数学中国

标题: 几何一探－最弱条件的等腰三角形证明 [打印本页]

作者: ccmmjj 时间: 2017-8-15 08:25
标题: 几何一探－最弱条件的等腰三角形证明
如图：这是从国外网站上看到的题目，从我先前所知的东西，它的条件上相对较弱。证明不简单。原网站挂了多天求解，竟然没有答案。本人想了两天，觉得可以分享，第一：它的结论是成立的，第二，它的证明是巧妙的。如有兴趣的网友，可以试证一证。

作者: chaoshikong 时间: 2017-8-15 09:11
本帖最后由 chaoshikong 于 2017-8-15 09:12 编辑

因为<AEC=<1+<2+<3，<ADB=<2+<3+<4
所以<1=<4
所以AB=AC
思路就是这样，详细过程懒得写。。。

作者: chaoshikong 时间: 2017-8-15 20:27
本帖最后由 chaoshikong 于 2017-8-15 21:33 编辑

看来没这么简单，想了很久，只得出来∠3-∠1=∠2-∠4，其它的还是没有头绪！

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-8-15 22:20
本帖最后由天元酱菜院于 2017-8-15 23:15 编辑

分别在三角形BEC和BDC中运用正弦定理，因为CE=BD,所以，CE/BC = BD/BC
可以得到 sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4) = sin(∠2+∠4)sin(∠2+∠3+∠1)

以下积化和差？

作者: 王守恩 时间: 2017-8-16 11:41

天元酱菜院发表于 2017-8-15 22:20
分别在三角形BEC和BDC中运用正弦定理，因为CE=BD,所以，CE/BC = BD/BC
可以得到 sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3 ...

天元酱菜院，我来接招，往前试一试。
1，设∠BAC=2A    1+2=3+4=90-A
      1=90-A-2    4=90-A-3
2，设BD=CE=a    BC=b
a/sin(1+3)=b/sin(1+2+3) 1=asin(1+2+3)/[bsin(1+3)] (1)
a/sin(2+4)=b/sin(2+3+4) 1=asin(2+3+4)/[bsin(2+4)] (2)
3，综合(1)，(2)
  1=sin(1+2+3)sin(2+4)/[sin(2+3+4)sin(1+3)]
=sin(90-A+3)sin(2+90-A-3)/[sin(2+90-A)sin(90-A-2+3)]
=cos(A-3)cos(A+3-2)/[cos(A-2)cos(A+2-3)]
4，试解方程1=cos(A-3)cos(A+3-2)/[cos(A-2)cos(A+2-3)]
   当2=3时，方有解。

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-8-16 22:36

王守恩发表于 2017-8-16 11:41
天元酱菜院，我来接招，往前试一试。
1，设∠BAC=2A 1+2=3+4=90-A
1=90-A-2 4=90- ...

接力回来：

设<3-<2=s,
楼上王守恩的第4点： 1=cos(A-<3)cos(A+<3-<2)/[cos(A-<2)cos(A+<2-<3)]
成为：cos(A-<2+<2-<3)cos(A+s)=[cos(A-<2)cos(A-s)]
cos[(A-<2)-s]cos(A+s)=cos(A-<2)cos(A-s)
两边分别积化和差并整理：
cos(2A-<2) + cos(<2+2s) =cos(2A-<2-s) + cos(<2 -s)
当s 不足以大到涉及周期问题时，要让上式成立，只能有s=0
即<2=<3, 于是，<1=<4, 于是三角形等腰。

作者: ccmmjj 时间: 2017-8-17 06:42
虽然写了很多，但作为证明，还是不够。

作者: chaoshikong 时间: 2017-8-18 00:30
本帖最后由 chaoshikong 于 2017-8-18 06:39 编辑

又错了，此贴做废！

作者: ccmmjj 时间: 2017-8-18 07:16
我把证明公布。

作者: denglongshan 时间: 2017-8-18 22:12
[attach]59502[/attach]
假设∠2=x,∠3=θ，其中一个结果是x=θ，还有另外几个结果无法解释。

作者: 王守恩 时间: 2017-8-19 06:58

王守恩发表于 2017-8-16 11:41
天元酱菜院，我来接招，往前试一试。
1，设∠BAC=2A 1+2=3+4=90-A
1=90-A-2 4=90- ...

1，设∠BAC=2A    A+1+2=A+3+4=90
2，为书写方便，不妨设A=30  1=20  3=K-20
  三角形BCD  BD/BC=sin(K+60)/sin(80)  (1)
  三角形BCE CE/BC=sinK/sin(K+40)    (2)
3，综合  sin(K+60)/sin(80)=sinK/sin(K+40)
4，1=sinKsin(80)/[sin(K+40)sin(K+60)]
   解得K=60。

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-8-22 23:17
本帖最后由天元酱菜院于 2017-8-23 00:27 编辑

1)  本题有一个前提： ∠1+∠3和∠2+∠4都是锐角。（否则不可能等腰）可看作蕴含在题目中的约定。
2)  本题∠BAC 不限定为锐角，∠BEC和∠BDC也不限定为锐角。这些情况下本题同样成立。
3)  不妨设∠3-∠2=s， s>=0    （由对称性，也可以设∠2>=∠3, 以下过程是完全相似的）;
   已知∠1+∠2=∠3+∠4= π/2 - 0.5*∠BAC，  有∠1=∠3+∠4-∠2= ∠4+s  ;
   于是，又有s<∠1<π/2

4) 分别在三角形BEC和BDC中运用正弦定理，因为CE=BD, 所以，CE/BC = BD/BC
   可以得到 sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4) = sin(∠2+∠4)sin(∠2+∠3+∠1)

以下分三种情况讨论：
4-1） ∠2+∠3+∠4 = π/2 时
      (顶角较大，譬如是钝角；E、D离BC边较近时∠BDC为直角或钝角是可能的）

      sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4)=sin(∠1+∠3)*1=sin(∠2+∠4+2s) ，
   因∠1+∠3=∠2+∠4+2s  是锐角、 2s>=0;
   所以 sin(∠2+∠4+2s)>=sin(∠2+∠4)>=sin(∠2+∠4) sin(∠1+∠2+∠3)
   而sin(∠2+∠4)sin(∠1+∠2+∠3)=sin(∠2+∠4)sin(∠2+∠3+∠4+s)=sin(∠2+∠4)sin(π/2+s)
   所以，仅当s=0时等号成立。于是，∠3=∠2，∠1=∠4；本题得证

4-2）∠2+∠3+∠4 > π/2 时
   ∠1+∠2+∠3=∠2+∠3+∠4+(∠1-∠4)=∠2+∠3+∠4+s，也大于π/2，所以，π-∠1-∠2-∠3 <= π-∠2-∠3-∠4 < π/2
   于是：
   sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4)=sin(∠2+∠4+2s)sin(π-∠2-∠3-∠4)
   >=sin(∠2+∠4)sin(π-∠2-∠3-∠4-s)=sin(∠2+∠4)sin(∠1+∠2+∠3)
   且仅当s=0时等号成立。于是，本题得证。

4-3）∠2+∠3+∠4 < π/2 时，设∠2+∠3+∠4为R
   sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4) =sin(∠1+∠2+s)sin(R)=sin(R) sin(∠1+∠2)cos(s) + sin(R)sin(s)cos(∠1+∠2)
=sin(R)sin(∠1+∠2)cos(s)+sin(s) sin(R)cos(∠1+∠2) + [ sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2) - sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2)] ........(加一项、减一项)
=sin(R)sin(∠1+∠2)cos(s)+sin(s)sin(R-∠1-∠2) +sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2)
=sin(R)sin(∠1+∠2)cos(s)+sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2)+sin(s)sin(∠3+∠4-∠1)
=sin(∠1+∠2)sin(R+s) + sin(s)sin(∠2)
=sin(∠2+∠4+s)sin(∠2+∠3+∠4+s) + sin(s)sin(∠2)>=sin(∠2+∠4)sin(∠1+∠2+∠3)

   且仅当s=0时等号成立。于是本题得证。

至此本题证完。

作者: 王守恩 时间: 2017-8-24 08:42
[attach]59692[/attach]

作者: 谢芝灵 时间: 2017-8-24 11:39
本帖最后由谢芝灵于 2017-8-24 03:42 编辑

楼主的题我证明了。
图传不上

作者: ccmmjj 时间: 2017-8-25 00:06

谢芝灵发表于 2017-8-24 03:39
楼主的题我证明了。
图传不上

可以点高级模式，图片上传。如果不行，看一下右上方有没有没成全文本模式，如有，点击改变。

作者: chaoshikong 时间: 2017-8-25 09:27

谢芝灵发表于 2017-8-24 11:39
楼主的题我证明了。
图传不上

谢芝灵：这个推理是错误的！因为：∠3＞∠2 不能得到：CD＞BE。只有在同一个三角形中（或全等三角形中才有楼主的∠3＞∠2 得CD＞BE），楼主预先把△BEC与△BDC 视为全等了。所以这个证明是错误的。发表于 2017-8-24 09:25

