数学中国

标题: 质疑第一次数学危机的真相 [打印本页]

作者: yangls728 时间: 2017-1-1 12:54
标题: 质疑第一次数学危机的真相
质疑第一次数学危机的真相
杨六省
（陕西省长安师范学校 710100）
摘要：目的澄清第一次数学危机的真相。方法揭示Pythagoras派关于√2不是有理数证明的无效性。结果在推理前提——√2 =α：β（α，β互质）中，写入 “α，β互质”是不合理的，因为不相关，尤其是，它使得√2不是有理数的证明变为不可能。结论第一次数学危机的真相是：第一对不可公度量的发现，并不是基于对√2不是有理数的有效证明，而是基于无效证明。
关键词：第一次数学危机；有理数；无穷；相容性；排中律；有效推理
中图分类号：0143

Question On the Truth of the First Mathematical Crisis
YANg Liusheng
(Shaanxi Chang’an Normal School, Xi’an China, 710100)
Abstract: purpose: Clarify the truth of the first mathematical crisis. Method: reveal the unavailability of Pythagoras school’s proof on whether √2 is a rationalnumber. Result: in the inferencepremise√2=α：β(α and β are relativelyprime), the saying “α and β are relativelyprime” is unreasonable due to the uncorrelation, particularly, it makes the proof “√2 is not a rationalnumber” to be impossible. Conclusion: The truth of the first mathematical crisis is that the discovery of the first pair incommensurablequantities is not an effectiveproof based on “√2 is not a rationalnumber”, but on the invalidproof.
Keywords：The first mathematical crisis;history of mathematics; rational number; infinity; consistency; law of excluded middle; effective inference
2010 MSC: 03F03

0 引言
√2与1不能公度的证明是Pythagoras派给出的。这个证明和现今对√2为无理数的证明相同。它们的推理前提都是——假设√2 =α：β（（α，β互质），且都认可由假设前提可推出α为偶数之结论。但此结论如果导致矛盾呢，证明还有效吗？这就产生一个问题：第一次数学危机的真相是什么？也就是，第一对不可公度量的发现，是基于对√2不是有理数的有效证明呢？还是无效证明？这是应当澄清的。
1 讨论
1.1 毕达哥拉斯派的证明
设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为α：β，并设这个比已表达成最小整数之比。于是根据Pythagoras定理得α2=2β2。由于α2为偶数，α必然也是偶数，因任一奇数的平方必是奇数。但比α：β是既约的，因此β必然是奇数。α既是偶数，故可设α=2γ。于是α2=4γ2=2β2。因此β2=2γ2，这样β2是个偶数。于是β也是偶数。但β同时又是奇数，这就产生了矛盾。[1]
1.2 后世公认的证明
下面采用北师大版教材（八年级上册）的证明。
假设边长为1的正方形的对角线的长可写成两个整数α，β的比α/β（α，β互质），于是有（α/β）2 = 2，α2 =2β2.
因此，α2是偶数，α是偶数.
于是可设α =2γ,那么α2 =4γ2 =2β2, β2=2γ2.
这就是说，β2是偶数，β也是偶数.这与“α，β是互质的两个整数”的假设矛盾. [2]
作者评析：现在众所周知——√2不是有理数，是无理数；√2是无穷不循环小数。因此，关于√2，为了应用反证法，试图推出的矛盾应该是有理数系统与无理数系统之间的矛盾，应该是与无穷相关的矛盾。据此笔者质疑，试图通过推出整数系统内的某种矛盾（注：只与互质概念有关）来证明√2不是有理数，是否合理，是否有效？
在Pythagoras派的证明中，依次推出了α是偶数、β是奇数、β是偶数，因后两项矛盾，又否定了第二项，从而推出了α和β都是偶数，于是，又否定了“α，β互质”这个假设，即α，β不互质。但笔者的质疑是，为什么偏偏从“α必是偶数”推出“β也是偶数”之后，就此停止？而不是将“α是偶数，从而β也是偶数”这一推理模式无穷地继续下去呢？难道“停止”是合理的，而“无穷继续”就是不合理的吗？事实上，情况恰恰相反。“无穷继续”的做法是合理的，它能够“推出”前提条件“α，β均为整数”的否定（参见下文“本文作者的证明”），而“停止”的做法则不然。这是因为，当推出了α，β不互质时，人们有理由提问：α，β的最大公约数是什么呢？是2吗？不对，因为“α是偶数，从而β也是偶数”这一推理模式有理由无穷地继续下去；是2的无穷次方吗？也不是，因为它不是一个确定的整数。这就是说，提问是合理的，但答案是不存在的。这种新的矛盾，又会否决“α，β不互质”这一结论，因此，到头来，什么也没有证明，什么也证明不了。那么，为什么会出现提问合理而问题又无解的现象呢？唯一合理的解释是，在推理前提中写入“α，β互质”是不合理的，因为它与我们讨论的问题不相干（注：√2是有理数还是无理数的矛盾，表现为它能否表为两个整数之比，或者说，√2=α：β中的α和β能否全是整数；但两个整数是否互质的矛盾，表现为这两个整数是否存在不等于1的公约数）。
在推理前提中写入“α，β互质”这一条款，不仅没有意义，更糟的是，它使得√2不是有理数的证明变为不可能，换一种说法，这种证明的无效性已是不可避免的。理由是，一旦把有理数与无理数之间的矛盾转化为（当然这种转化是无效的）整数系内部的的矛盾（它只与互质概念有关，已无需再涉及α和β是否全是整数的问题了），这其后的推理，也只能像Pythagoras派所做的那样——如前所述，它是无效的。
综上所述，我们说，Pythagoras派关于√2不是有理数的证明是无效的。
历史让人感慨，Pythagoras派只是缺少了一个提问，否则，发现行不通，换个思路，历史就会被改写。
如果说，Pythagoras派“第一次”证明√2不是有理数时，由于尚不确定√2到底能不能表为整数之比，只是想应用归谬法进行试探的话，那么，在假设条件中列入α与β互质这一条款，倒是可以理解的（注：但其给出的证明不可能是有效的）。但是，当后世已经明确知道√2不能表为整数之比后，就应该及时地删除这个假设条件（因为既然√2 =α：β中的α、β不可能全是整数，那么，它们之间也就不存在是否互质的问题），并修订原证明。基于上述理由，笔者认为，既然要用归谬法来证明论题——√2不能表为整数之比，那就直接从论题的否定（√2能表为整数之比）开始即可，何须借助于，事实上也不可能借助于与论题没有内在关联的概念（整数的奇偶性以及互质概念）达到证明的目的。
笔者认为，自Pythagoras派第一次“证明了”√2不是有理数直至今天，两千五百多年过去了，α与β互质这一不合理的假设条款还一直被保留着，是令人惊讶的。
1.3 本文作者的证明
设√2 =α：β（α，β均为整数），则2=α2:β2，从而α2=2β2。当β为整数时，2β2 是偶数。下面我们讨论α的情况。
①α能是奇数吗？
因任一奇数的平方必是奇数，它不可能等于偶数2β2，故α不可能是奇数。
②α能是偶数吗？
由①知，α不可能是奇数；因假设α为整数，依据排中律可知，α必是偶数。设α=2γ（γ为整数）,代入α2 = 2β2,得 2γ2 =β2。如果上述由α2 = 2β2 （β为整数）得到α必为偶数的推理是有效的，那么，这里也应该由2γ2 =β2（γ为整数）推出β为偶数；… 这样就会推出α以及β有无穷多个因数2，从而说明α和β均不可能是整数，但这与α，β均为整数的假设矛盾，说明由α2 = 2β2 （β为整数）是推不出α是偶数的。结论是，α不可能是偶数。
①的结论是α不可能是奇数，②的结论是α不可能是偶数，故α不是整数。
综上所述，结论是α与β不全为整数。由前提“α，β均为整数”推出了它的否定，这说明假设条件“α，β均为整数”不成立，也即√2不能表为整数之比。
作者评析：说实在的，在上面的论证中，从一开始的“设√2 =α：β（α，β均为整数）”，直到“综上所述，结论是α与β不全为整数”，其实不是有效推理。为什么呢？那我们就来看看，究竟什么是有效推理的概念呢？
文［3］写道：“一个有效的推理，其前提真而结论假是不可能的。”那么，前提不真呢？（注：这里的“不真”，不只包含“假”，还包含无法谈论前提的真假，例如，说谎者语句等。）文［3］同处又写道：有效推理是指“前提蕴涵着结论的推理”。那么，“蕴涵”又是什么意思呢？《哥德尔证明》一书作者的话很是到位，他说：“事实上，数学推演的有效性，并不依赖于前提之中词汇的含义或表达式的意思。……纯数学家所面临的问题，不是所假定的前提或从这些前提演绎出的结论是否为真，而是这些结论在事实上是否为初始前提的必然逻辑结果。”[4] 以上引述表明，有效推理的概念与前提的真假无关。
无论A是什么，也不管其真值情况如何， A不可能蕴涵¬ A 。所以，任何由A 到¬ A的推理，都不可能是有效推理。我们的推理前提是√2 =α：β（α，β均为整数），最后的结论是前提条件的否定——α与β不全为整数，所以，这样的推理不是有效推理。这是由什么原因引起的呢？
很容易理解，我们在上面的推理过程中，应用了“α，β均为整数”这一假设条件。但事实上，还应用了另一个条件呢，只是比较隐蔽罢了。
不妨把等式√2 =α：β变成α=√2β，依据人们现在的知识（注：已明确知道，√2是无理数），马上就清楚了——当β是整数时，α是无理数，不是整数。这就是说，假设的推理前提——“√2 =α：β（α，β均为整数）”，其本身就蕴涵着不相容的两个条件，即“α，β均为整数”及其否定——前者是以假设的形式，后者是以真实存在的形式，同时发挥着效力（注：人们往往会忽视后者，甚至想不到它）。
保持相容性，是有效推理的必要条件。[5]但基于推理前提本身就蕴涵着不相容的两个条件，所以，人们在推理中，实际上是既应用条件“α，β均为整数”，又应用它的否定（即β为整数，但α是无理数），这显然是违反有效推理必要条件的，这样的推理，不可能是有效推理。
但对问题的审查应该分段看待。由“α，β均为整数”推出了它的否定，这部分推理不是有效推理。但是，当我们找到了导致非有效推理的原因，即在推理过程中应用了不相容的条件——一方面是假设的条件，即α，β均为整数；另一方面是客观存在的条件，即α，β不可能均为整数，并且否定了假设条件而保留了客观存在的条件，从而就又保证了相容性的贯彻和恢复，这样的推理，就是有效推理。因此，本文作者关于√2不是有理数所给出的证明，是有效证明。
还能不能把问题说的更具体些呢？即在证明过程中，究竟是从何时何处开始出现了不相容条件的冲突呢？我们说，假设的是√2可表成两整数α与β之比，但实际上并非如此。因此，对于α2=2β2（β为整数），当你（关于α）说出“因任一奇数的平方必是奇数”这一理由时，你已经（潜在地）犯错了（注：这里不是指具体结论，因为具体结论没有错），因为你已把无理数α当整数对待了，但实际上它不是（注：理解这种冲突，是破解问题的关键所在，因为保证相容性的贯彻是有效推理的必要条件，相反，正是此处冲突的发生，使得Pythagoras派的证明成为非有效的，当然也包括笔者证明的前半部分）；接下来依据排中律作出“不是奇数就是偶数”的推理，是无意义的，因为只有当α是整数时，这样的推理才有效。需要提醒的是，不要以为排中律具有绝对的普适性，可以随便使用。不妨再举一个性质完全相同但情况要简单得多的例子。古希腊有一个著名的提问：“有人问梅内德谟，他是否已经停止打他的父亲了？”[6] 在梅内德谟从未有过打父亲的情况下，不管梅内德谟回答“是”或“否”，都会落入圈套。
在Pythagoras派和笔者的证明中，表面上看，都有由α2=2β2（β为整数）到α为偶数的推理，但在对其的处理上是有原则区别的。笔者在证明中所采用的表述语气是——“如果上述由α2 = 2β2 （β为整数）得到α为偶数的推理是有效的”，这已经暗示了笔者对此推理尚持保留意见，即笔者并不认可它是一个确定性的结论，从而为后面否决它埋下伏笔。但Pythagoras派呢？却把它当成一个确定性的结论来对待（始终没有出现对它的否决），并借助于这个无效的推理结论，错误的（当然也是无效的）把两个数系之间的矛盾问题（即√2能否表为整数之比，或者说，√2=α：β中的α和β能否全是整数）转化为整数系内部的矛盾问题（互质与不互质），从而也就失去了对这个无效推理进行否决的机会（因为矛盾的转化工作已经完成，将“α是偶数，从而β也是偶数”这一推理模式无穷继续下去的做法，已经不再必要，因而也就不可能会发现，由α2=2β2（β为整数）到α为偶数的推理竟然还会导致矛盾，所以应该否决它）。尽管Pythagoras派对其前提条件“α，β互质”进行了否定，但由于互质概念对于并非全是整数的α，β而言，完全是不相干的，所以，这种否定没有意义，说明不了什么。
1.4 陶哲轩（Terence Tao）教授的证明
需要说明的是，本文的结论，并不是指所有文献中的证明都有“α，β互质”这种不合理的假设条件，例如，美国数学家陶哲轩教授书中的证明就没有。当然，他的证明用到了“无限减少原理”，这是中学教科书中没有的知识。另外，“整数的唯一分解定理”的知识，也是中学教科书中没有的，所以，笔者只说“一个整数含有无穷个因数2，这是不可能的”，学生也就明白了，这并不影响证明的严格性。
笔者并不认同陶哲轩教授的证明是严谨完整的。他的证明大意是：假设有正整数α，β，使得（α/β）2 = 2，于是有α2 =2β2。如果α是奇数，那么，α2也是奇数，这与α2 = 2β2 （β为正整数）矛盾，故α是偶数；设α=2γ（γ为正整数）,代入α2 = 2β2,得 2γ2 =β2，与上同理，可得β为偶数；… 可以证明，α＞β＞γ＞… ，但这与无限减小原理矛盾，表明不存在正整数α，β，使得（α/β）2 = 2。[7]
作者评析：“α＞β＞γ＞…”与无限减小原理发生冲突，原因是什么呢？是一开始假设的α，β都是正整数吗？否。很明显，直接的原因是，人们认可由α2 = 2β2 （β为正整数）得到α是偶数的推理是有效的，于是无限次地应用该模式进行推理，从而才出现了上面那个无穷递减过程，导致与无限减小原理相冲突。因此，基于“α＞β＞γ＞…”与无限减小原理发生的冲突，应该否定的是“由α2 = 2β2 （β为正整数）得到α是偶数”之推理的有效性，而不是越过正在讨论的α能否是偶数这个中间环节，直接去否定一开始假设的α，β都是正整数。事实上，陶哲轩教授直接否定推理前提中α和β都是正整数的做法，会产生如下疑问：关于由α2 = 2β2 （β为整数）推出α是偶数这件事，我们很难知道陶哲轩教授的看法是什么，是认可呢，还是否定？也无法知道，关于导致“α＞β＞γ＞…”与无限减小原理发生冲突的原因，陶哲轩教授是认为由于“由α2 = 2β2 （β为正整数）得到α是偶数”的推理是无效的呢？还是认为一开始假设的“α，β都是正整数”是错误的？但无论哪种情况，都应该有后续的文字说明：若是前者，就应交代逻辑关系；若是后者，就应写明理由，但这种合理的期待却没能看到结果，这不能不说是陶哲轩教授的证明在逻辑的严谨性上是有缺陷的。
2 结论
第一次数学危机的真相是：第一对不可公度量的发现，并不是基于对√2不是有理数的有效证明，而是基于无效证明。

