073207 )
  S( 137438953472 ) = 149711134  ;Xi(M)≈ 147303944.55 δxi( 137438953472 )≈-0.0160789  (t1=  1.067838 )
  S( 274877906944 ) = 283277225 ;Xi(M)≈ 277913914.13 δxi( 274877906944 )≈-0.018933 (t1=  1.062515 )
  S( 549755813888 ) = 536710100 ;Xi(M)≈ 525067712.8  δxi( 549755813888 )≈-0.02169213  (t1=  1.057236 )
  time start =11:41:43    end time =11:47:50

作者: 愚工688 时间: 2018-12-31 11:47
如果仔细的分析一下 45楼的计算值的相对误差的变化，可以发现参数 t1的值还是有一些不足的。
虽然大多数偶数的素对数的计算值的相对误差值的绝对值都比较小，但是从n=30起偶数的相对误差绝对值的数值处于单调增大的过程中，这反映出 t1的值的缩小的速度要大于实际偶数与哈李计算式值的相对误差的变化，因此造成相对误差绝对值随偶数增大而相应增大的现象。
以后我会进一步的发表随n增大的 M= 2^n 起的连续偶数的素对数量计算数据，可以反映出这个[相对误差绝对值随偶数增大而相应增大]的缺陷。

作者: 愚工688 时间: 2018-12-31 12:00
使用计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 计算 M= 2^n 起的连续偶数的素对数量：
  n= 30, M=2^n = 1073741824

  G(1073741824) = 1817111 ;Xi(M)≈ 1813876.74 δxi( 1073741824 )≈-0.001780  (t1=  1.106491 )
  G(1073741826) = 3698190 ;Xi(M)≈ 3691398.42 δxi( 1073741826 )≈-0.001836  (t1=  1.106491 )
  G(1073741828) = 1937221 ;Xi(M)≈ 1934801.87 δxi( 1073741828 )≈-0.001249  (t1=  1.106491 )
  G(1073741830) = 2906799 ;Xi(M)≈ 2904091    δxi( 1073741830 )≈-0.000932  (t1=  1.106491 )

  G(1073741832) = 3846703 ;Xi(M)≈ 3841150.69 δxi( 1073741832 )≈-0.001443  (t1=  1.106491 )
  G(1073741834) = 2044582 ;Xi(M)≈ 2041348.66 δxi( 1073741834 )≈-0.001581  (t1=  1.106491 )
  G(1073741836) = 1816300 ;Xi(M)≈ 1813876.76 δxi( 1073741836 )≈-0.001334  (t1=  1.106491 )
  G(1073741838) = 3974054 ;Xi(M)≈ 3967899.5 δxi( 1073741838 )≈-0.001549  (t1=  1.106491 )
  G(1073741840) = 2486378 ;Xi(M)≈ 2483373.66 δxi( 1073741840 )≈-0.001208  (t1=  1.106491 )

  G(1073741842) = 1819549 ;Xi(M)≈ 1816706.55 δxi( 1073741842 )≈-0.001556  (t1=  1.106491 )
  G(1073741844) = 4567054 ;Xi(M)≈ 4560604.35 δxi( 1073741844 )≈-0.001412  (t1=  1.106491 )
  G(1073741846) = 1816554 ;Xi(M)≈ 1813876.77 δxi( 1073741846 )≈-0.001474  (t1=  1.106491 )
  G(1073741848) = 1815511 ;Xi(M)≈ 1814324.03 δxi( 1073741848 )≈-0.000654  (t1=  1.106491 )
  G(1073741850) = 4981847 ;Xi(M)≈ 4975204.77 δxi( 1073741850 )≈-0.001333  (t1=  1.106491 )

  G(1073741852) = 1817232 ;Xi(M)≈ 1813876.78 δxi( 1073741852 )≈-0.001846  (t1=  1.106491 )
  G(1073741854) = 1878749 ;Xi(M)≈ 1876424.31 δxi( 1073741854 )≈-0.001238  (t1=  1.106491 )
  G(1073741856) = 4054177 ;Xi(M)≈ 4048025.01 δxi( 1073741856 )≈-0.001517  (t1=  1.106491 )
  G(1073741858) = 2179356 ;Xi(M)≈ 2177157.25 δxi( 1073741858 )≈-0.001009  (t1=  1.106491 )
  G(1073741860) = 2422402 ;Xi(M)≈ 2419184.06 δxi( 1073741860 )≈-0.001328  (t1=  1.106491 )

  G(1073741862) = 3874809 ;Xi(M)≈ 3869603.86 δxi( 1073741862 )≈-0.001343  (t1=  1.106491 )
  G(1073741864) = 2009595 ;Xi(M)≈ 2007166.32 δxi( 1073741864 )≈-0.001209  (t1=  1.106491 )
  G(1073741866) = 1893475 ;Xi(M)≈ 1889655.8 δxi( 1073741866 )≈-0.002017  (t1=  1.106491 )
  G(1073741868) = 3641708 ;Xi(M)≈ 3637376.42 δxi( 1073741868 )≈-0.001189  (t1=  1.106491 )
  G(1073741870) = 2563976 ;Xi(M)≈ 2560767.33 δxi( 1073741870 )≈-0.001251  (t1=  1.106491 )

  G(1073741872) = 2181144 ;Xi(M)≈ 2176652.21 δxi( 1073741872 )≈-0.002059  (t1=  1.106491 )
  G(1073741874) = 3639557 ;Xi(M)≈ 3632675.91 δxi( 1073741874 )≈-0.001891  (t1=  1.106491 )

可以看到，45楼的不同n值的偶数的速度计算值与相对误差的变化，不仅仅只是单个偶数的变化，而是代表了一个小区域偶数的变化。
例如本楼的全部偶数的相对误差值与n=30的  M=2^n = 1073741824 偶数一样，都已经处于负值。并且随2^n的n增大,相对误差值的变化趋势仍然将保持下去。

作者: 愚工688 时间: 2019-1-1 21:36

使用计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 计算 M= 2^n 起的连续偶数的素对数量：
  式中， t1=1.358-log(M)^(2.045/3)*.03178
  n= 31, M=2^n = 2147483648 ：

  S( 2147483648 ) = 3390038 ;Xi(N)≈ 3380024.25 δxi( 2147483648 )≈-0.002954  (t1=  1.100806 )
  S( 2147483650 ) = 5147510 ;Xi(N)≈ 5131813.66 δxi( 2147483650 )≈-0.003049  (t1=  1.100806 )
  S( 2147483652 ) = 6897846 ;Xi(N)≈ 6878646.13 δxi( 2147483652 )≈-0.002783  (t1=  1.100806 )
  S( 2147483654 ) = 3389472 ;Xi(N)≈ 3380024.26 δxi( 2147483654 )≈-0.002787  (t1=  1.100806 )
  S( 2147483656 ) = 3615850 ;Xi(N)≈ 3605359.24 δxi( 2147483656 )≈-0.002901  (t1=  1.100806 )
  S( 2147483658 ) = 6824418 ;Xi(N)≈ 6806035.08 δxi( 2147483658 )≈-0.002694  (t1=  1.100806 )
  S( 2147483660 ) = 5425705 ;Xi(N)≈ 5411557.36 δxi( 2147483660 )≈-0.002608  (t1=  1.100806 )
  S( 2147483662 ) = 3390890 ;Xi(N)≈ 3380024.28 δxi( 2147483662 )≈-0.003204  (t1=  1.100806 )
  S( 2147483664 ) = 7176328 ;Xi(N)≈ 7157698.33 δxi( 2147483664 )≈-0.002596  (t1=  1.100806 )
  S( 2147483666 ) = 3388346 ;Xi(N)≈ 3380024.28 δxi( 2147483666 )≈-0.002456  (t1=  1.100806 )
  S( 2147483668 ) = 3815324 ;Xi(N)≈ 3803901.25 δxi( 2147483668 )≈-0.002994  (t1=  1.100806 )
  time start =16:34:31 time end =16:35:05

（n= 32, M=2^n = 4294967296 ）
  S( 4294967296 ) = 6341424 ;Xi(N)≈ 6311717.92 δxi( 4294967296 )≈-0.004684  (t1=  1.095179 )
  S( 4294967298 ) = 12679919  ;Xi(N)≈ 12623435.85  δxi( 4294967298 )≈-0.004455  (t1=  1.095179 )
  S( 4294967300 ) = 9627145 ;Xi(N)≈ 9582937.21 δxi( 4294967300 )≈-0.004592  (t1=  1.095179 )
  S( 4294967302 ) = 6424654 ;Xi(N)≈ 6394967.63 δxi( 4294967302 )≈-0.004621  (t1=  1.095179 )
  S( 4294967304 ) = 12903730  ;Xi(N)≈ 12844900.15  δxi( 4294967304 )≈-0.004559  (t1=  1.095179 )
  S( 4294967306 ) = 7606898 ;Xi(N)≈ 7574061.64 δxi( 4294967306 )≈-0.004317  (t1=  1.095179 )
  S( 4294967308 ) = 6339666 ;Xi(N)≈ 6311717.94 δxi( 4294967308 )≈-0.004408  (t1=  1.095179 )
  S( 4294967310 ) = 17046529  ;Xi(N)≈ 16961722.86  δxi( 4294967310 )≈-0.004975  (t1=  1.095179 )
  S( 4294967312 ) = 6765095 ;Xi(N)≈ 6732499.18 δxi( 4294967312 )≈-0.004818  (t1=  1.095179 )
  S( 4294967314 ) = 7047264 ;Xi(N)≈ 7014834.46 δxi( 4294967314 )≈-0.004602  (t1=  1.095179 )
  S( 4294967316 ) = 12769793  ;Xi(N)≈ 12709309.27  δxi( 4294967316 )≈-0.004736  (t1=  1.095179 )

  time start =16:35:11  time end =16:36:05

作者: 愚工688 时间: 2019-1-2 13:20
  使用计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 ( t1=1.358-log(M)^(2.045/3)*.03178 )
计算 M= 2^33= 8589934592 起的连续偶数的素对数量：

  S( 8589934592 ) = 11891654 ;Xi(N)≈ 11809589.19  δxi( 8589934592 )≈-0.006901  (t1=  1.089608 )
  S( 8589934594 ) = 11908498 ;Xi(N)≈ 11828070.6 δxi( 8589934594 )≈-0.006754  (t1=  1.089608 )
  S( 8589934596 ) = 23781724 ;Xi(N)≈ 23619178.4 δxi( 8589934596 )≈-0.005573  (t1=  1.089608 )
  S( 8589934598 ) = 14264186 ;Xi(N)≈ 14171507.26  δxi( 8589934598 )≈-0.006497  (t1=  1.089608 )
  S( 8589934600 ) = 18052975 ;Xi(N)≈ 17930229.64  δxi( 8589934600 )≈-0.006799  (t1=  1.089608 )
  S( 8589934602 ) = 24311435 ;Xi(N)≈ 24144049.09  δxi( 8589934602 )≈-0.006885  (t1=  1.089608 )
  S( 8589934604 ) = 12046443 ;Xi(N)≈ 11965354.21  δxi( 8589934604 )≈-0.006731  (t1=  1.089608 )
  S( 8589934606 ) = 13217238 ;Xi(N)≈ 13124054.1 δxi( 8589934606 )≈-0.007050  (t1=  1.089608 )
  S( 8589934608 ) = 24200570 ;Xi(N)≈ 24033550.92  δxi( 8589934608 )≈-0.006901  (t1=  1.089608 )
  S( 8589934610 ) = 15855408 ;Xi(N)≈ 15747930.88  δxi( 8589934610 )≈-0.006779  (t1=  1.089608 )
  S( 8589934612 ) = 14266343 ;Xi(N)≈ 14171507.28  δxi( 8589934612 )≈-0.006648  (t1=  1.089608 )

  time start =16:36:12  time end =16:37:38

使用计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 计算 M= 2^n 起的连续偶数的素对数量：
  （n= 34, M=2^n = 17179869184 ）

