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本帖最后由 jzkyllcjl 于 2018-5-31 07:36 编辑
有理数的提出与有理数集合的构造法则
自然数及其集合的提出目的是为了解决现实集合元素个数的描述问题。虽然选定度量标准——中国尺或世界公尺后,它也可以描述线段长度。但只用自然数表示线段长度是不满足精度要求的。为此需要,提出尺与线段等分问题,这样古代人们就创造了包括分数、小数的有理数,但必须进一步知道:度量单位与的线段绝对准等分工作是做不到的,在表达现实数量大小时,所有有理数都具有理想性,所以满足有理数运算法则的有理数也叫理想实数。至于有理数集合也需要依赖于从有限到无限的极限性构造方法。具体来讲,首先依照从小到大自然数序列{n},做出分子、分母小于等于n的有理数集合序列{S(n)} ,这个集合序列的广义极限性集合叫做包含所有有理数的极限性质的理想性有理数集合,这个集合的元素个数也是 非正常实数——无穷大(参看文献[7])。根据前边的讨论,这个理想性集合,也是人们无法构造完毕的极限性质的、理想性质的非正常集合。
在有理数的研究中,芝诺提出过二分法悖论。这个悖论说:“一个人从A地出发去往B地,他要先到达AB的中点,然后到达剩余路程的中点,接着再到达剩余路程的中点,如此下去,有无穷个中点,所以永远到不了目的地B点”。根据笔者上述的无穷是无有穷尽的事实(观点),以及线段绝对准等分工作做不到的事实,应当肯定:无穷个中点是不存在的,所以这是违反事实的悖论。有些学者使用无穷级数与极限方法 说:能达到目的地B,这是不符合数列极限理论本质的。事实上,极限理论是为了解决瞬时速度与切线斜率的需要提出的理论,计算导数时, 只是说 趋向于0,而不能说 到达0;如果到达0,根据0不能作除数,就无法计算导数了。
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