参考文献：
[1][美]M.克莱因.古今数学思想[M] ，第1卷．张理京，张锦炎．上海：上海科学技术出版社，1979年第1版，第37-38页.
[2]马复主编.义务教育教科书数学（八年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2014年第2版，第24页.
[3] 彭漪涟，马钦荣主编．逻辑学大辞典 [M]．上海：上海辞书出版社，2004：第340页．
[4][美]欧内斯特.内格尔，詹姆士.R.纽曼.哥德尔证明［M］．陈东威，连永君，译．北京，中国人民大学出版社，2008年第1版，第9页.
[5] 杨六省.对哥德尔不完全性定理的质疑[J].前沿科学,2014（1）：第80-89页.
[6][德]黑格尔.哲学史讲演录（第二卷）[M]．贺麟，王太庆，译.北京：商务印书馆，1960年新1版：第122页.
[7][澳]陶哲轩.陶哲轩实分析[M].王昆扬，译.北京：人民邮电出版社，2008年第1版，第73页.

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-1-1 20:04
√2是无穷不循环小数吗？为什么？无穷是什么意思？无穷小数又是什么？

作者: yangls728 时间: 2017-1-1 20:28

jzkyllcjl 发表于 2017-1-1 20:04
√2是无穷不循环小数吗？为什么？无穷是什么意思？无穷小数又是什么？

复习一下初中知识，或者看有没有成人初中班，再上一遍。

作者: yangls728 时间: 2017-1-1 20:28

jzkyllcjl 发表于 2017-1-1 20:04
√2是无穷不循环小数吗？为什么？无穷是什么意思？无穷小数又是什么？

复习一下初中知识，或者看有没有成人初中班，再上一遍。

作者: yangls728 时间: 2017-1-1 20:30

yangls728 发表于 2017-1-1 20:28
复习一下初中知识，或者看有没有成人初中班，再上一遍。

复习一下初中知识，或者看有没有成人初中班，再上一遍。

作者: elimqiu 时间: 2017-1-1 20:32
jzkyllcjl 的书里有他这些问题的回答．是否认错了，要找更离谱的回答?

作者: 数想记 时间: 2017-1-1 20:34
阁下完全不董数学基本概念：如果你指望中国的官科数学那么你将成脑残

作者: elimqiu 时间: 2017-1-1 20:43
在党的领导下的官科数学是脑残．那党的领导是什么?

作者: 数想记 时间: 2017-1-1 21:01
教科书错误百出！那党为什么不改正过来！你说该子学得懂吗

作者: elimqiu 时间: 2017-1-1 23:30
教课书没有大错．自从可以出钱印书后，确实有一些错误百出的书上了市，例如jzkyllcjl 的书等等．但我党决不会让这类书变成教课书的．

作者: yangls728 时间: 2017-1-2 10:05
参看“古今数学思想”一书，教科书与毕达哥拉斯派的证明是一样的，不要争论一些无谓的问题。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-1-2 10:19
关于无穷集合的观点，文献[5]讲到：“实无穷论者认为，无穷(在数学中表现为无穷集)是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的.。潜无穷论者否定实无穷，认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的”[5]。这个叙述，包含着以下几个命题。
命题1，无穷集合是完成了的集合。命题2，无穷集合是其元素个数无限增加着的极限性质的、不可达到的想象性质的非正常集合。命题3，无穷集合是现实存在着的集合。下边根据实践探讨一下，这几个命题的真假性。根据无穷的意义是无有穷尽、无有终了的意思，与引言中的基本定理，可知：无穷集合不是人们能写完其所有元素的集合，因此，命题1是假命题。根据前文中对自然数集合、实数集合的探讨，可以看出：命题2是真命题。至于命题3，当把无穷集合看作命题2意义下的集合时，为真命题；当把无穷集合看作命题1的集合时，是假命题。所以笔者认为：虽然无穷集合可以说是存在的，但存在的是一个元素个数无有穷尽、无有终了的，不能构造完毕的非正常集合。此外，在任何有限时间内，自然数集合的元素都是写不完的、列举不完的，所以也可以说无穷集合不是存在着的现实集合。

作者: elimqiu 时间: 2017-1-2 10:26
老头的完成概念是个伪概念，既没有数学依据又没有实践基础。他说不出自然数集合现在构造到哪里了，谁在构造，他的论断都是建立在一些主观感受上，概念混乱，从根烂起，无药可救。

作者: 任在深 时间: 2017-1-2 10:26
不但教科书里面有严重的错误；而且数学的基础理论也存在严重的错误！！

   比如：
            所谓无理数√n，实际是构成线段的基本单位数！√n,n=1.2.3......
            否则就将丢失无穷多的构成面积的单位数：    (√n)^2=1".2".3"......
                                                                                 n^2=1^2，2^2，3^2......
                                                                                       =1,4,9.......
不要一错再错继续错了！！！！！！！！！！！！！！！！！！

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-1-2 10:31

elimqiu 发表于 2017-1-2 02:26
老头的完成概念是个伪概念，既没有数学依据又没有实践基础。他说不出自然数集合现在构造到哪里了，谁在构造 ...

