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质疑第一次数学危机的真相
杨六省
（陕西省长安师范学校 710100）
摘要：目的 澄清第一次数学危机的真相。方法 揭示Pythagoras派关于√2不是有理数证明的无效性。结果 在推理前提——√2 =α：β（α，β互质）中，写入 “α，β互质”是不合理的，因为不相关，尤其是，它使得√2不是有理数的证明变为不可能。结论 第一次数学危机的真相是：第一对不可公度量的发现，并不是基于对√2不是有理数的有效证明，而是基于无效证明。
关键词：第一次数学危机；有理数；无穷；相容性；排中律；有效推理
中图分类号：0143
Question On the Truth of the First Mathematical Crisis
YANg Liusheng
(Shaanxi Chang’an Normal School, Xi’an China, 710100)
Abstract: purpose: Clarify the truth of the first mathematical crisis. Method: reveal the unavailability of Pythagoras school’s proof on whether √2 is a rationalnumber. Result: in the inferencepremise√2=α：β(α and β are relativelyprime), the saying “α and β are relativelyprime” is unreasonable due to the uncorrelation, particularly, it makes the proof “√2 is not a rationalnumber” to be impossible. Conclusion: The truth of the first mathematical crisis is that the discovery of the first pair incommensurablequantities is not an effectiveproof based on “√2 is not a rationalnumber”, but on the invalidproof.
Keywords：The first mathematical crisis;history of mathematics; rational number; infinity; consistency; law of excluded middle; effective inference
2010 MSC: 03F03
0 引言
√2与1不能公度的证明是Pythagoras派给出的。这个证明和现今对√2为无理数的证明相同。它们的推理前提都是——假设√2 =α：β（（α，β互质），且都认可由假设前提可推出α为偶数之结论。但此结论如果导致矛盾呢，证明还有效吗？这就产生一个问题：第一次数学危机的真相是什么？也就是，第一对不可公度量的发现，是基于对√2不是有理数的有效证明呢？还是无效证明？这是应当澄清的。
1 讨论
1.1 毕达哥拉斯派的证明
设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为α：β，并设这个比已表达成最小整数之比。于是根据Pythagoras定理得α2=2β2。由于α2为偶数，α必然也是偶数，因任一奇数的平方必是奇数。但比α：β是既约的，因此β必然是奇数。α既是偶数，故可设α=2γ。于是α2=4γ2=2β2。因此β2=2γ2，这样β2是个偶数。于是β也是偶数。但β同时又是奇数，这就产生了矛盾。[1]
1.2 后世公认的证明
下面采用北师大版教材（八年级上册）的证明。
假设边长为1的正方形的对角线的长可写成两个整数α，β的比α/β（α，β互质），于是有（α/β）2 = 2，α2 =2β2.
因此，α2是偶数，α是偶数.
于是可设α =2γ,那么α2 =4γ2 =2β2, β2=2γ2.
这就是说，β2是偶数，β也是偶数.这与“α，β是互质的两个整数”的假设矛盾. [2]
