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已知一个四面体的六条棱长为 2、3、3、4、5、5 ,求此四面体体积的最大值

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发表于 2019-11-7 19:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 wintex 于 2023-3-2 16:43 编辑

已知一个四面体的六条棱长为 2、3、3、4、5、5 ,求此四面体体积的最大值
发表于 2019-11-8 09:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2019-11-8 12:16 编辑

只算了一种情况:为8√2/3,其它要繁一点。
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发表于 2019-11-8 13:37 | 显示全部楼层
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子:



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点评

謝謝陸老師  发表于 2023-3-2 16:42
2019lmrt  发表于 2023-3-2 16:42
没有证明体积的最大值存在的条件;  发表于 2019-11-12 13:18
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发表于 2019-11-9 06:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-11-12 12:23 编辑
luyuanhong 发表于 2019-11-8 13:37
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子:


谢谢陆老师!接用陆老师的图 一,
记右边的5=n1,2=n2,左边的5=n3,右边的3=n4,4=n5,左边的3=n6
四面体的6条整数棱长度满足:3<a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6
四面体体积的最大值:n1,n2,n3,n4,n5,n6=a1,a2,a3,a4,a5,a6
四面体体积的最小值:n1,n2,n3,n4,n5,n6=a6,a5,a4,a3,a2,a1
有见过这种说法的朋友!请给个链接。
没见过这种说法的朋友!请举个反例。
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发表于 2019-11-12 13:19 | 显示全部楼层
这个问题高斯已经解决了的。
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发表于 2019-11-15 06:41 | 显示全部楼层
图老师 发表于 2019-11-12 13:19
这个问题高斯已经解决了的。

“这个问题高斯已经解决了的”。想了几天也没想通,斗胆问一句:
“这个问题高斯已经解决了的”。能把高斯的想法告诉大家吗?
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发表于 2023-3-2 11:54 | 显示全部楼层
这是直接用6条棱来表达四面体体积的公式!有见过的朋友!给个链接。谢谢!

\(\sqrt{\frac{ab(c+d+e+f)+cd(a+b+e+f)+ef(a+b+c+d)-(ab(a+b)+cd(c+d)+ef(e+f)+a(ce+df)+b(cf+de))}{144}}\)

谢谢陆老师!接用陆老师的图 一,
a,b,c,d,e,f 用下面的数值代入都可以得到\(V=\frac{8\sqrt{2}}{3}\)
a,b,c,d,e,f=4,16,9,25,9,25,
a,b,c,d,e,f=4,16,25,9,25,9,
a,b,c,d,e,f=9,25,4,16,9,25,
a,b,c,d,e,f=9,25,16,4,25,9,
a,b,c,d,e,f=9,25,9,25,4,16,
a,b,c,d,e,f=9,25,25,9,16,4,
a,b,c,d,e,f=16,4,9,25,25,9
a,b,c,d,e,f=16,4,25,9,9,25,
a,b,c,d,e,f=25,9,4,16,25,9,
a,b,c,d,e,f=25,9,16,4,9,25,
a,b,c,d,e,f=25,9,9,25,16,4,
a,b,c,d,e,f=25,9,25,9.4,16,
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发表于 2023-3-2 17:04 | 显示全部楼层
@ 王守恩, 体积的量纲是长度的立方,  显然你给出的这个公式量纲不对, 所以你给出的公式应该不正确. 汇心几何学(v9版)的定理29.2给出了四面体体积公式的一种形式. 另外, 我还见过一种行列式形式的公式, 现在记不清楚了, 如果你需要哪天我找给你.
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发表于 2023-3-2 19:52 | 显示全部楼层


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发表于 2023-3-3 00:53 | 显示全部楼层
设这个四面体的体积为V,根据海龙公式,我们可以知道这个四面体的面积S和棱长a,b,c,d之间的关系:

S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] + √[s(s-a)(s-d)(s-c)] + √[s(s-b)(s-d)(s-c)] + √[s(s-a)(s-b)(s-d)]

其中s=(a+b+c+d)/2是四面体的半周长。

根据柯西不等式,我们可以得到:

(√[x] + √[y] + √[z] + √[w])^2 ≤ 4(x+y+z+w)

将上式应用到海龙公式中,得到:

S^2 ≤ 4s[(s-a)(s-b)(s-c) + (s-a)(s-b)(s-d) + (s-a)(s-c)(s-d) + (s-b)(s-c)(s-d)]

带入a=2,b=3,c=3,d=4,5,5,计算得到:

s = (2+3+3+4+5+5)/2 = 11

(s-a)(s-b)(s-c) = 3, (s-a)(s-b)(s-d) = 12, (s-a)(s-c)(s-d) = 10, (s-b)(s-c)(s-d) = 9

因此,有:

S^2 ≤ 4 * 11 * (3 + 12 + 10 + 9) = 4 * 11 * 34 = 1496

即:

S ≤ √1496 ≈ 38.67

因此,这个四面体的最大体积为:

V = S/3 ≤ 38.67/3 ≈ 12.89

因此,此四面体体积的最大值为约12.89。

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