数学中国

标题: 为何向量的运算没有“除法”？ [打印本页]

作者: 波斯猫猫 时间: 2018-1-3 12:25
标题: 为何向量的运算没有“除法”？
众所周知，一个复数除以一个非零复数得到一个复数，复数在复平面内可以用一个向量来表示，它们是一一对应的。与此对应，在向量的运算中就应该有向量除以向量的运算。那么，为何在向量的运算中只定义了向量的加法、减法、数乘向量、数量积与向量积？

作者: denglongshan 时间: 2018-1-4 23:18
定义了向量商，学术界不认可，具体可以下载我的论文。

作者: 天元酱菜院 时间: 2018-1-5 16:12
向量内积的逆运算不唯一；向量外积的（两个）逆运算也不唯一。

作者: denglongshan 时间: 2018-1-5 22:06
上楼：
1开平方根也不唯一

作者: denglongshan 时间: 2021-11-8 22:12
搜索向量商

作者: denglongshan 时间: 2021-11-9 13:00
[attach]104014[/attach]选自李涛博士论文

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-9 17:01
向量的乘法（无论点乘还是叉乘）都不构成群，因此无法定义除法。但是在一些特殊情况下可以引入除法。

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-10 07:20
指的是形式除法。只要这种形式除法可以把向量空间中的向量形式地转换成为对应数域的运算即可，前提是这个数域可以构成乘法群。

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-10 08:12

宇宙无理数发表于 2021-11-9 17:01
向量的乘法（无论点乘还是叉乘）都不构成群，因此无法定义除法。但是在一些特殊情况下可以引入除法。

指的是形式除法。只要这种形式除法可以把向量空间中的向量形式地转换成为对应数域的运算即可，前提是这个数域可以构成乘法群。

作者: denglongshan 时间: 2021-11-11 21:37

宇宙无理数发表于 2021-11-10 08:12
指的是形式除法。只要这种形式除法可以把向量空间中的向量形式地转换成为对应数域的运算即可，前提是这个 ...

[attach]104100[/attach]
上图中，\(\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC}}=\frac{\overrightarrow{A_1B_1}}{\overrightarrow{B_1C_1}}\Rightarrow\begin{cases}
\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{A_1B_1}}=\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{B_1C_1}}\\
\overrightarrow{AB}\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{B_1C_1}\overrightarrow{BC_{ }}
\end{cases}\cdot\)
显然，分式有几何意义，而乘积没有

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-12 12:03

宇宙无理数发表于 2021-11-10 08:12
指的是形式除法。只要这种形式除法可以把向量空间中的向量形式地转换成为对应数域的运算即可，前提是这个 ...

不是。
如果不了解群论，就很难深刻理解向量空间。简单说吧，一个系统的代数结构不能简单移植到另外一个系统中。用一句时髦的词汇来说就是：这是数学界的“常态”。

作者: denglongshan 时间: 2021-11-12 23:30

宇宙无理数发表于 2021-11-12 12:03
不是。
如果不了解群论，就很难深刻理解向量空间。简单说吧，一个系统的代数结构不能简单移植到另外一个 ...

上楼老师：
   听不懂，你一会说无法定义，一会又说特殊情况可以定义。如果我们的概念有错，请指正。

   Cresson老师：
   你说：已经提过多次了，与这里向量的除法对应的是向量的共轭乘积，你还是没明白，向量的共轭乘积由内积和外积定义，这是比向量商更基础些的运算。

   是不明白，我的方法不用共轭乘积，所以向量商是独立的，你23页，可能漏写\(\overrightarrow{BA}=z\overrightarrow{BC}\)，下面的证明引用了你的结论，非常感谢。



你原文中是这样说的：
除法
一般来讲, 两个向量直接乘积的几何意义是不明确的, 我们不对向量的直接乘积做定义，这也并不影响平面几何的研究。
而对于任意非 0 向量 a, b, 它们之间的旋转缩放变换 z 是唯一的, 因此可以定义非 0 向量的向量除法：
   我理解向量商不与共轭乘积对应，正在学习这种方法。
   图中的方法不用共轭乘积，结论比对称，很好看。
[attach]104128[/attach]

楼主老师为什么不发言

作者: uk702 时间: 2021-11-13 17:54
我个人理解，宇宙老师说的，向量商因为不是某种运算（乘法）的逆运算，所以不可以定义为除法。它虽然不可以作为一种“除法”，但无碍于将它本身定义为一种运算（新乘法），只是这种运算满足的“定律”太少，以致于难以成为代数学上的研究对象。

向量商不能成为代数学上的研究对象，也不妨它成为几何学上的研究对象，或许更准确地说，不妨它成为几何学上的一种有用工具。

作者: elim 时间: 2021-11-16 08:42
二维向量空间同构于复数域因而有除法。高维空间的非零向量全体不构成乘法群，因此没有除法。

作者: 玉树临风 时间: 2021-11-16 09:10
你是来抬杠的吗

作者: denglongshan 时间: 2022-9-6 21:18
有价值的问题

作者: denglongshan 时间: 2023-1-29 21:12

elim 发表于 2021-11-16 08:42
二维向量空间同构于复数域因而有除法。高维空间的非零向量全体不构成乘法群，因此没有除法。

完全赞成

作者: 天山草 时间: 2023-2-3 09:26
本帖最后由天山草于 2023-2-4 11:28 编辑

复平面上的两个向量 \(\overrightarrow {OA} \)、\(\overrightarrow {OB} \) 的和差积商，图示如下：

[attach]122562[/attach]

