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标题: 数论小猜想 [打印本页]

作者: 蔡家雄 时间: 2016-7-10 20:00
标题: 数论小猜想
本帖最后由蔡家雄于 2026-5-22 07:08 编辑

判定梅森质数的卢卡斯序列

卢卡斯级数的通项公式

Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]

L1=2,
L2=7,
L3=97,

L4=18817=(2^5 -1)(2^5*19 -1)=31*607,

并且：2^31 -1 与 2^607 -1 同为素数。

即有：2^30*(2^31 -1) 与 2^606*(2^607 -1) 都是完全数。

L5=708158977,

L6=1002978273411373057

=(2^7 -1)(2^7*61698958748239 -1)

=127*7897466719774591,

已证：127 和 7897466719774591 都是素数，

已证：2^127 -1 是素数，据此 7897466719774591 是梅森素数，

即有：2^126*(2^127 -1) 是完全数，

以及：2^7897466719774590*(2^7897466719774591 -1) 是完全数。

卢卡斯定理
设 p为>=5的奇素数，
若 L(p-1)  mod  (2^p -1) ≡ 0, 则 L(p-1) = (2^p -1) (2^p*q -1)

蔡家雄猜想

若素数 p>=5 ,
则 (4^p - 1)/3 一定是费尔马伪素.

s = 0;
For[p = 5, p <= 100, p++,If[(PrimeQ[p]) && (PowerMod[2, (4^p - 1)/3, (4^p - 1)/3] == 2),
s = s + 1;
Print[s, "-----", p, "-----", (4^p - 1)/3, "-----", PowerMod[2, (4^p - 1)/3, (4^p - 1)/3] == 2]]]

素数倒数最大循环节长定理

设 k 为非负整数，

若 30k+7 和 120k+29 都是素数，

则 1/(120k+29) 具有最大循环节长d= 120k+28.

蔡氏完全循环节问题

设 n>=3,

设 P 和 2^n*P+1 都是素数，

且 10^(2^n) -1 不能被 2^n*p+1 整除，

若 2^n*P+1 ≡ 17 或 33（mod  40），

则 10 是 2^n*P+1 的原根，

则 1/(2^n*p+1) 具有最大循环节长d= 2^n*p .

梅森素数与蔡氏完全循环节问题

设素数 p >=7，

且 (2^p -1)=30k+1 或 (2^p -1) =30k+7 也是素数，

若 (2^p -1)*16^m+1=(2^p -1)*2^(4m)+1 是素数，

则 10 是素数 (2^p -1)*16^m+1 的原根，

则 1/((2^p -1)*16^m+1) 具有最大循环节长d= (2^p -1)*16^m .

最新编程验证：
s = 0;
For[k = 0, k <= 1000000, k++,
If[PrimeQ[30 k + 7] && PrimeQ[120 k + 29], s = s + 1;
Print[s, "-----", k, "-----", 30 k + 7, "-----", 120 k + 29, "-----", PowerMod[10, 60 k + 14, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]

蔡家雄猜想：

设P和2P+1都是素数，
若 (2P+1)  mod  40 ≡ 7或19或23，
则整数10是素数(2P+1)的一个原根。
则1/(2P+1)的循环节长度一定是2P 。

蔡家雄猜想

设1<n<素数p<n^2, 至少存在一个素数p,
使 n!+n<素数(n!+p)<n!+n^2

s = 0;
For[n = 2, n <= 1000 , n++, NextPrime[n! + n];
If[NextPrime[n! + n] < n! + n^2, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", NextPrime[n! + n], "-----", NextPrime[n! + n] < n! + n^2]]]

一个改进了的蔡家雄猜想

设 n >=5,
在 (2n)! +2n 与 (2n)! +n^2 之间有一个素数，
即 (2n)! +2n < 素数P < (2n)! +n^2

s = 4;
For[n = 5, n <= 100, n++, NextPrime[(2 n)! +2 n];
If[NextPrime[(2 n)! +2 n] < (2 n)! + n^2, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", NextPrime[(2 n)! +2 n], "-----", NextPrime[(2 n)! +2 n] < (2 n)! + n^2]]]

若 C(2*n, n) mod n^2 ≡ 2, 则 n 一定是素数。

蔡家雄猜想

设 n >= 5,
若 C(n^2, n) mod n^5 = n, 则 n 一定是素数。

编程验证
s = 2;
For[n = 5, n <= 10000, n++,
If[Mod[Binomial[n^2, n], n^5] == n, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", PrimeQ[n]]]]

蔡家雄猜想：n>=3,

方程 a^n+n+b^n= c^n 无正整数解。

蔡家雄猜想：n>=5,

方程 a^n+nab+b^n= c^n 无正整数解。

s = 0;
For[b = 2, b <= 1000000, b++,
For[a = 1, a <= 10000, a++,
For[n = 5, n <= 10, n++,
If[IntegerQ[(a^n + n*a*b + b^n)^(1/n)] && (a < b), s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", a, "-----", b,  "-----", (a^n + n*a*b + b^n)^(1/n)]]]]]

\(n^3+b^3+c^3= (c+3k)^3\) 隐藏的特殊解公式

\(n^3+(3n^2+2n+1)^3+(3n^3+3n^2+2n)^3 = (3n^3+3n^2+2n+1)^3\)

\(n^3+[n(9*k^3 -1)]^3+[n(9*k^4 -3k)]^3 = [n(9*k^4)]^3\)

\((n^2)^3+(2n^2 -3n+3)^3+(n^3 -2n^2+3n -3)^3=(n^3 -2n^2+3n)^3\)

\((n^2)^3+(2n^2+3n+3)^3+(n^3+2n^2+3n)^3=(n^3+2n^2+3n+3)^3\)

\((3n^2)^3+(6n^2 -3n+1)^3+(9n^3 -6n^2+3n -1)^3=(9n^3 -6n^2+3n)^3\)

\((3n^2)^3+(6n^2+3n+1)^3+(9n^3+6n^2+3n)^3=(9n^3+6n^2+3n+1)^3\)

\((3n^2)^3+(27n^4+6n^2+1)^3+(81n^6+27n^4+6n^2)^3=(81n^6+27n^4+6n^2+1)^3\)

蔡家雄猜想：n 为正整数，

\(n^3+b^3+c^3= (c+3)^3\) 有正整数解。

\(1^3+236^3+1207^3= (1207+3)^3\)
\(2^3+b^3+c^3= (c+3)^3\) 有正整数解，
\(3^3+18^3+24^3= (24+3)^3\)
\(4^3+17^3+22^3= (22+3)^3\)
\(5^3+7144^3+201274^3= (201274+3)^3\)
\(6^3+51^3+120^3= (120+3)^3\)
\(7^3+11066^3+388028^3= (388028+3)^3\)

蔡家雄奇数猜想：n 为奇数时，

\(n^3+b^3+c^3= (c+2)^3\) 有正整数解。

\(1^3+b^3+c^3= (c+2)^3\) 有正整数解，
\(3^3+695^3+7479^3= (7479+2)^3\)
\(5^3+44253^3+3800479^3= (3800479+2)^3\)

定义：一对孪生素数(p, p+2r)中间的那个数字(p+r)，称为广义孪中。

广义孪中比猜想：

设 r=1, 则正整数N 均可表为两个广义孪中之比。且解数无穷。

设 r>1, 且 r与N 互素，则 N 可以表为两个广义孪中之比。且解数无穷。

广义孪中差猜想：

设 r与3互素，则仅有偶数6n 可以表为两个广义孪中之差。

设 r =3k 时：则所有偶数2n 均可表为两个广义孪中之差。

设 r =6k 时：则特定偶数6k 均可表为两个广义孪中素数之差。

推论：两个广义孪中素数同时+6k 与同时 -6k 都是素数。

定义：若 15X±2 和 15X±4 是四生素数，则称 15X 为双中数。

奇数双中比猜想：一奇数均可表为两个双中数之比。

对称8生连续素数15X±2, 15X±4, 15X±8, 15X±16 有无穷多组。

定义：孪生素数(p, p+2)的中项(p+1)，叫：孪中数。

孪中比猜想：正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。

定义：若 15X±2 和 15X±4 是四生素数，则称 15X 为双中数。

双中比猜想：(2a+1)/(2b+1) 均可表为两个双中数之比。( a, b >=0 )

蔡家雄猜想：设 p为素数，

素数差(首项差2d)等比2，3 的k生素数是存在的。

素数差(首项差2d)等比h=d+1 的k生素数是存在的。

则 p+2d*(h^k - 1)/(h - 1) 均为素数。(k=1,2,3,...,k-1)

最接近某类数的四生素数

其一：最接近三角数的四生素数：x(x+1)/2±2 和 x(x+1)/2±4

其二：最接近n个连续等差奇数的乘积的四生素数
（等差2d，首奇数 r,）

其三：最接近3次方数的四生素数：x^3±2 和 x^3±4

素数p >3，最接近p次方数的四生素数：x^p±2 和 x^p±4

存在无穷个 x^2,  满足

从素数2开始，前 x^2 个连续素数的和，仍是素数！

从素数p开始，有 x^2 个连续素数的和，仍是素数！

素数方阵猜想

设 n>=2,  求 n^2 个连续素数的和 = 完全平方数，均有解。

蔡家雄猜想

设 x为任意正整数，R为奇素数，

若 p为4k*R+1型素数，且 g是素数p的原根，

则 p*x+g 与 p*x -g 都不是R次方数。

蔡家雄猜想

设 x为任意正整数，R为奇素数，

设 p为4k*R+1型素数，且 1<r<p-1，

若 r^(2R - 2)  mod  p ≠ 1,（不同余于1）

则 p*x+r 与 p*x -r 都不是R次方数。

定义：孪生素数(p, p+2)的中项(p+1)，叫：孪中数。

孪中比猜想：正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。

推广：三整数连比均可表为三个孪中数连比。

即：a : b : c = A : B : C

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，都是孪生素数。

推广：四整数连比均可表为四个孪中数连比。

即：a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，D加减1，都是孪生素数。

蔡氏8生素数猜想

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 3p+8, 3p+10, 3p+14, 3p+16 有无限多组！！！

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 5p+16, 5p+18, 5p+22, 5p+24 有无限多组！！！

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 7p+24, 7p+26, 7p+30, 7p+32 有无限多组！！！

蔡氏8生素数猜想

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, (2n+1)p+8n, (2n+1)p+8n+2, (2n+1)p+8n+6, (2n+1)p+8n+8 有无限多组 !

蔡氏偶数分拆

设 2n >=64，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -30 , p4=p1+30 都是素数，

则 2n -30=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+30=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数分拆

设 2n >=280，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -210 , p4=p1+210 都是素数，

则 2n -210=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+210=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数分拆

2n>=2^16=(p)+(2n-p)=(p+30)+(2n-p-30)=(p+210)+(2n-p-210)=(p+2310)+(2n-p-2310) 均有解。

注：p, 2n-p, p+30, 2n-p-30, p+210, 2n-p-210, p+2310, 2n-p-2310 均为素数。

4生素数 p, p+30, p+210, p+2310 有无穷多组，

8生素数 p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870 有无穷多组，

同邻距的三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

最小解：p=7，  ( p, p+30, p+100 ) 与 ( 3p+130, 3p+160, 3p+230 )

最小解：p=11，( p, p+20, p+120 ) 与 ( 3p+140, 3p+160, 3p+260 )

最小解：p=13，( p, p+10, p+30 ) 与 ( 3p+40, 3p+50, 3p+70 )

最小解：p=17，( p, p+150, p+560 ) 与 ( 3p+710, 3p+860, 3p+1270 )

最小解：p=19，( p, p+40, p+180 ) 与 ( 3p+220, 3p+260, 3p+400 )

最小解：p=23，(  p, p+20, p+90 ) 与 ( 3p+110, 3p+130, 3p+200 )

最小解：p=23，(  p, p+30, p+260 ) 与 ( 3p+290, 3p+320, 3p+550 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+80 ) 与 ( 3p+110, 3p+140, 3p+190 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+110 ) 与 ( 3p+140, 3p+170, 3p+250 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+740 ) 与 ( 3p+770, 3p+800, 3p+1510 )

最小解：p=31，( p, p+30, p+160 ) 与 ( 3p+190, 3p+220, 3p+350 )

最小解：p=31，( p, p+30, p+490 ) 与 ( 3p+520, 3p+550, 3p+1010 )

最小解：p=37，( p, p+30, p+520 ) 与 ( 3p+550, 3p+580, 3p+1070 )

最小解：p=37，( p, p+30, p+1150 ) 与 ( 3p+1180, 3p+1210, 3p+2330 )

最小解：p=41，( p, p+20, p+150 ) 与 ( 3p+170, 3p+190, 3p+320 )

最小解：p=43，( p, p+30, p+250 ) 与 ( 3p+280, 3p+310, 3p+530 )

最小解：p=47，( p, p+80, p+270 ) 与 ( 3p+350, 3p+430, 3p+620 )

最小解：p=53，( p, p+30, p+620 ) 与 ( 3p+650, 3p+680, 3p+1270 )

最小解：p=59，( p, p+30, p+350 ) 与 ( 3p+380, 3p+410, 3p+730 )

最小解：p=61，( p, p+40, p+600 ) 与 ( 3p+640, 3p+680, 3p+1240 )

最小解：p=67，( p, p+30, p+400 ) 与 ( 3p+430, 3p+460, 3p+830 )

最小解：p=71，( p, p+30, p+920 ) 与 ( 3p+950, 3p+980, 3p+1870 )

最小解：p=73，( p, p+30, p+1420 ) 与 ( 3p+1450, 3p+1480, 3p+2870 )

最小解：p=79，( p, p+30, p+280 ) 与 ( 3p+310, 3p+340, 3p+590 )

最小解：p=83，( p, p+30, p+290 ) 与 ( 3p+320, 3p+350, 3p+610 )

最小解：p=89，( p, p+60, p+2450 ) 与 ( 3p+2510, 3p+2570, 3p+4960 )

最小解：p=97，( p, p+60, p+880 ) 与 ( 3p+940, 3p+1000, 3p+1820 )

这种同邻距的三生素数有无限多组！！！

稀有的三连同邻距的三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

(222337, 222367, 222437) 与 (667141, 667171, 667241) 及 (2001553, 2001583, 2001653)

(5021, 5171, 5581) 与 (15773, 15923, 16333) 及 (48029, 48029, 48179, 48589)

猜想：罕见的四连同邻距的三生素数存在！！！！

若 m 为正整数，p1 , p2  均为素数，

则 42m=素数(14m+p1)+素数(14m+p2) 均有解。

蔡氏偶数分拆

大于6的两个相差6 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，

大于6的两个相差12 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，

大于6的两个相差18 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，

大于6的两个相差24 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，

大于8的两个相差30 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，

.........................................................................................................