请你搞搞清楚，，人家有两个条件，虽然是两个不同的三角形，但有两条边分别相等，的情况下，夹角越大对边越大，对边越大则夹角越大。。。
所以∠3＞∠2 可以得到 CD＞BE

作者: chaoshikong 时间: 2017-8-25 23:03

谢芝灵发表于 2017-8-24 11:39
楼主的题我证明了。
图传不上

先把图用电脑打开，保证清晰度的情况下，尽量缩小，然后截图，一个图太大了，则截图成两个，三个发，看看你的高级证明比楼主的高在哪里。

作者: 红树 时间: 2017-8-26 22:13
本帖最后由红树于 2017-8-26 22:22 编辑

手机拍照图片，截图，无法上传，不知怎么回事，手机拍照图片发送微信好友，重新下载图片，可以上传手机拍照图片，手机拍照图片，重新下载图片，可以上传图片

作者: 红树 时间: 2017-8-26 22:26
[attach]59755[/attach]

作者: 红树 时间: 2017-8-27 06:21
手机拍照图片，截图，无法上传，不知怎么回事，手机拍照图片发送微信好友，重新下载图片，可以上传手机拍照图片，手机拍照图片，重新下载图片，可以上传图片

作者: 谢芝灵 时间: 2017-8-27 12:42
本帖最后由谢芝灵于 2017-8-27 05:16 编辑

ccmmjj 发表于 2017-8-17 23:16
我把证明公布。

以楼主 2# 的图为准，再扩充：
EG交AC于Q点，
再用楼主的原理在AB方向做等腰三角形BDT：即 BD=DT
DT交AB于P，
EG和DT相交H，得到平行四边形 HEFD，
所以∠HDF=∠HEF  ，得等腰△EGC≌△DTB    （i）
作OC∥BF，作BO∥CF，得 CO与BO相交于O
得到：平行四边形HEFD∽平行四边形FBOC
得到两种可能性
（一）HE：FC=HD：FC
（二）  HE：FB =  HD  ：FC    （1）
先解（一）： ED此时还不确定平行于BC
得到：∠DEC=∠DBC和 ∠EDB=∠ECB
               得到 EDCB共圆，得 ∠1=∠4
结合已知 ∠1+∠2=∠3+∠4
可证得：AB=AC
再解（二）：ED肯定平行BC，
又可证得 △PHE∽△EFB    （角，角）
得：PE：EB=HE：FB          （2）
同理得：QD：DC=HD：FC    （3）
由上面（1）（2）（3）得：PE：EB=QD：DC       （4）
由已知 BD=CE，得到 EQ=DP                               （5）
所以 QG=PT    （等量减等量）
所以得 △CGQ≌△BPT 边角边见上（i）和（5）
得 QC=PB
再结合（4）得到 EB=DC
就证得了 ∠ABC=∠ACB 得 AB=AC

注：上面（一）与（二）的区别：（一），即ED此时还不确定平行于BC；（二），即 ED肯定平行BC，

作者: chaoshikong 时间: 2017-8-27 14:08

谢芝灵发表于 2017-8-27 12:42
以楼主 2# 的图为准，再扩充：
EG交AC于Q点，
再用楼主的原理在AB方向做等腰三角形BDT：即 BD=DT

你是如何得到四边形 HEFD是平行四边形的？？？

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-8-27 14:42
本帖最后由天元酱菜院于 2017-8-27 15:52 编辑

但我认为楼主的2楼证明无可挑剔。

1）他做了一个平行四边形。（对边平行且相等）

2）三角形EGC等腰。【由 1）的关系，EG与BD 平行且相等; 而BD=EC是已知，所以EG=EC）

3) 其实此时已有 <1+<6 = <4+<5 (等腰三角形底角)

如果<4  > <1,  则<6  >  <5 从而CD>DG =BE
但如果 <4 >1  由已知可得<2  > <3,

在三角形BCD和三角形BCE中， BC 公用边， EC=BD 是已知
两边分别相同，夹角大者对边较大，得BE>CD。（这，分别使用余弦定理也可得出同样结论。）

这个矛盾说明不能有<4 > <1。
同样不能有<1 >  <4.

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-8-27 16:12
本帖最后由天元酱菜院于 2017-8-27 17:04 编辑

天元酱菜院发表于 2017-8-27 14:42
但我认为楼主的2楼证明无可挑剔。

1）他做了一个平行四边形。（对边平行且相等）

好，不用大边对大角，用余弦定理可以吧，在三角形abc和三角形def中，a=d, b=e C角大于F角；各自用余弦定理，也可得出c>f。
余弦函数，在（0，π）区间是减函数。所以，即使夹角大于90度也没得问题。

作者: 谢芝灵 时间: 2017-8-27 20:04

谢芝灵发表于 2017-8-27 04:42
以楼主 2# 的图为准，再扩充：
EG交AC于Q点，
再用楼主的原理在AB方向做等腰三角形BDT：即 BD=DT

两个平行四边形，一个角对应相等。

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-8-27 21:27
本帖最后由天元酱菜院于 2017-8-27 21:29 编辑

不赞成随意贬低别人。
某伟人说过世界上怕就怕认真二字，数学人就最讲认真。
我们争辩也是因为要追求真理，同时也要学习人家的思路和技巧。
数学思维也是首先刁难自己，而后找理由否定刁难，理由找对了就通了。

——这是对25楼点评人说的。
——在自己的贴下，怎样与点评人交流，我还不知道方法

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-8-28 21:13
本帖最后由天元酱菜院于 2017-8-28 22:29 编辑

例：
三角形ABC，A坐标（0,10），B坐标（0,0），C坐标（3,0）;
D为AC上一点，坐标（保留四位小数）（1.5765,  4.7450）；E为AB上一点，坐标（0,4）
这个三角形是直角三角形，不会有AB=AC。可以仿效本帖原题做出BD和CE,  并有BD=CE=5
可以有<1，<2，<3，<4，但<1+<2  不等于 <3+<4
可以仿效2楼做出G点，（1.5765,  8.7450），可以仿效22楼做出T点（-1.4235, 8.7450）
BD交CE于F, DT交EG于H
如此做出的四边形HEFD,由于两对边分别平行，当然是平行四边形；对角也当然相等。
可效仿22楼做出O点，使四边形FBOC两对边分别平行。
并且，HEFD与FBOC的两组对角分别相等。
+++++++
22楼的一切条件都具备。居然能证明这是等腰？

问题还是出在平行四边形的相似上。

比如，某平行四边形（1,0），（2,0），(1,1)，（0，1）
它和（1,0），（2.1 , 0），（1.1,1），（0,1）  并不相似。

回到本题，如果抛弃<1+<2=<3+<4的条件，是不能正确地证明出来的。
（22楼相似后面所写内容，实际上只要落实到四点共圆，根据等弦对等圆周角，就有<B等于<C, 是用不着<1+<2=<3+<4的。）
（那么他的第二种情况，ED//CB, 由于对角线相等，这是等腰梯形，等腰梯形四角共圆）

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-8-29 17:25
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-9-1 08:10 编辑

我不行了，但看到网友们的上述争论，根据笔者的几何学需要极限概念的思想，勉强写了对1楼问题的数学分析的证法。请网友审查。我的解法草写如下。首先记: ∠B=(90-∠A/2-x)度，∠C=(90-∠A /2 +x)度，不妨设BC=1，∠1=10度，则∠3=(80-∠A /2-x)度，则AB=sin(90-∠A /2 +x)/sin∠A ;AC=sin(90-∠A/2-x)/sin∠A ; BD=sin(90-∠A /2 +x )度 /sin(∠A+10)度；CE=sin(90-∠A /2 -x)度/ sin(∠A +∠4)，根据BD=CE的条件，得∠4=arcsin(cos（ ∠A/2+x ) * sin(∠A +10）/cos（∠A /2 -x ）)- ∠A.显然，当x=0 时，∠4=∠1=10度，∠3=∠2=80-∠A/2，AB=AC，且满足∠4+∠3=∠2+∠1的条件。下边考虑x不等于0的情形，这时，首先需要考虑∠4+∠3=∠2+∠1的条件。根据上述表达式，得到： ∠3=（80-∠A/2-x），∠2=(90-∠A /2 +x -∠4)，∠1+∠2=(100-∠A /2 +x -∠4)；∠3+∠4=（80-∠A/2-x+∠4），于是得(100-∠A /2 +x -∠4)=（80-∠A/2-x+∠4），化简后得 10+x=∠4 ，再根据上述∠4的表达式，得：
10+x= arcsin(cos（ ∠A/2+x ) * sin(∠A +10）/cos（∠A /2 -x ）)- ∠A.
记：f(x)= 10+x - arcsin(cos（ ∠A/2+x )/cos（∠A /2 -x ） * sin(∠A +10）)+ ∠A ,
根据上述研究，已知: x=0是这个函数的一个0点，还需要证明：这个函数在区间（0，80）上没有异于x=0的其它0点。才可以说必有AB=AC成立。为此，设x=∠A/2, 得f(x)=10+3∠A/2- arcsin(cos∠A * sin(∠A +10）)> ∠A/2>0, 再研究这个函数的导数，得f’(x)=1-(1/√(1- (cos（ ∠A/2+x )/cos（∠A /2 -x ） * sin(∠A +10）^2 )* sin(∠A +10）* (-sin∠A)/(cos（∠A /2 -x ）)^2 =1+ sin(∠A +10）* sin∠A)/ ((cos（∠A /2 -x ）)^2 *√(1- (cos（ ∠A/2+x )/cos（∠A /2 -x ） * sin(∠A +10）^2 ))>0,故这个函数f(x)在区间（0，80）上恒大于0，在题设的条件下，必有AB等于 AC成立。