定义1.1(自然数的标准序列)  根据阿拉伯人提出的自然数记数法则，将自然数按照“从小到大”的顺序排列，得到的无穷数列
0，1，2，3，…， 11，…，n，n+1，…          (1.1)
叫做自然数的标准序列.
由此出发，就可以在不使用集合语言的情况下，提出自然数的下述十条公理。
关于自然数集合，首先需要提出如下定义与公理。
定义1. 2(近似自然数集合) 　由式(1.1)可提出以集合为元素的如下无穷序列
{0},{0,1},{0,1,2},…,{0,1,2,3,……n-1}，……    (1.2)
这个序列中的每一个集合，都叫做近似自然数集合. 其中，含有足够多自然数的集合叫做足够大自然数集合；序列(1.2)叫做全能近似自然数集合序列.
公理1.7(理想自然数集合) 全能近似自然数集合序列(1.2)有且只有一个理想性质的极限集合，这个集合叫做理想自然数集合。理想自然数集合可以表示为
{0，1，2，3，……，9，10，11，……，99，100，101，…… }    (1.3)
依照习惯，可以用符号表示这个集合。但必须知道：这个集合是使用极限思想提出的，是不能写完所有元素的理想集合。这个集合不能看成“完成了的整体的实无穷概念”下的集合。

作者: elimqiu 时间: 2017-1-2 10:33
楼上认为我党一直以来没有抓好数学工作，这是反党言论。应该指出，我们的党和党所领导下的数学工作者绝大多数是好的和比较好的。那种全面否定我国数学的言论，基本上来自日本卧底，我们要绷紧抵制日本扩张主义这根弦。

作者: 任在深 时间: 2017-1-2 11:16

elimqiu 发表于 2017-1-2 10:33
楼上认为我党一直以来没有抓好数学工作，这是反党言论。应该指出，我们的党和党所领导下的数学工作者绝大多 ...

elim在贼喊捉贼！此乃是：

                  此地无银三百两，
                  隔壁王二不曾偷？
                                          的阴谋伎俩！！！！！！！！！！！！！！！！！

作者: 任在深 时间: 2017-1-2 11:46
本帖最后由任在深于 2017-1-2 11:57 编辑

jzkyllcjl 发表于 2017-1-2 10:31
定义1.1(自然数的标准序列) 根据阿拉伯人提出的自然数记数法则，将自然数按照“从小到大”的顺序排列， ...

哈哈！
   阿拉伯人不懂数学，你也不懂数学！
   请问自然数有大小吗？
   当自然数没有单位时，或者不是同一个单位，你能确定谁大谁小吗？
自然数在纯粹数学中，表示的是没有大小的位数，位序，位置，一旦在应用数学中而且赋予单位量，它才可能有大小！
            即长度单位：mm,cm,m,km......
               质量单位：mg,g,Kg.......
               *********************
               *********************
               *********************
你二百五就不必要和另一个二百五继续瞎犟犟了！
懂不懂？！
               半斤等于八两？
               250=500/2
                                                   哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈！

作者: elimqiu 时间: 2017-1-2 12:20
二个曰本卧底主楞和jzkyllcjl 争风吃醋了，呵呵.

作者: 任在深 时间: 2017-1-2 12:32

elimqiu 发表于 2017-1-2 12:20
二个曰本卧底主楞和jzkyllcjl 争风吃醋了，呵呵.

哈哈！
实际elim是夹在俺们两个中间了？
很受夹板子气呀？？？？？？？！

作者: elimqiu 时间: 2017-1-2 12:59
为了党和中國人的尊严，必须揭发主楞的反党言论和jzkyllcjl 糟蹋民脂民膏鬼画糊的罪行．反对安倍通过这对败类使坏．

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-1-2 14:29
称“满足继数公理的自然数集合是存在的” ZFC体系中无穷公理是假命题。混淆是非的概念。

作者: yangls728 时间: 2017-1-2 15:21
修改后内容：笔者并不认同陶哲轩教授的证明是严谨完整的。他的证明大意是：假设有正整数α，β，使得（α/β）2 = 2，于是有α2 =2β2。如果α是奇数，那么，α2也是奇数，这与α2 = 2β2 （β为正整数）矛盾，故α是偶数；设α=2γ（γ为正整数）,代入α2 = 2β2,得 2γ2 =β2，与上同理，可得β为偶数；… 可以证明，α＞β＞γ＞… ，但这与无限减小原理矛盾，表明不存在正整数α，β，使得（α/β）2 = 2。[7]
作者评析：“α＞β＞γ＞…”与无限减小原理发生冲突，原因是什么呢？是一开始假设的α，β都是正整数呢？还是“由α2 = 2β2 （β为正整数）得到α是偶数”之推理的无效性呢？观察一下陶哲轩教授给出的证明，不难发现，他对其证明中的每一步骤，哪怕是一个极小的步骤的证明理由，都是要给出极其细致的提问的，例如，“如果p是奇数，那么p2也是奇数（为什么？）”，基于这种要求论证务必严谨细致的治学作风，他怎么可能会越过正在讨论的α能否是偶数这个中间环节而直接去否定一开始假设的α，β都是正整数，又不作任何理由上的说明呢？所以，这里不是表述上的“从略”，而是犯了“不能推出”的错误。

作者: elimqiu 时间: 2017-1-2 15:22
自从老头实践吃狗屎后，声誉大跌，其书进入无限期泡汤类．

作者: yangls728 时间: 2017-1-2 15:28
这里的学术讨论与政治无关，请诸位网友慎言自律，免得给自己惹麻烦。

作者: elimqiu 时间: 2017-1-2 15:45
与学术相关的评论是：楼主思绪混乱程度与jzkyllcjl 相当．其论说无效．

作者: 任在深 时间: 2017-1-2 16:40

yangls728 发表于 2017-1-2 15:28
这里的学术讨论与政治无关，请诸位网友慎言自律，免得给自己惹麻烦。

正确！
   只有那些别有用心的鬼才胡说八道！
   它是鬼，却口口声声喊打鬼抓鬼，这就是贼喊捉贼，企图鬼混过关的做法！
   可悲！可恨！可气！可恶至极！！！
   显然它们的末日已经来到了！！！！

作者: elimqiu 时间: 2017-1-2 17:00
本帖最后由 elimqiu 于 2017-1-2 09:01 编辑

我不想对楼主的数学修为作具体评论.

只想指出:一个证明的无效性不能因为有人不了解某个推理环节而得出.

一个实数为有理数的充要条件是它可公度，亦即它等于二互素整数之比，亦即它可表为有限小数或无限循环小数(任何p>1进制).

其实√2 是无限不循环小数的论断只有通过它不是二整数之比的事实才能得出.

一个命题的证明可以通过反证法完成: 从该命题的否命题导出矛盾.

现在来看√2不是有理数的典型(简单)证明, 用反证法:

若√2是有理数，则√2=a/b, 整数a,b互素. 于是 2b^2=a^2. 可见右边是偶数. 因为奇数的平方仍为奇数，所以a不能是奇数即a必为偶数，有整数u使a=2u.
于是2b^2=4u^2, b^2=2u^2. 重复前面的推理即知b是偶数，于是a与b非互素. 可见√2不是二互素整数之比. 由上述实数为有理数的充要条件，√2不是有理数.

作者: 任在深 时间: 2017-1-2 17:40
本帖最后由任在深于 2017-1-2 18:39 编辑

elimqiu 发表于 2017-1-2 17:00
我不想对楼主的数学修为作具体评论.

只想指出:一个证明的无效性不能因为有人不了解某个推理环节而得出. ...

胡说八道，满嘴放炮，不懂数学，不懂讲理！！
《中华单位论》已经证明：
                  1.√n,n=1.2.3...... 是表示线段的量，定义为基本单位"数“，
                  2.(√n)^2=(√1)^2，(√2)^2，(√3)^2=1",2",3"......n",定义为单位！
请问？不是同一种数量单位，即线段的量√n,能与面积的单位(√n)^2，相比吗？
elim自以为懂数学？还大言不惨高谈阔论，√n是无理数！真是羞死个人！
   但愿他只是个混混，千万不要代表数学界，数学人！
我们都知道所谓可比，就是同等意义，同等概念下，同等条件下可比！
   因此

               (1)√2=α/β, 其中α，β是所谓正整数是错误的比例关系！
                     严格来讲作为线段的量√n也不能与面积的量去相比，这是数学界千百年来的根本的严重的理论错误
   所以正确的比例关系因该是：

                  (2) √2=√α/√β=√2n/√n=√2-----这就是天圆地方的外切正方形的边长AB与内接正方形的边长ab的比例关系！
            这样就有无穷多组解：
            α       β
            2          1
            4          2
            6          3
            *          *
            *          *
            *          *
            2n       n
这才是纯粹数学，结构数学，《中华单位论》的理论基础！
看一看数学家们梦寐以求的真实数吧！
图(一）中：AB=BC=CD=DA=√2n, ab=bc=cd=da=√n,  n=1.2.3......
elim拉稀了吧？脸红了吧？屁滚尿流了吧？
不要继续抱着西方的残缺不全的大腿，还以为捞着救命稻草了？！
如今已经是廿一世纪了，是中国人民实现中国梦的世纪！
而如今在中国无论是在天文，物理，化学，，，尤其是在数学领域都实现了中国梦！
《中华单位论》奠定了纯粹数学的理论基础！
中国已经成为数学强国！
这是任何小集团，任何吃里扒外的汉奸。走狗也阻止不了的！！
中国的历史巨轮必然滚滚向前！
一切小爬虫必然被碾死在滚滚的巨轮之下！！

作者: elimqiu 时间: 2017-1-2 17:54
楼主不妨也听听主楞的声音，虽然拉稀，但其楞率腰细，般配.