大于14的两个相差210 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，

蔡氏偶数分拆

大于10的三个相差30 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2，
则 2m+30=素数p1+素数(30+p2) 与 2m+60=素数p1+素数(60+p2) 均有解。

蔡氏偶数分拆

大于10的三个相差60 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2，
则 2m+60=素数p1+素数(60+p2) 与 2m+120=素数p1+素数(120+p2) 均有解。

蔡氏偶数分拆

大于10的三个相差150 的偶数分拆，可以有一个相同的素数，
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2，
则 2m+150=素数p1+素数(150+p2) 与 2m+300=素数p1+素数(300+p2) 均有解。

非等差的三个蔡氏偶数分拆存在

设 10 <= 2m=素数p1+素数p2，

设 30C =300，600，2700，3600，3900，6000，7200，9000，

则 2m+30 =素数p1+素数(30+p2) 与 2m+30C =素数p1+素数(30C+p2) 均有解。

非等差的三个蔡氏偶数分拆存在

设 10 <= 2m=素数p1+素数p2，

设 60C =3300，3900，4500，6000，7200，9000，

则 2m+60 =素数p1+素数(60+p2) 与 2m+60C =素数p1+素数(60C+p2) 均有解。

设 n 为固定正整数，k 为正整数，t 为固定正奇数，

且 2n > t，及 ( n, t ) = 1 .

求证：数列2n*k+t 中的差2n素数对有无限多对，

则有无限多个k，使得 2n*k+t 与 2n*(k+1)+t 均为素数。

有无限多对四生素数 p, (p+2), (p+6), (p+8) ，

使得：p+30, (p+2)+30, (p+6)+30, (p+8)+30  也是四生素数。

使得：p+210, (p+2)+210, (p+6)+210, (p+8)+210  也是四生素数。

使得：p+2310, (p+2)+2310, (p+6)+2310, (p+8)+2310  也是四生素数。

使得：p+30030, (p+2)+30030, (p+6)+30030, (p+8)+30030  也是四生素数。

【再生差2n素数对有无限多组】

设 n, k 均为固定正整数，且 n 与 k 互素，

设 p1 < p2，且 p1, p2 是差2n素数对，

使 (p1+n)*k -n =p3 与 (p1+n)*k+n =p4 也是差2n素数对。


【再生差2n素数对有无限多组】

设 n, k 均为固定正整数，且 n 与 k 互素，

设 p1 < p2，且 p1, p2 是差2n素数对，

使 (p1+n)*k -n =p3 与 (p1+n)*k+n =p4 也是差2n素数对。

及 (p1+n)*k^2 -n =p5 与 (p1+n)*k^2+n =p6 也是差2n素数对。

【再生等差30的四生素数对有无限多组】

设 k 为固定正整数，且 15 与 k 互素，

设 (p, p+30, p+60, p+90) 是等差30的四生素数对，

使 (p+45)*k -45, (p+45)*k -15, (p+45)*k+15, (p+45)*k+45 也是等差30的四生素数对。

例 k=4 时的两对再生等差30的四生素数对有无限多组，

(397429, 397459, 397489, 397519) 与 (1589851, 1589881, 1589911, 1589941)

(2219123, 2219153, 2219183, 2219213) 与 (8876627, 8876657, 8876687, 8876717)

(3686561, 3686591, 3686621, 3686651) 与 (14746379, 14746409, 14746439, 14746469)

(4076951, 4076981, 4077011, 4077041) 与 (16307939, 16307969, 16307999, 16308029)

(4661717, 4661747, 4661777, 4661807) 与 (18647003, 18647033, 18647063, 18647093)

(4968149, 4968179, 4968209, 4968239) 与 (19872731, 19872761, 19872791, 19872821)

(5842841, 5842871, 5842901, 5842931) 与 (23371499, 23371529, 23371559, 23371589)

(7043173, 7043203, 7043233, 7043263) 与 (28172827, 28172857, 28172887, 28172917)

(8682209, 8682239, 8682269, 8682299) 与 (34728971, 34729001, 34729031, 34729061)

【再生等差2310的六生素数对有无限多组】

设 k 为固定正整数，且 1155 与 k 互素，

设 (p, p+2310, p+4620, p+6930, p+9240, p+11550) 是等差2310的六生素数对，

使 (p+5775)*k -5775, (p+5775)*k -3465, (p+5775)*k -1155, (p+5775)*k+1155, (p+5775)*k+3465, (p+5775)*k+5775 也是等差2310的六生素数对。

例 k=13 时的两对再生等差2310的六生素数对有无限多组，

有 (267857, 270167, 272477, 274787, 277097, 279407)

与 (3551441, 3553751, 3556061, 3558371, 3560681, 3562991)

有 (2517227, 2519537, 2521847, 2524157, 2526467, 2528777)

与 (32793251, 32795561, 32797871, 32800181, 32802491, 32804801)

三素数猜想（加3型）

设 2n+1 >=61，且 p1, p2, p3=2*p2+3 都是素数，

则 2n+1=p1+2*p2 与 2n+4=p1+p3 至少有一组素数(p1, p2, p3)解。

三素数猜想（减3型）

设 2n+3 >=9，且 p1, p2, p3=2*p2 -3 都是素数，

则 2n+3=p1+2*p2 与 2n=p1+p3 至少有一组素数(p1, p2, p3)解。

蔡氏三素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。

蔡氏四素数猜想

设 2n+15 >=49，且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+15=p1+2*p2 及 2n+30=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏四素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。

蔡氏四素数猜想

设 2n+105 >=169，且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+105=p1+2*p2 及 2n+210=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏四素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。

蔡氏八素数猜想

设 2n >=64，

且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15, p5, p6, p7=2*p6 -15, p8=2*p6+15 都是素数，

则 2n -30=p1+p3, 2n -15=p1+2*p2, 2n=p1+p4=p5+p7, 2n+15=p5+2*p6, 2n+30=p5+p8,

至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8)解。

蔡氏八素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。

蔡氏八素数猜想

设 2n >=280，

且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105, p5, p6, p7=2*p6 -105, p8=2*p6+105 都是素数，

则 2n -210=p1+p3, 2n -105=p1+2*p2, 2n=p1+p4=p5+p7, 2n+105=p5+2*p6, 2n+210=p5+p8,

至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8)解。

蔡氏八素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。

蔡氏偶数(1+2)分拆（最小解）

设 2n >=32，且 p1, p2=p1+30, p3, p4 都是素数，

且 p3 <=p4,  且 p3 是与2n, 2n+30 都互素的最小素数，

则 2n=p1+p3*p4 , 2n+30=p2+p3*p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数(1+2)分拆（最小解）

设 2n >=62，且 p1, p2=p1+210, p3=p1+630, p4, p5 都是素数，

且 p4 <=p5,  且 p4 是与2n, 2n+210, 2n+630 都互素的最小素数，

则 2n=p1+p4*p5 , 2n+210=p2+p4*p5 , 2n+630=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。

蔡氏偶数(1+2)分拆（最小解）

设 2n >=62，且 p1, p2=p1+420, p3=p1+840, p4, p5 都是素数，

且 p4 <=p5,  且 p4 是与2n, 2n+420, 2n+840 都互素的最小素数，

则 2n=p1+p4*p5 , 2n+420=p2+p4*p5 , 2n+840=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。

任一正整数均可表为一个质数与一个平方数的差。

64=73-3^2=89-5^2=113-7^2=233-13^2=353-17^2=......

任一质数均可表为另一个质数与一个m次方数的差。

2=11-3^2=29-3^3=83-3^4=59051-9^5=3518743763-39^6=4782971-9^7=6563-3^8

2=2357947693-11^9=59051-3^10=8649755859377-15^11=282429536483-9^12

2=2541865828331-9^13=4782971-3^14=14348909-3^15=6568408355712890627-15^16

2=762939453127-5^17=150094635296999123-9^18

2=15398217140735709790332844752065729-63^19（最小解）

【公式化的完美立方数】

设 D^3=A^3+B^3+C^3，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

求证：若 m>=2，则 (m^2*(2m^2 -1)(2m^2+1))^3=A^3+B^3+C^3 是完美立方数。

【质数立方是三质数立方之和的完美立方数】

设 P^3=A^3+B^3+C^3，其中 P, A, B, C 都是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

8000以内 P, A, B, C 均为素数的组合，由 Treenewbee 程序计算，

709 = [193, [25, 68, 190]] + [461, [5, 86, 460]] + [631, [120, 207, 622]]

2767 = [103, [12, 31, 102]] + [2179, [108, 235, 2178]] + [2213, [1238, 1373, 1852]]

【质数立方是至少两组三质数立方之和的完美立方数】

设 P^3=A^3+B^3+C^3 = D^3+E^3+F^3，其中 P, A, B, C, D, E, F 都是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

及 D^3=d1^3+d2^3+d3^3，E^3=e1^3+e2^3+e3^3，F^3= f1^3+f2^3+ f3^3 均为正整数解，

求质数 P= ？  A= ? B= ? C= ? D= ? E= ? F= ?  由 Treenewbee 程序计算，

33199^3=2833^3+19081^3+30941^3=15187^3+24197^3+26647^3

49069^3=661^3+37441^3+40343^3=22307^3+37243^3+38119^3

作者: 费尔马1 时间: 2018-1-15 15:05
老师您好:我想在那个国际公证网站上存放一篇文章，然后再找地方投稿，你上次发的那个网站名我记不清了，请您帮忙，把网站名发在我的某个帖子里，谢谢！

作者: 费尔马1 时间: 2018-1-16 08:12
谢谢蔡老师！

作者: 蔡家雄 时间: 2018-1-23 13:59
本帖最后由蔡家雄于 2018-8-26 20:01 编辑

我的另一类单条件下的最大循环节猜想

蔡家雄猜想

设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×2+1是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×2+1的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×2+1] 具有最大循环节长度。

不超3000的n=3,8,11,36,95,101,128,260,351,467,645,1011,1178,1217,2442，使猜想成立！
ForIf[n = 101;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*2 + 1 - 1)/2, (10^n - 1)/9*2 + 1] == (10^n - 1)/9*2]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/223
1/22222223
1/22222222223
1/222222222222222222222222222222222223
1/22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223

蔡家雄猜想

设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×3+4是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×3+4的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×3+4] 具有最大循环节长度。

不超3000的n=3,6,46,394,978,2586,2811,2968，使猜想成立！
ForIf[n = 394;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*3 + 4 - 1)/2, (10^n - 1)/9*3 + 4] == (10^n - 1)/9*3 + 3]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/337
1/333337
1/3333333333333333333333333333333333333333333337

蔡家雄猜想

设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×4+3是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×4+3的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×4+3] 具有最大循环节长度。

不超3000的n=4,10,20,26,722,1310，使猜想成立！
ForIf[n = 722;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*4 + 3 - 1)/2, (10^n - 1)/9*4 + 3] == (10^n - 1)/9*4 + 2]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/4447
1/4444444447
1/44444444444444444447
1/44444444444444444444444447

蔡家雄猜想

设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×8-1是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×8 -1的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×8 -1] 具有最大循环节长度。

不超3000的n=3,4,6,9,12,72,118,124,190,244,304,357,1422,2691，使猜想成立！
ForIf[n = 118;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*8 - 1 - 1)/2, (10^n - 1)/9*8 - 1] == (10^n - 1)/9*8 - 2]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/887
1/8887
1/888887
1/888888887
1/888888888887
1/888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888887

蔡家雄猜想

设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×2+7是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×2+7的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×2+7] 具有最大循环节长度。

