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本帖最后由 天元酱菜院 于 2017-9-12 09:22 编辑
在数学发展过程中,开始仅仅是数字可以被当做计算的对象,后来发现可以被计算(或称运算)的对象不仅是数。 ——赋予字母变量或常量的意义后,字母可以参与运算(初等代数),向量可以运算、矩阵可以运算....
收敛的序列其实也可以运算。就这个意义来讲,曹老认为0.3333......是一个收敛的数列,其实也未尝不可。那么数字5也可以对应收敛数列(甚至可以是无穷多个收敛数列): 5,5,5,5,5,5......(常项数列是其一); 4.9,4.99,4.999,4.9999......也可以; 4,6,4.5,5.5,4.75,5.25,4.875,5.125,.....也可以;还可以举出很多很多例子。我们可以定义一个规则,凡整数和有限小数统统以常项数列作为其对应的数列,无限小数就以曹老认可的,作为递增不足数列来参与。
实数运算其实可以统统作为数列极限的运算。可以证明这个运算的规则与有理数作为数字的各项运算的规则完全对应。
就这个意义来讲,1/3,可以是一个数列:1/3,1/3,1/3,.....(常项数列)。她当然收敛。 这个数列的极限和0.3,0.33,0.333,0.3333.....的极限相等。
所以,1/3=0.333......是数列极限的相等。
实数是某个收敛的有理数数列(的极限)。 这个定义完全天经地义。(这其实是康托给出的定义)
我们既可以说有理数数列(的极限) 1/3,1/3,1/3......=0.3,0.33,0.333.....(的极限)。
也可以说 1/3(这个实数按定义,就是上述1/3,1/3,1/3....的极限)=0.3333.....(这个实数,按定义,就是0.3,0.33,0.333,0.3333....的极限)
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很多教科书上都把有限小数和整数规定成以9为循环内容的无限循环小数,如5被规定成4.99999.....; 其实就是这个道理。
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