图中 \(\overrightarrow {OC} \) 是两个向量的和，\(\overrightarrow {OD} \) 是两个向量的差，

\(\overrightarrow {OE} \) 是两个向量的积，\(\overrightarrow {ON} \) 是两个向量的商。

上面这个图有问题吗？

其中向量的和差积三种运算为中学生所熟知。另外还有两个向量的【点积】和【叉积】，人们都认可，

因为它们都有重要的应用。至于向量商。看来只有找到了它的重要应用，才能被大众接受。

还有人提出了【共轭乘积】的概念。所以只要能找到这些新名词的用途，就可以无中生有。

作者: denglongshan 时间: 2023-2-3 22:48
几何代数入门(上）：从点积和叉积开始这种积有除法，但是没有看到解初等几何题的案例

作者: elim 时间: 2023-2-4 11:48
本帖最后由 elim 于 2023-2-4 02:39 编辑

向量能不能定义除法，与向量空间的维度有关。在平面上，向量加法乘法与复数的相应运算同构，后者构成复数域，所以向量乘法有逆运算除法，对于3维欧氏空间，非零向量与自身的乘积为0向量，故非零向量的乘法不构成乘法群，所以没有作为乘法逆的除法。

对这件事情不要感情用事，有了平面向量的除法已经很好了么。不是数学界排斥新思想，有点抽象代数基础就知道这件事没有什么办法。

作者: elim 时间: 2023-2-8 05:54
二向量的方向關係必須由固定的坐標向量確定。denglongshan 老師說得不錯，平面向量的乘除運算是相對於選定的坐標向量(綫性代數裏這叫做單位正交基向量)而言的。坐標向量的選取是任意的，一旦選定，就不改變。

有趣的是，我們有 \(u=re^{ia},\;v = se^{ib}\implies u/v=(r/s)e^{i(a-b)}\)
即二平面向量的商的模是它們模的商，方向是除向量關於被除向量的共軛。所以獨立于坐標係的選擇.

作者: denglongshan 时间: 2023-11-6 12:44
以下内容由天山草网友从网上整理。
复数是一个数还是一个向量？复数和向量的区别是什么？
首先，复数是一个数，不是向量。其次，向量（这里仅限于二维向量）是有方向的，而复数作为数是没有方向的。但二者又不是截然没有联系，人们把复数的实部和虚部构成的数对与坐标平面里的点对应起来，发现全体复数与坐标平面里的全体点之间是一一对应的。而把向量的两个分量作为一个有序数对也对应坐标平面里的一点，全体二维向量与坐标平面里的所有点也是一一对应的。这样全体复数和全体向量之间就是一一对应的了：拿出坐标平面里的一个点，若把它的横坐标作为复数的实部、纵坐标作为虚部，就得到一个复数；若把点的横坐标作为向量的第一个分量、纵坐标作为第二个分量，就得到一个向量。总之，二者既有不同，又存在密切的联系。复数和平面向量在集合/拓扑的含义下同构于平面（一个实的二维线性空间）。但是其上定义的代数结构不同（乘法等运算规则）。所以在代数层面它们不同。
从题主问的问题来看题主应该是高中生，但是一定要认识到复数与向量还是有很大区别的，向量可以轻易推广到多维甚至无限维的情况，但复数却没那么容易进行推广。复数作为一种代数结构，其乘法对应平面旋转。在数学里，对向量这个词并没有一个明确的定义，也不要把它等同于物理中的矢量。比如，一个1*n或者n*1的矩阵可以叫行向量列向量。高中学的那种，有一个起点一个终点，那么由起点指向终点的有向线段也可以叫向量。在大学线性代数里，你甚至会看到一个更厉害的，线性空间又名向量空间（具体定义还是等你学到线性代数再学吧），
里面任何东西都可以叫向量。从某种意义上说，复数域是个实数域上的线性空间，于是复数域里所有东西都叫向量。以及，生活中的二维平面、三维空间等，也是实数域上的线性空间，于是这里面的东西都称为向量。向量真的是个没有明确定义的词，所以不要去纠结某个东西是不是向量了。
复数与向量的“基因”有30%的相似度，也就是说，它们之间差距还是比较大的。复数是一个能够完全进行四则运算的数，而向量不能进行全部的四则运算。如果硬是把向量归为数，那么可以把它称为具有结构和特殊运算法则的数！此外，在加减运算空间里，向量与复数是一样的，但其它运算的意义不一样！

作者: simpley 时间: 2023-11-6 19:18
复数是最大的域。比复数更大的结构无法构成一个域。
硬要建立除法，就必须以牺牲别的性质为代价。比如，四元数有除法，但乘法不满足交换律。

作者: denglongshan 时间: 2023-11-6 20:03
讚成上樓，幾何中的向量有長度單位，平面向量相乘後有面積單位，相除沒有單位，乘除法不同於實數。

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