不超3000的n=3,5,14,176,416,2505,2759，使猜想成立！
ForIf[n = 176;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*2 + 7 - 1)/2, (10^n - 1)/9*2 + 7] == (10^n - 1)/9*2 + 6]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/229
1/22229
1/22222222222229

蔡家雄猜想

设n≥3 ,
若(10^n - 1)÷9×7+2是素数，
则10是(10^n - 1)÷9×7+2的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×7+2] 具有最大循环节长度。

不超3000的n=66,86,90,102,386,624，使猜想成立！
ForIf[n = 102;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*7 + 2 - 1)/2, (10^n - 1)/9*7 + 2] == (10^n - 1)/9*7 + 1]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
1/77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
1/777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779

作者: zy1818sd 时间: 2018-3-19 14:02
证明这些猜想的真伪，必须有一流的验算工具，这个很难。

作者: 蔡家雄 时间: 2018-8-7 21:05
本帖最后由蔡家雄于 2020-7-31 21:48 编辑

三生素数连比表为三个孪中数连比。

即：a : b : c = A : B : C

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，都是孪生素数。

83 : 89 : 97 = 121170870 : 129930210 : 141609330

83 : 89 : 97 = 420132720 : 450503760 : 490998480

83 : 89 : 97 = 479830470 : 514517010 : 560765730

三圆周率素数连比表为三个孪中数连比。

即：a : b : c = A : B : C

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，都是孪生素数。

3 : 31 : 314159 = 770310 : 7959870 : 80666606430

3 : 31 : 314159 = 778050 : 8039850 : 81477136650

3 : 31 : 314159 = 2542050 : 26267850 : 266202628650

3 : 31 : 314159 = 9721080 : 100451160 : 1017988257240

3 : 31 : 314159 = 11252430 : 116275110 : 1178350718790

3 : 31 : 314159 = 12628350 : 130492950 : 1322436602550

3 : 31 : 314159 = 12713580 : 131373660 : 1331361859740

3 : 31 : 314159 = 16537950 : 170892150 : 1731848611350

四生素数连比表为四个孪中数连比。

即：a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，D加减1，都是孪生素数。

11 : 13 : 17 : 19 = 108498390 : 128225370 : 167679330 : 187406310

11 : 13 : 17 : 19 = 331059960 : 391252680 : 511638120 : 571830840

11 : 13 : 17 : 19 = 382896360 : 452513880 : 591748920 : 661366440

四生素数连比表为四个孪中数连比。

即：a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，D加减1，都是孪生素数。

101 : 103 : 107 : 109 = 246408690 : 251288070 : 261046830 : 265926210

101 : 103 : 107 : 109 = 4268397360 : 4352920080 : 4521965520 : 4606488240

四生素数连比表为四个孪中数连比。

即：a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，D加减1，都是孪生素数。

191 : 193 : 197 : 199 = 1132305300 : 1144161900 : 1167875100 : 1179731700

四生素数连比表为四个孪中数连比。

即：a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，D加减1，都是孪生素数。

821 : 823 : 827 : 829 = 174981839970 : 175408105110 : 176260635390 : 176686900530

作者: 蔡家雄 时间: 2019-3-5 16:55
定义：模素数p的阶e

若 a^e mod p = 1，（e 为最小指数，p是奇素数）

则称e为：已a为底，模素数p的阶。

当阶数 e = p - 1 时，

则称a为模素数p的原根。

余数个数是 (p - 1) 的因子，余数之和是p的 d 倍。
当阶数 e 是偶数时，d = e /2,
当阶数 e 是奇数时，却没有 d 的统一计算公式，

若 a是素数p的原根，则 a+p*n 也是素数p的(广义)原根。
编程验证举例：（a=10, p=29）
s = 0;
For[a = 10; p = 29; n = 1, n <= 30, n++,
If[MultiplicativeOrder[a + p*n, p] == p - 1, s = s + 1;
Print[s, "-----", a + p*n, "-----",
MultiplicativeOrder[a + p*n, p] == p - 1]]]

若 a是4k+1型素数p的原根，则 (p -a) 也是素数p的原根。（原根的互补性）

作者: 蔡家雄 时间: 2019-3-13 17:59
求 a^k mod p 的余数
(1 <= k为满足 a^k mod p = 1 的最小指数, p为素数.)

s = 0;
For[a = 7; p = 29; k = 1, k <= MultiplicativeOrder[a, p], k++,
s = s + 1;
Print[s, "-----", a, "---", k, "-----", p, "----", PowerMod[a, k, p]]]

求 a^k mod p 的余数之和
(1 <= k为满足 a^k mod p = 1 的最小指数, p为素数.)

Sum[PowerMod[7, k, 29], {k, 1, MultiplicativeOrder[7, 29]}]

求出任意素数P 的所有本原根的计算方法

设 g 是素数P 的一个原根，

当 1 <= 2n -1 < P 且 2n -1 与 P -1 互素时，

设 g^(2n -1) mod P = r，则 r 是 P 的原根。

s = 0;
For[g = PrimitiveRoot[P]; P = 29; n = 1, n <= (P - 1)/2, n++,
If[CoprimeQ[2 n - 1, P - 1], s = s + 1;
Print[s, "-----", g, "---", 2 n - 1, "-----", P, "-----",
PowerMod[g, 2 n - 1, P], "-----", CoprimeQ[2 n - 1, P - 1]]]]

作者: 蔡家雄 时间: 2019-3-13 19:10
求N以内素数的最小原根

s = 0;
For[P = 3, P <= 1000, P++, PrimitiveRoot[P];
If[PrimeQ[P], s = s + 1;
Print[s, "-----", P, "-----", PrimitiveRoot[P]]]]

作者: wesmond 时间: 2019-4-1 12:35

shuxuestar 发表于 2018-8-13 00:25
蔡兄, 对于素数的分布规律今天的数学家研究的怎麼样了？据说是与螺旋有一定关联?

我找到了素数分布的精确数量规律，但还不能精确定位素数，所谓螺旋规律只对一部分素数有效，不是全部的。有兴趣可以看下我的文章！

作者: 王守恩 时间: 2019-4-4 20:54

蔡家雄发表于 2019-4-3 08:10
比 Erdos 猜想 4/p = 1/x+1/y+1/z 更难的

猜想：m =1, 2, 3, ......

看您的资料，方程 a^3+mab+b^3= c^3 好像有正整数解。我的电脑不行，每个m来一个！

作者: 蔡家雄 时间: 2019-4-6 19:40
目前数学家们找到的A^4+B^4+C^4= D^4的解：

95800， 217519， 414560， 422481

673865， 1390400， 2767624， 2813001

1705575， 5507880， 8332208， 8707481

5870000， 8282543， 11289040， 12197457

4479031， 12552200， 14173720， 16003017

3642840， 7028600， 16281009， 16430513

2682440， 15365639， 18796760， 20615673

2164632， 31669120， 41084175， 44310257

10409096， 42878560， 65932985， 68711097

34918520， 87865617， 106161120， 117112081

1841160， 121952168， 122055375， 145087793

27450160， 108644015， 146627384， 156646737

186668000， 260052385， 582665296， 589845921

219076465， 275156240， 630662624， 638523249

558424440， 606710871， 769321280， 873822121

588903336， 859396455， 1166705840， 1259768473

50237800， 632671960， 1670617271， 1679142729

686398000， 1237796960， 1662997663， 1787882337

92622401， 1553556440， 1593513080， 1871713857

已经证明了有无穷多个解

作者: 王守恩 时间: 2019-4-7 07:08
本帖最后由王守恩于 2019-4-7 07:18 编辑

蔡家雄发表于 2019-4-6 22:27
世纪难题：A^4+B^4+C^4= D^4 的特殊解公式的构造？

A=f(n)=a1*n^4+a2*n^3+a3*n^2+a4*n+a5, ( a 为整数） ...

我们是闹着玩的，别太认真！
(n^6+3n^5-2n^4+n^2+1)^4+(n^7+n^5-2n^3-3n^2+n)^4
=(n^7+n^5-2n^3+3n^2+n)^4+(n^6-3n^5-2n^4+n^2+1)^4

作者: 蔡家雄 时间: 2019-4-13 06:59
我是怎么研发了蔡氏小猜想的？

a^3+1+b^3= c^3 有正整数解，
a^3+2+b^3= c^3 有正整数解，
但我找不到
a^3+3+b^3= c^3 的正整数解，研发了

蔡氏小猜想：n>=3,

方程 a^n+n+b^n= c^n 无正整数解。

我是由程氏类勾股数方程
a^2+mab+b^2= c^2，( m>=3 )
及我验证了
a^3+mab+b^3= c^3 均有正整数解，(m<=1000)
我甚至猜想
a^4+4ab+b^4= c^4 有且仅有一组正整数解，研发了

蔡氏小猜想：n>=5,

方程 a^n+nab+b^n= c^n 无正整数解。

但，我不是由费马大定理想出来的。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-4-14 03:56
在两奇数平方之间有一对间距是2的孪生素数,
即：(2n - 1)^2 < (P, P+2) < (2n+1)^2

蔡家雄猜想

在(2n)^2 - 4 与(2n+2)^2 - 4 之间有一对间距是4的双生素数,
即：(2n)^2 - 4 < (P, P+4) < (2n+2)^2 - 4
s = 0;
For[n = 1, n <= 100 , n++,
For[p = (2 n)^2 - 4, p <= (2 n + 2)^2 - 4, p++,
If[(PrimeQ[p]) && (PrimeQ[p + 4]), s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", p, "-----", p + 4]]]]

作者: 蔡家雄 时间: 2019-4-14 04:23
蔡家雄猜想

设1<n<素数p<n^2, 至少存在一个素数p,
使 n!+n<素数(n!+p)<n!+n^2

s = 0;
For[n = 2, n <= 1000 , n++, NextPrime[n! + n];
If[NextPrime[n! + n] < n! + n^2, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", NextPrime[n! + n], "-----", NextPrime[n! + n] < n! + n^2]]]

一个改进了的蔡家雄猜想

设 n >=5,
在 (2n)! +2n 与 (2n)! +n^2 之间有一个素数，
即 (2n)! +2n < 素数P < (2n)! +n^2

s = 4;
For[n = 5, n <= 100, n++, NextPrime[(2 n)! +2 n];
If[NextPrime[(2 n)! +2 n] < (2 n)! + n^2, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", NextPrime[(2 n)! +2 n], "-----", NextPrime[(2 n)! +2 n] < (2 n)! + n^2]]]

作者: 永远 时间: 2019-4-22 22:06
2010年找找陆老师曾经给出的公式

作者: markfang2050 时间: 2019-4-23 19:56
北京电视台新闻频道《有话就说》20160306这期。@王守恩@蔡家雄，建议你们看看，爱奇艺里可看。特别是年龄大的，文化低的人；不看外文文献，不查论文数据库；固执，偏见，无知,总以为自己是最牛的。一直活在自己虚幻的世界里。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-4-25 17:12
蔡家雄猜想

若素数 p>=5 ,
则 (4^p - 1)/3 一定是费尔马伪素.

s = 0;
For[p = 5, p <= 100, p++,If[(PrimeQ[p]) && (PowerMod[2, (4^p - 1)/3, (4^p - 1)/3] == 2),
s = s + 1;
Print[s, "-----", p, "-----", (4^p - 1)/3, "-----", PowerMod[2, (4^p - 1)/3, (4^p - 1)/3] == 2]]]

作者: 蔡家雄 时间: 2019-4-27 20:36
设 p 和 4p+1 都是素数，

当 1 <= n < p 时，

设 p^n mod (4p+1) = r

则 p是使 r^p mod (4p+1) = 1 成立的最小指数。

s = 0;
For[a = p; p = 7; n = 1, n <= MultiplicativeOrder[a, 4 p + 1], n++,
s = s + 1;
Print[s, "-----", a, "---", n, "-----", 4 p + 1, "----", PowerMod[a, n, 4 p + 1]]]

设 4k+1 和 8k+3 都是素数，

当 1 <= n < 4k+1 时，

设 (4k+1)^n mod (8k+3) = r

则 4k+1是使 r^(4k+1) mod (8k+3) = 1 成立的最小指数。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-1 15:49
蔡家雄猜想（公式化的原根）

设 k 为非负整数，
若 30k+7 和 120k+29 同为素数，
则 10k+2 是 120k+29 的一个原根。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-2 16:13
本帖最后由蔡家雄于 2019-5-2 16:49 编辑

(2^1)^3+b^3+c^3= (c+3)^3
(2^3)^3+b^3+c^3= (c+3)^3
(2^5)^3+5389^3+131867^3= (131867+3)^3
(2^7)^3+5605^3+139875^3= (139875+3)^3
(2^9)^3+199^3+3972^3= (3972+3)^3

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-2 16:23
本帖最后由蔡家雄于 2019-5-3 11:46 编辑