作者: 任在深 时间: 2017-1-2 18:45

               中国历史几千年，
               前仆后继冲在前，
               科学文化最优秀，
               可笑小丑难阻拦！

作者: elimqiu 时间: 2017-1-2 19:54
安倍授意的暗渡陈仓诗，因为主楞拉稀，终不达意: 必竞楞率属东洋假货，跟咱祖率一比就拉稀拉圾了.

作者: yangls728 时间: 2017-1-2 21:32

elimqiu 发表于 2017-1-2 17:00
我不想对楼主的数学修为作具体评论.

只想指出:一个证明的无效性不能因为有人不了解某个推理环节而得出. ...

说什么a与b非互素，但它们都还是整数呀，请问；它们的最大公约数是什么？有吗？如果答不出，这岂不矛盾吗？连基本概念都搞不来，还参与式么争辩？岂不是在众人面前争着丢脸？

作者: elimqiu 时间: 2017-1-2 21:55
呵呵，它们既然都是偶数，其公约数就大于1因而非互素．争丢脸咱自知争不过你....

作者: 任在深 时间: 2017-1-2 22:00

yangls728 发表于 2017-1-2 21:32
说什么a与b非互素，但它们都还是整数呀，请问；它们的最大公约数是什么？有吗？如果答不出，这岂不矛盾吗 ...

elim就是西方骗人数学的代言人！伪君子！企图阻挡中国成为数学强国的民族败类！伪君子！
中国人民，数学爱好者，有良心的数学家们决不能饶恕这只披着人皮的卖国贼！
中国的古代数学思想和理论必然成为纯粹数学的理论基础！
中国必然成为数学强国！

作者: elimqiu 时间: 2017-1-2 22:19
恭喜楼主有日本种楞率π=3+(√2)/10原创人主楞保驾．争丢脸稳操胜券．

作者: 任在深 时间: 2017-1-2 22:43
本帖最后由任在深于 2017-1-2 22:47 编辑

elimqiu
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发表于 2017-1-2 22:19 | 只看该作者
恭喜楼主有日本种楞率π=3+(√2)/10原创人主楞保驾．争丢脸稳操胜券．

看看汉奸，哈巴狗，elim的嘴脸已经语无伦次了！颤抖了！！

作者: elimqiu 时间: 2017-1-2 23:58
恭喜楼主有日本种楞率π=3+(√2)/10原创人主楞保驾．争丢脸稳操胜券．

作者: elimqiu 时间: 2017-1-3 09:22
这几年各级官员腐败现象严重，习核心釆取了有力的反腐措施．从本网站看，欧阳耿，青山加楼主，在大专院校的学术腐败方面表现嚣张, 是到了要收拾这种局面的时候了．身为高校教师，做学问当严谨，谦卑. 在论说的基本逻辑脉络上应该是无可挑剔的．太离谱的无知和谬说应被举报．

作者: 任在深 时间: 2017-1-3 14:45

elimqiu 发表于 2017-1-3 09:22
这几年各级官员腐败现象严重，习核心釆取了有力的反腐措施．从本网站看，欧阳耿，青山加楼主，在大专院校的 ...

鉴于elim反党，反人民，反科学,企图阻止中国成为数学强国这一汉奸的做法，准备提请公安部相关部门，查清他的真实身份！予以严惩！！

作者: elimqiu 时间: 2017-1-3 15:01
日本种主楞说什么，我党向来是倒着听的. 你什么时候倒弋安倍，我可以帮你找有关部门，你若跑公安试图扳倒我，人家就会把你关起来. 到时候别说我沒提醒你.

作者: 任在深 时间: 2017-1-3 16:20

elimqiu 发表于 2017-1-3 15:01
日本种主楞说什么，我党向来是倒着听的. 你什么时候倒弋安倍，我可以帮你找有关部门，你若跑公安试图扳倒我 ...

哈哈！
   做贼心虚了吧？
   年前俺准备到北京去一趟，有好多事情要和他唠一唠！
   你不用害怕，你的所作所为只是小菜一碟！

作者: elimqiu 时间: 2017-1-3 21:35
晾你不敢自首，也不敢倒戈安倍．更不敢接触公安曝露日本卧底之身份．

作者: yangls728 时间: 2017-1-4 09:37

elimqiu 发表于 2017-1-2 21:55
呵呵，它们既然都是偶数，其公约数就大于1因而非互素．争丢脸咱自知争不过你....

高斯说得好：深恐愚人的叫嚣！

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-1-4 10:31
形式逻辑推导是需要的，但推导的结果需要进行联系现实的生产实际的说明与应用检验。
第一次数学危机来源与毕达哥拉斯的勾股定理，这个定理的证明使用了形式逻辑方法，结合现实实际应用时出现了√ 2 是不是数的争论或称危机。这个危机（或称争论）需要使用实践应用中解决。第一，需要承认现实线段长度、角的角度都具有“没有据对准测量法则”的事实，因此直角与边长为1的原始数据具有理想形式，√ 2也应当是一个理想实数，它表示的斜边长度与度量单位的关系可以使用近似有尽小数近似表示。这就是两千多年来的可用的、有效的解决方法。近代提出的无尽小数1.4142……与等式√ 2=1.、4152……不恰当。

作者: elimqiu 时间: 2017-1-4 12:42
本帖最后由 elimqiu 于 2017-1-4 04:50 编辑

yangls728 发表于 2017-1-4 01:37
高斯说得好：深恐愚人的叫嚣！

高斯跟楼主在争丢人方面还是占下风的．这点楼主不用多虑．

楼主需要担忧的是为啥使出洪荒之力还弄不懂“二非零偶数必非互素"．

楼主不妨公开声明拒绝“二非零偶数必非互素"这一命题，本人愿意将此举报给你学校当局，好让你谋到高就?

作者: 任在深 时间: 2017-1-4 15:52

jzkyllcjl 发表于 2017-1-4 10:31
形式逻辑推导是需要的，但推导的结果需要进行联系现实的生产实际的说明与应用检验。
第一次数学危机来源与 ...

哈哈！
      全是不懂数学的屁话！
      怪不得别人骂你？
      因为你是一个有缝的臭鸡蛋！
      那些苍蝇当然一个劲的叮你屁股！！
      你需要拿出点真章来！！！
      否则你驳不倒他们，他们必然一个劲的叮你？！

作者: elimqiu 时间: 2017-1-4 22:15

任在深发表于 2017-1-4 07:52
哈哈！
全是不懂数学的屁话！
怪不得别人骂你？

主楞自喻苍蝇这个构思还是很中肯滴. 不过“破鸡蛋的屁股”是从何说起，只有其主子安倍知道了．

作者: 任在深 时间: 2017-1-5 00:14

elimqiu 发表于 2017-1-4 22:15
主楞自喻苍蝇这个构思还是很中肯滴. 不过“破鸡蛋的屁股”是从何说起，只有其主子安倍知道了．

哈哈！
黔驴技穷亦！？

作者: elimqiu 时间: 2017-1-5 05:22

任在深发表于 2017-1-4 16:14
哈哈！
黔驴技穷亦！？

我说道[主楞自喻苍蝇这个构思还是很中肯滴. 不过“破鸡蛋的屁股”是从何说起，只有其主子安倍知道了．]，沒有用计啊! 如果你自喻为驴，那也该说‘日驴计穷’啊. 着来日本种主楞的中文还是差劲.

作者: 任在深 时间: 2017-1-5 21:09

elimqiu 发表于 2017-1-5 05:22
我说道[主楞自喻苍蝇这个构思还是很中肯滴. 不过“破鸡蛋的屁股”是从何说起，只有其主子安倍知道了．] ...

elim及其主子的末日来临了！
西方的错误的不符合大自然法则的数学必将覆灭！！

作者: elimqiu 时间: 2017-1-6 05:24
日本楞率最近很少被提到了．已经覆灭了?

作者: 任在深 时间: 2017-1-6 19:35
本帖最后由任在深于 2017-1-6 19:42 编辑

本帖最后由任在深于 2017-1-6 15:00 编辑

elimqiu 发表于 2010-10-27 10:29
为了理解24楼，看看这个连接：
http://www.mathchina.com/cgi-bin ... =10584&start=14 ...

令 M 为全体正偶数， N 为全体正整数， f 是 M 到 N 的映射，
定义为 f(m) = m/2  ( m ∈ M ).
显然 f 把不同的正偶数对到不同的正整数。而且对任给的正整数 n, 2n 是正偶数，
按照f 的定义， f(2n) = n。所以 f 是正偶数全体到正整数全体的一一对应。

设想 {1,2,3,......} 的元素是编号为 1，2，3,... 的坑
每个坑里长了一个萝卜。我们给第n个坑中的萝卜代上一顶帽子，帽子的编号是 2n
1 对应坑1 对应帽子 2 对应  2
2 对应坑2 对应帽子 4 对应  4
3 对应坑3 对应帽子 6 对应  6
4 对应坑4 对应帽子 8 对应  8
5 对应坑5 对应帽子10 对应 10
6 对应坑6 对应帽子12 对应 12
7 对应坑7 对应帽子14 对应 14
.............................
k 对应坑k 对应帽子2k 对应 2k
.............................