  S( 17179869184 ) = 22336060  ;Xi(N)≈ 22137571.87  δxi( 17179869184 )≈-0.008886  (t1=  1.08409 )
  S( 17179869186 ) = 45427779  ;Xi(N)≈ 45024475.69  δxi( 17179869186 )≈-0.008878  (t1=  1.08409 )
  S( 17179869188 ) = 22370356  ;Xi(N)≈ 22172216.05  δxi( 17179869188 )≈-0.008857  (t1=  1.08409 )
  S( 17179869190 ) = 33165578  ;Xi(N)≈ 32868139.89  δxi( 17179869190 )≈-0.008968  (t1=  1.08409 )
  S( 17179869192 ) = 44677164  ;Xi(N)≈ 44275143.77  δxi( 17179869192 )≈-0.008998  (t1=  1.08409 )
  S( 17179869194 ) = 22438720  ;Xi(N)≈ 22239005.98  δxi( 17179869194 )≈-0.008900  (t1=  1.08409 )
  S( 17179869196 ) = 26808528  ;Xi(N)≈ 26565086.67  δxi( 17179869196 )≈-0.009081  (t1=  1.08409 )
  S( 17179869198 ) = 47298790  ;Xi(N)≈ 46879563.06  δxi( 17179869198 )≈-0.008863  (t1=  1.08409 )
  S( 17179869200 ) = 33912789  ;Xi(N)≈ 33610969.95  δxi( 17179869200 )≈-0.008900  (t1=  1.08409 )
  S( 17179869202 ) = 22722144  ;Xi(N)≈ 22522973.1 δxi( 17179869202 )≈-0.008766  (t1=  1.08409 )
  S( 17179869204 ) = 45659843  ;Xi(N)≈ 45259035.97  δxi( 17179869204 )≈-0.008778  (t1=  1.08409 )

  time start =16:37:43 time end =16:40:02

作者: 愚工688 时间: 2019-1-5 14:06

使用计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 计算 M= 2^n 起的连续偶数的素对数量：
  （n= 35,  M=2^n =  34359738368 ）
  S( 34359738368 ) = 42034097  ;Xi(M)≈ 41570608.91  δxi( 34359738368 )≈-0.011026  (t1=  1.078624 )
  S( 34359738370 ) = 56529197  ;Xi(M)≈ 55898890.1 δxi( 34359738370 )≈-0.011150  (t1=  1.078624 )
  S( 34359738372 ) = 85507510  ;Xi(M)≈ 84548336.23  δxi( 34359738372 )≈-0.011217  (t1=  1.078624 )
  S( 34359738374 ) = 45964427  ;Xi(M)≈ 45448128.4 δxi( 34359738374 )≈-0.011233  (t1=  1.078624 )
  S( 34359738376 ) = 42109535  ;Xi(M)≈ 41635664.81  δxi( 34359738376 )≈-0.011253  (t1=  1.078624 )
  S( 34359738378 ) = 100905151 ;Xi(M)≈ 99769462.90  δxi( 34359738378 )≈-0.011255  (t1=  1.078624 )
  S( 34359738380 ) = 62416630  ;Xi(M)≈ 61720797.41  δxi( 34359738380 )≈-0.011148  (t1=  1.078624 )
  S( 34359738382 ) = 42244894  ;Xi(M)≈ 41769511.12  δxi( 34359738382 )≈-0.011253  (t1=  1.078624 )
  S( 34359738384 ) = 84077127  ;Xi(M)≈ 83141217.85  δxi( 34359738384 )≈-0.011132  (t1=  1.078624 )
  S( 34359738386 ) = 43386202  ;Xi(M)≈ 42895826.65  δxi( 34359738386 )≈-0.011303  (t1=  1.078624 )
  S( 34359738388 ) = 42231925  ;Xi(M)≈ 41761084.98  δxi( 34359738388 )≈-0.011149  (t1=  1.078624 )

  time start =16:41:14 time end =16:44:57

使用计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 计算 M= 2^n 起的连续偶数的素对数量：
  n= 36 , M=2^n= 68719476736

  S( 68719476736 ) = 79287664  ;Xi(M)≈ 78191757.13  δxi( 68719476736 )≈-0.013822  (t1=  1.073207 )
  S( 68719476738 ) = 181107318 ;Xi(M)≈ 178637558.94 δxi( 68719476738 )≈-0.013637  (t1=  1.073207 )
  S( 68719476740 ) = 106592357 ;Xi(M)≈ 105142372.3  δxi( 68719476740 )≈-0.013603  (t1=  1.073207 )
  S( 68719476742 ) = 95128940  ;Xi(M)≈ 93830109.98  δxi( 68719476742 )≈-0.013653  (t1=  1.073207 )
  S( 68719476744 ) = 161242396 ;Xi(M)≈ 159030217.42 δxi( 68719476744 )≈-0.013720  (t1=  1.073207 )
  S( 68719476746 ) = 80661701  ;Xi(M)≈ 79563545.45  δxi( 68719476746 )≈-0.013614  (t1=  1.073207 )
  S( 68719476748 ) = 86670378  ;Xi(M)≈ 85485132.68  δxi( 68719476748 )≈-0.013675  (t1=  1.073207 )
  S( 68719476750 ) = 211661737 ;Xi(M)≈ 208770943 δxi( 68719476750 )≈-0.013657  (t1=  1.073207 )
  S( 68719476752 ) = 79393695  ;Xi(M)≈ 78314123.27  δxi( 68719476752 )≈-0.013598  (t1=  1.073207 )
  S( 68719476754 ) = 89535668  ;Xi(M)≈ 88310693.83  δxi( 68719476754 )≈-0.013681  (t1=  1.073207 )
  S( 68719476756 ) = 190252730 ;Xi(M)≈ 187660219.99 δxi( 68719476756 )≈-0.013627  (t1=  1.073207 )
  time start =14:45:25    time end =14:51:33

作者: 愚工688 时间: 2019-1-12 12:09
本帖最后由愚工688 于 2019-1-12 05:23 编辑

  使用计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 ；( t1=1.358-log(M)^(2.045/3)*.03178 )
计算 M= 2^n 起的连续偶数的素对数量： n= 37 ,M=2^n= 137438953472

  S( 137438953472 ) = 149711134 ;Xi(M)≈ 147303944.55 δxi( 137438953472 )≈-0.016079  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953474 ) = 160758894 ;Xi(M)≈ 158151794.14 δxi( 137438953474 )≈-0.016217  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953476 ) = 342102886 ;Xi(M)≈ 336531855.04 δxi( 137438953476 )≈-0.016285  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953478 ) = 152566237 ;Xi(M)≈ 150088150.76 δxi( 137438953478 )≈-0.016243  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953480 ) = 201336558 ;Xi(M)≈ 198075689.15 δxi( 137438953480 )≈-0.016196  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953482 ) = 310570474 ;Xi(M)≈ 305519284.54 δxi( 137438953482 )≈-0.016264  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953484 ) = 179683321 ;Xi(M)≈ 176764736.13 δxi( 137438953484 )≈-0.016243  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953486 ) = 149792138 ;Xi(M)≈ 147365867.83 δxi( 137438953486 )≈-0.016198  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953488 ) = 304550723 ;Xi(M)≈ 299593962.18 δxi( 137438953488 )≈-0.016276  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953490 ) = 201051869 ;Xi(M)≈ 197790836.82 δxi( 137438953490 )≈-0.016220  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953492 ) = 152367733 ;Xi(M)≈ 149888230.13 δxi( 137438953492 )≈-0.016273  (t1=  1.067838 )
  time start =15:00:11    time end =15:10:06

可以看到，正如47楼所述那样，从n=30起偶数的相对误差绝对值的数值处于单调增大的过程中，这反映出 t1解析式的值的缩小的速度要大于实际偶数与哈李计算式值的相对误差均值的变化速度，因此对于越来越大的偶数来说， Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 只能限定在一定的范围内才有比较高的计算精度。
当然，如果限定相对误差的绝对值小于0.05，那么其计算的大偶数范围已经是目前大多数人难以达到的。
（在10万亿以上的区域，偶数哈李素对计算式的相对误差基本处于0.07到0.075之间）

实际上，在大偶数区域，哈李计算式值的相对误差均处于一个很小范围内波动。比如2000亿时的计算实例：
哈代公式改进系数2.168的计算(双记值）实例与误差统计
D( 200000000010 )= 597262459 Dhg(m)= 1194373928.82 δh(m)=-.00013
D( 200000000012 )= 211454344 Dhg(m)= 422852498.768 δh(m)=-.00013
D( 200000000014 )= 212003641 Dhg(m)= 423949720.680 δh(m)=-.00014
D( 200000000016 )= 422780069 Dhg(m)= 845490644.812 δh(m)=-.00008
D( 200000000018 )= 282334611 Dhg(m)= 564602599.743 δh(m)=-.00012
D( 200000000020 )= 284785883 Dhg(m)= 569535231.886 δh(m)=-.00006
D( 200000000022 )= 434880484 Dhg(m)= 869647542.212 δh(m)=-.00013
D( 200000000024 )= 242973719 Dhg(m)= 485914151.419 δh(m)=-.00007
D( 200000000026 )= 211436995 Dhg(m)= 422822193.227 δh(m)=-.00012
D( 200000000028 )= 450999930 Dhg(m)= 901964576.693 δh(m)=-.00004
200000000010 - 200000000028 : n= 10 ,μ=-.0001, σ= .00003,δmin=-.00014,δmax=-.00004

因此，如果能够使得某个偶数区域的计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 的t1解析值处于这个波动范围之内，则就能够使得计算式  Xi(M)能够计算这个范围的偶数而具有比较高的计算精度；

  如果能够使得一个很广范围内的计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 的t1解析值处于哈李计算式值的相对误差波动范围之内，则计算式  Xi(M)能够计算这个范围的偶数而具有比较高的计算精度；
如果能够使得某个偶数区域的计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 的t1解析值略低于该区域相对误差统计的下限值，则就能够使得计算式  Xi(M)能够计算这个范围的偶数而具有比较高精度的下界素对计算值；
这是一个比较困难的工作。
首先需要计算比较多小区域偶数的计算值的相对误差均值，二要用一个计算式来尽可能地贴近这个均值。
我提出的素对计算式Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 以及t1解析式仅仅是这个方面所作的一个尝试，必然存在着不尽人意之处，有待改进。

由于小偶数区域，哈李计算式计算值的相对误差分别范围比较大，因此计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 不能在此区域取得比较高的计算精度。

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-12 19:12
愚工先生好！人们不知道哈-李公式的重要代数式：M/{logM)^2是怎么得来的，而我独立研究出这个代数式，并得到很好地运用。如：
D（200000000010）=597262459 我的计算
（5/3）*200000000010/（log200000000010)^2=492279579 误差-0.175 计算的素数对接近真值，小于真值。
我并不否定您的研究，只是想和您交流，互相找找简单适应的规律。谢谢！

作者: 愚工688 时间: 2019-1-13 16:36
本帖最后由愚工688 于 2019-1-13 08:57 编辑

重生888@ 发表于 2019-1-12 11:12
愚工先生好！人们不知道哈-李公式的重要代数式：M/{logM)^2是怎么得来的，而我独立研究出这个代数式，并得 ...