3^9+786^3+7344^3= (7344+3)^3
4^9+1889^3+27366^3= (27366+3)^3

6^9+1857^3+26694^3= (26694+3)^3
6^9+47091^3+3406320^3= (3406320+3)^3
7^9+398^3+3388^3= (3388+3)^3
7^9+1286^3+15516^3= (15516+3)^3
8^9+199^3+3972^3= (3972+3)^3
9^9+1380^3+18303^3= (18303+3)^3
9^9+1542^3+21222^3= (21222+3)^3
9^9+8292^3+251775^3= (251775+3)^3
10^9+317^3+10706^3= (10706+3)^3
11^9+202^3+16213^3= (16213+3)^3
12^9+24663^3+1291284^3= (1291284+3)^3

15^9+58098^3+4668345^3= (4668345+3)^3

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-3 08:57
本帖最后由蔡家雄于 2019-5-5 19:30 编辑

2^36+4661^3+137427^3= (137427+3)^3

2^36+5231^3+153425^3= (153425+3)^3

2^36+8003^3+254141^3= (254141+3)^3

2^36+8387^3+270528^3= (270528+3)^3

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-3 18:05
蔡家雄猜想：n 为任一正整数，

n^3+b^3+c^3= (c+3)^3 有正整数解。

1^3+236^3+1207^3= (1207+3)^3
2^3+b^3+c^3= (c+3)^3 有正整数解，
3^3+18^3+24^3= (24+3)^3
4^3+17^3+22^3= (22+3)^3
5^3+7144^3+201274^3= (201274+3)^3
6^3+51^3+120^3= (120+3)^3
7^3+11066^3+388028^3= (388028+3)^3

计算机数学难题：

2^3+b^3+c^3= (c+3)^3 的正整数解？

数字 8 代表：从人体到宇宙是由八卦生成的。

在亚当斯的书中，一台超级计算机花了750万年的时间才最终得出答案，
在此之前不会有人知道，或许只有一个人除外，那就是丢番图自己。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-5 12:59
蔡家雄猜想（公式化的广义原根）

设 d, k 为非负整数，
设 g1= 2^(2d+1)， g2= 3^(2d+1)， g3= 5*3^(2d)，
设 g4= 6*g1或6*g2或6*g3，g5= 10*g1或10*g2或10*g3，

设 P >= 5，
设 P 和 4P+1 都是素数，

若 4P+1 mod 40 ≡ 13或37，

且 g^4 mod (4P+1) ≠ 1 ，

则 g1, g2, g3, g4, g5 是 4P+1 的广义原根。

s = 0;
For[g = 3; p = 5, p <= 1000, p++,
If[(PrimeQ[p] && PrimeQ[4 p + 1]) && (Mod[4 p + 1, 40] == 13 || Mod[4 p + 1, 40] == 37)
&& (PowerMod[g, 4, 4 p + 1] ≠ 1), s = s + 1;
Print[s, "-----", g, "-----", 4 p + 1, "-----", MultiplicativeOrder[g, 4 p + 1] == 4 p]]]

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-5 13:03
蔡家雄猜想（公式化的广义原根）

设 d, k 为非负整数，
设 g1=2^(2d+1)=2, 8, 32, 128, 512, ...
设 g2=3^(2d+1)=3, 27, 243, 2187, .....
设 g3=5*g1=10, 40, 160,, 640, 2560, ...
设 g4=5*g2=15, 135, 1215, 10935, ......

若 30k+7 和 120k+29 同为素数，

且 g^4 mod (120k+29) ≠ 1 ，

则 g1, g2, g3, g4 都是 120k+29 的广义原根。

s = 0;
For[g = 10; k = 0, k <= 1000, k++,
If[PrimeQ[30 k + 7] && PrimeQ[120 k + 29] && (PowerMod[g, 4, 120 k + 29] ≠ 1), s = s + 1;
Print[s, "-----", g, "-----", 120 k + 29, "-----", MultiplicativeOrder[g, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-5 13:15
n^3+b^3+c^3= (c+3k)^3 隐藏的特殊解公式

n^3+(3n^2+2n+1)^3+(3n^3+3n^2+2n)^3 = (3n^3+3n^2+2n+1)^3

n^3+[n(9*k^3 -1)]^3+[n(9*k^4 -3k)]^3 = [n(9*k^4)]^3

(n^2)^3+(2n^2 -3n+3)^3+(n^3 -2n^2+3n -3)^3=(n^3 -2n^2+3n)^3

(n^2)^3+(2n^2+3n+3)^3+(n^3+2n^2+3n)^3=(n^3+2n^2+3n+3)^3

(3n^2)^3+(6n^2 -3n+1)^3+(9n^3 -6n^2+3n -1)^3=(9n^3 -6n^2+3n)^3

(3n^2)^3+(6n^2+3n+1)^3+(9n^3+6n^2+3n)^3=(9n^3+6n^2+3n+1)^3

(3n^2)^3+(27n^4+6n^2+1)^3+(81n^6+27n^4+6n^2)^3=(81n^6+27n^4+6n^2+1)^3

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-5 18:34
蔡家雄猜想（公式化的广义原根）

设 d, k 为非负整数，
设 g1= 3^(2d+1)，g2= 5^(2d+1)，
设 g3= 3*2^d，    g4= 5*2^d，

设 n>=3,  P>= 5，
设 P 和 (2^n)*P+1 都是素数，

若 (2^n)*P+1  mod  40 ≡ 17或33，

且 g^(2^n)  mod  ((2^n)*P+1) ≠  1  ，

则 g1, g2, g3, g4  是 (2^n)*P+1 的广义原根。

s = 0;
For[n = 3; g = 10; p = 5, p <= 1000, p++,
If[(PrimeQ[p] && PrimeQ[(2^n) p + 1]) && (Mod[(2^n) p + 1, 40] == 17 || Mod[(2^n) p + 1, 40] == 33)
&& (PowerMod[g, (2^n), (2^n) p + 1] ≠ 1), s = s + 1;
Print[s, "-----", g, "-----", (2^n) p + 1, "-----", MultiplicativeOrder[g, (2^n) p + 1] == (2^n) p]]]

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-5 19:35
2^36+4661^3+137427^3= (137427+3)^3

2^36+5231^3+153425^3= (153425+3)^3

2^36+8003^3+254141^3= (254141+3)^3

2^36+8387^3+270528^3= (270528+3)^3

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-6 09:03
蔡家雄猜想：n 为任一正整数，

n^3+b^3+c^3= (c+3)^3 有正整数解。

1^3+236^3+1207^3= (1207+3)^3
2^3+b^3+c^3= (c+3)^3 有正整数解，
3^3+18^3+24^3= (24+3)^3
4^3+17^3+22^3= (22+3)^3
5^3+7144^3+201274^3= (201274+3)^3
6^3+51^3+120^3= (120+3)^3
7^3+11066^3+388028^3= (388028+3)^3

计算机数学难题：

2^3+b^3+c^3= (c+3)^3 的正整数解？

数字 8 代表：从人体到宇宙是由八卦生成的。

在亚当斯的书中，一台超级计算机花了750万年的时间才最终得出答案，
在此之前不会有人知道，或许只有一个人除外，那就是丢番图自己。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-7 21:34
计算机数学难题

蔡家雄奇数猜想：n 为奇数时，

n^3+b^3+c^3= (c+2)^3 有正整数解。

1^3+b^3+c^3= (c+2)^3 有正整数解，
3^3+695^3+7479^3= 7481^3
5^3+44253^3+3800479^3= 3800481^3

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-8 05:56
蔡家雄猜想

若 5^(2k) -2 是素数，

则 5和10 是素数 5^(2k) - 2 的两个原根。

此时，不超10000的 2k 的值仅有
2k = 2，14，26，50，126，144，260，624，1424.

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-8 05:57
蔡家雄猜想

若 4^(2k)+3 是素数，

则 2和10 是素数 4^(2k)+3 的两个原根。

此时，不超10000的 2k 的值仅有
2k = 2，6，8，14，42，114，392，852，1004，2030，2276，8610.

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-8 07:30
计算机数学难题

蔡家雄奇数猜想：n 为奇数时，

n^3+b^3+c^3= (c+2)^3 有正整数解。

1^3+b^3+c^3= (c+2)^3 有正整数解，
3^3+695^3+7479^3= 7481^3
5^3+44253^3+3800479^3= 3800481^3

作者: markfang2050 时间: 2019-5-9 08:00

蔡家雄，你加数学中国QQ群：204338349

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-9 08:20
本帖最后由蔡家雄于 2019-5-9 10:27 编辑

53^3+6051^3+192160^3= 192162^3

75^3+25853^3+1697034^3= 1697036^3

75^3+41117^3+3403740^3= 3403742^3

81^3+23033^3+1427085^3= 1427087^3

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-11 07:21
蔡家雄猜想

若 5^(2k)+4 是素数，

则 2, 3和10 是素数 5^(2k)+4 的三个原根。

此时，不超10000的 2k 的值仅有
2k = 2，6，10，102，494，794，1326，5242，5446.

蔡家雄猜想

若 5^(2k -1)+24 是素数，
则 2, 3和10 是素数 5^(2k -1)+24 的三个原根。

此时，不超10000的 2k - 1 的值仅有
2k - 1 = 1，3，21，53，195，353，2067，2191，4563.

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-15 13:14
蔡家雄奇数猜想：n 为奇数时，

n^3+b^3+c^3= (c+2)^3 有正整数解。

1^3+b^3+c^3= (c+2)^3 有正整数解，
3^3+695^3+7479^3= 7481^3
5^3+44253^3+3800479^3= 3800481^3

计算机科学家要找到：奇数 n<100，
n^3+b^3+c^3= (c+2)^3 的正整数解，
——可能要持续忙上半个世纪！！！

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-26 11:33
Mathematica 官方推出一种铅笔，

上面写了一个很大的素数：357686312646216567629137。

这个素数有一个特点，就是从左到右去掉前面若干个数字，剩下的数字仍是素数。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-28 05:52
两位素数37的首尾中间全插入1：13171，仍是素数。

三位素数167的首尾中间全插入3：3136373，仍是素数。

四位素数2909的首尾中间全插入7：727970797，仍是素数。

五位素数40009的首尾中间全插入7：74707070797，仍是素数。

六位素数100003的首尾中间全插入9：9190909090939，仍是素数。

七位素数8009999的首尾中间全插入3：383030393939393，仍是素数。

八位素数abcdefgh的首尾中间全插入：（期待您，大显身手，仍是素数。）

九位素数abcdefghi的首尾中间全插入：（期待您，大显身手，仍是素数。）

十位素数abcdefghij的首尾中间全插入：（期待您，大显身手，仍是素数。）

n 位素数的首尾中间全插入，构成了（2n+1）位素数。

猜想：有无穷个素数的首尾中间全插入，仍是素数。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-28 15:14
定义：一对孪生素数中间的那个数字，称为孪中。
比如，6是5、7的孪中，12是11、13的孪中。

孪中猜想：任一正整数均可表为两个孪中之比。且有无穷个解。

2019=36342 /18

2019=629928 /312

2019=11871720 /5880

2019=13228488 /6552

2019=14028012 /6948

2019=17892378 /8862

2019=22083822 /10938

2019=23198310 /11490

2019=43634628 /21612

2019=47826072 /23688

2019=51690438 /25602

2019=56729862 /28098

2019=65258118 /32322

2019=71230320 /35280

2019=83610828 /41412

2019=95010102 /47058

2019=95736942 /47418

2019=99334800 /49200

2019=100279692 /49668

2019=102060450 /50550

2019=102145248 /50592

2019=106082298 /52542

2019=130382982 /64578

2019=159965370 /79230

2019=160910262 /79698

2019=164290068 /81372

2019=166506930 /82470

2019=174223548 /86292

2019=182957742 /90618

2019=190674360 /94440

2019=194187420 /96180

作者: markfang2050 时间: 2019-5-29 21:12

制造垃圾

作者: njzz_yy 时间: 2019-5-30 20:22
这类素数问题，《概率素数论》能部分回答

作者: njzz_yy 时间: 2019-5-30 21:21
这样的素数有最大的吗？

设P是一个有n位数字的素数，

每次拿掉P的任意一位数字，

剩余的(n-1)位数字仍是素数

回答：有限个，在《概率素数论》第9章中，有类似内容：
定义6 当一个n位素数p的前1位，前2位, . . . , 前n-1位数均为素数时，称它是一个n位左超级素数
定义7 当一个n位素数p依次掉前1位，前2位，. . . ，前n-1位数码仍均为素数时，且数p的各位数码均不为零，称该素数p为逆向超级素数
定理：自然数中左超级素数，右超级素数都仅有限个

作者: njzz_yy 时间: 2019-5-30 21:40
给个邮箱，发电子稿过来

作者: 概率素数论 时间: 2019-5-31 00:19
这理论有很大的发展空间，需要大家共同努力，这理论所有结果，都得到实际数据或其它理论支持，很激动人心，

作者: 概率素数论 时间: 2019-5-31 00:21
谢谢蔡家雄先生支持！

作者: njzz_yy 时间: 2019-5-31 09:26
概率素数论，是个统计方法，个别事件作用不大，大量事件的统计结果，威力强大

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-31 12:52

njzz_yy 发表于 2019-5-31 09:26
概率素数论，是个统计方法，个别事件作用不大，大量事件的统计结果，威力强大

设 p，q，r 均为素数，且 p<q<r，求解：

p*q*r - 1 能分别被 p+1, q+1, r+1 整除。

5*7*11
7*17*23
11*13*47
13*23*59
17*19*107
19*53*503
23*43*197
29*139*251
31*449*479
37*227*419
41*71*223
41*71*727
43*167*797
47*67*149
53*103*1091
59*173*463

您能找出几个这样的数吗？

作者: njzz_yy 时间: 2019-5-31 14:12
X内，这种素数组，大概有（lnlnX）^3个，

作者: 白新岭 时间: 2019-5-31 15:32
熊一兵先生有回来了。

作者: njzz_yy 时间: 2019-5-31 16:40
谢谢白新岭记起熊一兵，基本10年没想数学问题了，

作者: njzz_yy 时间: 2019-5-31 16:49
其实，数学是我的最爱，经常想我们这批数学爱好者，最近心血来潮想花点时间整数学，可惜不会发图片，不方便发带公式的文稿，，

作者: njzz_yy 时间: 2019-5-31 17:06
白新岭：我有个梦想，等有条件了，来学习你的素数思想，学懂了向大家介绍，让你走向全世界

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-31 18:37
Rn= (10^n -1)/9

当n=2,19,23,317,1031,49081,86453,109297,270343时，Rn为素数。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-5-31 18:42
十个中间五位数字相连贯的27位回文素数：

742950290870000078092059247,
742950290871010178092059247,
742950290872020278092059247,
742950290873030378092059247,
742950290874040478092059247,
742950290875050578092059247,
742950290876060678092059247,
742950290877070778092059247,
742950290878080878092059247,
742950290879090978092059247.