作者评析：现在众所周知——√2不是有理数，是无理数；√2是无穷不循环小数。因此，关于√2，为了应用反证法，试图推出的矛盾应该是有理数系统与无理数系统之间的矛盾，应该是与无穷相关的矛盾。据此笔者质疑，试图通过推出整数系统内的某种矛盾（注：只与互质概念有关）来证明√2不是有理数，是否合理，是否有效？
在Pythagoras派的证明中，依次推出了α是偶数、β是奇数、β是偶数，因后两项矛盾，又否定了第二项，从而推出了α和β都是偶数，于是，又否定了“α，β互质”这个假设，即α，β不互质。但笔者的质疑是，为什么偏偏从“α必是偶数”推出“β也是偶数”之后，就此停止？而不是将“α是偶数，从而β也是偶数”这一推理模式无穷地继续下去呢？难道“停止”是合理的，而“无穷继续”就是不合理的吗？事实上，情况恰恰相反。“无穷继续”的做法是合理的，它能够“推出”前提条件“α，β均为整数”的否定（参见下文“本文作者的证明”），而“停止”的做法则不然。这是因为，当推出了α，β不互质时，人们有理由提问：α，β的最大公约数是什么呢？是2吗？不对，因为“α是偶数，从而β也是偶数”这一推理模式有理由无穷地继续下去；是2的无穷次方吗？也不是，因为它不是一个确定的整数。这就是说，提问是合理的，但答案是不存在的。这种新的矛盾，又会否决“α，β不互质”这一结论，因此，到头来，什么也没有证明，什么也证明不了。那么，为什么会出现提问合理而问题又无解的现象呢？唯一合理的解释是，在推理前提中写入“α，β互质”是不合理的，因为它与我们讨论的问题不相干（注：√2是有理数还是无理数的矛盾，表现为它能否表为两个整数之比，或者说，√2=α：β中的α和β能否全是整数；但两个整数是否互质的矛盾，表现为这两个整数是否存在不等于1的公约数）。
在推理前提中写入“α，β互质”这一条款，不仅没有意义，更糟的是，它使得√2不是有理数的证明变为不可能，换一种说法，这种证明的无效性已是不可避免的。理由是，一旦把有理数与无理数之间的矛盾转化为（当然这种转化是无效的）整数系内部的的矛盾（它只与互质概念有关，已无需再涉及α和β是否全是整数的问题了），这其后的推理，也只能像Pythagoras派所做的那样——如前所述，它是无效的。
综上所述，我们说，Pythagoras派关于√2不是有理数的证明是无效的。
历史让人感慨，Pythagoras派只是缺少了一个提问，否则，发现行不通，换个思路，历史就会被改写。
如果说，Pythagoras派“第一次”证明√2不是有理数时，由于尚不确定√2到底能不能表为整数之比，只是想应用归谬法进行试探的话，那么，在假设条件中列入α与β互质这一条款，倒是可以理解的（注：但其给出的证明不可能是有效的）。但是，当后世已经明确知道√2不能表为整数之比后，就应该及时地删除这个假设条件（因为既然√2 =α：β中的α、β不可能全是整数，那么，它们之间也就不存在是否互质的问题），并修订原证明。基于上述理由，笔者认为，既然要用归谬法来证明论题——√2不能表为整数之比，那就直接从论题的否定（√2能表为整数之比）开始即可，何须借助于，事实上也不可能借助于与论题没有内在关联的概念（整数的奇偶性以及互质概念）达到证明的目的。
笔者认为，自Pythagoras派第一次“证明了”√2不是有理数直至今天，两千五百多年过去了，α与β互质这一不合理的假设条款还一直被保留着，是令人惊讶的。
1.3 本文作者的证明
设√2 =α：β（α，β均为整数），则2=α2:β2，从而α2=2β2。当β为整数时，2β2 是偶数。下面我们讨论α的情况。
①α能是奇数吗？
因任一奇数的平方必是奇数，它不可能等于偶数2β2，故α不可能是奇数。
②α能是偶数吗？
由①知，α不可能是奇数；因假设α为整数，依据排中律可知，α必是偶数。设α=2γ（γ为整数）,代入α2 = 2β2,得 2γ2 =β2。如果上述由α2 = 2β2 （β为整数）得到α必为偶数的推理是有效的，那么，这里也应该由2γ2 =β2（γ为整数）推出β为偶数；… 这样就会推出α以及β有无穷多个因数2，从而说明α和β均不可能是整数，但这与α，β均为整数的假设矛盾，说明由α2 = 2β2 （β为整数）是推不出α是偶数的。结论是，α不可能是偶数。
①的结论是α不可能是奇数，②的结论是α不可能是偶数，故α不是整数。
综上所述，结论是α与β不全为整数。由前提“α，β均为整数”推出了它的否定，这说明假设条件“α，β均为整数”不成立，也即√2不能表为整数之比。