作者: denglongshan 时间: 2017-8-29 19:20
过来看看泰博定理。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-8-30 17:33

denglongshan 发表于 2017-8-29 11:20
过来看看泰博定理。

泰博定理如何叙述？

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-8-31 23:00
我29楼的证明，很草率，怎么没人提出问题呢？我只是觉得几何理论中的点、线、面，平行公理，勾股弦定理都与极限有关，所以使用了函数导数的极值理论叙述了楼主问题的证明。是不是做的对？是不是不能用纯几何方法证明了？请网友研究分析。

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-9-1 16:39
对曹老的证明的一些想法：
1）曹老为何要预设角1为10度呢？  这不是【不妨】。
   按曹老的方法，实际上是可以不必预设其为10度的。
2）曹老的反三角函数，是否论证过角4+A落在反三角函数的定义域内？
      即他确定不会大于90度？严格要求应该论证一下，或后面引用时小心处理一下多值问题。
3）曹老用导数（在0到80度间）恒正，从而证明x在大于0的点，f都会大于0.
这一思路和方法是好的。也是可以给我们以启发的。

既然曹老邀请评价一下他的证法，我就斗胆直叙。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-1 17:05
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-9-3 04:20 编辑

天元酱菜院发表于 2017-9-1 08:39
对曹老的证明的一些想法：
1）曹老为何要预设角1为10度呢？这不是【不妨】。
按曹老的方法，实际 ...

谢谢你。你的1）说的对，可以把10度改一下，这个工作请你做吧！你这个想法就是进步！希望你做做，我确实老了。
你的2）也说的对，请你论证吧！修改吧1 我支持你做做这个工作，我确实老了。

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-9-2 23:38
本帖最后由天元酱菜院于 2017-9-9 11:19 编辑

@王守恩；先握个手，我们合作成功了。

曹老给了一个证明方法，前面和我们的证法其实大同小异，后面使用了微分。
曹老希望能对他的方法予以完善，那就引进微分的证法，把我们的烂尾楼建成。
一方面对曹老微分证法的正确使用有一个交代，另一方面也对你我的劳动和思考有一个交代。

1）设∠BAC 的取值为2A，【 2A∈（0，π）】；有∠1+∠2+∠3+∠4+2A=π
   不失一般性，设∠4 =（π-2A）/2 -∠2 - s    （s>=0）
               (也可设∠1 =（π-2A）/2 -∠3- s;    以下的证明过程是完全相似的）

   于是，  ∠2+∠4=(π-2A)/2  -s             （可见，∠2+∠4为锐角）
               ∠1+∠3=π-2A- (∠2+∠4)= （π-2A）/2 +s
（谢谢曹老指正，这里的论述改为：  【∠1+∠3应为锐角，否则不可能等腰。所以，这里又有A>s】）

      有: (∠1+∠3)  -  (∠2+∠4) = 2s；          （可见有 π/2  > ∠1+∠3 >2s; 即s<π/4, 后面将使用作为s的定义域）

      由已知：∠1+∠2=∠3+∠4; 有 ∠1-∠4 = ∠3 - ∠2
      结合（∠1+∠3）-（∠2+∠4）=2s    又有： (∠1-∠4)= (∠3-∠2)=s ;
      再根据∠1+∠2=∠3+∠4  =（∠1+∠2+∠3+∠4）/2 =(π-2A)/2
   又可得到 ∠1=π/2 - A - ∠2；
               ∠4=π/2 - A - ∠3 ....................(1)

   以上我们小心翼翼定义s变量，是为了使A和∠2不随s变化。不论∠BAC取定(0,π)内的何值（A=∠BAC/2）,
   并且在A取定后，∠2取定（0，π/2-A）内的何值，以下论述均成立，且A和∠2 均可作为（参数）常数来使用。

2）  分别在三角形BEC和BDC中运用正弦定理，因为CE=BD, 所以，CE/BC = BD/BC
   可以得到 sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4) = sin(∠2+∠4)sin(∠2+∠3+∠1)...............(2)
   由于∠1=π/2 - A -∠2; ∠4= π/2 -A-∠3
   (2)式左边成为  sin(π/2 - A - ∠2+∠3)sin(π/2-A+∠2) = cos (A- s) cos(A-∠2)
   (2)式右边成为  sin(π/2 - A -∠3+∠2) sin(π/2-A+∠3) = cos (A+s)cos(A-∠2-s)
   左边-右边为0，  即有：  cos(A-s) cos(A-∠2) - cos(A+s)cos(A-∠2-s)=0
   （这一部分请参见王守恩贴）

3）设函数 f(s)=cos(A-s) cos(A-∠2) - cos(A+s)cos(A-∠2-s)    （s∈[0,π/4 ）
      考虑：
      当s=0时，直接代入计算可得 f(0)=0

4) 求f(s)在 [0，π/4）区间的导函数
   f ' (s) = sin(A-s)cos(A-∠2)  + sin(A+s)cos(A-∠2-s) - sin(A-∠2-s)cos(A+s)
            =sin(A-s)cos(A-∠2)  + sin(∠2+2s) .........(3)

   注意到：锐角∠1+∠3 = ∠2+2s + ∠4, 即有：∠2+2s < ∠1+∠3< π/2
   (3)  式中 A和∠2均属于（0，π/2）所以 A-∠2属于（-π/2, π/2）,  有 cos(A-∠2) >0

   结合 A> s 条件，有 sin(A-s)cos(A-∠2) >0 ，sin(<2+2s)>o ;
   即有： f ' (s)  >0       (0<= s <π/4)

   即f ' (s) 在【0，π/4) 区间总是正的。

5）依据拉格朗日中值定理， f(s) 在区间（0，π/4）内各点的函数值都是大于f(0)=0的。
   于是，只有s=0 时，才会有 cos(A-s) cos(A-∠2) - cos(A+s)cos(A-∠2-s)=0
   从而证明：本命题。

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-9-3 00:05
本帖最后由天元酱菜院于 2017-9-9 11:19 编辑

王守恩发表于 2017-8-16 11:41
天元酱菜院，我来接招，往前试一试。
1，设∠BAC=2A 1+2=3+4=90-A
1=90-A-2 4=90- ...

@王守恩；先握个手，我们合作成功了。

曹老给了一个证明方法，前面和我们的证法其实大同小异，后面使用了微分。
曹老希望能对他的方法予以完善，那就引进微分的证法，把我们的烂尾楼建成。
一方面对曹老微分证法的正确使用有一个交代，另一方面也对你我的劳动和思考有一个交代。

1）设∠BAC 的取值为2A，【 2A∈（0，π）】；有∠1+∠2+∠3+∠4+2A=π
   不失一般性，设∠4 =（π-2A）/2 -∠2 - s    （s>=0）
               (也可设∠1 =（π-2A）/2 -∠3- s;    以下的证明过程是完全相似的）

   于是，  ∠2+∠4=(π-2A)/2  -s             （可见，∠2+∠4为锐角）
               ∠1+∠3=π-2A- (∠2+∠4)= （π-2A）/2 +s
   （谢谢曹老指正，这里的论述改为：  【∠1+∠3应为锐角，否则不可能等腰。所以，这里又有A>s】）

      有: (∠1+∠3)  -  (∠2+∠4) = 2s；          （可见有 π/2  > ∠1+∠3 >2s; 即s<π/4, 后面将使用作为s的定义域）

      由已知：∠1+∠2=∠3+∠4; 有 ∠1-∠4 = ∠3 - ∠2
      结合（∠1+∠3）-（∠2+∠4）=2s    又有： (∠1-∠4)= (∠3-∠2)=s ;
      再根据∠1+∠2=∠3+∠4
   又可得到 ∠1=π/2 - A - ∠2；
               ∠4=π/2 - A - ∠3 ....................(1)

   以上我们小心翼翼定义s变量，是为了使A和∠2不随s变化。不论∠BAC取定(0,π)内的何值（A=∠BAC/2）,
   并且在A取定后，∠2取定（0，π/2-A）内的何值，以下论述均成立，且A和∠2 均可作为（参数）常数来使用。

