Φ(m)函数的应用：广义哥德巴赫猜想

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Φ(m)函数的应用：广义哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想：对于任意大于2的正整数n，偶数2n都可表示为二个素数之和。
即：对于任意n∈N(N≥3)，存在 p, q∈P (P为素数)，使得2n=p+q.
广义哥德巴赫猜想：对于任一充分大的偶数2n，若n对于模m的余数为a (a，m互素)，则偶数2n可表示为二个对于模m的余数为a的素数之和。
即：若n≡a (mod m) ( n为充分大的正整数)，且(a,m)=1，存在 p, q∈P (P为素数)，p≡q≡a (mod m)，使得2n=p+q.

设G(x)为偶数x可表示为二个素数之和的表示数即偶数x的 (1+1) 表示数，
G(a, m, x)为偶数x可表示为二个对于模m的余数为a的素数之和的表示数，
Φ(m)为偶数x的 (1+1) 表示数对于模m的分类数，则：
        若 m=2^n, G(a, m, x) ～1/Φ(m)×G(x) ～1/φ(m)G(x) (～为等价符号)
        若m为偶数, G(a, m, x) ～1/Φ(m)×G(x), Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (p为m的奇素因子)
        若 m 为奇数, G(a, m, x) ～1/Φ(m)×G(x), Φ(m)=mΠ(1-2/p) (p为m的奇素因子)
其中，G(x) ～2C*Π(p-1)/(p-2)*x/(lnx)^2  (p 为x的奇素因子. C =Π(1-1/(p-1)^2 )，p遍历所有奇素数.)
显然，当m=2，m=3 或m=6 时，G(a, m, x)与G(x)等价。

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欧拉φ(m)函数
      在数论中，对正整数m，欧拉(Euler)函数φ(m)是小于m的正整数中与m互质的数的数目。
φ(m)= mΠ(1- 1/p) (Π为连乘积符号，p为m的素因子)

Φ(m)函数的定义与性质

1.   在数论中，对偶数m(m≥6)，函数Φ(m)是小于m的正奇数中q与m互质且q-2k或q+2k(k≥1)与m互质的正奇数q的数目。
显然，q＜m，q-2k不一定为正整数或q+2k不一定小于m。
若k=2^n，Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (Π为连乘积符号，p为m的奇素因子)
若k与m的奇素因子不同，Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (Π为连乘积符号，p为m的奇素因子)
若k与m存在共有的奇素因子，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)  
(Π为连乘积符号，Π(1-2/p)，p为m的奇素因子，Π(p-1)/(p-2) ，p为k与m的共有奇素因子)
若k与m的奇素因子相同，Φ(m)=φ(m)
对于不同的2k，如果二者之差为m的倍数，Φ(m)相等，q相同。
若m=2^n,Φ(m)=φ(m) =m/2.

2.   若m为奇数(m≥3)，函数Φ(m)是小于m的正整数中q与m互质且q-k或q+k(k≥1)与m互质的正整数q的数目。
显然，q＜m，q-k不一定为正整数或q+k不一定小于m。
若k=2^n，Φ(m)=mΠ(1- 2/p) (Π为连乘积符号，p为m的奇素因子)
若k与m的奇素因子不同，Φ(m)=mΠ(1- 2/p) (Π为连乘积符号，p为m的奇素因子)
若k与m存在共有的奇素因子，Φ(m)=mΠ(1- 2/p)Π(p-1)/(p-2)
(Π为连乘积符号，Π(1-2/p)，p为m的奇素因子，Π(p-1)/(p-2)，p为k与m的共有奇素因子)
若k与m的奇素因子相同，Φ(m)=φ(m)
对于不同的k，如果二者之差为m的倍数，Φ(m)相等，q相同。

3.  在数论中，对偶数m(m≥6)，函数Φ(m)也可表示小于m的正奇数中q与m互质且m+2k-q(k≥1)与m互质的正奇数q的数目。
显然，q＜m，m+2k-q不一定小于m。
若k=2^n，Φ(m)=m/2Π(1- 2/p) (Π为连乘积符号，p为m的奇素因子)
若k与m的奇素因子不同，Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (Π为连乘积符号，p为m的奇素因子)
若k与m存在共有的奇素因子，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)
(Π为连乘积符号，Π(1-2/p)，p为m的奇素因子，Π(p-1)/(p-2)，p为k与m的共有奇素因子)
若k与m的奇素因子相同，Φ(m)=φ(m)
对于不同的2k，如果二者之差为m的倍数，Φ(m)相等，q相同。

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举例

m=210，2k=2或2k=4或2k=8或2k=16或2k=32或2k=2^n，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)=15，
q不超过210与210互质的奇数对(q,q+2)个数为15，分别为：
(11 13),(17 19),(29 31),(41 43),(59 61),(71 73),(101 103),(107 109),
(137 139),(149 151),(167 169),(179 181),(191 193),(197 199),(209 211).

q不超过210与210互质的奇数对(q,q+4),奇数对(q,q+8),奇数对(q,q+16),奇数对(q,q+32),奇数对(q,q+2^n)个数为15.

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主贴中：显然，当m=2，m=3 或m=6 时，G(a, m, x)与G(x)等价。
即：当m=2，m=3 或m=6 时，广义哥德巴赫猜想即哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想是广义哥德巴赫猜想的特例。

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Φ(m)函数的定义与性质1
若k=2^n，Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (Π为连乘积符号，p为m的奇素因子)
此公式即孪生素数二筛公式的起源。

Φ(m)函数的定义与性质3
若k=2^n，Φ(m)=m/2Π(1- 2/p) (Π为连乘积符号，p为m的奇素因子)
若k与m存在共有的奇素因子，Φ(m)=m/2Π(1-2/p)Π(p-1)/(p-2)
(Π为连乘积符号，Π(1-2/p)，p为m的奇素因子，Π(p-1)/(p-2)，p为k与m的共有奇素因子)
此二式即哥猜二筛公式的起源。

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一句话否定二筛连乘积公式证哥猜
怎么证明二筛连乘积公式是哥猜(1+1)个数近似值？未经证明的结论无论怎样加强和变形，都是无效证明！

njzz_yy

再接再厉

lusishun

discover 发表于 2019-11-27 12:14
一句话否定二筛连乘积公式证哥猜
怎么证明二筛连乘积公式是哥猜(1+1)个数近似值？未经证明的结论无论怎样 ...

你是没看明白加强倍数含量两筛法，哈哈

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lusishun 发表于 2019-11-28 06:38
你是没看明白加强倍数含量两筛法，哈哈

数论入门了再发表意见！

lusishun

数论也是数学，哥德巴赫猜想是数学问题，用数学方法证明了，不一定非用数论方法，事实上以前用数论的方法证明哥猜，没有成功，失败了。现在用初等方法成功了，不是吗。应该说用初等方法证明出来，更为珍贵，不是吗。