你的计算公式，仅仅是计算一类特定分组的偶数，我对此一直不太感兴趣的。
我感兴趣的的计算式是能够针对连续的偶数的。
单一的一个偶数，如何判断一个计算式的正确无误？
比如：908
A= 454 ,x= : 33  45  87  117  123  147  177  255  273  297  303  315  357  375  423
M= 908       S(m)= 15 S1(m)= 15 Sp(m)= 15    δ(m)≈ 0    K(m)= 1    r= 29
  Sp( 908)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15
能够构成素对A±x 的x值的个数与计算值相等，难道就能够判断连乘式对于其它偶数的素对数的计算都没有误差？显然是不能的。

顺便提一下，哈-李公式对于偶数的素对数的计算式：（采用双记时）是  H(N)=2C(N)N/(lnN)^2 ; （双记法把10=3+7=7+3看成是两个不同的素对表法）
因此采用单记法时  ： H(N)=C(N)*N/(lnN)^2；
式中，C(N)为拉曼扭扬系数。求法如下：
(一）拉曼纽扬系数C(N)=C2A(N)*C2B(N)。
(二）C2A(N)= PI(1-1/（P-1）^2）[这里P为大于“2”，N以内的全部素数]
(三）C2B(N)= PI((P-1)/(P-2))[这里P为大于“2”，能整除N的全部素数]

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-13 18:13
愚工好，恕我打扰！您对我不感兴趣我知道，不过，我的公式是可以连续计算的。您比较过哈-李公式·（单计）连续计算与我的公式连续计算的精度吗？我很在意吸收你的长处，我的呢？我看到您想往哈-李公式上转。将两个名公式搬来用，我的公式，您可能没正眼看过。我倒不在乎别人看不看，怕不交流，看不到别人的长处。正因为您指出我的误差较大，才得到我现在的改进公式！谢谢！

作者: 愚工688 时间: 2019-1-13 22:38
本帖最后由愚工688 于 2019-1-13 14:52 编辑

重生888@ 发表于 2019-1-13 10:13
愚工好，恕我打扰！您对我不感兴趣我知道，不过，我的公式是可以连续计算的。您比较过哈-李公式·（单计） ...

也不是往哈李公式上面转。

使用素数连乘式计算偶数的素对数量，存在着一个误差修正的问题。
否则对于一亿以上的偶数，计算值的相对误差始终在10%以上，那样就太差了一些。但是由于相对误差的偏差值是随着偶数的增大而缓慢增大的，故需要在不同的偶数区域采用不同的修正系数来进行计算，才能收到计算值始终保持在高精度的范围。我目前对大偶数素对的高精度的计算就是这样做的。

哈李公式，由于采用了对数计算，对于比较大的偶数，其计算的速度要远远快于素数连乘式，而这个方法也是大多数数学家在研究哥猜时采用的。因为真正的计算偶数的素对数量，起步于哈代-李特伍德的研究。
而哈-李公式（单计）在小偶数区域的计算值的相对误差，与素数连乘式一样分布的范围比较大；而到稍大一些时，基本上处于负值的状态，并且相对误差的绝对值趋近于一个小范围内波动，而这个相对误差的偏差，据说会随着偶数的趋向无穷大而逐渐趋近于0。因此哈李公式被称为渐近式。

我只能计算有限大的偶数。因此在我能够计算的范围内（＜10^15），有可能用一个修正系数来进行修正。
我这里探索使用修正系数的方法来用类似哈李计算式的方法进行计算，应该效果也是比较好的。
看看上面的对n=20至34的帖子中计算 M= 2^n 起的连续偶数的素对数量的计算值的相对误差的数据，就可以看到。

当然同样的修正系数的解析式，用素数连乘式时也能够采用，那样不同偶数区域的修正系数也可以采用一个解析式近似计算出来。目前我没有着手做。因为一来需要对不同区域的相对误差的偏差做大量的统计数值，再试验构造修正系数的回归式；二来大偶数时用素数连乘式的计算速度本来就不快，是否会使得计算速度慢得使人难以忍受？
而目前的素数连乘式方法的计算精度，在网络上，似乎还是少有匹敌的。使用起来也比较顺手的。

你的计算式，如果式子本身中不含有波动系数，那么怎么可能能够比较精确的计算连续的偶数呢？因为实际偶数的表为两个素数和的数量本身是在波动变化的。

比如：100亿起始的连续偶数：
在具有波动性的偶数M的素对下界计算值 inf( m)的相对误差绝对值小于0.001的情况下，inf( m )图形几乎与真值 G(M)的图形重合。大小变化规律几乎完全一致。
而偶数表法数的区域下界函数值infS（m)则随着偶数的增大，始终缓慢的攀升，表明大偶数的表法数下限是逐渐上升的。

  G(10000000000) = 18200488；
Sp( 10000000000 *)≈  18192520.4 , Δ≈-0.0004378,infS（m)= 13644390.26 , k(m)= 1.33333
  G(10000000002) = 27302893；
Sp( 10000000002 *)≈  27288780.5 , Δ≈-0.0005169,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 2
  G(10000000004) = 13655366；
Sp( 10000000004 *)≈  13644390.3 , Δ≈-0.0008038,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 1
  G(10000000006) = 13742400；
inf( 10000000006 )≈  13737209.3 , Δ≈-0.0003777,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 1.0068
  G(10000000008) = 27563979；
inf( 10000000008 )≈  27548673.7 , Δ≈-0.0005553,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 2.01905
  G(10000000010) = 28031513
inf( 10000000010 )≈  28018960 , Δ≈-0.0004478,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 2.05351
  G(10000000012) = 13654956；
inf( 10000000012 )≈  13647157.3 , Δ≈-0.0005711,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 1.0002
  G(10000000014) = 27361348；
inf( 10000000014 )≈  27348233.3 , Δ≈-0.0004793,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 2.00436
  G(10000000016) = 13708223；
inf( 10000000016 )≈  13701479.8 , Δ≈-0.0004919,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00418
  G(10000000018) = 13781412；
inf( 10000000018 )≈  13776842.4 , Δ≈-0.0003316,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00971
  G(10000000020) = 37335123；
inf( 10000000020 )≈  37319942.4 , Δ≈-0.0004066,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 2.73519
  G(10000000022) = 13653503；
inf( 10000000022 )≈  13646792.1 , Δ≈-0.0004915,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00018
  G(10000000024) = 16587802；
inf( 10000000024 )≈  16575407.5 , Δ≈-0.0007472,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.21481
  G(10000000026) = 28871083；
inf( 10000000026 )≈  28857101.3 , Δ≈-0.0004843,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 2.11494
G(10000000028) = 13665084；
inf( 10000000028 )≈  13661050.1 , Δ≈-0.0002952,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.00122
G(10000000030) = 19127680；
inf( 10000000030 )≈  19121318.9 , Δ≈-0.0003326,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.40141
G(10000000032) = 32355048；
inf( 10000000032 )≈  32342258.5 , Δ≈-0.0003953,infS（m)= 13644390.31 , k(m)= 2.37037

若把这些偶数的波动系数 k(m) 从大到小的排列起来，那么这些偶数分为两个素数的真值数量也同样排列好了：

G(10000000020) = 37335123； k(m)= 2.73519
G(10000000032) = 32355048； k(m)= 2.37037
G(10000000026) = 28871083； k(m)= 2.11494
G(10000000010) = 28031513 , k(m)= 2.05351
G(10000000008) = 27563979； k(m)= 2.01905
G(10000000014) = 27361348； k(m)= 2.00436
G(10000000002) = 27302893； k(m)= 2
G(10000000030) = 19127680； k(m)= 1.40141
G(10000000000) = 18200488； k(m)= 1.33333
G(10000000024) = 16587802； k(m)= 1.21481
G(10000000018) = 13781412； k(m)= 1.00971
G(10000000006) = 13742400； k(m)= 1.0068
G(10000000016) = 13708223； k(m)= 1.00418
G(10000000028) = 13665084； k(m)= 1.00122
G(10000000012) = 13654956； k(m)= 1.0002
G(10000000022) = 13653503； k(m)= 1.00018
G(10000000004) = 13655366； k(m)= 1

这就是波动系数与实际真值之间的关联。不含有波动系数的计算式，若想比较高精度的计算连续偶数的素对数量，理论上是不可能做到的。

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-14 16:23
谢谢好友的耐心解释！我说我的公式应与哈-李公式比。我知道我的公式不及您的精确。但与哈-李公式（单计）必定不差，苦于网上没人连续计算哈-李公式的值，我又苯（主要使用电脑差）算不了利用哈-李公式计算100个连续偶数的素对，因此相比不了！有人说我是“奇人”，说明我原公式（有您的功劳）精度是很高的，但找具体素数很困难，所以借用素数定理x/lnx,通过演化，居然得到系数后面的x/(lnx)^2这个代数式！因此我确信计算值不会比它差。
您的计算能力强，能不能请求你随便取100或200个连续偶数的纯哈-李公式（单计）计算数据给我？谢谢，拜托！

作者: 愚工688 时间: 2019-1-14 20:49

重生888@ 发表于 2019-1-14 08:23
谢谢好友的耐心解释！我说我的公式应与哈-李公式比。我知道我的公式不及您的精确。但与哈-李公式（单计）必 ...

没有意思的。
哈李公式不是以它的精度而显示其优越性的，而是以它的开创性。
它首创使用计算式对偶说的素对数量进行计算；首创使用拉曼扭扬系数来体现偶说素对数量的波动性；等等。
现代大多数数学家对偶说素对的计算式中都使用了拉曼扭扬系数。
而x/(lnx)^2这个代数式本来就是来自于哈李公式,只是去掉了拉曼扭扬系数。而拉曼扭扬系数包含了2个因子：一个是比例系数，另外一个波动系数。
而且哈李公式在不同的偶数区域的相对误差的平均值是不同的，你怎么比？
几百、几千、几万、几十万、几百万、几千万、几亿、……

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-15 08:42
谢谢好友回复！您上面计算大偶数素对，使用了拉曼纽扬系数吗？看来不可能使用，因为他太复杂了！1000以内连续100个偶数能算吗？请你告诉我一个方法我自己算！您原来来的计算方法，我就学会过。（p-1）/p*(p-2)/p......

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-15 08:45
上面式子错了吧？

作者: 愚工688 时间: 2019-1-15 21:10
本帖最后由愚工688 于 2019-1-15 13:42 编辑

重生888@ 发表于 2019-1-15 00:42
谢谢好友回复！您上面计算大偶数素对，使用了拉曼纽扬系数吗？看来不可能使用，因为他太复杂了！1000以内连 ...

我在1楼已经对哈-李公式、拉曼纽扬系数、我的对数计算式  Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2 都作了介绍与解释。
偶数猜想单记哈-李公式则为：H-l (N)~ C(N)*N/(lnN)^2, ---  {式2}
拉曼纽扬系数 C(N)的计算方法等等。拉曼纽扬系数 C(N)肯定需要用一个程序来计算，否则无法计算。

55楼的数据是使用素数连乘式乘以一个修正系数的形式计算的。
前面10^n 的素对计算式  Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2  中使用了拉曼纽扬系数的。（1楼已经详细写明）
程序化计算式很快的。比如，我现在就计算今天日期2019011500的连续偶数的计算值：
使用 Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2  对项目偶数可表的素对数的计算值：( t1=1.358-log(M)^(2.045/3)*.03178 )