2）  分别在三角形BEC和BDC中运用正弦定理，因为CE=BD, 所以，CE/BC = BD/BC
   可以得到 sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4) = sin(∠2+∠4)sin(∠2+∠3+∠1)...............(2)
   由于∠1=π/2 - A -∠2;  ∠4= π/2 -A-∠3
   (2)式左边成为  sin(π/2 - A - ∠2+∠3)sin(π/2-A+∠2) = cos (A- s) cos(A-∠2)
   (2)式右边成为  sin(π/2 - A -∠3+∠2) sin(π/2-A+∠3) = cos (A+s)cos(A-∠2-s)
   左边-右边为0，  即有：  cos(A-s) cos(A-∠2) - cos(A+s)cos(A-∠2-s)=0
   （这一部分请参见王守恩贴）

3）设函数 f(s)=cos(A-s) cos(A-∠2) - cos(A+s)cos(A-∠2-s)    （s∈[0,π/4 ）
      考虑：
      当s=0时，直接代入计算可得 f(0)=0

4) 求f(s)在 [0，π/4）区间的导函数
   f ' (s) = sin(A-s)cos(A-∠2)  + sin(A+s)cos(A-∠2-s) - sin(A-∠2-s)cos(A+s)
            =sin(A-s)cos(A-∠2)  + sin(∠2+2s) .........(3)

   注意到：锐角∠1+∠3 = ∠2+2s + ∠4, 即有：∠2+2s < ∠1+∠3< π/2
   (3)  式中 A和∠2均属于（0，π/2）所以 A-∠2属于（-π/2, π/2）,  有 cos(A-∠2) >0

   结合 A> s 条件，有 sin(A-s)cos(A-∠2) >0 ，sin(<2+2s)>o ;
   即有： f ' (s)  >0       (0<= s <π/4)

   即f ' (s) 在【0，π/4) 区间总是正的。

5）依据拉格朗日中值定理， f(s) 在区间（0，π/4）内各点的函数值都是大于f(0)=0的。
   于是，只有s=0 时，才会有 cos(A-s) cos(A-∠2) - cos(A+s)cos(A-∠2-s)=0
   从而证明：本命题。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-3 16:34

天元酱菜院发表于 2017-9-2 16:05
@王守恩；先握个手，我们合作成功了。

曹老给了一个证明方法，前面和我们的证法其实大同小异，后面 ...

数学需要大家努力。谢谢你使用有极限性质的导数分析方法，谢谢你参与我的讨论。
看了你的帖子的前边，你说的“可见 ∠1+∠3也为锐角” 需要需要取 s<A。请你考虑。

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-9-3 22:50
本帖最后由天元酱菜院于 2017-9-4 02:16 编辑

jzkyllcjl 发表于 2017-9-3 16:34
数学需要大家努力。谢谢你使用有极限性质的导数分析方法，谢谢你参与我的讨论。
看了你的帖子的前边， ...

说明：
1）  ∠1+∠3=∠ABC，他必须为锐角，否则就不可能等腰了。（∠2+∠4也是如此）

   所以，∠1+∠3和∠2+∠4均为锐角应是题设。只不过本题没有在题设中明确说出来而已。
   我在另一种证法（参看第一页）中申明过这一点。
   （因为该证法利用了正弦函数在1象限的单增性质，所以必须先明确一些角是1象限角）

   本证法应该先说明这是题设，确认一下∠1+∠3为锐角。（后面还真用到了这个条件）
   s<A这个要求是要有的，否则，∠1+∠3 将成为钝角或直角。不过，逻辑上是先有∠1+∠3为锐角，后有s<A要求。
   所以，我在这里的行文逻辑是不对的。
   在这里，曹老指出我在行文时的不谨慎，曹老的意见是正确的。
   （在证明过程中，没有用到s<A这个性质，所以，这里可以提也可以不提s<A,但不能以这样的逻辑提出∠1+∠3为锐角）

      在证明过程中，如果使用这一性质，在论证f ' (s)恒正时，就可免去讨论sin(A-s)可能为0为负的情况。
      即在论证了cos(A-∠2)为正后，即可直接宣布  sin(A-s)cos(A-∠2)  + sin(∠2+2s)  恒正。

2）  顶角角度被设为2A。因为等腰三角形对顶角的要求非常宽泛，顶角可以非常大，接近于π也没关系，也可以很小。
   顶角大则给了s变化的余地大一些，顶角小则s的变化受限更严厉一些。
（题外话：曹老的那个反三角函数，角4+A还真可能大于90度，因为曹老定义的A就是顶角，其本身就可以大于90度）

3）小心翼翼定义A和∠2，主要是为了使他们不随s变而变，否则，后边的微分就有问题了。
   A的定义没有任何限制，（可以大到接近于π/2，也可小到接近于0）；
   ∠2的定义只限定他小于（π/2-A）,这个限定在【设∠4=(π-2A)/2-∠2-s】中体现。
   因为这一证法其实是先假定∠2+∠4不大于∠1+∠3，其差异是2s; 所以∠4不能大于(π-2A)/2
   这个假定由对称性，也可以假定∠2+∠4不小于∠1+∠3，其证法其实只是调换∠1∠2∠3∠4几个符号而已。

4)  本证法的逻辑是，首先取定参数A，只要A在一象限，随便取。
   取定A后，在0到 (π-2A)/2范围内取定∠2，也是随便取，只要不出这个范围就行、
   取定A和∠2后，在实际取得的A和∠2限定下，由∠4给予s变动空间，。
   即实际是在s<A限定下让∠4+s 来等于（π/2-A-∠2）；
   由A和∠2这两个参数的足够完整性，而涵盖命题的各种可能情况。

5）至于s的定义域，放宽到π/4是完全涵盖了s的实际的定义域。s确切的定义域是
   【0，π/2-A-∠2)  、【0，π/4) 和【0，A）三个区间中的较小者。

   f ' (s) 本身是可以定义到全体实数集上的，本题有意义的定义域如上所述，
   在 0 到π/4区间 f ' (S) 一直为正，虽可能超出实际有意义的定义域，但不影响我们的结论。

6）感谢曹老的指正，谢谢曹老。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-6 23:09

天元酱菜院发表于 2017-9-3 14:50
说明：
1） ∠1+∠3=∠ABC，他必须为锐角，否则就不可能等腰了。（∠2+∠4也是如此）

对你的说明，我说过支持。但是对你的第一点说明中“均为锐角应是题设。只不过本题没有在题设中明确说出来而已”的说法，还觉得不一定妥当。我希望把不是锐角的情况，也证一下。

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-9-7 16:20

jzkyllcjl 发表于 2017-9-6 23:09
对你的说明，我说过支持。但是对你的第一点说明中“均为锐角应是题设。只不过本题没有在题设中明确说出来 ...

假如角1+角3 不是锐角，显然不会是等腰三角形。

猜想很可能会是：角1+角2=角3+角4 与 BD=CE 两个条件不可能同时具备。

我们可以证明一下这个猜想。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-7 16:26
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-9-9 02:25 编辑

天元酱菜院网友、同志：谢谢你给我指出了错误。我删除下边论述。

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-9-8 22:29
本帖最后由天元酱菜院于 2017-9-8 22:41 编辑

jzkyllcjl 发表于 2017-9-7 16:26
天元酱菜院网友、同志：谢谢你给我指出了错误。我觉得从等腰三角形，可以推出1楼的两个条件，这是一个命题 ...

在等腰三角形BAC(A为顶角)的AB边上任选一点E，过E做底边BC平行线交AC于D, 则ABCDE各点的构成与本题相同。
易证明两个条件都成立。 ——即，曹老所说的原命题。
本题确实是这一命题的逆命题。

这个逆命题应该有两部分组成，1）角B或角C不为锐角时，本题的两个条件(AE=BD 和  角1+角2=角3+角4) 不会同时成立。 2）角B和角C均为锐角时，依本题两条件可推出ABC等腰。

曹老试图证明凡符合本题给出的两条件的三角形，必为等腰。在逻辑上是没错的。是一举把上述两步一并完成。

但证明过程中，x< π/4的限定是误算。【现在研究<B 大于直角的情形，此时的极端情形不在于A接近于π/4，极端情形是A很小，接近于0 的时候，即，A和角2、角4都很小，角1和角3很大的情形】
x的限制应为小于π/2

反例： A=5度（角BAC为10度）, <2 = <4 =5度， <3 = <1 =80度；  x=75度

（当然，按此角度BD未必等于CE,这属于本贴所论的第一部分，但按曹老的证法，却应假设角B不论是否为钝角在两条件全满足条件下亦有题目所论结果，故假设这一角度下两条件成立）

90度 - A - x = <2+<4; 90度 - A +X = <1 + <3;  <1=<4+X, <3=<2+x ,  <1+<2=<3+<4
诸条件均符合。

此时，f ' (x) = cos(A-角2）sin(A-x) +sin(2x+角2) = cos(0)sin(5-75) + sin(150+5)
   = sin(25度）- sin(70度）是小于0 的。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-9 01:13
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-9-8 17:18 编辑

天元酱菜院发表于 2017-9-8 14:29
在等腰三角形BAC(A为顶角)的AB边上任选一点E，过E做底边BC平行线交AC于D, 则ABCDE各点的构成与本题相同 ...

