D,E 分别是 AB,AC 上两点，延长 DE,BC 交于 F，已知 AD=2DB，SΔABC=SΔECF，求 CF:BC

myyour

请教一题，平面几何。

luyuanhong

myyour

非常感谢陆老师指点迷津，谢谢！

ccmmjj

嗯，我正想做，已经做出来了。

myyour

luyuanhong 发表于 2020-9-16 21:39

若D为AB内一动点（不与A、B重合），F为BC延长线上一动点（不与C重合），要使SΔABC=SΔECF我发现AD:BD、FC：CB这两个比值不能同时为有理数，不知对不对？

王守恩

luyuanhong 发表于 2020-9-16 21:39

谢谢陆老师！借用 2#图。

\(记S_2="1"，S_1=k\)

\(\frac{x}{y}=\frac{1+k+\sqrt{1+(6+k)k}}{2}\)

王守恩

luyuanhong 发表于 2020-9-16 21:39

继续。

\(记\frac{S_2}{S_1}=\frac{1}{k}，\frac{S_4}{S_5}=\frac{1}{p}\)

\(\frac{x}{y}=\frac{p(1+k)+\sqrt{p(4k+(1+k)^2p)}}{2}\)

luyuanhong

当 AD：DB=k：1 时，可以求得 CF：BC=x：y=[k+1+√(k^2+6k+1)]/2 ，就是楼上王守恩得到的结果。

特别，当 AD：DB=3：2 时，可以求得 CF：BC=x：y=3：1 。

由此可见，两个比值同时取到有理数，也是可能的。

myyour

陆老师、王老师解得太精彩了。我尝试让k＝2/3时，x/y的值也是有理数2。数学之美，令人陶醉。

王守恩

luyuanhong 发表于 2020-9-20 08:49
当 AD：DB=k：1 时，可以求得 CF：BC=x：y=[k+1+√(k^2+6k+1)]/2 ，就是楼上王守恩得到的结果。

特别， ...

继续。

\(记三角形ABC的三条边为a,b,c\)
\(p是三角形ABC内的点，过p作角分线交a,b,c于D,E,F\)
\(BC=a=BD+DC=a_1+a_2\)
\(CA=b=CE+EA=b_1+b_2\)
\(AB=c=AF+FB=c_1+c_2\)

\(我们恒有：\)
\(\frac{a_1*b_1*c_1}{a_2*b_2*c_2}={1}\)
\(或：\)
\(\frac{S_{a1}*S_{b1}*S_{c1}}{S_{a2}*S_{b2}*S_{c2}}={1}\)