  S( 2019011500 ) = ;Xi(N)≈ 4810947.87 δxi( 2019011500 )≈  -0.002703 ；
（相对误差值需要对两个程序的数据用手工计算，其余偶数不计算了，各个偶数计算值的相对误差值的波动肯定很小的，）
  S( 2019011502 ) = ;Xi(N)≈ 6407528.57 δxi( 2019011502 )≈ 略
  S( 2019011504 ) = ;Xi(N)≈ 3198477.85 δxi( 2019011504 )≈
  S( 2019011506 ) = ;Xi(N)≈ 3253701.51 δxi( 2019011506 )≈
  S( 2019011508 ) = ;Xi(N)≈ 6586508.18 δxi( 2019011508 )≈
  S( 2019011510 ) = ;Xi(N)≈ 4263470.88 δxi( 2019011510 )≈
  S( 2019011512 ) = ;Xi(N)≈ 3837123.77 δxi( 2019011512 )≈
  S( 2019011514 ) = ;Xi(N)≈ 6976588.46 δxi( 2019011514 )≈
  S( 2019011516 ) = ;Xi(N)≈ 3433383.24 δxi( 2019011516 )≈
  S( 2019011518 ) = ;Xi(N)≈ 3197603.1 δxi( 2019011518 )≈
  S( 2019011520 ) = ;Xi(N)≈ 8632553.34 δxi( 2019011520 )≈
  S( 2019011522 ) = ;Xi(N)≈ 3628078.39 δxi( 2019011522 )≈
  S( 2019011524 ) = ;Xi(N)≈ 3381373.44 δxi( 2019011524 )≈
  S( 2019011526 ) = ;Xi(N)≈ 7717604.98 δxi( 2019011526 )≈
  S( 2019011528 ) = ;Xi(N)≈ 3410776.68 δxi( 2019011528 )≈
  S( 2019011530 ) = ;Xi(N)≈ 4470590.1 δxi( 2019011530 )≈
  S( 2019011532 ) = ;Xi(N)≈ 6504450.82 δxi( 2019011532 )≈
  S( 2019011534 ) = ;Xi(N)≈ 3200882.79 δxi( 2019011534 )≈
  S( 2019011536 ) = ;Xi(N)≈ 3198645.06 δxi( 2019011536 )≈
  S( 2019011538 ) = ;Xi(N)≈ 6395206.27 δxi( 2019011538 )≈
  S( 2019011540 ) = ;Xi(N)≈ 5581270.96 δxi( 2019011540 )≈
  time start =21:21:43    end time =21:22:45
用时1分零2秒。
筛选真值的程序更快：
2019011500:25:2

G(2019011500) = 4823988
G(2019011502) = 6425256
G(2019011504) = 3207375
G(2019011506) = 3264466
G(2019011508) = 6605723
G(2019011510) = 4275187
G(2019011512) = 3848156
G(2019011514) = 6994006
G(2019011516) = 3442206
G(2019011518) = 3207266
G(2019011520) = 8656885
G(2019011522) = 3638230
G(2019011524) = 3390502
G(2019011526) = 7739712
G(2019011528) = 3421218
G(2019011530) = 4482978
G(2019011532) = 6522086
G(2019011534) = 3208813
G(2019011536) = 3208377
G(2019011538) = 6411763
G(2019011540) = 5597073
G(2019011542) = 3206607
G(2019011544) = 7397492
G(2019011546) = 3206874
G(2019011548) = 3221336

count = 25, algorithm = 2, working threads = 2, time use 0.449 sec ——用时：半秒不到。
再手工计算相对误差值，这需要花费一点时间。我就不全部计算了。

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-16 09:04
谢谢好友对我的耐心！我想要一个纯哈-李公式计算（单计）60个连续偶数的计算素数对；（就是把您的修正值去掉）和其偶数的实际素数对两个数据。如：100000至100060
一，纯哈-李公式计算素数对；
二，连续偶数的实际素数对。谢谢！拜托拜托！下次不再麻烦。

作者: 愚工688 时间: 2019-1-16 11:47
本帖最后由愚工688 于 2019-1-16 14:04 编辑

重生888@ 发表于 2019-1-16 01:04
谢谢好友对我的耐心！我想要一个纯哈-李公式计算（单计）60个连续偶数的计算素数对；（就是把您的修正值去 ...

哈李计算式：
C( 100000 ) =  .8802223             H(N)= 664.08 ； Δ=-0.18025
C( 100002 ) =  1.585066             H(N)= 1195.87；Δ=-0.15961
C( 100004 ) =  .6922406             H(N)= 522.28 ；Δ=-0.16702
C( 100006 ) =  .683355             H(N)= 515.58 ； Δ=-0.18162
C( 100008 ) =  1.323197             H(N)= 998.35 ；Δ=-0.17423
C( 100010 ) =  .8992318             H(N)= 678.48 ；Δ=-0.18354
C( 100012 ) =  .7338415             H(N)= 553.7  ；Δ=-0.18693
C( 100014 ) =  1.34388             H(N)= 1014  ；  Δ=
C( 100016 ) =  .8574401             H(N)= 646.98 ；Δ=
C( 100018 ) =  .6768507             H(N)= 510.72 ；Δ=
C( 100020 ) =  1.761502             H(N)= 1329.18；Δ=
C( 100022 ) =  .7203692             H(N)= 543.58 ；Δ=
C( 100024 ) =  .6602195             H(N)= 498.2 ； Δ=
C( 100026 ) =  1.320571             H(N)= 996.51 ；Δ=
C( 100028 ) =  .7046572             H(N)= 531.75 ；Δ=
C( 100030 ) =  1.057007             H(N)= 797.65 ；Δ=
C( 100032 ) =  1.322877             H(N)= 998.3  ；Δ=
C( 100034 ) =  .73368                H(N)= 553.68 ；Δ=
C( 100036 ) =  .6701483             H(N)= 505.74 ；Δ=
C( 100038 ) =  1.320413             H(N)= 996.49 ；Δ=
C( 100040 ) =  .9180937             H(N)= 692.88 ；Δ=
C( 100042 ) =  .6601799             H(N)= 498.24 ；Δ=
C( 100044 ) =  1.588411             H(N)= 1198.81 ；Δ=
C( 100046 ) =  .6601799             H(N)= 498.26 ；Δ=
C( 100048 ) =  .7407585             H(N)= 559.08 ；Δ=
C( 100050 ) =  1.912582             H(N)= 1443.54 ；Δ=
C( 100052 ) =  .660193             H(N)= 498.29 ；Δ=
C( 100054 ) =  .6992657             H(N)= 527.79 ；Δ=
C( 100056 ) =  1.470928             H(N)= 1110.25 ；Δ=
C( 100058 ) =  .7929775             H(N)= 598.55 ；Δ=
C( 100060 ) =  .8803982             H(N)= 664.54 ；Δ=
time start =14:14:46    time end =14:19:15  （我把哈李素对计算程序加上了计时语句重新计算一下）

  真值与我的计算式
  S( 100000 ) =  810    ;Xi(N)≈ 790.56    δxi( 100000 )≈-0.024
  S( 100002 ) =  1423    ;Xi(N)≈ 1423.03    δxi( 100002 )≈ 0
  S( 100004 ) =  627    ;Xi(N)≈ 621.17       δxi( 100004 )≈-0.009298
  S( 100006 ) =  630    ;Xi(N)≈ 613.39       δxi( 100006 )≈-0.02637
  S( 100008 ) =  1209    ;Xi(N)≈ 1185.92    δxi( 100008 )≈-0.01909
  S( 100010 ) =  831    ;Xi(N)≈ 807.7       δxi( 100010 )≈-0.028039
  S( 100012 ) =  681    ;Xi(N)≈ 658.86       δxi( 100012 )≈-0.032511
  S( 100014 ) =  1235    ;Xi(N)≈ 1207.12    δxi( 100014 )≈-0.022575
  S( 100016 ) =  772    ;Xi(N)≈ 770.2       δxi( 100016 )≈
  S( 100018 ) =  635    ;Xi(N)≈ 607.47       δxi( 100018 )≈
  S( 100020 ) =  1602    ;Xi(N)≈ 1581.38    δxi( 100020 )≈
  S( 100022 ) = 674    ;Xi(N)≈ 646.94       δxi( 100022 )≈
  S( 100024 ) =  559    ;Xi(N)≈ 593.04       δxi( 100024 )≈
  S( 100026 ) =  1232    ;Xi(N)≈ 1186.09    δxi( 100026 )≈
  S( 100028 ) =  627    ;Xi(N)≈ 632.59       δxi( 100028 )≈
  S( 100030 ) =  972    ;Xi(N)≈ 948.9       δxi( 100030 )≈
  S( 100032 ) = 1212    ;Xi(N)≈ 1186.15    δxi( 100032 )≈
  S( 100034 ) = 670    ;Xi(N)≈ 658.98       δxi( 100034 )≈
  S( 100036 ) = 594    ;Xi(N)≈ 602.06       δxi( 100036 )≈
  S( 100038 ) = 1191    ;Xi(N)≈ 1186.21    δxi( 100038 )≈
  S( 100040 ) = 815    ;Xi(N)≈ 824.84       δxi( 100040 )≈
  S( 100042 ) = 604    ;Xi(N)≈ 593.12       δxi( 100042 )≈
  S( 100044 ) = 1475    ;Xi(N)≈ 1423.52 δxi( 100044 )≈
  S( 100046 ) = 614    ;Xi(N)≈ 593.14       δxi( 100046 )≈
  S( 100048 ) = 658    ;Xi(N)≈ 665.56       δxi( 100048 )≈
  S( 100050 ) = 1724    ;Xi(N)≈ 1718.46    δxi( 100050 )≈
  S( 100052 ) = 612    ;Xi(N)≈ 593.17       δxi( 100052 )≈
  S( 100054 ) = 626    ;Xi(N)≈ 628.07       δxi( 100054 )≈
  S( 100056 ) = 1352    ;Xi(N)≈ 1318.2    δxi( 100056 )≈
  S( 100058 ) = 722    ;Xi(N)≈ 711.84       δxi( 100058 )≈
  S( 100060 ) = 794    ;Xi(N)≈ 790.95       δxi( 100060 )≈
  time start =14:32:39    end time =14:32:40

(同样的偶数，我的计算式用时1秒，而哈李式用时4分29秒。
原因：哈李公式计算拉曼扭扬系数时是计算＜N的全部素数，我是计算＜√N的全部素数。在1楼我已经指出的为何要改进的原因）

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-16 17:12
谢谢，谢谢！收藏了。

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-16 20:14
再次感谢愚工先生辛苦计算的数据！初步计算，我的公式计算值小于哈-李公式（单计）计算值，波动趋势一致！我小于哈，哈小于真值，三个波动趋势一致！
   偶数素数对真值                H-L值             W计算值
D（100000）=810                      664                628
D（100002）=1423                   1195                943
G（100004）=627                      522                471
D（100006）=630                      515                471
......
具体另行发贴，欢迎指导，谢谢！

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-17 08:32
愚工先生的计算式精确，为您点赞！修正系数最好保密！

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-17 09:48
拉曼纽扬系数没有吴代业系数简单好用。拉曼纽扬系数要分解质因数，确定素数个数，且分前后大小；连乘积之复杂，难度可想而知！吴代业四个系数：5/3  5/6  5/4  5/8，一目了然，简单至极！两厢效果如何呢？感谢愚工先生提供了100000至100060个连续偶数的哈-李公式（单计）计算数据，下面进行比较：
偶数素数对真值                      哈-李公式（单计）计算值                吴代业公式计算值
G(100000) = 810                            664                                              628
G(100002) = 1423                            1195                                           943
G(100004) = 627                            522                                              471
G(100006) = 630                            515                                              471
G(100008) = 1209                            998                                              943
G(100010) = 831                            678                                              628
G(100012) = 681                            553                                              471
G(100014) = 1235                            1014                                           943
G(100016) = 772                            646                                              628
G(100018) = 635                            510                                              471
G(100020) = 1602                            1329                                           1258
G(100022) = 674                            543                                              471
G(100024) = 599                            498                                              471
G(100026) = 1232                            996                                              943
G(100028) = 627                            531                                              471
G(100030) = 972                            797                                              628
G(100032) = 1212                            998                                              943
G(100034) = 670                            553                                              471
.......待续

从以上19个连续偶数来看，吴比哈-李计算值小    哈-李比真值小；波动趋势一致！

作者: 愚工688 时间: 2019-1-17 20:13

重生888@ 发表于 2019-1-17 01:48
拉曼纽扬系数没有吴代业系数简单好用。拉曼纽扬系数要分解质因数，确定素数个数，且分前后大小；连乘积之复 ...