我说的意思是：∠B 大于直角的情形，但∠B大于直角的度数可以是无限接近于直角，所以此时A 可以是小于而无限接近于于π/4的. 而∠C=π/2-A-x 必须大于0,所以x仍应小于π/4.
不过你提出的问题，我可以接受。

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-9-9 02:03
本帖最后由天元酱菜院于 2017-9-9 02:49 编辑

现在证明：在<1+<3 不是锐角情况下，不会有【 BD=CE 与  <1+<2 = <3+<4 两条件同时成立】

假若<1+<3 >= 90度,  且上述两条件成立，
我们还是从以下式子出发。
  sin(<1 + <3) sin( <2 +<3+<4)= sin(<2 + <4) sin(<1+<2+<3)
<1 + <3 >=90 ,  <1+<2+<3  比前者为大，会大于90，
因为 180-<1 - <2 - <3  = <A + <4 >0 , 所以  180- <1-<2 - <3 介于 0到90之间（不含90）。
180- <1-<3 = <A + <2+ <4 >0 所以 180- <1-<3 介于0到90之间（含90）

sin( <A +<2+<4) sin (<2+<3+<4) = sin(<2+<4) sin(A+<4) .........(1）
(1)式中， <2+<3+<4 不能为锐角或直角。
否则：  锐角或直角 <A+<2+<4  >  <A+<4, 锐角或直角 <2+<3+<4  >  <2+<4
根据正弦函数在（0,90】区间严格单增性质，(1)式等号左边大于右边，（1）不能成立

当<2+<3+<4 >90度时， 180-<2-<3-<4 =<A +<1 为锐角
（1）式变为：
sin(<A +<2+<4)sin(<A+<1) = sin(<2+<4)sin(<A+<4) ..............（2）
(2）式中这四个角度均为锐角或直角
但 <1+<3为钝角或直角时， <1+<3  > < 2+<4
由已知 <1+<2 =<3+<4  有 <3=<1+<2-<4 有 <1+(<1+<2-<4)  >  <2+<4
即 <1  > <4，即有 <A+<2+<4  >  <2+<4, <A+<1 > <A+<4
(2)式左边两角分别大于右边两角，由正弦函数在一象限的严格单增性质，(2)式不会成立。

即：当<1+<3为钝角或直角时，两条件不会同时成立。
当<2+<4为钝角或直角时，两条件不会同时成立的证明与此相仿

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-9-9 02:15
本帖最后由天元酱菜院于 2017-9-9 02:20 编辑

jzkyllcjl 发表于 2017-9-9 01:13
我说的意思是：∠B 大于直角的情形，但∠B大于直角的度数可以是无限接近于直角，所以此时A 可以是小于 ...

为了涵盖全部情形，应涵盖 B接近于平角时的情况。 B接近于直角时更靠近于正常情况，以至于f‘’（x）还是正的，而当B更大时，f ' (x) 的正负将发生变化。请看那个反例。

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-9-9 11:06

jzkyllcjl 发表于 2017-9-7 16:26
天元酱菜院网友、同志：谢谢你给我指出了错误。我删除下边论述。

曹老不必客气。
我也是退休人员，不过刚刚退休没几年。论年龄比您小很多。

虽然我并不赞成您的一些改革意见，但对于您锲而不舍、精神上老有所依的活法，还是钦佩的。
祝您老健康、快乐吧

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-9 11:17

天元酱菜院发表于 2017-9-9 03:06
曹老不必客气。
我也是退休人员，不过刚刚退休没几年。论年龄比您小很多。

谢谢你！我原来对数学理论、对数学家很崇拜的。但是 1062年发现 “连续型随机变量在一点发生的概率是不是零呢？”“物体按照瞬时速度运动的时段长是不是零呢？”的问题。笔者不满意Б.В.《概率论教程》中“至于这集合（基本空间U）的元素究竟是什么东西，这对于概率论的逻辑发展而言是可以不加分辨的”的论述，也不满意复旦大学编《统计数学》中“U中的某些子集（其全体记作F）作为事件……，至于究竟需要哪些子集，则需视具体情况而定”的论述；笔者希望能够从基本事件发生的概率算出各种事件的概率。为此,笔者查看了И.П.那汤松著《实变函数论》中的点集与测度理论，发现了“不可测的有界集存在” 的定理，这个定理就是只研究某些子集发生概率的原因,但也说明:现行数学理论是不完善的。后来又在马忠林译[苏]Д.И.别列标尔金著《初等几何教程》上卷看到“位于直线上任何两点之间，有无限多个另外的点，这些点的集合，叫做线段”的论述。对于这个论述，笔者提出了“点有没有大小的问题？（即当点没有大小时，点的集合不可能构成线段；若点有大小，这种点的大小是什么数呢？）”的问题。为了这些问题，在参看从自然数集合扩充到有理数、实数集合的过程之后，笔者1962年曾经感到：“需要把实数集合扩充到包括一种‘大于0而又小于一切正实数的实无穷小数’的超实数域”的想法，在此后的十多年中，笔者认为：为了解决上述三个问题，这种超实数是必须提出的，笔者还认为它可能在黎曼几何中会有应用。1975年《非标准分析》传入我国。笔者对它进行十年的学习研究之后，发现：虽然非标准分析中的无穷大数与无穷小数与我扩充实数的想法有共同的地方，但他们没有解决我提出的那三个问题，经过对非标准分析依据的模型论、ZFC公理集合论以及有关的数理逻辑引论、数学基础引论、实数理轮、几何基础、量子力学、唯物辩证法的反复学习之后，笔者放弃了扩充实数的想法，并反对《非标准分析》。反对它的原因是：第一，实无穷小数的存在与“正实数可以任意接近于0”的性质矛盾。第二，它们提出这种数的根据是ZFC公理集合论，但这个公理体系中的选择公理有争论；“自然数集合是存在的”无限公理不恰当，事实上，自然数集合中的元素只是可以可无限延续下去，但又无法完成延续工作的非正常集合，使用这种集合时就有把这种无穷集合看作完成了的集合的违反事实的现象发生；第三，如果使用这种无穷小数，还需要研究这种无穷小数对应的时刻上的瞬时速度是什么?，对应的点的大小有多大?对应点的事件发生概率是多少?的问题，所以提出超实数域之后，问题更多了,更复杂了；第四，大于所有自然数的无穷大数的提出与自然数集合N的无界性矛盾。所以，经过二十四年的反复研究之后，笔者不仅认为需要彻底否定非标准分析，而且认为现行实数理轮、几何基础、数学分析都需要在进一步联系实践的方法下,使用对立统一的唯物辩证法则进行改革。例如：线段的尺规二等分问题，由于人们画出的线有粗细，点出的点有大小，线段二等分工作免不了近似性，所以现行数学理论中线段绝对准二等分具有理想性；理想与现实、精确与近似之间具有相互依存的对立统一关系。于是笔者在1985年写了足够准分析的小册子，在青岛的学术会议上得到陈庆益教授“你把数学量子化了”的意见，1986 年发表了论文“实数理轮的问题与足够准分析简介”，得到河海大学任荣祖教授“不囿于已有的见解，自成体系，不仅在理论上，而且在应用上都有价值”的好评。2005年笔者又发表了论文“无限的概念与数学基础”；2009年出版了专著《全能近似分析数学理论基础及其应用》;2013年发表了论文,<初等几何的实践性基础及其应用>。为了数学理论的改善。2007 之后笔者在东陆论坛与数学中国基础数学网站发表了上万个帖子，虽然现在已经有人同意笔者的无穷集合与无尽小数的观点,但由于数学界的习惯势力,大多数数学工作者都反对，在数学理论的改革上还需要做很多工作. 我希望你对我的研究与论述提出意见。

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-9-9 11:47

jzkyllcjl 发表于 2017-9-9 11:17
谢谢你！我原来对数学理论、对数学家很崇拜的。但是 1062年发现 “连续型随机变量在一点发生的概率是 ...