这就是说全体正整数和全体正偶数一一对应。
******************************************************************************
对照《中华单位论》来看，似乎正确！但是有缺欠，不符合大自然法则！没有理论依据？

请看图（一）《中华单位论》外切正方形的面积（单位）f(S□)=(√2n)^2，与内接正方形的面积f(S■)=(√n)^2的一一对应！
图中：AB=BC=CD=DA=√2n; ab=bc=cd=da=√n,  n=1.2.3.4.5......
看来说elimqiu完全不懂数学，似乎说屈了他，但是他还是可以用非数学语言来弥补他数学知识的不足，来蒙一蒙大家！
比如：什么萝卜？什么坑？又什么帽子？可惜这些帽子会越来越大？大到无穷哇？！
难道这就是现在的数学理论吗？
数学的语言匮乏到了极点！
赶快醒一醒吧？
不要继续践踏数学了！！！！！！！！！！！！！！！！！！
否则有人就要取消数学了？！

看一看《中华单位论》天圆地方即基本单位圆与其外切正方形和内接正方形的结构图！
      是《中华单位论》符合大自然法则？还是elimqiu的萝卜，土坑，以及帽子符合大自然法则？！

n (AB)^2= (√2n)^2                         (ab)^2= (√n)^2
   1       2"                                              1"
   2       4"                                              2"
   3       6"                                              3"
   *       *                                              *
   *       *                                              *
   *       *                                              *
   i          2i"                                              i"

不怕不识货就怕货比货！看一看elimqiu的数学解释是一个什么货色！？

作者: elimqiu 时间: 2017-1-6 20:21
日本种主楞扯他纯粹胡扯之“数学”时，一有问题就向狗屎堆行军礼．没料到 jzkyllcjl 吃的就是狗屎．为什么日本卧底都喜欢跟狗屎打交道？
．

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-1-7 10:54
1楼提出的对“根号2不是有理数的证明” 问题是可以百家证明的问题。大家都可以谈谈自己的认识与意见，但不能脱离主题，不能骂人、污蔑人，要说理。

作者: 任在深 时间: 2017-1-7 11:19

jzkyllcjl 发表于 2017-1-7 10:54
1楼提出的对“根号2不是有理数的证明” 问题是可以百家证明的问题。大家都可以谈谈自己的认识与意见，但不 ...

可惜的是，你喜欢人家骂你！
更可惜的是你不懂得数学，分不清纯粹数学；应用数学？眉毛胡子一把抓，骂你也不多！？

作者: elimqiu 时间: 2017-1-7 15:58
晾主楞向狗屎堆行一万个军礼，其数学至多正宗到狗屎程度．楞率处理圆周仍然缩水．主楞的数学稳定在狗屎堆水平．由于主楞的不堪觉悟，身为航空兵而不得上天．时过境不迁，一楞一楞的主楞还是热衷于向狗屎表忠心，自己不悔悟，那就无可救药．

作者: elimqiu 时间: 2017-1-7 17:57

jzkyllcjl 发表于 2017-1-7 02:54
1楼提出的对“根号2不是有理数的证明” 问题是可以百家证明的问题。大家都可以谈谈自己的认识与意见，但不 ...

楼主作为师专敎师，无法理解并且无端反对初等数论的一些基本命题及证明，是不能允许的．因为这将误人子弟· 这要比民科失误严重得多．

作者: 任在深 时间: 2017-1-8 21:22

elimqiu 发表于 2017-1-7 17:57
楼主作为师专敎师，无法理解并且无端反对初等数论的一些基本命题及证明，是不能允许的．因为这将误人子弟 ...

据此推理，elimpiu更是误人子弟！
他说数学就是，一个萝卜填一个坑？！

作者: elimqiu 时间: 2017-1-8 21:27
哪里比得上你几只苍蝇对一只破蛋屁股？

作者: elimqiu 时间: 2017-1-8 21:28
本帖最后由 elimqiu 于 2017-1-8 13:29 编辑

没有数学比得上主楞的“几只苍蝇对一只破蛋屁股”理论．

作者: 任在深 时间: 2017-1-8 21:35

elimqiu 发表于 2017-1-8 21:28
没有数学比得上主楞的“几只苍蝇对一只破蛋屁股”理论．

elimqiu已经无话可说，只能是耍一耍无赖！
只能是喝一肚子臭墨水，慢慢的往外吐？！
好恶性呀？

作者: elimqiu 时间: 2017-1-8 22:03
主楞有话说：没有数学比得上主楞的“几只苍蝇对一只破蛋屁股”理论．

作者: yangls728 时间: 2024-5-8 14:02
最近才发的新帖子：
欧几里得《几何原本》关于√2是无理数的证明违反一致性原则
杨六省
yangls728@163.com
下面关于√2是无理数的证明转引自《古今数学思想》中译本第1册第37-38页。
设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为α:β，并设这个比已表达成最小整数之比。于是根据Pythagoras定理得α2=2β2。由于α2为偶数，α必然也是偶数，因任一奇数的平方必是奇数。但比α:β是既约的，因此β必然是奇数。α既是偶数，故可设α=2γ。于是α2=4γ2=2β2。因此β2=2γ2，这样β2是个偶数。于是β也是偶数，但β同时又是奇数，这就产生了矛盾。
笔者评析：上述证明与常见的证明方法的共同点是：都把√2是最简分数作为√2不是有理数的反论题；都认可从p2=2q2（q 为整数）可以推出p是偶数。对上述证明，笔者感到困惑的是，不知道我们究竟是要否定什么？如果是想证明α和β都是整数是虚假的，那么，在反论题中就没有必要（注：准确的说法是不应该）写入α:β是既约的这样的假设条件，也没有必要（注：同上）在推理中应用它。如果是想证明α:β是既约的是虚假的，那么，推出α和β都是偶数（姑且不论这种推理是否有效）就可以达到目的，何须再推出β既是奇数又是偶数（姑且不论这种推理是否有效）这样的结论呢？接下来的情况更让笔者感到有些意外，因为它似乎不该发生。论证的前半部分依据α:β是既约的，由α是偶数（姑且不论这种推理是否有效）推出了β必然是奇数。但是，后面呢？又放弃了对α:β是既约的这一假设条件的应用。因为如果继续应用这一假设条件的话，那么，基于α是偶数，就不会推出β也是偶数的结论。结论是，在同一推理过程中，对于α:β是既约的这一假设条件，既认可它，又不认可它，这是违反一致性原则的，这样的推理是无效的。

作者: 金瑞生 时间: 2024-5-8 15:06

yangls728 发表于 2024-5-8 14:02
最近才发的新帖子：
欧几里得《几何原本》关于√2是无理数的证明违反一致性原则
杨六省

推理有效，数学界公认！你认为无效只能是自娱自乐！

作者: yangls728 时间: 2024-5-9 20:32

金瑞生发表于 2024-5-8 15:06
推理有效，数学界公认！你认为无效只能是自娱自乐！

地心说也曾是普天下公认。

作者: 金瑞生 时间: 2024-5-9 21:46
本帖最后由金瑞生于 2024-5-9 21:52 编辑

yangls728 发表于 2024-5-9 20:32
地心说也曾是普天下公认。

你把现代数学比做地心说，说明你还是活在地心说那个年代的野蛮人！脑子还没有受到科学的洗礼！大脑没还有开化！

作者: elim 时间: 2024-5-10 04:47
杨六省先生跟jzkyllcjl，老春头其实都是一样的。喜欢把拉屎说成负吃饭，等等。娱乐大家。

作者: 春风晚霞 时间: 2024-5-10 06:25
本帖最后由春风晚霞于 2024-5-10 06:36 编辑

elim 发表于 2024-5-10 04:47
杨六省先生跟jzkyllcjl，老春头其实都是一样的。喜欢把拉屎说成负吃饭，等等。娱乐大家。

e先生不知什么是∞，什么是n→∞？所以e氏数学只是囿于有限范围的算术术！

作者: elim 时间: 2024-5-10 08:10
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\)不是说有\(n\)有使得\(\large\frac{1}{n}=0\)的时候, 而是说\(0\)是\(\{\frac{1}{n}\}\)的极限.
表达式\(\lim\frac{1}{n}=0\)的极限号是不能删去的。
换句话说，\(\frac{1}{n}\)趋于\(0\)不能篡改为\(\frac{1}{n}=0\).

所以我们要问，
\(\Large\textbf{老春头为何要把}[a_n\textbf{趋于}a]\textbf{篡改成}[a_n=a]?\)

作者: 春风晚霞 时间: 2024-5-10 08:58

elim 发表于 2024-5-10 08:10
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\)不是说有\(n\)有使得\(\large\frac{1}{n}=0\)的时候, 而 ...

   既然elim承认\(\displaystyle\lim_{n→∞}\tfrac{1}{n}=0\)，就应当承认当n→∞时\(\tfrac{1}{n}=0\)！这是因为用反证法极易证明：若n→∞时\(\tfrac{1}{n}≠0\)，则\(\displaystyle\lim_{n→∞}\tfrac{1}{n}≠0\)，这与已知矛盾。
   elim先生认为【没有正整数n使得\(\tfrac{1}{n}=0
\) 所以任何时候\(\tfrac{1}{n}\)都不等于0】中的“没有” 是囿于有限而言的。elim也曾多次试图“证明”自然数集N是有限集，终因有违数理而被驳倒。也正因为elim证明不了自然数集N是有限集，故elim先生的【所以任何时候\(\tfrac{1}{n}\)都不等于0】中的”所以”是无源之水！
   elim还认为春风晚霞【把lim\(\tfrac{1}{n}=0\)篡改成了\(\tfrac{1}{n}=0\)】，想必每一个关注春氏可达的数学人都知道elim批判半年之久的春氏可达是\(\displaystyle\lim_{n→∞}\tfrac{1}{n}=0\iff (n→∞)时\(\tfrac{1}{n}=0\). elim为欺骗读者去掉n→∞这个先决条件，决非无心所失。其实质仍是为其【任何时候\(\tfrac{1}{n}\)都不等于0】诡辩！
   elim先生认为春风晚霞【公然称 0∈\(\{\tfrac{1}{n}|n∈N\}\)即存在正整数n使\(\tfrac{1}{n}=0\)，老春头的四则运算紧急缺除法。】elim先先，倒不是老春头的四则运算紧急缺除法，而是你始终把自已囿于自然数集N是有限集这个错误的认识基础上，真是一叶障目，不识泰山！

作者: elim 时间: 2024-5-10 09:16
杨六省先生跟jzkyllcjl，老春头其实都是一样的。
喜欢把拉屎说成负吃饭等等。为了娱乐大家?

