|
现行教科书中导数定义与计算是 ,但数学理论研究中的存在着“微分是不是0呢?”的第二次数学危机问题,对于这个问题,在马克思《数学手稿》做了讨论。马克思《数学手稿》第一节,,第2页讲到:“首先取差(即取Δx),然后再把它扬弃……。理解微分运算的全部困难(正象理解否定的否定本身那样),恰恰在于要看到微分运算是怎样区别于这样的简单手续并因此导出实际的结果的[6]”。在第3页 马克思讲到:“因为左端表达式 里,它的起源和含义的全部痕迹消失了,所以我们用 来代替它”。在第13页讲到:“ 可以表明:符号 是由一个确定的f(x)中的自变量x的什么样的运动产生出来的”。在19页讲到:“(函数 在x=a的导数)2a,是分式 的实在值,它只是这种意义上的极限,即任何比数的实在值是比数的极限”;在22页 讲到“通过点M,M' 作割线M'S, h减少得越多,即pp'减少得越多,ps就越趋向于跟次切线PT重合,因此PT就是PS所趋向的极限”。
对函数 曲线图形及其切线2x的画出,都需要使用上述第一节所述的理想依赖的近似唯物辩证法方法;这些问题都说明:自变数x的微分dx既不是0,也不是《非标准分析》介绍的的非标准模型 中的无限小数。应当提出如下的定义4。
定义4,自变数x的微分dx是以0+ 为极限的,满足任意小误差界要求的理想性足够小正实数性质的变数意义的辩证数(即dx为:不是0的足够小正数,它的极限是0,它近似等于0)。
根据这个定义,对 在t=2的瞬时速度计算中,需要使用辩证数dt。由于dt 不等于0,它可以作除数,所以,算出 约去公因子 后,得到; ,将此式右端的含有辩证数dt的项忽略不计,就得到:包含t=2的足够小时段上物体下落速度的足够准数值为2g。这个计算过程中,虽然右端使用了扬弃差值dt的做法,但这个做法的实质是:理想的没有长度的时刻可以使用测不准的足够小正数替换:即使用数字描述现实数量的理想时刻时,理想时刻可以用忽略不计的足够短时段替换;下落物体按照瞬时速度2g下落的时段长,不是0,而是包含t=2的足够短时段,所以上述瞬时速度的计算是一个足够准近似计算;于是求导数的计算就是一个足够准近似计算,这样就解决了第二次数学危机问题。导数的物理意义就是足够小时段上的瞬时速度的足够准近似值。对于芝诺的“飞矢不动”问题,他说的“在一个没有长度的理想时刻上,飞矢不动”的说法,只是形式主意的说法,由于时段不是理想时刻构成,而是连着的许多足够小时段构成的,所以不能因为“每一个理想时刻不动,得到飞矢不动的结论”,这样就消除了飞矢不动的悖论。
现行教科书中的导数的极限计算方法仍然可以使用,但上述自变数的微分定义与瞬时速度、导数计算、瞬时意义的讨论,说明需要使用理想点与现实近似点、0与非0足够小的相互依赖的对立统一法则解释导数的使用意义与计算过程。此外关于函数极限方法,根据文献文献[3]66页海涅定理,导数计算还可以使用数列极限方法叙述,因此,文献[7]74页提出了理想、全能近似、近似三种不同的导数概念,它们各有各的特殊应用,其中近似导数可以用来解释瞬时速度的使用意义,理想导数可以用来表示曲线在理想点处切线的斜率,全能近似导数可以用来得到函数取得极大值或极小值的充要条件定理[7]。
现行教科书中,称Δx为自变数的微分, 当Δx很小时,函数增量近似等于函数微分的说法是不确切的。根据定义4与导数表示足够小区间dx上函数变化率的近似意义的上述讨论,应当提出:只有Δx是针对函数增量的误差界的足够小dx时,f’(x)dx才能足够准地表示y=f(x)在区间[x,x+dx]上的函数增量。对于确定的Δx,必须使用二阶导数,根据泰勒定理中的余项公式计算出误差的取值范围,只有这个误差满足误差界要求时,才可以使用函数微分近似表示函数增量,否则,就需要使用高阶泰勒多项式进行函数增量的足够准近似计算。
|
|