我是77级上的大学，数学的基础部分，自觉还是扎实的，不过工作以后搞计算机软件，数学尤其是基础理论有些撂荒。退休后重拾一些，更多的是在吃老本。

对非标准分析，个人感觉上是她把宏观、微观分了层。（而且是多层）。在解决某些问题（不限于应用数学）所能涉及的层面上更微观的东西，就归结为他所定义的无穷小了。非标不单是在应用数学方面有一定的意义，由于她形成一套自洽的体系，在整个数学领域中也能站得住，也能成为理论数学方面的工具（是工具）之一。但在实数理论方面还是不要用她为好。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-9 17:21
天元酱菜院网友：谢谢你给了回帖。我认为： "非标准分析中的算术高级模型*N 中存在自然数集合 N中一切自然数”的论述违背了自然数集合N 无上界的性质，虽然许多人认为非标准分析与标准分析等效，但从理论上讲，它们的基础是矛盾着的，最长要的是，非标准分析不仅不能解决我1962年提出的三个问题，而且把问题复杂化了，我最后的解决方法是：无尽小数绝对准的等于实数的已有实数理论有问题，近似方法是必要的，理想与现实、精确与近似、无穷与有穷相互依赖的对立统一法则是建立数学理论的根本法则。
我比你大一点，文化大改命时期，给我发了马克思恩格斯的数学著作，但那时，我都没有理解，我是经过学习分标准系之后发现我1962年提出它那种数无效之后，并在提出《实数理论的问题与足够准近似分析》之后，才慢慢认识到唯物辩证法的必要性。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-15 17:40
讨论很多了，是否应当终结一下，到底楼主提出的问题该如何证明？

作者: 红树 时间: 2017-9-15 18:34
本题，不需要证明，给出条件已经证明本题

作者: 红树 时间: 2017-9-15 18:38
已知条件:∠1+∠2=∠3+∠4，在三角形中两个角相等，等腰三角形

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-17 08:49

红树发表于 2017-9-15 10:38
已知条件:∠1+∠2=∠3+∠4，在三角形中两个角相等，等腰三角形

你如何根据∠1+∠2=∠3+∠4，证明在三角形中两个角相等。

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-9-17 17:44
本帖最后由天元酱菜院于 2017-9-17 18:05 编辑

  不预设∠ABC和∠ACB  均为锐角。在最一般情况下的证明：

1）已知∠1+∠2=∠3+∠4 ；
  在三角形ABC中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠BAC =π （三角形内角和定理）
  所以， 2(∠1+∠2)= π - ∠BAC;    所以， ∠1+∠2=∠3+∠4 < π/2;  可见,∠1∠2∠3∠4均小于π/2

2）不妨设∠3-∠2=s， s>=0    （由对称性，也可以设∠2>=∠3, 以下过程是完全相似的）
  有 ∠1=∠3+∠4-∠2= ∠4+s  ; ∠1-∠4=∠3-∠2=s , 或∠1+∠3 - (∠2+∠4)=2s； s<π/2;

3）  分别在三角形BEC和BDC中运用正弦定理，因为CE=BD, 所以，CE/BC = BD/BC
   可以得到 sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4) = sin(∠2+∠4)sin(∠2+∠3+∠1) .......(1)

4）  设∠2+∠3+∠4为R ;                      (1)式左边=
= sin(∠1+∠3)sin(R)  =  sin(∠1+∠2+s)sin(R) = sin(R)sin(∠1+∠2)cos(s)+sin(R)sin(s)cos(∠1+∠2)
= sin(R)sin(∠1+∠2)cos(s) + sin(s)sin(R)cos(∠1+∠2) +
+  [sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2) - sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2) ]       ........(加一项、减一项)
= sin(R)sin(∠1+∠2)cos(s) + sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2) +  sin(s)sin(R-∠1-∠2)
=sin(∠1+∠2)sin(R+s) + sin(s)sin(∠3+∠4-∠1)
=sin(∠4+∠2+s) sin(∠1+∠2+∠3) +  sin(s)sin(∠2)

由于∠4+∠2+s = ∠1+∠2 <π/2 ; s>=0 ;  s<π/2； ∠2<π/2; 在(0 , π/2)中正弦函数严格递增；
也由于(∠1+∠2+∠3)  不大于π 有  sin(∠1+∠2+∠3) >0
所以： sin(∠4+∠2+s)sin(∠1+∠2+∠3) + sin(s)sin(∠2)  >=  sin(∠2+∠4)sin(∠1+∠2+∠3)

且仅当s=0时等号成立。  即只有∠2=∠3；∠1=∠4时，才有（1）式成立。即∠B=∠C. 证完。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-17 19:07

天元酱菜院发表于 2017-9-17 09:44
不预设∠ABC和∠ACB 均为锐角。在最一般情况下的证明：

1）已知∠1+∠2=∠3+∠4 ；

你这个帖子的第一句话是 “不预设∠ABC和∠ACB 均为锐角。” 所以，你下边的证明，我没有看。因为：你需要先排除一个角为钝角的情形。这个排除的证明，你做过，现在为什么不要了？

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-9-18 00:20

jzkyllcjl 发表于 2017-9-17 19:07
你这个帖子的第一句话是 “不预设∠ABC和∠ACB 均为锐角。” 所以，你下边的证明，我没有看。因为：你 ...

因为发现在这个证明里，不必事先规定∠1+∠3  < 90.    有了∠1+∠2=∠3+∠4 < 90 ，
从而，∠1  <90 从而 s+∠4 <90    就够了。

证明中出现的不等式，是 sin（∠1+∠2） >= sin (∠4+∠2）和    sin(s)sin(∠2) >=0

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-18 09:25

天元酱菜院发表于 2017-9-17 16:20
因为发现在这个证明里，不必事先规定∠1+∠3 < 90. 有了∠1+∠2=∠3+∠4 < 90 ，
从而，∠1 =0 ...

第一，你的证明里，有一个设∠2+∠3+∠4为R，这说明你证明的是BD 垂直于AC 的特殊情形。
第二，对于楼主2楼的证明说的 “当∠3>∠2时，可知CD〉BE”的论述，网友谢芝灵提出 “由于不在同一个三角形内，不能这么说”的反对意见。事实上，我们可以做出一个∠B=120度，BC=1，AB=2 ∠2=30度，E点在AB上的两个三角形ΔABC 与ΔBCE，∠B〉∠C，但∠B的对边CE<∠C对边AB；虽然谢芝灵的反对意见与我的这个说明，不能推翻Ccmmjj提出的命题，但Ccmmjj2017 8，16 日所说“虽然写了很多，但作为证明，还是不够”说的话，对他的这个帖子也是适合的。

作者: chaoshikong 时间: 2017-9-18 10:43

jzkyllcjl 发表于 2017-9-18 09:25
第一，你的证明里，有一个设∠2+∠3+∠4为R，这说明你证明的是BD 垂直于AC 的特殊情形。
第二，对于楼 ...

先后顺序要搞清楚啊，，，楼主2楼的证明，是被设为推荐贴后才跑到2楼去的，，，原本是这个证明，是3天之后才发的。。。楼主说证明还是不够，不是对这个贴子说的，，明白么？？？

本论坛的推荐贴这个功能，会改变原来楼层的顺序的做法，会改变原意，有点不妥，希望改进之。。。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-18 12:48
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-9-18 04:53 编辑

chaoshikong 发表于 2017-9-18 02:43
先后顺序要搞清楚啊，，，楼主2楼的证明，是被设为推荐贴后才跑到2楼去的，，，原本是这个证明，是3天之 ...

请你再看一遍我57楼的话。我本来没有注意到帖子的发表日期，但在天元酱菜院提出后，我已改了话。我说的是：对于楼主2017 8，17日 2楼的证明说的 “当∠3>∠2时，可知CD〉BE”的论述，网友谢芝灵提出 “由于不在同一个三角形内，不能这么说”的反对意见。事实上，我们可以做出一个∠B=120度，BC=1，AB=2 ∠2=30度，E点在AB上的两个三角形ΔABC 与ΔBCE，∠B〉∠C，但∠B的对边CE<∠C对边AB；虽然谢芝灵的反对意见与我的这个说明，不能推翻Ccmmjj提出的命题，但Ccmmjj前一天2017 8，16 日所说“虽然写了很多，但作为证明，还是不够”说的话，对他的这个帖子也是适合的。

作者: chaoshikong 时间: 2017-9-18 19:32

jzkyllcjl 发表于 2017-9-18 12:48
请你再看一遍我57楼的话。我本来没有注意到帖子的发表日期，但在天元酱菜院提出后，我已改了话。我说 ...

您举例的这个条件，并不是两边分别相等的两个夹角的关系，只满足题目的两个条件而已，推翻不了楼主的证明

既然推不翻，那做为证明，楼主的正好够了

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-18 22:17
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-9-18 15:05 编辑

chaoshikong 发表于 2017-9-18 11:32
您举例的这个条件，并不是两边分别相等的两个夹角的关系，只满足题目的两个条件而已，推翻不了楼主的证明 ...

我举的例子说明楼主的说理不充分够。事实是：请你按照我举的例子画画图，再做出BD，的两个三角形ΔBCE 与ΔBCD，∠3〉∠2，可知∠3的对边CD>∠2对边BE。没有矛盾。楼主的证明，先画出等腰三角形就不适当。

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-9-18 23:33

jzkyllcjl 发表于 2017-9-18 22:17
我举的例子说明楼主的说理不充分够。事实是：请你按照我举的例子画画图，再做出BD，的两个三角形ΔBC ...

曹老的例子站不住脚。
楼主在二楼的证明中写的非常清楚。【比较两三角形： /  BD=CE /  ∠3 >∠2  / BC=CB  / 可见 ...... 】

曹老给了一个莫名其妙的例子，
人家两边分别对应相等的条件不见了，  然后来个120角对应某个边，小于30度对应某个边。

你让人家怎么辩？  我认为曹老不该采取这么不严肃的态度。这不儿戏嘛。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-19 07:21

天元酱菜院发表于 2017-9-18 15:33
曹老的例子站不住脚。
楼主在二楼的证明中写的非常清楚。【比较两三角形： / BD=CE / ∠3 >∠2 / ...