作者: 春风晚霞 时间: 2024-5-10 09:18

elim 发表于 2024-5-10 09:16
杨六省先生跟jzkyllcjl，老春头其实都是一样的。
喜欢把拉屎说成负吃饭等等。为了娱乐大家?

作者: elim 时间: 2024-5-10 09:23
jzkyllcjl 评数学评了一辈子，号称解决了所有数学危机，悖论，而在他之前无人解决了这些危机。不过没人相信他，原因很简单，他一直没有算出 1除以3的十进制值。简单说来就是j老先生的四则运算弄没了除法。他的带余除法不是乘法的逆运算，而是这种逆运算的数值近似。
那么为什么说他这点上与老春头一样呢？原因更简单，因为\(1\)被\(n\)除老春头能除出\(0\)来。哪有一个猪头分成\(n\)份，每份啥都没有的道理？所以老春头的四则运算，也是紧急缺除法的。哈哈

老春头说说\(n\to\infty\)时，你分那猪头用了哪个\(n\), 或者说\(0\)是几分之一？

作者: 春风晚霞 时间: 2024-5-10 09:36

elim 发表于 2024-5-10 09:23
jzkyllcjl 评数学评了一辈子，号称解决了所有数学危机，悖论，而在他之前无人解决了这些危机。不过没人相信 ...

若把一个猪头平均分成n份，当n→∞时每份啥都没有！e先生不知什么是∞，什么是n→∞？所以e氏数学只是囿于有限范围的《算术》术！顺便也请先生指出当n→∞时哪份猪头不是0？

作者: elim 时间: 2024-5-10 09:55
\(n\to\infty\)时老春头根本没法分猪头，他说不上来 0 是哪个正整数的倒数。

既然\(n\to\infty\)时的\(\frac{1}{n}\)是\(0\), 它不是自然数倒数函数值域的成员，
\(n\to\infty\)时的\(\frac{1}{n}\)只能记为\(\lim\frac{1}{n}\)而不能记为\(\frac{1}{n}\).

\(\Large\textbf{老春头为何要把}[a_n\textbf{趋于}a]\textbf{篡改成}[a_n=a]?\)

作者: 春风晚霞 时间: 2024-5-10 10:04

elim 发表于 2024-5-10 09:55
\(n\to\infty\)时老春头根本没法分猪头，他说不上来 0 是哪个正整数的倒数。

既然\(n\to\infty\)时的\(\ ...

作者: elim 时间: 2024-5-10 10:24
\(\because\;\;a=\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\)未必等于某个\(a_k\)，
故\(n\to\infty\)时\(\lim a_n = a\) 中的极限号不能顺走。

\(\Large\textbf{老春头为何要把}[a_n\textbf{趋于}a]\textbf{篡改成}[a_n=a]?\)

作者: 春风晚霞 时间: 2024-5-10 11:12
本帖最后由春风晚霞于 2024-5-10 11:21 编辑

elim 发表于 2024-5-10 10:24
\(\because\;\;a=\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\)未必等于某个\(a_k\)，
故\(n\to\infty\)时\(\lim a ...

elim认为【∵\(a=\displaystyle\lim_{n→∞}a_n未必等于某个a_k\)，故n→∞时\(lima_n=a\) 中的极限号不能顺走。】请elim先证明\(a=\displaystyle\lim_{n→∞}a_n未必等于某个a_k\)？事实上，根据根据Weierstrass 极限定义吧〖对\(\forall ε>0，\exists N_ε>0，当n>N_ε时，恒有|a_n-a|<ε\)，则称常数a是数列\(\{a_n\}\)的极限，记为\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\)〗中的\(当n>N_ε时，恒有|a_n-a|<ε\)，不仅存在\(a=\displaystyle\lim_{n→∞}a_n等于a_k\)；而且存在无限多个\(a_k\)满足\(a=\displaystyle\lim_{n→∞}a_n等于a_k\)，这是因为\(n>N_ε\)的数本身就有无穷多个嘛！再者liman=a 中的lim只表示极限之意，并无趋向之说。
其实\(lima_n=a\)其实质就是n→∞时\(a_n=a\)，为什么这个极限号lim不能顺走？elim的一切歪理邪说都是建立在自然数集是有限集基础上的，所以elim应先有理有据地证明自然数集是有限集，并在此基础上继续你的胡说八道！

作者: elim 时间: 2024-5-11 00:17
我不过指出了你老春头的自然数观与皮亚诺公理的矛盾．
有理有据且如此简单明了直截了当的论证你都要反？你何不明说
皮亚诺纯属扯谈呢？早说你反标准分析，我们还有必要争论吗？
不论你怎么解读自然数集合，你回避不了你的数学基础与标准
分析不相容的事实！证据如下：
我们用老春头理解的无穷大及皮亚诺公理再证无穷大不是自然数.
反证法, 按照老春头,\(\infty+1=\infty\), 若\(\infty\in\mathbb{N}\), 则按照皮亚诺,
\(\infty < \infty+1\).于是有 \(\infty<\infty+1=\infty\) 的矛盾. 所以\(\infty\not\in\mathbb{N}\),
无穷大不是自然数. 即没有无穷大自然数.

作者: 春风晚霞 时间: 2024-5-11 04:56

elim 发表于 2024-5-11 00:17
我不过指出了你老春头的自然数观与皮亚诺公理的矛盾．
有理有据且如此简单明了直截了当的论证你都要反？ ...

   elim你根据【无穷大及皮亚诺公理再证无穷大不是自然数】纯属扯淡！elim先生，现行《数学分析》中∞是一个集合概念！∞±A=∞这是印度人在公元前2000年左右记录在《夜柔吠陀》一书上的真命题。你的反证法出自范秀山的《数学唯物论》吧？范氏在此基础上“证明”了“极限是坨臭狗屎”，难道你也认同吗？若真如此，简直叫人大开眼界了！
   现在我们看看elim的反证法错在哪里？elim认为【若∞∈N, 则按照皮亚诺公理,∞<∞+1于是有 ∞<∞+1=∞ 的矛盾. 所∞\(\notin N\)，无穷大不是自然数. 即没有无穷大自然数.】elim的反证法中出现了以下严重错误；
   ①、因为∞是一个集合(参见菲赫金哥尔茨著《数学分析原理》第一卷第一分册P59页9—12行无穷大的定义)，所以elim反证法中的“∞∈N”应为“∞\(\subsete N\)”；
   ②、皮亚诺公理第二条说的是“每个确定的数a都存在唯一的后继a+1，且a<a+1”，由于∞是集合，两个集合的关系只能是包含(或含于)或相等“而不是“∞< ∞+1”；
   ③、∞=∞+1是未定式，不能把这个等式作移项变形处理(参见范秀山由∞=∞+1证得0=1的谬误)；
   ④、∞\(\notin\)N应是“∞\(\subset N\).
   elim先生，你自许精通普通集合论，这些基础概念出错是大不应该的哟！elim先生，当你理解了∞是集合概念后，你还怀疑n→∞(也就是n∈表示∞的集合)时\(\tfrac{1}{n}=0\)吗？

作者: elim 时间: 2024-5-11 07:33
我就问你，你的东西为什么与皮亚诺公理矛盾，你对还是皮亚诺对？

作者: 春风晚霞 时间: 2024-5-11 07:49

elim 发表于 2024-5-11 07:33
我就问你，你的东西为什么与皮亚诺公理矛盾，你对还是皮亚诺对？

elim，我的东西一点也不与皮亚诺公理矛盾，与皮亚诺公理矛盾的是你的自然数集是有限集的怪论！

作者: elim 时间: 2024-5-11 08:36
据老春头,\(\small\infty+1=\infty\in\mathbb{N}\), 据皮亚诺,\(\small\infty < \infty+1\).
(自然数小于其后继). 于是老春头与皮亚诺产生
\(\color{Red}{\mathbf{\infty<\infty+1=\infty}}\)的矛盾．无穷加一不多减一不
少没错, 这个矛盾出于老春头楞称无穷大是自然数．

作者: 春风晚霞 时间: 2024-5-11 09:04

elim 发表于 2024-5-11 08:36
据老春头,\(\small\infty+1=\infty\in\mathbb{N}\), 据皮亚诺,\(\small\infty < \infty+1\).
(自然数小于 ...

elim，我的东西一点也不与皮亚诺公理矛盾，所以我和皮亚诺都没有错！与皮亚诺公理矛盾的是你的自然数有限论！所以有错的应该是你对皮亚诺公理的诠释！
根据现行《数学分析》你的∞=∞+1∈N，∞<∞+1=∞等表达式是错误的，因此你的错误认知不能代表标准分析！另外，你的婊子门生谈及周民强《实变函数论》3.1节可测函数的定义及其性质中所说的『允许函数取“值”±∞』并非就是把±∞作为一个数值。周民强先生明确表示这是『为了论述的简便和统一』的权宜之计。再者威氏极限定义一般是在大一上期前几课时讲，而可测函数理论一般在大二下期讲。像这种用后期学习的内容解释前期学习的内容洽当吗？

作者: elim 时间: 2024-5-11 13:27
蠢疯顽瞎复习皮亚诺公理很好．但需要补习一点：
\(n < n‘=n+1 (\forall n\in\mathbb{N})\) (皮亚诺算术)
如果\(\infty\in\mathbb{N}\), 就有\(\infty< \infty+1\)

