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[美]M•克莱因著《数学：确定性的丧失》说到：现行数学理论中的许多争论着的问题，并在序言中指出：“人类对于宇宙以及数学地位的认识被迫做出了根本性的改变，……许多数学家可能更愿意把对数学当前地位的揭示控制在数学圈里，公开曝光这些困难也许会出现不好的结果，家丑不可外扬嘛。但是，受理性指导的人们必须充分认识到他们所掌握的工具的力量，认识到推理的能力及其局限性，这远比盲目相信有益得多，后者很可能导致错误的思想甚至毁灭”。具体来讲,从这本书的论述中应当知道：第一，虽然罗素（Russell）曾经相信过“所有逻辑公理都是真理”，但是“在《数学原理》1937年的版本中，他放弃了这个观点，他不再相信逻辑的原理是先验真理”。第二，虽然可以使用“形式公理公理方法建立一些数学理论的逻辑体系”，但是哥德尔不完全定理说明：量逻辑下完备而又相容的形式公理体系是不存在的；事实上，皮亚诺提出了“任何自然数之后还有自然数”的公理。这个公理说明:，自然数是无有穷尽的，这个说法是正确的，这个说法与康托儿把自然数集合看作完成了的实无穷集合的现行无穷集合理论之间存在着潜无穷与实无穷之间矛盾与两千多年的争论：笔者在下文中使用“不可达到的有穷集合序列的广义极限”替代康托儿的“完成了的无穷集合”的实无穷概念。对形式公理体系的每一条公理都必须联系实际的说明数学符号与公理的现实意义与应用范围。例一，对ZFC公理中无穷公理就需要说明那个存在的集合的实际意义与性质（具体叙述见下文第四节）；例二，在定积分应用问题中，笔者不使用极限定义曲边梯形面积的做法，而认为：曲边梯形的面积本来就是现实世界存在的现实数量，极限只是计算它的一个方法； 定积分解题过程分割之后的第二步的中的做出的近似值必须满足“它是所求量函数的微分，即误差必须是自变量增量的高阶无穷小（参看笔者的专著《全能近似分析数学理论基础及其应用》）的条件。
1962年，笔者发现：“连续型随机变量在一点发生的概率是不是零呢？”“物体按照瞬时速度运动的时段长是不是零呢？”的问题。最初笔者不满意Б.В.《概率论教程》中“至于这集合（基本空间U）的元素究竟是什么东西，这对于概率论的逻辑发展而言是可以不加分辨的”的论述，也不满意复旦大学编《统计数学》中“U中的某些子集（其全体记作F）作为事件……，至于究竟需要哪些子集，则需视具体情况而定”的论述；那时笔者希望能够从基本事件发生的概率算出各种事件的概率。为此,笔者查看了И.П.那汤松 著《实变函数论》中的点集与测度理论，又发现了“不可测的有界集存在” 的定理，这个定理就是只研究某些子集发生概率的原因,但也说明:现行数学理论是不完善的。后来又在马忠林译[苏]Д.И.别列标尔金著《初等几何教程》上卷看到“位于直线上任何两点之间，有无限多个另外的点，这些点的集合，叫做线段”的论述。对于这个论述，笔者当时提出了“点有没有大小的问题？（即当点没有大小时，点的集合不可能构成线段；若点有大小，这种点的大小是什么数呢？）”的问题。为了这些问题，在参看从自然数集合扩充到有理数、实数集合的过程之后，笔者1962年曾经感到：“需要把实数集合扩充到包括一种‘大于0而又小于一切正实数的实无穷小数’的超实数域”的想法，在此后的十多年中，笔者曾经认为：解决上述三个问题，将实数域扩大为包括无穷小数的超实数域是必须的，笔者还认为它可能在黎曼几何中会有应用。1975年《非标准分析》传入我国。笔者对它进行十年的学习研究之后，发现：虽然非标准分析中的无穷大数与无穷小数与我扩充实数的想法有共同的地方，但他们没有解决我提出的那三个问题，经过对非标准分析依据的模型论、ZFC公理集合论以及有关的数理逻辑引论、数学基础引论、实数理轮、几何基础、量子力学、唯物辩证法的反复学习之后，笔者放弃了扩充实数的想法，并反对《非标准分析》。反对它的原因是：第一，实无穷小数的存在与“正实数可以任意接近于0”的性质矛盾。第二，它们提出这种数时的根据是ZFC公理集合论，但这个公理体系中的选择公理有争论；“自然数集合是存在的”无限公理叙述不恰当，事实上，自然数集合中的元素只是可以可无限延续下去，但又无法完成延续工作的非正常集合，使用这种集合时就有把这种无穷集合看作完成了的集合的违反事实的现象发生；第三，如果使用这种无穷小数，还需要研究这种无穷小数对应的时刻上的瞬时速度是什么?