你提的意见有道理。我提的例子也不是没有道理，这个命题的目的是证明三角形等腰，因此不能在画出等腰三角形下去证明。我欢迎你出的意见。对chaoshikong提出的意见我也欢迎。

作者: Ysu2008 时间: 2017-9-19 13:39
证法巧妙。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-19 15:12
Ccmmjj把这个题目在数学中国网站贴出后，很多人试图使用几何方法证明，Ccmmjj2017 8，16 日说“虽然写了很多，但作为证明，还是不够”然后Ccmmjj2017 8，17 也又贴出了先把图形画作等腰三角形的证明，对这个证明网友谢芝灵贴出 “这个推理是错误的！因为：∠3＞∠2 不能得到：CD＞BE。只有在同一个三角形中（或全等三角形中）才有楼主的∠3＞∠2 得CD＞BE），楼主预先把△BEC与△BDC 视为全等了。所以这个证明是错误的”的点评意见。天元酱菜院网友又贴出点评说；“楼主的证明无懈可击。楼主说：在三角形DBC与BCE中，若有【BD=CE; 角3>角2；BC=CB】; 则有 CD>BE。很清楚，很明白。对这个过渡非议其实等同于对余弦定理的非议”。这两个点评说明：Ccmmjj 的证明没有把问题说到家，没有根据余弦定理说明或证明“∠3＞∠2 得CD＞BE”。也有网友指出：“如果各有两边对应相等，则，夹角较大者第三边较大”的道理为Ccmmjj辩护，但这也说明Ccmmjj没有把问题说到家。更重要的问题是：这个问题是一个要求证明它是等腰三角形的命题,不能在事先画出等腰三角形之下去证明。需要先进行底角不能为钝角的证明。事实上，我们可以做出一个∠B=120度，BC=1，AB=2 ∠2=30度，E点在AB上再做BD=CE, D在AC上,此时的两个三角形ΔBCE 与ΔBCD中，可以算出：∠3 〉∠2，且∠3的对边CD大于∠2对边BE；没有矛盾。问题出在，笔者提出的三角形，不能满足∠1+∠2=∠3+∠4 的条件。总之，Ccmmjj 这个证明也存在说理不够的缺点。证明它是等腰三角形之前，不能从它是等腰三角形出发, 所以这些几何证明都不是圆满的证明。

作者: chaoshikong 时间: 2017-9-19 20:00

jzkyllcjl 发表于 2017-9-19 15:12
Ccmmjj把这个题目在数学中国网站贴出后，很多人试图使用几何方法证明，Ccmmjj2017 8，16 日说“虽然写了很 ...

根据SAS可以推出两三角形全等，那么其推论
两三角形中，SS分别相等，如A也相等，则全等，如A大于A'则A的对边大于A'的对边，

可以把这些条件移入直角坐标系中来证明

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-20 03:13
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-9-20 02:32 编辑

chaoshikong 发表于 2017-9-19 12:00
根据SAS可以推出两三角形全等，那么其推论
两三角形中，SS分别相等，如A也相等，则全等，如A大于A'则A的 ...

你的这个想法好！你可以证明。我支持你，我考虑过，这是一件可以证明的定理。

作者: 2268493827 时间: 2017-9-20 09:59
三角形的面积跟角度三角形的底和高是直接关系。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-20 10:41
chaoshikong 对你说的 “两三角形中，SS分别相等，如A也相等，则全等，如A大于A'则A的对边大于A'的对边”，我说过，“你的这个想法好！你可以证明。我支持你，我考虑过，这是一件可以证明的定理。”
但你的点评，我不同意，因为 ccmmjj 的帖子没有说到家，你说他有这个意思，但他并没有说明，也没有事先证明这个需要的定理。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-22 06:57
笔者首先对Ccmmjj介绍的问题，进行分析，提出它是现行初等几何中命题的逆命题的概念。事实上，根据等腰三角形的性质，可以证明：当D是AC边上任一点时，以BD为长度，可在AB 边上做出一点E，使CE=BD，此时，∠1+∠2=∠3+∠4 成立，这就是初等几何中应有的原命题，而Ccmmjj介绍的在CE=BD，∠1+∠2=∠3+∠4 成立条件下，求证AB=AC的命题就是上述原命题的逆命题。此外，在等腰三角形性质的性质下，除了可以推出逆命题的条件外，还可以推出：BE=CD，推出底角相等,但这个命题没有提出这个条件，这可能把这个命题叫做最弱条件的等腰三角形的原因。因此,根据上述最弱条件逆命题的性质, 证明这个逆命题时,不能先把这个三角形画成等腰三角形作为辅助工具,不能使用等腰三角形的任何其它已知性质,例如不能应用底角相等的性等的性质去证明。由于楼主的证明用到了等腰三角形底角相等的性质，所以楼主的证明是不完善的。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-23 17:53
Ccmmjj把这个题目在数学中国网站贴出后，很多人试图使用几何方法证明，Ccmmjj于2017, 8，16 日说“虽然写了很多，但作为证明，还是不够”：然后Ccmmjj在2017 8，17 也又贴出了一个证明.这个证明,可以说是:先把三角形ΔABC图形画作等腰三角形再作辅助线的证明，辅助线的做法是,平移BE至DG,连接CG、EG，得平行四边形BDGE，等腰三角形ΔCGE。他知道：证明中不能把三角形ΔABC看成等腰说∠B=∠C，但他根据ΔCGE等腰说∠EGC=∠ECG也是不能容许的，然后他在不妨假设BE〉CD之下，得出∠1 〉∠4，∠3 〉∠2，再比较ΔBDE与ΔBEC 有条件：BD=CE ∠3 〉∠2， BC=CB得出与假设BE〉CD矛盾的CD〉BE。于是假设BE〉CD不成立，同理CD〉BE也不成立，只有BE=CD，最后得出AB=AC的结论。对这个证明网友谢芝灵8月24日贴出 “这个推理是错误的！因为：∠3＞∠2 不能得到：CD＞BE。只有在同一个三角形中（或全等三角形中）才有楼主的∠3＞∠2 得CD＞BE），楼主预先把△BEC与△BDC 视为全等了。所以这个证明是错误的”的点评意见。天元酱菜院网友9月18日又贴出点评说；“楼主的证明无懈可击。楼主说：在三角形DBC与BCE中，若有【BD=CE; 角3>角2；BC=CB】; 则有 CD>BE。很清楚，很明白。对这个过渡非议其实等同于对余弦定理的非议”。这两个点评说明：Ccmmjj 的证明没有把问题说到家，没有根据余弦定理说明或证明“∠3＞∠2 得CD＞BE”的论断。也有网友指出：“如果各有两边对应相等，则，夹角较大者第三边较大”的道理为Ccmmjj辩护，但这也说明Ccmmjj没有把问题说到家。更重要的问题是：这个问题是一个要求证明它是等腰三角形的命题,不能在事先画出等腰三角形，也不能在证明中应用任何等腰三角形性质去证明，但在Ccmmjj的证明中不仅画出的三角形ΔABC可以看作的是等腰的，而且证明∠1 〉∠4时，用到了等腰三角形底角相等的性质。还有，证明这个命题时，需要先进行底角不能为钝角的证明。事实上，可以做出一个∠B=120度，BC=1，AB=2 ∠2=30度，E点在AB上再做BD=CE, D在AC上,此时的两个三角形ΔBCE 与ΔBCD中，可以算出：∠3 〉∠2，且∠3的对边CD大于∠2对边BE；没有矛盾。问题出在，笔者提出的这个三角形，不能满足∠1+∠2=∠3+∠4 的条件。但是不是可以在这个三角形做出：既满足BD=CE,又满足∠1+∠2=∠3+∠4 的条件的点D与E呢？是不是存在满足这两个条件的其它∠B不等于∠C的三角形呢？这是证明Ccmmjj 这个问题时，必须说清楚的问题。总之，论坛上所以这些几何证明都不是圆满的证明。为此，笔者于 2017-9-1根据自己的“几何学中的点、线、面、平行公理都需要使用极限概念、勾股定理也是极限性、理想性关系的思想”，提出了可以说“基本不使用(但不是绝对的)图形说明的”,而使用变数与微积分学中极值概念下的函数、导数证明的方法，但笔者贴出的解题证明，也有错误的地方，经天元酱菜院等网友认真研究修改后，得出了现在笔者认为比较严谨的证明。

作者: elim 时间: 2017-9-24 11:52
[attach]60465[/attach]

作者: ccmmjj 时间: 2017-9-24 16:51
elim这个钝角边边角用得巧妙。
最近有些人总在我这个贴子上胡扯，本来我都懒得回这个贴了，看到elim兄的妙证，可浮一大白。

作者: ccmmjj 时间: 2017-9-24 17:14
再提关于等腰三角形的判定定理。有一个比较有名的定理是“两角平分线相等的三角形是等腰三角形”。我通过推广后得到：
定理：三角形内若有两分角成比例的线段相等，则此三角形是等腰三角形。
它和本楼的主贴一样都是那有名的定理是“两角平分线相等的三角形是等腰三角形”的主，而“两角平分线相等的三角形是等腰三角形”只是它们的系。但这两定理在条件上又互不相同，很有趣，证法和我在此贴上的证法相同。所以要感谢elim提供了新证法。有关等腰三角形判定定理的讨论，可以参考我的贴子
http://www.mathchina.com/bbs/for ... p;extra=&page=1
里面的东西，多是我的拙笔。也有其它网友的贡献。

作者: 天元酱菜院 时间: 2017-9-24 18:41

ccmmjj 发表于 2017-9-24 17:14
再提关于等腰三角形的判定定理。有一个比较有名的定理是“两角平分线相等的三角形是等腰三角形”。我通过推 ...