作者评析：说实在的，在上面的论证中，从一开始的“设√2 =α：β（α，β均为整数）”，直到“综上所述，结论是α与β不全为整数”，其实不是有效推理。为什么呢？那我们就来看看，究竟什么是有效推理的概念呢？
文［3］写道：“一个有效的推理，其前提真而结论假是不可能的。”那么，前提不真呢？（注：这里的“不真”，不只包含“假”，还包含无法谈论前提的真假，例如，说谎者语句等。）文［3］同处又写道：有效推理是指“前提蕴涵着结论的推理”。那么，“蕴涵”又是什么意思呢？《哥德尔证明》一书作者的话很是到位，他说：“事实上，数学推演的有效性，并不依赖于前提之中词汇的含义或表达式的意思。……纯数学家所面临的问题，不是所假定的前提或从这些前提演绎出的结论是否为真，而是这些结论在事实上是否为初始前提的必然逻辑结果。”[4] 以上引述表明，有效推理的概念与前提的真假无关。
无论A是什么，也不管其真值情况如何， A不可能蕴涵¬ A 。所以，任何由A 到¬ A的推理，都不可能是有效推理。我们的推理前提是√2 =α：β（α，β均为整数），最后的结论是前提条件的否定——α与β不全为整数，所以，这样的推理不是有效推理。这是由什么原因引起的呢？
很容易理解，我们在上面的推理过程中，应用了“α，β均为整数”这一假设条件。但事实上，还应用了另一个条件呢，只是比较隐蔽罢了。
不妨把等式√2 =α：β变成α=√2β，依据人们现在的知识（注：已明确知道，√2是无理数），马上就清楚了——当β是整数时，α是无理数，不是整数。这就是说，假设的推理前提——“√2 =α：β（α，β均为整数）”，其本身就蕴涵着不相容的两个条件，即“α，β均为整数”及其否定——前者是以假设的形式，后者是以真实存在的形式，同时发挥着效力（注：人们往往会忽视后者，甚至想不到它）。
保持相容性，是有效推理的必要条件。[5]但基于推理前提本身就蕴涵着不相容的两个条件，所以，人们在推理中，实际上是既应用条件“α，β均为整数”，又应用它的否定（即β为整数，但α是无理数），这显然是违反有效推理必要条件的，这样的推理，不可能是有效推理。
但对问题的审查应该分段看待。由“α，β均为整数”推出了它的否定，这部分推理不是有效推理。但是，当我们找到了导致非有效推理的原因，即在推理过程中应用了不相容的条件——一方面是假设的条件，即α，β均为整数；另一方面是客观存在的条件，即α，β不可能均为整数，并且否定了假设条件而保留了客观存在的条件，从而就又保证了相容性的贯彻和恢复，这样的推理，就是有效推理。因此，本文作者关于√2不是有理数所给出的证明，是有效证明。
还能不能把问题说的更具体些呢？即在证明过程中，究竟是从何时何处开始出现了不相容条件的冲突呢？我们说，假设的是√2可表成两整数α与β之比，但实际上并非如此。因此，对于α2=2β2（β为整数），当你（关于α）说出“因任一奇数的平方必是奇数”这一理由时，你已经（潜在地）犯错了（注：这里不是指具体结论，因为具体结论没有错），因为你已把无理数α当整数对待了，但实际上它不是（注：理解这种冲突，是破解问题的关键所在，因为保证相容性的贯彻是有效推理的必要条件，相反，正是此处冲突的发生，使得Pythagoras派的证明成为非有效的，当然也包括笔者证明的前半部分）；接下来依据排中律作出“不是奇数就是偶数”的推理，是无意义的，因为只有当α是整数时，这样的推理才有效。需要提醒的是，不要以为排中律具有绝对的普适性，可以随便使用。 不妨再举一个性质完全相同但情况要简单得多的例子。古希腊有一个著名的提问：“有人问梅内德谟，他是否已经停止打他的父亲了？”[6] 在梅内德谟从未有过打父亲的情况下，不管梅内德谟回答“是”或“否”，都会落入圈套。