据老春头,\(\small\infty+1=\infty\in\mathbb{N}\), 据皮亚诺,\(\small\infty < \infty+1\).
(自然数小于其后继). 于是老春头与皮亚诺产生
\(\color{Red}{\mathbf{\infty<\infty+1=\infty}}\)的矛盾．无穷加一不多减一不
少没错, 这个矛盾出于老春头楞称无穷大是自然数．

作者: 春风晚霞 时间: 2024-5-11 14:44

elim 发表于 2024-5-11 13:27
蠢疯顽瞎复习皮亚诺公理很好．但需要补习一点：
\(n < n‘=n+1 (\forall n\in\mathbb{N})\) (皮亚诺算术) ...

elim,根据皮亚诺的这五条公理第二条
『每一个确定的自然数a都有一个确定的后继数a'，且a'也是自然数』这里的“确定”有两个
方面①具体写出；②逻辑认定。elim的【皮亚诺算术：
n<n‘=n+1(∀n∈N)】可视为n为逻辑确定的自然数，而现行《数学分析》中∞是一个集合，根本就不是一个确定的自然数。∞与自然数集N之间的关系是\(∞\subset N\)，而根本不是∞∈N.
∞∈N和∞<∞+1是elim就不知道什么是∞，什么是n→∞的最好佐证！
elim为了学术上争得赢，一贯诋毁诬陷对手。所以elim你还是要点脸好吗？皮亚诺5条公理中，哪一条讲了∞<∞+1？

作者: elim 时间: 2024-5-11 23:41
n < s(n) = n+1 是皮亚诺公理的简单推论，老头楞说
无穷大是自然数，那么就有 \(\infty<\infty+1\).
但\(\infty=\infty+1\) 是无穷大的本质，
这就导致矛盾。所以没有无穷大自然数。
也就没有自然数\(n\)使得\({\large\frac{1}{n}}=0\).

作者: 春风晚霞 时间: 2024-5-12 06:52

elim 发表于 2024-5-11 23:41
n < s(n) = n+1 是皮亚诺公理的简单推论，老头楞说
无穷大是自然数，那么就有 \(\infty

   elim成篇累牍的发表帖子说【n < s(n) = n+1 是皮亚诺公理的简单推论，老头楞说无穷大是自然数，那么就有∞<∞+1。∞=∞+1 是无穷大的本质，这就导致矛盾。所以没有无穷大自然数。也就没有自然数n使得\(\tfrac{1}{n}=0\)】
elim的这段胡说八道看似有理实则大谬：
   1、elim的推论式n<s(n)=n+1是从何推出来的？皮亚诺公理第二条
『每一个确定的自然数a都有一个确定的后继数a'，且a'也是自然数』。这里的“确定”有两个层意思:①具体写出；②逻辑认定。即使elim推论式中的n是逻辑认定的自然数，也只能推出“一个确定的后继n+1”；请问elim先生，你推论式中的n<s(n)=n+1是什么意思？若s(n)放在这里是想表示有很多的n都等于n+1吗？这可与自然n的后继n+1的唯一性矛盾嘛！所以你的这个推论式有故意把水搅浑，趁浑水摸鱼之嫌！
   2、在现行的《数学分析》中∞是大于某一无论怎样大的正数\(N_ε\)的数的全体，因此∞是一个集合。这一点我们可从威尔斯特拉斯极限定义和菲赫金哥尔茨关于无穷大定义得到证明。你门生认为【第一个定义的是无穷大量，而不是∞，无穷大量本质上是函数，不是集合；第二个是在描述n→∞，而不是单独描述∞】我想请问“现代数学”的创始人，无穷大量和∞有什么区别？无穷大量的本质是函数，那么这个函数的定义域是一个数还是一个集合？无论描述n→∞，还是单独描述∞，那不都说明∞不只是单独的一个数，而是多个数的集体(集合)！
   3、春风晚霞不管你们“现代数学”派怎样辱骂始终坚持认为∞是集合，只有在集合的意义下才能合理解释《夜柔吠陀》一书中所记述的“从无限中添加或移去一部分结果仍是无限”，也就是∞±A=∞。也只有在集合的意义下才能合理的解希尔伯特的无穷宾馆命题的合理性！
   4、elim的【老头楞说无穷大是自然数，那么就有∞<∞+1。∞=∞+1 是无穷大的本质，这就导致矛盾。】这段胡扯有以下两处严重失实:
   ①、【老头楞说无穷大是自然数】，这是对春风晚霞的栽脏！春风晚霞历来坚持无穷大是自然数集的真子集(理论依据再次请你参见菲赫全哥尔茨《微积分学教程》四卷八册版笫一卷，第一分册P37页；及其《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义:若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|x_n|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大。)
   ②、∞<∞+1这个矛盾是elim始终不把∞看作集合，而看作是一个确定的自然数造成的。若把∞看作(其实本身就是)集合，就只有∞=∞+1这永真表达式了。
   elim大教主，你也够辛苦了。为反对春氏可达，你几乎篡改了所有现行数学的基础知识。与其这样劳而无功，你何不把我所有论述和你的所有辩驳写成诉状，递交法庭申请仲裁？春风晚霞随时准备参与应诉！elim教主，你觉得你的胜算有多大？

作者: yangls728 时间: 2024-6-1 11:01
已发新帖《质疑第一次数学危机的真相（续）》（2024-6-1）

作者: yangls728 时间: 2024-7-22 19:00
√2不是有理数传统证明方法的论证形式错误
杨六省
yangls728@163.com
传统的证明方法把√2=p/q（p，q互质）作为“√2不是有理数”的反论题，那么，依据反证法的要求，就应该把√2=p/q（p，q互质）作为初始条件展开推理，否则，凭什么说明反论题就是导致矛盾的原因呢？但是，在推出矛盾结论（指“p和q都是偶数”）的过程中（姑且不论这种推出是否有效），并没有用到反论题√2=p/q（p，q互质）中的“p，q互质”这一条件，这是传统证明方法的论证形式错误。仅凭这一点，就可以确认传统证明方法是无效的，因为它不是在正确的应用反证法。
破旧立新。下面是笔者对√2不是有理数给出的证明。
命题：√2不是有理数，即√2= p/q（p和q不都是整数）。
证明：假设√2= p/q（p和q都是整数）。先固定q是整数，于是有p2=2q2（q是整数）。p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。假设p是偶数。设p=2r,代入p2=2q2,得q2=2r2，同理，q是偶数；同理，r是偶数；……这样，p将含有无穷多个因数2，这与p是偶数的假设矛盾，说明p不是偶数。所以，p不是整数，命题得证。
说明：先假设q是整数是必要的，因为否则就推不出2q2是偶数；另外，这个假设也是可满足的，因为√2总可以写成√2=p/q（q是整数）的形式。
附：人教版数学课本七年级下册第58页证明：
假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得
√2=p/q，
于是                                  p=√2q.
两边平方得                            p2=2q2.
由2q2是偶数，可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.
因此可设p=2s，代入上式，得4s2=2q2，即
                                 q2=2s2.
所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.
这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.

作者: APB先生 时间: 2024-7-24 12:15

elimqiu 发表于 2017-1-1 23:30
教课书没有大错．自从可以出钱印书后，确实有一些错误百出的书上了市，例如jzkyllcjl 的书等等．但我党决不 ...

我国高校的多部教科书中都有的实数集不可数定理和对角线法证明就是大错特错 !! 错了 100 多年！！其实所谓的无理数不过是无限分数而已\[\frac{\sqrt{2}}{10}=0.1414\cdots\cdots=\frac{1414\cdots\cdots}{10000\cdots\cdots}\]

作者: yangls728 时间: 2024-7-24 18:22
发给人教社中学数学编辑室薛老师的邮件：
√2不是有理数能有两个相互矛盾的反论题吗？
薛老师好，
贵社数学课本七年级下册第58页的表述是：
假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得
√2=p/q，
……
如果上述思路是合理的，那么，也可以有
假设√2是有理数，那么存在两个非互质的正整数p，q，使得
√2=p/q，
……
但是，√2不是有理数有两个不相容的反论题√2=p/q（p，q互质）和√2=p/q（p，q非互质），这是不可能的！唯一合理的解释是，把√2=p/q（p，q互质）作为√2不是有理数的反论题是错误的。√2不是有理数的反论题只能是“√2是有理数”，即√2= p/q（p和q都是整数）。
以上看法如有不妥，请批评指正。
祝好！
杨六省

我的表述是：
命题：√2不是有理数，即√2= p/q（p和q不都是整数）。
证明：假设√2= p/q（p和q都是整数）。可固定q是整数，于是有p2=2q2（q是整数）。p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。假设p是偶数。设p=2r,代入p2=2q2,得q2=2r2，同理，q是偶数；同理，r是偶数；……这样，p将含有无穷多个因数2，这与p是偶数的假设矛盾，说明p不是偶数。所以，p不是整数，命题得证。
说明：证明中固定p是整数也可以。由于我们要证明的是p和q不都是整数，而不是p和q都不是整数，所以，务必先固定其中的一个是整数，否则，论证将无从进行。

作者: yangls728 时间: 2024-7-24 21:22
上文的那个矛盾说明：从√2= p/q（p和q都是整数）推不出√2=p/q（p，q互质）。

作者: yangls728 时间: 2024-7-25 11:45

elim 发表于 2024-7-25 11:10
楼主跟某个认为整数比 \(p/q = \sqrt{2}\) 可推出 \(\gcd(p,q)=1\) 的人较劲，只能显出楼主的愚蠢。

...

鲁迅：沉默是最高的轻蔑，讲真话是最大的勇气。
故不辩。

作者: elim 时间: 2024-7-25 21:24

yangls728 发表于 2024-7-24 06:22
上文的那个矛盾说明：从√2= p/q（p和q都是整数）推不出√2=p/q（p，q互质）。

楼主跟某个认为整数比 \(p/q = \sqrt{2}\) 可推出 \(\gcd(p,q)=1\) 的人较劲，只能显出楼主的愚蠢。

任意有理数都是某互素整数p,q之比。所以假定 \(\sqrt{2}\) 为有理数就是假定 \(\sqrt{2}\) 是某既约分数 \(\frac{p}{q}\).