叨扰请见谅。其实在49楼，本就该结束喧宾夺主了。
最后发现，还是冷处理比较好一点。

作者: denglongshan 时间: 2017-9-24 21:58
“**当浮一大白”是什么意思,通常用在什么语境下?
经常见到这句话,但其意思我一直都是模模糊糊的,也不知道其正确的用法,盼回复,
语文胖子01462014-11-14

浮：违反酒令被罚饮酒；白：罚酒用的酒杯.原指罚饮一大杯酒.后指满饮一大杯酒. 出处汉·刘向《说苑·善说》：“魏文侯与大夫饮酒,使公乘不仁为觞政,曰：‘饮不釂者,浮以大白.’”
当然是喝酒的时候用了,和感情深一口闷是一个道理

作者: chaoshikong 时间: 2017-9-24 23:41
楼主之所以不回答，其用意就如当年美国登月被置疑造假，美国也不正面回答是一个道理啊，哈哈，可是有的人就想不明白。。。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-25 09:24
网友elim 又提出了另一个先画出等腰三角形ΔABC，做辅助线的几何证明方法，他的证明没有使用等腰三角形底角相等的性质，而是使用辅助三角形证明∠2=∠3，∠B=∠C后得出AB=AC的。这个做法笔者也是不同意的，因为：第一，这个证明仍然是先画出等腰三角形ΔABC的做法，这个图的做法本身就是在事先承认两个条件成立时，三角形ΔABC是等腰的做法，因此这样的证明存在着使用逻辑反复错误方法的嫌疑，最好不用这种图形进行证明；第二，这个证明中，没有证明“满足两个条件底角不相等的情形”不存在，而笔者认为这种证明是必要的，因为这两个条件下可能出现不等腰而满足这两个条件的可能性，所以笔者的证明是，在证明等腰三角形满足这两个条件后，还要证明两底角不等时，两条件不会同时成立；第三，在证明底角相等之后，笔者也不使用底角相等就等腰的概念就说它等腰，而要找出等腰的具体证明来。所以，笔者认为：elim 的证明也是不完善的。总之，论坛上所以这些几何证明都不是圆满的证明。在此,还须指出,在笔者提出的证明,最初也有不少错误，经天元酱菜院等网友认真研究修改后，得出了现在笔者认为比较严谨的证明。还等待网友指出错误。

作者: elim 时间: 2017-9-25 09:33
老头jzkyllcjl 没看懂我的证明。不过我就想不起来他真正看懂过什么东西. 呵呵

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-25 10:45
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-9-25 02:48 编辑

elim 发表于 2017-9-25 01:33
老头jzkyllcjl 没看懂我的证明。不过我就想不起来他真正看懂过什么东西. 呵呵

我看了你的证明。78是对你的意见。其中说了我不同意的你的证明是完善的。因为：第一，你的这个证明仍然是先画出等腰三角形ΔABC的做法，这个图的做法本身就是在事先承认两个条件成立时，三角形ΔABC是等腰的做法，因此这样的证明存在着使用逻辑反复错误方法的嫌疑，最好不用这种图形进行证明；第二，你的这个证明中，没有证明“满足两个条件底角不相等的情形”不存在，而笔者认为这种证明是必要的，因为这两个条件下可能出现不等腰而满足这两个条件的可能性，所以笔者的证明是，在证明等腰三角形满足这两个条件后，还要证明两底角不等时，两条件不会同时成立；第三，在证明底角相等之后，笔者也不使用底角相等就等腰的概念就说它等腰，而要找出等腰的具体证明来。所以，笔者认为：elim 的证明也是不完善的。
你的证明方法只是现行几何学中使用的作图做辅助线的看图证明方法，但对这个最弱条件的下命题，你的证明不充分，你们没有证明两底角不等时，两条件不会同时成立。
我的证明是啰嗦太多了，但比你的证明周全一些，而且不会引起逻辑反复的嫌疑。

作者: elim 时间: 2017-9-25 12:03

jzkyllcjl 发表于 2017-9-24 19:45
我看了你的证明。78是对你的意见。其中说了我不同意的你的证明是完善的。因为：第一，你的这个证明仍 ...

你连 0.333... 都搞不定，你以为不同意这个那个对我有关系吗？你怎么看数学，对数学一点关系都没有。因为你根本就没懂过数学。

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-25 16:58

elim 发表于 2017-9-25 04:03
你连 0.333... 都搞不定，你以为不同意这个那个对我有关系吗？你怎么看数学，对数学一点关系都没有。因 ...

你解释不了我给你提出的三个问题。只会说0.333…… 这个给你说了几千遍的问题，你都弄不清它的来源与去脉。

作者: 红树 时间: 2017-9-25 21:13
[attach]60495[/attach]
jzkyllcjl:网友:三角形的高在外部，反例存在
三角形的高在内部，命题是正确，是否能给出证明吗？挑战

作者: elim 时间: 2017-9-25 23:27

jzkyllcjl 发表于 2017-9-25 01:58
你解释不了我给你提出的三个问题。只会说0.333…… 这个给你说了几千遍的问题，你都弄不清它的来源与去 ...

就算人类没事干弄清了你胡扯的来龙去脉，你还是搞不定 0.333...呀！你被数学社会抛弃的现实还是不不为所动呀！你只有初小差班程度的情况也不会改善，初小差班还没教初等几何。难怪你 jzkyllcjl 对几何也只有胡扯的份了. 呵呵

作者: jzkyllcjl 时间: 2017-9-26 05:37

elim 发表于 2017-9-25 15:27
就算人类没事干弄清了你胡扯的来龙去脉，你还是搞不定 0.333...呀！你被数学社会抛弃的现实还是不不为所 ...

第一， 0.333...来源是1被3除得到的针对误差界序列{1/10^n}的不足近似值数列 0.3，0.33，0.333，……的简写，它的极限才是1/3, 因此成立的是极限等式 lim n→∞ 0.333……=1/3；而不是 0.333……=1/3。
第二，初等数学问题也需要以极限即趋向理论为基础。圆周率的无理数性质与1楼的这个命题都要使用极限性的微积分方法解决。

作者: elim 时间: 2017-9-26 08:19
老头一直在初小差班，所以不知道无尽小数的数学定义是 0.c(1)c(2)c(3)... = lim {0.c(1), 0.c(1)c(2), 0.c(1)c(2)c(3),...}

初等数学的基础，老差生不会知道的，所以只能一再胡扯。

作者: 195912 时间: 2017-9-26 08:28
本帖最后由 195912 于 2017-9-26 04:09 编辑

elim先生：
   先生对主题帖的论证构思巧妙，论述清晰，若稍作改动，便更趋完美。
   由于全等三角形判定定理没有（SSA）定理,我们可以
      过点D,作MD平行且等于BC,连接MB,连接MC.这样在∆MCD与∆MCB中便有
         MD=BC, MB=DC ,MC=MC
由(SSS)定理证明∆MCD与∆MCB全等.盼见到先生修改后的论证.

作者: 195912 时间: 2017-9-26 09:02
本帖最后由 195912 于 2017-9-27 10:27 编辑

ccmmjj先生:
      先生对主题帖的论证,如果能够注明根据某定理,更完美.

作者: elim 时间: 2017-9-26 10:20
本帖最后由 elim 于 2017-9-25 20:59 编辑

195912 发表于 2017-9-25 17:28
elim先生：
先生对主题帖的论证构思巧妙，论述清晰，若稍作改动，便更趋完美。
由于全等三角 ...

锐角钝角的分析是对的，但不是必要的。 SSA 不是流行的三角形全等定理，值得普及。以下说明为什么它是对的：
[attach]60506[/attach]

作者: 195912 时间: 2017-9-26 10:57
本帖最后由 195912 于 2017-9-27 10:33 编辑

elim先生：
这样修改,亦完美.只是使用余弦定理在这里似乎存在两根。
为什么没有(SSA)定理,因为与主题帖无关,不作探讨.

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