拉曼纽扬系数反映了实际偶说含有的素数因子的真实情况，而你的4个分组则不能正确的反映这一点。
因此运用拉曼纽扬系数则可能做到对连续偶数的素对计算值的精度比较高。
而你的4个分组只能对部分偶数有效，不能对连续偶数都达到计算精度比较高。
而在普遍使用计算机进行程序化计算的情况下，你用四个系数进行计算，也谈不上什么简单好用，反而多了个分组的判断。

我使用拉曼纽扬系数的程序计算：
Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2

  S( 100000 ) = 810    ;Xi(M)≈ 778.7       δxi( 100000 )≈-0.03864  (t2=  1.17206 )
  S( 100002 ) = 1423    ;Xi(M)≈ 1401.68       δxi( 100002 )≈-0.01498  (t2=  1.17206 )
  S( 100004 ) = 627    ;Xi(M)≈ 611.85       δxi( 100004 )≈-0.02416  (t2=  1.172059 )
  S( 100006 ) = 630    ;Xi(M)≈ 604.19       δxi( 100006 )≈-0.04097  (t2=  1.172059 )
  S( 100008 ) = 1209    ;Xi(M)≈ 1168.12       δxi( 100008 )≈-0.03381  (t2=  1.172059 )
  S( 100010 ) = 831    ;Xi(M)≈ 795.58       δxi( 100010 )≈-0.04262  (t2=  1.172059 )
  S( 100012 ) = 681    ;Xi(M)≈ 648.98       δxi( 100012 )≈-0.04702  (t2=  1.172059 )
  S( 100014 ) = 1235    ;Xi(M)≈ 1189.01       δxi( 100014 )≈-0.03724  (t2=  1.172059 )
  S( 100016 ) = 772    ;Xi(M)≈ 758.64       δxi( 100016 )≈-0.01731  (t2=  1.172058 )
  S( 100018 ) = 635    ;Xi(M)≈ 598.35       δxi( 100018 )≈-0.05772  (t2=  1.172058 )
  S( 100020 ) = 1602    ;Xi(M)≈ 1557.65       δxi( 100020 )≈-0.02768  (t2=  1.172058 )
  S( 100022 ) = 674    ;Xi(M)≈ 637.23       δxi( 100022 )≈-0.05455  (t2=  1.172058 )
  S( 100024 ) = 599    ;Xi(M)≈ 584.14       δxi( 100024 )≈-0.02481  (t2=  1.172058 )
  S( 100026 ) = 1232    ;Xi(M)≈ 1168.29       δxi( 100026 )≈-0.05171  (t2=  1.172058 )
  S( 100028 ) = 627    ;Xi(M)≈ 623.1       δxi( 100028 )≈-0.00622  (t2=  1.172058 )
  S( 100030 ) = 972    ;Xi(M)≈ 934.66       δxi( 100030 )≈-0.03842  (t2=  1.172057 )
  S( 100032 ) = 1212    ;Xi(M)≈ 1168.35       δxi( 100032 )≈-0.03606  (t2=  1.172057 )
  S( 100034 ) = 670    ;Xi(M)≈ 649.09       δxi( 100034 )≈-0.03121  (t2=  1.172057 )
  S( 100036 ) = 594    ;Xi(M)≈ 593.03       δxi( 100036 )≈-0.00163  (t2=  1.172057 )
  S( 100038 ) = 1191    ;Xi(M)≈ 1168.41       δxi( 100038 )≈-0.01897  (t2=  1.172057 )
  S( 100040 ) = 815    ;Xi(M)≈ 812.47       δxi( 100040 )≈-0.00310  (t2=  1.172057 )
  S( 100042 ) = 604    ;Xi(M)≈ 584.22       δxi( 100042 )≈-0.03275  (t2=  1.172056 )
  S( 100044 ) = 1475    ;Xi(M)≈ 1402.16       δxi( 100044 )≈-0.04938  (t2=  1.172056 )
  S( 100046 ) = 614    ;Xi(M)≈ 584.24       δxi( 100046 )≈-0.04847  (t2=  1.172056 )
  S( 100048 ) = 658    ;Xi(M)≈ 655.58       δxi( 100048 )≈-0.00368  (t2=  1.172056 )
  S( 100050 ) = 1724    ;Xi(M)≈ 1692.67       δxi( 100050 )≈-0.01817  (t2=  1.172056 )
  S( 100052 ) = 612    ;Xi(M)≈ 584.27       δxi( 100052 )≈-0.04531  (t2=  1.172056 )
  S( 100054 ) = 626    ;Xi(M)≈ 618.65       δxi( 100054 )≈-0.01174  (t2=  1.172055 )
  S( 100056 ) = 1352    ;Xi(M)≈ 1298.42       δxi( 100056 )≈-0.03963  (t2=  1.172055 )
  S( 100058 ) = 722    ;Xi(M)≈ 701.16       δxi( 100058 )≈-0.02886  (t2=  1.172055 )
  S( 100060 ) = 794    ;Xi(M)≈ 779.08       δxi( 100060 )≈-0.01880  (t2=  1.172055 )
  time start =19:25:12, time end =19:25:12

作者: 愚工688 时间: 2019-1-17 21:20
本帖最后由愚工688 于 2019-1-17 13:23 编辑

重生888@ 发表于 2019-1-17 00:32
愚工先生的计算式精确，为您点赞！修正系数最好保密！

前面我已经说过，修正系数t1存在着一些不足之处，因此对比较大的偶数，计算值相对误差绝对值逐渐增大。比如51、52楼的偶数的素对计算值那样。

因此我对此作了改进。这里我使用系数t2进行的计算。可以看到，对M=10^36 的连续偶数的素数对的计算值，计算精度比前面的计算值有了明显的提高，而且相对误差的波动也小。（修正系数t2的计算式就不公开了）

Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2

n= 36       M=2^n= 68719476736
  S( 68719476736 ) = 79287664  ;Xi(M)≈ 78982220.05  δxi( 68719476736 )≈-0.003852  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476738 ) = 181107318 ;Xi(M)≈ 180443457.3  δxi( 68719476738 )≈-0.003666  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476740 ) = 106592357 ;Xi(M)≈ 106205286.73 δxi( 68719476740 )≈-0.003631  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476742 ) = 95128940  ;Xi(M)≈ 94778665.49  δxi( 68719476742 )≈-0.003682  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476744 ) = 161242396 ;Xi(M)≈ 160637899.54 δxi( 68719476744 )≈-0.003749  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476746 ) = 80661701  ;Xi(M)≈ 80367876.17  δxi( 68719476746 )≈-0.003627  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476748 ) = 86670378  ;Xi(M)≈ 86349326.43  δxi( 68719476748 )≈-0.003704  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476750 ) = 211661737 ;Xi(M)≈ 210881468.39 δxi( 68719476750 )≈-0.003686  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476752 ) = 79393695  ;Xi(M)≈ 79105823.23  δxi( 68719476752 )≈-0.003626  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476754 ) = 89535668  ;Xi(M)≈ 89203451.99  δxi( 68719476754 )≈-0.003710  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476756 ) = 190252730 ;Xi(M)≈ 189557331.02 δxi( 68719476756 )≈-0.003655  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476758 ) = 81464393  ;Xi(M)≈ 81155690.34  δxi( 68719476758 )≈-0.003789  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476760 ) = 117695353 ;Xi(M)≈ 117266639.37 δxi( 68719476760 )≈-0.003643  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476762 ) = 158663414 ;Xi(M)≈ 158075285.8  δxi( 68719476762 )≈-0.003707  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476764 ) = 79659831  ;Xi(M)≈ 79360125    δxi( 68719476764 )≈-0.003762  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476766 ) = 79853669  ;Xi(M)≈ 79563332.5 δxi( 68719476766 )≈-0.003636  (t2=  1.084056 )
  time start =20:20:13    time end =20:36:59

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-18 14:06
祝贺愚工先生越来越取得好好效果！我的偶尾数，也就是30为模，特好识别。

作者: 愚工688 时间: 2019-1-18 15:34
本帖最后由愚工688 于 2019-1-18 08:15 编辑

重生888@ 发表于 2019-1-18 06:06
祝贺愚工先生越来越取得好好效果！我的偶尾数，也就是30为模，特好识别。

即使是30*N一类的偶数，也是具有不同的波动量，因此仅仅用一个系数是不能够做到高精度计算的。
单单含有因子30，则素因子系数为：2*（5-1）/（5-2）=2.6667；
这样的系列等差偶数中，每7个项中，会有一个偶数能够被7整除，此时该偶数的波动系数为3.2；
这样的系列等差偶数中，每11个项中，会有一个偶数能够被11整除，此时该偶数的波动系数为2.963；
这样的系列等差偶数中，每13个项中，会有一个偶数能够被13整除，此时该偶数的波动系数为2.909；
……
若遇到能够同时含有2、3个大于5的素因子情况，则影响更大；
因此使用一个参数是不能够对30*N一类的偶数的素数对数量的计算，达到良好的计算精度的目的的。

举例：9699690000含有≤19的全部素因子，而以下的偶数都含有素因子3、5。我的计算的相对误差的波动范围很小。
  Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2

  S( 9699690000 ) = 58158625; Xi(M)≈ 58100350.09 δxi( 9699690000 )≈-0.001002  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690030 ) = 36745184 ;Xi(M)≈ 36705378.52 δxi( 9699690030 )≈-0.001083  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690060 ) = 36100415 ;Xi(M)≈ 36061505.67 δxi( 9699690060 )≈-0.001078  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690090 ) = 35404878 ;Xi(M)≈ 35367076.53 δxi( 9699690090 )≈-0.001068  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690120 ) = 35406531 ;Xi(M)≈ 35367076.64 δxi( 9699690120 )≈-0.001114  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690150 ) = 35504410 ;Xi(M)≈ 35461512.34 δxi( 9699690150 )≈-0.001208  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690180 ) = 37095033 ;Xi(M)≈ 37051221.44 δxi( 9699690180 )≈-0.001181  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690210 ) = 43574903 ;Xi(M)≈ 43528707.9    δxi( 9699690210 )≈-0.001060  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690240 ) = 35412739 ;Xi(M)≈ 35367077.08 δxi( 9699690240 )≈-0.001289  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690270 ) = 36102537 ;Xi(M)≈ 36064377.93 δxi( 9699690270 )≈-0.001057  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690300 ) = 35443256 ;Xi(M)≈ 35406981.08 δxi( 9699690300 )≈ （不算了） (t2=  1.095215 )
  S( 9699690330 ) = 40224539 ;Xi(M)≈ 40176374.04 δxi( 9699690330 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690360 ) = 35646616 ;Xi(M)≈ 35604440.59 δxi( 9699690360 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690390 ) = 38648457 ;Xi(M)≈ 38611112.39 δxi( 9699690390 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690420 ) = 43401340 ;Xi(M)≈ 43346825.96 δxi( 9699690420 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690450 ) = 35604840 ;Xi(M)≈ 35564659.28 δxi( 9699690450 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690480 ) = 35423682 ;Xi(M)≈ 35383964.37 δxi( 9699690480 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690510 ) = 37940489 ;Xi(M)≈ 37896916.1    δxi( 9699690510 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690540 ) = 35838180 ;Xi(M)≈ 35800597.73 δxi( 9699690540 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690570 ) = 37889521 ;Xi(M)≈ 37841678.02 δxi( 9699690570 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690600 ) = 37335736 ;Xi(M)≈ 37297887.91 δxi( 9699690600 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690630 ) = 42493418 ;Xi(M)≈ 42440492.28 δxi( 9699690630 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690660 ) = 39580148 ;Xi(M)≈ 39535364.31 δxi( 9699690660 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690690 ) = 35510091 ;Xi(M)≈ 35469000.77 δxi( 9699690690 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690720 ) = 35556729 ;Xi(M)≈ 35516726.4    δxi( 9699690720 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690750 ) = 36626404 ;Xi(M)≈ 36586632.64 δxi( 9699690750 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690780 ) = 38771294 ;Xi(M)≈ 38725745.71 δxi( 9699690780 )≈  (t2=  1.095215 )
  time start =15:35:14, time end =15:39:13

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-18 19:28
请问上楼（70楼）S（9699690000）=58158625是实际素数对吗？

作者: 愚工688 时间: 2019-1-18 20:33
本帖最后由愚工688 于 2019-1-18 14:52 编辑

重生888@ 发表于 2019-1-18 11:28
请问上楼（70楼）S（9699690000）=58158625是实际素数对吗？

对！因为这个偶数的素因子比较多，素因子系数大。因此素对数量特别多。
k(m)= (3-1)/(3-2)*(5-1)/(5-2)*(7-1)/(7-2)*(11-1)/(11-2)*(13-1)/(13-2)*(17-1)/(17-2)*(19-1)/(19-2)≈ 4.38075 ;比单单含有素因子3、5的偶数的素因子系数要大64%多。
所以你的分类使用同一个比例数来计算30*n型的偶数时，肯定该偶数的素对计算值的相对误差绝对值会比其他偶数的大很多。

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-22 10:33

愚工688 发表于 2019-1-18 20:33
对！因为这个偶数的素因子比较多，素因子系数大。因此素对数量特别多。
k(m)= (3-1)/(3-2)*(5-1)/(5-2 ...