作者: njzz_yy 时间: 2019-5-31 23:06
梅森素数的个数，在《概率素数论》中有理论结果与实际数据

作者: njzz_yy 时间: 2019-6-1 11:36
下面近似计算，都用等号连接
答：变量X，Y，Z是素数时的概率，记为P（X），P（Y），P（Z），（XYZ-1）被（X+1），（Y+1），（Z+1），整除的概率为：1/（X+1），1/（Y+1），1/（Z+1），同时出现的概率为P（X，Y，X），个数记为：S（X，Y，X）
P（X，Y，X）= P（X）P（Y）P（Z）/[（X+1）（Y+1）（Z+1）]
= /[（X+1）lnX（Y+1）lnY（Z+1）lnZ]= 1 /[(XlnX)  (YlnY)（ZlnZ）]

其中，求和范围：3<X<Y<r/3，X<Y<Z<r/2，Y<Z<r，上式求和变积分得，
S（X，Y，X）=1 /[(XlnX)  (YlnY)（ZlnZ）]       {3<X<Y<r/3，X<Y<Z<r/2，Y<Z<r }
=lnlnZ /[ (XlnX)（YlnY）]                   {3<X<Y<r/3，X<Y<Z<r/2，Y<Z<r }
=(lnlnr - lnlnY) /[ (XlnX)（YlnY）]             {3<X<Y<r/3，X<Y<0.5r }
=[lnlnr*lnlnY -0.5( lnlnY)^2] / (XlnX)             {3<X<Y<r/3，X<Y<0.5r }
={[lnlnr*lnln0.5r -0.5( lnln0.5r)^2] - [lnlnr*lnlnX -0.5( lnlnX)^2]} / (XlnX) {3<X< r/3 }
={[0.5( lnln0.5r)^2] - [lnlnr*lnlnX -0.5( lnlnX)^2]} / (XlnX) {3<X< r/3 }
=[0.5( lnln0.5r)^2]lnlnX - [0.5lnlnr*(lnlnX)^2 -( lnlnX)^3/6] {3<X< r/3 }
=( lnlnX)^3/6       {3<X< r/3 }
=[ lnln(r/3)]^3/6

作者: njzz_yy 时间: 2019-6-1 11:39
因是近似计算，r值很大时，才精确些，大范围的实际数据要编程才能得到，咱不会编程，书中有的数据是朋友帮助编程得到的，

作者: njzz_yy 时间: 2019-6-1 12:37
以前东陆论坛上的朋友，论坛关了，没看到了，

作者: njzz_yy 时间: 2019-6-1 17:07
附件能发?

作者: njzz_yy 时间: 2019-6-1 17:08
奇迹，图是用附件发的，

作者: njzz_yy 时间: 2019-6-1 17:10
能发图了，计算过程就清楚了，

作者: njzz_yy 时间: 2019-6-1 19:04
图还是发不了，只能发20K以下的，

作者: markfang2050 时间: 2019-6-12 19:07

蔡老头，你搞这有个毛用啊。还沽名吊誉用自己名字搞所谓的定理！真有料去数学期刊发表啊！

作者: 蔡家雄 时间: 2019-6-13 17:47
本帖最后由蔡家雄于 2021-7-20 07:58 编辑

定义：若 15k±2 和 15k±4 是四生素数，则称 15k 为双中数。

奇数双中比猜想：一奇数均可表为两个双中数之比。

3 = 83226465 /27742155,
5 = 335769525 /67153905,
7 = 105 /15,
7 = 12812415 /1830345,
7 = 198328725 /28332675,
7 = 232772925 /33253275,
7 = 639984345 /91426335,
9 = 163690065 /18187785,
11 = 167563935 /15233085,
11 = 355547115 /32322465,
11 = 465281355 /42298305,
11 = 530037585 /48185235,
11 = 939524355 /85411305,
13 = 195 /15,
13 = 29332485 /2256345,
13 = 111730905 /8594685,
13 = 236441205 /18187785,
13 = 273511875 /21039375,
13 = 504179325 /38783025,
13 = 535519335 /41193795,
13 = 629859945 /48450765,
13 = 689057265 /53004405,
13 = 1052584455 /80968035,
13 = 1112223645 /85555665,
15 = 22275 /1485,
15 = 5922225 /394815,
15 = 92043225 /6136215,
15 = 235840725 /15722715,
15 = 453530925 /30235395,
15 = 1114341075 /74289405,
17 = 55335 /3255,
17 = 570791235 /33575955,
17 = 1610046795 /94708635,
19 = 277011735 /14579565,
19 = 331435335 /17443965,
19 = 396695775 /20878725,

—— 外国人没研究过，，，，，，，，

作者: 蔡家雄 时间: 2019-6-24 08:00
50943795±2
50943795±4
50943795±8
50943795±16
是中心对称 8 生素数。

作者: 白新岭 时间: 2019-6-24 12:03
蔡家雄先生举的对称8生素数有无穷个。
素数2,3,5，7皆剩余一个余数类，而大于等于7的素数皆剩余P-8类余数可以通过。
能有k生素数公式求出其数量。
合成系数*∫(1/(ln(x))^8)dx,(取前边三项即可），合成系数=∏（P^7*(P-8)/(P-1)^8）,2,3,5,7需要另外考虑。

作者: 白新岭 时间: 2019-6-24 12:29
在它中间有可能有其它素数，意思是说对称的8生素数两个素数不一定是相邻素数（出现位置在相邻间隔大于等于6以上，所以在第一个与第二个素数之间或第七个与第八个素数之间，因为中心是4,2,4,2,4最密5生素数，前边只能是2,6；后边只能是6,2它们不一定同时成立）。

作者: 白新岭 时间: 2019-6-24 12:54
我检查了，在它们之间没有素数，不能通过素数7的检验，意思是说如果是那种排列，则素数7的所有剩余类全部占有，没有剩余，所以不可能出现其他素数。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-6-24 18:58
对称8生素数15x±2, 15x±4, 15x±8, 15x±16

是 8生连续素数吗？

即中间的15x±6, 15x±10 显然不是素数，

此时, 15x±14 总能被7整除, 即15x 总能被7整除。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-6-25 15:28
对称8生连续素数15x±2, 15x±4, 15x±8, 15x±16 最小一组是 8 位数，