，对应的点的大小有多大?对应点的事件发生概率是多少?的问题，所以提出超实数域之后，问题更多了,更复杂了；第四，大于所有自然数的无穷大数的提出与自然数集合N的无界性矛盾。所以，经过二十四年的反复研究之后，笔者不仅认为需要彻底否定非标准分析，而且认为现行实数理轮、几何基础、数学分析都需要在进一步联系实践的方法下,使用对立统一的唯物辩证法则进行改革。例如：线段的尺规二等分问题，由于人们画出的线有粗细，点出的点有大小，线段二等分工作免不了近似性，所以现行数学理论中线段绝对准二等分具有理想性；理想与现实、精确与近似之间具有相互依存的对立统一关系。于是笔者在1985年写了《足够准分析初步》的小册子，在青岛的学术会议上得到陈庆益教授“你把数学量子化了”的意见，1986 年发表了论文“实数理轮的问题与足够准分析简介”，得到河海大学任荣祖教授“不囿于已有的见解，自成体系，不仅在理论上，而且在应用上都有价值”的好评。2005年笔者又发表了论文“无限的概念与数学基础”；2009年出版了专著《全能近似分析数学理论基础及其应用》;2013年发表了论文,<初等几何的实践性基础及其应用>。为了数学理论的改善。2007 之后笔者在东陆论坛与数学中国基础数学网站发表了上万个帖子，虽然现在有个别人同意笔者的无穷集合与无尽小数的观点,但由于现行的数学教科书与数学界的习惯的形式逻辑势力,在网上许多人都是反对我的。网上十年讨论的一个根本问题是等式 0.333……=1/3是不是成立以及如何成立的问题，笔者认为：1/3代表的是一个线段三分之一的现实数量的绝对准大小，它是一个理想实数，由于实践的需要，要求找出它的十进小数表达式，此时遇到了永远除不尽的问题，得不到1/3的绝对准十进小数表达式，但根据分析可以得到满足误差界序列{ }的不足近似值数列0.3，0.33，0.333，……，这个数列可以简写为无尽循环小数0.333……，它是康托儿实数理论中的一个基本数列，它的极限即趋向才是1/3,因此，应当成立的是极限性等式 ，而不是等式0.333……=1/3；无尽循环小数0.333……是一个永远写不到底的事物，它是1/3的近似值组成的无穷数列（近似值数列的这个看法是需要的、有用的），是个无穷数列性质的有界变数，而不是定数。笔者还认为：这个无尽小数的研究,需要考虑线段三等分的精确度,如果三等分达不到千分之一毫米的精度,这个十进小数写到5个3就足够准了。这个分析是符合实践应用的、应有的改革。但由于形式主义者的影响，也由于现行小学教科书与小学教师就讲到“加上省略号，无穷啦，就等了。”所以许多网友都说：“你不懂数学，数学不是实践而是概念,数学指导实践,实践不能改革数学,数学的真理性表现为它是形式化公理体系.你是痴呆一辈子，你是小学四年级差班、老生,永远学不懂数学，畜牲不如，……”，十年来笔者得到许多的无法说出的辱骂。事实上，无穷次操作是人们无法完成的，无穷个3 是人们永远写不出来的，米尺上无穷次是等分点也是做不出来的， 对于任意多的n个3 的十进小数0.33……3，它与1/3的差是分母为n个0的分数——1/30……0；这个分数只能随着n无限增大趋向于0，但永远不等于0。现代数学界坚持0.333……=1/3，坚持无尽小数是实数的问题说明：在数学理论的改革上还需要做很多工作。这个改革工作是极其艰巨的, 芝诺与布劳维尔都为此被人们否定了,康托儿提出了的“数学理论必须肯定（完成了的）实无穷”的意见并建立了无穷集合理论,后人又提出了形式语言的ZFC公理体系,希尔伯特虽然提出了不使用实无穷的有穷方法的现实数学,但他没有使用有穷与无穷之间的相互依存关系，他仍然坚持形式主义的做法,他没有使用唯物辩证法改革善古典数学与无穷集合理论,他反而提出了“使用实无穷保护康托儿集合论在内的古典数学”的意见。受到康托儿、希尔伯特形式主义的现代数学培养出来的现代数学界是改革的巨大阻力。唯物辩证法与辩证逻辑的使用需要巨大的劳动，需要忍受磨难。我已经超过84岁，希望数学界有人将这个工作继续下去。
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发表于 2017-10-10 17:03
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