在Pythagoras派和笔者的证明中，表面上看，都有由α2=2β2（β为整数）到α为偶数的推理，但在对其的处理上是有原则区别的。笔者在证明中所采用的表述语气是——“如果上述由α2 = 2β2 （β为整数）得到α为偶数的推理是有效的”，这已经暗示了笔者对此推理尚持保留意见，即笔者并不认可它是一个确定性的结论，从而为后面否决它埋下伏笔。但Pythagoras派呢？却把它当成一个确定性的结论来对待（始终没有出现对它的否决），并借助于这个无效的推理结论，错误的（当然也是无效的）把两个数系之间的矛盾问题（即√2能否表为整数之比，或者说，√2=α：β中的α和β能否全是整数）转化为整数系内部的矛盾问题（互质与不互质），从而也就失去了对这个无效推理进行否决的机会（因为矛盾的转化工作已经完成，将“α是偶数，从而β也是偶数”这一推理模式无穷继续下去的做法，已经不再必要，因而也就不可能会发现，由α2=2β2（β为整数）到α为偶数的推理竟然还会导致矛盾，所以应该否决它）。尽管Pythagoras派对其前提条件“α，β互质”进行了否定，但由于互质概念对于并非全是整数的α，β而言，完全是不相干的，所以，这种否定没有意义，说明不了什么。
1.4 陶哲轩（Terence Tao）教授的证明
需要说明的是，本文的结论，并不是指所有文献中的证明都有“α，β互质”这种不合理的假设条件，例如，美国数学家陶哲轩教授书中的证明就没有。当然，他的证明用到了“无限减少原理”，这是中学教科书中没有的知识。另外，“整数的唯一分解定理”的知识，也是中学教科书中没有的，所以，笔者只说“一个整数含有无穷个因数2，这是不可能的”，学生也就明白了，这并不影响证明的严格性。
笔者并不认同陶哲轩教授的证明是严谨完整的。他的证明大意是：假设有正整数α，β，使得（α/β）2 = 2，于是有α2 =2β2。如果α是奇数，那么，α2也是奇数，这与α2 = 2β2 （β为正整数）矛盾，故α是偶数；设α=2γ（γ为正整数）,代入α2 = 2β2,得 2γ2 =β2，与上同理，可得β为偶数；… 可以证明，α＞β＞γ＞… ，但这与无限减小原理矛盾，表明不存在正整数α，β，使得（α/β）2 = 2。[7]
作者评析：“α＞β＞γ＞…”与无限减小原理发生冲突，原因是什么呢？是一开始假设的α，β都是正整数吗？否。很明显，直接的原因是，人们认可由α2 = 2β2 （β为正整数）得到α是偶数的推理是有效的，于是无限次地应用该模式进行推理，从而才出现了上面那个无穷递减过程，导致与无限减小原理相冲突。因此，基于“α＞β＞γ＞…”与无限减小原理发生的冲突，应该否定的是“由α2 = 2β2 （β为正整数）得到α是偶数”之推理的有效性，而不是越过正在讨论的α能否是偶数这个中间环节，直接去否定一开始假设的α，β都是正整数。事实上，陶哲轩教授直接否定推理前提中α和β都是正整数的做法，会产生如下疑问：关于由α2 = 2β2 （β为整数）推出α是偶数这件事，我们很难知道陶哲轩教授的看法是什么，是认可呢，还是否定？也无法知道，关于导致“α＞β＞γ＞…”与无限减小原理发生冲突的原因，陶哲轩教授是认为由于“由α2 = 2β2 （β为正整数）得到α是偶数”的推理是无效的呢？还是认为一开始假设的“α，β都是正整数”是错误的？但无论哪种情况，都应该有后续的文字说明：若是前者，就应交代逻辑关系；若是后者，就应写明理由，但这种合理的期待却没能看到结果，这不能不说是陶哲轩教授的证明在逻辑的严谨性上是有缺陷的。
2 结论
第一次数学危机的真相是：第一对不可公度量的发现，并不是基于对√2不是有理数的有效证明，而是基于无效证明。
参考文献：
[1][美]M.克莱因.古今数学思想[M] ，第1卷．张理京，张锦炎．上海：上海科学技术出版社，1979年第1版，第37-38页.
[2]马复 主编.义务教育教科书数学（八年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2014年第2版，第24页.
[3] 彭漪涟，马钦荣主编．逻辑学大辞典 [M]．上海：上海辞书出版社，2004：第340页．
[4][美]欧内斯特.内格尔，詹姆士.R.纽曼.哥德尔证明［M］．陈东威，连永君，译．北京，中国人民大学出版社，2008年第1版，第9页.
[5] 杨六省.对哥德尔不完全性定理的质疑[J].前沿科学,2014（1）：第80-89页.
[6][德]黑格尔.哲学史讲演录（第二卷）[M]．贺麟，王太庆，译.北京：商务印书馆，1960年新1版：第122页.
[7][澳]陶哲轩.陶哲轩实分析[M].王昆扬，译.北京：人民邮电出版社，2008年第1版，第73页.
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发表于 2017-1-1 12:54
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