对称10生素数15x±2, 15x±4, 15x±8, 15x±16, 15x±32 是10生连续素数吗？（有的可能不是）

对称10生连续素数15015x±2, 15015x±4, 15015x±8, 15015x±16, 15015x±32

1-----15015x = 40874929095

2-----15015x = 5026032886875

3-----15015x = 5197118661735

4-----15015x = 5798815627605

5-----15015x = 13131879105345

作者: 蔡家雄 时间: 2019-6-25 17:03
本帖最后由蔡家雄于 2019-6-26 09:13 编辑

对称8生连续素数15x±2, 15x±4, 15x±8, 15x±16 有无穷多组。

1-----15x = 50943795

2-----15x = 246843135

3-----15x = 507420375

4-----15x = 542460555

5-----15x = 545170185

6-----15x = 587191605

7-----15x = 1040321205

8-----15x = 1170706635

9-----15x = 1286807445

10-----15x = 1343203785

11-----15x = 1356784065

12-----15x = 1391341875

13-----15x = 1789459035

14-----15x = 2315429655

15-----15x = 2384023005

16-----15x = 3251282475

17-----15x = 3408027525

18-----15x = 3960814935

19-----15x = 4000080525

20-----15x = 4209142035

21-----15x = 4795390425

22-----15x = 6619153905

23-----15x = 7223948655

24-----15x = 7384029555

25-----15x = 7757736525

26-----15x = 8067133515

27-----15x = 8599914225

28-----15x = 8683277505

29-----15x = 8938832805

30-----15x = 9052625505

31-----15x = 9135251685

32-----15x = 9743280645

33-----15x = 10457883975

34-----15x = 10844041845

35-----15x = 11342546775

36-----15x = 12355722015

37-----15x = 12591774195

38-----15x = 12677770665

39-----15x = 12859004445

40-----15x = 12929101185

41-----15x = 12956782125

42-----15x = 13476871485

43-----15x = 13967430015

44-----15x = 15231884955

45-----15x = 15521265585

46-----15x = 15600114705

47-----15x = 15979414815

48-----15x = 16245369315

49-----15x = 17399334855

50-----15x = 19038901245

51-----15x = 20141256135

52-----15x = 20271768615

53-----15x = 20276487945

54-----15x = 21619279605

55-----15x = 22386093555

56-----15x = 24992919315

57-----15x = 25474050525

58-----15x = 26396803335

59-----15x = 26955319755

60-----15x = 28607218815

61-----15x = 28917960435

62-----15x = 29256425835

63-----15x = 30682906695

64-----15x = 31259461695

65-----15x = 31722537945

66-----15x = 32245653615

67-----15x = 33684513765

68-----15x = 34833078105

69-----15x = 35004394425

70-----15x = 35046820095

71-----15x = 35617218735

72-----15x = 39338293995

73-----15x = 40535079585

74-----15x = 40874929095

75-----15x = 42447637155

76-----15x = 42808302075

77-----15x = 44074240035

78-----15x = 44417152605

79-----15x = 45979902045

80-----15x = 46178994225

81-----15x = 47416652745

82-----15x = 48208213515

83-----15x = 48970474455

84-----15x = 50700803055

85-----15x = 50847561765

86-----15x = 52257433515

87-----15x = 53797343775

88-----15x = 54607821345

89-----15x = 56514190635

90-----15x = 56682816015

91-----15x = 57463057575

92-----15x = 58072652715

93-----15x = 60489349095

94-----15x = 60771934125

95-----15x = 62995900065

96-----15x = 63798563115

97-----15x = 65259127395

98-----15x = 67634662095

99-----15x = 67945664325

100-----15x = 69590673075

101-----15x = 70809706065

102-----15x = 71330701365

103-----15x = 74553403365

104-----15x = 74903545815

105-----15x = 75177322395

106-----15x = 76280901795

107-----15x = 76355570655

108-----15x = 76595754795

109-----15x = 77740344045

110-----15x = 79197418125

111-----15x = 80957820405

112-----15x = 81767223825

113-----15x = 83717219145

114-----15x = 83751966585

115-----15x = 87203319105

116-----15x = 88572483825

117-----15x = 89595741795

118-----15x = 91642679205

119-----15x = 93524490885

120-----15x = 93649607415

121-----15x = 94478275605

122-----15x = 94690061025

123-----15x = 96010634895

124-----15x = 98071104495

125-----15x = 98340792375

126-----15x = 99040059195

127-----15x = 99231202245

128-----15x = 99881282865

129-----15x = 103093111485

130-----15x = 103666635975

131-----15x = 105151631025

132-----15x = 105319221105

133-----15x = 105488514495

134-----15x = 107840708535

135-----15x = 110103078645

136-----15x = 111588293355

137-----15x = 112524570795

138-----15x = 114117775485

139-----15x = 115902186225

140-----15x = 118055283885

141-----15x = 121554617625

142-----15x = 121570986075

143-----15x = 122550530025

144-----15x = 122904077835

145-----15x = 127044078525

146-----15x = 127050585375

147-----15x = 128975783475

148-----15x = 133353688755

149-----15x = 135153772215

150-----15x = 138356589735

151-----15x = 140076802425

152-----15x = 143111276385

153-----15x = 144842702445

154-----15x = 146184417015

155-----15x = 150116610105

156-----15x = 151260866295

157-----15x = 151361533785

158-----15x = 155507930865

159-----15x = 159355464345

160-----15x = 161220581445

161-----15x = 162380425305

162-----15x = 162381450945

163-----15x = 162504056715

164-----15x = 164886995175

165-----15x = 166664766555

166-----15x = 167282661105

167-----15x = 167831785485

168-----15x = 167843949735

169-----15x = 171157023135

170-----15x = 171902363535

171-----15x = 172190805885

172-----15x = 173150430915

173-----15x = 175673417745

174-----15x = 177344438985

175-----15x = 177643094265

176-----15x = 177891241815

177-----15x = 178885964355

178-----15x = 179030473545

179-----15x = 183304588005

180-----15x = 184849531965

181-----15x = 185370723825

182-----15x = 185965174395

183-----15x = 186849673185

184-----15x = 187505020605

185-----15x = 188020866495

186-----15x = 188495906235

187-----15x = 190518165915

188-----15x = 193407793215

189-----15x = 194636253735

190-----15x = 199032763755

191-----15x = 200843332515

192-----15x = 201408970665

193-----15x = 203175679245

194-----15x = 203821529835

195-----15x = 205175471865

196-----15x = 207980379705

197-----15x = 211123095645

198-----15x = 211492048845

199-----15x = 212187654315

200-----15x = 214998778995

201-----15x = 216916164465

202-----15x = 220231457985

203-----15x = 222183973935

204-----15x = 225307740945

205-----15x = 225496901805

206-----15x = 226858092825

207-----15x = 232221543015

208-----15x = 234143788515

209-----15x = 235093244925

210-----15x = 237288745155

211-----15x = 237750627555

212-----15x = 238244861295

213-----15x = 238559300805

214-----15x = 240216429915

215-----15x = 240775602165

216-----15x = 240896355525

217-----15x = 247254717885

218-----15x = 248202973305

219-----15x = 250011321735

220-----15x = 251972527905

221-----15x = 252944063085

222-----15x = 255112240845

223-----15x = 255211792395

224-----15x = 256415510715

225-----15x = 256756041255

226-----15x = 256979012115

227-----15x = 257530773675

228-----15x = 260174118645

229-----15x = 261746276505

230-----15x = 263196372075

231-----15x = 263385501015

232-----15x = 264691919205

233-----15x = 265018396545

234-----15x = 266158656225

235-----15x = 267104460525

236-----15x = 268268028315

237-----15x = 269650659915

238-----15x = 276146400705

239-----15x = 278317879665

240-----15x = 278568133305

241-----15x = 280142867445

242-----15x = 284954696565

243-----15x = 287439485235

244-----15x = 291070012695

245-----15x = 291929579655

246-----15x = 292397900235

247-----15x = 292647823545

248-----15x = 293685041475

249-----15x = 295365822675

250-----15x = 297648634185

251-----15x = 299597975775

252-----15x = 304871269605

253-----15x = 305724147015

254-----15x = 306865095075

255-----15x = 307124147505

256-----15x = 312300220155

257-----15x = 314274288615

258-----15x = 318404164365

259-----15x = 318700749465

260-----15x = 319190559765

261-----15x = 320697675375

262-----15x = 323335372185

263-----15x = 323620927455

264-----15x = 324523857945

265-----15x = 324619759905

266-----15x = 326987782485

267-----15x = 329481662685

268-----15x = 331748336745

269-----15x = 332362927995

270-----15x = 335377954275

271-----15x = 337468162395

272-----15x = 338214400965

273-----15x = 339403874985

274-----15x = 340010243475

275-----15x = 341270911905

276-----15x = 341484145905

277-----15x = 341586122955

278-----15x = 341676767355

279-----15x = 341904249225

280-----15x = 343807936185

281-----15x = 343997619525

282-----15x = 350700694785

283-----15x = 354335255715

284-----15x = 354352266555

285-----15x = 356357221395

286-----15x = 357056925225

287-----15x = 359752514835

288-----15x = 362237273685

289-----15x = 363804892815

290-----15x = 368852704395

291-----15x = 369750599505

292-----15x = 373320607485

293-----15x = 375884903835

294-----15x = 378536561865

295-----15x = 378752193645

296-----15x = 379327616745

297-----15x = 382389214305

298-----15x = 385151258415

299-----15x = 385301801325

300-----15x = 385999088475

作者: 白新岭 时间: 2019-6-25 17:08
我在数字帝国中检验了97#第38个数值，它的确是最密4生素数中项的值，有46位。
看来蔡家雄先生能熟练的运用数学软件。

作者: 白新岭 时间: 2019-6-26 15:16
n(10的次幂）对称8生素数数量
8 2.00000000000000E+00
9 7.00000000000000E+00
10 3.00000000000000E+01
11 1.32000000000000E+02
12 6.31000000000000E+02
13 3.20700000000000E+03
14 1.72100000000000E+04
15 9.66960000000000E+04
16 5.65140000000000E+05
17 3.41813900000000E+06
18 2.13055420000000E+07
19 1.36384977000000E+08
20 8.94049449000000E+08
21 5.98718397800000E+09
22 4.08743174940000E+10
23 2.83969825602000E+11
24 4.89319141370200E+12
25 3.52682310742740E+13
26 2.57507402078736E+14
27 1.90275066544073E+15
28 1.42160587416549E+16
29 1.07310300084546E+17
30 8.17830398891278E+17
31 6.28883029101037E+18
32 4.87655238262713E+19
33 3.81124677260823E+20
34 3.00073417176688E+21
35 2.37907068311620E+22
36 1.89860903195691E+23
37 1.52459777736832E+24
38 1.23146582489907E+25
39 1.00023925713092E+26
40 8.16727424806900E+26
41 6.70237153883288E+27
42 5.52653131579218E+28
43 4.57774588933872E+29
44 3.80832980127916E+30
45 3.18138571900553E+31
46 2.66819590981998E+32
47 2.24628342658470E+33
48 1.89796144489592E+34
49 1.60924092127673E+35
50 1.36900304479741E+36
51 1.16836862902444E+37
52 1.00021488371219E+38
53 8.58803131298362E+38
54 7.39490515641376E+39
55 6.38505645588567E+40
56 5.52773161281875E+41
57 4.79775925142262E+42
58 4.17446289374371E+43
59 3.64079939255817E+44
60 3.18267344077493E+45
61 2.78839000785197E+46
62 2.44821527411826E+47
63 2.15402326011865E+48
64 1.89901040655547E+49
65 1.67746423943753E+50
66 1.48457524262596E+51
这是楼主蔡家雄先生提出的对称8生素数的数量。
因为在10^12前有大概631个对称8生素数，所以蔡家雄举的实例前400个中没有13位数。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-6-27 22:27
定义：孪生素数(p, p+2)的中项(p+1)，叫：孪中数。

孪中比猜想：正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。

314159/61 = 1315697892 /255468

314159/61 = 4604942622 /894138

314159/61 = 4753853988 /923052

314159/61 = 6386224152 /1240008

314159/61 = 8382390438 /1627602

314159/61 = 8765036100 /1701900

314159/61 = 13185253230 /2560170

314159/61 = 14491526352 /2813808

314159/61 = 16515966948 /3206892

314159/61 = 20649671070 /4009530

314159/61 = 21365953590 /4148610

314159/61 = 21814572642 /4235718

314159/61 = 21906935388 /4253652

314159/61 = 25795595490 /5008710

314159/61 = 29116884438 /5653602

314159/61 = 29863326222 /5798538

314159/61 = 30294980688 /5882352

314159/61 = 32719031532 /6353028

314159/61 = 35648250048 /6921792

314159/61 = 38119424742 /7401618

314159/61 = 41484067632 /8054928

314159/61 = 42694208100 /8289900

314159/61 = 46388717940 /9007260

314159/61 = 48160574700 /9351300

314159/61 = 49238768388 /9560652

314159/61 = 51199120548 /9941292

314159/61 = 62420251710 /12120090

314159/61 = 65458797558 /12710082

314159/61 = 66676477842 /12946518

314159/61 = 76321787460 /14819340

314159/61 = 87401547072 /16970688

314159/61 = 87919909422 /17071338

314159/61 = 94734018132 /18394428

314159/61 = 106128565062 /20606898

314159/61 = 119415605808 /23186832

314159/61 = 126325847172 /24528588

314159/61 = 126540731928 /24570312

314159/61 = 126853634292 /24631068

314159/61 = 128568942432 /24964128

314159/61 = 131475541500 /25528500

314159/61 = 134299202592 /26076768

314159/61 = 135795856068 /26367372

314159/61 = 137422571370 /26683230

314159/61 = 142841814120 /27735480

314159/61 = 143439344538 /27851502

314159/61 = 143646689478 /27891762

314159/61 = 148858587288 /28903752

314159/61 = 149557905222 /29039538

314159/61 = 151280753178 /29374062

314159/61 = 153995086938 /29901102

314159/61 = 154025246202 /29906958

314159/61 = 155872501122 /30265638

314159/61 = 173123600130 /33615270

314159/61 = 175558960698 /34088142

314159/61 = 175677712800 /34111200

314159/61 = 176936862072 /34355688

314159/61 = 179504169420 /34854180

314159/61 = 186242879970 /36162630

314159/61 = 189518930022 /36798738

314159/61 = 191903396832 /37261728

314159/61 = 193420784802 /37556358

314159/61 = 202212210258 /39263382

314159/61 = 214607667762 /41670198

314159/61 = 227202930390 /44115810

314159/61 = 238229911290 /46256910

314159/61 = 248003397780 /48154620

314159/61 = 248729105070 /48295530

314159/61 = 250761085482 /48690078

314159/61 = 258197229012 /50133948

314159/61 = 261918128208 /50856432

314159/61 = 289741934202 /56258958

314159/61 = 289953049050 /56299950

314159/61 = 306653741490 /59542710

314159/61 = 307326670068 /59673372

314159/61 = 313976787780 /60964620

314159/61 = 316223652948 /61400892

314159/61 = 328221385158 /63730482

314159/61 = 329787781932 /64034628

314159/61 = 344820290082 /66953478

314159/61 = 349391303532 /67841028

314159/61 = 352829459628 /68508612

314159/61 = 357958419462 /69504498

314159/61 = 363319228638 /70545402

314159/61 = 367475552208 /71352432

314159/61 = 381052875870 /73988730

314159/61 = 392519051052 /76215108

314159/61 = 393469067868 /76399572

314159/61 = 394722562278 /76642962

314159/61 = 402876873282 /78226278

314159/61 = 420774511512 /81701448

314159/61 = 421956377670 /81930930

314159/61 = 422044970508 /81948132

314159/61 = 424186278252 /82363908

314159/61 = 427036328700 /82917300

314159/61 = 432864606468 /84048972

314159/61 = 435560090688 /84572352

314159/61 = 440329024308 /85498332

314159/61 = 443152685400 /86046600

314159/61 = 446485284072 /86693688

314159/61 = 448095034788 /87006252

314159/61 = 448424901738 /87070302

314159/61 = 457921299990 /88914210

314159/61 = 459218148342 /89166018

314159/61 = 467675936940 /90808260

314159/61 = 471006650658 /91454982

314159/61 = 501982099740 /97469460

作者: 蔡家雄 时间: 2019-6-28 12:45
定义：孪生素数(p, p+2)的中项(p+1)，叫：孪中数。

孪中比猜想：正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。

31415926535897932384626433832795028841/61 = 7130410013999681917473892434161822105984088 /13845048

31415926535897932384626433832795028841/61 = 8694357668809752787445365563226024231746750 /16881750

31415926535897932384626433832795028841/61 = 16902773785962236356765329447926374957380912 /32819952

31415926535897932384626433832795028841/61 = 23320670586127753167755894362760405809251120 /45281520

31415926535897932384626433832795028841/61 = 45382190836696717205535961257502386862554960 /88118160

31415926535897932384626433832795028841/61 = 45906585482433925492900145691039401483968932 /89136372

作者: 蔡家雄 时间: 2019-6-28 21:10
定义：孪生素数(p, p+2)的中项(p+1)，叫：孪中数。

孪中比猜想：正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。

已证：2^607 -1 是素数，

(2^607-1)/61 = 2677174495893273722589934875717390492623447630247218057290638206392224123300632686914611634542774952949753220808951176042803665822471588204881714976974045218105284329082257750868474037737150 /307467450

作者: 白新岭 时间: 2019-6-29 08:32
本帖最后由白新岭于 2019-6-29 01:39 编辑

113#的问题，对称4生素数（P,P+2,P+6,P+8),对称6生素数（P,P+4,P+6,P+10,P+12,P+16),和对称8生素数以外，其它对称2k生素数（以中心，向外以2^K为间距）都不一定是连续2k生素数，意思是说在它们之间有其它素数。

作者: 白新岭 时间: 2019-7-4 12:27

蔡家雄发表于 2019-6-28 01:28
若 15x±2, 15x±2^2, 15x±2^3, ...... , 15x±2^n
是对称2n生素数，n 可以任意大吗？

对于以中心为奇数的对称2n生素数，n可以任意大，因为它中的项模素数p皆剩余余数0不被占用，这是关键的，如果模素数p余数全部占用，则肯定没有这样的对称2n生素数，在公式求解中，这是最重要的一个条件，不过还有一个普通条件，那就是当素数值大于2n后，一定留有p-2n个余数类可以通过，之前可能去掉的余数类小于等于2n，但是最少保留1个剩余类。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-7-6 06:42
相邻素数差==256 有无穷多个

1------22884866957 - 22884866701 = 256

2------22983829217 - 22983828961 = 256

3------22985465813 - 22985465557 = 256

4------23006983679 - 23006983423 = 256

5------23030477819 - 23030477563 = 256

6------23031258119 - 23031257863 = 256

7------23298633557 - 23298633301 = 256

8------23451909749 - 23451909493 = 256

9------23532010757 - 23532010501 = 256

10------23630986007 - 23630985751 = 256

11------23648395937 - 23648395681 = 256

12------23795562377 - 23795562121 = 256

13------23824946603 - 23824946347 = 256

14------23866455443 - 23866455187 = 256

15------23946108539 - 23946108283 = 256

16------24017676737 - 24017676481 = 256

作者: 白新岭 时间: 2019-7-9 09:49

蔡家雄发表于 2019-7-6 09:38
相邻素数差==16 有无穷多个
最小解是：1------1847 - 1831 = 16，仅前10^7个素数，就有（多如牛毛）个相 ...

