由循环小数问题引发的新问题

王守恩

蔡家雄 发表于 2018-5-21 20:51
循环节长度是1的奇数倒数：1/3, 1/9

循环节长度是2的奇数倒数：1/11, 1/33, 1/99

蔡老弟！借光！我来出道题，但我不会做。
有这样一个循环小数：
0.000...012345678 999...987654321
她的循环节是这样的：
000...012345678  999...987654321
有这样的循环小数吗？


谢谢elim！我好像会了！

王守恩

蔡家雄 发表于 2018-5-22 09:23
1/X 的循环节长度是36位，

它的循环节的第 01 ~ 06 位与 1/7 的循环节相同，

1/X 的循环节长度是36位，

它的循环节的第 01 ~ 06 位与 1/7 的循环节相同，

它的循环节的第 07 ~ 12 位与 2/7 的循环节相同，

它的循环节的第 13 ~ 18 位与 3/7 的循环节相同，

它的循环节的第 19 ~ 24 位与 4/7 的循环节相同，

它的循环节的第 25 ~ 30 位与 5/7 的循环节相同，

它的循环节的第 31 ~ 36 位与 6/7 的循环节相同，

求：X = ??????

嗨！！有这样奇妙的数吗？！苛刻一点：最简分数！！！

elim

王守恩 发表于 2018-5-21 20:05
1/X 的循环节长度是36位，

它的循环节的第 01 ~ 06 位与 1/7 的循环节相同，

不管 m 是什么正整数，只要它能代表一个长为s的循环节，则 m/(10^s-1) 就是具有这个循环节的分数。把它约简一下，就是所要的既约分数。

王守恩

蔡家雄 发表于 2018-5-22 12:39
b/a 的循环节长度是36位，( b

b/a 的循环节长度是36位，[( b<a )这个条件好像是多余的？]

它的循环节的第 01 ~ 06 位与 1/7 的循环节相同，

它的循环节的第 07 ~ 12 位与 2/7 的循环节相同，

它的循环节的第 13 ~ 18 位与 3/7 的循环节相同，

它的循环节的第 19 ~ 24 位与 4/7 的循环节相同，

它的循环节的第 25 ~ 30 位与 5/7 的循环节相同，

它的循环节的第 31 ~ 36 位与 6/7 的循环节相同，

求：a = ?  b = ?

b=47619142857285714476190714286
a=333333666667000000333333666667
不管 m 是什么正整数，只要它能代表一个长为s的循环节，
则 m/(10^s-1) 就是具有这个循环节的分数。
把它约简一下，就是所要的既约分数。

王守恩

王守恩 发表于 2018-5-22 06:33
蔡老弟！借光！我来出道题，但我不会做。
有这样一个循环小数：
0.000...012345678 999...987654321
...

循环节：12345678 87654321   即约分数=12345679/100000001
循环节：012345678 987654321   即约分数=12345679/1000000001
循环节：0012345678 9987654321   即约分数=12345679/10000000001
循环节：00012345678 99987654321   即约分数=12345679/100000000001
循环节：000012345678 999987654321   即约分数=12345679/1000000000001

王守恩

elim 发表于 2018-5-22 12:09
不管 m 是什么正整数，只要它能代表一个长为s的循环节，则 m/(10^s-1) 就是具有这个循环节的分数。把它 ...

有这样一个循环节：01020304050607080910......979899 . 对应的既约分数，
分子是：1030610152128364555667892062137547292123355790328548210397001336701367
3104888287012560045923988378839924600561270288849107337016734017040108
2552903795634129273553822069279675646372922161107040201
分母是：1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
101010101010101010101010101010101010101010101010101010101

把这个数写出来真不是件容易的事，循环节中间部分的数可以省略不写吗？我是把198位都写出来再找答案的。
如果把循环节改成：001002003004005006007008009010......997998999 . 答案还能找吗？

王守恩

蔡家雄 发表于 2018-5-23 06:27
1#楼主帖的完全解答：

需要 整数分解 和 组合数学 的知识.

这是一道难题，就跟求任意素数的最小原根一样，是没有一般方法的。
下面这些数，不知你是怎么想的。
既约分数=49     循环节长度=42
既约分数=121   循环节长度=22
既约分数=169   循环节长度=78
既约分数=289   循环节长度=272
既约分数=361   循环节长度=342
既约分数=529   循环节长度=506
..........

王守恩

蔡家雄 发表于 2018-5-25 08:43
设n≥3 , 求证：
                                                                     
若(10^n -  ...

“循环小数问题”要解决两个问题：
1，已知循环节求既约分数；
2，已知既约分数求循环节。

王守恩

王守恩 发表于 2018-5-25 09:42
“循环小数问题”要解决两个问题：
1，已知循环节求既约分数；
2，已知既约分数求循环节。

已知既约分数 = 10000 / 99980001，求循环节。