作者: yangls728 时间: 2025-4-6 19:22
教科书在证明√2不是有理数过程中犯了5个错误（单页简明版）
杨六省（yangls728@163.com）
①√2=p/q（p，q 互质）能作为√2不是有理数的反论题吗？
不能。人教版（七下第58页）和北师大版（八上第24页）都把√2=p/q（p，q 互质）作为√2不是有理数的反论题，就是把有理数与无理数之间的矛盾（指√2=p/q中的p和q能否都是整数）变成了有理数系统内的矛盾（指√2= p/q中的两个整数p与q能否互质），这是方向性错误，如同用境内法代替入境法，注定失败！事实胜于雄辩：下文中的③、④、⑤均表明教科书证明中的逻辑链条是断裂的，因而论证是无效的。简言之，√2=p/q（p，q 互质）（即√2是最简分数）只是一个无意义无真假的语句而非命题，当然不能做反论题。
②由√2=p/q（p，q 都是整数）能推出√2=p/q（p，q 互质）吗？
不能。否则，以同样的理由也可以由√2=p/q（p，q 都是整数）推出√2=p/q（p，q 不互质）。但是，由√2=p/q（p，q 都是整数）推出相互矛盾的结论是荒谬的。归根结底，教科书不该对反论题√2=p/q（p，q 都是整数）的右端套用“分数总可以写成最简分数的形式”，因为它徒有分数之名（注：关于由反论题√2=p/q（p，q 都是整数）不能推出√2=p/q（p，q 互质），为了帮助理解，我们还可以举一个道理相同但更贴近生活常识的例子：某人H从未打过父亲。反论题应该是H打过父亲。但是，由反论题“H打过父亲”是推不出“H已经停止打父亲”或“H尚未停止打父亲”的，因为推理的前提条件并不真实存在）。教科书中的做法，就是把反论题“√2是分数”中的“分数”变成了它的一个下位概念“最简分数”，这是偷换概念。需要说明的是，我们务必把应用反论题参与推理和对反论题本身的推理区分开来。前者不会使反论题发生改变，但后者则不然，因而后者是不合理的推理。很明显，本文中的①与②是一致的。
③由p2是偶数能推出p也是偶数吗？
不能。理由是，教科书在证明中首先应用了q是整数这个假设，否则就无法得出p2是偶数之结论。接下来我们看到的便是“由于p2是偶数，p必然也是偶数”这一推理。如果引号中的推理是合理的，再加上此前的q是整数这个假设，那就是说，对于√2=p/q，假设q是整数，则p是偶数。由于偶数也是整数，从而说明√2可表成两个整数之比，但这与证明目的相矛盾，因此，引号中的推理是不成立的。
有人反驳说：为了否定假设，反证法要求假设必须参与后续推理以推出矛盾。那么，应用“p是整数”这个假设由p2是偶数推出p是偶数,这难道不合理吗？笔者认为，这种说法将陷于自相矛盾。理由是，当推出了p是偶数的结论后，依据反证法，理应揭示会有矛盾发生，从而才有可能否定“p是整数”这个假设。但是，教科书并没有否定“p是整数”这个假设。反驳者以为动机可用来进行反驳，殊不知动机已被实际结果所否定，故反驳无效。
④前面推出了p是偶数，后面还能推出q也是偶数吗？
不能。因为这与此前已确定了的“p，q互质”矛盾。
⑤由“p和q都是偶数”与“假设p与q互质”相矛盾能推出√2不是有理数吗？
不能。上述矛盾只能说明“p与q互质”的假设不成立，等价的说法是“p与q非互质”成立。但后者蕴涵“p和q都是整数”，所以，由上述矛盾不能推出√2不是有理数。
说明：笔者关于√2不是有理数的证明独立于其他证明，所以，笔者在说理中有理由把√2不是有理数作为论据加以应用。
阅读此文的朋友，如果你能够认可上述5条意见中的哪怕一条（5条意见均表明论证的逻辑链条已经断裂），你都可以对教科书关于√2不是有理数的证明说不！当然，④最简单。

作者: yangls728 时间: 2025-4-15 19:22
对√2不是有理数传统证明方法的5点批评（修改稿）
杨六省
yangls728@163.com
①√2=p/q（p，q 互质）不能作为√2不是有理数的反论题
√2=p/q（p，q 都是整数）是“√2不是有理数”的反论题，没有人提出异议。无论p与q是否互质都与“p，q 都是整数”不矛盾。因此，就算传统的证明方法真的推出了p和q都是偶数，也只能说明“p，q 互质”的假设不成立，而不能说明“p，q 都是整数”的假设不成立。因此，√2=p/q（p，q 互质）不能作为“√2不是有理数”的反论题。
②由√2=p/q（p，q 都是整数）不能推出√2=p/q（p，q 互质）
如若不然，以同样的理由也可以由√2=p/q（p，q 都是整数）推出√2=p/q（p，q 不互质），矛盾！这表明√2=p/q（p，q互质）不是√2=p/q（p，q 都是整数）的必然逻辑结果，也就是说，由√2=p/q（p，q 都是整数）到√2=p/q（p，q互质）的推理不是有效推理。
对①和②的另一种论证方法：
远古时期，“地球是平的”是普天下人的常识，但这种认知早已无踪无影。25个世纪以来，√2=p/q（p，q互质）（即√2是最简分数）一直被教科书视为“√2不是有理数”的反论题，换一种说法，由√2=p/q（p，q 都是整数）可以推出√2=p/q（p，q互质）是再明显不过的常识，但笔者相信，这种认知将会在不久的将来从教科书中下架，因为我们已经看到了真理：
“命题S预设命题P，是指：P的真是使S成为真或假的先决条件；如果P假，那么S没有意义，即无所谓真或假。”（彭漪涟，马钦荣主编．逻辑学大辞典[M].上海：上海辞书出版社，2004年，第156页）
预设，通俗地讲是指：说话者在说出某个话语或句子时所做的假设。例如，当我们说“p与q互质”时，当然是就p和q都是整数而言的。所以，很显然，√2=p/q（p，q互质）预设√2=p/q（p，q 都是整数）。由于√2=p/q（p，q 都是整数）为假，故√2=p/q（p，q互质）无意义无真假。由一个有意义的东西不可能推出一个无意义的东西，所以，由√2=p/q（p，q 都是整数）不能推出√2=p/q（p，q互质）。再者，既然√2=p/q（p，q互质）无意义无真假，所以，它没有资格作“√2不是有理数”的反论题。
为了帮助理解，我们不妨做个类比：√2=p/q（p，q互质）（即√2是最简分数）与“你已停止打老婆”或“你尚未停止打老婆”（前提是你从未打过老婆）的说法同样荒谬，只是由于前者距离生活常识太远，荒谬性不容易被发现罢了。
③由p2是偶数不能推出p也是偶数
理由是，传统证明方法首先应用了q是整数这个假设，否则就无法得出p2是偶数之结论。接下来我们看到的便是“由于p2是偶数，p必然也是偶数”这一推理。如果引号中的推理是合理的，再加上此前的q是整数这个假设，那就是说，对于√2=p/q，假设q是整数，则p是偶数。由于偶数也是整数，从而说明√2可表成两个整数之比，但这与证明目的相矛盾，因此，引号中的推理是不成立的（注：还可参阅笔者关于√2不是有理数的证明）。
有人反驳说：为了否定假设，反证法要求假设必须参与后续推理以推出矛盾。那么，应用“p是整数”这个假设由p2是偶数推出p是偶数,这难道不合理吗？笔者认为，这种说法将陷于自相矛盾。理由是，当推出了p是偶数的结论后，依据反证法，理应揭示会有矛盾发生，从而才有可能否定“p是整数”这个假设。但是，教科书并没有否定“p是整数”这个假设。反驳者以为动机可用来进行反驳，殊不知动机已被实际结果所否定，故反驳无效。
④前面推出了p是偶数，后面不能再推出q也是偶数
因为这与此前已确定了的“p，q互质”矛盾。
⑤由“p和q都是偶数”与“假设p与q互质”相矛盾不能推出√2不是有理数
上述矛盾只能说明“p与q互质”的假设不成立，而不能说明“p，q 都是整数”的假设不成立。因此，由上述矛盾不能推出√2不是有理数。
由上述5条中的任何一条都可以说明√2不是有理数的传统证明方法是无效的。
说明：笔者关于√2不是有理数的证明独立于其他证明，所以，笔者在说理中有理由把√2不是有理数作为论据加以应用。
感谢中国社会科学院刘新文先生向笔者推荐周礼全先生主编的《逻辑》一书。在读了此书有关章节后，笔者又查阅了逻辑学大辞典，从而使得笔者曾在《悖论：披着羊皮的狼》一书（纸质书京东有售）及有关帖文中提出的“√2=p/q（p，q互质）是无意义无真假的”之论断，在论据的表述上更为清晰和确凿。

作者: yangls728 时间: 2025-4-16 07:12

elim 发表于 2025-4-16 01:29
请楼主填补一下您的数理逻辑基础．
论证以下集论等式．您的长年纠结有望获释.
\(\mathbb{Q}=\{m/n\mid m, ...

还是鲁迅的那句话：最大的轻蔑莫过于无言。三季人可辨吗？

作者: elim 时间: 2025-4-16 07:41
请楼主填补一下您的数理逻辑基础．
论证以下集论等式．您的长年纠结有望获释.
\(\mathbb{Q}=\{m/n\mid m,n\in\mathbb{Z}, n\ne 0\} \)
\(\quad= \{ {\large\frac{p}{q}}\mid p,q\in \mathbb{Z}, q>0, \gcd(p,q)=1\}\)

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