相邻素数差为2m的素数对是很少的，特别是大点的间距，比如1024的相邻素数对，出现范围就有点大了，就目前来说能找到相邻素数差为任意2m的素数对，中的2m有很多还是未找到的，最大的2m值也是非常小的。
所以，相邻这个条件是苛刻的。
不限制相邻，两个素数差的任意2m值都有无数组。比较有名气的就是孪生素数对猜想了。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-7-10 13:59
10是如下等差9生素数(公差9240)的原根，即：这些素数倒数具有最大循环节长！！！

1---(95339,104579,113819,123059,132299,141539,150779,160019,169259)

2---(7827167,7836407,7845647,7854887,7864127,7873367,7882607,7891847,7901087)

3---(9195167,9204407,9213647,9222887,9232127,9241367,9250607,9259847,9269087)

4---(32288903,32298143,32307383,32316623,32325863,32335103,32344343,32353583,32362823)

5---(59941697,59950937,59960177,59969417,59978657,59987897,59997137,60006377,60015617)

6---(72980177,72989417,72998657,73007897,73017137,73026377,73035617,73044857,73054097)

7---(77003567,77012807,77022047,77031287,77040527,77049767,77059007,77068247,77077487)

8---(121526753,121535993,121545233,121554473,121563713,121572953,121582193,121591433,121600673)

9---(121535993,121545233,121554473,121563713,121572953,121582193,121591433,121600673,121609913)

10---(171184589,171193829,171203069,171212309,171221549,171230789,171240029,171249269,171258509)

11---(194416847,194426087,194435327,194444567,194453807,194463047,194472287,194481527,194490767)

12---(216760967,216770207,216779447,216788687,216797927,216807167,216816407,216825647,216834887)

13---(216770207,216779447,216788687,216797927,216807167,216816407,216825647,216834887,216844127)

14---(216779447,216788687,216797927,216807167,216816407,216825647,216834887,216844127,216853367)

15---(229140029,229149269,229158509,229167749,229176989,229186229,229195469,229204709,229213949)

16---(242125979,242135219,242144459,242153699,242162939,242172179,242181419,242190659,242199899)

17---(258061109,258070349,258079589,258088829,258098069,258107309,258116549,258125789,258135029)

18---(340517447,340526687,340535927,340545167,340554407,340563647,340572887,340582127,340591367)

19---(340526687,340535927,340545167,340554407,340563647,340572887,340582127,340591367,340600607)

20---(340535927,340545167,340554407,340563647,340572887,340582127,340591367,340600607,340609847)

21---(491843873,491853113,491862353,491871593,491880833,491890073,491899313,491908553,491917793)

22---(572317847,572327087,572336327,572345567,572354807,572364047,572373287,572382527,572391767)

23---(598443353,598452593,598461833,598471073,598480313,598489553,598498793,598508033,598517273)

24---(719978783,719988023,719997263,720006503,720015743,720024983,720034223,720043463,720052703)

25---(789954829,789964069,789973309,789982549,789991789,790001029,790010269,790019509,790028749)

26---(950955623,950964863,950974103,950983343,950992583,951001823,951011063,951020303,951029543)

作者: 蔡家雄 时间: 2019-7-10 15:26
等差13生素数（公差2*3*5*7*11*13）

1---(14933623,14963653,14993683,15023713,15053743,15083773,15113803,15143833,15173863,15203893,15233923,15263953,15293983)

作者: 白新岭 时间: 2019-7-12 16:59
等差k生素数多如牛毛，公差越大（不同因子组成，排除相同因子），则数量越多，比起最密k生素数要多的多。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-7-18 18:18
白老师：素数差成等比的10生素数：

p,p+6*1,p+6*3,p+6*7,p+6*15,p+6*31,p+6*63,p+6*127,p+6*255,p+6*511,

作者: 白新岭 时间: 2019-7-18 19:27

蔡家雄发表于 2019-7-18 10:18
白老师：素数差成等比的10生素数：

p,p+6*1,p+6*3,p+6*7,p+6*15,p+6*31,p+6*63,p+6*127,p+6*255,p+6*511 ...

的确构造了一组10生素数的素数差为等比数列，我看一看它的存在性，如果存在我会给出系数和数量。
稍等........，很快就有结果了。

作者: 白新岭 时间: 2019-7-18 19:38
素数式素数式序列
0 0
6 6
12 18
24 42
48 90
96 186
192 378
384 762
768 1530
1536 3066
恭喜蔡家雄先生找到了新型素数差为等比数列的实际例子，在我发的帖子中：存在任意长的素数差为等比数列的k生素数中，我已经否认了，除公比为2或0.5以外的任何素数差为等比数列的k生素数，不过此例并没有推翻我的结论，只是首相变成6，公比仍然是2，这与我的结论不矛盾。

作者: 白新岭 时间: 2019-7-18 19:43
等比数列10生素数首先6公比2的最终系数=6785.80175128480

作者: 白新岭 时间: 2019-7-18 19:48
n(10的次幂）等比数列10生素数首项6公比2的数量取对数对数比值
9 1.000000000000000000E+00 0 0.00%
10 3.000000000000000000E+00 0.477121255 4.77%
11 1.000000000000000000E+01 1 9.09%
12 4.200000000000000000E+01 1.62324929 13.53%
13 1.820000000000000000E+02 2.260071388 17.39%
14 8.310000000000000000E+02 2.919601024 20.85%
15 4.030000000000000000E+03 3.605305046 24.04%
16 2.054100000000000000E+04 4.312621583 26.95%
17 1.093440000000000000E+05 5.038794957 29.64%
18 6.046320000000000000E+05 5.781491128 32.12%
19 3.457720000000000000E+06 6.538789822 34.41%
20 2.037478000000000000E+07 7.309092928 36.55%
21 1.233265580000000000E+08 8.091056611 38.53%
22 7.647847300000000000E+08 8.883539208 40.38%
23 4.847987542000000000E+09 9.685561495 42.11%
24 3.135282810500000000E+10 10.49627672 43.73%
25 2.065129807900000000E+11 11.31494736 45.26%
26 1.383333276150000000E+12 12.14092682 46.70%
27 9.411199386369000000E+12 12.97364497 48.05%
28 6.495257404068400000E+13 13.81259637 49.33%
29 4.542874627857270000E+14 14.65733075 50.54%
30 3.216957003018850000E+15 15.50744526 51.69%
31 2.304506392115050000E+16 16.36257792 52.78%
32 1.668792302386630000E+17 17.22240229 53.82%
33 1.220739267358260000E+18 18.08662291 54.81%
34 9.015120037395220000E+18 18.95497151 55.75%
35 6.717438880290630000E+19 19.82720372 56.65%
36 5.047732494307620000E+20 20.70309633 57.51%
37 3.823357349571900000E+21 21.58244489 58.33%
38 2.917841325608870000E+22 22.46506167 59.12%
39 2.242713887245570000E+23 23.35077387 59.87%
40 1.735489870306980000E+24 24.23942208 60.60%
41 1.351633433813610000E+25 25.13085893 61.29%
42 1.059126593116500000E+26 26.02494787 61.96%
43 8.347611011738190000E+26 26.9215622 62.61%
44 6.615826169133000000E+27 27.82058409 63.23%
45 5.271130417968080000E+28 28.72190376 63.83%
46 4.221033751557130000E+29 29.62541882 64.40%
47 3.396515310208750000E+30 30.53103358 64.96%
48 2.745733939605480000E+31 31.43865845 65.50%
49 2.229510416313990000E+32 32.34820951 66.02%
50 1.818058906889470000E+33 33.25960795 66.52%
51 1.488605925328560000E+34 34.17277974 67.01%
52 1.223644351813800000E+35 35.08765521 67.48%
53 1.009645022349820000E+36 36.00416871 67.93%
54 8.361001931443140000E+36 36.92225832 68.37%
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56 5.793422969217330000E+38 38.76293524 69.22%
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58 4.066822646022580000E+40 40.60925523 70.02%
59 3.423017090574550000E+41 41.53440907 70.40%
60 2.889561141326890000E+42 42.46083189 70.77%
61 2.446140225251380000E+43 43.38848135 71.13%
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70 6.116082288823940000E+51 51.78647332 73.98%
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72 4.605960467028030000E+53 53.66332021 74.53%
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189 2.850665615958850000E+166 166.4549463 88.07%
190 2.703798322111690000E+167 167.4319743 88.12%
191 2.565211566341030000E+168 168.4091232 88.17%
192 2.434398644956470000E+169 169.3863917 88.22%
193 2.310886273507110000E+170 170.3637786 88.27%
194 2.194232225107840000E+171 171.3412826 88.32%
195 2.084023146681060000E+172 172.3189025 88.37%
196 1.979872538888830000E+173 173.2966372 88.42%
197 1.881418886732820000E+174 174.2744855 88.46%
198 1.788323928894610000E+175 175.2524462 88.51%
199 1.700271054887420000E+176 176.2305182 88.56%
200 1.616963820000250000E+177 177.2087003 88.60%
201 1.538124568846180000E+178 178.1869915 88.65%
202 1.463493159083960000E+179 179.1653907 88.70%
203 1.392825777574430000E+180 180.1438968 88.74%
204 1.325893841865150000E+181 181.1225088 88.79%
205 1.262482980474510000E+182 182.1012255 88.83%
206 1.202392085974720000E+183 183.0800461 88.87%
207 1.145432435356320000E+184 184.0589695 88.92%
208 1.091426872599050000E+185 185.0379946 88.96%
209 1.040209048778800000E+186 186.0171206 89.00%
210 9.916227154109660000E+186 186.9963465 89.05%
211 9.455210670706520000E+187 187.9756712 89.09%
212 9.017661296413650000E+188 188.9550939 89.13%
213 8.602281908296050000E+189 189.9346137 89.17%
214 8.207852698448630000E+190 190.9142296 89.21%
215 7.833226233850760000E+191 191.8939407 89.25%
216 7.477322852884240000E+192 192.8737461 89.29%
217 7.139126374153410000E+193 193.8536451 89.33%
218 6.817680095110020000E+194 194.8336366 89.37%
219 6.512083059699930000E+195 195.8137199 89.41%
220 6.221486575825210000E+196 196.7938942 89.45%
221 5.945090964865600000E+197 197.7741585 89.49%
222 5.682142526838260000E+198 198.7545121 89.53%
223 5.431930706003810000E+199 199.7349542 89.57%
224 5.193785442859210000E+200 200.715484 89.61%
225 4.967074699500600000E+201 201.6961007 89.64%
226 4.751202146301630000E+202 202.6768035 89.68%
227 4.545604998738850000E+203 203.6575917 89.72%
228 4.349751994014160000E+204 204.6384645 89.75%
229 4.163141497878880000E+205 205.6194212 89.79%
230 3.985299732760830000E+206 206.600461 89.83%
231 3.815779118939440000E+207 207.5815832 89.86%
232 3.654156721107750000E+208 208.5627872 89.90%
233 3.500032793210110000E+209 209.5440721 89.93%
234 3.353029414951690000E+210 210.5254374 89.97%
235 3.212789213845260000E+211 211.5068822 90.00%
236 3.078974167095700000E+212 212.488406 90.04%
237 2.951264478023810000E+213 213.4700081 90.07%
238 2.829357522103480000E+214 214.4516878 90.11%
239 2.712966858030660000E+215 215.4334445 90.14%
240 2.601821299561510000E+216 216.4152775 90.17%
241 2.495664044152920000E+217 217.3971861 90.21%
242 2.394251854712430000E+218 218.3791698 90.24%
243 2.297354291018800000E+219 219.361228 90.27%
244 2.204752987610040000E+220 220.3433599 90.30%
245 2.116240975154210000E+221 221.3255651 90.34%
246 2.031622042521340000E+222 222.3078429 90.37%
247 1.950710136962990000E+223 223.2901927 90.40%
248 1.873328799981010000E+224 224.272614 90.43%
249 1.799310636629320000E+225 225.2551061 90.46%
250 1.728496816143570000E+226 226.2376686 90.50%
251 1.660736601933860000E+227 227.2203008 90.53%
252 1.595886909105990000E+228 228.2030021 90.56%
253 1.533811887798210000E+229 229.1857721 90.59%
254 1.474382530732990000E+230 230.1686102 90.62%
255 1.417476303488690000E+231 231.1515158 90.65%
256 1.362976796093320000E+232 232.1344885 90.68%