愚工先生好！与您交流受益匪浅。对您的G（9699690000）=58158625，使我想到一个有意义的问题，如果您能提供以下三个偶数的实际素数对，我可以与您交流我的看法！我想对您有好处，对我也有帮助，谢谢！
969969000 96996900 9699690

作者: 愚工688 时间: 2019-1-22 16:34

重生888@ 发表于 2019-1-22 02:33
愚工先生好！与您交流受益匪浅。对您的G（9699690000）=58158625，使我想到一个有意义的问题，如果您能提 ...

如下的偶数具有相同的素因子系数，k(m)= 2*4/3*6/5*10/9*12/11*16/15*18/17≈ 4.38075，
因此它们的素对数量有相邻偶数的素对数的4.3倍以上数量。
G(9699690)=124180；（单个用时：0.01秒）
G(96996900)=931793 ；（单个用时：0.02秒）
G(969969000)=7261877；（单个用时：0.23秒）
G(9699690000)=58158625；（单个用时：2.24秒）
G(96996900000)=476358078；（单个用时：24.30秒）
G(969969000000)=3972763466；（单个用时：269.26秒）

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-23 16:14
愚工先生好！谢谢给这么多数据。细读71楼，我反省自己，突然有了个新概念：“同因子同尾数”，上楼一组数据就符合这一特征！9699690=2*3*5*7*11*13*17*19
                           96996900=2*2*3*5*5*7*11*13*17*19
                           ......    只多一个2和5，在您的计算中是略去的。
但17楼9699690030/2/3/5=323323001          323323001/7=46189000.14285...    说明不含7的因子！虽然是30整倍数，但不是“同因子同尾数偶数！”不具可比性。所以我说与您交流受益匪浅！
我不知道您是对9699690030是怎么计算的。上楼是同因子同尾数的偶数，所以算起来很快！谢谢！

作者: 愚工688 时间: 2019-1-23 21:01
本帖最后由愚工688 于 2019-1-23 13:03 编辑

重生888@ 发表于 2019-1-23 08:14
愚工先生好！谢谢给这么多数据。细读71楼，我反省自己，突然有了个新概念：“同因子同尾数”，上楼一组数据 ...

在使用 Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2 计算时是不考虑偶是含有的素因子的，因为拉曼扭扬系数中已经包含了素因子形成的波动系数；
在使用连乘式计算时，则根据偶数含有的素因子由程序自动作不同的处理。相同的素因子的作用之计算一次，不重复。
例：
G(969969000 )= 7261877
inf( 969969000 )≈  7238038.6 , Δ≈-0.003283,infS(m) = 1652237.8 ,  k(m)= 4.38075
G(969969002 )= 1657012
inf( 969969002 )≈  1653397.3 , Δ≈-0.002182,infS(m) = 1652237.81 , k(m)= 1.0007
G(969969004 )= 1659918
inf( 969969004 )≈  1654968.8 , Δ≈-0.002982,infS(m) = 1652237.81 , k(m)= 1.00165
G(969969006 )= 3380348
inf( 969969006 )≈  3369269.3 , Δ≈-0.003277,infS(m) = 1652237.81 , k(m)= 2.03922
G(969969008 )= 1657950
inf( 969969008 )≈  1652237.8 , Δ≈-0.003445,infS(m) = 1652237.82 , k(m)= 1
G(969969010 )= 2210871
inf( 969969010 )≈  2203436.5 , Δ≈-0.003363,infS(m) = 1652237.82 , k(m)= 1.33361
G(969969012 )= 3314349
inf( 969969012 )≈  3304475.7 , Δ≈-0.002979,infS(m) = 1652237.82 , k(m)= 2
time start =20:26:53time end =20:27:16 time use = 23秒
计算式：
inf( 969969000 ) = 1/(1+ .1406 )*( 969969000 /2 -2)*p(m) ≈ 7238038.6
inf( 969969002 ) = 1/(1+ .1406 )*( 969969002 /2 -2)*p(m) ≈ 1653397.3
inf( 969969004 ) = 1/(1+ .1406 )*( 969969004 /2 -2)*p(m) ≈ 1654968.8
inf( 969969006 ) = 1/(1+ .1406 )*( 969969006 /2 -2)*p(m) ≈ 3369269.3
inf( 969969008 ) = 1/(1+ .1406 )*( 969969008 /2 -2)*p(m) ≈ 1652237.8
inf( 969969010 ) = 1/(1+ .1406 )*( 969969010 /2 -2)*p(m) ≈ 2203436.5
inf( 969969012 ) = 1/(1+ .1406 )*( 969969012 /2 -2)*p(m) ≈ 3304475.7
大偶数采用连乘式与误差修正式相乘。

而采用对数式 Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2 计算，计算速度则比素数连乘式略微快一点，也不需要考虑如何分类：
  S( 969969000 ) =    ;Xi(M)≈ 7263462.26    δxi(M)≈0.000218  ( t2=  1.108719 )
  S( 969969002 ) =    ;Xi(M)≈ 1659204.8    δxi(M)≈ 0.001323 ( t2=  1.108719 )
  S( 969969004 ) =    ;Xi(M)≈ 1660781.89    δxi(M)≈0.000520  ( t2=  1.108719 )
  S( 969969006 ) =    ;Xi(M)≈ 3381103.98    δxi(M)≈0.000224  ( t2=  1.108719 )
  S( 969969008 ) =    ;Xi(M)≈ 1658041.34    δxi(M)≈0.000055  ( t2=  1.108719 )
  S( 969969010 ) =    ;Xi(M)≈ 2211176.18    δxi(M)≈0.000138  ( t2=  1.108719 )
  S( 969969012 ) =    ;Xi(M)≈ 3316082.69    δxi(M)≈0.000523  ( t2=  1.108719 )
  time start =20:47:15, time end =20:47:30，time use = 15 秒

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-24 08:58
谢谢好友回复！您的修正值是越来越精确，怎样反映同因子偶数随偶数增大，素数对增多；同因子偶数随偶数增大，素数对与真值的误差越来越小？我认为，能反映上述问题，就是好公式。不需要在精确度上下功夫。对否，仅供参考。我借用您75楼数据，另行发贴，希望能去指导。谢谢！

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-26 09:07
愚工先生好！用您惯常手法计算同因子偶数，一定能反映偶数随其增大，素数对同步增长，您的误差，也会同步减少！这就反映出哥猜总趋势成立！因此成了您的独创，不用借用哈-李公式！
2*5*7=70
2*2*5*7=140
2*2*2*5*7=280
.....
2*5*5*7=350
2*5*5*5*7=1750
......
2*5*7*7=490
2*5*7*7*7=3430
......

作者: 愚工688 时间: 2019-1-26 10:26

重生888@ 发表于 2019-1-26 01:07
愚工先生好！用您惯常手法计算同因子偶数，一定能反映偶数随其增大，素数对同步增长，您的误差，也会同步减 ...

诚然，相同素因子系数的偶数，其素对数量必然随偶数的增大因而增多。
但是素因子的组合是多样的，如果单单按照素因子的大小而使用一个专门的计算式，那么就产生需要许许多多的计算式了，这不是造成更麻烦了吗？
而使用哈-李公式，因为该式的拉曼扭扬系数中含有了波动系数，故没有这个麻烦；
同样，使用素数连乘式计算偶数的素对数量，因为素数连乘式中也隐含了波动系数，也没有这个麻烦；
因此我是始终反对把偶数进行分类，使用不同的计算式进行素对数量的计算的。

作者: 愚工688 时间: 2019-1-26 11:13
比如以今天日期乘以1000的连续偶数的素对数量的计算：
真值如下：
G(20190126000) = 77148293
G(20190126002) = 26538989
G(20190126004) = 25876781
G(20190126006) = 52108022
G(20190126008) = 28227624
使用素数连乘式的计算：
Sp( 20190126000 *) = 1/(1+ .1533 )*( 20190126000 /2 -2)*p(m) ≈ 77121815.9 , k(m)= 2.981448 ；Δ(m)≈-0.000343
Sp( 20190126002 *) = 1/(1+ .1533 )*( 20190126002 /2 -2)*p(m) ≈ 26525150.5 , k(m)= 1.025434 ;Δ(m)≈-0.000521
Sp( 20190126004 *) = 1/(1+ .1533 )*( 20190126004 /2 -2)*p(m) ≈ 25867231.1 , k(m)= 1; Δ(m)≈-0.000369
Sp( 20190126006 *) = 1/(1+ .1533 )*( 20190126006 /2 -2)*p(m) ≈ 52083461.5 , k(m)= 2.013492 ;Δ(m)≈-0.000471
Sp( 20190126008 *) = 1/(1+ .1533 )*( 20190126008 /2 -2)*p(m) ≈ 28218797.5 , k(m)= 1.090909; Δ(m)≈-0.000313;
start time =10:30:14,end time=10:31:59 ,

  而采用对数式 Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2 计算，计算速度则比素数连乘式略微快一点：
  S( 20190126000 ) = 77148293  ;Xi(M)≈ 77006797.26 δxi(M)≈-0.001834  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190126002 ) = 26538989  ;Xi(M)≈ 26485591.3    δxi(M)≈-0.002012  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190126004 ) = 25876781  ;Xi(M)≈ 25828653.33 δxi(M)≈-0.001860  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190126006 ) = 52108022  ;Xi(M)≈ 52005786.53 δxi(M)≈-0.001962  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190126008 ) = 28227624  ;Xi(M)≈ 28176712.31 δxi(M)≈-0.001804  ( t2=  1.091059 )
  time start =10:38:53, time end =10:40:04

很明显，用这两个素对计算式的计算值的计算精度都比较高，相对误差绝对值都很小。

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-26 17:34

愚工688 发表于 2019-1-26 11:13
比如以今天日期乘以1000的连续偶数的素对数量的计算：
真值如下：
G(20190126000) = 77148293

您的误差修正值，要多次拟合，也是麻烦事。多次拟合，不能使人信服。同因子，一句话就讲透了！谢谢。

作者: 愚工688 时间: 2019-1-26 22:09

重生888@ 发表于 2019-1-26 09:34
您的误差修正值，要多次拟合，也是麻烦事。多次拟合，不能使人信服。同因子，一句话就讲透了！谢谢。

要想得出相对误差修正值，肯定需要作出很多的努力才成。
素数连乘式的修正系数正是需要预先进行大量的数据统计才能得到。随着偶数的增大，一定区域内的偶数采用一个修正系数进行误差修正。
而使用改进的哈李计算式 Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2 ，则把对哈李计算式的相对误差的修正，归纳为一个系数 t1计算式，则没有不同偶数大小采用不同修正系数的毛病。当然这个计算式对于小偶数的误差修正作用不大，1万以下免用。
t1的修正系数式我已经公开，随便怎么样Xi(M) 的计算精度可以与目前能够见到的如何偶数素对计算式媲美。计算起来有什么麻烦？速度快，计算值精度比较高。
而 Xi(M)≈ t2*c1*M/(logM)^2 的修正系数t2，则改进了大偶数时素对计算值偏小的问题，修正系数t2就不公开了。
当然我不反对别人采用类似的方法，用不同的修正系数来改进哈李计算式以提高计算值的精度。我的偶数素对计算式 Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2 算是抛砖引玉吧！

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-28 19:21
当局者迷。试试我的建议，也许有收获。我觉得您把原来的算法丢了可惜。谢谢！

作者: 愚工688 时间: 2019-1-28 22:22
本帖最后由愚工688 于 2019-1-28 15:30 编辑

重生888@ 发表于 2019-1-28 11:21
当局者迷。试试我的建议，也许有收获。我觉得您把原来的算法丢了可惜。谢谢！

如果你使用你的分类方法，那么有这个分类的时间，我的方法早就计算完了。
又如，若偶数M在1亿以上，那么√M内的素数即1万以下的素数有π(10^4)=1229，那么仅仅2个素数的组合有多少种呢？加上3个、4个、……的各种组合有多少？以有限的几种分类能否表示出正确的素对数量的波动系数？
因此任何对偶数进行分类的方法都不是好的办法。既不能提高计算的速度，又不能提高计算的精度。

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-29 08:33
愚工先生好！没事闲聊聊。我对我的公式信心满满，不管素数对同步增长，波动系数符合要求，误差同步下降，事实摆在那里。别人理解不理解，喜欢不喜欢，认可不认可，无所谓！
我想您原来计算那么多，可惜了。换了现在的算法，仍然难解别人合理的质疑。谢谢！

作者: 白新岭 时间: 2019-1-29 16:03
在哈代公式中，前边n个偶数的系数和为2n，包括偶数2和4在内。这是理论上，实际略微小于2n，这与取到根号2n前的素数有关，应该取所有不同因子，那样比较接近2n。主项2n/(LN(2n))^2也是2n前素数个数的平方/(2n)的变形。主项的数学意义是平均每份有多少个素数对，系数是调节数，即从新分配数。

作者: 愚工688 时间: 2019-1-29 20:00

白新岭发表于 2019-1-29 08:03
在哈代公式中，前边n个偶数的系数和为2n，包括偶数2和4在内。这是理论上，实际略微小于2n，这与取到根号2n ...

不知道[前边n个偶数的系数和为2n]是什么意思？我并没有发现你的提法。
哈代-李德伍特计算式：Ha-L(N)=2C(N)*N/(lnN)^2;
其中C(N)为拉曼纽扬系数，系数2是对于计算值是双记而言，单记则为1；
拉曼纽扬系数C(N)=C2A(N)*C2B(N)。
其中：C2A(N)= PI(1-1/(P-1)^2）[这里P为大于“2”，N以内的全部素数]
C2B(N)= PI((P-1)/(P-2))[这里P为大于“2”，能整除N的全部素数]
C2A(N)的作用是什么呢？
C2A(N)随着N的增大而减小。最终取极值“0.6601738”—— 因此我只计算√N内的素数，实际上大偶数的C2A(N)会很快到达极值，再计算偶数√N外的素数，纯属画蛇添足之举；
C2B(N)——主要体现素对数量随偶数含有的素因子的波动，我也只计算含有的√N内的素数，即使有的大偶数会含有1个√N外的素数，其影响也非常小。而要筛出这个素数，需要大量的运算，反而会影响计算速度。

当然各人对哈代公式的理解有所不同，这很正常。因此我们的研究，主要的是有利于计算值的精度提高，有利于计算速度的提高。

你也可以把你使用哈代公式的计算实例摆出来看看。

作者: 愚工688 时间: 2019-1-29 20:17

重生888@ 发表于 2019-1-28 11:21
当局者迷。试试我的建议，也许有收获。我觉得您把原来的算法丢了可惜。谢谢！

我从来没有把原来的计算方法丢了。我使用素数连乘式对大偶数素对数量的计算精度是能够达到高精度计算的。也是我最喜欢使用的
而我研究一种基于偶数哥猜哈-李素对计算公式改进的偶数素对计算式 Xi(M)，也是正常的，因为数学家对偶数素对的计算式，绝大多数采用哈-李素对计算公式的变形公式，大多数采用了拉曼纽扬系数。虽然大多数数学家的计算式的计算精度很次，但是不能掩盖对数计算的优越性。
一时兴趣之下搞了个Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2 的计算式，计算精度还不错；
针对其中不足之处，有搞了个升级版的Xi(M)≈ t2*c1*M/(logM)^2；当然t2的计算式与t1是不同的。

作者: 愚工688 时间: 2019-1-29 21:06
我使用 Xi(M)≈ t2*c1*M/(logM)^2 计算式对10^4——10^12的连续偶数表为两个素数和的数量（单记）的计算实例，看看计算值的精度怎么样？

  S( 10000 ) = 127    ;Xi(M)≈ 123.88    δxi( 10000 )≈-0.024567  (t2= 1.19169 )
  S( 10002 ) = 197    ;Xi(M)≈ 185.85    δxi( 10002 )≈-0.056599  (t2= 1.191688 )
  S( 10004 ) = 99       ;Xi(M)≈ 96.94       δxi( 10004 )≈-0.020808  (t2= 1.191686 )

  S( 100000 ) = 810    ;Xi(M)≈ 778.7       δxi( 100000 )≈-0.038642  (t2= 1.17206 )
  S( 100002 ) = 1423    ;Xi(M)≈ 1401.68    δxi( 100002 )≈-0.014982  (t2= 1.17206 )
  S( 100004 ) = 627    ;Xi(M)≈ 611.85    δxi( 100004 )≈-0.024163  (t2= 1.172059 )

  S( 1000000 ) = 5402    ;Xi(M)≈ 5323.95    δxi( 1000000 )≈-0.014448  (t2= 1.154313 )
  S( 1000002 ) = 8200    ;Xi(M)≈ 7985.94    δxi( 1000002 )≈-0.026105  (t2= 1.154313 )
  S( 1000004 ) = 4160    ;Xi(M)≈ 4118.06    δxi( 1000004 )≈-0.010096  (t2= 1.154313 )

  S( 10000000 ) = 38807    ;Xi(M)≈ 38558.19    δxi( 10000000 )≈-0.0064164  (t2= 1.137993 )
  S( 10000002 ) = 59624    ;Xi(M)≈ 59122.57    δxi( 10000002 )≈-0.0084099  (t2= 1.137993 )
  S( 10000004 ) = 36850    ;Xi(M)≈ 36743.7    δxi( 10000004 )≈--0.002885  (t2= 1.137993 )

  S( 100000000 ) = 291400 ;Xi(M)≈ 291262.27 δxi( M )≈-0.0004726  (t2= 1.122802 )
  S( 100000002 ) = 464621 ;Xi(M)≈ 463611.59 δxi( M )≈-0.0021725  (t2= 1.122802 )
  S( 100000004 ) = 247582 ;Xi(M)≈ 247180.1    δxi( M )≈-0.0016233  (t2= 1.122802 )

  S( 1000000000 ) = 2274205 ;Xi(M)≈ 2272089.28 δxi( M )≈-0.0009304  (t2= 1.108535 )
  S( 1000000002 ) = 3496205 ;Xi(M)≈ 3495704.74 δxi( M )≈-0.0001431  (t2= 1.108535 )
  S( 1000000004 ) = 1747858 ;Xi(M)≈ 1747760.98 δxi( M )≈-0.0000555  (t2= 1.108535 )

  S( 10000000000 ) = 18200488  ;Xi(M)≈ 18179890.52  δxi( M )≈-0.0011317  (t2= 1.095041 )
  S( 10000000002 ) = 27302893  ;Xi(M)≈ 27269835.18  δxi( M )≈-0.0012108  (t2= 1.095041 )
  S( 10000000004 ) = 13655366  ;Xi(M)≈ 13634917.59  δxi( M )≈-0.0014974  (t2= 1.095041 )

  S( 100000000000 ) = 149091160 ;Xi(M)≈ 148486029.78 δxi( M )≈-0.0040588  (t2= 1.082206 )
  S( 100000000002 ) = 268556111 ;Xi(M)≈ 267448296.87 δxi( M )≈-0.0041251  (t2= 1.082206 )
  S( 100000000004 ) = 111836359 ;Xi(M)≈ 111370854.35 δxi( M )≈-0.0041624  (t2= 1.082206 )

  S( 1000000000000 ) = 1243722370 ;Xi(M)≈ 1233556241.87 δxi( M )≈-0.0081740  (t2= 1.069943 )
  S( 1000000000002 ) = 1865594604 ;Xi(M)≈ 1850334321.04 δxi( M )≈-0.0081798  (t2= 1.069943 )
  S( 1000000000004 ) = 1006929938 ;Xi(M)≈ 998655398.53  δxi( M )≈-0.0082176  (t2= 1.069943 )

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-30 09:21

愚工688 发表于 2019-1-29 21:06
我使用 Xi(M)≈ t2*c1*M/(logM)^2 计算式对10^4——10^12的连续偶数表为两个素数和的数量（单记）的计算实 ...

祝贺你！以后不再提这件事。

作者: 白新岭 时间: 2019-1-30 10:29
你的解释，系数2是双计法，如果单计是1我不那样看，虽然它与实际数据比较吻合，但是那是因为一个偶数表示成两个同样的素数只有一种，也就是全部素数的2倍对应着的偶数，因为素数在自然数中所占比例几乎为0，所以，这微小变化不会影响整体规律，即大部分偶数有你所谓的双计与单计的区别。但是对于个体而言，特别是小偶数，那就有很大的区别，6=3+3无论你的单计法还是双计法都是1对；而10就不同了，安你的说法，单计应该是2对，而双计是3对；14的，22的，这些影响都比较大。说这些，你可能还是不以为然，那就再看一看，3素数之和的情况，你是按无序的单计法呢？你还是按6计法呢？都不对，因为那里情况比这里复杂些，它有3个数都一样的解，只能是一组解，还有2个素数一样，是3组解，3个都不一样时是6组解，所以你就没有办法采用那种计法了，只能按原公式求解了，那公式是求不定方程素数解的，它不是求整数的素数分拆的。当更多元时，情况更复杂，就更没有什么双计，单计了。
那个2是2份的意思，也就是说，如果把自然数分成两类(即两个整体），则落到偶数位上的是2份，落到奇数位上的是0份，在3个素数和中正好相反，落到奇数位上的是2份，落到偶数位上的是0份。
对于后边的素数而言，如果把自然数分成素数P类（P份)，则落到能整除P的数位是P/(P-1)份，落到其它数位上的各为P(P-2)/(P-1)^2份，它们符合乘法定理。从这里可以看出，每个自然数分到的份数之和为总份数，在自然数集有n份，所以它们的和为n。

在上楼我发的帖子中，用的前n个偶数的系数之和，所以说是2n，因为n个偶数，肯定有n个奇数，所以是2n份，平均系数为1.

还有一个问题那就是后边的主项n/(LN(n))^2，它所表示的数学意义是平均每份有多少对素数，它是：n前素数个数的平方/n的变形，用素数定理代替n前素数个数自然的到。

在就是你的t1，t2它所反映的数学意义是：当用n前的两个素数相加时，落到n及n前的偶数位上的素数对要多，而落到n后的素数对要少，也就是说落到n前的大于n前素数个数的平方/2,随着偶数的增到这种比例在减小，但是永远大于50%，

可是在素数减法中则不然，它落到偶数位上的素数对之和正好是（素数个数的平方-素数个数）/2，绝对不到一半，而且一个不多，一个也不少，公式与哈代的公式一样（必须限定范围，否则每个差值都有无数组解）

作者: 愚工688 时间: 2019-1-30 19:28

白新岭发表于 2019-1-30 02:29
你的解释，系数2是双计法，如果单计是1我不那样看，虽然它与实际数据比较吻合，但是那是因为一个偶数表示成 ...