作者: 白新岭 时间: 2019-7-18 19:52
从公式给出的数量来看，在有效数字15位内仅有831组解，所以找到一组实例还是比较困难的。
不过对于蔡家雄先生来说不是难事，能给出上几千位的素数，对于此实例就是小菜一碟。

作者: 蔡家雄 时间: 2019-7-18 21:11
素数差为等比2的8生素数：

p,p+6*1,p+6*3,p+6*7,p+6*15,p+6*31,p+6*63,p+6*127,

1------p = 11

2------p = 3761

3------p = 361961

4------p = 1231691

5------p = 4874561

6------p = 4963481

7------p = 5561441

8------p = 6809611

9------p = 10179791

10------p = 14019451

11------p = 15257311

12------p = 16758121

13------p = 29467661

14------p = 38681411

15------p = 46477811

16------p = 49517071

17------p = 52683971

18------p = 54979931

19------p = 60033691

20------p = 69791321

21------p = 72124561

22------p = 79964891

23------p = 112573361

24------p = 129403181

25------p = 149024761

26------p = 168351941

27------p = 177300881

28------p = 182159581

29------p = 186551731

30------p = 191204071

31------p = 203438311

32------p = 211988611

33------p = 223321321

34------p = 223630721

35------p = 228341761

36------p = 243621601

37------p = 250231361

38------p = 279476251

39------p = 304278721

40------p = 311396161

41------p = 332047081

42------p = 367996661

43------p = 392428651

44------p = 452330071

45------p = 465739181

46------p = 472225991

47------p = 499657351

48------p = 521941331

49------p = 530338841

50------p = 548947501

51------p = 552722081

52------p = 608406061

53------p = 631455281

54------p = 642188381

55------p = 697511891

56------p = 711640661

57------p = 738109441

58------p = 789391111

59------p = 793842151

60------p = 825734531

61------p = 834861701

62------p = 874538851

63------p = 886804441

64------p = 900471791

65------p = 925363471

66------p = 930014231

67------p = 985960421

作者: 蔡家雄 时间: 2019-7-18 21:57

白新岭发表于 2019-7-18 19:52
从公式给出的数量来看，在有效数字15位内仅有831组解，所以找到一组实例还是比较困难的。
不过对于蔡家雄 ...

素数差为等比3的8生素数是存在的，

p,p+6*1,p+6*4,p+6*13,p+6*40,p+6*121,p+6*364,p+6*1093,

1------p = 1543

2------p = 9103

3------p = 31643

4------p = 2110853

5------p = 8098933

6------p = 9742393

7------p = 13390583

8------p = 48809603

9------p = 53560433

10------p = 92371093

11------p = 101109053

12------p = 105744943

13------p = 117757223

14------p = 121637743

15------p = 138445513

16------p = 144649963

17------p = 161784983

18------p = 170415703

19------p = 174952333

20------p = 178264313

21------p = 183810553

22------p = 195245053

23------p = 200065883

24------p = 202367413

25------p = 245406913

26------p = 259388993

27------p = 269864983

28------p = 275901083

29------p = 276595133

30------p = 382095913

31------p = 390340583

32------p = 399291413

33------p = 410075053

34------p = 422332123

35------p = 423995183

36------p = 501574013

37------p = 518650513

38------p = 524097283

39------p = 544036853

40------p = 575187553

41------p = 589322023

42------p = 592610483

43------p = 596238163

44------p = 599821043

45------p = 624678533

46------p = 650661413

47------p = 672285533

48------p = 672574283

49------p = 676456553

50------p = 729148493

51------p = 745008743

52------p = 770894603

53------p = 781381373

54------p = 809115233

55------p = 824695763

56------p = 835468063

57------p = 856179523

58------p = 858686503

59------p = 863126743

60------p = 872520463

61------p = 919758143

62------p = 940356973

63------p = 947851033

64------p = 963870043

65------p = 967122523

66------p = 987584573

作者: 蔡家雄 时间: 2019-7-18 22:47
素数差为等比10的8生素数是存在的，

p,p+6*1,p+6*11,p+6*111,p+6*1111,p+6*11111,p+6*111111,p+6*1111111,

当 p<=10^9 时，就有223组解。

作者: 白新岭 时间: 2019-7-19 09:42
等比数列8生素数首项6公比3的最终系数=1189.50527870379

作者: 白新岭 时间: 2019-7-19 09:46
n(10的次幂）等比数列8生素数首项6公比3的数量取对数对数比值
5 1.000000000000000000E+00 0 0.00%
6 2.000000000000000000E+00 0.301029996 5.02%
7 6.000000000000000000E+00 0.77815125 11.12%
8 1.700000000000000000E+01 1.230448921 15.38%
9 6.100000000000000000E+01 1.785329835 19.84%
10 2.420000000000000000E+02 2.383815366 23.84%
11 1.062000000000000000E+03 3.026124517 27.51%
12 5.054000000000000000E+03 3.703635238 30.86%
13 2.568400000000000000E+04 4.409662661 33.92%
14 1.378140000000000000E+05 5.139293338 36.71%
15 7.742870000000000000E+05 5.888901968 39.26%
16 4.525289000000000000E+06 6.65564632 41.60%
17 2.737031800000000000E+07 7.437279843 43.75%
18 1.706014320000000000E+08 8.231982672 45.73%
19 1.092085421000000000E+09 9.038256609 47.57%
20 7.158987662000000000E+09 9.854851614 49.27%
21 4.794161696200000000E+10 10.68071268 50.86%
22 3.272959174130000000E+11 11.51494059 52.34%
23 2.273852391550000000E+12 12.35676227 53.73%
24 1.605121718901200000E+13 13.20550797 55.02%
25 1.149723652600390000E+14 14.06059347 56.24%
26 8.346529923364430000E+14 14.92150595 57.39%
27 6.134692466570310000E+15 15.7877928 58.47%
28 4.560919326015900000E+16 16.65905239 59.50%
29 3.427099690682010000E+17 17.53492674 60.47%
30 2.600730294154160000E+18 18.41509532 61.38%
31 1.991911337946330000E+19 19.29927 62.26%
32 1.538830666283250000E+20 20.18719083 63.08%
33 1.198456916078850000E+21 21.07862243 63.87%
34 9.404830646225040000E+21 21.97335098 64.63%
35 7.433300581904670000E+22 22.87118169 65.35%
36 5.914752615783710000E+23 23.77193659 66.03%
37 4.736445991339430000E+24 24.67545259 66.69%
38 3.815750291587540000E+25 25.58157995 67.32%
39 3.091582068948610000E+26 26.49018078 67.92%
40 2.518418346150870000E+27 27.40112787 68.50%
41 2.062070929537100000E+28 28.3143036 69.06%
42 1.696676206875330000E+29 29.22959897 69.59%
43 1.402532114117540000E+30 30.14691281 70.11%
44 1.164530985370010000E+31 31.06615105 70.60%
45 9.710151932913460000E+31 31.98722603 71.08%
46 8.129352571082590000E+32 32.91005596 71.54%
47 6.832260489666000000E+33 33.83456442 71.99%
48 5.763414485172210000E+34 34.76067985 72.42%
49 4.879049384117080000E+35 35.68833521 72.83%
50 4.144456204201770000E+36 36.61746755 73.23%
51 3.531975801353660000E+37 37.54801772 73.62%
52 3.019465274827640000E+38 38.47993004 74.00%
53 2.589119313112280000E+39 39.41315206 74.36%
54 2.226559568931890000E+40 40.34763432 74.72%
55 1.920127559064990000E+41 41.28333008 75.06%
56 1.660332934624980000E+42 42.22019518 75.39%
57 1.439420970712580000E+43 43.15818783 75.72%
58 1.251031988575150000E+44 44.09726841 76.03%
59 1.089932006710590000E+45 45.03739941 76.33%
60 9.517988334185110000E+45 45.97854517 76.63%
61 8.330515037259320000E+46 46.92067185 76.92%
62 7.307137480586530000E+47 47.86374728 77.20%
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64 5.657483885482310000E+49 49.75262333 77.74%
65 4.993062369500110000E+50 50.69836699 78.00%
66 4.415148446155750000E+51 51.64494531 78.25%
67 3.911406735922540000E+52 52.59233298 78.50%
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69 3.086318617229140000E+54 54.48944076 78.97%
70 2.748626122194860000E+55 55.43911567 79.20%
71 2.451937600098410000E+56 56.38950941 79.42%
72 2.190794972644830000E+57 57.34060174 79.64%
73 1.960528797105040000E+58 58.29237323 79.85%
74 1.757135576696390000E+59 59.24480527 80.06%
75 1.577175482791430000E+60 60.19788002 80.26%
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80 9.382470949201910000E+64 64.97231723 81.22%
81 8.490058721278180000E+65 65.92891069 81.39%
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85 5.761212123392200000E+69 69.76051387 82.07%
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87 4.778386085479530000E+71 71.67928124 82.39%
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89 3.980201177252540000E+73 73.59990502 82.70%
90 3.638202970422480000E+74 74.56088692 82.85%
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100 1.559800874015500000E+84 84.19306916 84.19%
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201 5.749920591945480000E+182 182.7596618 90.93%
202 5.525624464116870000E+183 183.7423814 90.96%
203 5.311123637031910000E+184 184.7251864 91.00%
204 5.105945106375760000E+185 185.7080761 91.03%
205 4.909640871813750000E+186 186.6910497 91.07%
206 4.721786501978340000E+187 187.6741063 91.10%
207 4.541979788250970000E+188 188.6572452 91.14%
208 4.369839481450110000E+189 189.6404655 91.17%
209 4.205004105952840000E+190 190.6237664 91.21%
210 4.047130846162730000E+191 191.6071472 91.24%
211 3.895894500593160000E+192 192.5906072 91.28%
212 3.750986499165100000E+193 193.5741455 91.31%
213 3.612113979623990000E+194 194.5577614 91.34%
214 3.478998919263020000E+195 195.5414543 91.37%
215 3.351377318402790000E+196 196.5252233 91.41%
216 3.228998432319970000E+197 197.5090678 91.44%
217 3.111624048543150000E+198 198.4929871 91.47%
218 2.999027806643290000E+199 199.4769805 91.50%
219 2.890994557839840000E+200 200.4610473 91.53%
220 2.787319761924070000E+201 201.4451868 91.57%
221 2.687808919168240000E+202 202.4293984 91.60%
222 2.592277035044560000E+203 203.4136814 91.63%
223 2.500548115722330000E+204 204.3980352 91.66%
224 2.412454692445840000E+205 205.3824592 91.69%
225 2.327837373020240000E+206 206.3669526 91.72%
226 2.246544418749040000E+207 207.351515 91.75%
227 2.168431345274350000E+208 208.3361457 91.78%
228 2.093360545872000000E+209 209.320844 91.81%
229 2.021200935846860000E+210 210.3056095 91.84%
230 1.951827616761200000E+211 211.2904415 91.87%
231 1.885121559309890000E+212 212.2753394 91.89%
232 1.820969303731920000E+213 213.2603026 91.92%
233 1.759262676718470000E+214 214.2453307 91.95%
234 1.699898523843400000E+215 215.230423 91.98%
235 1.642778456603380000E+216 216.215579 92.01%
236 1.587808613212160000E+217 217.2007982 92.03%
237 1.534899432347130000E+218 218.1860799 92.06%
238 1.483965439095790000E+219 219.1714238 92.09%
239 1.434925042396870000E+220 220.1568292 92.12%
240 1.387700343313860000E+221 221.1422957 92.14%
241 1.342216953519820000E+222 222.1278227 92.17%
242 1.298403823410190000E+223 223.1134098 92.20%
243 1.256193079295640000E+224 224.0990564 92.22%
244 1.215519869160830000E+225 225.0847621 92.25%
245 1.176322216505420000E+226 226.0705263 92.27%
246 1.138540881813170000E+227 227.0563486 92.30%
247 1.102119231222170000E+228 228.0422286 92.32%
248 1.067003111994520000E+229 229.0281657 92.35%
249 1.033140734408110000E+230 230.0141595 92.38%
250 1.000482559714930000E+231 231.0002095 92.40%
251 9.689811938319000000E+231 231.9863153 92.42%
252 9.385912864495600000E+232 232.9724765 92.45%
253 9.092694352623000000E+233 233.9586926 92.47%
254 8.809740950413910000E+234 234.9449631 92.50%
255 8.536654912880420000E+235 235.9312877 92.52%
256 8.273055382190020000E+236 236.9176659 92.55%

作者: 白新岭 时间: 2019-7-19 09:52

蔡家雄发表于 2019-7-18 13:57
素数差为等比3的8生素数是存在的，

p,p+6*1,p+6*4,p+6*13,p+6*40,p+6*121,p+6*364,p+6*1093,

蔡家雄先生给出10^9内66组解，我的公式给出61组解，在小范围内误差有点大。

作者: 白新岭 时间: 2019-7-19 10:08
等比数列8生素数首项6公比10的最终系数=5072.67454173891

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