你说的我也看不清楚。很烦的。
你就拿几个实际偶数计算一下，看看怎么情况吧！
比如：1000、1002、1004这3个偶数，也不大，很容易计算的。

作者: 白新岭 时间: 2019-1-31 11:13
是。你举的例子，安你的说法双计D（1000）=56，D（10002）=72，D（10004）=36，单计正好减半。不过仅接着的一个偶数1006就没有那种巧合了，它双计为35对，单计18对，显然不是2倍的比例。因为只有素数2倍的偶数在双计时是奇数对，其它偶数都是偶数对，所以单计，双计在接近100%的成立，因为素数在自然数集的占有率几乎为0. 安这种计法（双计，单计）在2素数之和中还是基本上行的通的，但是在3个素数之和中就行不通了。

在你举的例子中有一对偶数达到完美，那就是1002与1004，它们一个是大素数167与2*3的乘积，一个是251与4的乘积，167与251都是它们所对应的偶数根号值外的数，所以偶数的素数对比例取决于它的小因子，共同因子2就不讨论了，因为因子相同，则分配份数相同。

而1002还有因子3，所以它是1004不含因子3的2倍，因为含因子3的偶数占整个偶数素数对的50%，而对模3余1或2的偶数类各站25%，所以有50%/25%=2 （紧接着的1006也基本吻合），而1000就不符合了，安能整除5与不能整除5来说，它应该=36*4/3=48对，可实际为56对，多了8对，从这里可以看出，从整体得到的比例值并不一定都适合个体。

小于1004的素数共有167个（不包括素数2），所以共合成结果为167^2=27889,它们实际落到979个偶数位上，均值为28.487对，如果把系数计算到32以内，则为1.32879870754356 ，（除素数2采用整除的系数2以外，其余素数都采用系数P*（P-2)/(P-1)^2），这样有1002的因子3，所以系数为（3-1）/(3-2)*1.32879870754356 =2.657597415,它乘28.487得到75.7对，比实际的72对要多，但是，理论上是把总合成数对均分成1002份，而不是实际落到的979个偶数位，如果按理论值1002份均分，则每份27.83对，乘调节系数2.657597415，有73.97对，还是比实际72对多。如果我们采用哈代公式，系数的取值范围在32以内，则2.657597415*1002/(LN(1002))^2=55.77对，这要比直接用n前素数个数的平方/n做主项得到的结果相差很远。偶数1004的也一样会有此种结果。

但是无论用素数个数，还是用素数定理代替素数个数，对于偶数1000来说，误差都大，它的调节系数为1.77173161，素数对均值为27889/1000=27.889,理论素数对49.41对。

所以用n前素数个数比起用素数定理来说要好的多。

这里的系数之和还是n，平均系数为1，这与取到根号前与n前是没有关系的，但是取值范围必须一致，即通项系数与含因子的系数要一致，通项系数=2*∏（1-1/(P-1)^2),P大于等于3，为素数，小于根号n；含因子系数需乘∏(（P-1)/(P-2)).

落到1000及以内偶数上的素数对为16348，而总共有27889对，占比58.62%，这个比值随范围的扩大是在减小。

作者: 重生888@ 时间: 2019-1-31 12:43

白新岭发表于 2019-1-31 11:13
是。你举的例子，安你的说法双计D（1000）=56，D（10002）=72，D（10004）=36，单计正好减半。不过仅接着的 ...

白新岭先生，为什么要对n前素数个数进行平方，然后再分配？基于什么理论？

作者: 愚工688 时间: 2019-1-31 13:33
本帖最后由愚工688 于 2019-1-31 05:45 编辑

白新岭发表于 2019-1-31 03:13
是。你举的例子，安你的说法双计D（1000）=56，D（10002）=72，D（10004）=36，单计正好减半。不过仅接着的 ...

奥，你是用平均素数对再乘以调节系数来计算偶数的素对数量的。但是求这个平均素数对并不容易。对于几百亿的大偶数N，难度要统计N前的全部偶数的素数对数量不成？
若是使用n前素数个数比起用素数定理的计算式，计算精度要提高很多。比如我在一楼举例的Zuo(N)计算式。 Zuo(N) ~ C(N)* π(N)^2/N . ------- {式4}
但是对大偶数，Zuo(N)计算起来并不容易，因为统计N前素数个数π(N)并不是容易之事，因此程序运行速度则比较慢。
仔细看，你也是用 π(N)^2进行计算的，基本是与Zuo(N)计算式相同的。因此计算值精度是比较高的。唯有程序运行速度比较慢是无法避免的。对于几十亿以上的大偶数N，你的计算式呈现计算比较困难。
[通项系数=2*∏（1-1/(P-1)^2),P大于等于3，为素数，小于根号n；含因子系数需乘∏(（P-1)/(P-2)).——p小于根号n？若这样则与我使用的拉曼扭扬系数c1一致。]

作者: 白新岭 时间: 2019-1-31 13:49
一个集合有A个元素，如果任意的取一个元素，与它集合中的每一个元素相加，就会得到A^2个加法算式，这里是任意，所以不能把a+b与b+a看成一个算式，只有a+a才是一种算式，你可能说了，它们的和相等，算一种，但是和相等的多了，可能c+d的结果也与它们相等，为了保证每个元素的组合数都一致，必须把不同位置的元素和看成两对。
然后进行分配，是因为对模P而言，它们一定落到P类余数，无论那种结果，都不会落到P类余数以外，也就是说，自然数对模P来说，只能分成P类数，不可能有p以外的类。
n前的素数之和，如果模n，它们只能分配到n类余数上，不可能分到n+1的余数上，实际上它还是余数1，所以对于任意的n值，无论是自然数本身，还是它们的和值（元素个数可以是任意的）都会落到它的n个余数上，没有落到以外的情况，这就是再分配的理论。
当然它并不能解释分配多少的问题，分配的多与少就要看它之前的素数了，因为根号后的素数因子对分配影响较小，所以就不用它们了只用它根号前的素数，每一个素数都把能除本身的偶数分配到P*（P-1）/(P-1)^2份，而其余的P-1类余数各分得P*（P-2）/(P-1)^2份。这里素数2也在其内，只不过它做的比较绝，把能整除它数分到2份，而不能整除它的分到0份，这就是奇数没有素数对的原因（当然素数2不能参与运算），而素数3把能整除它分到1.5份，而余1或2的各分到0.75份，3份分完，其它的素数都可以安公式求得它们分到的份数，所有余数分到的份数之和等于P，如果均分为1，所以每个素数对能整除本身的数都有偏爱，都多分1/(P-1)^2份。它们的分配符合乘法定理，即在第一步，有k种办法，第二步有j种办法，那两种途径共有k*j种办法，这里就成了分到多少份了，把一个整体1分成n份，有每份数*应分到的份数就是实际的个数了。

作者: 白新岭 时间: 2019-1-31 16:07
如果要计算一个偶数的素数对，统计它前所有偶数的素数对是没有意义的。
我之所以统计它前所有偶数的素数对（实际上我是统计它前所有两个素数的和落到每个偶数的素数对，这包括了2n前的偶数，但是素数必须小于n），是想分析问什么实际的统计值比理论值都多的原因，因为它没有按照像两个自然数的和一样，落到它前与后的完全一致，从2开始一直增到n结束，再一直减到2n-2止。而素数和的分布并不这样规整，所以就出现了，你的t1，t2，它们的值随n的增大而减小，绝对不可能增大，有极个别的可能大于统计值。
再就是前边的系数实际上就是应分到的份数，对于n来说，因为有最小系数1.32，奇数有不能分上，所以大系数大于2，要不平均系数就不为1了，它们的分配是很不均衡的。
在有引起素数对误差的原因，所有素数对具体的素数模P来说，各种余数不完全平均，它会导致理论值与实际不符的原因之一，还有素数本身的参与也会引起微小的变化，因为理论值是建立在各种余数均衡的原则之上的，并且余数0不参与运算。

作者: 愚工688 时间: 2019-1-31 20:25

重生888@ 发表于 2019-1-31 04:43
白新岭先生，为什么要对n前素数个数进行平方，然后再分配？基于什么理论？

如果你仔细看过我1楼的哈李公式的变换成Zuo(N)的内容，就不会不明白这个道理了。其实这就是哈李公式的一种变形。

作者: 愚工688 时间: 2019-1-31 20:54
本帖最后由愚工688 于 2019-1-31 14:40 编辑

白新岭发表于 2019-1-31 08:07
如果要计算一个偶数的素数对，统计它前所有偶数的素数对是没有意义的。
我之所以统计它前所有偶数的素数对 ...

今天是2019-01-31，以今天日期为随机数，计算其百倍，千倍的连续偶数的素对数量。
我的计算式： Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2

  S( 2019013100 ) = 4682545 ;Xi(M)≈ 4681431.12    δxi(M)≈-0.0002379  ( t2=  1.104341 )
  S( 2019013102 ) = 3293813 ;Xi(M)≈ 3294658.61    δxi(M)≈-0.0002567  ( t2=  1.104341 )
  S( 2019013104 ) = 6471075 ;Xi(M)≈ 6472750.9    δxi(M)≈-0.0002590  ( t2=  1.104341 )
  time start =20:29:32, time end =20:29:41
  S( 20190131000 ) = 37788161  ;Xi(M)≈ 37710439.86 δxi(M)≈-0.002057  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190131002 ) = 25877171  ;Xi(M)≈ 25828659.73 δxi(M)≈-0.001875  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190131004 ) = 52770555  ;Xi(M)≈ 52670209.26 δxi(M)≈-0.001902  ( t2=  1.091059 )
  time start =20:29:53, time end =20:30:35
可以看到，3个大偶数的计算时间合计都不到1分钟。并且每个偶数的素对计算值的相对误差都比较小。

如果同样采用Qbasic 语言编写的程序计算采用 π(N)为参数的计算式 Zuo(N) ~ C(N)* π(N)^2/N . 估计没有1个小时是难以完成的，这个就是使用 π(N)为参数的代价。当然如果能够采用高级一些语言编写程序，不在此列。
白先生，你编写的计算程序采用什么语言？

作者: 白新岭 时间: 2019-2-1 17:10
对于编程来说，我可能远远不及愚工688. 我只是在验证k生素数公式时，向vfbpgyfk先生请教过编程，当时也学会点，做了几个简单的程序。那是用VFP计算n前4生素数数量的程序。在本专栏有帖子“[原创]请教vfbpgyfk先生一个编程问题”

我的大部分数据和公式是用excel软件获得的。
我看过好多帖子，对哈代公式（包括哥德巴赫猜想，孪生素数对，3个素数的和（也有人称三素数定理））好像是用数论知识得到的，里边有圆法，单位1的素数p次根，看不懂，我是一个高中生，数学根基太浅。

对于数论仅仅是自学点皮毛，群论知识知道的也不多。
从你给重生888的回帖可以知道，你只是认为 Zuo(N) ~ C(N)* π(N)^2/N的公式是哈代公式的一种变形，而不是认为哈代公式是用素数定理后的变形。
至于称谁的公式并不重要，重要的是它能从数学理论中推到出他的公式吗？他能解释各个部分具体数学含义吗？我在帖子中，好像你提到过tongxinping，把别人的公式稍微变形成了自己的公式，当然他好久也不来此网站了。
大傻88888888把连乘积做了变形得到了哈代公式，他说如果以前没有人做过，他就是第一人证明哈代公式的，原话可能不是这么说的。

我来这里讨论，是想说明引起哈代公式偏差的原因，并不考虑计算的快与慢问题，也不是考虑精度问题，如果考虑他直接用编程统计即可。

当然寻找一种精度高计算快的方法还是一种不错的想法。

如果可行的话，可以用n/LN(N)的积分代替主项，系数还用原来的，这样的话速度与精度都会很高。

有一道简单不定方程正整数解问题，不知道愚工敢不敢兴趣，x+y=n，x，y为正整数且不能整除3，5，7三个素数，即在x，y的分解因式中没有因子3，5，7.

这是个有限问题，如果能解决它，就可以明白到底那一种表达公式是原始的，那一种公式是变形了，也会知道前边n个偶数的系数之和为2n的原因（这与取到根号前没有关系）。

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